UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMADE MÉXICO

PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍAINGENIERÍA CIVIL - ESTRUCTURAS

“CÁLCULO DEL MOMENTO NOMINAL RESISTENTE DECOLUMNAS A FLEXIÓN MEDIANTE SIMULACIONES DE

MONTE CARLO”

PRESENTA:

RAMÓN EDUARDO RODELO LÓPEZ

SEMESTRE:

2015-1

TUTOR PRINCIPAL:

DR. MARIO E. RODRÍGUEZ

MÉXICO, D.F., DICIEMBRE 2014

I

ResumenEn las ultimas décadas los eventos sísmicos han causado algunos de los mayores

desastres en el mundo de las estructuras. El principal problema es debido a que, en eldiseño estructural de elementos de concreto reforzado se subestiman las propiedades delos materiales que los conforman. Por ejemplo, para el cálculo del modulo elástico de losconcretos en el país, de la expresión propuesta por las Normas Técnicas Complementa-rias del Distrito Federal solamente se obtienen resultados aceptables para los concretoselaborados dentro del área metropolitana, mientras que para el resto de las regiones laexpresión establecida no cumple los requisitos para considerarse aceptable. Esto indicaque es de carácter urgente el buscar una expresión para el cálculo del módulo de elas-ticidad para los concretos del resto de las regiones del país, y de la misma manera queocurre con el módulo de elasticidad se desconocen otros parámetros importantes.

Observando los acontecimientos en la vida real, los resultados esperados de diseñar unacolumna para su máxima resistencia a la flexión, cuando acciones sísmicas actuandosobre ella, no cumplen lo esperado. La forma mas sencilla de estudiar este caso en par-ticular es el elaborar especímenes a escala real con los cuales, mediante aproximaciones,se pueda obtener una expresión para evaluar la resistencia a la flexión de estos elemen-tos. Debido a lo complicado que esto seria, una de las opciones mas viables que se tienepara realizar el estudio, es mediante simulaciones. Las simulaciones han sido utilizadasdurante los últimos años para obtener resultados con un alto nivel de aceptabilidadrespecto a los ensayes a escala natural.

II

Índice1. Planteamiento del problema 1

1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Justificación 2

3. Antecedentes 4

4. Desarrollo de la investigación 74.1. Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1. Etapa 1: Ensaye de Cilindros de Concreto . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2. Etapa 2: Interpretación de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3. Etapa 3: Simulaciones con Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.4. Etapa 4: Calcular el Momento Nominal Resistente . . . . . . . . . . . 11

4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. Conclusiones 18

III

1. Planteamiento del problemaDebido al riesgo en importantes estructuras en todo el mundo, en las últimas décadas

se ha estudiado intensamente lo relacionado con el diseño de las edificaciones de concretoreforzado. En el estudio de las estructuras de concreto es necesario conocer adecuadamenteel comportamiento de los elementos de una estructura. Las experiencias recientes y los ajustesteóricos derivados de ellos, dirigen los esfuerzos científicos hacia el desarrollo de modelos mássólidos y formales para estimar el comportamiento de dichos elementos. De los elementos masimportantes que se deben diseñar para una edificación, destacan las columnas. La capacidada la flexión, ó momento nominal resistente, de una columna es de suma importancia, ya que,de acuerdo a estudios previos se ha demostrado que los resultados obtenidos con la ecuacionesde diseño actuales no se asemejan a los resultados en base a ensayes en laboratorio.

Figura 1: Fallo de Columna Sometida a Flexión

Es necesario revisar expresiones existentes para el diseño de columnas a flexión,para lograruna mejor semejanza con los resultados de pruebas de laboratorio. La manera ideal de realizarel estudio seria el elaborar y ensayar un número considerable de especímenes a escala naturalen el laboratorio, probándolos con carga lateral y estimando su capacidad a flexión. Comoesto es complicado, una de las soluciones es realizar el estudio mediante simulaciones, lo queconsiste en ingresar datos principales probabilisticos, de parámetros de carácter principal enlos especímenes, en ecuaciones y obteniendo resultados.

Anteriormente se han realizado estudios mediante simulaciones con los cuales se obtuvie-ron resultados aceptables para los propósitos de investigación, es por esto que el estudio sepretende realizarlo basándose en estos estudios previos encontrados en la literatura.

1.1. ObjetivoSe pretende ensayar cilindros, a 28 días de edad, de diversas resistencias, tanto bajas

como altas, de las diferentes regiones del país incluyendo el D.F. Obteniendo una muestra

1

representativa de los concretos del país y con ello conocer expresiones apropiadas para elconcepto de E

c

y la deformación Á

Õc

, así como parámetros necesarios para obtener la curvaf

c

≠ Á

c

del concreto, considerando propiedades típicas de los agregados del país.

1.2. MetasEnsayar cilindros de concreto, a 28 días, con resistencias especificadas f

Õc

iguales a, enkg/cm

2:

• 200• 300• 400• 500• 600• 700• 800

Aproximar una expresión apropiada para el parámetro “r”.

Realizar simulaciones de f

Õc

de acuerdo a los resultados obtenidos, mediante el métodode Monte Carlo.

Realizar simulaciones, utilizando el método de Monte Carlo, del esfuerzo de fluenciadel acero (f

y

), la cuantía de acero longitudinal (fl), deformación asociada al máximoesfuerzo (ÁÕ

c

) y cuantía de acero transversal (“e

), de acuerdo a información encontradaen la literatura.

Determinar el momento nominal resistente para cada una de las simulaciones utilizandolas ecuaciones encontradas en la literatura.

Aproximar una ecuación de diseño de columnas, mediante los resultados obtenidos delas simulaciones, para el país de México.

2. JustificaciónDebido a la evolución de los estudios en el diseño de edificios de concreto, es necesario

estimar con una buena aproximación el comportamiento de un elemento tan complejo, comolo es una columna de concreto reforzado, por esto se deben de conocer las propiedades delos materiales principales que lo conforman. Una de las propiedades con mayor interés enel estudio de columnas es conocer la gráfica esfuerzo-deformación del concreto sin confinar,f

c

≠ Á

c

. La figura 2 muestra una curva típica esfuerzo deformación del concreto expresada enforma adimensional con la relación f

c

/f

Õc

para los esfuerzos, y Á

c

/Á

Õc

para las deformaciones,donde f

c

y Á

c

son el esfuerzo y deformación del concreto en cualquier punto de la curva, f

Õc

es la resistencia en compresión especificada del concreto y Á

Õc

es la deformación del concretocuando éste alcanza el valor f

Õc

.

2

Figura 2: Curva adimensional esfuerzo-deformación del concreto sin confinar

De los parámetros más importantes que pueden ser obtenidos de la gráfica f

c

≠ Á

c

destacael módulo de elasticidad (E

c

), es conocido que para el cálculo de esta propiedad se tienenexpresiones en el reglamento del Distrito Federal (D.F.), sin embargo, esto solo es válido paralos concretos del D.F., mientras que para el resto de las regiones la expresión establecida nocumple los requisitos para considerarse aceptable. Esto indica que es de carácter urgente elbuscar una expresión para el cálculo del módulo de elasticidad para los concretos del restode las regiones del país.

De la misma manera que ocurre con el módulo de elasticidad se desconocen otros parámetrosimportantes de la gráfica f

c

≠ Á

c

, como los son la deformación unitaria asociada al esfuerzomáximo (ÁÕ

c

), deformación última del concreto (Ácu

), etc.

En la literatura se ha propuesto la siguiente expresión para la curva f

c

≠ Á

c

del concreto:

y = nx

(1 + (n ≠ ( r

r≠1))x + ( x

r

r≠1)) (1)

donde:

x = Á

c

Á

Õc

(2)

y = f

c

f

Õc

(3)

En la ec (1) el parámetro n se define como:

n = E

c

Á

Õc

f

Õc

(4)

3

El parámetro n se puede interpretar tambien como la relación:

n = E

Õc

E

sec

(5)

donde:

E

sec

= f

Õc

Á

Õc

(6)

El parámetro “r” define la parte descendente de la curva f

c

≠ Á

c

, el cual de acuerdo a losagregados y cementos de Estados Unidos, en la literatura se ha propuesto el valor:

r = f

Õcc

5.2 ≠ 1.9(MPa) (7)

es por esto que con este estudio se pretende encontrar una expresión para el parámetro “r”,la cual considere las propiedades de los concretos del país. Estos parámetros no se conocenen México, por lo que no solo los diseño de estructuras que emplean el módulo elástico (E

c

)estan limitados, si no también los estudios que ahora se desarrollan en México con expresionespara la curva f

c

≠ Á

c

del concreto.

3. AntecedentesSe han realizado diversas investigaciones con respecto a la estimación del módulo de

elasticidad, deformación asociada al máximo esfuerzo y demás propiedades mecánicas delconcreto. Tratando de describir la forma de la gráfica f

c

≠ Á

c

mediante modelos y a partir deellos conocer las propiedades más importantes al momento de realizar el diseño de elementosde concreto reforzado.

Mendoza (1985).

Realizó una de las primeras investigaciones relacionadas con las propiedades mecánicasde los concretos de México. El propuso expresiones, en función de la raíz cuadrada dela resistencia del concreto, basándose en la combinación de los tipos de agregados delo concretos, obteniendo tres expresiones para los concretos del D.F.

Para concretos con grava y arena andesítica:

E

c

= 8, 500Ò

f

Õc

, en kg/cm

2 (8)

Para grava basáltica vesicular y arena andesítica:

E

c

= 11, 000Ò

f

Õc

, en kg/cm

2 (9)

y para grava ligera de arcilla expandida y arena andesítica:

E

c

= 6, 500Ò

f

Õc

, en kg/cm

2 (10)

4

Mander et al. (1988)

Propusieron un modelo para la curva esfuerzo-deformación, ecuación (1). Con este mo-delo se pretendía obtener de manera aceptable la rama descendente en la gráfica esfuerzodeformación, la cual depende de un parámetro llamado “r”. Para poder aproximar demanera adecuada la gráfica f

c

≠ Á

c

es necesario tener una aproximación al modulo deelasticidad, E

c

, con un error mínimo.

ACI-363 (1992)

El Instituto Americano del Concreto en su comité 363 (ACI-363 (1992)), establecióuna ecuación para la estimación del modulo elástico de concretos en el país de EstadosUnidos, afectando la raíz cuadrada del f

Õc

más un factor de ajuste por el peso especificode los agregados de la muestra de concreto, obteniendo como resultado la ecuación:

E

c

= (3, 320Ò

f

Õc

+ 69, 000)( w

86)1.5, f

Õc

en MPa y w en kg/m

3 (11)

B. de Nicolo & Pozzo (1994)

Estudiaron el comportamiento de los concretos enfocándose en el estudio de la defor-mación asociada al máximo esfuerzo en el concreto (ÁÕ

c

). Propusieron la ecuación (12),donde f

Õc

es la resistencia del concreto en MPa y V el volumen de los especímenes deensaye en cm

3, basándose en los tamaños de los especímenes de ensaye, característicasde la prensa universal, la manera de medir la deformación unitaria y las propiedadesdel concreto como lo son: la resistencia, relación agua/cemento, propiedades mecánicas,etc.

Á

Õc

= 1.753f

Õ0.27756c

V

≠0.09314, f

Õc

en MPa y V en cm

3 (12)

Seguirant & Gallt (2003)

En este reporte se hacen comparaciones entre las ecuaciones propuestas por el ACI 318,ACI 363 y resultados de ensayes experimentales de cuatro estados de Estados Unidos,observando que la tendencia tanto de la ecuación propuesta del ACI 318 como la delACI 363 se encuentran con cierta incertidumbre, y proponen una expresión, ecuación(13), en la cual se toman en cuenta parámetros K1 y K2, donde K1 representa ladiferencia entre el promedio de la media local y nacional y K2 un factor de correcciónbasado en el percentil 90 y 10 de los resultados de ensayes en la base de datos.

E

c

= 33, 000 K1 K2 (0.14 + f

Õc

1000)1.5Ò

f

Õc

, en MPa (13)

5

NTC-DF (2004)

Las normas técnicas complementarias del Distrito Federal, establecen ecuaciones parael cálculo de el modulo de elasticidad de los concretos en México. Dividiéndolos enconcretos clase I y clase II, siendo la siguiente ecuación para los concretos estructuraleso de clase I:

E

c

= 14, 000Ò

f

Õc

, (14)

en kg/cm

2 para concretos de baja resistencia (< 400kg/cm

2).

E

c

= 8, 500Ò

f

Õc

+ 110, 000, ) (15)

en kg/cm

2 para concretos de alta resistencia (> 400kg/cm

2).Y para los concretos de clase II establece:

E

c

= 8, 000Ò

f

Õc

, en kg/cm

2 (16)

Cem & Musfata (2012)

Realizaron un estudio probabilistico variando la geometría y niveles de confinamientode una columna de concreto reforzado. Las propiedades de la sección, materiales y larespuesta del modelo analítico se modelaron mediante variables aleatorias. Para los va-lores de las muestras aleatorias, los análisis se llevaron a cabo utilizando un programaque utiliza diversos modelos de concreto confinado y no confinado para obtener la máxi-ma resistencia a la flexión en la relación momento-curvatura. El efecto de la variabilidadse estudió mediante la examinación de las distribuciones de respuesta resultantes de lassimulaciones de Monte Carlo.

Chen et al. (2013)

Propuso una ecuación para aproximar la deformación Á

Õc

recopilando información deensayes de cilindros de concreto encontrada en la literatura y realizando pruebas delaboratorio para complementarlo. Esta aproximación (17) para la deformación asociadaal f

Õc

ha sido utilizada en los ultimo años debido a su similitud con los resultadosobtenidos de ensayes en laboratorio, con un error de mas-menos 10 %.

Á

Õc

= 1.74x10≠6f

Õc

+ 2.41x10≠3 (17)

Restrepo & Rodriguez (2013)

Los autores mencionan que la resistencia teórica a la máxima flexión de una columnapuede ser calculada para la sección crítica de un miembro, con o sin carga axial, some-tido a la flexión en una dirección dada. Apoyados en una base de datos de columnas,

6

el trabajo proporcionó evidencia de que el actual método prescrito por el ACI 318 paracalcular esta fuerza tiene un sesgo no conservativo y explican las razones para ello.Para mejorar la predicción, los autores proponen una simple calibración estadística delmodelo, para determinar la resistencia al momento probable de columnas de secciónrectangular y circular. Una extensión del concepto se hace para estimar el máximomomento probable de columnas rectangulares sometidas a flexión a lo largo de los dosejes principales.

Torres Matos et al. (2013)

Propusieron expresiones simples, modificadas de las de Restrepo & Rodriguez (2013),para calcular momentos resistentes de columnas para puentes de concreto presforzadoen zonas sísmicas. Propusieron un procedimiento para calcular la curvatura última decolumnas de concreto presforzado. Los resultados de emplear estos procedimientos secompararon con resultados de ensayes de columnas para puentes estudiadas en USA yNueva Zelandia. Describieron un estudio paramétrico de las capacidades resistente y decurvatura en columnas con presfuerzo ante cargas laterales. Con base en los resultadosencontrados dieron recomendaciones para el diseño sísmico de columnas en puentes.

ACI-318 (2014)

El Instituto Americano del Concreto en su comité 318 (ACI-318 (2014)) estableció unecuación para la estimación del modulo de elasticidad del concreto a 28 días de edad,afectando la raiz cuadrada del f

Õc

del concreto por un factor de ajuste donde se incluyenlas propiedades del agregado que se utiliza en la muestra, como se observa en la siguienteecuación:

E

c

= 0.14w

1.5Ò

f

Õc

, en kg/cm

2 (18)

4. Desarrollo de la investigaciónPara cumplir los objetivos de la investigación es necesario dividirla en etapas de trabajo.

La primera etapa es la recolección y ensaye de cilindros de concreto a 28 días de edad delas distintas regiones del país. Una vez obtenidos los resultados de los ensayes se procedecon la segunda etapa, interpretar los resultados, esto con el objetivo de poder definir elparámetro ‘r” con el cual se describe el comportamiento de la gráfica f

c

≠ Á

c

del concreto sinconfinar. Además, es necesario obtener parámetros probabilisticos de los ensayes para realizarsimulaciones con el método de Monte Carlo para los concretos de México. Una vez realizadaslas simulaciones para el concreto se comenzara con la etapa 3 la cual consiste en realizar lassimulaciones para la deformación asociada al esfuerzo máximo (ÁÕ

c

), cuantía longitudinal (fl)y cuantía transversal de acero (“

e

). Las simulaciones se realizarán de acuerdo a distribucionesvariables.

La cuarta y última etapa consiste en realizar un programa en el cual se ingresen los resultadosde las simulaciones y con esto proceder a calcular el momento nominal resistente de columnas

7

de acuerdo a Restrepo & Rodriguez (2013). Del mismo modo como lo realizaron Cem &Musfata (2012) para su investigación, se tomarán los percentiles 10, 50 y 90 de los resultadosdel momento nominal, y se aproximará una ecuación para definir de manera general el cálculodel momento nominal resistente de columnas de concreto reforzado para el país de México.

4.1. Etapas4.1.1. Etapa 1: Ensaye de Cilindros de Concreto

En el laboratorio de Estructuras del Instituto de Ingeniería de la UNAM se ensayarancilindros de concreto con resistencias especificadas f

Õc

(en kg/cm

2) clasificadas en dos grupode acuerdo a la clase de agregado. Para el agregado clase I se tienen las siguientes resistencias:

250

300

400

500

600

700

800

Mientras que para los agregados clase II se tienen:

150

250

300

350

Para obtener una muestra de cilindros y una estimación adecuada para generalizar losresultados, se dividió el país en 10 regiones, tratando de cubrir con estas las variabilidadesen los concretos que se fabrican, siendo las regiones:

Tijuana

Monterrey

Culiacán

Chihuahua

Guadalajara

8

Distrito Federal

Guerrero

Veracruz

Mérida

Tuxtla Gutiérrez

De acuerdo a las normas ASTM-469 (2002) y NMX-128 (1997) el numero mínimo decilindros necesarios para calcular el módulo de elasticidad de una resistencia es de 3, es poresto que de cada región del país se ensayaran 3 cilindros de cada una de las resistenciasresultando un total de 330 cilindros a ensayar. Los ensayes se realizan de acuerdo a lo queestablecen las normas ASTM-469 (2002) y NMX-128 (1997), donde se especifica que uno delos métodos para calcular el módulo de elasticidad es utilizando dos anillos y un micrómetro,como se muestra en la figura 3, donde un anillo se fija rígidamente al espécimen y el otrose fija en dos puntos diametralmente opuestos, de manera que tenga libertad de oscilar endichos puntos. Aplicando dos ciclos de pre-cargas y posteriormente llevarlo a la falla.

Figura 3: Anillos para Módulo de Elasticidad

4.1.2. Etapa 2: Interpretación de Resultados

Una vez realizados los ensayes de los especímenes de concreto se procedera a dibujar lasgráficas f

c

≠ Á

c

para cada uno de ellos. Obtenidas las gráficas de los concretos ensayados sedefinirá el parámetro “r”, mediante aproximaciones, utilizando por Mander et al. (1988), enla ecuación (1), para definir la rama descendente de la gráfica f

c

≠ Á

c

del concreto. Ademásde obtener el parámetro “r”, se obtendrán tanto la media como la desviación estándar de lasresistencias del concreto para proceder con las simulaciones.

9

De las graficas f

c

≠ Á

c

se obtendrán el coeficiente de variación para “n”, el cual ya fuedefinido anteriormente mediante la ecuación (2). Se revisará dentro de la literatura paraobtener los coeficientes de variación para los parámetros: deformación unitaria asociada alesfuerzo máximo, cuantía de acero longitudinal y cuantía de acero transversal (ÁÕ

c

, fl y “

e

).Se realizará lo mismo con ensayes de varillas de acero del país de México para obtener sucoeficiente de variación y realizar las simulaciones.

4.1.3. Etapa 3: Simulaciones con Monte Carlo

El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico, utilizadopara aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Eluso de este método como herramienta de investigación proviene del trabajo realizado en eldesarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Esta difusión poseeun comportamiento eminentemente aleatorio. Debido a que en el estudio de elementos deconcreto reforzado se tienen variables con un alto nivel de complejidad se ha decidido utilizarlocomo herramienta.

Figura 4: Diagrama de Flujo Estudio de Monte Carlo

En el estudio, las variables a simular serán f

Õc

, r, n, fl

l

y fl

t

, esto se aprecia de una mejormanera con un diagrama de flujo del estudio en la figura 4. Una parte importante del estudioes definir el tipo de distribuciones que se utilizaran para cada una de las variables. Parala resistencia del concreto (f Õ

c

) las simulaciones se realizaran con una distribución normaltruncada entre 30 y 70 MPa, esto para que el estudio solo abarque los concretos de usoestructural. Ademas, que información encontrada en la literatura dice que es una variable

10

con este tipo de distribución. De la misma manera, para la deformación asociada al esfuerzomáximo (ÁÕ

c

) se utilizara una distribución normal truncada del 8 %5 al 115 %, y para lasdemás variables (r, n yfl) se tomara una distribución uniforme, debido a su naturaleza.

4.1.4. Etapa 4: Calcular el Momento Nominal Resistente

Una vez que se tengan los resultados de las simulaciones con el método de Monte Carlo seprocederá a estimar el momento nominal resistente de una columna (M

n

). Se pretende realizael estudio en base a 1000 simulaciones, de los resultados de estas simulaciones se tomaran lospercentiles 10, 50 y 90, algo parecido a lo que hicieron Cem & Musfata (2012) en su estudio.En el calculo del M

n

se tendrán en cuenta las propiedades mecánicas del concreto sin confinar,estimadas de acuerdo a los estudios anteriores, el incremento de f

Õc

en el concreto debido alconfinamiento, ya que se observa que es uno de los factores mas importantes para la ductilidaden una columna, y la aportación al incremento en el M

n

del acero de refuerzo longitudinal.

4.2. ResultadosDe los resultados obtenidos al momento, los cuales son el estudio completo para 5 de las

regiones propuestas, en la etapa 1 se observó un comportamiento adecuado de los especímenescomo se puede analizar en la figura 5, obteniendo la rama descendente de la gráfica f

c

≠Á

c

delos concretos para la mayoría de los casos, con lo cual se procede a aproximar un valor parael parámetro “r”. Esto se estimará para cada uno de los ensayes realizados en el laboratorio,posteriormente a la aproximación se calculará el coeficiente de variación de este parámetrodel mismo modo como se hizo con el f

Õc

.

Utilizando la norma NMX-128 (1997) se calcula el módulo elástico del concreto, calcu-lando la pendiente y promediando los tres especímenes, E

c≠1 = 290, 145 kg/cm

2, E

c≠2 =286, 100 kg/cm

2 y E

c≠3 = 271, 631 kg/cm

2, obteniendo como módulo E

c

= 282, 625 kg/cm

2,de la misma manera se realiza para todos los especimenes y para los demás parámetros de lacurva f

c

≠ Á

c

. Los resultados de los ensayes para los concretos clase I del D.F se muestranen la tabla 1, para concretos clase II en la tabla 2 y para el resto del país en la tabla 3.

Para decidir la expresión que será utilizada durante las simulaciones, se comparan los re-sultados obtenidos de los ensayes contra las expresiones del ACI-318 (2014), ecuación (18),ACI-363 (1992), ecuación (11), de las NTC-DF (2004), ecuación(14) y la propuesta por Se-guirant & Gallt (2003), ecuación (13). La tendencia de las gráficas comparadas sugiere queel comportamiento del concreto queda representado de mejor manera utilizando la propuestapor ACI-363 (1992), ecuación (11), para mayor detalle ver figura 5, se están realizando losensayes en laboratorio para el resto de las regiones del país para generalizar esto.

Obtenidas las gráficas f

c

≠ Á

c

para los ensayes se aproxima el parámetro “r” para cadauna de los ensayes utilizando el modelo propuesto por Mander et al. (1988), calculando losparámetros “x”, “y” y “n” y despejando “r” mediante iteraciones. La figura 6 muestra losresultados, en el eje de las abscisas los valores de “r” y en el de las ordenadas el esfuerzomáximo (f Õ

c

).

11

Figura 5: Comparaciones E

c

medido vs Expresienes en la literatura

Figura 6: Aproximaciones para “r”

12

Analizando la figura 6 no se observa una tendencia para los resultados, lo cual dice que seránnecesarios más estudios para aproximar el parámetro “r”, Sin embargo, con estos valoreses posible calcular un coeficiente de variación con un error aceptable para proceder con lasimulaciones de Monte Carlo.

Los resultados de los ensayes mostraron que la deformación unitaria asociada al esfuerzomáximo Á

Õc

ronda entre , ver figura 7, se puede aproximar mediante una ecuación lineal.Revisando en la literatura se encontró la propuesta de Chen et al. (2013). En la figura 8se comparan los resultados medidos contra la expresión propuesta por Chen et al. (2013),ecuación (17), donde se observa un alto nivel de aproximación para los concretos de clase Iy regiones del país, por lo cual se justifica el uso de esta expresión en las simulaciones.

Figura 7: Deformaciones Á

Õc

vs f

Õc

De acuerdo a los f

Õc

observados de los ensayes, los cuales se muestran en las tablas 1-3, seestimaron los coeficientes de variación para f

Õc

=0.413, n=0.062 y r=0.93, lo cual dice que esposible comenzar con las simulaciones de Monte Carlo.

Para definir la deformación última deformación del concreto (Ácu

) se asoció la deformación Á

c

al 0.85f

Õc

, esto debido a que la captura de datos de los aparatos existentes para la mediciónde deformaciones unitarias existentes, como lo son los anillos, tienen una lectura un tantolenta para la velocidad con la que se produce la rama descendente de la gráfica f

c

≠ Á

c

, y seobservó que en la mayoría de los ensayes la ultima lectura se encontraba un poco por debajodel 0.85f

Õc

realizando de esta manera la estimación de la deformación última del concreto unpoco mas simple, así como observó en el estudio de Mander et al. (1988).

De la figura 9 se puede realizar una estamiación rápida de que la Á

cu

de los concretos del paísde México se encuentra entre los valores de 0.0025 a 0.009 para los concretos de uso estructural

13

Figura 8: Comparaciones Á

Õc

medido vs Expresión Chen et. al.

(clase I) y las regiones del país. Mientras que para los concretos clase II la deformacion Á

cu

oscila entre los valores de 0.003 a 0.005.Para el parámetro “n” definido mediante la ecuación (2) se observa, en la figura 10, una

disminución proporcional al aumento de resistencia del concreto (f Õc

), lo cual indica que paraeste parámetro se tiene un valor predecible indicando la resistencia del concreto a útilizar.

14

Figura 9: Deformación Última del Concreto vs f

Õc

Figura 10: Parámetro n Utilizado para Describir la Gráfica Esfuerzo Deformación del Con-creto

15

Tabla 1: Concretos D.F. Clase I

Muestra f

Õc

E

c

(kg/cm

2) Á

Õc

Á

cu

Grava (kg/dcm

3) Arena (kg/dcm

3)DF4-150-1 175 266882 0.00169 0.00293 2.67 2.62DF2-200-1 218 259657 0.00216 0.00329 2.67 2.62DF6-200-1 243 289683 0.00206 0.00312 2.67 2.62DF1-250-1 305 299453 0.00214 0.00311 2.64 2.38DF3-250-1 319 320608 0.00196 0.00376 2.32 2.32DF9-250-1 345 281246 0.00252 0.00312 2.67 2.62DF6-300-1 348 310829 0.00235 0.00337 2.67 2.62DF1-350-1 352 296567 0.00208 0.00393 2.64 2.38DF1-300-1 364 278866 0.00246 0.00358 2.64 2.38DF5-300-1 383 288746 0.00238 0.00368 2.67 2.62DF1-400-1 384 277029 0.00212 0.00474 2.64 2.38DF7-300-1 393 180560 0.00359 0.00536 2.64 2.38DF4-300-1 397 302209 0.00258 0.00387 2.67 2.62DF2-300-1 399 321653 0.00193 0.00258 2.32 2.32DF2-350-1 410 286320 0.00245 0.00366 2.64 2.38DF5-350-1 450 189167 0.00358 0.00447 2.64 2.38DF4-350-1 452 196876 0.00358 0.00407 2.64 2.38DF6-400-1 485 335748 0.00228 0.00298 2.32 2.32DF4-400-1 586 327419 0.00275 0.00335 2.67 2.62DF3-400-1 601 343294 0.00261 0.01359 2.67 2.62DF2-500-1 620 317267 0.00271 0.00283 2.64 2.38DF5-400-1 625 324873 0.00254 0.00298 2.67 2.62DF2-400-1 630 337279 0.00286 0.00388 2.67 2.62DF1-500-1 682 334001 0.00272 0.00334 2.64 2.38DF1-600-1 707 389331 0.00256 0.00265 2.67 2.62DF2-600-1 724 309328 0.00311 0.00844 2.64 2.38DF1-700-1 725 393007 0.00231 0.00248 2.67 2.62DF3-700-1 736 298214 0.00320 0.00710 2.64 2.38DF3-600-1 737 300598 0.00334 0.00510 2.64 2.38DF2-700-1 738 304238 0.00317 0.00461 2.64 2.38DF3-500-1 812 367210 0.00279 0.00370 2.41 2.41DF4-700-1 821 336537 0.00326 0.00930 2.44 2.44DF4-600-1 877 336872 0.00331 0.00414 2.46 2.46

16

Tabla 2: Concretos D.F. Clase II

Muestra f

Õc

E

c

(kg/cm

2) Á

Õc

Á

cu

Grava (kg/dcm

3) Arena (kg/dcm

3)DF5-150-1 164 160693 0.00235 0.00445 2.36 2.38DF3-150-1 168 157954 0.00252 0.00441 2.42 2.45DF1-200-1 233 168855 0.00295 0.00378 2.36 2.38DF2-250-1 242 159234 0.00312 0.00373 2.36 2.38DF5-200-1 254 180731 0.00303 0.00379 2.42 2.45DF4-200-1 259 174962 0.00314 0.00423 2.42 2.45DF2-150-1 265 177561 0.00294 0.00415 2.18 2.18DF3-200-1 267 172553 0.00313 0.00402 2.42 2.45DF7-250-1 280 176233 0.00333 0.00413 2.42 2.45DF5-250-1 283 167085 0.00324 0.00351 2.42 2.45DF1-150-1 298 195024 0.00248 0.00335 2.45 2.38DF6-250-1 302 167961 0.00349 0.00493 2.42 2.45DF8-250-1 314 174356 0.00336 0.00471 2.42 2.45DF4-250-1 385 191402 0.00338 0.00405 2.18 2.18DF3-300-1 479 188118 0.00372 0.00479 2.20 2.20DF3-350-1 551 193080 0.00371 0.00373 2.20 2.20

Tabla 3: Concretos Resto del País

Muestra f

Õc

E

c

(kg/cm

2) Á

Õc

Á

cu

Grava (kg/dcm

3) Arena (kg/dcm

3)TJ1-150-1 147 218718 0.00138 0.00348 2.45 2.60CL1-150-1 189 271988 0.00147 0.00301 2.60 2.75MT1-150-1 196 335590 0.00121 0.00243 2.67 2.67GD1-200-1 222 203567 0.00284 0.00361 2.69 2.28CL1-200-1 223 263887 0.00185 0.00265 2.67 2.62MT1-200-1 246 366013 0.00145 0.00246 2.67 2.67CL1-250-1 277 296077 0.00168 0.00248 2.60 2.75MT1-250-1 280 336998 0.00166 0.00234 2.67 2.67TJ1-250-1 285 254297 0.00238 0.00364 2.45 2.60GD1-250-1 286 219469 0.00288 0.00387 2.69 2.69GD2-250-1 301 240196 0.00241 0.00314 2.69 2.69MT1-350-1 355 372031 0.00158 0.00356 2.67 2.67MT1-300-1 388 414002 0.00157 0.00229 2.67 2.67TJ1-200-1 441 345715 0.00230 0.00396 2.67 2.64GD1-500-1 468 324825 0.00215 0.00269 2.69 2.69MT1-400-1 531 430164 0.00172 0.00291 2.67 2.67GD1-600-1 570 319182 0.00246 0.00325 2.69 2.69MT1-500-1 683 334200 0.00245 0.00438 2.67 2.67MT1-600-1 883 362868 0.00299 0.00542 2.67 2.67

17

5. ConclusionesLos estudios se enfocan a los concretos de uso estructural (Clase I), debido a que existemás información en la literatura y tienen una importancia significativamente mayorsobre los concretos de uso no estructurales.

Se seguirán ensayando cilindros de las regiones faltantes para completar el objetivoprincipal del estudio, añadiendo día con día los resultados a la base de datos.

La ecuación propuesta por el ACI-363 (1992) arrojó una buena aproximación para elcálculo del modulo elástico de los concretos del país de México. Por lo tanto será lautilizada en las simulaciones posteriores.

Utilizando la ecuación propuesta por Chen et al. (2013) se observó un alto nivel deaproximación con los resultados obtenidos en base a los ensayes de laboratorio, demanera que será la ecuación a utilizar en las simulaciones de Monte Carlo.

Observando los resultados para el parámetro “r”, se necesitara realizar un ajuste decurva más complejo para reducir la incertidumbre en la predicción de este parámetropara distintos f

Õc

.

Se concluye que es posible realizar una simulación preliminar para observar la tendenciaque tendrán las gráficas para el cálculo del M

n

y observar como se comportan los valoressimulados hasta el momento.

18

ReferenciasACI-318 (2014). Building Code Requeriment for Reinforced Concrete. American Concrete

Institue Committee.

ACI-363 (1992). Report on High-Strength Concrete. American Concrete Institue Committee363.

ASTM-469 (2002). Standard Test Method for Static Modulus of Elasticity and Poisson’s Ratioof Concrete in Compression. American Society for Testing Materials.

B. de Nicolo, L. P. & Pozzo, E. (1994). Strain of concrete at peak compressive stress for awide range of compressive strengths. Mater. Struct 27, (pp. pp. 206–210).

Cem, A. & Musfata, Z. (2012). Uncertainty analisis of flexural overstrength ratio for rccolumns. Journal of structural engineering, ASCE, 138, 1042–1053.

Chen, Y., Visintin, D. J., & Alengaram, U. J. (2013). Size-dependent stress-strain model forunconfined concrete. Structural Engineering, ASCE, 14(5), 11.

Mander, J. B., Priestley, M. J., & Park, R. (1988). Theoretical stress-strain model for confinedconcrete. Fellow, ASCE.

Mendoza, C. J. (1985). Propiedades mecánicas de los concretos fabricados en el distritofederal. Instituto de Ingenieria UNAM.

NMX-128 (1997). Determinación del Módulo de Elasticidad Estático y Relación de Poisson.Organismo Nacional de Normalización y Certificación de la Construcción y Edificación,S.C.

NTC-DF (2004). Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de: Es-tructuras de Concreto, volume 1. Gobierno del Distrito Federal.

Restrepo, J. I. & Rodriguez, M. E. (2013). On the probable moment strength of reinforcedconcrete columns. ACI Structural Journal.

Seguirant, S. J. & Gallt, J. G. (2003). Prestress losses in pretensioned high-strength concretebridge girders. NCHRP-496.

Torres Matos, M. A., Rodriguez, M. E., Restrepo, J. I., & Vázquez Díaz, E. (2013). Re-sistencia a la flexión y capacidad de deformación de columnas para puentes de concretopresforzado en zonas sísmicas. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica.

19