Repaso de Matemáticas Presentado por J. Martínez 1.

Repaso de Matemáticas

Presentado por J. Martínez

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Cálculos matemáticos básicos

• Fraccionarios, decimales y porcentajes• Para expresar un fraccionario como decimal,

divide el numerador entre el denominador. El número resultante, el cociente, será el decimal equivalente del fraccionario. Para expresar un fraccionario como porcentaje, multiplica el cociente por 100%. Redondea el resultado al número correcto de dígitos significativos.

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Fraccionarios, decimales y porcentajes

Ejemplo: Expresa 59 como decimal y como porcentaje.

Estrategia:• Divide 33 entre 59, expresando el resultado

con dos dígitos significativos. • Multiplica el decimal por 100 para determinar

el porcentaje.Solución: 59 = 0.5593 = 0.56 0.56 X 100 = 56%

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Fraccionarios, decimales y porcentajes

Para expresar un porcentaje como decimal, escribe el porcentaje en forma de fraccionario, x/100 , y luego halla el cociente. Una forma sencilla de hacerlo es mover el punto decimal dos lugares a la izquierda y quitar el símbolo de porcentaje.

Ejemplo: Expresa 91.6% como decimal.Estrategia:• Mueve el punto decimal dos lugares a la

izquierda.Solución: 91.6% →0.916

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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error relativo

Siempre que midas una magnitud física, hay cierto grado de incertidumbre en la medición. El tipo de dispositivo de medición que elijas para medir, como las dos reglas que se muestran a continuación, y cuan cuidadosamente lo utilices, afecta la precisión y la exactitud.

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Regla de medir

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• La precisión de un resultado experimental puede expresarse como incertidumbre estimada. Examina los resultados experimentales reportados por los tres estudiantes. Cada estudiante midió la longitud de un bloque de madera. El resultado del estudiante 1 reportó una longitud de (18.8 ± 0.3) cm. La incertidumbre estimada en esa medida está representada por ± 0.3. Nota que cada estudiante reportó una incertidumbre estimada diferente. Lámina

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Lámina 1Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3

18.0

18.5

19.0

18.8 ± 0.3 cm 19.0 ± 0.2 cm 18.3 ± 0.1 cm 8


Los estudiantes también pudieron reportar cada resultado empleando la incertidumbre relativa.

incertidumbre relativa (%) = incertidumbre estimada x 100 medición real

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Con frecuencia, los datos experimentales se comparan con los valores aceptados. El error relativo es el porcentaje de desviación de un valor aceptado, es decir, la incertidumbre de una medida en términos de exactitud. El error relativo se calcula de acuerdo un la siguiente fórmula.

error relativo (%) = |valor aceptado — valor experimental| X 100 valor aceptado

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Ejemplo: Compara el error relativo y la incertidumbre relativa de las medidas de cada estudiante mostradas en la lámina 1. La longitud real del bloque de madera es 19 cm.

Estrategia:• Identifica el valor experimental y la incertidumbre

estimada medidos por cada estudiante.• Emplea las formulas anteriores para calcular las

dos cantidades desconocidas. • Redondea las respuestas al número correcto de dígitos significativos.

Lámina 1

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Soluciónerror relativo 1 (%) = |valor aceptado — valor experimental| X 100

valor aceptado

error relativo 1 (%) = |19.0 cm – 18.8 cm| X 100 19.9 cm

error relativo 1 (%) = 1.05%

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error relativo 2 (%) = |valor aceptado — valor experimental| X 100 valor aceptado

error relativo 2 (%) = |19.0 cm — 19.0 cm| X 100 19.0 cm

error relativo 2 (%) = 0.00 %

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error relativo 3 (%) = |valor aceptado — valor experimental| X 100 valor aceptado

error relativo 3 (%) = |19.0 cm— 18.3 cmX 100 19.0 cm

error relativo 3 (%) = 3.68%

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incertidumbre relativa 1 (%) = incertidumbre estimada x 100 medición real

incertidumbre relativa (%) = 0.3 cm x 100 19.0 cm

incertidumbre relativa (%) = 1.59 %%

incertidumbre relativa (%) = 2%

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incertidumbre relativa (%) = 1.05%%

incertidumbre relativa (%) = 1%

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incertidumbre relativa (%) = 0.54%

incertidumbre relativa (%) = 0.5%

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• El estudiante 3 reportó la menor incertidumbre relativa. Su medida fue la más precisa. La medida del estudiante 2 fue la mas exacta. Tuvo el menor error relativo.

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Relaciones, tasas y proporciones

Una relación es una comparación entre dos números mediante la división. Las razones con frecuencia se expresan como fraccionarios.

Un tasa es una relación entre dos medidas con diferentes unidades.

Por ejemplo, la relación, metros/segundos, compara la distancia recorrida con un periodo de tiempo.

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En física, tendrás que resolver problemas vinculados con relaciones.

Una proporción es una relación de igualdad de dos o más razones.

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Para averiguar una cantidad desconocida en una proporción, multiplica en cruz los términos en las relaciones y resuelve la incógnita.

Nota que los productos de las multiplicaciones en cruz ad y cb son iguales.

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Si a/b = c/d entonces ad= cbEjemplo: 1.0 pulg. = 3.5 pulg. 2.54 cm x

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Estrategia:1.Multiplica en cruz2.Resuelve para encontrar x.3.Redondea la respuesta a dos dígitos

significativos.

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Solución:1.0 pulg. = 3.5 pulg. 2.54 cm x(1.0 pulg.)x = (2.54 cm)(3.5 pulg.)X= (2.54 cm)(3.5 pulg) 1.0 pulg.X = 8.89 cmX= 8.9 cm

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Álgebra

Solución de problemasPara resolver una incógnita, realiza operaciones

aritméticas a ambos lados de la igualdad hasta que la incógnita quede sola a un lado de la ecuación.

Ejemplo: averigua el valor de x en la siguiente ecuación.ay / x = cb + 5Estrategia:• Multiplica ambos lados por x.• Divide ambos lados entre el término cb + 5.

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Álgebra

Ejemplo: averigua el valor de x en la siguiente ecuación.

ay / x = cb + 5Estrategia:• Multiplica ambos lados por x.• Divide ambos lados entre el término cb + 5.

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Álgebra

Solución: ay/x = cb + 5x ( ay/x ) = x( cb + 5)ay = x ( cb + 5)x= ay/ cb + 5

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Operaciones con unidades/análisis dimensional

La mayoría de las cantidades físicas tienen unidades así como también valores numéricos.

Cuando remplazas un valor dentro de una ecuación, debes escribir tanto el valor como la unidad.

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Aprendiste en el método factor-característica de conversión de unidades que, cuando un término tiene varias unidades, puedes operar las unidades como cualquier otra cantidad matemática.

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Con frecuencia podrás saber si estableciste incorrectamente la ecuación revisando las unidades. A menudo, este procedimiento se llama análisis dimensional.

Si tu respuesta tiene las unidades equivocadas, cometiste un error en el cálculo de ella.

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Ejemplo: encuentra d cuando v = 67 metros/segundo y t = 5.0 minutos

Estrategia:_• v, t, y d están relacionadas por la ecuación d =

vt. • Establece la ecuación y opera con las

unidades.• Asegúrate de que la unidad resultante es

correcta para d.

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Solución: d = vtd = 67 metros X 60 segundos X 5.0 minutos

segundo 1 minutod = 67 metros X 6O segundos X 5.0 minutos

segundo 1 minutoD = 2.0 x 10^4 metros

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Propiedades de los exponentes

Un exponente nos dice cuantas veces un número, llamado base, se usa como factor. En el ejemplo, a X a X a = a^3, a está elevada a la tercera potencia.

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Para cualquier número diferente de cero y cualquier número entero n, se aplican las siguientes propiedades.

• Exponente igual a cero: a^0 = 1 • Exponente igual a uno: a^1 = a• Exponentes negativos: a-n = 1/a^n

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Para todos los números enteros a y b y todos los números enteros m, n y p, se aplican las siguientes propiedades.

• Producto de potencias: a^m x a^n = a^(m+n)• Potencia de potencias: (a^m)^n = a^(mn)• Cociente de potencias: a^m / a^n = a^m-n• Raíz n de potencias: n/am = a^m/n• Potencia de un producto: (ab)^m = (a^m)(b^m)• Potencia de un monomio: (a^mb^n)^p = (a^mp)

(b^np0


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Ejemplo: Simplifica (2a^4b)^3[(-2b)^3]^2Estrategia:• Usa la propiedad de potencia de potencias.• Usa la propiedad de potencia de un monomio.• Usa la propiedad de producto de potencias.

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Solución: (2ª^4b)^3[(-2b)^3]^2 = (2a^4b)^3(-2b)^6= 2^3(a^4)^3b^3(-2)^6b^6 = 8a^12b^3(64)b^6= 512a^12b^9

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Ejemplo: Simplifica : 4 1 a 2

Estrategia:• Usa la propiedad de exponentes negativos. •

Usa la propiedad de raíz n de potencias.

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Solución: 4 1 = 4 a-2 a2 a (-2/4)

a (-1/2)

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La fórmula cuadrática

Cualquier ecuación con una variable, donde la potencia más alta es dos, es una ecuación cuadrática. La gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola. Las raíces de una ecuación cuadrática en la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a‡0, están dadas por la fórmula cuadrática.

x = -b ± b2 — 4ac 2a

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Las cantidades a, b, y c son dadas típicamente.La expresión b2 — 4ac se llama el discriminante. El discriminante nos dice la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática.Discriminante Naturaleza de las raícesb2 — 4ac > 0 dos raíces reales distintasb2 — 4ac = 0 exactamente una raíz realb2 — 4ac < 0 dos raíces imaginarias distintas


Ejemplo: Resuelve x2 — 6x — 40 = 0.Estrategia:• Remplaza los valores en la fórmula cuadrática.• a = 1, b = —6, y c = —40.

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SoluciónX = -(-6) ± (-6)2 – 4(1)(-40) 2(1)X = 6 ± 36 + 160 2X = 6 ± 14 2X = 10 ó X = -4

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• Observa que en el ejemplo hay dos soluciones x = 10 y x=-4. Algunas veces, en los problemas de física, sólo una solución corresponde a una situación de la vida real. En ese caso, una de las soluciones será descartada.

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•Usa el siguiente cuadro para resolver problemas que contengan perímetro, circunferencia, área y volumen

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Perímetro/ Circunferencia

Área Área de la superficie

Volumen

CirculoRadio r

C = 2πr A = πr^2

Cuadrado Lado a

P = 4a A = a^2

RectánguloLongitud lAncho w

P = 2l + 2w A= lw

TrianguloBase bAltura h

A = (1/2)bh

CilindroRadio rAltura h

AS = 2πrh + 2πr^2

V= πr^2h

EsferaRadio r

AS = 4πr^2 V= (4/3)(πr^3)

CuboLado a

AS = 6ª^2 V= a^3

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Cálculo del área mediante una gráfica

• El cálculo del área mediante una gráfica, como se muestra en las láminas, con frecuencia puede ofrecer información útil.

• Cuando no conoces la fórmula del área de una figura con forma curvada, puedes aproximar el área dibujando rectángulos a pequeños intervalos. Cuanto mas pequeños sean los intervalos, más aproximada será la suma de las áreas de los rectángulos al área real bajo la curva.

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A = l x h

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A= área de rectángulo + área de triángulo

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Teorema de Pitágoras

Si a y b representan las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo y c representa la medida de la hipotenusa, entonces c^2 = a^2 + b^2, ó c = a^2 + b^2.

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Ejemplo:

Encuentra la distancia c de A a B en la lámina. Estrategia:

• Usa la gráfica para determinar a y b.• Usa el teorema de Pitágoras para hallar c.Solución: Distancia entre B y C = a = |4 — 1| = 3

Distancia entre A y C = b = | 1-5 | = 4c= (4^2+3^2)^(1/2)= (16+9)^2=5La distancia de A a B es 5.

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Lámina 3

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X

Y

Triángulos especiales

En física, es ventajoso conocer la relación entre los lados de un triángulo rectángulo de 30° 60°90 ° y los lados de un triángulo rectángulo de 45 °- 45 °- 90 ° . Si la longitud de un lado del triangulo se conoce, los lados desconocidos pueden calcularse fácilmente.

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55

60 °

30 °

2x°

3^(1/2)x

x


56

45 °

45 °

2^(1/2)x°

x

x


• Las relaciones de la longitud de los lados de un triángulo rectángulo pueden usarse para definir las funciones trigonométricas básicas, seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). Los lados a y b forman el Angulo recto, <C. El ángulo θ está formado por los lados b y c. El lado a es opuesto al ángulo θ. El lado c, opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa.

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Ab

C

ac

B

θ

Sen θ

• Sen θ = opuesto / hipotenusa = a/c

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Cos θ

• Cos θ = adyacente/hipotenusa = b/c

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Tan θ

• Tan θ = opuesto/adyacente = a/b

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Usa la primera letra de los términos de cada relación para formar el acrónimo SOH-CAH-TOA; así es fácil recordar las relaciones trigonométricas.

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Ejemplo

Para el triángulo ABC en la lámina anterior, encuentra sen θ, cos θ y tan θ, Si: a = 48 cm, b = 55 cm, y c = 73 cm.

Estrategia:• Usa las relaciones trigonométricas, SOH-

CAH-TOA.

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Solución:

SOH: sen θ = opuesto/ hipotenusa = 48 cm/73 cm = 0.66

CAH: cos θ = adyacente/hipotenusa = 55 cm/73 cm = 0.75

TOA: tan θ = opuesto /adyacente = 48 cm/55 cm = 0.87

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• Si el valor del seno, coseno o tangente puede determinarse con la longitud de dos de los lados del triángulo, el ángulo correspondiente puede encontrase empleando una tabla de funciones trigonométricas o utilizando la función inversa (sen^-1,cos^-1, o tan^-1), en una calculadora.

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Ley del coseno y del seno

En ocasiones, necesitaras trabajar con un triángulo que no es rectángulo. La ley del Coseno y la ley del Seno se aplican en todos los triángulos.

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C

C B

A

B = 5.00 cm

α = 4.00 cm

θ = 60.0°


• La ley del Coseno es útil cuando conoces las medidas de dos de los lados y el ángulo formado por ellos, o las medidas de los tres lados del triángulo.

c2 = a2+b2 — 2ab cos θ

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Ejemplo:

Para el triangulo ABC anterior, encuentra la longitud del lado c.

Estrategia:• Remplaza los valores conocidos dentro de la

ley del Coseno. •a = 4.00 cm, b = 5.00 cm, y θ=60.0°.

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Solución:

c2 = (a2+b2 — 2ab cos θ)^1/2 c = ((4.00 cm)^2 + (5.00 cm)^2 — 2(4.00 cm)

(5.00 cm)cos 60.0°)^1/2 c= (16.0 cm^2 + 25.0 cm^2 — (40.0 cm^2)

(0.500))^(1/2)c= (21.0 cm^2)^1/2c = 4.58 cm

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De igual manera, se aplica en cualquier triángulo, como el ABC de la lámina anterior, que:

a2 = b2+c2 — 2bc cos Ab2 = a2+c2 — 2ac cos B

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Si un triángulo es mayor de 90°, su coseno es negativo y es numéricamente igual al coseno de su suplemento. En el triangulo DEF, abajo, el ángulo F es de 120.0°. Por tanto, su coseno es el negativo del coseno de (180.0° — 120.0°) ó 60.0°. El coseno de 60.0° es 0.500. Por tanto, el coseno de 120.0° es —0.500.

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Θ=120.0°d

f

E

D

e

F

La ley del Coseno es útil cuando conoces las medidas de dos de los lados y el ángulo formado por ellos, o las medidas de los tres lados del triángulo.

Sen A/ a = sen B/ b = sen C/ c

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Ejemplo

Para el triangulo ABC en la lamina anterior, encuentra la medida del ángulo A.

Estrategia:• Remplaza los valores conocidos dentro de la

ley del Seno.• Usa una calculadora o una tabla

trigonométrica para ir desde seno de A hasta A.

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Solución:

sen A/a = sen C /csen A = a sen C Csen A = 4.00 cm(sen 60.0°) 4.58 cmsen A =(4.00 cm)(0.867) 4.58 cmsen A = 0.757A= 49.2°

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