I. RESUMEN: 

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las

propiedades de los conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales

son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para

construir el resto de objetos y estructuras de interés en

matemáticas: números, funciones, figuras geométricas; y junto con

la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que

comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda

mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e

influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría

cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos

de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios

del siglo XX.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del

lenguaje matemático en ella ayudaremos que los niños puedan agrupar objetos de

su entorno y puedan llegar a resolver problemas con conjuntos.

III.ORGANIZADOR DE IDEAS:

CONJUNTO VACIO O NULO

DOS CONJUNTOS IGUALES DOS CONJUNTOS DESIGUALES

CONJUNTO UNIVERSAL CONJUNTO EQUIVALENTE

CONJUNTO FINITO

IV.FUNDAMENTACIÓN:

Un conjunto es la reunión, grupo de elementos u objetos bien definidos y diferenciables

entre sí, que se llaman elementos del mismo y de los cuales se puede afirmar con certeza

si pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras

mayúsculas.

Cuando un elemento “x” pertenece a un conjunto “A” se expresa de forma

simbólica como: x ∈ A

En el caso de que un elemento “y” no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza

la notación: y ∉ A

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por extensión o enumeración:

Los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el

conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión:

Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.

En este caso se emplea el símbolo “/” que significa “tal que". En forma simbólica es:

A = {x P(x) }= {x1, x2, x,3, ⋅⋅⋅ ,xn }

3) Diagramas de Venn:

Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las

relaciones entre conjuntos.

TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTOS

4) Por descripción verbal:

Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se

denota por medio de los símbolos η o #.

De los conjuntos anteriores: η (V) = 5, η(F ) = 3 , η(P) = 9 y η(S ) = 2

• Un conjunto vacío o nulo:

Es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto

vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

• Un conjunto universal

Es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U.

Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

• Un conjunto finito:

Es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

• Un conjunto infinito:

Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no

está definida.

• Dos conjuntos son iguales:

Si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.

• Dos conjuntos son desiguales:

Si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los

mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

• Dos conjuntos son equivalentes:

Si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma

cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.

Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o

biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada

elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren

elementos en ningún conjunto.

• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los

elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B.

Esto es: A∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}

• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también

pertenecen a B y se denota como A∩ B.

Esto es: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}

• El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de

todos los elementos de U que no están en A y se denota como A´.

Esto es: A´ = {x ∈U x∉ A}

• La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B.

Esto es: A − B = {x / x ∈ A y x ∉ B}

Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:

A − B = A ∩ 'B

A − B = φ, sí y sólo sí : A ⊂ B

A − B = B − ,A sí y sólo sí : A = B

A − B = ,A sí y sólo sí : A∩ B = φ

OPERACIONES CON CONJUNTOS

(A − B) ⊂ A

A − φ = A

A − B = B'−A'

Sean los conjuntos, A, B, C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las

operaciones con esos conjuntos son las siguientes:

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

Idempotencia A  A = A A  A = A

Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

Identidad A∪ φ = A / A∪U = U A∩U = A / A∩φ = φ

Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )

 ( A  C )

A  ( B  C ) = ( A  B )

 ( A  C )

Complementariedad A  A' = U A  A' = 

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de

sus complementos.

(A ∪ B)' = 'A ∩ 'B

Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de

sus complementos:

(A ∩ B)' = 'A ∪ 'B

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

LEYES DE D´MORGAN

PRODUCTO CARTESIANNO DE DOS CONJUNTOS Y

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas

ordenadas:

Dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su

posición, es decir, primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el

otro y luego el uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la

inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir

dentro de un paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda

componente, por ejemplo:

(y, x) es la pareja ordenada, en donde “x” es la primera componente y “y” es la

segunda componente.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares

ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que

pertenezca a A, y como segunda componente a un elemento que pertenezca a B.

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A× B y se lee “A cruz B”.

A× B = {(y, x) x∈ A y y ∈ B }

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B, son la

parejas ordenadas (y, x) tal que “x” pertenece al conjunto A y “y” pertenece al conjunto B.

Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de

todas las parejas ordenadas de números reales, que corresponden en sí al producto

cartesiano R x R.

Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten

perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro

regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical

como eje y.

V.JUICIO CRÍTICO:

La teoría de conjuntos nos ayuda a simplificar los problemas, a poder resolver los

problemas de conjuntos por medio del grafico de Venn Euler , también por

extensión y por comprensión y por ultimo con las Leyes D”Morgan. La teoría de

conjuntos tiene tipo de conjuntos y propiedades de conjuntos en los cuales

tenemos que aplicar de acuerdo al tipo de problemas que se nos presente, gracias

a la teoría de conjuntos podemos aplicar de manera segura las propiedades y

resolver de diferentes formas nuestros problemas para llegar a un resultado, el

cual aveces es cuestionado ya que aún esta teoría de conjuntos es mucho mas

compleja.

VI.CONCLUSIONES

Un conjunto es la reunión, grupo de elementos u objetos bien definidos y

diferenciables entre sí.

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar

objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de

cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara,

parcelas, campesinado, familia, etc.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se

da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de

colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se

consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

VII. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Becerra Espinoza, J. M. (s.f.). Teoria de Conjuntos.

VIII.ANEXOS