UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTNFACULTAD DE INGENIERA DE PRODUCCIN Y SERVICIOSESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA

CURSO: LAB. CONTROL 1TEMA: REPRESENTACION DE ESPACIO DE ESTADOS DE SISTEMAS DOCENTE: ING. CORNEJO ALUMNO: HUILLCA CAMERON BIVIANOCUI: 20101968GRUPO: D

2012

REPRESENTACION DE ESPACIOS DE ESTADOS DE SISTEMAS1. OBJETIVOS Conocer la representacin en espacio de estados de los sistemas. Utilizar las ecuaciones de espacio de estados para el anlisis.

2. FUNDAMENTO TEORICO Representacin en espacio de estadoExisten muchas tcnicas para obtener representacin en el espacio de estados entre ellas la forma cannica controlable, observable, diagonal o de Jordn.Representacin en el espacio de estados en formas cannicas.Consideramos las siguientes ecuaciones

Donde u es al entrada e y es la salida. Esta ecuacin tambin puede escribirse como:

A continuacin se representa en el espacio de estados del sistema mediante las ecuaciones anteriores.a) Forma cannica controlable

b) Forma canonca observable

c) Forma diagonal o de Jordn

Matlab en la representacin de estadosLos comandos utilizados para la representacin de estados son:

3. TRABAJO PREPARATORIO (TEORICO)3.1. Enumerar y poner un ejemplo para los comandos relacionados con la representacin de espacio de estado. Comando tf2ssObtener es espacio de estados del sistema definido por:

num=[2 1 1 2];den=[1 4 5 2];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A = -4 -5 -2 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = -7 -9 -2

D = 2Por lo que la ecuacin de estado se salida es:

Comando ss2tfObtener la funcin de transferencia del sistema definido por:

A=[-1 1 0;1 -1 1;0 1 -2];B=[0;0;1];C=[1 0 0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)printsys(num,den)

-2.2204e-015 s^2 - 4.4409e-016 s + 1 ------------------------------------ s^3 + 4 s^2 + 3 s - 1

Comando ctrbA=[-1 1 0;0 -2 1; 0 0 -3]B=[0;0;1]M=ctrb(A,B)rank(M)A = -1 1 0 0 -2 1 0 0 -3B = 0 0 1M = 0 0 1 0 1 -5 1 -3 9ans = 3 Comando obsvA=[-1 1 1;0 -2 1; 0 0 -3]C=[1 1 0]N=obsv(A,C)rank(N)

A = -1 1 1 0 -2 1 0 0 -3C = 1 0 0N = 1 0 0 -1 1 1 1 -3 -3ans = 2 Comando ss2ss y tf2ssPara la forma canonca controlable evaluar la siguiente funcin.

num=[0 1 7 10]den=[1 8 19 122][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)T=[0 0 1;0 1 0;1 0 0][a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T)

num = 0 1 7 10den = 1 8 19 122A = -8 -19 -122 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 1 7 10D = 0

Commando canonForma canonca observable[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')a = 0 0 -122 1 0 -19 0 1 -8b = 1 0 0c = 1 -1 -1d = 0

Forma canonca de Jordnnum=[0 7 1 10]den=[1 8 19 122][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

num = 0 7 1 10den = 1 8 19 122A = -8 -19 -122 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 7 1 10D = 0[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal') con esta funcin obtenemos las matrices a, b, c y d correspondientes a la representacin en la forma canonca diagonal.a = -7.6099 0 0 0 -0.1950 3.9992 0 -3.9992 -0.1950b = -2.5336 -0.9484 1.8995c = -2.2676 -1.4267 -0.0518d = 0

3.2. Para los sistemas dados en las ecuaciones siguientes.

Determine la representacin de las formas cannicas dadas de ser el caso:Para el primer caso se tiene. Forma canonca diagonalA=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0 1]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal')A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0a = 0 0 0 0 -0.5000 0.8660 0 -0.8660 -0.5000b = 0.5000 0.8660 0.5000c = 2.0000 -1.1547 0.0000d = 0

Forma canonca de JordanA=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0 1]D=[0]A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0

Forma canonca controlableLa funcin de transferencia para la ecuacin de estado es

A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0 1]D=[0]T=[0 0 1;0 1 0;1 0 0][a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T)A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0T = 0 0 1 0 1 0 1 0 0a = 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0b = 0 1 0c = 1 0 0d = 0 Forma canonca observableA=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0 1]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0a = 0 0 0 1 0 -1 0 1 -1b = 1 0 0c = 0 0 1 d = 0

Para el segundo caso tenemos: La ecuacion de estado que representa la ecuacion diferencial es:

Forma canonca diagonalA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0 0]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal')A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0a = -3.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -1.0000b = 11.6431 14.6969 -4.3084c = -0.2577 0.4082 0.6963d = 0 Forma canonca JordanA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0 0]D=[0]A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0

Forma canonca controlableA = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6

B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0T = 0 0 1 0 1 0 1 0 0a = -6 -11 -6 1 0 0 0 1 0b = -6 0 0c = 0 0 1d = 0 Forma canonca observableA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0 0]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0a = 0 0 -6 1 0 -11 0 1 -6

b = 1 0 0c = 0 0 -6d = 03.3. Explique que significa controlabilidad y observabilidadControlabilidad. Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede transferir desde cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.Observabilidad. Se dice que observable si en to con es sistema en el estado X(to) es posible determinar el estado a partir de la observacin de la salida durante u intervalo de tiempo finito .3.4. Para cada uno de los siguientes sistemas determine si son controlables u observable.

Halle C para que el sistema sea no observable

3.5 entre la controlabilidad y observabilidad existe dualidad, demuestre este hecho y proponga un ejemplo se un sistema para verificar

4. TRABAJO PRACTICO (MATLAB)4.1. Considere el sistema siguiente obtenga las ecuaciones de estado en una forma cannica de Jordan

num=[10.4 47 160]den=[1 14 56 160][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 10.4000 47.0000 160.0000D = 0

num=[10]den=conv([1 3 0],[1 4])[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A = -7 -12 0 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 0 10D = 0Hacer transformacin de estados al sistema, para obtener una matriz controlable y observable.

Para la matriz controlable se tieneA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;1;0]M=ctrb(A,B)rank(M)A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B = 0 1 0

M = 0 1 0 1 0 -11 0 -11 60ans = 3

Para la matriz observable se tieneA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]C=[29 9 1]N=obsv(A,C)rank(N)A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6C = 29 9 1N = 29 9 1 -6 18 3 -18 -39 0ans = 3

5. CONCLUISONES Y RECOMENDACIONES Se represento en espacio de estados los sistemas de funcin de transferencia. Se empleo las ecuaciones des estado para el anlisis de sistemas 6. BIBLIOGRAFIA