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DIFRACCIÓN DE LA LUZ

Alumno: Oliver Jesús Espinosa Olvera

Asesor: Dra. Amparo Rodríguez Cobos

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Índice Introducción ----------------------------------------------------------------- 3

1. Teoría ----------------------------------------------------------------------- 4

1.1 Difracción ----------------------------------------------------------- 4

1.2 Principio de Huygens - Fresnel---------------------------------- 4

1.3 Difracción de Fraunhofer y Fresnel ---------------------------- 5

1.4 Rendija rectangular------------------------------------------------ 6

1.5 Abertura circular----------------------------------------------------7

1.6 Red de difracción--------------------------------------------------- 8

2. Experimentos -------------------------------------------------------------- 9

2.1 Patrón de difracción de una rendija rectangular ------------ 9

2.2 Difracción de campo lejano -------------------------------------- 12

2.3 Redes difractoras -------------------------------------------------- 13

3. Referencias ----------------------------------------------------------------- 14

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Introducción En esta práctica se estudiaron los patrones de difracción formados por la luz al incidir a diferentes

obstáculos. Se estudiaron los diferentes tipos de difracción, y se encontraron experimentalmente los

parámetros significativos de la difracción. Para lograr esto se utilizaron diversos materiales y

componentes ópticos proporcionados en el laboratorio de óptica aplicada.

Figura 1 - Efecto cuando la luz toca el borde del círculo central de un disco CD. [4]

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1. TEORÍA 1.1 DIFRACCIÓN [1].

El efecto de la difracción, es una característica general de los fenómenos ondulatorios que ocurren donde

quiera que una parte de un frente de onda ya sea sonido, onda material o luz, esté obstruida de alguna

manera. Si al encontrar un obstáculo transparente u opaco se altera la amplitud o la fase de una región

del frente de onda, esto producirá difracción. Los varios segmentos del frente de onda que se propagan

más allá del obstáculo interfieren, produciendo aquella distribución de densidad de energía particular

denominada figura de difracción.

1.2 PRINCIPIO DE HUYGENS – FRESNEL [1].

Para aproximarnos al problema, consideremos el principio de Huygens – Fresnel, que establece:

“Cada punto sin obstrucción de un frente de onda, en un instante de tiempo determinado, sirve como fuente de trenes de onda secundarios esféricos (de la misma frecuencia que la onda primaria). La amplitud del campo óptico en cualquier punto más allá es la superposición de todos estos trenes de onda (considerando sus amplitudes y fases relativas).”

Aplicando estas ideas en el nivel cualitativo más simple, nos referiremos a las fotografías del tanque de

ondas de la figura 2 y a la ilustración de la figura 3.

a) b) c)

Figura 2 - Difracción por una abertura con λ variable. a) λ < AB solamente directamente frente a la

abertura, las ondas secundarias interfieren constructivamente. c) λ > AB las ondas interfieren

constructivamente. [1]

Figura 3 – Difracción en una abertura pequeña. [1]

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Si cada punto despejado de la onda plana incidente actúa como fuente secundaria coherente, la máxima

diferencia en las longitudes de camino óptico entre ellas será Λmax = |AP – BP |, correspondiendo a una

fuente puntual en cada borde de la abertura. Pero Λmax, es menor o igual a AB cuando P se encuentra en

la pantalla. Cuando λ> AB (como en la figura 3), se deduce que λ> Λmax y puesto que las ondas estaban

inicialmente en fase, interfieren todas ellas constructivamente (en grado variable) donde quiera que esté

(como en la figura 2c). Por lo tanto, si la longitud de onda es mayor que la abertura, las ondas se extenderán según ángulos grandes en la región más allá de la obstrucción. Cuanto más pequeña sea la

abertura, más circulares serán las ondas difractadas.

La situación antitética ocurre cuando λ<AB (como en la figura 2a). Ahora, el área donde λ> Λmax se limita

a una pequeña región que se extiende hacia afuera directamente frente a la abertura, siendo solamente

ahí donde todas las ondas secundarias interferirán constructivamente. Fuera de esta zona, algunas ondas

secundarias pueden interferir negativamente, comenzando así la «sombra». Recordemos que la sombra

geométrica ideal corresponde a λ 0.

1.3 DIFRACCIÓN DE FRAUNHOUFER Y FRESNEL [1].

Imaginemos que tenemos una pantalla opaca, que

contiene una sola abertura pequeña iluminada por

ondas planas de una fuente puntual. El plano de

observación es una pantalla paralela y muy cerna a la

pantalla opaca. Bajo estas condiciones, se proyecta

sobre la pantalla una imagen de la abertura que es

claramente reconocible a pesar de unas pequeñas

franjas que se ven alrededor de su periferia. Según el

plano de observación va alejándose de la pantalla

opaca, la imagen de la abertura va adquiriendo más

estructura, mientras que las franjas se vuelven más

prominentes. Este fenómeno se denomina Difracción

de Fresnel o de campo cercano (Figura 4). Si se va

alejando aún más el plano de observación, se

producirá un cambio continuo en las franjas. A una

gran distancia de la pantalla opaca, la distribución

proyectada se habrá extendido considerablemente,

teniendo muy poco o nada de parecido con la

abertura real. De ahí en adelante, el movimiento de la

pantalla cambia esencialmente, sólo el tamaño de la

distribución y no su forma. A este fenómeno se le

conoce como Difracción de Fraunhofer o de campo

lejano (Figura 4).

Figura 4 - Una sucesión de distribuciones de

difracción a distancias crecientes de una rendija

única; Fresnel abajo (cercano) desplazándose

hacia Fraunhofer arriba (lejos). [1]

Si en ese punto pudiéramos reducir

suficientemente la longitud de onda de la radiación

incidente, el patrón volvería al caso de Fresnel. Si λ

se disminuyera aún más, de tal forma que se

acercara a cero, las franjeas desaparecerían,

mientras que la imagen adquiriría la forma

limitadora de la abertura.

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Volviendo a la disposición original, si se desplazara ahora la fuente puntual hacia la pantalla opaca, las

ondas esféricas incidirían en la abertura, dando lugar así a una distribución de Frensel, incluso en un

plano de observación distante.

Ahora consideremos una fuente puntual S y un punto de observación P, donde ambos estén muy lejos de

la pantalla opaca. Siempre que la onda incidente y la emitida sean planas en la extensión de las aberturas difractoras (u obstáculos), se obtiene la difracción de Fraunhofer. Por otro lado, cuando S o P están muy

cercas de la pantalla opaca, como para poder considerar despreciable la curvatura de los frentes de onda

de incidencia y de emisión, prevalece la difracción de Fresnel.

Por regla empírica, la difracción de Fraunhofer se producirá en una abertura (u obstáculo) con largo

máximo “a” cuando:

R > (a2 / λ) (1.1)

Donde R es la distancia más pequeña de las dos que van de S hasta la pantalla, y de la pantalla hasta P.

Asimismo, un aumento de λ desplaza claramente el fenómeno hacia el extremo de Fraunhofer.

Caso contrario, la difracción de Fresnel se producirá cuando:

R < (a2 / λ) (1.2)

1.4 LA RENDIJA RECTANGULAR [1].

Consideremos un haz de luz monocromática de longitud de onda λ que en su propagación encuentra

perpendicularmente una rendija estrecha de anchura “a” (Figura 5). De acuerdo con el principio de

Huygens, cada punto de la rendija se convierte en un emisor de ondas secundarias. Puesto que por

hipótesis el haz incidente es plano y la rendija se encuentra perpendicular a él, todas estas ondas

secundarias se encuentran en fase. Y si recogemos sobre una pantalla lejana la radiación procedente de

todos estos focos emisores, encontraremos una distribución de intensidad donde cada punto de la

pantalla estará más o menos iluminado dependiendo de las fases de las ondas secundarias que alcanzan

el punto dado; fases secundarias haya tenido que recorrer para llegar allí. Aparecerán máximos y

mínimos en la pantalla, y puntos con una intensidad intermedia, que constituyen el patrón de difracción

de la rendija.

Figura 5 – Esquema de difracción de un haz plano por una rendija estrecha. [1]

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Consideremos el esquema de la figura 5. En el centro de la pantalla (punto O) aparecerá un máximo de

intensidad, porque todos los focos secundarios que forman la rendija son equidistantes y las ondas

secundarias que originan llegan en fase. A medida que nos alejamos de ese punto central, hacia un lado y

otro hay desfases en las ondas secundarias que alcanzan cada punto y en consecuencia aparecen

variaciones en la intensidad, Consideremos seguidamente el rayo que forma un ángulo θ con la dirección

perpendicular a la rendija y la pantalla, cuya trayectoria es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos

catetos son L y Y. Llamando Io a la intensidad del máximo central, si la rendija está lo suficientemente

lejos de la pantalla y la distancia de la abertura es pequeña comparada con D, puede demostrarse que la

intensidad de la luz difractada según la dirección dada por el ángulo θ es:

I = I(0) [( sen β)

(𝛽)]

2

(1.3)

Donde β está dado por:

𝛽 = 𝜋 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝜆 (1.4)

Siendo el valor de β, un múltiplo entero de π, en cada mínimo del patrón formado.

1.5 LA ABERTURA CIRCULAR [1].

Imaginemos que ondas planas inciden en una pantalla Ʃ que contiene una abertura circular. Se forma

entonces una distribución de campo lejano extendido en una pantalla de observación distante σ. Para una

abertura circular, la simetría sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la abertura

como en el plano de observación. Debido a la misma simetría, en la pantalla se forma un patrón de anillos

conocidos como Anillos de Airy (Figura 6). Este patrón tiene la forma de una función de Bessel de orden

1, y su irradiancia está dada por:

I (θ) = I(0) [(2 J1 k a sen θ)

(𝑘 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃)]

2

(1.5)

Donde a es el radio de la abertura circular y θ es el ángulo entre la normal y Ʃ. El radio r1 del primer

anillo oscuro está dado por:

𝑟1 = 0.61 (𝐿 𝜆

𝑎) (1.6)

Figura 6 – Anillos de Airy producidos por la difracción de la luz al pasar por una abertura circular. [2]

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1.6 RED DE DIFRACCIÓN [1]

Una red de difracción, es un conjunto repetitivo de elementos difractores de una onda emergente, bien

sean aberturas u obstáculos, que tienen el efecto de producir alteraciones periódicas en la fase, amplitud,

o ambas. Uno de los más simples de tales conjuntos, es la configuración de rendijas múltiples.

Figura 7 – Geometría de rendijas múltiples. El punto P se halla a una distancia infinita de la pantalla Ʃ. [1]

Consideremos el caso de N rendijas estrechas, largas y paralelas, cada una de ancho “b” y una separación

“a” de centro a centro (Figura 7). La distancia “a” es también conocida como el periodo de la red.

La distancia del centro del conjunto hasta el punto P es igual a [R – (N – 1)(a/2)sen θ] y, por consiguiente,

la fase de E en P corresponde a la de una onda emitida desde el punto medio de la fuente. La función de

densidad de flujo es:

𝐼(𝜃) = 𝐼0(𝑆𝑒𝑛 𝛽

𝛽) 2 (

𝑆𝑒𝑛 𝑁𝛼

𝑆𝑒𝑛 𝛼) 2 (1.7)

Donde I0 es la densidad de flujo en la dirección θ=0 emitida por cualquiera de las rendijas y que

I(0) = N2 I0. Dicho de otro modo, las ondas que llegan a P en la dirección hacia adelante están todas en

fase, y sus campos se suman constructivamente. Cada rendija por si misma engendraría precisamente la

misma distribución de densidad de flujo. Superpuestas, las distintas contribuciones dan como resultado

un sistema de interferencia de ondas múltiples, modulado por la envolvente de difracción de rendija

única. Si el ancho de cada abertura se disminuyera hasta cero, la ecuación 1.7 se convertiría en la ecuación

de densidad de flujo para una disposición coherente y linear de osciladores. Los máximos principales se

dan cuando (Sen Nα/ Sen α) = N, o de manera equivalente, dado que α= (ka/2) Sen θ

𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑚 = 𝑚 𝜆 (1.8)

Donde m es el m-ésimo orden difractado por la rejilla, “a” el periodo, y λ la longitud de onda.

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2. EXPERIMENTOS 2.1 PATRON DE DIFRACCIÓN DE UNA RENDIJA RECTANGULAR

2.1.1 ARREGLO EXPERIMENTAL

Se colocó el arreglo óptico de la figura 8.

Figura 8 - Esquema del arreglo utilizado para el experimento. [3]

El dispositivo laser utilizado fue un He-Ne Multilineal Sintonizable. Se colocó una densidad óptica para

reducir la potencia del haz, sobre un vástago atornillado a la mesa.

2.1.2 PROCEDIMIENTO

Se hizo incidir el haz en un vidrio opaco, con una la abertura rectangular transparente, y se observó el

patrón de difracción formado, en la pantalla. Después se giró el vidrio, de manera que la abertura quedara

horizontal, y se observó el patrón de difracción formado. Se colocó un vernier en vez del vidrio

(Figura 9) y se cerró de manera que la separación se asemejara a una rendija, y se observó el patrón de

difracción formado.

Figura 9 – Haz siendo difractado debido a la abertura del vernier. [3]

Se quitó el vernier y se colocó un soporte con una fibra óptica. Se hizo incidir el haz en la fibra, y se observó

el patrón de difracción formado. Se hizo lo mismo cambiando la fibra óptica por un cabello. Se cambió la

longitud de onda del haz, y se obtuvieron los respectivos resultados en el patrón de difracción.

ESPEJO ESPEJO

Objeto Difractor LÁSER He-Ne MULTILINEAL SINSONIZABLE

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Estos experimentos son considerados como difracción de campo cercano, por lo que después colocamos

una lente entre la salida del haz y la rendija de difracción, y otra entre la rejilla y la pantalla, para lograr

el campo lejano y ondas planas, y observar la difracción de campo lejano. Esto se ilustra en la figura 10.

Figura 10 – Difracción de campo lejano debido a 2 lentes. [3]

El foco de las lentes eran de 5.3 cm, por lo que colocamos la primera a 5.3 cm del 2do espejo donde incidía

el haz. La 2da lente fue colocada a 5.3 cm de la rejilla, y la pantalla fue colocada a 5.3 cm de la 2da lente.

De esa manera transformamos la difracción de campo cercano en difracción de campo lejano.

2.1.3 RESULTADOS

Usando las formulas 1.3 y 1.4 encontramos los anchos de diferentes objetos difractores. Se utilizaron

diferentes longitudes de onda, y se observaron los distintos patrones formados (Figura 10, 11, y 12).

Objeto difractor Distancia a la pantalla [m]

Separación del centro al primer

máximo [m]

Longitud de onda [nm]

Ancho de la rendija [μm]

Rendija .3 0.0095 Rojo - 640 19 Vernier 2.26 0.015 Rojo - 640 95

Fibra 2.17 0.013 Rojo - 640 105 Fibra 2.17 0.011 Verde – 514 101.4

Cabello 2.17 0.012 Verde - 514 93 Cabello 2.17 0.015 Naranja - 585 91

Tabla 1 – Parámetros utilizados, y resultados obtenidos en el experimento. [3]

También se hizo incidir luz blanca, y en el patrón de difracción observado fueron las diferentes longitudes

de onda que componen a la luz blanca.

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Figura 11 – Patrón observado con luz naranja Figura 12 – Patrón observado con luz verde

en difracción de campo cercano. [3] en difracción de campo cercano. [3]

Figura 13 – Patrón observado con luz roja.

en difracción de campo cercano. [3]

En el caso de la difracción de campo lejano, con las lentes, el patrón observado era muy pequeño. Tan

pequeño que fue experimentalmente imposible medir las distancias entre máximos y mínimos con los

instrumentos proporcionados.

2.1.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Se observó que entre más pequeña sea la abertura, más grande es la separación entre máximos y mínimos

en el patrón formado. También se observó que los máximos y mínimos de las longitudes de onda más

pequeñas, se separan menos.

2.1.5 CONCLUSIÓN

El patrón de difracción se observa con una rotación de 90° grados respecto a la posición de la rendija, es

decir, si la rendija es vertical, el patrón es horizontal, y viceversa.

Entre menor sea la longitud de onda, menor es la difracción.

El tamaño de la abertura es inversamente proporcional a la separación de los máximos y mininos.

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2.2 DIFRACCIÓN DE CAMPO LEJANO

2.2.1 ARREGLO EXPERIMENTAL

Se colocó el arreglo óptico de la figura 13.

Figura 17 – El haz polarizado incide en la placa, y esta se rota. [3]

Figura 14 – Esquema del arreglo utilizado para el experimento. [3]

Al final de la mesa se colocó una pantalla para observar el patrón de difracción.

2.2.2 PROCEDIMIENTO

Se hizo incidir el haz en la abertura circular, que se encontraba exactamente nivelada, y se observó el

patrón de difracción formado en la pantalla. Dicho patrón fue el de los Anillos de Airy (figura 6 y 14).

2.2.3 RESULTADOS

Con la fórmula 1.6 se calculó el radio de la abertura. La distancia de la abertura a la pantalla fue de 1.073

m, la longitud de onda fue de 640 nm, y la medida del centro al primer anillo oscuro fue de 2.5 cm.

Con esto encontramos que la abertura tiene una medida del orden de 33 μm.

2.2.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Se calcularon los datos, con la distancia al primer anillo, debido a la simplicidad de las ecuaciones para

encontrar el dato deseado. Se hubiese podido calcular con los demás, cambiando la fórmula utilizada,

para hacerla funcionar con el anillo deseado.

Figura 15 – Patrón de difracción observado. [3]

2.2.5 CONCLUSIÓN

Este experimento también se considera como difracción de campo lejano, debido a que el cuadrado de la

abertura es más pequeño que el producto de la distancia a la pantalla por la longitud de onda.

MICROABERTURA ESPEJO

PANTALLA LÁSER He-Ne MULTILINEAL SINSONIZABLE

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2.3 REDES DIFRACTORAS.

2.3.1 ARREGLO EXPERIMENTAL

Se utilizó el mismo arreglo experimental que el mostrado en la figura 8, pero reemplazando la micro

abertura por una rejilla de difracción.

2.3.2 PROCEDIMIENTO

Hicimos incidir el haz en la rejilla, para observar el patrón en una pantalla, y calcular su periodo en base

a la ecuación de la rejilla.

Cambiamos la longitud de onda del haz para observar los distintos patrones. Cambiamos la rejilla de

difracción por una pluma de ave, y después por un disco, para observar el patrón formado. Al final

cambiamos el disco por una media de nylon estirada, y observamos el patrón formado.

Se colocó una capa delgada de talco sobre un portaobjetos de microscopio y se empañó con el aliento.

Después se observó luz blanca a través del mismo portaobjetos.

2.3.3 RESULTADOS

Con la fórmula 1.8 se calcularon los periodos de distintas rejillas, con diferentes longitudes de onda.

Objeto difractor

Longitud de onda [nm]

Distancia a la pantalla [m]

Orden Distancia del centro al máximo [m]

Periodo [μm]

Rejilla 1 Morado - 458 2.54 1 .756 1.605 Rejilla 1 Verde - 514 2.54 1 .859 1.604 Rejilla 2 Rojo - 640 .1 1 .046 1.53 Rejilla 2 Rojo - 640 .1 2 .15 1.53 Pluma Rojo - 640 .2 1 .07 18.29 Disco Rojo - 640 .1 1 .045 1.56

Tabla 2 – Periodos encontrados para distintos tipos de rejillas. [3]

Para la media de nylon, no se tomaron medidas, pero se observó un patrón cuadriculado, a lo largo y a lo

ancho de la pantalla, similar a una matriz. Al estirar la media hacia los lados, el patrón aumentaba en

dirección vertical, y al estirar la media verticalmente, el patrón aumentaba de manera horizontal.

En el caso del portaobjetos con la capa de talco, se observó la luz puntal, rodeada de un halo de luz verde

y morada.

2.3.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Al cambiar la longitud de onda, no cambia el periodo, esto se debe a que el periodo sigue siendo el mismo

en la rejilla, no hay ningún cambio físico que lo afecte. El aumento o disminución en la longitud de onda,

se compensa con el aumento o disminución de distancia, en la separación de los puntos del patrón visto.

En el portaobjetos con talco, la luz que incidía en él era difractada por las pequeñas partículas de talco, lo

que hacía que la luz se separara en sus distintas longitudes de onda.

2.3.5 CONCLUSIÓN

Este tipo de difracción también se considera se campo lejano. Con cada periodo encontrado, al calcular el

inverso, se obtiene el número de rendijas por metro en cada rejilla, pluma, o disco.

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3. REFERENCIAS TEORÍA Y FIGURAS:

[1]: ÓPTICA – Eugene Hecht, 3ra edición, Pearson Addison-Wesley, 2000

[2]: http://es.wikipedia.org/wiki/Disco_de_Airy

[3]: Oliver Jesús Espinosa Olvera. Dominio Público.

[4]: http://forofotografiasalva.blogspot.mx/2012/04/difraccion.html

ECUACIONES:

ECUACIÓN 1: Condición para lograr la difracción de Fraunhofer.

ECUACIÓN 2: Condición para lograr la difracción de Fresnel.

ECUACIÓN 3: Intensidad de la luz difractada en difracción debido a una rendija.

ECUACIÓN 4: Valor de β en la ecuación de intensidad de la luz en difracción debido a una rendija.

ECUACIÓN 5: Irradiancia de la luz difractada en difracción debido a una micro abertura.

ECUACIÓN 6: Radio del primer anillo oscuro en el patrón de Airy.

ECUACIÓN 7: Densidad de flujo de luz difractada debido a una rejilla.

ECUACIÓN 8: Densidad de flujo para una disposición coherente y linear de osciladores.