Relaciones usuales

1 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

RELACIONES USUALES.

1.1. LA RECTA L Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que rigen mediante la

siguiente regla de correspondencia 0ax by c .

2: , / 0x y ax by c L

Gráficamente:

X

Y

: 0ax by c L

: 0 :a x by c ó y m x b L L

:Dominio Dom L :Rango Rang L

: " "Ángulo de inclinación de la Recta

:Pendiente de la Recta m tg

NOTA (1) Para graficar la recta es necesario tener dos puntos y para hallarlos debemos intersectar

con los ejes coordenados es decir:

; 0 ; 0,

; 0 ; ,0

c cb b

c ca a

Sea x y A

Sea y x B

NOTA (2) Teniendo dos puntos arbitrarios 0 0 0 1 1 1, ,P x y y P x y , podemos hallar la

ecuación general de la recta, es decir:

X

Y

0x 1x

0y

1y

0P

1P

1 0y y

1 0x x

: 0ax by c L

: y m x b L

0

0

: :y y

Ecuación de la recta mx x

L

1 0

1 0

:y y

Pendiente de la recta m tgx x

0 0 0 1 1 1: , ,Puntos de Paso P x y y P x y


NOTA (3) Debes recordar que la pendiente de la recta " "m da información del ángulo de

inclinación " " , es decir:

2

2

0 0

0

0

" "2

i Si m Pendiente positiva entonces es Agudo

ii Si m Pendiente negativa entonces es Obtuso

iii Si m entonces es Llano

iv Si m no existe entonces es Recto

CASOS PARTICULARES DE LA RECTA

CASO 1: Rectas horizontales (Rectas paralelas al eje X ). Esta relación resulta cuando el

coeficiente de la variable " "x es cero, es decir:

2 2: , / 0 , 0 : , /c

x y by c b c x y y kb

L L

Gráficamente

O

Y

:H y kL

0y

Eje X

k

X

: :HRecta Horizontal y kL

: HDominio Dom L

: 0Pendiente m

: HRango Rang kL

CASO 2: Rectas Verticales (Rectas paralelas al eje Y ). Esta relación resulta cuando el

coeficiente de la variable " "y es cero, es decir:

2 2: , / 0 , 0 : , /c

x y ax c a c x y x ha

L L

Gráficamente

OX

Y x h

0x Eje Y

: :VRecta Vertical x hL

h

: VDominio Dom hL

: VRango Rang L

: " "Pendiente m NO TIENE

2m tg


(E-2) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a rectas:

1 : 2 0

; 0 ; 2 0, 2

; 0 ; 2 2,0

x y

Sea x y A

Sea y x B

L

0, 2A

2,0B

OX

Y1 : 2 0x y L

2 : 0

; 0 ; 0 0,0

; 1 ; 1 1,1

x y

Sea x y A

Sea x x B

L

1,1B

O AX

Y

1

1

2 : 0x y L

3 : 1 0x R ecta Vertical L

OX

Y 3 : 1 0x L

1

4 : 2 0y Recta Horizontal L

O

X

Y

4 : 3 0y L

2

1


1.2. LA PARÁBOLA P Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que la distancia de

un punto que se mueve en un plano a una recta fija es igual a su distancia de un punto fijo

del plano.

2 2 2 2 2 2

1 2

2 22 2

1 2

: , / : , /

: , / : , /

x y y ax bx c x y x ay by c

x y y a x h k x y x a y k h

P P

P P

Caso1: (Parábolas paralelas al eje X)

: 0Parámetro a Se abrehacia arriba 1: ,Rango Rang k P

1:Dominio Dom P

: 0Parámetro a Se abrehacia abajo 1: ,Rango Rang k P

1:Dominio Dom P

22

1 1: :y ax bx c y a x h k P P

: ,Vertice V h k

,V h k

h

k

O

Y

X

0a

,V h k

h

k

O

Y

X

0a

Caso2: (Parábolas paralelas al eje Y)

,V h k

h

k

O

Y

X

0a

: 0Parámetro a Se abrehaciala izquierda 2:Rango Rang P

2: ,Dominio Dom h P

: 0Parámetro a Se abrehaciala derecha 2:Rango Rang P

2: ,Dominio Dom h P

22

2 2: :x ay by c x a y k h P P

: ,Vertice V h k

,V h k

h

k

O

Y

X

0a


OBSERVACIÓN (1) Para identificar las ecuaciones correspondientes a las parábolas y distinguirla

de los otros lugares geométricos se debe tener en cuenta que en la ecuación una de las variables es de

segundo grado (Puede ser " " " "x ó y ) y la otra debe ser de primer grado.

2 2

1 2: 0 ; : 0a y b y c x d a x b x c y d P P

12 12

OBSERVACIÓN (2) Para saber si la parábola tiene su eje focal paralelo al eje X ó Y se toma en

cuenta a la variable de 1 Grado, es decir:

1. Si la variables " "x es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje X

2

1 1: 0 / /a y b y c x d Eje Focal de X P P

1

2. Si la variables " "y es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje Y

2

2 2: 0 / /a x b x c y d Eje Focal de Y P P

1

(E-3) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a parábolas:

2

1 :

: 0,0

: 1

y x

Vertice V

Parámetro a

P

O

X

Y2

1 : y xP

1

1

2

2

2 2

2

2

: 2 4 0

2 2 1 1 0

2 1 2 0

2 1 2

: 2, 1

: 2 0

y y x

y x x

y x

x y

Vertice V

Parámetro a

P

OX

Y

2

2 : 2 4 0y y x P

2

1 2, 1V


1.3. LA CIRCUNFERENCIA C Es el conjunto de pares ordenados 2,x y que da como

resultado de hacer mover un punto en el plano de tal manera que se conserva siempre a una

misma distancia de un punto fijo (centro).

2 22 2 2 2 2: , / 0 ; : , /x y x bx y dy e x y x h y k r C C

Gráficamente:

: ,Rango Rang k r k r C : ,Dominio Dom h r h r C

2 22 2 2: 0 :x bx y dy e x h y k r C C

: ,Centro C h k : 0Radio r

,C h k

h

k

Y

X

0r

h rh r

k r

k r

OBSERVACIÓN (2) Para identificar la ecuación correspondiente de la circunferencia y

distinguirlas de los demás lugares geométricos, es necesario tener en cuenta las siguientes

condiciones:

1. Las variables " " " "x e y de la regla de

correspondencia ambas deben ser de segundo

grado.

2. Los coeficientes de las variables de 2° grado

deben tener los mismos coeficientes.

2 2: 0x bx y dy e C

" "

2

x e y deben ser

de Grado

Igual coeficiente

EJEMPLOS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A CIRCUNFERENCIAS

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

3 4

: 1 0 : 4 8 4 13 0

: 4 0 : 2 2 5 0

x y x x y

x x y x x y

C C

C C


1.4. LA ELIPSE E Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que describe el

movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre iguala a una constante, mayor que la

distancia entre los dos puntos.

2 2 2: , / 0

: " " " " .

x y ax bx cy dy e

Donde a y c son coeficientes diferentes y de signos iguales

E

Caso1: Elipses paralelas al eje X // X E

: ,Dominio Dom h a h a E : ,Rango Rang k b k b E

2 2

2 2

2 2: : 0 : 1

x h y kElipse ax bx cy dy e

a b

E E

: ,Centro C h k :Parámetro a b

OX

Y

b

a ,C h k

h

k

h ah a

k b

k b

Rang E

Dom E

Caso 2: Elipses paralelas al eje Y //Y E

: ,Dominio Dom h b h b E : ,Rango Rang k a k a E

2 2

2 2

2 2: : 0 : 1

y k x hElipse ax bx cy dy e

a b

E E

: ,Centro C h k :Parámetro a b

O X

Y

b

a

,C h k

h

k

h bh b

k a

k a

Rang E

Dom E


OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una elipse y distinguirlas de los otros lugares

geométricos, es necesario tener en cuenta que:

1. Las variables " " " "x e y de la ecuación

general de la Elipse ambas deben ser de

segundo grado.


deben tener diferentes.

2 2: 0a x bx c y dy e E

" "

2

x e y deben ser

de Grado

Diferente coeficiente

EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A ELIPSES

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

3 4

: 4 4 0 : 8 4 0

: 9 4 36 0 : 4 9 36 0

x y x x y

x y x y

E E

E E

NOTA.- Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e donde los coeficientes " "a y c

son diferentes pero del mismo signo, se puede expresar mediante el método de completar cuadrados

de la siguiente forma:

2 2

2 21

x h y k

n m

Después de hallar la ecuación anterior, para determinar si la Elipse se extiende en el eje X o en eje

Y , debemos tomar en cuenta lo siguiente:

PRIMERO.- Los valores " "n y m de los denominadores de la ecuación están relacionado con la

variable del numerador, es decir:

2 2

2 21

x h y k

n m

" " " "

" " " "

relacionado

relacionado

n está relacionado con la variable x n x

m está relacionado con la variable y m y

SEGUNDO.- Para identificar los valores de los parámetros de " "a y b correspondientes de la

ecuación se debe tomar en cuenta que, el mayor valor siempre le corresponde al parámetro " "a y

tomando en cuenta lo anterior se puede determinar a qué variable le corresponde y por lo tanto

podemos saber en qué eje se extiende más la gráfica de la Elipse, es decir:

, .

, .

i Si n m entonces n a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje X

ii Si m n entonces m a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje Y


EJEMPLO : Grafique las siguientes relaciones:

2 2 2 211 ........ 1 ; 1 ........ 2

4 9 16 9

x y x y

SOLUCIÓN: Para la ecuación (1), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las consideraciones

hechas en la observación se tiene:

: 3

2

Parametros a Eje Y

b Eje X

2 2

2 2

11

2 3

x y

2 2

2 2

11

2 3

x y

2 21

14 9

x y

n m : 1,0Centro C

En forma análoga para la ecuación (2), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las

consideraciones hechas en la observación se tiene:

: 4

3

Parametros a Eje X

b EjeY

2 2

2 21

4 3

x y

2 2

2 21

4 3

x y

2 2

116 9

x y

n m : 0,0Centro C

Gráfica de las Elipse (1) y (2):

O 1,0C

3a

2b

X

Y

1Grafico

2 2

116 9

x y

2 21

14 9

x y

O 0,0C

3b

4a

X

Y

2Grafico


1.5. LA HIPERBOLA H Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que describe el

movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una

cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 22 2 2 2

: , / 0

: " " " " .

: , / 1 ; : , / 1

x y a x bx c y dy e

Donde a y c son de signos diferentes

x h y k y k x hx y x y

a b a b

H

H H

Signos

Caso1: Hipérbola paralela al eje X // X H

O h

k

,C h k

ab

h ah a

Asintotas

X

Y

1: , ,Dominio Dom h a h a H 1:Rango Rang H

2 2

2 2

1 1 2 2: 0 : 1

x h y kax bx cy dy e

a b

H H

: ,Centro C h k :Parámetros a y b

Caso2: Hipérbola paralela al eje Y //Y H

O h

k

,C h k

a

b

h bh b

Asintotas

X

Y

k a

k a 2:Dominio Dom H 2: , ,Rango Rang k a k a H

2 2

2 2

2 2 2 2: 0 : 1

y k x hax bx cy dy e

a b

H H

: ,Centro C h k :Parámetros a y b


OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una hipérbola y distinguirlas de los otros

lugares geométricos, es necesario tener en cuenta que:

1. Las variables " " " "x e y de la regla de

correspondencia ambas deben ser de segundo

grado.


deben ser de diferente signo.

2 2: 0a x bx c y dy e H

" "

2

x e y deben ser

de Grado

Diferente signo

EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A HIPÉRBOLAS

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

3 4

: 4 0 : 8 4 0

: 9 4 36 0 : 4 8 9 18 41 0

x y x x y

x y x x y y

H H

H H

NOTA (1) Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e , donde los coeficientes

" "a y c tienen signos diferentes y transformar en una de las siguientes ecuaciones:

2 2 2 2

2 2 2 21 1

x h y k y k x h

a b a b

De las ecuaciones anteriores se puede determinar si la gráfica correspondiente a las hipérbolas se

desplaza en el eje X o en Y, teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

(1) Si

2

2

x h

a

va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a X.

(2) Si

2

2

y k

a

va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a Y.

NOTA (2) Si los coeficientes " "a y c de la ecuación 2 2 0ax bx cy dy e son iguales, pero de

signos diferentes, en tal efecto la ecuación será de la forma:

2 2 0 *x bx y dy e

NOTA (3) De la ecuación (*), se obtiene que los parámetros " "a y b de las ecuaciones:

2 2 2 2

2 2 2 21 1

x h y k y k x h

a b a b


son iguales a b , las cuales son llamadas HIPERBOLA EQUILATERA, cuyas ecuaciones

toman la siguiente forma:

2 2 2 22 2

1 2: ; :x h y k a y k x h a H H

h

ka

a b

/ /Hipérbola Equilatera X H

: ,Centro C h k :Parámetros a b

2 22 2 2

1 1: 0 :x bx y dy e x h y k a H H

/ /Hipérbola Equilatera Y H

: ,Centro C h k :Parámetros a b

2 22 2 2

2 2: 0 :x bx y dy e y k x h a H H

h

ka b

a

NOTA (4) Las hipérbolas equiláteras al trasladarse a un nuevo sistema cuyo origen es

' ,O h k de coordenadas y rotar un ángulo 4

, se tiene una ecuación de la siguiente

forma:

2 2

2

: , / 0

: , / ; 0

x y xy bx cy e

x y x h y k a a

H

H

X

Y

OX

Y

Oh

k

0a

x h

y k ,C h k

x h

y k

0a

,C h k

h

k

: : :Hipérbola Equilatera x h y k a x h y k a H H

: 0

0

Parámetro a I y III Cuadrantes formado por las asíntotas

a II y IV Cuadrantes formado por las asíntotas

: ,Centro C h k

:Dominio om h D H

:Asintotas x h Vertical

y k Horizontal

:Rango ang k R H

Relaciones usuales

Education

Transcript of Relaciones usuales