Tema: Repaso de funciones

Docente Geovanny Gutiérrez

Contenidos

Funciones.

Constante

Lineal

Valor absoluto

Cuadrática

Exponencial

Logarítmica

Raíz cuadrada

Por partes

Trigonométricas

Identidades y

ecuaciones

trigonométricas.

Ley de los senos. Ley

de los cosenos.

𝐴 × 𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}

Definición: El producto cartesiano 𝑨 × 𝑩 de los

conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵 es el conjunto de todos los

pares ordenados (𝑎, 𝑏) , con 𝑎 en 𝐴 y 𝑏 en 𝐵 .

Simbólicamente:

Definición: Una relación 𝑅 de 𝐴 en 𝐵 es todo subconjunto

del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵.

Dominio de 𝑹:

𝐷𝑜𝑚𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para cierto 𝑦 ∈ 𝐵}

Imagen o Rango de 𝑹:

𝑅𝑎𝑛𝑅 = 𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, para cierto 𝑥 ∈ 𝐴 .

Definición: Sean dos conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵, una

función es la relación 𝑓 que asocia a todo elemento

𝑥𝐴, un único elemento 𝑦 𝐵.El conjunto 𝐴 se llama

dominio de la función.

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𝐵𝐴 𝑓

𝑓 es una función

.

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𝐵𝐴 𝑓

𝑓 es una relación, no

es función

Función Constante

Tiene la forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶 , donde 𝐶 es

constante.

Dominio = ℝ Rango = {𝐶 }

Su gráfica es una recta paralela al eje 𝑥.

𝑥0

𝑦

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 > 0

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 < 0

Ejemplos: Escribir dominio, rango y graficar cada función.

1) 𝑓(𝑥) = 3

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 3

2) 𝑓(𝑥) = − 5, −3 < 𝑥 ≤ 2

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥 𝑅 ∶ − 3 < 𝑥 ≤ 2

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = − 5

𝒚 = 𝒇 (𝒙) = − 𝟓𝑥

0

𝑦

− 5

− 3 2

°𝑥0

𝑦

3𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝟑

Función Lineal

Tiene la forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 ≠ 0

Dominio: ℝ, Rango: ℝ.

Su gráfica es una recta con pendiente 𝑚.

Pasa por el punto (0, 𝑏).

Creciente

(0, 𝑏)

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 > 𝟎

𝜃 < 90°

𝑦

0 𝑥

Decreciente

(0, 𝑏)

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 < 𝟎

𝜃 > 90°

𝑦

0 𝑥

Ejemplos: Escribir dominio, rango y graficar cada función.

𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑

𝑦

0 𝑥

(1, 5)5

(0, 3)

1 2

2) 𝒈 𝒙 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)1)𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1, 4)𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−2, 3]

(4,−2)

(−1, 3)

𝒚 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)

𝑦

0 𝑥4−1

−2

3

°

Función Cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma

𝑦 = 𝑎 𝑥 – 𝑏 2 + 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0.

Dominio: ℝ

Rango: (−, 𝑐] si 𝑎 < 0 y [𝑐, +) si 𝑎 > 0.

La gráfica de una función cuadrática es una curva

llamada parábola y tiene vértice 𝑉(𝑏, 𝑐).

El eje de simetríade la parábola es la recta vertical que

divide a esta en dos partes iguales.

El punto de intersección con

el eje 𝑦 es

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −3

𝑉 = −𝑏

2𝑎, 𝑓 −

𝑏

2𝑎

𝑉 = −−2

2 1, 𝑓 −

−2

2(1)

= (1, 𝑓 1 )

= (1,−4)

Intercepto con el eje 𝑦:

𝑓 0 = 02 − 2 0 − 3

𝑓 0 = −3

0,−3 .

Graficar la función definida por

Ejemplo

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

Interceptos con el eje 𝑥:

𝑓 𝑥 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0

𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0

𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −1

(−1,0) 3,0 .

Los puntos de intersección con el eje 𝑥 son:

y

La gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 es

cóncava hacia arriba.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−4,+∞)

Eje de simetría: 𝑥 = 1

Función Exponencial

La función exponencial de

base 𝑎 es de la forma

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

donde 𝑎 es un número

positivo distinto de 1 y 𝑥

es cualquier número real.

𝒂 > 𝟏

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0,+∞)𝒂 > 𝟏 y 𝟎 < 𝒂 < 𝟏

𝒚 =𝟏

𝟐

𝒙

𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒇 es decreciente

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0,+∞)

𝒙𝒚 =

𝟏

𝟐

𝒙

−𝟑 𝟖

−𝟐 𝟒

−𝟏 𝟐

𝟎 𝟏

𝟏 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏

𝟒

Función Logarítmica

Logaritmo de un número es

el exponente al que hay que

elevar la base para que nos

dé dicho número.

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥,𝑎 > 1 𝑦 0 < 𝑎 < 1

Pasa por el 1,0 .

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0,+∞)

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ

𝑓 𝑥 = log2 𝑥

𝑓 1 = 𝑙𝑜𝑔2 1 =log 1

log 2= 0

𝑓 2 = 𝑙𝑜𝑔2 2 =log 2

log 2= 1

𝑓 4 = 𝑙𝑜𝑔2 4 =log 4

log 2≈ 2

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0,+∞)

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ

Graficar la función definida por

Encuentre dominio y rango de 𝑓.

Ejemplo

𝑓1

2= 𝑙𝑜𝑔2

1

2=

log12

log 2= −1

𝒂 = 𝟐 > 𝟏, 𝒇 es creciente

Función Raíz Cuadrada

La función raíz cuadradaes una

función 𝑓 cuyo dominio es el

conjunto de los números reales no

negativos y está definida por la

fórmula

𝑓 𝑥 = 𝑥.

El rango de la función valor

absoluto es 0,+∞ .

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la

mitad de una parábola como las que conocemos de

la función cuadrática.

Ejemplo

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1Graficar la función definida por

Encuentre dominio y rango de 𝑓.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 1

2, )∞

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ+

Ejemplo

Función definida por partes

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−2, )∞

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−2, )5

Gráfica

Función seno

Función coseno

Función tangente

Características de 𝒚 = tan𝒙

Gráfica de 𝒚 = tan𝒙

Identidades Trigonométricas

Identidades

Pitagóricas

sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1

1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃

1 + cot2 𝜃 = csc2 𝜃

Fórmulas de ángulo doble

sen 𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥 = cos2 𝑥 − sen2 𝑥

tan 2𝑥 =2 tan 𝑥

1 − tan2 𝑥cos 2 𝑥 = 1−2sen2 𝑥

cos 2 𝑥 = 2cos2 𝑥 −1

Fórmulas de ángulo medio

sen𝑥

2= ±

1 − cos 𝑥

2cos

𝑥

2= ±

1 + cos 𝑥

2

tan𝑥

2= ±

1 − cos 𝑥

1 + cos 𝑥= ±

sen 𝑥

1 + cos 𝑥= ±

1 − cos 𝑥

sen 𝑥

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Entonces

Ejemplo

GRACIAS