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Reproducción de Grupos de Frisos en Bordados Segovianos con Geogebra.

Hernando Pérez, Jesús1 : jhernando@educa.madrid.org

Resumen

El trabajo que a continuación se presenta, en el marco de la Asociación Comenius Partners in Patterns, pretende identificar y analizar, a partir de sus propiedades de simetría, la presencia de patrones repetitivos unidimensionales en motivos decorativos y cenefas de bordados populares segovianos, para después tratar de reproducirlos usando Geogebra como DGS. De paso, extracurricularmente, trataremos de conseguir representantes de los siete grupos de simetría de frisos. 1. Introducción.

El estudio de los grupos de simetría en textiles como contextos artísticos y culturales, ha sido prolijo y abundante y, dado su mayor simplicidad, fuente de numerosos recursos didácticos para la enseñanza de geometría. Resultan frecuentes los bordados y encajes de índole popular en los que aparecen decoraciones generadas por repetición de un motivo (una o varias figuras) a lo largo de una dirección. Constituyen franjas que se emplean como remate, para enmarcar y embellecer la mayoría de estos trabajos artesanales tradicionalmente femeninos. Podemos hallarlos en camisas, manteos, pañuelos, chalecos y textiles en general. Así nos encontramos con los trabajos de Hargittal (1984) quien analiza los siete grupos de simetría en bordados populares húngaros, Rull (1986) que hace lo propio con los encajes castellano-leoneses respecto del porcentaje de aparición de cada uno de los grupos en ciento treinta muestras y Balbuena (2000) quien analiza los estupendos calados canarios en un trabajo presentado posteriormente en las XI JAEM celebradas en Tenerife (2003).

Segovia cuenta con una importante tradición textil desde hace siglos, y el bordado es una manifestación de la misma. Es posible que el bordado popular tenga su origen en la vida hogareña de subsistencia, apegada a las viejas tradiciones, y el aislamiento comercial. Alfaya (1930) nos presenta la primera fuente científica que recoge un amplio muestrario de estos bordados. Las influencias presentes en este original bordado van desde las cenefas de los mantones procedentes de Cachemira (India) hasta las del artesonado morisco y de los alicatados figurativos árabes en general. Tal vez por estas últimas, destaca la abundante presencia de motivos geométricos asociados al cuadrado, el triángulo y los entrelazados. Según López (1992), “su trama, que obedece más a leyes de ritmo y simetría, es más labor de cálculo que de observación”, característica que los hace mucho más interesantes desde el punto de vista geométrico.

Como DGS se ha usado GeoGebra. Se trata de un excelente freeware de matemáticas desarrollado por Markus Hohenwarter en la Universidad de Salzburgo para la enseñanza de matemática escolar, que reúne en una sola aplicación geometría y álgebra. Geogebra permite el estudio de construcciones con regla y compás. El programa puede descargarse en la página http://www.geogebra.org/cms/ y es conveniente hacerlo en su forma Apple Start que no exige la instalación en el equipo. 2. Los Grupos de Frisos. 1 IES Los Castillos

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En una primera aproximación podemos definir un friso o cenefa como un patrón o motivo

que se repite en una única dirección, la de la recta centro del grupo del friso. Para obtener un grupo de simetría de un friso los movimientos que intervienen deben cumplir la condición de dejar invariante a la recta que pasa por el centro del motivo o grupo de friso. Por lo tanto los únicos movimientos que puede contener son de los tipos siguientes: 1. La identidad (este movimiento siempre está en un grupo de simetría) (I). 2. Traslaciones en la dirección de la recta centro Tu, en donde u es el vector de traslación. 3. Giros con centro un punto de la recta centro y ángulo 180º (G 180º). 4. La simetría respecto de la recta centro (Sr). 5. Simetrías respecto de rectas perpendiculares a la recta centro (Sp). 6. Simetría con deslizamiento con eje de simetría la recta centro y deslizamiento en la

dirección de dicha recta Dada una figura cuyo grupo de simetría es un friso, llamamos vector fundamental al

vector no nulo y de norma mínima tal que la traslación Tu pertenece al grupo de simetría. Llamamos rectángulo fundamental a cualquier rectángulo que contenga al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector fundamental.

Sólo hay siete grupos de frisos esencialmente distintos (por serlo los movimientos que dejan invariante la recta del grupo del friso), que denotamos por la letra F seguida de un subíndice, que denota el orden de los giros (1 si no hay giro y 2 si el giro es de 180 º) que aparecen, y añadimos un superíndice si el grupo no conserva la orientación (contiene simetrías). Un algoritmo (existen otros) para su clasificación podría ser el siguiente:

¿Hay traslaciones? SI NO

¿Hay giros de 180º?

No hay friso

SÍ No ¿Hay simetría horizontal? ¿Hay simetría horizontal?

SÍ NO SÍ NO

F21

¿Hay simetría vertical?

F11

¿Hay simetría vertical? SI NO SI NO

F22 F2 F1

2

¿Hay simetría con deslizamiento? SI NO F1

3 F1 Tabla 1. Algoritmo de clasificación de frisos

3. Descripción de la experiencia. Reproducción de cenefas en bordados populares segovianos con Geogebra.

Las cenefas reproducidas en esta sección provienen de imágenes de dechados y camisas de ras que aparecen en el libro Los bordados populares en Segovia (Alfaya, 1930), Arte y tradición del bordado. Bordado segoviano (López, 1992) y de la página Web de María Jesús Viver (http://viversan.com/catalogo/segovia.htm#Inicio). Objetivos. 1. Detectar y analizar representantes de grupos de Frisos entre los bordados populares. 2. Entender la Geometría que subyace en estas estructuras. 3. Aprender a manejar Geogebra para reproducir la realidad. 4. Apreciar las Matemáticas en contextos externos, en este caso las tradiciones textiles y

cultura popular castellanas.

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5. Fomentar el conocimiento y el respeto por el patrimonio artístico y cultural de nuestros pueblos y regiones.

Contenidos. 1. Los Movimientos en el Plano. 2. Utilización de DGS, Geogebra en este caso. Metodología. 1. Búsqueda de imágenes de motivos de bordados segovianos que contengan cenefas, bien en páginas Web como la referenciada de María Jesús Viver, o en las que se proporcionan escaneadas de los libros también referenciados de Alfaya (1930) y López (1992). 2. Exploración de objetos sujetos a algún tipo de patrón constructivo basado en simetrías de los elementos textiles. Búsqueda del motivo del friso (el elemento que se repite por translaciones) y del motivo mínimo constitutivo de este (el que da lugar al friso por aplicación de movimientos en la dirección de la recta del grupo del friso). 3. Reproducción, sobre las propias imágenes, de los bordados en esquemas puramente geométricos usando Geogebra para la reconstrucción de los elementos mínimos y la simulación de los movimientos que originan el friso a partir de los anteriores.

La reproducción con Geogebra de la geometría de estos bordados usando los seis movimientos descritos anteriormente que, en realidad, en el al menú del programa se reducen a tres: simetrías axiales, giros de 180º y translaciones, nos permite visualizar la geometría de los movimientos del plano. Como ejemplo de práctica presentamos el trabajo realizado con un bordado que representa al grupo F2

2. uno de los más difíciles de ver por los alumnos. En primer lugar localizan el motivo del friso, que una vez observada la repetición será

el que presentamos en la figura 9.

Figura 1. Detalle del motivo y del motivo mínimo que genera el motivo que genera el grupo de

friso F22

Finalmente una vez representado con Geogebra el motivo mínimo sobre la cenefa

aplicamos sobre él los movimientos que la reproducen como se observa en la figura 11. La construcción con Geogebra nos revela, en realidad, el proceso contrario, que es lo que queríamos descubrir: El motivo mínimo (en naranja) genera, por simetría axial (línea verde) y giro de 180º respecto de un punto (en verde) fuera del eje de simetría ( Grupo de Simetría F2

2 ), el motivo del friso (composición naranja, roja y morada), y este, por translaciones según un vector de translación (en amarillo) a lo largo del la recta del friso (en azul) genera el propio friso.

Fig. 2. Reproducción de una cenefa de bordado a partir de un motivo mínimo

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Retirando la imagen de fondo observamos esquemáticamente la geometría que subyace en el bordado y los tres movimientos que constituyen el grupo de simetría. Finalmente, en la tabla 2, presentamos algunos representantes de los siete grupos de simetría de los Frisos.

Grupo de Friso Detalle de bordado F1

F1

1

F1

2

F1

3

F2

F2

1

Tabla 2. Grupos de frisos en bordado segovianos.

4. Conclusiones

Software de Geometría Dinámica (DGS) como Geogebra, en un entorno Windows sencillo e intuitivo, da buen juego en la investigación y también en el aprendizaje, en campos como el de las matemáticas, gracias a la potencia que esconde como herramienta de representación, visualización y simulación. Por otra parte las posibilidades de crear documentos HTML, permiten elaborar objetos dinámicos para comunidades virtuales de aprendizaje conocidos como ODEAS.

Además, el uso de herramientas TIC y el trabajo con elementos digitales conlleva un efecto motivador adicional sobre los alumnos tanto en el aprendizaje como en la investigación en el entorno de las matemáticas.

Se ha encontrado la presencia de los siete grupos de frisos en los bordados segovianos. La investigación como elemento de aprendizaje en el campo de las matemáticas y,

particularmente, en el de la Geometría, encuentra un fructífero y abonado terreno en los elementos de las tradiciones y la cultura popular, como elementos contextuales del aprendizaje. El uso de contextos de investigación y el aprendizaje en estos contextos conlleva un efecto motivador que favorece su aprecio, respeto y el despertar de su curiosidad por las tradiciones y valores locales y regionales de sus antepasados.

Es interesante reseñar, por otra parte, el hecho curioso, sin duda, de que siendo un sinfín el número de los bordados y siguiendo un riguroso criterio racionalista, en ningún caso existe modelo alguno que no pueda ser englobado en uno de los siete grupos unidimensionales de simetría. Resulta ciertamente tan asombroso que el esfuerzo e imaginación de millares de bordadoras a lo largo de cientos de años quepa dentro de unas pocas reglas matemáticas como que, personas sin formación ni conocimientos matemáticos hayan sido capaces de descubrirlas todas ellas. El hecho en si es notable dada la infinidad de artesanos que tradicionalmente han venido trabajando, bien solos o bien en grupo, los textiles, y sobre todo teniendo en cuenta que

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el postrer origen de dichas artesanías no ha sido otro que la propia capacidad creativa del artífice de cada una. 5. Referencias 1. Alfaya López, C. Los bordados populares en Segovia. A.Marzo, Madrid , 1930. 2. Balbuena, L., De La Coba, D., García, E. Calados canarios y matemáticas. SUMA, 35, 5-

14, 2000. 3. Blanco Martín, M.F. Movimientos y Simetrías. Secretariado de Publicaciones de la

Universidad de Valladolid, Valladolid, 1994. 4. González. Iglesias, L. El bordado Popular serrano. Centro de Estudios Salmantinos,

Salamanca, 1982. 5. Hargittal, I. y Lengyel G. The seven one-dimensional space-group symmetries illustrated

by Hungarian folk needlework. Journal of Chemical Education, 61, 1033-1047, 1986. 6. Hohenwarter, Markus y Judith. Documento de Ayuda de Geogebra. Manual Oficial de la

versión 3.2., 2009. http://www.geogebra.org/help/docues.pdf 7. López García-Bermejo, A. Arte y tradición del bordado. Bordado Segoviano. Caja

Segovia, Segovia, 1992. 8. Rull Pérez, F. Estudio de las propiedades de simetría de figuras repetitivas

unidimensionales en bordados y encajes de Castilla y León. Revista de Folklore 63, 163-166, 1986.

9. Viver, Mª J. Bordado español: Historia y tradición, 1998 http://viversan.com/index.html#Inicio