Cap.2 Representación y modelación en espacios de estados de sistemas dinámicos

2.1 Modelos matemáticos

El ingeniero a menudo necesita tratar con sistemas que tienen un número de subsistemas cuyos principios físicos dependen completamente de tipos

diferente de leyes físicas. Un proceso químico, por ejemplo, puede comprender un reactor químico, cuya dinámica está sujeta a la teoría de cinética química, un intercambiador de calor está gobernado por principios

termodinámicos y la dinámica de válvulas y motores que dependen de la física de sistemas mecánicos y eléctricos.

Fig. 2.1 Componentes de un sistema

Los modelos matemáticos de los procesos son básicamente ecuaciones y fórmulas que predicen como los diversos componentes se comportarán en

respuesta a diferentes estímulos (entradas).

Obtener un modelo matemático no es tarea fácil; pero siempre es posible hacer una aproximación (usando , por ejemplo, hipótesis) de dicho modelo. Cuando no existe una información detallada de los componentes de un

sistema y la interacción de ellos, es posible usar métodos empíricos para

Sistema químico

Subsistemas

Leyes

químicas

Leyes

térmicas Leyes

Electrome-

cánicas

encontrar un modelo matemático, conocidos como métodos de

identificación.

Una de las formas de representar o expresar estos modelos matemáticos es mediante la técnica de espacio de estados en la que se representa al sistema por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden. Este

modo de representación, a diferencia de otros que suelen utilizarse para distintos propósitos, es el más natural.

Los métodos en espacio de estado fueron introducidos en los U.S.A. en la comunidad de ingeniería, gracias a los esfuerzos de un pequeño número

de ingenieros y matemáticos aplicados durante los fines de 1959 e inicios de 1960. El padre espiritual de gran parte de esta actividad fue el prof. Salomón Lipschitz quien organizó un grupo de investigación matemático

de sistemas en el Research Institute of Advanced Studies (RIAS) en Baltimore.

Muchos de los usos iniciales de los métodos en espacio de estado fueron realizados por investigadores rusos.

En general, un sistema relaciona unas entradas con unas salidas. El sistema está regido por unas leyes que dependen de su naturaleza. Una

forma simplificada de representar un sistema se muestra en la siguiente figura:

Fig.2.2 Esquema de un sistema

2.2 Noción física de estado

La noción de estado de un sistema dinámico es una noción fundamental

en Física.

Una definición abstracta del estado de un sistema dinámico es un conjunto de cantidades físicas; la especificación de las cuales (en ausencia de excitación externa) determina completamente la evolución del sistema.

SISTEMA

entrada salida

Dinámica interna

estado

La dificultad con esta definición, que también es su gran ventaja, es que

las cantidades físicas específicas que definen el estado del sistema no son únicas, aunque su número (llamado orden del sistema) es único. En

muchas situaciones hay una selección obvia de las variables (variables de estado) para definir el estado del sistema, pero también hay muchos casos en los cuales la selección de las variables de estado no tienen un

significado obvio. Newton inventó el cálculo como un medio de caracterización del

comportamiento de sistemas dinámicos, y su método continúa usándose. En particular, el comportamiento de sistemas dinámicos está representado

por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Entonces se puede predecir como se comporta el proceso físico resolviendo las ecuaciones diferenciales que son usadas para modelar el proceso.

Para obtener una solución a un sistema de ecuaciones diferenciales, es

necesario especificar un conjunto de condiciones iniciales. El número de condiciones iniciales que deben ser especificadas define el orden del sistema. Cuando las ecuaciones diferenciales constituyen el modelo

matemático de un sistema físico, las condiciones iniciales para resolver las ecuaciones diferenciales corresponden a las cantidades físicas necesarias para predecir el comportamiento futuro del sistema.

El número de ecuaciones diferenciales de primer orden en un modelo

matemático es igual al orden del sistema correspondiente. Las variable dinámicas que aparecen en el sistema de ecuaciones de primer orden son llamadas variables de estado. El número de variables de estado en el

modelo de un proceso físico es único, aunque la identidad de estas variables no es única.

Ejemplo 2.1

Considerando un objeto de masa M moviéndose en una línea recta. De

acuerdo a la ley de Newton del movimiento, la aceleración del objeto es la fuerza total f actuando sobre el objeto dividido por la masa.

M

f

dt

xd

2

2

(2.1)

donde la dirección de f está en la dirección de x . Asumimos que la fuerza

f es la suma de dos fuerzas, una fuerza de fricción 1f y una fuerza de

resorte 2f ;ambas tendiendo a oponerse al movimiento. La fuerza de

fricción tiende a resistir a la velocidad; no hay fuerza de fricción a menos que la velocidad sea no nula. La fuerza del resorte, por otro lado, es

proporcional al total que el resorte se ha comprimido, lo que es igual al

total que el objeto se ha desplazado. Por tanto:

21 fff

donde

dt

dxf1

)(2 xkf

Por tanto:

Mxkdt

dx

dt

xd

)(

2

2

(2.2)

Una forma común es la ecuación diferencial lineal de segundo orden:

0)(2

2

xk

dt

dx

dt

xdM (2.3)

sin embargo, la representación anterior es más útil para la representación en espacio de estado. La solución de ambas ecuaciones diferenciales

equivalentes requiere de dos condiciones iniciales: 0x , posición inicial y 0

.

x ,

velocidad inicial.

Para obtener una representación en espacio de estado, se necesitan de dos variables en términos de las cuales la dinámica del sistema pueda ser

expresada como dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Una selección obvia de las variables en este caso son: el desplazamiento x y la

velocidad dtdx / . Las dos ecuaciones de primer orden para el sistema en

este caso son las ecuaciones para la cual la velocidad está definida

dt

dx (2.4)

y la (2.2) puede ser expresada en términos de x y . Ya que

dtddtxd 22 , la (2.2) llega a ser:

Mxkdt

d)()(

(2.5)

Luego la (2.4) y (2.5) constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden en términos de las variables de estado x y .

En un sistema práctico tanto la fuerza de fricción como la fuerza del

resorte son funciones no lineales de sus respectivas variables y una predicción realística del comportamiento del sistema podría relacionarse con la solución (2.4) y (2.5) en la cual )( y )(xk son funciones no lineales

de sus argumentos. Como una aproximación, sin embargo, puede ser permitido considerar estas funciones como lineales, es decir:

dt

dxB

dt

dx

Kxxk )(

donde B y K son constantes.

Fig. 2.3 Diagrama de bloques de un sistema masa-resorte

Los ejemplos anteriores son típicos de la forma general de las ecuaciones dinámicas de un proceso dinámico. Las variables de estado de un proceso

de orden k son designadas como: kxxx ,...,, 21 y las entradas externas por:

luuu ,...,, 21 . De este modo se puede escribir:

),...,,,,...,,( ,212111

1 tuuuxxxfdt

dxx lk

),...,,,,...,,( ,212122

2 tuuuxxxfdt

dxx lk

(2.8)

),...,,,,...,,( ,2121 tuuuxxxfdt

dxx lkk

kk

Estas ecuaciones expresan las derivadas en el tiempo de cada una de las variables de estado como funciones generales de todas las variables de

estado, entradas y (posiblemente) el tiempo.

1/M

( )

x( )

velocidad

desplazamiento

x v fo

Fuerza de fricción

-

Fuerza del resorte

Para simplificar la notación, las variables de estado y de control se

recopilan como vectores:

kx

x

x

x2

1

;

lu

u

u

u2

1

(2.9)

llamado vector de estado y vector de entrada, respectivamente. Estos son

vectores en el sentido matemático y no necesariamente en el sentido físico. Usando la notación vectorial, entonces las ecuaciones diferenciales pueden

ser definidas como:

),,( tuxfdt

dxx

(2.10)

donde ),,( tuxf es una función evaluada de un vector k- dimensional de

k+l+1 argumentos. Cuando t no aparece se dice que el sistema es

invariante en el tiempo. Si (2.10) es un modelo exacto de un proceso físico, se puede esperar que sea invariante con el tiempo, ya que no tiene leyes físicas que cambien con el tiempo. Pero a menudo tales ecuaciones son

una aproximación del sistema físico por lo que tales modelos son variantes con el tiempo.

Un modelo exacto de un proceso físico es usualmente no lineal; pero pueden aproximarse a modelos lineales en un rango significativo de

operación del proceso. Proceso lineal

llkk ububxtaxtadt

dxx 11111111

11 ...)(...)(

llkk ububxtaxtadt

dxx 21212121

22 ...)(...)(

(2.11)

lklkkkkkk

k ububxtaxtadt

dxx

...)(...)( 11111

1

En notación vectorial:

utBxtAdt

dxx )()(

(2.12)

Cuando el sistema es invariante en el tiempo ninguno de los elementos de

A y B dependen del tiempo, en tal caso las ecuaciones dinámicas vienen dadas por :

BuAxx

Aunque el concepto de estado de un sistema es fundamental, hay muchas

situaciones en la cual no se está interesado en el estado directamente, sino más bien en su efecto sobre el vector de salida del sistema )(ty

)(

)(

)(

)(2

1

ty

ty

ty

ty

m

La salida de un sistema lineal se asume como la combinación lineal del estado y la entrada

)()()().()( tutDtxtCty (2.13)

donde )(tC es una matriz mxk y )(tD es una matriz mxl. Si el sistema es

invariante en el tiempo, )(tC y )(tD son matrices constantes.

Las salidas de un sistema son generalmente cantidades que pueden ser

observadas, esto es, medidas por sensores adecuados. En concordancia, el vector de salida es llamado vector de observación y (2.13) es llamada

ecuación de observación. En la mayoría de los casos la matriz 0D , lo que facilita el análisis de tal

ecuación.

2.3 Representación en diagrama de bloques

Para visualizar las relaciones entre las variables dinámicas y los subsistemas de un sistema se recurre a diagramas de bloques. Por lo

general se usan tres clases de subsistemas elementales:

a) Integradores, representados por triángulos b) Sumadores, representados por círculos, y c) Elementos de ganancia, representado por cajas cuadradas.

a) Integrador

b) Sumador

c) Elemento de ganancia

Fig. 2.4 Elementos usados en representación en diagrama de bloques

Para un sistema de segundo orden se tiene:

2121112121111 ububxaxax

2221212221212 ububxaxax

cuya representación viene dada por:

Fig. 2.5 Diagrama de bloques

x x

x1

x2

x3

x1+x2+x3

K(t) x

K(t)x

b11 +

+

+

+

c11

x1 1

x

b12 a12 a21 +

+

y

c12 x2

a22

b21

b22 +

+

+ +

2

x

U1

U2

a11

2.4 Aplicaciones

Antes de analizar algunas aplicaciones, es interesante recordar que hay

unas definiciones que pueden ser útiles para estudiar la dinámica de algunos sistemas de tipo: eléctrico, flujo líquido, mecánicos o térmicos. Un sistema es una mezcla de componentes, el comportamiento de sus

componentes pueden ser análogos a los de otro tipo de sistema, por lo que si se define la dinámica de un sistema y se relacionan las variables análogas se conoce la dinámica del otro sistema.

En general, en dichos sistemas se pueden definir unas variables

genéricas, como por ejemplo, cantidad de material, energía o distancia (1ra variable), fuerza conductora o potencial que tiende a mover o cambiar a la

variable cantidad (2a variable), tiempo (3a variable). Para aclarar como se aplican estas definiciones a un sistema,

consideremos un fluido líquido. La variable cantidad es el volumen del líquido que es movido (caudal), la variable potencial es la caída de presión

que tiende a causar que el líquido fluya. Resumiendo estas variables para los sistemas antes mencionados podemos

tener la siguiente tabla.

Variable

Tipo de componente

Cantidad Potencial Tiempo

Eléctrico Carga (Q) Voltaje (e) Seg. (t)

Flujo líquido Volumen (V) Presión (o altura

hidrostática) (P,H)

Seg. (t)

Flujo gas Masa (m) Presión (P) Seg. (t)

Térmico Energía calorífica (q) Temperatura (T) Seg. (t) Mecánico Distancia (d) Fuerza (F) Seg. (t)

Para analizar la dinámica de muchos sistemas se pueden definir unos

parámetros característicos: a. Resistencia: Oposición al movimiento o flujo de material o energía.

Medida en términos del total de potencial requerido para producir una unidad de corriente eléctrica, caudal de líquido, caudal de gas, caudal de calor o velocidad.

b. Capacitancia: total de material, energía o distancia requerida para

hacer un cambio unitario en el potencial. Medida en

términos del total de material, energía o distancia requerida para hacer un cambio unitario en potencia.

c. Inercia, inertancia o inductancia: es una oposición a un cambio en

el estado de movimiento. Medido en términos del total potencial requerido para incrementar la corriente

eléctrica, caudal de líquido, caudal de gas o velocidad por unidad por segundo.

Aplicando estos conceptos a cada uno de los sistemas antes mencionados encontramos: Tipo de sistema Resistencia ( R ) Capacitancia ( C ) Inercia (L)

Eléctrico ietQe /)//( eQ / )//( tie

Hidráulico qhtVP /)//( PV / )//( tqH

Térmico qT / Tq /

2.4.1 Sistema masa – resorte

Ejemplo 2.1

Amortiguamiento:

dt

dxf1

Resorte: )(2 xKf

0

02

2

fu

Kxdt

dxf

dt

xdM

Haciendo:

dt

dxx

xx

2

1

uMx

x

MM

Kxx

x

1

010

2

1

2

1

ecuación de estado

x

f0

M

c

k

2

1

1

01x

xy

xxy

Ecuación de salida

2

1

2

1

2

1

01

1

010

x

xy

uMx

x

MM

K

x

xx

El diagrama de bloques del sistema es:

-B/M

-k/M

1/M

21 xx

2

x yx 1afu

Analizar el siguiente sistema:

M1 M2

k1k2

y1 y2

fa

Q

H

Q

HtgR

2.4.2 Sistema de nivel de líquido

sm

m

caudalencambio

niveldediferenciaoiacionsistencia

/

var Re

3

Analizaremos dos situaciones, dado que la resistencia puede variar para

cada una de ellas.

Flujo laminar La relación entre caudal y altura es lineal para velocidades del fluido relativamente bajas:

Q = Ke H

Donde : Q: caudal en estado estacionario, m3/seg Kl: constante, m2/seg H: altura estacionaria, m

La ley que gobierna el flujo laminar es análoga a la ley de Coulomb, como

ya se ha visto antes:

e

e

KKdQ

dHR

1

La resistencia del flujo laminar es constante y es análoga a la resistencia eléctrica

Válvula de

control

Válvula de

carga

R = resistencia C = capacitancia

iqQ

oqQ

hH

Flujo turbulento (Re> 4000)

HKQ t

donde:

Q: caudal en estado estacionario, m3/seg

Kt: constante, m2.5/seg

H: altura estacionaria, m

dQ

dHRt

Derivando la expresión del caudal se tiene:

dHH

KdQ t

2

Luego:

t

t

RQ

HH

Q

H

K

H

dQ

dH 222 , siendo

Q

HR

H

QKt 2

La resistencia se considera constante si los cambios en la altura y caudal son pequeños.

Sin embargo, el valor de Rt puede determinarse de la gráfica H vs. Q basado

en datos experimentales, midiendo la pendiente de la curva en condiciones de operación. Así se tiene:

q

hQH

P /2tan

que es la pendiente de la curva en el punto de operación.

En conclusión, la modelación matemática de sistemas hidráulicos

relativamente simples, se puede hacer en términos de la resistencia y la capacitancia, recordando que:

Capacitancia = cambio en líquido almacenado

m

m3

(Area) cambio en altura

H

Q Q

q H

h

( Aproximación)

H

q

h

Q

H 2tan

Por lo general, la capacitancia del tanque es igual al área de la sección

transversal. Si ésta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.

Para conseguir el modelo matemático asumiremos unas hipótesis, en primer lugar, que el caudal y la altura tienen variaciones pequeñas

alrededor de las condiciones estacionarias. Considerando que el flujo es turbulento:

H : altura estacionaria , m

h : desviación pequeña de la altura desde su valor estacionario, m

Q : caudal estacionario , m3/seg

iq : pequeña desviación del caudal de entrada desde su condición

estacionaria, m3/seg

oq : desviación del caudal de salida de su valor estacionario, m3/seg

Considerando la resistencia constante y haciendo un balance de materia, se tiene:

1. 0qqdt

dhC i

2. 0q

hR

Se observa que las expresiones están en términos de las desviaciones, esto

es, debido a que se cumple:

haciendo :

Se tiene:

uC

xRCdt

dhx

11

BuAxx

xRy )/1( Ducxy

y = h

y = q0

u = qi

00 qQQ

qQQ

hHH

ii

x =h

u = qi

y = q0

Ejemplo 2.2

Variables de estado, salida y entrada: x1 = h2 y = h2

x2 = h1 u = q

1

211

11

1

q

hhR

qqdt

dhC

1er. depósito

2

22

212

2

q

hR

qqdt

dhC

2do. Depósito

Ecuación de estado:

uCx

x

CRCR

CRRRC

x

xx

12

1

111

21212

2

1

1

0

11

1111

22

2

21

21

2

211

CR

h

CR

hh

C

qqx

Reordenando y simplificando:

2

21

1

2221

1

111x

CRx

CRCRx

uCCR

x

CR

x

dt

dhx

111

2

21

112

1

2qQ

R2 22 hH

1qQ

11 hH R1

C1 C2

qQ

Ecuación de salida:

2

101

x

xy

Ejercicio 2.1 : Considerando las variables:

2

1

2

1

q

q

x

x

y = q2 , u = q

determine la representación en espacio de estado del siguiente sistema

2.4.3 Sistema eléctrico

Ejemplo 2.3: Analice el circuito y halle su representación en espacio de estado, considerando las siguientes variables

qQ

11 hH R1 1qQ

C1

22 hH

R2

2qQ C2

+

e1 -

R L1 L2

+

-

i2

e2

+

-

v

c

vL

i1

v

i

i

x

x

x

x 2

1

3

2

1

y = vL

2

1

e

eu

Ecuaciones del sistema:

vdt

diLRie 1

111

vdt

diLe 2

22

C

ii

dt

dvdt

C

iiv 2121

1

1

1

3

1

111 '

L

u

L

x

L

Rxxi

2

3222 '

L

xUxi

C

xxxv 21

3'

2

1

2

1

3

2

1

2

11

3

2

1

00

10

01

011

100

10

U

U

L

L

x

x

x

CC

L

LLR

x

x

x

2

1

3

2

1

1 0110'U

U

x

x

x

RiLvy L

+

-

R1

S1

C1

R3

R2

S2 e0

C2

Ejercicio 2.2: Hallar la representación en espacio de estado,

considerando:

2

0

2

1

2

1

Vy

eu

V

V

x

x

2.4.4 Sistemas Térmicos

Los sistemas térmicos involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas pueden ser analizados, como los sistemas

antes descritos, en términos de resistencia y capacitancia térmica; aunque éstas no pueden representarse como parámetros concentrados ya que son distribuidos a través de la sustancia.

Se puede considerar que el calor fluye de una sustancia a otra en tres

modos diferentes: conducción, convección y radiación.

La modelación para un sistema térmico, en el que se manifiestan

pequeñas diferencias de temperatura, para los dos primeros fenómenos, se puede expresar como:

TR

TTTThAq

1

1 )(

donde: q: caudal de flujo de calor, Kcal/seg

h: coeficiente de transferencia de calor de la superficie del cuerpo, Kcal/s-°C

A: área de la superficie, m2

T: temperatura del cuerpo T1: temperatura del medio circondante

- Para convección (calor que atraviesa a un cuerpo)

h = H : coef. de convección

- para conducción: x

kh

k : coef. de conductividad térmica

x : longitud de la trayectoria que recorre el flujo de calor

Teniendo en cuenta la ecuación de balance se puede encontrar la

expresión de la variación de temperatura en un cuerpo o fluido (que indica la capacidad de almacenamiento) como:

Variación de temperatura dt

dTC

dt

dTMcq

Y, generalizando la de flujo de calor se tiene:

)(1

1 TTR

q

Cuando hay fluido en movimiento que manifiesta un cambio de

temperatura también se puede usar la expresión:

cTmq

siendo:

q : flujo de calor

m : caudal másico

T : temperatura del fluido

Ejercicio 2.3: En el siguiente ejemplo las temperaturas son

uniformemente distribuidas e instantáneas. Se pide:

Hacer un balance de calor en la chaqueta y en la parte interna

del horno.

Encontrar la representación en espacio de estado.

)(

0

0

0

2

1TTY

TT

TT

x

xx i

i

j

En la chaqueta:

(1) Cj T’j = A0 h0 (T0 – Tj ) + Ai hi (Ti – Tj ) + u

(2) Ci T´i = Ai hi (Tj – Ti )

Ecuación de Estado:

uCjx

x

ChA

ChA

ChA

ChACjhA

x

x

iii

jii

iii

jii

0

1

/

/

/

)//(

2

100

2

1

Ecuación de salida:

2

1

ˆ

ˆ10

x

xy

Otro caso:

i

j

T

T

x

xx

2

1

ˆ

ˆˆ

T0 =cte Ti = temp. del horno

Tj = Temp. de la camiseta

T0 = Temp. Ambiente

(perturbación externa)

Representación con perturbaciones:

EwBuAxx

w = vector de perturbaciones

FwDuCxy

u: entrada ; T0 : perturbación

Ecuación de estado:

wCjAoho

uCj

x

x

CiAihiCiAihi

CjAihiCjAihiCjAoho

x

x

0

/

0

/1

//

/)//(

ˆ

ˆ

2

1

1

2

1

1

Ecuación de salida:

2

1

ˆ

ˆ10

x

xy

Ejemplo 2.4:

Ecuaciones del sistema:

1. RR

q b

b

)()(

1

2. dt

dCq

iable

cte

var

T (°C)

temperatura instantánea

del termómetro.

b Temperatura del baño

0)0(

b

b

b

dt

dRC

Rdt

dC

con:

xy

u

x

b

Ejemplo 2.5: Se tiene un bloque aislado, a excepción de dos caras, a una temperatura interna T1. La temperatura ambiente es T0.

Balance de calor correspondiente

)(/1)(1

' 10210

1

11 TTRTTR

TC

Ejemplo 2.6: Se tiene un tanque aislado el cual es calentado, manteniéndose uniforme

la temperatura del líquido por agitación. No existe almacenamiento de calor en las paredes de aislamiento. El sistema está sometido a cambios

tanto en el flujo de calor a la entrada como en la temperatura del líquido que está ingresando, mientras que el caudal de líquido se mantiene constante. Determinar la dinámica de temperatura del líquido.

q2

R2 q1

R1 T1 T0

i temperatura estacionaria a la entrada

0 = temperatura estacionaria a la salida

G = caudal estacionario de líquido [Kg/s] M= masa del líquido en el tanque [Kg]

c = calor específico [Kcal/°C.Kg]

R = resistencia termica [°C-s/Kcal]

H = flujo de calor estacionario [Kcal/s]

c = capacitancia térmica [Kcal/°C]

Primer planteamiento:

I. Cambios en flujo de calor a la entrada, no hay variación de temperatura en líquido de entrada

100

0

hHH

hHH i

hi: variación a la entrada

(calentador)

h0: variación a la salida

Líquido

frío

Líquido

caliente

calentador

Ecuaciones del sistema:

1.

R

qhdH

dR

1

0

1

GcRcGh

1. 10 (R es constante)

2. 01 hh

dt

dC i

11 1

Rh

dt

dC i )1(1

1 iRhdt

dRC

Segundo planteamiento:

II. Variación en la temperatura del líquido a la entrada y no hay variación en el flujo de calor (calentador)

iii

i

hHH

hHH

200

0

ˆ

ih : variación a la entrada (debido a la T)

02 ˆˆ hh

dt

dC i

)2(22

RRGcGc

dt

dC i

i

22 / idtRCd

Considerando: 210

iiRhdt

dRC

0

0 (ec. total)

0x (variable de estado)

i

ihu

(debido a que controlamos la temperatura tanto con hi , i )

Considerando las analogías entre un sistema térmico y eléctrico se puede simplificar el análisis de dichos sistemas.

Sistemas térmicos Sistemas eléctricos

dt

CdTq

R

TTq 1

dt

CdEi

R

EE

R

Ei 1

q i (T1-T) (E1-E2)

RT R CT C

CT

T

q RT

T1

E1

R i

C

E

Ejemplo 2.7: Se tienen dos masas a temperaturas T1 y T2 sumergidos en un medio

térmicamente aislado contenido en un contenedor de metal el cual, debido a su alta

conductividad térmica, puede ser asumido tener una temperatura constante T0. Las

temperaturas T1 y T2 de las masas serán controladas o medidas para controlar la

temperatura T0 del contenedor. Hallar las ecuaciones diferenciales.

Cuerpo 1:

)()( 123310111

1 TThATThAdt

dTC

Cuerpo 2:

)()( 213320222

2 TThATThAdt

dTC

11

1

1

hAR ;

33

3

1

hAR ;

22

2

1

hAR

2

1

T

Tx u=T0

Equivalente. Eléctrico:

T1 T2

T0

+

-

R1

1

C1

R3

R2

2 e0

C2

Sistemas electromecánicos:

Motor eléctrico: PC con excitación separada

)1( ba

aaaa edt

diLiRe

mmb wKe Tm= torque motor

aamm KiiKT TL= torque de carga

Lmm TTBw

dt

dwJ wm= velocidad angular

m= desplazamiento angular

m

m

a

w

i

x

momento de

inercia

Coef. de roz

u = ea

a) y = m b) y = m ; y = wm

m Tm

TL

eb

La Ra

ea

+

-

+

-

ia

L

a

m

m

aabaa

n

n

a

TJu

L

w

i

JBJK

LkLR

w

i

x

0

/1

0

0

0

/1

010

0//

0//

'

'

'

a)

m

m

a

w

i

y

100

b)

m

m

a

w

i

y

010

100

Sistemas neumáticos:

G: caudal másico

Pc: presión crítica

1

1

.1

2P

KP

K

k

c

(para el caso del aire)

aire K = 1.4 Pc = 0.528 P1

Flujo sónico: P2 0.528 P1

Gaire = 0.0404 c.Ao. sKgT

P/

1

1

c: coeficiente de descarga A0: área de restricción P1: presión antes de la restricción

Salidas independientes de

Wm y m

G

Flujo de aire

P2

T1

P1

sónico

Gmax

B

Pc P1 P2

subsónico

T1: temperatura antes de la restricción

Flujo subsónico: P2 0.528 p1

Gaire = 0.0822 SKgPPPT

Ac /)( 122

1

0

Gaire = K’ 0PPi

R= cambio en p. diferencial = d(P) (resistencia del aire)

Cambio en caudal másico dq

C= cambio en masa de aire = dm (capacitancia del aire)

Cambio de presión dP

iPP

0PP

R

iPP

PP

0

P

d(P)

dq

q

R = Pi – P0

q

C = dm CdP0 = qdt

dP0

CdP0 = Pi – P0 dt

R

F

X1

K

X2

F

1x

2x

F F

1

2

T

T

Sistemas mecánicos:

a) Elementos mecánicos:

1. Inercia: masa = cambio en fuerza_____

cambio en aceleración 2. Resorte lineal

torsional

3. Amortiguamiento lineal (viscoso) torsional Resorte

F = K (x1 – x2 ) traslacional

Amortiguamiento

)( 21

xxbF Traslación

)( 21

bF Rotación

T = K (1 -2) rotacional

2

T

1

Análisis de sistemas mecánicos

A) Leyes de Newton:

a.1 Primera ley de Newton: rotacional movimiento

onal traslacimovimiento

JwMomento

mvMomento

a.2 Segunda ley de Newton: rotación

aslación tr

JT

maF