Relime - Procedimientos de Niños de Primaria en La Solucion de Problemas de Reparto

7/13/2019 Relime - Procedimientos de Nios de Primaria en La Solucion de Problemas de Reparto

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evista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativaomit Latinoamericano de Matemtica [email protected]

SSN (Versin impresa): 1665-2436MXICO

1998Humberto Jaime de Len Prez

PROCEDIMIENTOS DE NIOS DE PRIMARIA EN LA SOLUCIN DE PROBLEMASDE REPARTO

Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa,julio, ao/vol. 1,nmero 002

Comit Latinoamericano de Matemtica EducativaDistrito Federal, Mxico

pp. 5-28

Red de Revistas Cientficas de Amrica Latina y el Caribe, Espaa y Portugal

Universidad Autnoma del Estado de Mxicohttp://redalyc.uaemex.mx
mailto:[email protected]://redalyc.uaemex.mx/http://redalyc.uaemex.mx/http://redalyc.uaemex.mx/mailto:[email protected]


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Relime Vol. 1, Nm.2, julio, 1998 pp.5-28

Procedimientos de nios de primaria en la solucin de problemas de reparto

Humberto Jaime de Len Prez1

RESUMEN

Este estudio tiene por objetivo analizar los procedimientos de los nios de primaria al estudiar situacionesde reparto. Nuestra expectativa es contribuir a la discusin y planteamiento de preguntas relacionadas conlos procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas y en particular sobre los procesos cognitivosde los nios al aprender las fracciones. En l se muestran que hay ciertas regularidades para que los niosse apropien del significado de las fracciones en el contexto de los problemas de reparto, a saber: los niosignoran las relaciones fraccionarias involucradas en las situaciones problemticas, luego incorporan demanera implcita las relaciones fraccionarias y finalmente llegan a las fracciones como mediaciones oherramientas que les permiten anticipar la solucin a las situaciones problemticas de reparto.

ABSTRACT

The objetive of this study is to analyze the procedures of primary school children when studyingsituations of distribution. Our expectation is to contribute to the discussion and posing of questionsrelated to the processes of teaching and learning of mathematics and in particular about the cognitiveprocesses of children when they learn fractions. We show that there are certain regularities so thatchildren appropriate the meaning of fractions in the context of problems of distributions, namely: childrenignore the fractional relations that are implied in the problem situations, then they incorporate theserelations in an implicit way and finally they arrive at fractions as mediations or tools that allow themguess the solutions to the distribution problem.

1. Objeto de estudio

Tenemos como objetivo analizar los procedimientos de los nios de primaria al resolver

situaciones de reparto. La idea que nos gua para estudiar las concepciones de los nios esponerlos en situacin de resolver problemas, pues estamos de acuerdo con Vergnaud que elcriterio y la fuente del saber matemtico es la resolucin de problemas.

Es importante precisar que no entendemos como problema matemtico a las actividades queusualmente se aplican en el aula: resolucin de cuentas dnde se aplican los algoritmos de lasdiferentes operaciones aritmticas, o a las situaciones que se presentan de manera estereotipaday donde se establece con anticipacin el procedimiento de solucin. Al contrario, concebimosque un problema matemtico representa un reto o dificultad que no tiene resolucin inmediata yque posibilita la bsqueda de procedimientos por parte del alumno a partir de sus conocimientosprevios. Esta concepcin de problema (Vergnaud, 1983) implica la novedad, tanto en el sentidode una tarea que tiene elementos nuevos que no se comprenden, como en la idea de construirprocedimientos o estrategias para la resolucin del mismo.

Nuestra expectativa es contribuir a la discusin y planteamiento de preguntas sobre los procesosde enseanza y aprendizaje de las matemticas y en particular sobre los procesos cognitivos delos nios al aprender las fracciones.

2. Justificacin

La enseanza de las fracciones es una de las tareas ms difciles para los maestros de educacinprimaria. Dicha dificultad se manifiesta en el alto porcentaje de nios que fracasan en aprender

1Departamento de Investigaciones Educativas, Cinvestav-IPN, Mxico.


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este contenido.

Uno de los aspectos que determinan el fracaso, es la pobreza conceptual que se maneja en laprctica escolar. Se sabe que la enseanza prioriza el significado del fraccionamiento de launidad as como el dominio en las reglas de clculo, dejando de lado una gran variedad desituaciones que estn vinculadas al significado de las fracciones. Algunos ejemplos desituaciones que no son debidamente aprovechadas en la instruccin son: los problemas dereparto, de comparacin, de medicin y de transformacin de medidas.

Por lo que respecta a las situaciones de reparto, otro elemento que explica el fracaso, es eldesconocimiento por parte de los maestros, tanto de los esquemas de conocimiento quenecesitan los alumnos para darle significado a las fracciones, como de los modelos deconocimiento implcito de los nios sobre las fracciones. Ms an los docentes plantean a losnios de manera prematura el uso del lenguaje convencional y los algoritmos sin reconocer quese necesitan ciertos esquemas (de particin, de equivalencia, conservacin del rea, etctera)para darle sentido al lenguaje simblico y las reglas de clculo. Los saberes as aprendidos solosirven en el contexto escolar y no funcionan como herramientas para resolver problemas.

Por lo que respecta a las situaciones de reparto, investigaciones recientes en didctica hanresaltado la importancia de este contexto para el aprendizaje de las fracciones. Estas situacionespropician actividades de partir uno o varios enteros, identificar unidades divisibles y obtenerrepresentaciones distintas pero equivalentes, todo lo cual es bsico para la constitucin de losdiferentes significados de las fracciones (Kieren, 1983). Freudenthal (1994) por su parte afirmaque el reparto puede prestarse para que se presenten las dos grandes situaciones que organizanlas ideas sobre las fracciones: como fracturantes y comparadoras. Las fracciones comofracturantes se refieren a situaciones donde un todo: ...ha sido o esta siendo rajado, cortado,rebanado, roto, coloreado en partes iguales, o si se experimenta imagina, piensa como si lofuera. Un ejemplo sera partir un chocolate en cuatro partes iguales y tomar dos de esas partes.Por su parte en el contexto de comparadora, las fracciones sirven para comparar objetos que se

separan uno de otro o que se experimenta, imagina o piensa como si se separaran. Al compararlos pedazos resultantes de diferentes repartos podemos hacer la comparacin sin necesidad dehacer materialmente los repartos, podemos expresar la comparacin con base a la razn de cadareparto, por ejemplo deducimos que el pedazo resultante de un reparto de 3 entre 2 es mayor queel de 2 entre 4, porque en el primero hay ms chocolates que nios y en el segundo hay msnios que chocolates.

Estas caractersticas matemticas de las situaciones de reparto las vuelve relevantes desde unpunto de vista didctico. De hecho en los nuevos planes y programas de estudio (SEP, 1993) seconsideran los ms recientes trabajos en la matemtica educativa sobre las fracciones y seincluye una secuencia de actividades de reparto desde tercero a sexto.

Lo anterior justifica estudios sobre los procedimientos y dificultades de los alumnos al resolverproblemas de reparto. Los productos de las investigaciones pueden aportar informacin quesera pertinente tanto a investigadores en didctica como a los maestros en servicio. Los docentepodrn transformar y enriquecer su prctica de enseanza si conocen mejor las posibilidadescognitivas de sus alumnos. Por su parte los especialistas en didctica de las matemticas puedenderivar ideas para explorar ciertas secuencias didcticas que consideren las posibilidadescognitivas de los alumnos.

3. Marco terico

El presente estudio se ubica en el conjunto de investigaciones que estudian los procesos deenseanza y del aprendizaje de los contenidos matemticos. Esta problemtica es compleja ydiversa y es estudiada por la didctica de las matemticas.


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La didctica de las matemticas aborda su objeto de estudio, considerando las complejasrelaciones que se presentan entre los profesores, los estudiantes, el conocimiento y el medio. Alestudiar esta problemtica se han desarrollado cuatro lneas importantes de investigacin:

La cognitiva, desarrollada por Vergnaud (1991a) al estudiar la psicognesis de loscontenidos matemticos.

La antropolgica, impulsada en un principio por Chevallard (1985) sobre la distancia quehay entre los conocimientos constituidos por los especialistas y los que se realizan en elsaln de clase y las razones que la explican.

La de la teorizacin sobre las situaciones didcticas, donde los estudios realizados porBrousseau (1987) son una muestra de ellos.

Las investigaciones centradas en construir, experimentar y analizar situaciones para laenseanza y el aprendizaje de las matemticas en el aula, entre las que cabe sealar lasdesarrolladas en el DIE, por Fuenlabrada, Glvez y Saiz (1978-1984) y posteriormente porFuenlabrada y Block de 1985 a la fecha.

De estas cuatro aproximaciones, nuestro estudio se ubica en la lnea de la psicognesis de los

contenidos matemticos, que se fundamenta en la psicologa gentica de Piaget y en la teora delos campos conceptuales de Vergnaud (1991b).

3.1 La psicologa gentica

Para la psicologa gentica el conocimiento consiste en actuar sobre los objetos ytransformarlos. La transformacin del objeto puede ser fsica y conceptual, y esto ltimo es loms importante para la psicologa gentica. Por ejemplo los nios al interactuar con materiales arepartir, transforman los objetos de manera fsica: los fracturan, pero lo ms relevante es que larelacin parte-todo se modifica, de ser interpretada con la ayuda de los nmeros enteros setransforma en una cuantificacin fraccionaria de la parte en relacin al todo.

Algunas teoras de aprendizaje de las matemticas adoptan la concepcin de aprendizaje de lapsicologa gentica, especficamente la idea de que los mecanismos de la equilibracinconstituyen uno de los factores que explican el aprendizaje de nuevos conocimientos (Piaget,1978). Para la psicologa gentica el aprendizaje no se concibe como una acumulacin deconocimientos sino como un proceso dnde los saberes previos se reorganizan en los nuevosconocimientos. La reorganizacin del conocimiento se vuelve necesaria, cuando los esquemasde conocimiento entran en conflicto con otros esquemas de conocimiento o cuando lascaractersticas del objeto de conocimiento presentan resistencias a ser asimiladas por dichosconocimientos.

Esta teora del aprendizaje surge fuera del aula, y se ubica en una problemtica epistemolgica ypsicolgica, por lo que no considera las especificidades del aprendizaje en el contexto escolar,es decir, no aborda las complejas relaciones entre el alumno, el saber, los docentes y el medio.

A pesar de lo anterior, coincidimos con Castorina (1994), en que los principios epistemolgicosde la psicologa gentica son pertinentes para analizar los procesos de enseanza y deaprendizaje de los contenidos escolares. En el entendido de que dicha pertinencia, no significauna aplicacin directa de la teora al campo educativo sino implica transformar el programa deinvestigacin y la creacin de nuevas categoras tericas. Por ejemplo la psicologa gentica secentr en estudiar la construccin de categoras generales del pensamiento (espacio, tiempo,causalidad, etc.) y los procesos responsables de dicha construccin y no se interes por elestudio de los contenidos escolares, en cambio la disciplina didctica (Fuenlabrada, 1991) debenecesariamente estudiar los procesos, conceptos y situaciones que se vinculan a los contenidos

escolares, en un intento por disear y caracterizar situaciones didcticas que favorezcan lagnesis de nuevos conocimientos.


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3.2 La teora de los campos conceptuales de Vergnaud

Las investigaciones de Vergnaud (1991b) estn centradas en analizar las adquisiciones de loscontenidos matemticos. Su objetivo es desarrollar una teora sobre la construccin de loscampos conceptuales.

Para dilucidar los procesos de pensamiento de los sujetos en situacin de resolver problemasque implican significados matemticos Vergnaud (1991a; 253-262) elige como unidad deanlisis la categora de esquema, sta la concibe como una totalidad dinmica y organizadapor cuatro elementos:

Invariantes operatorios. Son los conceptos o preconceptos que permiten reflejar laspropiedades cualitativas y cuantitativas de los objetos y los que posibilitan la realizacin deinferencias o deducciones.

Clculos relacionales. Son las inferencias o deducciones que se realizan a partir de losinvariantes operatorios.

Reglas de accin o procedimientos. Se refieren a las reglas de accin que generan elcomportamiento observable del sujeto en situacin de resolver situaciones problemticas.

Predicciones. Son las anticipaciones sobre los efectos de las acciones del sujeto sobre larealidad.

Para Vergnaud el significado de un contenido matemtico no es independiente de las situacionesen que se funcionaliza, de los esquemas de accin que se ponen en juego y de los sistemas designificantes (dibujo, diagramas, escritura, etc.) que se utilizan en la solucin de problemas. Estaconcepcin es distinta a la que prevalece en la prctica escolar donde el concepto matemticoest relacionado con cierta definicin. Desde la perspectiva escolar los contextos y la accin delos nios son independientes del significado, no contribuyen a la construccin de los mismos,son simples apoyos que permiten aplicar la definicin que se ense previamente.

Descontextualizar de las situaciones la definicin de un concepto y bloquear la actividad de lossujetos no permite comprender la compleja dinmica que se da en la formacin de los conceptostanto en el plano histrico, como en el personal.

Vergnaud considera que un concepto est vinculado a una diversidad de situaciones, y a su vezuna situacin nos remite a varios conceptos, por ejemplo el concepto de fraccin esta ligado avarias situaciones:

Cuando se reparten una o varias unidades a cierto nmero de personas. Por ejemplo repartir3 chocolates a 4 personas.

Cuando se compara una longitud con otra, y una de ellas se considera como unidad demedida. Por ejemplo, el largo de la mesa mide 3/4 de metro, la unidad de medida es elmetro, se fractura en cuatro, y tres de esas cuatro partes dan la medida del largo de la mesa.

Cuando se unen dos medidas fraccionarias. Por ejemplo cuando se pregunta cunto midendos alambres si la longitud de uno es 2/3 de metro y del otro 3/4 de metro?

Por otra parte, en lo que se refiere a la relacin entre situaciones y conceptos; una que, porejemplo, exprese relaciones multiplicativas, puede remitir a los conceptos de rea, volumen,proporcin, fracciones, etc.

Por lo anterior para Vergnaud (1991b) el estudio de los conceptos matemticos tiene sentido sise analizan sus mltiples relaciones, tanto con las ms diversas situaciones como con otrosconceptos, por ello propone la nocin de campo conceptual.

Para Vergnaud un campo conceptual es un espacio de problemas. La importancia de la


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investigacin sobre campos conceptuales radica en que los conceptos simples no se constituyende manera aislada sino en relacin con otros conceptos y diferentes esquemas de significantes.El estudio de campos conceptuales desde una orientacin psicogentica puede aportar lasrelaciones, continuidades y discontinuidades que se presentan entre los distintos contenidosmatemticos, sta informacin sirve a la didctica y como dice Halbawachs (1981) esimportante para establecer lo que se puede ensear, en que orden y con que mtodos.

3.3 Los diferentes significados de las fracciones

Los nmeros fraccionarios son una estructura de una riqueza y complejidad que encuentraaplicaciones en una multiplicidad de contextos: la ciencia, la tcnica, el arte y la vida cotidiana.En cada uno de estos contextos las fracciones se presentan con una diversidad de significados.Este estudio se apoya en el anlisis y clasificacin de Kieren (1980; 1983) sobre los racionales.Este autor, en nuestra opinin, es quien presenta con mayor profundidad y riqueza los diferentesmatices de los nmeros fraccionarios.

Kieren afirma que la expresin simblica a/b puede modelar cuatro significados o ideas

matemticas: medida, cociente, operador multiplicativo y razn, agrega un quinto significado larelacin parte-todo, pero seala que ste se puede encontrar presente en los otros cuatrosignificados, al identificar en cada contexto la unidad y sus partes correspondientes.

El trabajo que aqu se expone est centrado en estudiar los procedimientos de los nios antesituaciones de reparto. Estas situaciones son particularmente importantes porque propician enlos nios el desarrollo de las habilidades de subdivisin en partes iguales y de maneraexhaustiva. Actividades que permiten cuantificar de manera implcita la fraccin resultante deun reparto.

4. Principales preguntas de investigacin

Especficamente nos interesa analizar las siguientes actividades de los nios en los problemas dereparto:

La cuantificacin implcita de una parte en relacin al todo que se reparte. La comprensin de la igualdad entre el total de las partes y el total de los enteros en una

situacin de reparto. El establecimiento de equivalencias y de orden al comparar dos situaciones de reparto.

Las actividades anteriores son importantes porque con base a su organizacin se construyen lasideas de parte-todo, conmensuracin, equivalencia y el aspecto ordinal de los nmerosfraccionarios. La constitucin de estos saberes son necesarios para construir posteriormente unainterpretacin significativa del par de nmeros a/b.

Las preguntas de investigacin son las siguientes:

Qu procedimientos usan los nios al resolver los problemas de reparto?

Qu dificultades encuentran los nios para darle significado a las situaciones de reparto?

Qu conocimientos previos se necesitan para darle sentido a los problemas de reparto?

Qu procedimientos usan los nios para establecer equivalencias y relaciones de orden alcomparar distintos repartos?

Qu obstculos enfrentan los nios para establecer equivalencias y relaciones de orden en lacomparacin de repartos?


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Nuestro objetivo es generar resultados y anlisis que contribuyan a la discusin sobre elestablecimiento de los momentos y los problemas ms pertinentes para la enseanza de lasfracciones en la educacin primaria.

5. Metodologa

Ya hemos sealado que el objetivo de esta investigacin es estudiar las concepciones de losnios sobre las fracciones por medio del anlisis de los procedimientos de solucin de los niosante problemas de reparto. Para lograr nuestro objetivo seleccionamos al azar una muestra de 36nios, 8 por cada grupo de primero a tercero y 4 por grupo de cuarto a sexto.

Para obtener los datos realizamos entrevistas individuales de aproximadamente 45 minutos deduracin. Las entrevistas se realizaron por parejas de investigadores, uno actuaba comoexperimentador y el otro como observador y registrador. Todas las entrevistas fueron registradasmanualmente y grabadas con cinta magnetofnica. Se registraron las anticipaciones de cadareparto y los procedimientos efectivos para realizarlo. El protocolo final se form cotejando el

registro con la grabacin.Entrevistamos a nios de una escuela primaria cuya poblacin pertenece a diversos estratossociales pues entre los padres de los alumnos algunos desempean labores de intendencia,administracin, docencia e investigacin.

Las entrevistas fueron una combinacin de estructura fija de preguntas con el empleo delmtodo clnico crtico creado por J. Piaget (1984), el cul se caracteriza por partir de ciertashiptesis de investigacin y una actitud flexible que permite adaptar las preguntas a lasrespuestas del sujeto. Otra caracterstica que define al mtodo es ser una exploracin de tipocrtico en el sentido de que los razonamientos de los nios se cuestionan con la idea deidentificar si se mantienen o se transforman bajo la influencia de las condiciones de la

indagacin.

A todos los nios se les presentaron tres tipos de problemas:

De reparto. En esta situacin se pide a los nios que repartan equitativa yexhaustivamente cierta cantidad de chocolates entre determinada cantidad de nios. Loschocolates fueron representados por tiras de cartoncillo y los nios por muecos deplstico.

De seleccin del pedazo resultado de un reparto. A partir de un reparto de chocolates(equitativo y exhaustivo) ya realizado, entre cierta cantidad de nios, se pide a losalumnos que seleccionen el pedazo de chocolate que le toc a cada nio; el pedazo loseleccionan de cuatro posibles conjuntos de repartos.

De comparacin de repartos. En esta situacin los nios comparan los resultados de dosrepartos y deciden en cul reparto le toc ms chocolate a un nio (o menos) o bien siles toc lo mismo.

6. Principales resultados

6.1 Problemas de reparto

Situacin problemtica: En esta situacin se pide a los nios que repartan equitativa yexhaustivamente cierta cantidad de chocolates entre determinada cantidad de nios. Estasituacin problemtica involucr a las fracciones 1/3, 3/2, 2/3 y 3/4, es decir estas fracciones

aparecen en cada una de las situaciones planteadas como el resultado de cada uno de losrepartos correspondientes. Con base en lo anterior se pidi a los alumnos que repartieran: unchocolate entre tres nios, tres chocolates entre dos nios, dos chocolates


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entre tres nios y tres chocolates entre cuatro nios, de tal manera que al repartir los chocolatesa todos los nios involucrados en los repartos les tocara lo mismo y no sobrara chocolate.

La eleccin de las cuatro fracciones se realiz con la idea de comparar los procedimientos desolucin ante las siguientes variaciones en las situaciones de reparto: fracciones con numeradoruno (1/3); con numerador mayor que uno (2/3, 3/2 y 3/4); con numerador mayor que eldenominador (3/2); con numerador menor que el denominador (1/3, 2/3 y 3/4); condenominador 2 o potencia de 2 (3/2 y 3/4); y con denominador 3 (1/3 y 2/3).

Se usaron tiras de cartoncillo de 10 cm. de largo y 2 cm. de ancho, las cuales representaban loschocolates y muecos de plstico para representar a los nios del reparto.

Los alumnos podan doblar, cortar o marcar las tiras de cartoncillo, la nica restriccin fue nousar regla para medir las tiras. Con esta situacin pretendamos indagar los procedimientos quelos nios ponen en juego para resolver problemas de reparto equitativo y exhaustivo.

Nos interesaba descubrir cmo los nios construyen la relacin entre un todo (uno, dos, tres o

cuatro chocolates) y el nmero de partes que resultan despus de la reparticin, tomando encuenta que se debe repartir todo lo que hay de chocolate (exhaustividad); as como considerar larelacin de equivalencia entre las partes (lo que le toc a cada nio una vez hecho el reparto).Estudiar cmo los nios construyen la relacin parte-todo en un contexto de reparto implicaidentificar los momentos previos a la necesaria doble construccin (exhaustividad yequivalencia) para lograr xito en la accin de repartir.

Los resultados surgidos de un estudio de corte transversal, ponen de manifiesto cuatroprocedimientos o formas de organizar las situaciones de reparto:

Procedimiento I. Reparten exhaustivamente sin controlar la equitatividad. Procedimiento II. Reparto en partes iguales pero con residuo. Procedimiento III. Reparto exhaustivo y en partes iguales sin anticipacin. Procedimiento IV. Reparten exhaustivamente y en partes iguales con anticipacin.

Procedimiento I. En este procedimiento los nios organizan las situaciones a partir de ciertashiptesis sobre la igualdad y la relacin lgica parte-todo. Sobre esta relacin los nios nocomprenden la conexin necesaria entre ambos aspectos, conciben a las partes de maneraaislada y sin vinculacin con el todo. De lo anterior se entiende que no lleguen a considerar lainvariancia o conservacin del todo, para estos nios un todo que es dividido deja de ser elmismo todo. En relacin a la igualdad, sta se concibe en el contexto de los nmeros enteros, osea que en un reparto equitativo a los nios les debe tocar el mismo nmero de partesindependientemente de su forma o tamao.

Las anteriores concepciones son un obstculo para lograr la coordinacin de la exhaustividad ylas partes iguales, Daniela (primer grado; 6;05) es un ejemplo, ya que en la situacin (3/4), parteen 5, 6 y 9 pedazos respectivamente cada uno de los chocolates y al repartir los pedazos cuidaque a cada nio le toque el mismo nmero de pedazos, al final, a cada nio le tocan 5 pedazospero de diferente tamao:

Daniela (6;05)Primer grado.Entrevistador: (Plantea la consigna correspondiente a la situacin 3/4).

D: Cortarlos y repartirlos (Hace cuatro cortes y le salen 5 partes desiguales, al segundochocolate lo parte en 6 pedazos, al tercero lo corta en 9 pedazos. Reparte los pedazos y le tocan

5 pedazos a cada mueco).E: Les toc igual Daniela?D: Si.


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1/5* 1/5 1/5 1/51/5 1/6 1/6 1/61/6 1/6 1/6 1/91/9 1/9 1/9 1/9

1/9 1/8 1/9 1/9

*Usamos el signo para expresar que las partes del entero no son iguales.

Procedimiento II. En este procedimiento los alumnos obtienen un residuo despus del reparto. Adiferencia de quienes utilizan el procedimiento I, estos alumnos respetan la igualdad de laspartes, pero al no tener claro el nmero de partes necesario para dividir los chocolates les quedaun residuo. Encontramos dos expresiones de este procedimiento. La primera consiste enestablecer una relacin de uno a uno entre los nios y los chocolates completos. As en lasituacin (3/2) Luis (primer grado; 6;07) da un chocolate a cada nio y le queda un chocolate deresiduo.

Luis (6;07) Primer grado.

Eentrevistador: (Plantea la consigna correspondiente a la situacin 3/2).L: Me faltara uno!E: Te faltara uno, uno qu?L: Un muequito!E: Y as no se puede repartir?L: No!E: Faltara un muequito...oye y qu le decimos a la persona que nos pidi que repartiramoslos chocolates?L: Que traiga otro nio.

E: Y no se te ocurre otra forma de repartir esos tres chocolates?L: Guardando ste (uno de los chocolates) y dando a estos (da un chocolate a cada nio).

Desde la lgica uno a uno de Luis, la situacin (3/2), no tiene solucin; las soluciones que daLuis son consistentes con su lgica del uno a uno: o se trae otro nio, o se guarda unchocolate.

La segunda expresin consiste en usar la biparticin sucesivamente, es decir en partir a la mitad,luego en cuartos despus en octavos. ste recurso fue utilizado en las situaciones de (1/3) y(2/3), donde el nmero de nios no es potencia entera de dos, implica siempre la aparicin de unresiduo. Ernesto es un ejemplo de esta variante:

Ernesto(8;09) Tercer grado.

Entrevistador: (Plantea la consigna correspondiente a 2/3).Ernesto: (Toma un entero y lo parte en dos. Da un entero a un mueco y medio chocolate a cadauno de los muecos restantes).

1 1/2 1/2

Ern: A ste le toc ms (seala al que le toc un entero).E: Pero nos dicen que les debe de tocar igual...


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Ern: Entonces lo partimos (corta el entero en dos, ahora tiene 4/2, da un medio a cada mueco y le sobra unmedio).

1/2 1/2 1/2 1/2

E: Que pas ahora?Ern: Sobra uno.E: Y qu hacemos? nos dicen que no sobre nada.Ern: Lo partimos para que a cada quien le toque dos ( parte 1/2 en cuatro y le salen 4/8, da 1/8 acada mueco y le sobra 1/8).

1/2 1/2 1/2

1/8 1/8 1/8 1/8

E: Les toc igual Ernesto?Ern: No...ste lo partimos (el octavo que le sobr lo parte en cuatro, le salen 4/32, los reparte yle sobra 1/32).

1/2 1/2 1/21/8 1/8 1/8

1/32 1/32 1/32 1/32

E: Y ste? (el 1/32).Ern: Este? (el 1/32) lo dejamos.

Ernesto llega hasta dividir en 1/32 y all se detiene, dejando un residuo, en el proceso no ve laposibilidad de partir en tres.

Procedimiento III. Al poner en juego este procedimiento los nios llegan a comprender larelacin lgica entre el todo y las partes. Por otro lado entienden la equivalencia de las partescomo la igualdad en tamao y no como el mismo nmero de partes. La adquisicin de estos

conocimientos posibilita que coordinen la exhaustividad y la equitatividad en el reparto, peromediante procedimientos de ensayo y error. No existe una anticipacin del reparto, losprocedimientos consisten en considerar los chocolates uno a uno, y en lo inmediato de lasparticiones se van haciendo los ajustes para poder cumplir con las exigencias de laexhaustividad y la equitatividad. Guillermo (segundo grado; 7;10) es un ejemplo de lo anterior,en 2/3 corta un chocolate en cuartos reparte 1/4 a cada nio, le sobra 1/4 y se lo da a uno de losnios, al segundo chocolate le parte 2/4 y distribuye 1/4 a los nios restantes ahora todos tienen2/4, pero hay un sobrante de 1/2, lo que hace el nio es partir en tres el residuo, logra laexhaustividad y la equitatividad pero la fraccin 2/4 + 1/6 que le toc a cada nio no lo tenaplaneado, sino que result de los ajustes inmediatos al momento de partir los chocolates.

Procedimiento IV. En esta forma de organizacin los nios han realizado una doble

construccin: por un lado han organizado en una estructura operatoria las siete caractersticasque Piaget (1960) atribuye como necesarias para la adquisicin del nmero fraccionario; dicha


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estructura coordina las acciones directas e inversas implicadas en las acciones de reparto o sealas acciones de partir o separar las partes del todo y las de juntar mentalmente las partes paravolver a construir el todo. Esta organizacin de acciones posibilita comprender la relacinlgica entre la parte y el todo y coordinar la exhaustividad y la equitatividad en el reparto. Loanterior implica un manejo implcito de la fraccin en el contexto de reparto. Adems algunosnios, principalmente de quinto y sexto, llegan a relacionar los datos del reparto con la medidafraccionaria resultante de un reparto, ste conocimiento les permite anticipar la fraccin quetoca a cada quin en el reparto. Len (sexto grado; 11;11) es un ejemplo, en el problema de 3/4antes de hacer el reparto anticipa que a cada nio le tocar 3/4, al hacer el reparto estima 3/4 decada chocolate, corta y entrega a 3 nios un pedazo de 3/4, le sobran 1/4 + 1/4 + 1/4 y entregalos tres cuartos al cuarto nio.

6.2 Seleccin del pedazo

Situacin problemtica: A partir de un reparto de chocolates (equitativo y exhaustivo) yarealizado, entre cierta cantidad de nios, se les pide a los alumnos que seleccionen el pedazo dechocolate que le toc a cada nio; el pedazo lo seleccionan de cuatro posibles repartos. Esta

situacin problemtica involucr a las fracciones 1/3 y 3/4, es decir 1 chocolate repartido entre3 nios y 3 chocolates repartidos entre 4 nios respectivamente.

La estrategia privilegiada para resolver este tipo de problemas es la conmensuracin. staconsiste en juntar todos los chocolates involucrados y buscar aquellos pedazos iguales queyuxtapuestos coincidan con la longitud de los chocolates.

Esta estrategia implica abstraer, implcita o explcitamente, la relacin X chocolates es igual aYnmero de pedazos iguales.

La situacin (1/3) consiste en colocar ante el alumno un chocolate (una tira de cartoncillo de18 cm. de largo) y cuatro repartos con cuatro pedazos iguales en cada reparto. Los tamaos de

los pedazos, en cada paquete de cuatro, eran de 3, 4.5, 5 y 6 centmetros respectivamente. Alnio se le deca: Mira, el chocolate es de ste tamao (se le mostraba la tira de 18 cm.), si yoreparto este chocolate entre 3 nios (se le sealaban 3 muecos) de qu tamao ser el pedazoque le toque a cada nio?, de ste (se sealaban los cuatro pedazos de 3 cm.), de ste (sesealaban los cuatro pedazos de 4.5 cm.), de ste (se sealaban los cuatro pedazos de 5 cm.) ode ste (se sealaban los cuatro pedazos de 6 cm.). En esta situacin la seleccin correcta era elpedazo de 6 centmetros.

La consigna en la situacin (3/4) era anloga a la anterior, se mostraban los 3 chocolates (cadauno de 12 centmetros), los muecos y 4 diferentes resultados posibles del reparto (los pedazoseran de 4.5 cm. 6 cm. 8 cm. 9 cm.). En esta situacin, la seleccin correcta era el pedazode 9 centmetros.

En ambas situaciones cuando los alumnos elegan un pedazo se les peda que comprobaran, dealguna manera, que el pedazo seleccionado era el correcto.

El objetivo era indagar los momentos previos a la aparicin de la estrategia de conmensuracin;las dificultades y obstculos a que se enfrentan los nios para resolver la situacin problemticaplanteada e identificar los grados escolares en que se empieza a recurrir a la conmensuracin.

Exponemos a continuacin los principales resultados.

6.2.1 Seleccin del pedazo: Situacin (1/3)

En la situacin (1/3) clasificamos los resultados en dos grupos:


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a) En el Grupo I estn los alumnos que transforman el problema.b) En el grupo II estn los alumnos que resuelven el problema recurriendo a la medicin del

chocolate, superponiendo el pedazo elegido en el chocolate.

Iniciemos el anlisis con los alumnos del grupo I.

GRUPO I: Los nios de este grupo empiezan por transformar el problema en una actividad dereparto, es decir toman uno de los pedazos e intentan repartirlo. Despus de replantearles laconsigna, entienden de ella que haba que elegir un pedazo, escogen entonces uno de ellos enbase a una relacin cuantitativa que establecan con cualquier otro elemento presente en lasituacin. Ante la solicitud (del entrevistador) para que comprobaran la validez de la eleccin,no podan funcionalizar ningn procedimiento.

Luis e Ivan pertenecen a este grupo. Luis elige el pedazo de 3 cm., al pedirle que compruebeque se es el pedazo correcto, se limita a decir que ese pedazo (el de 3 cm.) es menor que el de4.5 centmetros, cuando se le pide que explique un poco ms su respuesta, lo que hace esrepartir los pedazos de 3 cm. a los nios (muecos). A Luis no se le ocurre juntar los pedazos

y luego comparar la longitud de los tres con la del chocolate o desplazar sucesivamente elpedazo tres veces sobre la longitud del chocolate entero.

Ivan tambin elige el pedazo de 3 cm. y al pedirle que compruebe que la eleccin es correctarecurre a una justificacin alejada de la lgica de las relaciones en juego y dice que se pedazoes de la misma altura que los muecos.

Lo anterior es un indicio de la dificultad que tienen esos alumnos para realizar la accin inversadel reparto. Recordemos que en las condiciones iniciales de la situacin el reparto ya estabarealizado (por el entrevistador); era necesario entonces que los nios tuvieran alguna idearespecto a que la reunin de ciertos pedazos iguales permita recuperar el todo.

En este grupo se encuentran los cuatro alumnos de primero. En la primera situacinproblemtica la del reparto (no reportada en este artculo), todos estos alumnos tuvierondificultades para coordinar la exhaustividad y las partes iguales del reparto.

GRUPO II. En este grupo los nios frente a la situacin (1/3) estiman a ojo cul de lospedazos puede caber tres veces en el chocolate. Al pedirles que comprueben que eligieroncorrectamente, miden el chocolate con los pedazos elegidos; rechazan los que no cabenexactamente tres veces en el chocolate, as verifican que la eleccin fue correcta, o en el procesose dan cuenta que su anticipacin fue incorrecta y cambian de pedazo, para encontrar el pedazocorrecto.

En ste grupo se encuentran todos los alumnos de segundo a sexto. Algunos, se limitan a medir

los pedazos, pero otros adems de medir lo explicitan y dicen voy a medir los pedazos en elchocolate; ms an, estos nios llegan a descubrir en el contexto de la situacin de reparto lasrelaciones de medida involucradas en la seleccin del pedazo (la particin y el desplazamientosucesivo de una de las partes sobre la longitud total que se desea medir).

6.2.2 Seleccin del pedazo: Situacin (3/4)

En esta situacin se clasifican los resultados en cuatro grupos.

Grupo I: En este grupo estn quienes consideran que el pedazo debe ser menor que unchocolate. Al utilizar este procedimiento los alumnos se apoyan en la relacin cualitativa departe-todo. Luis es un ejemplo de esta estrategia, elige el pedazo de 4.5 cm. y al pedirle que locompruebe dice: Estos (seala los pedazos de 4.5 cm.), porque estn ms chiquitos que stos(seala los chocolates). En este grupo se encuentran los cuatro alumnos de


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primero.

Grupo II: Los alumnos de este grupo miden un chocolate tomando como unidad un pedazo. Eneste procedimiento la idea de los nios es encontrar un pedazo que quepa cuatro veces en unchocolate. En los procedimientos de estos nios subyace el significado de fraccionamiento de launidad. Que sabemos se trabaja de manera privilegiada en la escuela.

Cynthia es un ejemplo de este grupo, ella toma en cuenta los pedazos ms chicos, compara lalongitud de esos cuatro pedazos y los compara con un chocolate, como no se cumple lo que ellaespera concluye: ninguno es, porque no le cupieron los ms chiquitos.

Once nios usan este procedimiento, es el que predomina en los nios de nuestra muestra. Nopodemos dejar de anotar que el significado de la fraccin como fraccionamiento de la unidad,que subyace al procedimiento usado por los nios, es prcticamente el nico significado que setrabaja en la escuela.

Grupo III: En este grupo los alumnos miden uno o ms chocolates con los pedazos y fracasan.

Los nios de ste grupo hacen toda una serie de ensayos, prueban con todos los pedazos. Ladiversidad de ensayos y errores sin xito indican la ausencia de la relacin X nmero depedazos debe ser igual a Ynmero de chocolates.

Fabiola es un ejemplo de este grupo. Ella realiza varios procedimientos: transforma el problemaen uno de reparto, junta los chocolates pero no tiene una anticipacin numrica de como debenempatar los chocolates con los pedazos, finalmente pone el pedazo de 9 cm. en un chocolate ydice que ningn pedazo es el correcto.

Grupo IV: En este grupo se encuentran los alumnos que miden uno o ms chocolates con lospedazos y tienen xito. Se puede hacer una distincin al interior de este grupo, de los 6 niosque lo componen 4 realizan estrategias similares a las del grupo 3, hacen una serie de ensayos y

errores pero finalmente eligen el pedazo correcto y los 2 nios que restan en el grupo aplican sinrodeos la relacin de conmensuracin, ello les evita hacer cambios de procedimiento como lamayora de los nios.

6.3 Comparacin de resultados de repartos

Situacin problemtica: Los nios comparan los resultados de dos repartos, deciden en culreparto le toc ms chocolate a un nio (o menos) o bien si les toc lo mismo. En esta situacinse presentaron tres conjuntos de comparaciones:

Comparacin de repartos equivalentes. A partir del reparto de 1/3 se compara con cincode sus equivalentes: 2/6; 3/9; 4/12 y 5/15.

Comparacin de repartos con numerador menor que el denominador. Se realizaron trescomparaciones: (2/3 y 2/4); (3/4 y 2/4) y (2/3 y 3/4). Se cuid que en las comparacioneshubiera numeradores iguales (2/3 y 2/4), denominadores iguales (3/4 y 2/4) ynumerador igual al denominador en donde falta una fraccin unitaria para completar elentero (3/4 y 2/3).

Comparacin de repartos con numerador mayor que el denominador. Tambin serealizaron tres comparaciones: (4/2 y 4/3); (3/2 y 5/2) y (4/3 y 3/2). Tambin en esteconjunto se presentan las igualdades del anterior: numeradores (4/2 y 4/3),denominadores (3/2 y 5/2) y denominador igual a numerador en donde excede unafraccin unitaria al entero (4/3 y 3/2).

En esta situacin encontramos tres procedimientos de solucin:I. Comparacin de la cantidad de chocolates en ambos repartos


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II. Bsqueda de la igualdad entre chocolates o entre niosIII. Reparto y comparacin de pedazos a veces con xito y con procedimientosdiferenciados en la comparacin

Procedimiento I. En este procedimiento los alumnos transforman el problema de comparacinde fracciones en un problema de comparacin entre enteros. Toman en cuenta slo un dato delreparto e ignoran las relaciones fraccionarias involucradas en la situacin.

En el CUADRO 1 se observa a los alumnos que utilizaron el procedimiento I.

CUADRO 1 Comparacin de la cantidad de chocolates en ambos repartos.a/b = c/d a/b, a < b a/b, a> b

Alumno G. 2/6 = 1/3 2/4 y 2/3 3/4 y 2/4 3/4 y 2/3 4/3 y 4/2 5/2 y 3/2 4/3 y 3/2Mayeli 1 I I I I I IDaniela 1 I ILuis 1 I I I I I I IIvan 1 IAlejandro 3 I

xito: Fracaso:

Este procedimiento lo usaron slo los nios de primero, a excepcin de Alejandro de tercero queslo lo utiliza en la situacin de equivalencia. De los cinco alumnos Mayeli y Luis sonconstantes en su uso, combinando xitos y fracasos. En cambio Daniela solo lo usa en lassituaciones donde la mayora de chocolates se relaciona con el reparto donde toca ms cantidadde chocolate. Ivan y Alejandro lo usan en situaciones donde conduce al fracaso.

El procedimiento funciona cuando la mayora de chocolates coincide con el reparto mayor(3/4 y 2/4), (3/4 y 2/3) y (5/2 y 3/2), pero fracasa cuando no se cumple dicha condicin, que esel caso del resto de las comparaciones. Lo anterior nos permite sealar que la relacinprocedimiento-situacin problemtica, no es funcional para resolver problemas de comparacin

de resultados de reparto. En el contexto los xitos son virtuales, pues los alumnos se manejanen el plano de los enteros y no en las relaciones fraccionarias.

Procedimiento II. Los alumnos que utilizan este procedimiento llegan a tomar en cuenta y adiferenciar la cantidad de chocolates de la cantidad de nios. El procedimiento tiene xitocuando aplican el siguiente razonamiento: Si en los dos repartos hay igual cantidad de nios,toca ms donde hay ms chocolates, de esta manera los alumnos identifican la relacindirectamente proporcional entre el nmero de chocolates y la cantidad que toca a cada nio en elreparto. Este razonamiento cuando se vincula a las comparaciones (3/4 y 2/4) y (5/2 y 3/2),siempre conduce al xito.

El sentido inverso de este procedimiento es cuando los nios razonan: Si en los dos repartos

hay igual cantidad de chocolates, les toca ms en donde hay menos nios, as los alumnosidentifican la relacin inversa entre el nmero de nios y la cantidad de chocolates, a diferenciadel procedimiento I donde slo se considera el nmero de chocolates. Cuando se utiliza elprocedimiento en las comparaciones (2/4 y 2/3), (4/3 y 4/2) siempre se tiene xito, porque elprocedimiento funciona para este tipo de fracciones.

En el CUADRO 2 presentamos la relacin del procedimiento II. Este procedimiento lo usan 16alumnos: 3 de segundo; 3 de tercero; 3 de cuarto; 4 de Quinto y 3 de sexto. Los alumnos desegundo y tercero son sistemticos en usar este recurso y los de cuarto a sexto no.

CUADRO 2: Bsqueda de la igualdad entre chocolates o nios.a/b = c/d a/b, a < b a/b, a> b

Alumno G. 2/6 = 1/3 2/4 y 2/3 3/4 y 2/4 3/4 y 2/3 4/3 y 4/2 5/2 y 3/2 4/3 y 3/2Cynthia 2 Inversa Inversa Directa Inversa Inversa Directa Directa


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Adriana 2 Inversa Inversa Directa Inversa Inversa Directa DirectaEdgar 2 Directa Inversa Directa Inversa Inversa Directa DirectaFabiola 3 Inversa Inversa Directa Directa Inversa Directa InversaCarlos 3 Inversa Directa Directa Inversa Directa DirectaDiana 4 Inversa Inversa DirectaDirak 4 DirectaPablo 4 Inversa Directa Directa Inversa Directa Directa

Marlene 5 InversaBerenice 5 Inversa DirectaRubn 5 Directa DirectaArmando 5 DirectaIreri 6 Inversa Directa DirectaLen 6 DirectaEduardo 6 Inversa

xito :Fracaso:

Si analizamos la relacin del procedimiento con las situaciones, podemos destacar las siguientesregularidades:

El procedimiento siempre conduce al xito en las situaciones donde hay relacionesdirecta e inversamente proporcionales: (3/4 y 2/4), (5/2 y 3/2), (2/4 y 2/3) y (4/3 y 4/2).

En las situaciones donde no hay igualdad de nios o de chocolates, los alumnosasimilan de manera deformante las relaciones involucradas en los problemas,transformndolas en relaciones directa e inversamente proporcionales.

En la comparacin de equivalencias se observa que independientemente de si losalumnos se centran en los chocolates (hay ms, donde hay ms chocolates) o en losnios (hay ms donde hay menos nios) siempre fracasan.

En la comparacin (3/4 y 2/3) los alumnos fracasan cuando adaptan el problema a unarelacin inversamente proporcional y tienen xito cuando lo adaptan a una relacindirectamente proporcional. En la comparacin (4/3 y 3/2) sucede a la inversa. Podemosafirmar que en estas situaciones los xitos no dependen de la comprensin de las

fracciones involucradas, son xitos aparentes, por lo anterior podemos afirmar que elprocedimiento no es funcional en estas comparaciones.

Procedimiento III. Los alumnos que utilizan este procedimiento sienten la necesidad de repartirpara despus comparar los pedazos de cada nio y decidir a quin le toc ms, lo anteriorsignifica que se considera de manera implcita la cuantificacin fraccionaria de la parte queresulta de un reparto, a diferencia de los procedimientos anteriores donde se haca nfasis en unacomparacin de elementos aislados, como en el procedimiento I, o en una relacin recproca deelementos como en el procedimiento II. A pesar de recuperar el procedimiento de repartir sepresentan una serie de confusiones en la comparacin de los pedazos.

En este procedimiento identificamos cuatro diferentes formas de realizar la comparacin entre

los pedazos.

III.1. Comparan el total de pedazos con el total de pedazos. Los alumnos al hacer lacomparacin transforman el problema en una comparacin entre nmeros enteros. En esteprocedimiento los alumnos no toman en cuenta lo que le toca a cada nio despus de haberhecho el reparto, se centran en la comparacin de la cantidad de pedazos resultantes en cada unade las situaciones.

III.2. Comparacin de residuo con residuo. En esta variante despus de hacer los repartos, loscuales casi siempre se realizan mentalmente, la base de la comparacin son los residuos. Elprocedimiento permite tener xito en algunas comparaciones y fracasar en otras.

III.3. Comparan fracciones unitarias con fracciones unitarias. En este procedimiento los niosparten todos los chocolates y al hacer la comparacin toman solo en cuenta la fraccin unitaria


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resultante. En algunas situaciones el procedimiento se adapta a las comparaciones y los alumnostienen xito, lo anterior sucede cuando la fraccin de la unidad coincide con el pedazo que letoca a los nios, en sentido contrario hay casos en que la fraccin unitaria no coincide con loque le toca a los nios, si los alumnos no consideran lo anterior fracasan en la comparacin.

III.4. Comparan pedazo con pedazo. En esta variante los nios comparan el total del pedazo conel total del pedazo, al igual que los anteriores procedimientos se dan casos de aciertos y deerrores, si bien hay que sealar que son ms los xitos que los fracasos, lo cual nos indica lapertinencia del procedimiento para solucionar los problemas de comparacin de resultados derepartos.

En el CUADRO 4 observamos que lo utilizan 14 alumnos: 1 de segundo, 1 de tercero, 4 decuarto, 4 de quinto y 4 de sexto.

CUADRO 4 Reparto y comparacin de pedazos.a/b = c/d a/b, a < b a/b, a> b

Alumno G. 2/6 = 1/3 2/4 y 2/3 3/4 y 2/4 3/4 y 2/3 4/3 y 4/2 5/2 y 3/2 4/3 y 3/2Guillermo 2 III.1 III.2 III.2 III.2 III.2 III.2 III.2

Karen 3 III.3 III.2 III.2 III.2 III.4 III.4 III.2Diana 4 III.4 III.4 III.4 III.4Tania 4 III.3 III.3 III.3 III.4 III.4 III.4 III.4Dirak 4 III.4 III.4 III.4 III.4 III.4 III.4Pablo 4 III.3Marlene 5 III.3 III.4 III.4 III.4 III.4 III.4Berenice 5 III.1 III.4 III.4 III.4Rubn 5 III.3 III.3 III.1 III.1 III.4Armando 5 III.2 III.4 III.4 III.4 III.2 III.2Ireri 6 III.3 III.4 III.4 III.4Len 6 III.3 III.4 III.4 III.4 III.4 III.4Eduardo 6 III.3 III.4 III.4 III.4 III.4 III.4Jess 6 III.3 III.3 III.4 III.4 III.4 III.4

xito: Fracaso:

Frecuencias:III.1 = 4: (3 fracasos, 1 xito) III.3 = 13: (3 fracasos y 10 xitos)III.2 = 12: (6 fracasos, 6 xitos) III.4 = 43: (4 fracasos y 39 xitos)

Analizando el cuadro encontramos las siguientes regularidades:

El procedimiento III.1 est casi siempre vinculado al fracaso, de 4 veces que se utiliza 3veces se equivocan los alumnos

El procedimiento III.2 conduce tanto al xito como al fracaso El procedimiento III.3 est relacionado con el xito siempre que se aplica en las

situaciones de equivalencia, lo anterior se explica por las caractersticas de la situacin,

donde el fraccionamiento resultante del reparto coincide con la parte que les toca a losnios, al contrario cuando este no se cumple el procedimiento fracasa en la comparacin El procedimiento III.4 est vinculado al xito, pues de 43 veces que se aplica se acierta

en 39 veces. Adems los xitos no se circunscriben a una o dos situaciones como losdems procedimientos, sino que se encuentran funcionando en todos los tipos decomparaciones. Por lo anterior podemos afirmar que este procedimiento es el que mejorse adapta para resolver las situaciones de comparacin de resultados de reparto

Por lo que respecta a los errores en que incurren los alumnos identificamos lossiguientes:

Transforman el problema en una comparacin entre nmeros enteros Deforman las relaciones fraccionarias, en las situaciones dnde no hay igualdad de

chocolates o de nios, en relaciones directa e inversamente


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proporcionales Cuando reparten llegan a asimilar los pedazos a nmeros enteros No realizan los repartos de manera exhaustiva y pierden la homogeneidad en la

comparacin Confunden la fraccin unitaria con la parte que toca en el reparto

Cuando realizan exhaustiva y equitativamente los repartos se equivocan en la relacinde orden entre las fracciones

CONCLUSIONES GENERALES

En cada una de las situaciones identificamos tres formas de organizacin de los procedimientosde solucin, a saber:

I.1FORMAS DE ORGANIZACIN DE LAS SITUACIONES DE REPARTO

Los resultados, surgidos de un estudio de corte transversal, ponen de manifiesto tres formas oniveles de organizar las situaciones de reparto:

a) En la primera forma, los nios organizan las situaciones a partir de ciertas hiptesis sobre laigualdad y la relacin lgica parte-todo. Sobre la relacin lgica parte-todo, los nios nocomprenden la conexin necesaria entre ambos aspectos, conciben a las partes de maneraaislada y sin vinculacin con el todo, de lo anterior se entiende que no lleguen a considerar lainvariancia o conservacin del todo. Para estos nios un todo que es dividido deja de ser elmismo todo. En relacin a la igualdad, sta se concibe en el contexto de los nmeros enteros, osea que en un reparto equitativo a los nios les debe tocar el mismo nmero de partes,independientemente de su forma o tamao.Las anteriores concepciones son un obstculo para lograr la coordinacin de la exhaustividad y las partes iguales. Daniela (primergrado; 6;05) es un ejemplo, ya que en la situacin (3/4), parte en 5, 6 y 9 pedazos respectivamente cada uno de los chocolates y alrepartir los pedazos se cuida de que a cada nio le toque el mismo nmero de pedazos, al final, a cada nio le tocan 5 pedazos perode diferente tamao.

b) En la segunda forma, los nios llegan a comprender la relacin lgica entre el todo y laspartes. Por otro lado entienden a la equivalencia de las partes como la igualdad en tamao y nocomo el mismo nmero de partes. La adquisicin de estos conocimientos posibilita quecoordinen la exhaustividad y la equitatividad en el reparto, pero mediante procedimientos deensayo y error. No existe una anticipacin del reparto, los procedimientos consisten enconsiderar los chocolates uno a uno, y en lo inmediato de las particiones se van haciendo losajustes para poder cumplir con las exigencias de la exhaustividad y la equitatividad. Guillermo(segundo grado; 7;10) es un ejemplo de lo anterior, en 2/3 corta un chocolate en cuartos, reparte1/4 a cada nio, le sobra 1/4 y se lo da a uno de los nios, al segundo chocolate le parte 2/4 ydistribuye 1/4 a los nios restantes, ahora todos tienen 2/4, pero hay un sobrante de 1/2, lo quehace el nio es partir en tres el residuo, logra la exhaustividad y la equitatividad pero la fraccin2/4 + 1/6 que le toco a cada nio no lo tena planeado, sino que result de los ajustes inmediatos

al momento de partir los chocolates.c) En la tercera forma los nios han realizado una doble construccin: por un lado hanorganizado en una estructura operatoria las siete caractersticas que Piaget atribuye comonecesarias para la adquisicin del nmero fraccionario; dicha estructura coordina las accionesdirectas e inversas implicadas en las acciones de reparto o sea las acciones de partir o separar laspartes del todo y las de juntar mentalmente las partes para volver a construir el todo. Estaorganizacin de acciones posibilita comprender la relacin lgica entre la parte y el todo ycoordinar la exhaustividad y la equitatividad en el reparto. Lo anterior implica un manejoimplcito de la fraccin en el contexto de reparto. Adems algunos nios, principalmente dequinto y sexto, llegan a relacionar los datos del reparto con la medida fraccionaria resultante deun reparto, ste conocimiento les permite anticipar la fraccin que toca a cada quin en el

reparto. Len (sexto grado; 11;11) es un ejemplo de este nivel, en el problema de 3/4 antes dehacer el reparto anticipa que a cada nio le tocar 3/4, al hacer el reparto estima 3/4 de cadachocolate, corta y entrega a 3 nios un pedazo de 3/4, le sobran 1/4 +1/4+1/4


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y entrega los tres al cuarto nio.

Podemos decir que en los nios del primer momento y en los del tercero hay diferenciasconceptuales; los primeros no son conservadores y su concepcin de equivalencia se limita a laigualdad entre el nmero de pedazos; en cambio los nios ms avanzados son conservadores, osea que comprenden la relacin de igualdad entre el total de pedazos de un reparto y el todo quese reparti; y la equivalencia de las partes la entienden tanto como la misma forma y longitud;adems algunos nios comprenden el significado del par de nmeros a/b en el contexto dereparto.

Los nios del tercer momento apoyados en su reestructuracin conceptual toman en cuenta demanera global a todos los chocolates, ello les permite anticipar y coordinar la exhaustividad ylas partes iguales. En cambio los nios del primero y el segundo momento se enfrentan a loschocolates de uno en uno y en lo inmediato de las particiones van haciendo los ajustesnecesarios; cuando llegan al xito en los repartos es por ensayo y error y no por un plan deaccin previo como los nios del tercer momento.Los resultados indican que el desarrollo de la coordinacin entre la equitatividad y la

exhaustividad no es lineal, sino que se presentan desfases dependiendo de las dificultades delcontexto en que se pidan los repartos; en los resultados encontramos que la situacin mssencilla para los nios fue el reparto de 3/2 y la ms compleja la de 2/3.

En sntesis encontramos que los nios de primero y segundo se caracterizan por tenerdificultades en la coordinacin de la exahustividad y la equitatividad y en interpretar losresultados de las particiones desde el esquema de los nmeros enteros. Lo anterior implica unobstculo para la comprensin de las fracciones y de su escritura convencional en el par denmeros a/b. Estos resultados apoyan las nuevas orientaciones curriculares de trasladar a tercergrado la introduccin de las fracciones.

Por lo que respecta a la comprensin del significado de cociente, ninguno de los nios de la

muestra explicita que 3 4 es igual a la fraccin 3/4, o que el nmero que multiplicado por 4 da3 es el cociente 3/4. Sin embargo consideramos que en los procedimientos III y IV hay unmanejo de relaciones que pueden convertirse en una base para la posterior comprensin delsignificado de cociente. Por ejemplo en el procedimiento III los nios llegan al resultado de 3/4al repartir 3 chocolates entre 4, pero este resultado lo obtienen sin una anticipacin de por medioy por procedimientos aditivos al fraccionar a las unidades de manera sucesiva. Por su parte en elprocedimiento IV, algunos nios llegan a establecer la relacin de los datos (3/4 por ejemplo)con la fraccin resultante 3/4. Con respecto a ello Block (1995) afirma que establecer la relacinentre los datos del reparto y la fraccin que resulta de dicho reparto no significa que sefuncionaliza de manera explcita el significado de cociente, lo fundamenta en el hecho de que alos mismos nios que descubren la fraccin resultante de un reparto a partir de analizar los datosdel mismo, se les pone un problema de cociente de fracciones en otros contextos, por ejemplo

en una recta numrica se divide entre el cero y el 5 en tres partes, y se pregunta a que nmerocorresponde cada divisin y los nios no son capaces de identificar que la divisin 5 3 nos dael nmero 5/3 y que dicho nmero corresponde a cada una de las tres divisiones que hay entre elcero y el 5. De la afirmacin de Block se nos ocurren las siguientes reflexiones: Elprocedimiento IV de nuestro estudio no significar un manejo implcito de la idea de cociente?Por otra parte considerando que al principio los nios llegan al resultado de un repartorecurriendo al fraccionamiento de la unidad de manera sucesiva y no como resultado de aplicaruna divisin de manera directa ello no implicar que las situaciones de reparto, a pesar de sersusceptibles de ser organizadas por el significado de cociente, no son las ms propicias paraintroducir dicho significado?

I.2FORMAS DE ORGANIZACIN EN SELECCIN DEL PEDAZO

En la situacin de seleccin del pedazo identificamos tres formas de


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organizar la relacin de conmensuracin.

a) En la primera forma los nios no funcionalizan la relacin, ni de manera implcita niexplcita. Ante la ausencia de esta relacin los nios transforman el problema en uno de repartosin particin, es decir solo distribuyen pedazos a los nios (muecos). O eligen cualquierpedazo y cuando se les pide que comprueben se limitan a decir que se es el pedazo porque esmenor que el chocolate, sustentan su afirmacin en una experiencia cotidiana, cuando sereparte algo a uno le toca un pedazo de ese algo. Quines utilizan estos procedimientosfracasan en elegir el pedazo correcto. Todos los nios de primero se caracterizan por estamanera de resolver la situacin.b) La segunda forma de funcionalizar la relacin el total de pedazos de un reparto es igual altotal de enteros que se repartieron aparece en los nios que la han construido implcitamente enel contexto de reparto. En la situacin de seleccin del pedazo la utilizan midiendo un chocolatecon un pedazo como unidad de medida. Este procedimiento conduce al xito en la situacin(1/3), pero al fracaso en la situacin de (3/4). Esto es, la relacin de conmensuracin estconstruida para los casos particulares en los que el todo est representado por una unidad.c) La tercera forma de utilizar la relacin es ponerla en juego tanto en la situacin de (1/3) y de(3/4). En este tercer nivel hay que distinguir tres subgrupos:

En el primer subgrupo estn quienes recurren a la conmensuracin pero no cuentan conuna anticipacin de la relacin entre el nmero de chocolates y el nmero de pedazos yfracasan en la eleccin del pedazo

En el segundo subgrupo estn los nios que tampoco anticipan la relacin 3 chocolatesigual a 4 pedazos, pero en sus ensayos y errores llegan a conmensurar los 3 chocolates ylos 4 pedazos y esto les permite seleccionar correctamente

En el tercer subgrupo se ubican los nios que recurren a la conmensuracin y anticipanla relacin de igualdad que debe darse entre 3 chocolates y 4 pedazos

En general, encontramos que la mayora de los nios tienen dificultades para resolver el

problema de la seleccin del pedazo. Los nios de los primeros grados no han construido en elplano de la accin implcita la relacin de igualdad entre el total de enteros de un reparto y eltotal de pedazos del mismo reparto, y los nios de tercero a sexto que tienen dicha relacin demanera implcita no logran funcionalizarla con anticipacin en el contexto de la seleccin delpedazo.

I.3FORMAS DE ORGANIZACIN DE LA SITUACIN DE COMPARACIN DE RESULTADOS DE REPARTOS

En comparacin de resultados de un reparto, tambin se encuentran tres formas de organizacinen los procedimientos:

1. Comparacin en base a datos aislados de las situaciones. Esta primera forma, cuyaestructura es a>c a/b>c/d, responde a una comparacin de nmeros naturales, por ello losxitos se circunscriben a los casos en los que la cantidad de nios en las situaciones de repartoes la misma.2. Comparacin en base al establecimiento de relaciones recprocas entre los chocolates y losnios (si hay igualdad de nios, toca ms dnde hay mayor cantidad de chocolates; si hayigualdad de chocolates, el reparto es mayor dnde hay menos nios). Esta segunda forma, seadapta a las comparaciones entre (2/4 y 2/3); (3/4 y 2/4); (4/3 y 4/2) y (5/2 y 3/2), o sea aquellascomparaciones donde son iguales los numeradores o los denominadores; pero se fracasa cuandose generaliza el procedimiento a las comparaciones de fracciones equivalentes y a lascomparaciones entre (3/4 y 2/3) y (4/3 y 3/2).3. Comparacin a partir de resultados de reparto. En esta forma encontramos dos variantes: laprimera corresponde a los procedimientos III.1, III.2 y III.3, en estos procedimientos losalumnos incurren en una serie de confusiones sobre la relaciones fraccionarias involucradas enlas situaciones. La segunda variante es el procedimiento III.4, que en la


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mayora de los casos permite resolver con xito las comparaciones.

A continuacin se mencionan las confusiones y dificultades que aparecen al utilizar losprocedimientos III.1, III.2 y III.3:

a) Comparacin de pedazos como si fueran nmeros enteros (procedimiento III.1). En esteprocedimiento los alumnos asimilan los pedazos a los nmeros enteros y adems no diferencanel total de pedazos de la parte que toca a cada nio en el reparto. Por ejemplo en la comparacin(1/3 y 2/6) algunos nios dicen que tocar ms en 2/6, porque hay 6 pedazos y en la situacin(1/3) tan solo hay 3.b) Comparacin de residuos (procedimiento III.2). En este procedimiento el error o lascontradicciones se presentan cuando las particiones de los enteros no son exhaustivas o no separten en el mismo nmero de partes, por ejemplo Guillermo (segundo grado; 7;10) en lacomparacin entre (2/4 y 2/3) en la situacin (2/4) parte los chocolates en medios, de maneraexhaustiva y en la situacin (2/3) parte un solo chocolate en tercios y deja un chocolate sinrepartir, al comparar los repartos se centra en los residuos y de la verificacin de que uno esmayor que cero deduce de manera errnea que 2/4 > 2/3.

c)

Comparacin de fracciones unitarias con fracciones unitarias (procedimiento III.3). Aqu elerror consiste en confundir la fraccin unitaria con la parte que toca a cada nio en el reparto,esta confusin lleva a los nios a equivocarse en las comparaciones, por ejemplo Tania (cuartogrado; 9;04) en la comparacin entre (2/4 y 2/3). En la situacin (2/4) parte en medios loschocolates y le toca un medio de chocolate a cada nio y en la situacin (2/3) parte loschocolates en tercios y le toca a cada nio dos tercios, pero para decidir en qu reparto toca mschocolate a los nios compara 1/2 (la parte que toca a cada nio) con 1/3 (una parte de lo quetoca a cada nio).

Podemos destacar que los nios antes de considerar la relacin fraccionaria asimilan la situacinal esquema de los nmeros naturales. Otro aspecto a resaltar es que los errores y contradiccionesque se presentan en las etapas iniciales de la construccin de las fracciones en el contexto de

reparto se debe tanto a una falta de coordinacin de los esquemas con que cuentan los nioscomo a una ausencia de diferenciaciones de las relaciones que caracterizan a la situacinproblemtica. Las diferenciaciones o negaciones no son relaciones dadas sino que tienen queconstruirse, especficamente en el contexto de reparto y comparacin de repartos lasdiferenciaciones implican la construccin de las siguientes relaciones:

1. La diferenciacin entre el nmero de chocolates y el nmero de nios y su relacin pormedio de la operacin de divisin o reparto

2. La relacin cociente entre el nmero de chocolates y nmero de nios y sudiferenciacin del nmero o medida que resulta de la anterior operacin

3. La relacin entre el chocolate y el nmero de partes en que se divide y su diferenciacindel total de pedazos y el nmero de pedazos que toca a cada quin en el reparto

La integracin de stas relaciones contribuye a la construccin del significado de las fraccionesen el contexto de reparto.

Este panorama general de los procedimientos da una idea de las principales dificultades de losnios al resolver problemas de reparto; se pueden caracterizar dichas dificultades si se recurre alconcepto de obstculo epistemolgico. Este concepto lo retoma Brousseau (1976) de Bachelard,y al adaptarlo al campo de la Didctica lo entiende como: un conocimiento que se constituyeen relacin a un objeto, que implica ciertas anticipaciones y consecuencias, es un conocimientoque se resiste a ser rechazado y a modificarse en lo ms mnimo. Un obstculo epistemolgicoes siempre resultado de una interaccin del nio con un cierto contexto cultural.

Podemos identificar en los nios dos tipos de obstculos:


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a) Los obstculos que se relacionan con las limitaciones propias del desarrollo conceptual. Eneste caso estn los nios que no han construido la relacin parte-todo, ni siquiera en lassituaciones de reparto, o que la interpretan desde el esquema de los nmeros enteros. Lo anteriorrepresenta un obstculo e impide que los nios puedan interactuar con la situacin pararesolverla.b) Los obstculos epistemolgicos de origen didctico. Estos obstculos se derivan de lasprcticas escolares. Los concepciones de los nios, que recurren al significado de la fraccincomo fraccionamiento de la unidad en el contexto de fracciones unitarias, son un ejemplo deeste tipo de obstculo. Tambin se puede hablar de obstculo didctico en aquellos nios que noanticipan la relacin de igualdad entre el total de chocolates y de pedazos en un reparto. En elprimer caso el obstculo se propicia desde la prctica de enseanza dominante, respecto a lasfracciones y su significado; en el segundo caso, se trata ms bien de una ausencia de trabajodidctico correspondiente.

En resumen, este trabajo muestra que hay ciertas regularidades en las vicisitudes que pasan losnios para apropiarse del significado de las fracciones en el contexto de reparto: al principio losnios ignoran las relaciones fraccionarias involucradas en las situaciones problemticas; en un

segundo momento los nios incorporan de manera implcita las relaciones fraccionarias, en estemomento se depende de uso del material y se incurren en una serie de confusiones y errores yfinalmente los nios llegan a construir a las fracciones como mediaciones o herramientas que lespermiten anticipar la solucin a las situaciones problemticas de reparto. En este recorrido losnios construyen modelos implcitos sobre la relacin parte-todo, la equivalencia y el aspectoordinal de los nmeros fraccionarios, los cules son necesarios para aproximarse al significadodel par de nmeros a/b, en un sentido restringido.

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