Relatividad Especial

C

II

R EL ATI V I DAD ESPEC IAL

Hay limitaciones al movimiento que no aparecen en la descripcin galileana. La primera limitacin que encontramos es la existencia de una velocidad mxima en la naturaleza. Esta velocidad mxima implica muchos resultados fascinantes: los intervalos de espacio y tiempo dependen del observador, hay una relacin ntima entre masa y energa, y existen los horizontes de eventos. Exploraremos estos puntos ahora.

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luz es indispensable para una descripcin precisa del movimiento. Para comprobar si una lnea o una trayectoria de movimiento es recta debemos mirar a lo largo de ella. En otras palabras, utilizamos la luz para de nir la rectitud. Cmo sabemos si una super cie es plana? Mirando a lo largo y ancho de ella,**de nuevo utilizando la luz. Cmo medimos longitudes con gran precisin? Con luz. Cmo medimos el tiempo con gran precisin? Con luz: antiguamente se usaba la luz del Sol; actualmente, la luz de ciertos tomos de cesio. En otras palabras, la luz es importante porque es el modelo de movimiento no perturbado. La fsica habra evolucionado mucho ms aprisa si, en algn punto del pasado, se hubiese reconocido que la propagacin de la luz es el ejemplo ideal de movimiento. Pero es realmente la luz una manifestacin de movimiento? Ya en la antigua Grecia se saba que es as, gracias a un fenmeno cotidiano, la sombra. Las sombras prueban que la luz es una entidad que se mueve, que surge de una fuente de luz, y que sigue lneas rectas.***La conclusin obvia de que la luz requiere cierta cantidad de tiempo para

Fama nihil est celerius.*

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* Nada es ms rpido que el rumor. Se trata de una versin simpli cada del aforismo de Virgilio:: fama, malum qua non aliud velocius ullum. El rumor, el diablo ms rpido de todos. De el libro de la Eneida, libro IV, versos y . ** Obsrvese que mirar a lo largo de la super cie desde todos los lados no es su ciente, ya que una supercie que toque un rayo de luz a lo largo de toda su longitud en todas las direcciones no tiene por qu ser necesariamente plana. Podras dar un ejemplo? Se necesitan otros mtodos para comprobar que es plana utilizando luz. Podras especi car uno? *** Siempre que una fuente produce sombras, las entidades emitidas se llaman rayos o radiacin. Adems de la luz, otros ejemplos de radiacin descubiertos gracias a las sombras que producen son los rayos infrarrojos y los rayos ultravioletas que emanan de la mayor parte de las fuentes de luz junto con la luz visible, y los

.Jupiter and Io (second measurement)

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Earth (second measurement)

Sun

Earth (first measurement)

Jupiter and Io (first measurement)

F I G U R E 86 Mtodo de Rmer para medir la velocidad de la luzMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

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viajar desde la fuente hasta la super cie que muestra la sombra ya fue adelantada por el pensador griego Empedocles (c. to c. ). Podemos con rmar este resultado con otro argumento, igual de sencillo pero ms sutil. La velocidad puede medirse. Por tanto, la velocidad perfecta, que se utiliza implcitamente como patrn de medida, debe tener un valor nito. Un patrn de velocidad que fuese in nito no permitira realizar medidas en absoluto. En la naturaleza, las partculas ms ligeras se mueven a velocidades mayores. Como la luz es ligera,* es una candidata perfecta para representar el movimiento perfecto pero con velocidad nita. Con rmaremos esto dentro de un minuto. Una velocidad de la luz nita signi ca que todo lo que vemos proviene del pasado. Cuando miramos a una estrella, al Sol o a nuestra pareja, siempre vemos una imagen de su pasado. En cierto sentido, la naturaleza nos impide disfrutar el presente debemos por tanto aprender a disfrutar el pasado. La velocidad de la luz es grande; por tanto no se midi hasta , aunque muchos, entre ellos Galileo, haban intentado hacerlo anteriormente. El primer mtodo de medida fue desarrollado por el astrnomo dans Ole Rmer** cuando estaba estudiando lasrayos catdicos, que se descubri que correspondan al movimiento de una nueva partcula, el electrn. Las sombras tambin han llevado al descubrimiento de los rayos X, que de nuevo resultan ser un tipo de luz, en esta ocasin de alta frecuencia. Tambin los rayos de canal fueron descubiertos por sus sombras; resultaron ser tomos ionizados viajando. Los tres tipos de radioactividad, rayos (ncleos de helio), rayos (otra vez electrones), y rayos (rayos X de alta energa) tambin producen sombras. Todos estos descubrimientos se hicieron entre y : estos fueron los das de rayos de la Fsica. * N.T.: En el original: light is indeed light, juego de palabras sin traduccin en castellano que surge del doble signi cado de la palabra light: luz y ligero. Obsrvese sin embargo que, gracias principalmente a la publicidad, la mayora de los hispanohablantes asocian la palabra light con el signi cado de ligero o bajo en caloras. ** Ole (Olaf) Rmer ( Aarhus Copenhagen), astrnomo dans. Fue el tutor del Delfn en Pars en la poca de Luis XIV. La idea de medir la velocidad de la luz de esta forma se debe al astrnomo italiano Giovanni Cassini, de quien Rmer fue ayudante. Rmer continu sus mediciones hasta , cuando tuvo que dejar Francia como todos los protestantes (como por ejemplo Christiaan Huygens), dejando su trabajo interrumpido. Al volver a Dinamarca, un incendio destruy todas sus notas. Como consecuencia, no fue capaz de mejorar la precisin de su mtodo. Ms tarde se convirti en un importante administrador y reformador del estado dans.


,rain's perspective rain

,light's perspective light winds perspective wind

c cearth v Sun windsurfer

c vv

walkers perspective

human perspective

windsurfers perspective

c c vF I G U R E 87 Mtodo de la lluvia para medir la velocidad de la luz

cSun v


v

Pgina ??

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rbitas de Io y los dems satlites galileanos de Jpiter. Obtuvo un valor incorrecto de la velocidad de la luz porque utiliz un valor errneo para la distancia entre la Tierra y Jpiter. Sin embargo, esto fue rpidamente corregido por sus contemporneos, incluyendo al propio Newton. Puedes intentar deducir su mtodo de la Figura . Desde entonces se sabe que la luz tarda un poco ms de minutos en viajar desde el Sol a la Tierra. Esto lo con rm de una forma elegante el astrnomo James Bradley, cincuenta aos ms tarde, en . Como era ingls, Bradley pens en el mtodo de la lluvia para medir la velocidad de la luz. Cmo podemos medir la velocidad de cada de la lluvia? Andamos rpidamente con un paraguas, medimos el ngulo al que parece caer la lluvia, y entonces medimos nuestra propia velocidad. Como se muestra en la Figura , la velocidad c de la lluvia viene dada por c = v tan . ( ) El mismo procedimiento puede seguirse para la luz; tan slo necesitamos medir el ngulo al que llega a la Tierra la luz proveniente de una estrella situada justamente sobre su rbita. Como la Tierra se est moviendo respecto del Sol y, por tanto, respecto de la estrella de referencia, el ngulo no ser recto. Este efecto se denomina aberracin de la luz; el ngulo se encuentra ms fcilmente comparando medidas separadas seis meses. El valor de este ngulo es , ; actualmente puede medirse con una precisin de cinco decimales. Dado que la velocidad de la Tierra alrededor del Sol es v = R T = , km s, la velocidad de la luz ser pues c = , m s.*Este es un valor sobrecogedor, especialmente cuando* Los paraguas no eran comunes en la Gran Bretaa de ; se pusieron de moda ms tarde, cuando llegaron


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lo comparamos con la mayor velocidad alcanzada por objetos hechos por el hombre, los satlites Voyager, que viajan a Mm h = km s, con la velocidad de crecimiento de un nio, unos nm s, o con la velocidad de crecimiento de las estalagmitas en la cavernas, unos , pm s. Empezamos a comprender por qu medir la velocidad de la luz es una ciencia con derecho propio. La primera medida precisa de la velocidad de la luz la llev a cabo el fsico francs Hippolyte Fizeau ( ) en . Su valor es slo un % mayor que el moderno. Envi un haz de luz hacia un espejo distante y midi el tiempo que tardaba la luz en volver. Cmo pudo Fizeau medir ese tiempo sin utilizar ningn instrumento elctrico? De hecho, us las mismas ideas que se utilizan para medir velocidades de balas; parte de la respuesta se desvela en la Figura . (Cmo de alejado debe estar el espejo?) Una reconstruccin moderna de este experimento, realizada por Jan Frercks, alcanz una precisin del %. Hoy, el experimento es mucho ms sencillo; en el captulo sobre electrodinmica descubriremos cmo medir la velocidad de la luz utilizando dos ordenadores UNIX o Linux conectados por un cable. La velocidad de la luz es tan grande que es difcil incluso demostrar que es nita. Tal vez el modo ms elegante de probarlo es fotogra ar un pulso de luz cruzando el campo de visin, del mismo modo que uno puede fotogra ar la conduccin de un coche o el vuelo muestra la primera fotografa de ese tipo, tomada de una bala por el aire. La Figura en con una cmara re ex normal, un obturador muy rpido inventado por los fotgrafos y, lo ms notable, sin usar equipo electrnico. (Cmo de rpido tiene que ser eldesde China. La parte referida a paraguas de esta historia es una invencin. En realidad, Bradley tuvo su idea mientras navegaba por el Tmesis, cuando not que desde un barco en movimiento el viento poda tener un sentido distinto que desde la orilla. Durante muchos aos haba estado siguiendo estrellas, especialmente Gamma Draconis, y durante todo ese tiempo se haba intrigado por el signo de la aberracin, que tena el efecto opuesto al que buscaba, que era el paralaje estelar. Tanto el paralaje como la aberracin provocan que una estrella situada sobre la elptica describa una pequea elipse a lo largo de un ao terrestre, si bien con sentidos de rotacin opuestos. Puedes ver a qu es debido? Por cierto, una consecuencia de la relatividad especial es que la frmula ( ) est equivocada, y que la frmula correcta es c = v sin ; puedes ver por qu es as? Para determinar la velocidad de la Tierra, primero tenemos que conocer la distancia que nos separa del Sol. El mtodo ms sencillo se lo debemos al pensador griego Aristarcos de Samos (c. to c. ). Medimos el ngulo entre la Luna y el Sol en el momento en el que la Luna est precisamente en cuarto creciente. El coseno de ese ngulo nos da el cociente entre la distancia a la Luna (determinada, por ejemplo, ) y la distancia al Sol. La explicacin se deja como ejercicio para el por el mtodo descrito en la pgina lector. El ngulo en cuestin es prcticamente un ngulo recto (que correspondera a una distancia in nita), y se necesitan buenos instrumentos para medirlo con precisin, tal y como Hiparcos re ri en una extensa discusin sobre el problema alrededor del ao . Hasta nales del siglo diecisiete no fue posible medir este ngulo con precisin, cuando se encontr que vale , , lo que da un cociente entre distancias de , ms o menos. Hoy en da, gracias a las mediciones con radar de los planetas, la distancia al Sol se conoce con la asombrosa precisin de metros. Las variaciones de la distancia a la Luna se pueden medir al centmetro; podras adivinar cmo se consigue esto? Aristarcos tambin determin los radios del Sol y de la Luna como mltiplos del radio de la Tierra. Aristarcos fue un pensador impresionante: fue el primero en proponer el sistema heliocntrico, y tal vez el primero en proponer que las estrellas eran soles lejanos. Por estas ideas, algunos de sus contemporneos propusieron que fuese condenado a muerte por hereja. Cuando el monje y astrnomo polaco Nicolaus Copernicus ( ) retom el modelo heliocntrico dos mil aos ms tarde, no mencion a Aristarcos, a pesar de que tom la idea de l.


Desafo 334 s Desafo 335 s


Desafo 336 s Ref. 141

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,half-silvered mirror

mirror

light source


F I G U R E 88 Montaje experimental de Fizeau para medir la velocidad de la luz ( AG Didaktik und

Geschichte der Physik, Universitt Oldenburg)

red shutter switch beam path of light pulse

10 mmF I G U R E 89 Una fotografa de un pulso de luz movindose de derecha a izquierda a travs de una

botella llena de un lquido lechoso, marcada en milmetros (fotografa Tom Mattick)

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obturador? Cmo construiras un obturador as? Y cmo te aseguraras de que se abre en el instante oportuno?) Que la velocidad de la luz sea nita implica que los haces de luz que giran rpidamente se comportan como se muestra en la Figura . En la vida cotidiana, la velocidad de la luz es tan grande y la velocidad de rotacin de los faros tan pequea, que este efecto apenas es apreciable. En resumen, la luz se mueve extremadamente rpida. Es mucho ms rpida que un relmpago, como puedes comprobar por ti mismo. Un siglo de medidas cada vez ms precisas de la velocidad de la luz nos ha llevado a su valor moderno c= m s. ( )


De hecho, este valor ha sido jado de forma exacta, por de nicin, y el metro se ha denido a partir de c. La Tabla muestra un resumen de lo que se conoce hoy sobre el

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F I G U R E 90 Una consecuencia de que la velocidad de la luz sea nitaMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

TA B L E 23 Propiedades del movimiento de la luz

O La luz puede propagarse por el vaco. La luz transporta energa. La luz tiene momento lineal: puede golpear otros cuerpos. La luz tiene momento angular: puede rotar otros cuerpos. La luz se mueve cruzando otra luz sin perturbarse. La luz siempre se mueve ms rpido en el vaco de lo que lo hace cualquier cuerpo material. La velocidad de la luz, su autntica velocidad de seal, es la velocidad del frente de onda. Pgina 593 Su valor en el vaco es m s. La velocidad propia de la luz es in nita. Pgina 215 Las sombras pueden moverse sin lmite de velocidad. La luz se mueve en lnea recta cuando est alejada de la materia. La luz de alta intensidad es una onda. Cuando la longitud de onda es despreciable, la luz se aproxima por rayos. En la materia, tanto la velocidad de frente como la velocidad de transmisin de energa son menores que en el vaco. En la materia, la velocidad de grupo de los pulsos de luz puede ser nula, positiva, negativa o in nita.


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movimiento de la luz. Dos propiedades sorprendentes, que forman las bases de la relatividad especial, fueron descubiertas al nal del siglo diecinueve. S ?

* Nada es ms rpido que el paso de los aos. libro X, verso

Et nihil est celerius annis.* Ovidio, Metamorfosis.

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F I G U R E 91 Albert Einstein


Ref. 146 Desafo 341 s

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Todos sabemos que para lanzar una piedra lo ms lejos posible debemos correr al mismo tiempo que la lanzamos; sabemos instintivamente que as la velocidad de la piedra respecto al suelo ser mayor. Sin embargo, para sorpresa inicial de todo el mundo, los experimentos muestran que la luz emitida por una lmpara en movimiento tiene la misma velocidad que la luz emitida por un lmpara en reposo. La luz (en el vaco) nunca es ms rpida que la luz; todos los haces de luz tienen la misma velocidad. Este resultado se ha con rmado con gran precisin por muchos experimentos especialmente diseados para ello. La velocidad de la luz se puede medir con una precisin mayor que m s; pero no se ha encontrado ninguna diferencia incluso para lmparas que se mueven a ms de m s. (Sabras decir qu lmparas se han usado?) En la vida cotidiana, sabemos que una piedras llega antes si corremos hacia ella, De nuevo, para la luz, no se encuentra diferencia. Todos los experimentos muestran que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, incluso aunque se estn moviendo unos respecto a otros o respecto a la fuente de luz. La velocidad de la luz es realmente el patrn de medida perfecto.* Hay tambin un segundo conjunto de evidencias experimentales para la constancia de la velocidad de la luz. Todos los dispositivos electromagnticos, tales como un cepillo de dientes elctrico, muestran que la velocidad de la luz es constante. Descubriremos que los campos magnticos no se formaran a partir de corrientes elctricas, como lo hacen en cada motor y en cada altavoz del mundo, si la velocidad de la luz no fuese constante. As fue, de hecho, como varios cient cos dedujeron por primera vez la constancia de la velocidad de la luz. Slo tras comprender esto, pudo el fsico germano-suizo Albert* Trminos equivalentes al de velocidad de la luz son velocidad de radar y velocidad de radio; veremos ms adelante porqu es as. La velocidad de la luz tambin es parecida a la velocidad de los neutrinos. Esto se vio de forma espectacular durante la observacin de una supernova en , cuando el ash de luz y el pulso de neutrinos alcanzaron la Tierra separados por tan slo segundos. (No se sabe si esta diferencia se debe a que los dos ashes tienen velocidades diferentes o a que se iniciaron en puntos distintos.) Cul es el primer dgito en el que podran diferir las dos velocidades, sabiendo que la supernova estaba a , aos-luz de distancia? Los experimentos tambin muestran que la velocidad de la luz es la misma en todas las direcciones espaciales, al menos con una precisin de cifras. Otros datos, obtenidos a partir de estallidos de rayos gamma, muestran que la velocidad de la luz es independiente de la frecuencia, al menos con una precisin de cifras.


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Esta relacin es la base de la relatividad especial; de hecho, toda la teora de la relatividad especial est contenida en ella. Einstein a menudo lamentaba que su teora se llamase Relativittstheorie o teora de la relatividad; l prefera el nombre Invarianztheorie o teora de la invarianza, pero nunca consigui cambiar el nombre. La constancia de la velocidad de la luz contrasta completamente con la mecnica galileana, y prueba que sta es incorrecta a grandes velocidades. A bajas velocidades la descripcin es buena porque el error es pequeo. Pero si queremos una descripcin vlida para todas las velocidades, tendremos que descartar la mecnica de Galileo. Por ejemplo, cuando jugamos al tenis usamos el hecho de que golpeando la pelota de la manera correcta, podemos incrementar o decrementar su velocidad. Pero con la luz no es posible. Incluso si nos subimos en un avin y volamos hacia el haz de luz, ste seguir movindose a la misma velocidad. La luz no se comporta como los coches. Si conducimos un autobs y pisamos el acelerador, los coches del otro sentido de la carretera se cruzan con nosotros a mayor velocidad. Con la luz no ocurre esto: la luz siempre nos encuentra a la misma velocidad.*** Albert Einstein (b. Ulm, d. Princeton); uno de los mayores fsicos de la historia. Public tres importantes artculos en , uno sobre movimiento browniano, uno sobre relatividad especial, y el otro sobre la idea de cuantos de luz. Cada artculo por s slo mereca un Premio Nobel, aunque slo lo gan por el tercero de ellos. Tambin en demostr la famosa frmula E = mc (que public a principios de ), posiblemente siguiendo una idea de Olinto De Pretto. Aunque Einstein fue uno de los fundadores de la teora cuntica, ms tarde fue contrario a ella. En cualquier caso, sus famosas discusiones con su amigo Niels Bohr ayudaron a clari car el campo en sus aspectos ms contrarios a la intuicin. Explic el efecto Einsteinde Haas que prueba que el magnetismo se debe al movimiento dentro de los materiales. En y , public su mayor xito: la teora de la relatividad general, uno de los trabajos ms bellos y transcendentes de la ciencia. Por ser judo y famoso, Einstein fue objeto de ataques y discriminacin por parte del movimiento nacionalsocialista alemn; por ello, en , emigr a EEUU. No slo fue un gran fsico, tambin un gran pensador; su coleccin de pensamientos sobre temas distintos de la fsica merece una lectura. Aquel que pretenda emular a Einstein debera saber que public muchos artculos, y que muchos de ellos estaban equivocados; l mismo correga los resultados en posteriores artculos, y as una y otra vez. Esto ocurra tan a menudo que el propio Einstein bromeaba sobre ello. Einstein de ni a un genio como la persona capaz de cometer el mayor nmero posible de errores en el menor intervalo de tiempo posible. ** De hecho, no podemos distinguir ningn cambio en la velocidad de la luz con la velocidad del observador, incluso con la precisin actual de .

Einstein* mostrar que dicha constancia tambin est en acuerdo con el movimiento de los cuerpos, como veremos en esta seccin. La conexin entre cepillos elctricos y relatividad ser descrita en el captulo sobre electrodinmica. (Para informacin sobre la in uencia directa de la relatividad en el diseo de mquinas, consultar el interesante texto de Van Bladel.) En trminos sencillos: si la velocidad de la luz no fuese constante, los observadores podran moverse a la velocidad de la luz. Puesto que la luz es una onda, tales observadores veran una onda que se mantiene quieta. Pero ste es un fenmeno prohibido por el electromagnetismo, por tanto los observadores no pueden alcanzar la velocidad de la luz. En resumen, la velocidad v de cualquier sistema fsico (es decir, cualquier masa o energa localizada) est acotada por vc. ( )

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Por qu este resultado es tan increble, incluso cuando las medidas nos lo muestran sin ningn gnero de duda? Consideremos dos observadores, O y (pronunciado mega), que se acercan con una velocidad relativa v, tal que y como lo haran dos coches en sentidos contrarios. Imaginemos que, en el momento en el que se cruzan, un ash de luz se emite desde una lmpara situada en O. El ash de luz se mueve por las posiciones x(t) visto desde O, y por las posiciones () (pronunciado ji de tau) desde . Puesto que la velocidad de la luz es la misma para ambos, tenemos x =c= . t ( )

Desafo 343 e Ref. 153

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Ref. 156, Ref. 157

Sin embargo, en la situacin descrita, obviamente tenemos que x . En otras palabras, la constancia de la velocidad de la luz implica que t , es decir, que el tiempo es distinto para observadores que se mueven uno respecto del otro. El tiempo no es nico. Este sorprendente resultado, que ha sido con rmado por muchos experimentos, fue establecido por primera vez de forma clara por Albert Einstein en . Aunque otros muchos saban que c era invariable, tan slo el joven Einstein tuvo el coraje de decir que el tiempo depende del observador, y de asumir las consecuencias. Hagmoslo nosotros tambin. Ya en , la discusin acerca de la invarianza del punto de vista haba sido llamada teora de la relatividad por Henri Poincar.* Einstein llam teora de la relatividad especial a la descripcin del movimiento sin gravedad, y teora de la relatividad general a la descripcin del movimiento con gravedad. Ambos campos estn llenos de resultados fascinantes y contrarios a la intuicin. En particular, muestran que la fsica galileana es incorrecta a velocidades altas. La velocidad de la luz es un velocidad lmite. Destacamos que no estamos hablando de la situacin en la que una partcula se mueve con una velocidad mayor que la que tiene la luz en la materia, pero menor que la que tiene la luz en el vaco. Moverse en un material ms rpido de lo que lo hace la luz es posible. Si la partcula est cargada, esta situacin produce lo que se denomina radiacin de erenkov. Es el equivalente a la onda con forma de V creada por una lancha motora en el mar, o a la onda de choque con forma de cono formada alrededor de un avin supersnico. La radiacin de erenkov se observa de forma rutinaria; por ejemplo, es la causa del brillo azul del agua de los reactores nucleares. Dicho sea de paso, la velocidad de la luz en la materia puede ser bastante baja: en el centro del Sol, la velocidad de la luz se estima que vale alrededor de km ao, e incluso en el laboratorio, para algunos materiales se ha encontrado que vale tan poco como , m s. En lo que sigue, cuando usemos el trmino velocidad de la luz, se entender que nos referimos a la velocidad de la luz en el vaco. La velocidad de la luz en el aire es menor que en el vaco tan slo en una pequea fraccin de tanto por ciento. En la mayora de los casos esta diferencia podr despreciarse.* Henri Poincar ( ), importante fsico y matemtico francs. Poincar fue uno de los hombres ms productivos de su tiempo, contribuyendo a la relatividad, la teora cuntica y muchas ramas de la matemtica. La introduccin ms bella y sencilla a la relatividad contina siendo la del propio Albert Einstein, por ejemplo in ber die spezielle und allgemeine Relativittstheorie, Vieweg, , o en e Meaning of Relativity, Methuen, London, . Ha tenido que pasar casi un siglo para que aparezcan libros casi tan bellos, como el texto de Taylor y Wheeler.


Ref. 154, Ref. 155

.first observer or clock

,

t

second observer or clock

k2 T light t1 = (k2+1)T/2 t2 = kT

T

O x

F I G U R E 92 Un esquema que contiene casi toda la relatividad


especial

RRef. 158


La velocidad de la luz es constante para todos los observadores. Podemos deducir todas las relaciones entre lo que miden dos observadores distintos con la ayuda de la Figura . Se muestran dos observadores en el espacio-tiempo, que se alejan entre s con velocidad constante. El primero enva un ash de luz al segundo, que lo re eja de nuevo hacia el primero. Puesto que la velocidad de la luz es constante, el uso de luz es el nico mtodo con el que poder comparar coordenadas de espacio y tiempo de observadores distantes. Dos relojes separados (igual que dos reglas separas) tan slo pueden compararse, o sincronizarse, utilizando pulsos de luz o de radio. Al ser la velocidad de la luz una constante, todas las trayectorias que sigue la luz en la misma direccin son rectas paralelas en los diagramas espacio-tiempo. La velocidad relativa constante entre los dos observadores implica que hay un factor constante k relacionando las coordenadas temporales de los eventos. (Por qu es lineal esta relacin?) Si un pulso se emite en el instante T medido por el primer observador, llegar al segundo observador en el instante kT, y volver de nuevo al primero en el instante k T. El dibujo muestra que k= c+v cv o v k = . c k + ( )


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Este factor reaparecer al estudiar el efecto Doppler.* La gura tambin muestra que la coordenada temporal t asignada por el primer observador al momento en el que la luz se re eja es diferente de la coordenada t asignada por el segundo observador. El tiempo es diferente para dos observadores en movimiento relativo. La Figura ilustra este resultado.* La explicacin de la relatividad utilizando el factor k se conoce a menudo como clculo k.

,

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one moving watch first time second time

two fixed watchesF I G U R E 93 Los relojes en movimiento se atrasan

El factor de dilatacin temporal entre las dos coordenadas temporales se obtiene de la Figura comparando los valores de t y t ; viene dado porMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

t = t

v c

= (v) .

( )

Desafo 346 e

Los intervalos temporales de un observador en movimiento son ms cortos en un factor ; el factor de dilatacin es siempre mayor que . En otras palabras, los relojes en movimiento atrasan. A las velocidades ordinarias este efecto es minsculo. Sin embargo, la fsica galileana no es correcta a velocidades cercanas a la de la luz. El mismo factor tambin aparece en la frmula E = mc , que deduciremos ms adelante. La expresin ( ), o la ( ), es la nica matemtica necesaria en relatividad especial: todos los dems resultados se derivan de ella. Si el segundo observador enva un pulso de luz hacia el primero y ste se lo re eja, el segundo observador har la misma a rmacin que antes haca el primero: para l, el primer reloj se est moviendo y, para l, es el primer reloj el que atrasa. Cada uno de los observadores observa que el otro reloj atrasa. La situacin es similar a la de dos hombres comparando el nmero de escalones que tienen dos escaleras de mano idnticas, no paralelas. Un hombre siempre dir que los escalones de la otra escalera son ms cortos. Otra analoga: consideremos dos personas alejndose una de la otra. Cada una nota que la otra se hace menor conforme aumenta la distancia entre ellas. Naturalmente, mucha gente ha tratado de encontrar argumentos que eviten la extraa conclusin de que el tiempo di ere de un observador a otro. Pero nadie ha tenido xito, y los resultados experimentales con rman esta conclusin. Echemos un vistazo a algunos de ellos. A D


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Desafo 347 s

La luz puede acelerarse. Todos los espejos lo hacen! Veremos en el captulo sobre electromagnetismo que la materia tambin tiene el poder de doblar la luz y, por tanto, acelerarla. Sin embargo, veremos que todos estos mtodos tan slo cambian la direccin de propagacin; ninguno tiene la posibilidad de cambiar la celeridad de la luz en el vaco. En pocas palabras, la luz es un ejemplo de movimiento que no puede deternerse. Hay slo unos pocos ejemplos ms. Podras dar alguno? Qu pasara si pudisemos acelerar la luz a velocidades mayores? Para que esto fuese

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sender

receiver

v

y


y receiver light signal z sender v zF I G U R E 94 Montaje para la observacin del efecto Doppler

r x

s x

Ref. 159, Ref. 160

posible, la luz tendra que estar hecha de partculas con una masa no nula. Los fsicos llaman a esas partculas partculas masivas. Si la luz tuviese masa, sera necesario distinguir la velocidad de la energa sin masa c de la velocidad de la luz c L , que sera menor y dependera de la energa cintica de esas partculas masivas. La velocidad de la luz no sera constante, pero la velocidad de las partculas sin masa an s lo sera. Las partculas de luz masivas podran ser capturas , detenidas y almacenadas en una caja. Esas cajas luminosas haran de la iluminacin elctrica algo innecesario; bastara con almacenar en ellas algo de la luz del Sol durante el da y liberarla lentamente durante la noche tal vez tras darle una cierta velocidad.* Los fsicos han estudiado la posibilidad de que la luz sea masiva con bastante detalle. Las observaciones actuales establecen que la masa de las partculas de luz es menor que , kg, a partir de experimentos en la Tierra, y menor que kg, a partir de deducciones de astrofsica (que son algo menos lapidarias). En otras palabras, la luz no es pesada, la luz es ligera (light is light). Pero, qu ocurre cuando la luz golpea un espejo en movimiento? Si la velocidad de la luz no cambia, alguna otra cosa deber hacerlo. La situacin es similar a la de una* Por cierto, la luz masiva tambin tendra modos de polarizacin longitudinales. Esto contradice las observaciones, que muestran que la luz slo est polarizada transversalmente a la direccin de propagacin.


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Desafo 348 e

fuente de luz movindose con respecto al observador: ste observar un color distinto del que observar el emisor. Esto se conoce como efecto Doppler. Christian Doppler* fue el primero en estudiar el cambio en la frecuencia en el caso de ondas sonoras el cambio, bien conocido, en el tono del silbato entre un tren que se acerca y uno que se aleja y en extender el concepto al caso de ondas lumnicas. Como veremos ms adelante, la luz es (tambin) una onda, y su color est determinado por su frecuencia o, equivalentemente, por su longitud de onda . Igual que el cambio de tono de los trenes en movimiento, Doppler se dio cuenta de que una fuente de luz en movimiento produce un color distinto en el que recibe la luz que en la fuente. Simplemente por geometra, y exigiendo que se conserve el nmero de mximos y mnimos, llegamos al resultado r = s ( v v cos r ) = ( cos r ) . c c ( )Motion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

v c

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Desafo 349 s

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Las variables v y r de esta expresin estn de nidas en la Figura . La luz proveniente de una fuente que se acerca ser, por tanto, corrida al azul, mientras que la luz de una fuente que se aleja ser corrida al rojo. La primera observacin del efecto Doppler para la , cuando estudiaba la luz emitida por tomos luz fue hecha por Johannes Stark**en en movimiento. Todas las medidas desde entonces han con rmado el cambio en color dentro del margen de error; las ltimas pruebas han encontrado un acuerdo de dos partes por milln. Al contrario que con las ondas sonoras, el cambio de color tambin se encuentra cuando el movimiento es transversal a la seal lumnica. As, una barra amarilla en rpido movimiento a lo largo de nuestro campo de visin tendr su extremo de avance azul y su extremo de retroceso rojo, justo en el momento en el que se encuentre ms cerca del observador. Los colores resultan de una combinacin del desplazamiento Doppler longitudinal (de primer orden) y transversal (de segundo orden). A cierto ngulo unshifted los colores sern los mismos. (Cmo cambia la longitud de onda in el caso puramente transversal? Cul es expresin de unshifted en funcin de v?) El cambio de color se usa en muchas aplicaciones. Casi todos los cuerpos slidos se comportan como espejos para las ondas de radio. Muchos edi cios tienen puertas que se abren automticamente cuando uno se aproxima. Un pequeo sensor situado sobre la puerta detecta una persona que se acerca. Normalmente lo hace midiendo el efecto Doppler sobre ondas de radio emitidas por el sensor y re ejadas por la persona. (Veremos ms adelante que las ondas de radio y la luz son manifestaciones del mismo fenmeno.) As, las puertas se abren cuando algo se acerca a ellas. Los radares de la polica tambin usan el efecto Doppler, en este caso para medir la velocidad de los coches.**** Christian Andreas Doppler (b. Salzburgo, d. Venecia), fsico austraco. Doppler estudi el efecto que lleva su nombre tanto en la luz como en el sonido. En predijo (correctamente) que algn da seramos capaces de usar este efecto para medir el movimiento de estrellas lejanas a partir de su color. ** Johannes Stark ( ), descubri en el efecto Doppler ptico en los rayos de canal y, en , el desdoblamiento de las lneas espectrales en los campos elctricos, hoy en da llamado efecto Stark. Por estas dos contribuciones recibi en el Premio Nobel de fsica. Dejo su ctedra en y se convirti en un seguidor a ultranza del nacionalsocialismo. Como miembro del NSDAP desde en adelante, fue conocido por criticar agresivamente las a rmaciones de otras personas sobre la naturaleza simplemente por motivos ideolgicos; tras lo que fue rechazado por la comunidad acadmica internacional. *** Por cierto, a qu velocidad se ve verde la luz de un semforo en rojo?


Desafo 350 s

.

,

El efecto Doppler tambin posibilita medir la velocidad de las fuentes de luz. De hecho, se usa comnmente para medir la velocidad de estrellas distantes. En estos casos, el desplazamiento Doppler es a menudo caracterizado por el corrimiento al rojo z, de nido con la ayuda de la longitud de onda o la frecuencia f como z= f S = = fR c+v . cv ( )

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Te imaginas como se determina el nmero z? Los valores tpicos de z para fuentes de luz en el cielo varan entre , y , , pero se han encontrado valores mayores, de hasta o ms. Podras determinar las velocidades correspondientes a estos valores de corrimiento al rojo? Cmo pueden ser tan altas? En resumen, siempre que tratamos de cambiar la velocidad de la luz, tan slo conseguimos cambiar su color. Eso es el efecto Doppler. Sabemos de la fsica clsica que cuando la luz pasa cerca de una masa grande, como una estrella, cambia su direccin de propagacin. Produce desplazamiento Doppler este cambio de direccin? L El efecto Doppler es mucho ms importante para la luz que para el sonido. Incluso sin saber que la velocidad de la luz es una constante, este efecto por s slo prueba que el tiempo es distinto para observadores que se mueven unos respecto de otros. Por qu? El tiempo es lo que medimos con un reloj. Para determinar si otro reloj est sincronizado con el nuestro, miramos a ambos relojes. En pocas palabras, necesitamos usar seales lumnicas para sincronizar relojes. Ahora bien, cualquier cambio en el color de la luz que se mueve de un observador a otro necesariamente implica que sus relojes funcionan de manera diferente y que, por tanto, el tiempo mismo es distinto para cada uno de ellos dos. Una manera de ver esto es darse cuenta de que la propia luz es un reloj con un tictac muy rpido. As que si dos observadores ven que la luz de una misma fuente tiene dos colores distintos, medirn un nmero distinto de oscilaciones del mismo reloj. En otras palabras, el tiempo es distinto para observadores que se mueven unos respecto de otros. De hecho, la ecuacin ( ) implica que toda la relatividad se deduce del efecto Doppler para la luz. (Puedes con rmar que la conexin entre frecuencias que dependen del observador y tiempos que dependen del observador no se da en el caso del efecto Doppler para el sonido?) Por qu el comportamiento de la luz implica la relatividad especial, mientras que el del sonido en el aire no lo hace? La respuesta es que la luz es un lmite para el movimiento de energa. La experiencia nos muestra que hay aviones supersnicos, pero no hay cohetes superlumnicos. En otras palabras, el lmite v c se cumple slo si c es la velocidad de la luz, no si c es la velocidad del sonido en el aire. Ahora bien, hay al menos un sistema en la naturaleza en el que la velocidad del sonido es realmente un lmite para la velocidad de la energa: la velocidad del sonido es la velocidad lmite del movimiento de dislocaciones en slidos cristalinos. (Discutiremos esto en detalle ms adelante.) Como consecuencia, la teora de la relatividad especial tambin es vlida para esas dislocaciones, siempre y cuando la velocidad de la luz se sus-


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Desafo 354 s

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,

,

F I G U R E 95 Lucky LukeMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

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tituya en todas partes por la del sonido! Las dislocaciones cumplen las transformaciones de Lorentz, muestran contracciones de longitudes y obedecen la famosa frmula para la energa E = mc . En todos estos efectos la velocidad del sonido c juega el mismo papel para las dislocaciones que la velocidad de la luz para los sistemas fsicos generales. Si la relatividad especial se basa en la a rmacin de que nada puede moverse ms rpido que la luz, esto tiene que comprobarse con mucho cuidado. P ?

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Para que Lucky Luke consiga hacer lo que se muestra en la Figura , su bala tiene que moverse ms rpido que la luz. (Qu hay sobre la velocidad de su mano?) Para emular a Lucky Luke, podramos coger la mayor cantidad posible de energa disponible, tomndola directamente de una estacin generadora de electricidad, y acelerar las balas ms ligeras que podemos manejar: los electrones. Este experimento se lleva a cabo todos los das en aceleradores de partculas como el LEP, (Large Electron Positron ring). El LEP, con km de circunferencia, se encuentra parte en Francia y parte en Suiza, cerca de Ginebra. All, MW de potencia elctrica (la misma cantidad que consume una ciudad pequea) se consumen para acelerar electrones y positrones a energas por encima de nJ ( , GeV) cada uno, y se miden sus velocidades. El resultado se muestra en la Figura : incluso con estos impresionantes medios no es posible hacer que los electrones se muevan ms rpido que la luz. (Puedes imaginar un modo de medir la velocidad y la energa de forma independiente?) La relacin velocidadenerga de la Figura es una consecuencia de la velocidad mxima, y se deduce ms adelante. Estas observaciones, y otras parecidas, nos muestran que hay un lmite a la velocidad de los objetos. Los cuerpos (y la radiacin) no se pueden mover a velocidad mayores que la de la luz.**La precisin* Qu es ms rpido que la sombra? Un dicho que se encuentra a menudo en los relojes de sol. ** An hay gente que se niega a aceptar estos resultados, as como toda la teora de la relatividad. Todo fsico debera disfrutar la experiencia, al menos una vez en la vida, de conversar con uno de estos hombres. (Curiosamente, nadie ha visto a ninguna mujer entre esa gente.) Esto se puede hacer, por ejemplo, gracias a

Quid celerius umbra?*


.

,

v2 c2

TGal =

1 m v2 2

T = m c2 (

1 1 - v2/c 2

1)

F I G U R E 96 Valores experimentales (puntos) de

T

la velocidad v de un electrn en funcin de su energa cintica T, comparados con la prediccin de la fsica galileana (azul) y la de la relatividad especial (rojo).

Desafo 357 s

Desafo 358 d

Ref. 166

Desafo 359 e Ref. 165

de la mecnica galileana no se discuti durante ms de tres siglos, as que nadie pens en ponerla a prueba; pero cuando nalmente se hizo, como en la Figura , se encontr que era incorrecta. Las personas ms fastidiadas por este lmite son los ingenieros de computadoras: si la velocidad lmite fuese mayor, sera posible hacer microprocesadores ms rpidos y, por tanto, ordenadores ms rpidos; esto permitira, por ejemplo, un avance en la construccin de ordenadores que entiendan y utilicen el lenguaje. La existencia de una velocidad lmite contradice la mecnica galileana. De hecho, eso signi ca que para velocidades cercanas a la de la luz, digamos unos km s o ms, la expresin mv no puede ser la velocidad cintica T de la partcula. De hecho, esas velocidades altas son bastante comunes: muchas familias tienen un ejemplo en sus casas. Simplemente calcula la velocidad de los electrones dentro de un aparato de televisin, sabiendo que el transformador de su interior produce kV. La observacin de que la velocidad de la luz es una velocidad lmite para los objetos se ve fcilmente que es una consecuencia de que sea constante. Los cuerpos que pueden estar en reposo en un marco de referencia obviamente se mueven ms lentamente que la velocidad mxima (la de la luz) en ese marco de referencia. Ahora bien, si algo se mueve ms despacio que otra cosa para un observador, tambin lo har as para cualquier otro observador. (Intentar imaginar un mundo en el que esto no fuese as es interesante: cosas divertidas pasaran, tales como objetos que se interpenetran unos a otros.) Puesto que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, ningn objeto se puede mover ms rpido que la luz, para ningn observador. Concluimos que la velocidad mxima es la velocidad de las entidades sin masa. Las ondas electromagnticas, incluyendo la luz, son las nicas entidades conocidas que pueden viajar a la velocidad mxima. Se ha predicho que las ondas gravitacionales tambin alcanzan la velocidad mxima. A pesar de que la velocidad del neutrino no puede distinguirse experimentalmente de la velocidad mxima, algunos experimentos recientes sugieren que tienen masa, aunque minscula. Recprocamente, si un existe un fenmeno cuya velocidad es la velocidad lmite para un observador, entonces esa velocidad lmite necesariamente debe ser la misma para todos los observadores. La conexin entre propiedades lmite e invariancia respecto alInternet, en el grupo de noticias de sci.physics.relativity Visite tambin http://www.crank.net . Estos chalados son una gente fascinante, especialmente porque insisten en la importancia de la precisin en el lenguaje y el razonamiento, que todos ellos, sin excepcin, ignoran. Los encuentros con algunos de ellos me inspiraron para escribir este captulo.


,t first observer (e.g. Earth) second observer (e.g. train)

,

third observer (e.g. stone)

kseT kteT T

OMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

xF I G U R E 97 Cmo deducir la composicin de velocidades.

Desafo 360 r

observador es vlida en general en la naturaleza? C Si la velocidad de la luz es un lmite, ningn intento por superarla puede triunfar. Esto implica que cuando se componen velocidades, como cuando uno arroja una piedra mientras corre, los valores no pueden sumarse sin ms. Si un tren est viajando a una velocidad vte respecto a la Tierra, y alguien lanza una piedra en su interior con velocidad vst respecto al tren, y en la misma direccin, normalmente se asume que como evidente que la velocidad de la piedra respecto a la Tierra ser vse = vst + vte . De hecho, tanto el razonamiento como el experimento muestran un resultado diferente. La existencia de una velocidad mxima, junto con la Figura , implica que los factores k deben satisfacer k se = k st k te .*Entonces slo tenemos que insertar la relacin ( ) entre cada factor k y su respectiva velocidad para obtener vse = vst + vte . + vst vte c ( )

Desafo 361 e


Desafo 362 e Pgina 232, pgina 544 Ref. 160

Esta expresin se llama frmula de composicin de velocidades. El resultado nunca supera a c y siempre es menor que la (ingenua) suma directa de velocidades.**La expresin ( ) se ha con rmado en todos los millones de casos en los que se ha puesto a prueba. Puedes comprobar que se reduce a la suma directa para valores pequeos de velocidad. O La relatividad especial se construye a partir de un slo principio:* Tomando el logaritmo neperiano de esta ecuacin, se puede de nir una magnitud, la rapidez, que mide la velocidad y que es aditiva. ** Se puede deducir la transformacin de Lorentz directamente de esta expresin.

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.

,

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La velocidad mxima a la que se puede transportar la energa es la misma para todos los observadores. O, como le gustaba decir a Hendrik Lorentz:* La velocidad v de un sistema fsico est limitada porpara todos los observadores, donde c es la velocidad de la luz en el vaco. Esta independencia de la velocidad de la luz respecto al observador fue comprobada con gran precisin por Michelson y Morley**en los aos y siguientes. En todos los experimentos realizados desde entonces, se ha con rmado igualmente con gran precisin. El ms preciso hasta la fecha, con una precisin de se muestra en la Figura . De hecho, la relatividad especial tambin se haba con rmado por todos los experimentos precisos que se realizaron antes de que fuese formulada. Incluso puedes con rmarla t mismo en casa. La forma de hacerlo se muestra en la seccin sobre electrodinmica. La existencia de un lmite a la velocidad tiene varias consecuencias interesantes. Para explorarlas, dejemos el resto de la fsica galileana intacta.***La velocidad lmite es la velocidad de la luz. Es constante para todos los observadores. Esta invariancia implica: Desde dentro de una habitacin cerrada, que ota libremente, no hay ninguna manera de medir la velocidad de la habitacin. No existe el reposo absoluto (ni el espacio absoluto): el reposo (como el espacio) es un concepto que depende del observador.**** El tiempo depende del observador; el tiempo no es absoluto.* Hendrik Antoon Lorentz (b. Arnhem, d. Haarlem) fue, junto con Boltzmann y Kelvin, uno de los fsicos ms importantes de su poca. Dedujo la transformacin de Lorentz y la contraccin de Lorentz a partir de las ecuaciones para el campo electromagntico de Maxwell. Fue el primero en entender, mucho antes de que la teora cuntica con rmara la idea, que las ecuaciones de Maxwell para el vaco tambin describan la materia y todas sus propiedades, siempre y cuando se incluyeran partculas puntuales, cargadas y en movimiento los electrones. En particular, demostr esto para la dispersin de la luz, el efecto Zeeman, el efecto Hall y el efecto Faraday. Propuso la descripcin correcta de la fuerza de Lorentz. En recibi el Premio Nobel de fsica, junto con Pieter Zeeman. Aparte de su trabajo en la Fsica, fue un gran activista en la internacionalicin de las colaboraciones cient cas. Tambin particip en la creacin de las mayores estructuras construidas por el hombre en la Tierra: los polders de Zuyder Zee. ** Albert-Abraham Michelson (b. Strelno, d. Pasadena), fsico pruso-polaco-estadounidense, ganador del Premio Nobel de fsica en . Michelson llam interfermetro al instrumento que diseo, un trmino an en uso actualmente. Edward William Morley ( ), qumico estadounidense, era amigo de Michelson y su colaborador durante mucho tiempo. *** Este punto es esencial. Por ejemplo, la fsica galileana establece que slo el movimiento relativo tiene signi cado fsico. La fsica galileana tambin excluye varias formas matemticamente posibles de conseguir una velocidad de la luz constante que contradira la experiencia cotidiana. El artculo original de Einstein de parte de dos principios: la constancia de la velocidad de la luz y la equivalencia de todos los observadores inerciales. El segundo principio ya fue establecido por Galileo en ; slo la a rmacin de que la velocidad de la luz es constante era nueva. A pesar de esto, la nueva teora fue bautizada por Poincar segn el viejo principio, en lugar de llamarse teora de la invariancia, que es lo que el propio Einstein hubiese preferido. **** Podras dar el argumento que lleva a esta deduccin?

vc

( )

Ref. 169 Ref. 170


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Pgina 94


,

,Power servoFC Frequency counter

beat frequency change [Hz ]

30 20 angle/3 [deg]PZT T C T C

AOM driver

Fiber

10 0 10 20 0 100 200 300 400 500 time since begin of rotation [s] 600

Laser 1 Nd: YAG Laser 2 Nd: YAGPZT

AOM

PD

FC Fiber Res B PD BS PD PD PD Res A FC

AOM

FC

DBM

Frequency servo Frequency servo Local oscillator Local oscillator

DBM

AOM driver

Power servo


F I G U R E 98 Resultados, esquema y montaje del experimento tipo Michelson-Morley ms preciso

realizado hasta la fecha ( Stephan Schiller).

Desafo 364 e

Conclusiones ms interesantes y espec cas se pueden extraer cuando se asumen dos condiciones adicionales. Primera, estudiamos situaciones donde la gravedad puede despreciarse. (Si este no es el caso, necesitamos la relatividad general para describir el sistema.) Segunda, asumimos tambin que los datos sobre los cuerpos bajo estudio sus velocidades, posiciones, etc. pueden determinarse sin perturbarlos. (Si este no es el caso, necesitamos la teora cuntica para describir el sistema.) Si se observa que un cuerpo en ausencia de fuerzas viaja en lnea recta con una velocidad constante (o permanecer en reposo), decimos que el observador es inercial, y su sistema de referencia es un sistema inercial de referencia. Todos los observadores inerciales son a su vez ejemplos de movimiento no perturbado. Ejemplos de observadores inerciales, por tanto, incluyen en dos dimensiones aquellos que se deslizan sin rozamiento sobre una super cie de hielo o estn viajando en un tren o barco que se mueve en linea recta muy suavemente; para un ejemplo en las tres dimensiones espaciales podemos pensar en un cosmonauta viajando en una nave espacial con el motor apagado. Los observadores inerciales en tres dimensiones tambin conocen como observadores que otan libremente. No son muy comunes. Los observadores no inerciales son mucho ms numerosos. Podras con rmarlo? Los observadores inerciales son los ms sencillos, y forman un conjunto especial:


.observer (greek) light c observer (roman)F I G U R E 99 Dos observadores inerciales y un rayo de luz.

,

v

t

Galilean physics L

t

special relativity L


O, x, O, x

F I G U R E 100 Diagramas espacio-tiempo para la luz vista desde dos observadores distintos, que utilizan

las coordenadas (t, x) y (, ).

Dos observadores inerciales cualesquiera se mueven siempre con velocidad relativa constante uno respecto del otro (siempre y cuando la gravedad sea despreciable, como se asumi anteriormente). Todos los observadores inerciales son equivalentes: describen el mundo con las mismas ecuaciones. Como esto implica que no existen ni espacio ni tiempos absolutos, esta a rmacin fue llamada el principio de la relatividad por Henri Poincar. Sin embargo, la esencia de la relatividad es la existencia de una velocidad lmite. Para ver cmo las medidas de longitudes e intervalos de tiempo cambian de un observador a otro, asumamos que hay dos observadores inerciales, un romano que usa coordenadas x, y, z y t, y un griego que usa , , y ,*que se mueven con una velocidad relativa v uno respecto del otro. Los ejes se eligen de tal forma que la velocidad apunte en la direccin x. La constancia de la velocidad de la luz en cualquier direccin para cualquier par de observadores implica que el diferencial de las coordenadas cumple = (cdt) (dx) (dy) (dz) = (cd) (d) (d) (d) . ( )


Desafo 365 e

Asumamos tambin que hay un ash en reposo respecto al observador griego, por tanto con d = , que produce dos fogonazos separados por un intervalo de tiempo d. Para el observador romano, el ash se mueve con velocidad v, as que dx = vdt. Insertando esta igualdad en la expresin anterior, y asumiendo linealidad e independencia de la direccin de la velocidad para el caso general, encontramos que los intervalos se relacionan

* Los nombres, correspondencia con letras latinas, y pronunciacin de todas las letras griegas se explican en el Appendix A.

,

,

mediante dt = (d + vd c ) = d + vd c con v = dx dt

dx = (d + vd) = dy = d dz = d .

v c d + vd v c

( )

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Desafo 367 s

Estas expresiones describen cmo se relacionan las medidas de longitud e intervalos de tiempo de distintos observadores. A velocidades relativas v pequeas respecto a la de la luz, como ocurre en la vida cotidiana, los intervalos de tiempo son esencialmente iguales; el factor de dilatacin o la correccin relativista o la contraccin relativista es esencialmente para todos los casos prcticos. Sin embargo, para velocidades cercanas a la de la luz las medidas de dos observadores son distintas. En esos casos, el espacio y el . tiempo se mezclan, como muestra la Figura Las expresiones ( ) tambin son extraas en otro aspecto. Cuando dos observadores se miran uno a otro, cada uno de ellos a rma que mide intervalos ms cortos que el otro. En otras palabras, la relatividad especial nos dice que el cesped del otro lado de la valla es siempre ms corto si uno recorre la valla en bicicleta y el cesped est inclinado. Exploraremos este extrao resultado en ms detalle en breve. El factor de dilatacin es igual a para la mayora de casos prcticos de la vida cotidiana. El mayor valor que han alcanzado los humanos es de unos ; el mayor valor observado en la naturaleza supera . Podras imaginar dnde se encuentran? Una vez que sabemos cmo cambian los intervalos de espacio y tiempo, podemos deducir fcilmente cmo cambian las coordenadas. La Figura y la Figura muestran que la coordenada x de un evento L es la suma de dos intervalos: la coordenada y la distancia entre los dos orgenes. En otras palabras, tenemos = (x vt) y v = = (t xv c ) . dx . dt ( )


Usando la invariancia del espacio-tiempo, llegamos a


( )

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Henri Poincar llam a estas dos relaciones las trasformaciones de Lorentz del espacio y el tiempo por su descubridor, el fsico holands Hendrik Antoon Lorentz.*En uno de los ms bellos descubrimientos de la Fsica, en y , Lorentz dedujo estas relaciones de las ecuaciones de la electrodinmica, donde haban estado tranquilamente esperando ser descubiertas desde .**En ese ao James Clerk Maxwell haba publicado las ecua* Para ms informacin sobre Hendrik Antoon Lorentz, ver la pgina . ** El mismo descubrimiento fue publicado por primera vez en por el fsico aleman Woldemar Voigt ( ); Voigt se pronuncia Fot tambin fue el descubridor del efecto Voigt y del tensor de Voigt. El fsico irlands George F. Fitzgerald tambin encontr este resultado, en , de forma independiente.

.

,

Ref. 172

ciones para describir todo sobre electricidad y magnetismo. Sin embargo, fue Einstein quien primero entendi que t y , igual que x y , son igualmente correctas y por tanto igualmente vlidas para describir el espacio y el tiempo. La transformacin de Lorentz describen el cambio de punto de vista de un sistema de referencia inercial a otro. Este cambio de punto de vista se conoce como boost (de Lorentz). Las frmulas ( ) y ( ) para el boost son fundamentales para las teoras de la relatividad, tanto la especial como la general. De hecho, las matemticas de la relatividad especial no son ms difciles que esto: si sabes lo que es una raz cuadrada, puedes estudiar relatividad especial en todo su esplendor. Se han explorado muchas formulaciones alternativas para el boost, tales como expresiones en las que se incluyen las aceleraciones de los dos observadores, adems de la velocidad relativa. Sin embargo, todas ellas deben descartarse cuando se comparan sus predicciones con los experimentos. Antes de echar un vistazo a esos experimentos, continuemos con unas pocas deducciones lgicas de las relaciones del boost. Q ?


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Von Stund an sollen Raum fr sich und Zeit fr sich vllig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbststndigkeit bewaren.* Hermann Minkowski.

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Las transformaciones de Lorentz nos dicen algo importante: que el espacio y el tiempo son dos aspectos de la misma entidad bsica. Ambos se mezclan de diferente manera para observadores distintos. Este hecho se expresa comnmente a rmando que el tiempo es la cuarta dimensin. Esto tiene sentido porque la entidad bsica comn llamada espacio-tiempo puede de nirse como el conjunto de todos los eventos, eventos que se describen con cuatro coordenadas en el tiempo y el espacio, y porque el conjunto de todos los eventos tiene las propiedades de una variedad.** (Puedes con rmar esto?) En otras palabras, la existencia de una velocidad mxima en la naturaleza nos obliga a introducir una variedad para el espacio-tiempo en nuestra descripcin de la naturaleza. En la teora de la relatividad especial, la variedad del espacio-tiempo se caracteriza por una propiedad sencilla: el intervalo espacio-temporal di entre dos eventos cercanos, de nido como v di = c dt dx dy dz = c dt ( ) , ( ) c es independiente del observador (inercial). Un espacio-tiempo con esta propiedad se conoce tambin como espacio-tiempo de Minkowski, en honor a Hermann Minkowski,***


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* De ahora en adelante el espacio en s mismo y el tiempo en s mismo caern completamente en las sombras y slo una especie de unin de los dos mantendr su autonoma. Esta famosa cita fue la frase con la que Minkowski inici su charla en la reunin de la Gesellscha fr Naturforscher und rzte de . ** El trmino matemtico variedad se de ne en el Apndice D. *** Hermann Minkowski ( ), matemtico alemn. Desarroll ideas similares a las de Einstein, pero no fue tan rpido como l. Minkowski entonces desarroll el concepto de espacio-tiempo. Minkowski muri repentinamente a la edad de aos.

,

,

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el profesor de Albert Einstein. Minkowski fue el primero, en , en de nir el concepto de espacio-tiempo y en entender la su utilidad e importancia. El intervalo espacio-temporal di de la ecuacin ( ) tiene una interpretacin sencilla. Es el tiempo medido por un observador que se mueve desde el evento (t, x) al evento (t + dt, x + dx), el llamado tiempo propio, multiplicado por c. Si ignoramos el factor c, podemos llamarlo simplemente tiempo de reloj. Vivimos en un espacio-tiempo de Minkowski, para entendernos. El espacio-tiempo de Minkowski existe independientemente de las cosas. E incluso aunque un sistema de referencia puede ser distinto de un observador a otro, la entidad subyaciente, el espaciotiempo, sigue siendo nico, incluso aunque el espacio y el tiempo mismos no lo sean. En qu se distingue el espacio-tiempo de Minkowski del espacio-tiempo de Galileo, la combinacin del tiempo y el espacio cotidianos? Ambos espacio-tiempos son variedades matemticas es decir, conjuntos continuos de puntos con una dimensin temporal y tres espaciales, y ambas variedades tienen la topologa de una esfera perforada. (Puedes con rmar esto ltimo?) Ambas variedades son planas, es decir con curvatura cero. En ambos casos, el espacio es lo que medimos con una regla o con un rayo de luz, y el tiempo es lo que leemos en un reloj. En ambos casos el espacio-tiempo es fundamental; es y ser el fondo y el contenedor de las cosas y los eventos. La principal diferencia, de hecho la nica, es que el espacio-tiempo de Minkowski, a diferencia del galileano, mezcla espacio y tiempo y, en particular, lo hace de manera . Por esto distinta para observadores con diferente velocidad, como muestra la Figura es por lo que decimos que el tiempo es un concepto que depende del observador. La velocidad mxima en la naturaleza nos fuerza a describir el movimiento con el espacio-tiempo. Esto es interesante, porque en el espacio-tiempo, hablando en trminos sencillos, el movimiento no existe. El movimiento slo existe en el espacio. En el espaciotiempo nada se mueve. El espacio-tiempo contiene una lnea de universo para cada partcula puntual. En otras palabras, en lugar de preguntarnos por qu existe el movimiento, debemos preguntarnos por qu el espacio-tiempo est surcado de lneas de universo. En este punto estamos lejos de poder responder ninguna de estas preguntas. Lo que s podemos hacer es explorar cmo tiene lugar el movimiento. P ? T


Sabemos que el tiempo es distinto para observadores diferentes. Ordena el tiempo los eventos en secuencias? La respuesta dada por la relatividad es un claro s y no. Ciertos conjuntos de eventos no estn ordenados de forma natural en el tiempo; otros s lo estn. Esto se ve mejor en un diagrama espacio-temporal. Claramente, dos eventos pueden ordenarse en una secuencia slo si un evento es la causa del otro. Pero esta conexin slo puede aplicarse a eventos en los que hay un intercambio de energa (por ejemplo mediante una seal). En otras palabras, una relacin de causa y efecto entre dos eventos implica que energa o seales viajan de uno a otro; en consecuencia, la velocidad que conecta los dos eventos no puede mayor que la velocidad de la luz. La Figura muestra que el evento E en el origen de coordenadas slo puede ser in uenciado por los eventos del cuadrante IV (el cono de luz del pasado, cuando se incluyen todas las dimensiones espaciales), y a su vez slo puede in uenciar aquellos eventos situados en el cuadrante II (el cono de luz del futuro). Los eventos de los cuadrantes I y

.

,

timelig ht co ne

t

T

T

III elsewhere E elsewhere

I space x past E elsewhere y

IV past

F I G U R E 101 Un diagrama espacio-temporal de un objeto mvil T visto desde un observador inercial O en los casos con una y dos dimensiones espaciales.

lig ht co ne

II future

ne co ht lig

future

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III ni in uyen ni son afectados por el evento E. El cono de luz de ne la frontera entre los eventos que pueden ordenarse con respecto a su origen aquellos dentro del cono y aquellos que no pueden los que estn fuera de los conos, que ocurren en otro lugar para todos los observadores. (Alguna gente llama a todos los eventos que suceden en algn otro lugar para todos los observadores presente.) As, el tiempo ordena los eventos slo parcialmente. Por ejemplo, para dos eventos que no estn conectados causalmente, su orden temporal (o su simultaneidad) depende del observador! El particular, el cono de luz del pasado proporciona el conjunto completo de los eventos que pueden in uenciar lo que ocurre en el origen. Se dice que el origen est conectado causalmente slo con el cono de luz del pasado. Ten en cuenta que la conexin causal es un concepto invariante: todos los observadores estn de acuerdo sobre si se aplica o no a un par dado de eventos. Puedes con rmar esto? Un vector dentro del cono de luz se dice que es de tipo temporal; uno en el propio cono de luz se dice de tipo luz o nulo; y uno fuera del cono se dice de tipo espacial. Por ejemplo, la lnea del universo de un observador, es decir el conjunto de todos los eventos que forman su pasado y su futuro, consiste tan slo de eventos de tipo temporal. El tiempo es la cuarta dimensin; expande el espacio a espacio-tiempo y completa el espacio-tiempo. Esta es la relevancia de la cuarta dimensin para la teora de la relatividad especial, ni ms ni menos. La relatividad especial nos ensea que la causalidad y el tiempo pueden de nirse slo porque existen los conos de luz. Si el transporte de energa a velocidades mayores que la de luz fuese posible, el tiempo no podra de nirse. La Causalidad, es decir la posibilidad de ordenar (parcialmente) los eventos para todos los observadores, se debe a la existencia de una velocidad mxima. Si la velocidad de la luz pudiese sobrepasarse de alguna manera, el futuro podra inuenciar al pasado. Puedes con rmar esto? En tal situacin, observaramos efectos acausales. Sin embargo, hay un fenmeno cotidiano que nos dice que la velocidad de la luz es realmente mximal: nuestra memoria. Si el futuro pudiese in uenciar al pasado, podramos tambin recordar el futuro. Para decirlo con otras palabras, si el futuro pudiese

ne co ht lig


in uenciar al pasado, el segundo principio de la termodinmica no sera vlido y nuestra memoria no funcionara.* Ningn dato de la vida cotidiana ni de los experimentos proporciona ninguna evidencia de que el futuro pueda in uenciar al pasado. En otras palabras, viajar por el tiempo al pasado es imposible. Ms adelante veremos de qu manera cambia la situacin en la teora cuntica. Curiosamente, viajar por el tiempo hacia el futuro s es posible, como veremos pronto.

CM : C ?

Desafo 372 e

Cmo de lejos de la Tierra podemos viajar, teniendo en cuenta que el viaje no debe durar ms que una vida humana digamos aos y que se nos permite utilizar un cohete cuya velocidad puede acercarse a la de la luz tanto como queramos? Dado el tiempo t que vamos a pasar en el cohete, dada su velocidad v y asumiendo con optimismo que el cohete puede acelerar y frenar en un lapso despreciable de tiempo, la distancia d que podemos alejarnos viene dada por d= vt v c . ( )


La distancia d es mayor que ct cuando v > , c y, si v se elige su cientemente grande, crece sin ningn lmite! En otras palabras, la relatividad no limita la distancia que podemos viajar en una vida humana, ni siquiera la que podemos viajar en un slo segundo. Podramos, en principio, viajar por todo el universo en menos de un segundo. En situaciones tales como estas tiene sentido introducir el concepto de velocidad propia w, de nida como v =v. ( ) w=d t= v c Como acabamos de ver, la velocidad propia no est limitada por la velocidad de la luz; de hecho la velocidad propia de la luz es in nita.** P ? Una velocidad mxima implica que el tiempo es diferente para observadores que se mueven unos respecto de otros. Por tanto, tenemos que ser cuidadosos a la hora de sin* Hay otro resultado relacionado con ste que poco a poco se est convirtiendo en conocimiento comn. Incluso aunque el espacio-tiempo tuviera una forma no trivial, tal y como una topologa cilndrica con curvas tipo temporal cerradas, an sera imposible viajar al pasado, al contrario de como sugieren muchas novelas de ciencia- ccin. Stephen Blau ha dejado esto claro en un artculo pedaggico reciente. ** Utilizando la velocidad propia, la relacin dada por la ecuacin ( ) para la superposicin de dos velocidades wa = a va y wb = b vb se simpli ca a w s = a b (v a + v b ) y w s = w b , ( ) donde los signos y designan las componentes paralela y perpendicular a la direccin de va , respectivamente. De hecho, podemos expresar toda la relatividad especial en trminos de magnitudes propias.

S


Ref. 174 Desafo 373 e

Ref. 175

.first twin

,

Earth time

trip of second twin time comparison and change of rocketMotion Mountain The Adventure of Physics available free of charge at www.motionmountain.net

first twin

F I G U R E 102 La paradoja de los gemelos

Ref. 176, Ref. 177

cronizar relojes que estn separados, incluso aunque estn en reposo uno respecto al otro en un sistema de coordenadas inercial. Por ejemplo, si tenemos dos relojes similares que muestran la misma hora, y llevamos uno de ellos durante un paseo de ida y vuelta, mostrarn horas distintas a la vuelta del paseo. Este experimento se ha realizado varias veces y ha con rmado totalmente la prediccin de la relatividad especial. La diferencia de tiempo de una persona o un reloj viajando en un avin que da una vuelta a la Tierra a unos km h se del orden de ns no muy apreciable en la vida cotidiana- De hecho, el retraso puede calcularse fcilmente de la expresin t =. t ( )

Ref. 178

Los seres humanos son relojes; muestran el tiempo transcurrido, normalmente llamado edad, mediante diversos cambios en su forma, peso, color de pelo, etc. si una persona hace un viaje largo y muy rpido, a su regreso habr envejecido menos que otra persona que haya permanecido en su casa (inercial). El ejemplo ms famoso de esto es la paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes). Un joven deseoso de aventura sube a un cohete relativista que deja la Tierra y viaja durante muchos aos. Lejos de la Tierra, salta sobre otro cohete relativista que viaja en . A su regreso, sentido contrario y regresa a la Tierra. El viaje se ilustra en la Figura descubre que su hermano gemelo, que ha quedado en la Tierra, es mucho ms viejo que l. Puedes explicar este resultado, especialmente la asimetra entre los dos hermanos? Este resultado tambin ha sido con rmado por muchos experimentos. La relatividad especial con rma, de una manera sorprendente, la observacin bien sabida de que aquellos que viajan se mantienen ms jvenes. El precio pagado por la juventud es, sin embargo, que todo alrededor de uno cambia mucho ms rpidamente que si uno se quedase en reposo con su entorno.


higher atmosphere

high counter

decays

low counter

F I G U R E 103 Ms muones de los esperados llegan al suelo debido a que al viajar muy rpido se mantienen jvenes.


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La paradoja de los gemelos tambin puede verse como una con rmacin de la posibilidad de viajar por el tiempo hacia el futuro. Con la ayuda de un cohete rpido que vuelva a su punto de partida, podemos llegar a horas locales que nunca hubisemos alcanzado con nuestra vida permaneciendo en casa. Eso s, nunca podremos volver al pasado.* Uno de los experimentos ms sencillos que con rman la juventud prolongada de los viajeros rpidos tiene que ver con contar muones. Los muones son partculas que se forman continuamente en las capas altas de la atmsfera debido a la radiacin csmica. Los muones en reposo (con respecto al reloj de medida) tienen una vida media de , s (o, a la velocidad de la luz, m). Despus de este lapso de tiempo, la mitad de los muones se ha desintegrado. Esta vida media puede medirse utilizando un sencillo contador de muones. Adems, existen contadores de muones que slo cuentan aquellos que viajan con una velocidad dentro de un determinado intervalo, digamos entre , cy , c. Podemos poner uno de esos contadores especiales en la cima de una montaa y otro en un valle cercano, como muestra la Figura . La primera vez que se realiz este experimento, la diferencia de altura fue de , km. Viajar , km a travs de la atmsfera a la velocidad mencionada toma alrededor de , s. Con la vida media indicada anteriormente, un primer clculo nos da que slo un % de los muones observados en la cima llegar al valle. Sin embargo, se observa que alrededor del % de los muones llegan abajo. El motivo de este resultado es la dilatacin temporal relativista. De hecho, a la velocidad mencionada, los muones experimentan una diferencia temporal de slo , s durante su viaje desde la cima de la montaa al fondo del valle. Este tiempo tan corto da un nmero de desintegraciones municas mucho menor que el que se tendra sin dilatacin temporal; ms an, el porcentaje medido con rma el valor predicho por el factor de dilatacin dentro de los mrgenes de error experimentales, como puedes comprobar. Un efecto similar se* Hay incluso libros especializados en el viaje en el tiempo, tales como el bien documentado texto de Nahin. Ntese que el concepto de viaje en el tiempo tiene que de nirse con claridad; de lo contrario nos quedamos sin respuestas frente a un o cinista que dice que su silln de o cina es una mquina del tiempo, ya que al sentarse sobre l viaja al futuro.


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Ref. 181

Desafo 376 s

Desafo 377 e

observa cuando los muones relativistas se producen en aceleradores de laboratorio. El aumento de la vida media tambin se ha encontrado en otros muchos sistemas inestables, tales como los piones, tomos de hidrgeno, tomos de nen y varios ncleos, siempre con rmando las predicciones de la relatividad especial. Puesto que todos los cuerpos en la naturaleza estn compuestos por partculas, el efecto rejuvenecedor de las velocidades elevadas (normalmente llamado dilatacin temporal) se aplica a cuerpos de todos los tamaos; de hecho, no slo se ha observado para partculas, tambin para lasers, transmisores de radio y relojes. Si el movimiento lleva a la dilatacin temporal, un reloj en el Ecuador, constantemente girando alrededor de la Tierra, debera ir ms lento que uno situado en los polos. Sin embargo, esta prediccin, que fue hecha por el propio Einstein, es incorrecta. La aceleracin centrfuga lleva a una reduccin de la aceleracin de la gravedad que cancela exactamente el incremento en la velocidad. Esta historia sirve como recordatorio de que hay que ser cuidadoso cuando se aplica la relatividad especial a situaciones en las que aparece la gravedad. La relatividad especial slo es aplicable cuando el espacio-tiempo es plano, no cuando la gravedad est presente. Resumiendo, una madre puede permanecer ms joven que su hija. Tambin podemos concluir que no podemos sincronizar relojes en reposo uno respecto del otro simplemente andando, con el reloj en la mano, de un lugar al otro. La forma correcta de hacerlo es mediante un intercambio de seales luminosas. Puedes describir cmo? Una de nicin precisa de la sincronizacin nos permite llamar simultneos a dos eventos distantes entre s. Adems, la relatividad especial nos muestra que la simultaneidad depende del observador. Esto ha sido con rmado por todos los experimentos realizados hasta ahora. Sin embargo, el deseo de la madre no es fcil de satisfacer. Imaginemos que una mujer es acelerada en una nave espacial alejndose de la Tierra a m s durante diez aos, despus frena a m s durante otros diez aos, entonces acelera otros diez aos hacia la Tierra y, nalmente, frena durante diez aos ms hasta aterrizar suavemente de nuevo en nuestro planeta. La mujer ha estado viajando durante cuarenta aos, llegando a estar a aos-luz de la Tierra. A su regreso, han pasado aos. Todo esto parece bien, hasta que nos damos cuenta de que la cantidad de combustible necesaria, incluso para el ms e ciente de los motores imaginables, es tan grande que la masa que puede regresar de este viaje es slo una parte entre . Semejante cantidad de combustible no existe en la Tierra. C La longitud de un objeto medida por un observador solidario al objeto se llama longitud propia. Segn la relatividad especial, la longitud medida por un observador inercial en movimiento siempre es menor que la longitud propia. Este resultado es una consecuencia directa de las transformaciones de Lorentz. Para un Ferrari que marcha a km h o m s, la longitud se contrae en , pm: menos que el dimetro de un protn. Vista desde el Sol, la Tierra se mueve a km s; lo que nos da una contraccin en longitud de cm. Ninguno de estos efectos se ha medido jams. Pero otros efectos mayores podran medirse. Veamos algunos ejemplos. Imagina un piloto volando a travs de un establo con dos puertas, una a cada extremo.


Desafo 378 e

observations by the farmer

observations by the pilot

pilot time farmer time


plane ends barn endsF I G U R E 104 Las apreciaciones del piloto y del dueo del establo.

ski h trap

ski trap

F I G U R E 105 Las apreciaciones de un cavador de agujeros y de un hombre haciendo snowboard, tal y

como (equivocadamente) se han publicado en otros textos.

Desafo 379 s

Ref. 182

El avin es ligeramente ms largo que el establo, pero se mueve tan rpido que su longitud es relativsticamente contrada hasta ser menor que la longitud del establo. Puede cerrar el granjero el establo (al menos durante un breve lapso de tiempo) con el avin completamente en su interior? La respuesta es a rmativa. Pero, por qu no puede decir el piloto lo siguiente: respecto a l, el establo se ha contrado; por tanto el avin no cabe . Para el granjero, las puertas se cierran dentro? La respuesta se muestra en la Figura (y vuelven a abrir) al mismo tiempo. Para el piloto, no. Para el granjero, el piloto est a oscuras durante un corto periodo de tiempo; para el piloto, el establo nunca est a oscuras. (Esto no es completamente cierto: podras revelar los detalles?) Exploremos ahora algunas variaciones del caso general. Puede un hombre haciendo snowboard muy rpido caer dentro de un agujero que sea un poco ms corto que su tabla? Imaginemos que baja tan rpido que el factor de contraccin en longitud es = d d is .* Para un observador en el suelo, la tabla de snowboard es cuatro veces ms corta, y cuando pasa sobre el agujero, caer dentro de l. Sin embargo, para el esquiador, es el agujero el que es cuatro veces ms corto; parece que la tabla no podr caer dentro. Un anlisis ms cuidadoso muestra que, a diferencia de lo que observa el cavador de agujeros, el esquiador no aprecia que la forma de la tabla sea ja: mientras pasa sobre el agujero, el esquiador observa que la tabla toma una forma parablica y cae dentro* Incluso la Tierra se contrae en la direccin de su movimiento de traslacin alrededor del Sol. Se puede medir este efecto?


Desafo 380 s

.h

,

v

B v(t)

rope

F v(t)

g < hF I G U R E 106 Mantiene la lmpara encendida el

F I G U R E 107 Qu le ocurre a

conector mvil a altas velocidades?

la cuerda?

Desafo 381 e Desafo 382 s Ref. 183

Ref. 184

Desafo 383 s

Ref. 185


del agujero, como muestra la Figura . Puedes con rmar esto? En otras palabras, la forma no es un concepto independiente del observador. (Sin embargo, la rigidez s es independiente del observador, si se de ne adecuadamente; puedes con rmar esto?) Esta explicacin, aunque publicada, no es correcta, como Harald van Lintel y Christian Gruber han apuntado. Uno no debera olvidar estimar el tamao del efecto. A velocidades relativistas, el tiempo que requiere el agujero para afectar a todo el grosor de la tabla no es despreciable. El esquiador slo ve que su tabla adopta una forma parablica si sta es extremadamente na y exible. Para una tabla normal a velocidades relativistas, el esquiador no tiene tiempo de caer ninguna altura h apreciable ni de entrar en el agujero antes de sobrepasarlo. La Figura est tan exagerada que es incorrecta. El esquiador simplemente pasar volando sobre el agujero. Las paradojas acerca de la contraccin de longitudes resultan incluso ms interesantes en el caso de conductores mviles que hacen contacto entre dos rales, como muestra la . Los dos rales son paralelos, pero uno de ellos tiene un huevo ms largo que el Figura conector. Puedes determinar si una lmpara conectada en serie se mantendr encendida cuando el conector desliza sobre los rales a una velocidad relativista? (Haz la simpli cacin no muy realista de que la corriente elctrica uye en el mismo instante en el que el conector toca los rales.) Obtienes el mismo resultado para todos los observadores? Y, qu ocurre cuando el conector es ms largo que el hueco? O cuando se acerca a la lmpara desde el otro lado? (Aviso: este problema suscita debates acalorados!) Qu no es realista en este experimento? Otro ejemplo de contraccin de longitudes aparece cuando dos objetos, digamos dos coches, estn conectados a una distancia d por una cuerda, como se muestra en la Figura . Imagina que ambos estn en reposo en el instante t = y entonces son acelerados juntos y de la misma manera. El observador en reposo mantendr que los dos coches permanecen separados por la misma distancia. Por otra parte, la cuerda necesita expandirse a una distancia d = d v c y, por tanto, tiene que expandirse mientras los coches estn acelerando. En otras palabras, la cuerda se romper. Se con rma esta prediccin para los observadores situados en cada uno de los dos coches? Un ejemplo divertido pero bastante poco realista de contraccin de longitudes es el de un submarino relativista que se mueve horizontalmente. Imagina que el submarino en reposo ha elegido su peso para mantenerse sumergido en el agua sin ninguna tendencia ni a otar ni a hundirse. Ahora el submarino se mueve (posiblemente con velocidad relativista). El capitn observa que el agua del exterior se contrae segn las relaciones de



Lorentz; por tanto ahora es ms densa y deduce que el submarino otar. Un pez cercano ve que el submarino se ha contrado y, por tanto, es ms denso que el agua, as que deduce que se hundir. Quin est equivocado, y cul es la fuerza de otacin aqu? Una pregunta alternativa: por qu es imposible que un submarino se mueva velocidades relativistas? Resumiendo, la contraccin de longitudes casi nunca puede observarse en situaciones realistas en cuerpos macroscpicos. Sin embargo, juega un papel importante para las imgenes. P D

Ref. 187

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Hemos encontrado varias formas en las que cambian las observaciones cuando un observador se mueve a gran velocidad. En primer lugar, la contraccin de Lorentz y la aberracin dan lugar a imgenes distorsionadas. En segundo lugar, la aberracin aumenta el ngulo de visin ms all de los grados a los que los humanos estamos acostumbrados en el da a da. Un observador relativista que mira en la direccin de su movimiento ve luz que es invisible para un observador en reposo porque, para este ltimo, viene desde atrs. En tercer lugar, el efecto Doppler produce un corrimiento en el color de las imgenes. En cuarto lugar, el movimiento rpido cambia el brillo y el contraste de la imagen: es el llamado efecto foco. Cada uno de estos cambios depende de la direccin a la que miramos; . se muestran en la Figura Los ordenadores modernos nos permiten simular las observaciones que haran observadores relativistas con calidad fotogr ca e, incluso, producir pelculas simuladas.* Las nos son especialmente tiles para entender la distorsin de las imgenes de la Figura imgenes. Muestran el ngulo de visin, el crculo que distingue los objetos en frente del observador de los que estn tras l, las coordenadas de los pies del observador y el punto en el horizonte hacia el que el observador se est moviendo. Aadir mentalmente estas marcas al mirar otras pelculas o dibujos puede ayudarte a entender ms claramente lo que muestran. Debemos destacar que la forma de las imgenes vistas por un observador en movimiento son una versin distorsionada de lo que vera uno en reposo en ese mismo punto. Un observador en movimiento, sin embargo, no ve cosas distintas que las que vera uno en reposo en el mismo punto. De hecho, los conos de luz son independientes del movimiento del observador. La contraccin de Lorentz se puede medir; sin embargo, no se puede fotogra ar. Esta distincin tan sorprendente no fue descubierta hasta . Medir implica simultaneidad con la posicin del observador. En una fotografa, la contraccin de Lorentz se modi ca por los efectos debidos a los distintos tiempos que necesita la luz para llegar a distintas partes del objeto; el resultado es un cambio en la forma que recuerda a una rotacin, pero no es exactamente eso. La deformacin total es una aberracin que depende del ngulo. Discutimos las aberraciones al principio de esta seccin. La aberracin transforma circunferencias en circunferencias: una transformacin as se llama conformal.* Ver, por ejemplo, las imgenes y pelculas en http://www.anu.edu.au/Physics/Searle de Anthony Searle, en http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de/~weiskopf/gallery/index.html por Daniel Weiskopf, en http:// www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/stone .htm por Norbert Dragon y Nicolai Mokros, o en http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de por el grupo de Hanns Ruder.


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F I G U R E 108 Vuelo a travs de doce columnas verticales (mostradas en las dos imgenes de arriba) a

una velocidad 0.9 veces la de la luz, segn Nicolai Mokros and Nor

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