Representacion de curvas

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1

REPRESENTACIÓN DE CURVAS

Función polinómica de segundo grado.

Su gráfica es una parábola. Para representarla basta con halla los puntos de corte a los ejes y el vértice que es siempre un máximo o un mínimo. Si el coeficiente de x2 es posi-tivo la parábola es abierta hacia arriba y si es negativo abierta hacia abajo

Cuando no existen puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una sencilla tabla de valores.

Ejemplo 1

Puntos de corte a los ejes: Para x = 0, y = 3 La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, 3)

Para y = 0,

Los puntos de corte al eje de abscisas son (3, 0) y (1, 0)

Vértice: ; ; . El eje de simetría de la parábola es la recta x = 2.

Para x = 2, . El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva.

La función es decreciente en el intervalo (-, 2) y creciente en (2, +)

Ejemplo 2.


Se trata de una función valor absoluto que se expresa de la forma siguiente:

Para representarla se dibujan las gráficas de ;

Después nos quedamos con la parte de dibujo situado por encima del eje de abscisas.Estudio de la primera función:

Para x = 0, y = 2. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2)

Para y = 0,

Corta al eje de abscisas en los puntos (2, 0) y (1, 0)Vértice:

;

Para , El vértice es el punto

Estudio de la segunda función: Para x = 0, y = -2 Corta al eje de ordenadas en el punto (0, -2)Para y = 0, x = 2; x = 1Los puntos de corte con el eje de abscisas son los mismos que antes (2, 0) y (1, 0)

Vértice: ; ;

Para , El vértice es el punto

Funciones polinómicas en generalSe siguen los siguientes pasos:

Dominio: Dom(f) = R. El dominio de toda función polinómica es siempre R. Puntos de corte con los ejes de coordenadas. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

La función es decreciente en los intervalos (-, 1) y (3/2, 2)

Es creciente en (1, 3/2) y (2, +).


Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Ejemplo 3.

Dominio: El dominio es R; Dom(f) = RPuntos de corte con los ejes de coordenadas: Para x = 0, y = 0 Para y = 0, Los puntos de corte son (0, 0), (3, 0) y (-3, 0).

Crecimiento y decrecimiento: ;

IntervalosSigno de la derivada + - +

Función Para ; Para

Concavidad y convexidad: ; 6x = 0 x = 0.

IntervalosSigno de la segunda derivada - +

Función Para x = 0, existe punto de inflexión (0, 0)

Funciones racionalesSe siguen los siguientes pasos:

Dominio: Asíntotas Puntos de corte con los ejes de coordenadas. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.


Ejemplo 4

Dominio: x – 1 = 0 x = 1 Asíntotas:

Verticales (A.V.)Horizontales: No hay

Oblicuas: ;

; (A.O.)

Puntos de corte: Para x = 0, y = -2; Para y =0, (que no tiene sol real.)Único punto de corte: (-2, 0)

Crecimiento y decrecimiento: ; x = 0; x = 2

(-, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +)+ - - +

Concavidad y convexidad: ; no se anula nunca. No hay puntos de infle-

xión.

Ejemplo 5

Dominio: ; No hay soluciones reales. El denominador no se anula nunca. Asíntotas:Verticales: No hay porque el denominador no se anula

Horizontales: luego y = 1 es una A.H.

(-, 1) (1, +)- +

Para x = 0, máximoPara x = 2, mínimo


Oblicuas: No hay. Si hay horizontales no hay oblicuas.

Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte: (0, 0)

Crecimiento y decrecimiento:

Si hacemos entonces 2x = 0 x = 0Estudiando la derivada en los intervalos (-, 0) y (0, +) se obtiene la siguiente tabla

(-, 0) (0, +)- +

Concavidad y convexidad:

Si hacemos ,

- + -

Ejemplo 6

La gráficas de la forma , siendo c 0, son siempre hipérbolas y para represen-

tarlas podemos omitir el método general de representación de funciones racionales.

Basta con hallar los puntos de corte y las asíntotas.

Puntos de corte:

Para x = 0, Mínimo(0, 0)

Existen puntos de infle-

xión para y

para


Para x = 0, y = -3/5

Para y = 0, 2x –3 = 0 x = 3/2

Los puntos de corte son (0, -3/5) y (3/2, 0)

Asíntotas:

Asíntota vertical: x = -5

Asíntota horizontal: ; y = 2 es una asíntota horizontal

Con las dos asíntotas dibujadas aparecen unos nuevos ejes. La curva ocupará primero y tercer cuadrante, o bien segundo y cuarto. Los puntos de corte hallados nos indican los que hemos de elegir. En este caso, segundo y cuarto.

Observando la gráfica vemos que siempre es creciente. No hay máximos ni mínimos.

Es convexa en (-, -5) y cóncava en (-5, +). No hay puntos de inflexión porque aun-que en el punto x = -5, pasa de convexa a cóncava, dicho punto no es de su dominio.

Ejemplo 7

Dominio: ; Asíntotas: Verticales: ;

Horizontales: ; y = 1 es una A.H. Asíntotas oblicuas no hay.

Puntos de corte: Para x = 0, y = -1 Un punto de corte es (0,-1)


Para y = 0, .No hay solución, no hay más puntos de corte.

Crecimiento y decrecimiento: .

Si hacemos -4x = 0 x = 0Dividiendo el dominio por el punto cero y estudiando el signo de la derivada en los in-tervalos (-, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, +) se obtienen el siguiente resultado:

(-, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +)

+ + - -


Si hacemos entonces que no tiene solución, luego la segunda deriva-da no se anula nunca. No hay puntos de inflexión.La tabla que refleja la concavidad y convexidad de la curva queda así:

(-, -1) (-1, 1) (1, +)+ - +

Funciones logarítmicas.Los pasos a seguir son los mismos que en las racionales pero en el dominio hemos de tener en cuenta que el logaritmo de los números negativos no existe. En los límites se cuidará si la tendencia es por la derecha o por la izquierda.Ejemplo 8.

Para x = 0, exis-te máximoM(0, -1)


Dominio: Globalmente es una función racional, luego el punto donde se anula el deno-minador, , no es de su dominio. Además, como figura Lx, ha de ser , por tan-to, Asíntotas: Verticales: Son aquellos valores que hacen que la función tome el valor de , Cuando , luego x = 0 es una asíntota vertical inferior.

Horizontales: , es una A.H. derecha.

Oblicuas: ; . No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida. Para y = 0, Lx = 0 x = 1. El único punto de corte es (1, 0)

Crecimiento y decrecimiento: ; Si hacemos entonces

(0, e) (e, +)

+ -

Concavidad y convexidad: ; Si hacemos , -3 + 2Lx = 0

- +

Funciones exponenciales.Se siguen los mismos pasos que en las racionales.Ejemplo 9.

Para x = e, existe máximo

;

Para existe punto de

inflexión

Es decir,Lx = 1 x = e


Dominio: La función dada es el producto de una polinómica (de dominio R) y de la ex-ponencial natural (de dominio R), por tanto, Dom(y) = R

Asíntotas:Verticales: No hay. No existe ningún valor de x para el que la función tome el valor de infinito.

Horizontales: ; , luego

es una asíntota horizontal izquierda.

Oblicuas: ; ; No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte (0, 0)

Crecimiento y decrecimiento: ; Si hacemos , x = -1Los intervalos de monotonía quedan de la forma siguiente:

(-,-1) (-1, +)

- +

Concavidad y convexidad: ; Si hacemos , x = -2

(-,-2) (-2, +)- +

Funciones en general.

Ejemplo 10.

Para x = -1 existe mínimo.

Para x = -2 existe punto de in-flexión


Dominio: Por se parte de la función logarítmica, no entran los números negativos. Por ser globalmente racional hay que eliminar del dominio aquellos valores que anulan al denominador, Es decir,

Asíntotas: Verticales: x = 1; Horizontales: (No hay)

Oblicuas: (No hay)

Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida. Para y = 0, x = 0

Pero el 0 no pertenece al dominio de la función. No hay puntos de corte.Crecimiento y decrecimiento:

; Si Lx –1 = 0 Lx = 1

es decir, x = e. Para x = e, mínimo M(e, e)


; Si 2 – Lx = 0 Lx = 2

(0, 1) (1, e2) (e2. +)- + -

Ejemplo 11.

Dominio: Como no existen las raíces cuadradas de números negativos, ha de ser ;

(0, 1) (1, e) (e, +y - - +

Para x = 1, pasa de cóncava a convexa pero el punto no es del dominio de la función.Para x = e2 pasa de convexa a cóncava. Hay punto de inflexión en dicho punto


Asíntotas: Verticales no hay porque no existe ningún valor de x para el cual la función tome de valor de .Horizontales: . No hay Existe rama parabólica.

Oblicuas: . No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, no existe la función. Para y = 0, x = 1El único punto de corte es (1, 0)

Crecimiento y decrecimiento:

. La función es creciente en todo su dominio. No hay máximos ni míni-

mos.


La segunda derivada no se anula nunca y es negativa para todo valor de x > 1.Por tanto, siempre es cóncava.

La gráfica queda de la siguiente forma:

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