Representación de la adjunta en bases ortonormales ...
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
Representación de la adjunta en basesortonormales
Operadores autoadjuntos
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
14 de octubre de 2010
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto interno
T : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal
B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V
C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W
entonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre K
T : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.
B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V
C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W
⇒B(T ∗)C = [C(T )B]
t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉)
= 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉
= ajit
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
![Page 26: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/26.jpg)
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operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto interno
T : V → V operador lineal autoadjuntosi
T = T ∗
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjunto
siT = T ∗
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjuntosi
T = T ∗
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
T : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador lineal
entonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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propiedades
demostración
ejercicio
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre C
T : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador lineal
entonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
![Page 35: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/35.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
![Page 36: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/36.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
demostración
no la vamos a dar (consultar libro rojo)
la proposición no vale si V e.v. sobre R
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propiedades
demostración
no la vamos a dar (consultar libro rojo)la proposición no vale si V e.v. sobre R
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matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétrica
A ∈Mn(K) matriz simétricasi
At = A
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétrica
siAt = A
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétricasi
At = A
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre R
T : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador lineal
Son equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
![Page 44: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/44.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto
2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
![Page 45: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/45.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica
3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
![Page 46: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/46.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
![Page 47: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/47.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B
= [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)
proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
![Page 48: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/48.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t
= [B(T )B]t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anterior
xq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
![Page 49: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/49.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real
⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
![Page 50: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/50.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
![Page 51: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/51.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
![Page 52: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/52.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 2 ⇒ 3
OBVIO
si vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal
![Page 53: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/53.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 2 ⇒ 3
OBVIOsi vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal
![Page 54: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/54.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétrica
entonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t
= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 55: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/55.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t
= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 56: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/56.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t
=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 57: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/57.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior
⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 58: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/58.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 59: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/59.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 60: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/60.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
![Page 61: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/61.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
matriz hermítica
definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermítica
siA = A
t
![Page 62: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/62.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
matriz hermítica
definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermíticasi
A = At
![Page 63: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/63.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre C
T : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 64: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/64.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador lineal
Son equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 65: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/65.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 66: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/66.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto
2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 67: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/67.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica
3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 68: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/68.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
![Page 69: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/69.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
demostración
ejercicio
![Page 70: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/70.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finita
T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
![Page 71: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/71.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto
⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
![Page 72: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/72.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales
⇒ todas las raíces características son reales.
![Page 73: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/73.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
![Page 74: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/74.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T
⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 75: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/75.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep
⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 76: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/76.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 77: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/77.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 78: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/78.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 79: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/79.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 80: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/80.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉
⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
![Page 81: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/81.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
corolario
corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica
⇒ todos los vap de A son reales
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
corolario
corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica⇒ todos los vap de A son reales
![Page 87: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/87.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
teorema
teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ todos los vap de A son reales
![Page 88: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/88.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
teorema
teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica⇒ todos los vap de A son reales
![Page 89: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/89.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
![Page 91: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/91.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica
⇒ todas las raíces características de A son reales
![Page 92: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/92.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
![Page 93: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/93.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
![Page 94: Representación de la adjunta en bases ortonormales ...](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022071015/62c999ae3a58062cbc215a2f/html5/thumbnails/94.jpg)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finita
T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto
⇒ todos los vap de T son reales
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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales