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Representación Gráfica
(recta numérica)
0 1 2 3 4 R
NÚMEROS NATURALES ( N )
Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4
NÚMEROS ENTEROS ( Z )
- 2 - 1 0 1 2 R
Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2
Adición
0 1 2 3 4 R
Sume los números 2 + 2
Sume los números 2+(-3)
- 2 - 1 0 1 2 R
Ley de signos
En suma y resta:
• Números con signo igual: SE SUMAN.
• Números con signo diferente: SE RESTAN y
prevalece el signo del mayor.
En multiplicación y división
• Números con signo igual: el resultado es
POSITIVO.
• Números con signo diferente: el resultado es
NEGATIVO.
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Lenguaje algebraico
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Expresión algebraica
• EXPRESIÓN ALGEBRAICA
• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia.
• A las letras se las llama variables, son cantidades desconocidas. Normalmente es la x, aunque puede haber más: y, z, etc.
• Los términos son cada uno de los sumandos: Pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no la llevan.
• Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina coeficiente. Si no está indicado vale 1.
• Ejemplos(en la praxis el punto no se escribe):
• 4.x + y/5 – z
• El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z.
• (4.x + y)/5 – 3.z
• El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.
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Utilidad del álgebra:
Ejercicios
• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:
• a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches.
• b) Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos.
• c) Un número menos 3.
• d) La mitad de un número.
• e) Restar la mitad de un número al 2.
• f) Doble de un número menos 5.
• g) Doble de un número, menos 5.
• h) Cuadrado de un número más 7.
• i) Cuadrado de un número, más 7.
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• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:
• j) La tercera parte de un número más su quinta parte.
• k) Dos quinto de un número.
• l) El triple de un número más 1.
• m) La edad de Pedro hace cuatro años.
• n) La edad de Juan dentro de 15 años.
• o) Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora?
• p) Dos números se diferencian en 5 unidades.
• q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma.
• r) El producto de dos números dividido por su suma es 5.
• s) La diferencia de los cubos de dos números.
Utilidad del álgebra:
Ejercicios
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• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:
• t) El área de un rectángulo.
• u) El perímetro de un rectángulo.
• v) El área de un cuadrado.
• w) El perímetro de un cuadrado.
• x) El área de un círculo.
• y) El perímetro de un círculo.
• z) La raíz cuadrada de un número menos 3.
• z) La raíz cuadrada de un número, menos 3.
• z) La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3.
Utilidad del álgebra:
Ejercicios
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Utilidad del álgebra:
Ejemplo_1
• El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%.
• Si llamamos x al VP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será:
• 16
• x + -----. x
• 100
• El precio final será x+0,16.x
• Hemos de pagar 1,16.x , siendo x el VP.
• Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre.
• Si llamamos P al precio final, queda:
• P = 1,16.x , que es lo que llamamos FÓRMULA.
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Utilidad del álgebra:
Ejemplo_2 • Sea un rectángulo.
• Llamamos b a lo que mide el lado de la base.
• Llamamos h a lo que mide el lado de la altura.
• El perímetro de un rectángulo es:
• 2.b+2.h
• El área de un rectángulo es:
• b.h
• Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados.
• Si empleamos:
• P = 2.b+2.h
• A = b.h
• Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.
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Utilidad del álgebra:
Ejemplo_3 • La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la
nota de la evaluación de un alumno:
• Llamamos x a la nota de un examen.
• Llamamos y a la nota del otro examen.
• Llamamos z a la nota de clase.
• Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre:
• x + y
• ------- + z
• 2
• Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula:
• x + y
• N = -------- + z
• 2
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Utilidad del álgebra:
Ejemplo_4 • Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 €
cada media hora de trabajo.
• Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador.
• Nos cobrará al final:
• 30 + 2.x . 10
• Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula:
• P = 30 + 20.x
• Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza.
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• La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos.
• Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO
• EJEMPLOS
• 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3 Monomio
• 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3 Monomio
• 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2 Polinomio
Suma de monomios
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• EJEMPLOS
• 4.x3 + 5.x3 = (4+5).x3 = 9.x3
• 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2
• 2.x4 – 7.x4 + 8.x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4
• 7.x3 + a.x3 = (7 + a).x3
• 5.x2 + a.x2 + x2 = (5+a+1).x2 = (6+a).x2
• Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto.
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• EJEMPLOS
• 4.x3 + 5.x = 4.x3 + 5.x
• 3.x2 – 5.x2 + 4.x = (3 – 5).x2 + 4.x = – 2 .x2 + 4.x
• 2.x4 – 7.x3 + 8.x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3
• 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 + a).x3 + 3.x – 5
• 5.x3 + a.x2 + x3 = (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2
• Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio.
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• El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores.
• EJEMPLO
• Sea 4.x3 y 5.x2
• (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5
• EJEMPLO
• Sea 7.x3 y 5.a.x3
• (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6
Producto de monomios
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PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
• El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de
multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes.
• EJEMPLO
• Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x
• (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) =
• = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) =
• = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4
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• OTRO EJEMPLO
• Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3
• (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) =
• = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) =
• = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8. x2.y2 + 12.x.y
• UN EJEMPLO MÁS
• Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x
• (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) =
• = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a3.x2
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• La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor.
• EJEMPLO
• Sea 20.x5 y 5.x2
• (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3
• EJEMPLO
• Sea 2.x3 y 5.x
• (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2
División de monomios
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COCIENTE DE MONOMIOS
• El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores.
• EJEMPLO
• Sea 4.x3 y 5.x2
• (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x
• EJEMPLO
• Sea 14.x5 y 7.a.x3
• (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2
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• La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias.
• EJEMPLO 1
• Sea (4.x3)2
• (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6
• EJEMPLO 2
• Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3
• [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27 . x 30
Potencia de monomios
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• EJEMPLO 3
• Sea [(1/2 ).x2 ]3
• (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6
• EJEMPLO 4
• Sea (2.x4 )5
• (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20
• EJEMPLO 5
• Sea (2.x3 .y)4
• (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4
POLINOMIO
• Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de
monomios.
• Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO,
• Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE.
• EJEMPLOS
• P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x
• P(x) = - 7.x + 5
• P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y
GRADO DE UN POLINOMIO
• Es el mayor grado de los monomios que lo forman.
• EJEMPLOS
•
• P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x Grado de P(x) = 3
• Q(x) = - 7.x + 5 Grado de Q(x) = 1
• R(x, y) = x3. y + 7.y2 - 5.x.y Grado de R(x, y) = 3 respecto x
TIPOS DE POLINOMIOS
• REDUCIDOS
• Tiene sumados los términos semejantes
• NO REDUCIDOS
• Contiene dos o más términos semejantes.
• COMPLETOS
• Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero.
• INCOMPLETOS
• Falta algún término de grado menor que el del polinomio.
• ORDENADOS
• Sus términos están ordenados por el grado de la variable.
• NO ORDENADOS
• Sus términos están desordenados según el grado de los mismos.
• Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO
DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.
EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS
• REDUCIDOS
• P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 • NO REDUCIDOS
• P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6
• COMPLETOS
• P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 • INCOMPLETOS
• P(x) = 3.x3 + 4.x – 6 Falta término en x2
• ORDENADOS
• P(x) = x3 - 3.x2 – 6 Ordenado de forma decreciente. • NO ORDENADOS
• P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6
Aclaración previa a la forma
de operar
• Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer:
• P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x
• Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3
• P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3
• Pero es recomendable hacerlo así:
• (5.x4 + 4.x3 - 2.x) + (3.x3 + 5.x - 3) =
• 5.x4 + 4.x3 - 2.x + 3.x3 + 5.x - 3 =
• = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3
SUMA DE POLINOMIOS
• La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene
sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes.
• La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES.
• EJEMPLO
• Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3
• P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) =
• = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 =
• = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3
DIFERENCIA DE POLINOMIOS
• Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el
opuesto al sustraendo.
• Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo.
• EJEMPLO
• Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3
• P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) =
• = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 =
• = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3
PRODUCTO DE UN MONOMIO
POR UN POLINOMIO
• El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de
multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes.
• EJEMPLO
• Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x
• (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) =
• = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) =
• = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4
• OTRO EJEMPLO
• Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3
• (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) =
• = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) =
• = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8.x.y + 12.x.y
• UN EJEMPLO MÁS
• Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x
• (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) =
• = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2
PRODUCTO DE POLINOMIOS
• El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos
y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes.
• EJEMPLO
• Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2
• P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) =
• = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) =
• = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) =
• = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 =
• = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6
Aclaración previa a la forma
de operar
• Los que tengan dificultad en multiplicar
polinomios pueden hacer:
• P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x
• Q(x) = 3.x3 + 5.x
• 25.x5 + 20.x4 – 10. x2
• 15.x7 + 12.x6 – 6. x4
• 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 • Clave: Columnas de términos semejantes
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• Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS
• El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene.
• Veamos algunos ejemplos:
• (4.x).(5.x2 + 4.x ) 1.2 = 2 términos
• (4.x - 2).(5.x2 + 4.x ) 2.2 = 4 términos
• (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3) 2.3 = 6 términos
• (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3) 3.3 = 9 términos
• (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3) 2.4 = 8 términos
• (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3) 3.4 = 12 términos
• Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. • Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de
términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
• Las reglas operativas son :
• 1.- Reducir dividendo y divisor.
• 2.- Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente.
• 3.- Si el dividendo es incompleto, dejar huecos.
• 4.- Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir.
• 5.- Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor.
• 6.- Comprobar el resultado.
Algoritmo de la división
• Se divide el primer término del dividendo entre
el primer término del divisor.
• Lo que da es el primer término del cociente.
• Se multiplica el primer término del cociente
hallado por el todo el divisor.
• Lo que da hay que restárselo al dividendo.
• Obtenemos así un nuevo dividendo.
• Y se repiten las operaciones para conseguir los
restantes términos del cociente.
Ejemplo de división de
polinomios
• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5
• y Q(x) = x2 + 5
• Hallemos P(x) : Q(x)
• 1.- Están ya ambos reducidos.
• 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.
• 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos.
• 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• x
• Pues x3 : x2 = x
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x
• Pues se multiplica x. (x2 +5)
• Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x
• 4.x2 - 7.x + 5
• Se repite las operaciones:
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x + 4
• 4.x2 - 7.x + 5
• - 4.x2 - 20
• - 7.x - 15
• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x + 4
• 4.x2 - 7.x + 5
• - 4.x2 - 20
• - 7.x - 15
• 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor
que el divisor (x2 + 5) se habrá terminado la
división.
• C(x) = x+4 y R(x) = - 7.x – 15
• 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)