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RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS

Departamento de Matemáticas

Elías Robles Rodríguez

Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 1

1. Determina los dominios de las siguientes funciones:

a) 2

ln 31 3

2

2

ln( 1) 3( ) 5

4 100 5 31log

4

x

x xx x e x x

f x e ex

x

El dominio de esta función, que parece imposible, no es tanto, sólo hay que ir paso a paso. Hay

muchas funciones que incomodan, veamos una por una, y de dentro hacia fuera, y por último

calculemos la intersección de todos los dominios calculados:

,1)1ln(xDom porque ,1101 xx .

,22,42xDom porque ,22,042x .

2

12, 2

4Dom

x

porque 2042 xx .

,22,

4

1log

2xDom porque

El dominio de una función ( )y f x es el conjunto de valores que puede tomar x

para que la función exista o tenga sentido.

El dominio de las funciones polinómicas, exponenciales, radicales de índice impar,

valor absoluto, parte entera, seno, coseno y arco tangente, a saber,

2 1, ( 0), , , , sen( ), cos( ) y arctg( )n x na x a a x x x x x x es todo ℝ. En el caso

de funciones compuestas, o sea, ( ) 2 1( ) , ( 0), ( ), ( ) , ( ) ,n g x na g x a a g x g x g x

sen ( ) , cos ( ) y arctg ( )g x g x g x el dominio NO DEPENDE de ellas, sino

exclusivamente de g(x).

El dominio de las funciones racionales, es decir, ( )( )

kf x

q x es todos los números

reales exceptuando las raíces del denominador (soluciones de la ecuación ( ) 0q x ).

El dominio de las funciones radicales de índice par, esto es, 2( ) ( )nf x g x es el

resultado de resolver la inecuación ( ) 0g x .

El dominio de las funciones logarítmicas, esto es, ( ) log ( )af x g x es el resultado

de resolver la inecuación ( ) 0g x .

El dominio de las funciones tangente, a saber, ( ) tg ( )f x g x es todos los números

reales exceptuando las soluciones de la ecuación ( ) 2 12

g x n

. Las soluciones

pueden ser infinitas o no, según el intervalo de definición que nos den.

El dominio de las funciones arco seno y arco coseno, a saber,

arcsen ( ) y arccos ( )g x g x es el intervalo solución de esta desigualdad

1 ( ) 1g x .





2

2

2

Las funciones radicales por definición,

siempre son positivas, pero ¡OJO!

siempre donde existan.

Además, en este caso el radicando

ha de ser estríctamente positivo.

10 4 0

4x

x

x

4 0 , 2 2,

.

2

ln( 1)5, 5

1log

4

xDom

x

porque

41411

4

10

4

1log 22

22xx

xx

23.25 xx .

(*) Con esto terminamos de hacer parcialmente el estudio del primer sumando.

2 1 3xDom e e porque el valor absoluto no influye en los dominios y las

exponenciales poseen en su exponente funciones polinómicas.

,0ln xDom por ser logarítmica.

,00,

ln

x

xDom si omitimos el logaritmo del numerador.

2

3

4 100

x eDom

x

porque 01004 2 x no tiene solución.

3

5 3

x xDom

porque la parte entera de una función no influye en su dominio al

igual que el valor absoluto. Además la función interior es polinómica porque no está

dividiéndose por x sino por números.

Veamos, para que este ejemplo sea más didáctico, los dominios de cada sumando de la función:

4

1log

)1ln(

2x

xDom





,55,2

,55,55,

,22,

,22,22,

,22,

,1

2 1 3xDom e e luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta.

,0

,0

,00,ln

x

xDom .

2

3

4 100

x eDom

x

luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta.

3

5 3

x xDom

luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta.

Ahora para calcular el dominio total de la función, juntamos todos los intervalos que nos han

salido en cada uno de los casos anteriores y hacemos su intersección, ésta será el dominio de la

función original.

,55,2,0,55,2fDom

Tranquilos, que esta función sería imposible hacerla en un examen porque no hay tiempo. Pero

hay que saber y dominar el procedimiento usado para saber calcular dominios con dominio.

b) 3 2( ) tg arcsen ln 4f x x e x

3

3 2

0Dom tg 2 1 , siendo 8

x e k e k

porque si

3 3

33 2 22 1 2 1 2 12 8 8

x e k x e k x k e

, cuidado

aquí, porque para que tenga sentido esa raíz es necesario que lo de dentro sea positivo.

Tenemos un parámetro, k, los valores de k que hacen que el radicando sea positivo son:

3

3 3

8 1 82 1 0 2 1 1 0.8506 0

8 2

ek e k e k k k

recordemos que k es un número entero.

3 5Dom arcsen ln 4 ,x e e porque

3 5

1 ln 4 1

3 ln 5

x

x

e x e

Ahora para calcular el dominio total de la función, juntamos el intervalo que nos ha salido en

cada uno de los casos anteriores y hacemos su intersección, ésta será el dominio de la función

original. Y para no complicarnos siempre que nos salgan de la tangente los valores en función de

k y si no nos va a servir después, se puede dejar indicado de la siguiente forma:





3

3 5

0, 2 1 , siendo 8

e e k e k

.

Pero como nosotros somos tan “apañaísimos” también lo vamos a hacer como si nos hiciera falta

después. Veámoslo:

3 5, 20.085,148,41e e

Ahora bien los valores 3

2 18

k e

con 0k son {2.56789,…, 148.369,148.395,…} y

el último de todos es para 2840k . Claro está que esto para vosotros es imposible, y si se os

pregunta generalmente sale para valores de k entre -2 y 2. Por tanto, y a pesar de la longitud del

ejercicio, para completarlo nos queda

3

3 5Dom , 2 1 , siendo 0,..., 28408

f e e k e k

c)

2ln 1 2 (*Funció( ) n arc un sen sen tanto especial*)2x

f x e x

Al calcular el dominio de esta función podemos verlo claro y lanzarnos automáticamente a calcular

el dominio de una logarítmica y una arco seno. Pero debemos ser más listos que Calixto, ¿por qué?

Porque si nos damos cuenta, tenemos funciones recíprocas (unas la inversa de las otras)

Se cumple que ln xe x y arcsen sen x x , por aquello de que se anulan, como quien dice.

Entonces

2ln 1 2 2 2( ) arcsen sen 2 1 2 1x

f x e x x x

la cual, es una función

polinómica, cuyo dominio es ℝ.

d) 23)( xxxf

e) 52ln52

)( 2

2

x

x

xxf

f) 52ln52

)( 2

2

x

x

xxf

g) 3 2 2ln)( xexxf

h) 4 2 572ln)( xxxf x

i)

617

5ln3)( 4

122

xxx

xxf x

x

j) 2002log

52ln

52)(

2

5

2

2

x

x

x

xxf

k) xx

xxf ln

4

23ln)(

2

l) 1000 2 1

( ) 3 5 1 2xf x x x x ex

m)

2

2

tg 0

10 4

4( )

arctg 5 10

10

x x

xxf x

x x

e x

n) ( ) arccos 5 ln senxf x e x

o)

2

2

ln 22

3 6

cos 7 11( ) 2 1

7 tg 1

arctg1

6 8

xx

xx

x

f x xx

xx

x x

p)

2 3 1

2

3 1( )

10000

x xef x

x x

q) 1

( ) cos2

f x x





r) 3

33( ) cos log 8

cos

xx

f x xx

s)

21( ) ln 1

sen cosxf x x

e x x

t)

1( ) tg

cos 2 1f x x

x

u) ( ) arcsen cos arccos 1f x x x

v) 2ln 1 0

( )1 2 0

x xf x

x x

w)

2

3

sen ln 0

( )1

01

x x

f xx

xx

2. Realiza las composiciones que sean posibles con las siguientes funciones ( ) lnf x x x ,

2( ) 2g x x , 7( ) 3 logh x x x y 3( ) xm x x e .

a) f g

Está claro que la composición es:

2 2 2( ) 2 2 ln 2f g x f g x f x x x

Pero para poder aplicar la composición verifiquemos g fI D , para ello calculemos la imagen de g,

¿cómo calculamos una imagen?, unas nos las sabremos y otras las calcularemos fácilmente con una

tabla de valores para unos cinco valores de su dominio, veámoslo.

x -2 -1 0 1 2 2 2y x -6 -3 -2 -3 -6

La composición de funciones tiene sentido cuando ocurre y se basa en lo siguiente:

Llamemos Dom , Dom , Im , Imf g f gD f D g I f I g y sean dos

funciones :

:

f

g

Sabemos que, por definición, la Imagen de f es f(todos los valores posibles para la x), es

decir: y f f g gI f D I g D entonces: : :

: :

f f f f

g g g g

f D I f D I

g D I g D I

Sabemos de 4º ESO cómo se componen funciones, tan sólo basta con sustituir conveniente-

mente lo que me digan en la “x” de la función que me digan. Pero eso ya no es suficiente,

hemos de saber exactamente cuándo se puede realizar esa sustitución tan simple.

Supongamos que queremos hacer f g la teoría nos dice:

( ) ( )

g f

g g f fD I D I

x g x f g x

Lo único que me interesa para realizar los ejercicios es:

Podre hacer f g cuando g fI D

Podre hacer g f cuando f gI D





Si nos damos cuenta, la imagen o conjunto de valores que toma la y, más o menos, es el intervalo

, 2 . Y el dominio de f es 0, , porque las funciones que lleva f son la raíz cuadrada y el

logaritmo neperiano cuyos dominios son 0, y 0, respectivamente.

Así pues, sólo queda verificar: , 2 0,g fI D

Y esto no es posible, por tanto, LA COMPOSICIÓN NO ES POSIBLE HACERLA.

b) m h

c) h g

d) f m

e) m f

f) g f

3. Calcula la función inversa, cuando sea posible, en los siguientes casos:

cuadrantes

a) 5 3

( )2

xf x

Hagamos el procedimiento tal cual nos dice:

( ) Cambio la y x ( ) Despejo la y ( )y f x x f y g x y

1( ) ( )f x g x

15 3 5 3 2 3 2 3Despejo y ( )

2 2 5 5

x y x xy x y f x

b) ( ) ln 3f x x x

ln 3 ln 3 Despejo yy x x x y y Pues va a ser que no se puede. Por tanto, no tiene

inversa.

Cálculo de la Función Inversa

( ) Cambio la y x ( ) Despejo la y ( )y f x x f y g x y

1( ) ( )f x g x

A veces, no será posible calcular la inversa, pero esto es porque la función de partida no es

biyectiva. Pero eso no nos interesa a nuestro nivel. Para nosotros si podemos despejar la y

entonces tiene inversa.

Propiedades:

Una función y su inversa se llaman recíprocas.

Dos funciones recíprocas tienen gráficas simétricas respecto de la recta y = x

(bisectriz 1-3 cuadrantes)

Cuando componemos una función con su inversa nos da como resultado x:

1

1

1( )

f f x xf x

f f x x

es la función inversa de ( )f x .





c) 2

( )x

f xx

d) ( ) sen 1f x x

e) 3 1

( )2

xf x

f) 2( ) 3 1f x x x

g) ( ) 2cos 3f x x

h) 2 3( ) 1xf x e

i) ( ) ln 4 12 5f x x

j) 2

( ) 3 1f x x

k) ( ) xf x x e

4. Representa las siguientes funciones usando transformaciones elementales (traslaciones, simetrías y

homotecias) y puntos de corte con los ejes, es decir, usa lo que te sea necesario para representar estas

funciones:

a) ( ) cos 1f x x

b) ( ) sen2

f x x

c) 3( ) 2xf x e

d) ( ) ln 2 1f x x

e) 1

( ) 32

f xx

f) ( ) 2 3f x x

g) ( ) tg4

f x x

h) ( ) arctg 1f x x

i) 3( ) 1 2f x x

j)

arctg 0

( ) sen 0

2cos2

x x

f x x x

x x

Dada la función ( )y f x y su gráfica conocida para nosotros y 0k , entonces:

( )f x k es la gráfica de ( )f x trasladada hacia arriba o hacia abajo k unidades.

( )f x k es la gráfica de ( )f x trasladada hacia izquierda o derecha k unidades.

( )f x es la gráfica de ( )f x simétrica respecto OX .

( )f x es la gráfica de ( )f x simétrica respecto OY .

( )f x es la gráfica de ( )f x simétrica respecto del origen de coordenadas.

( )k f x es la gráfica de ( )f x pero multiplicando en altura por k unidades.

( )f k x es la gráfica de ( )f x pero como comprimiéndola o expandiéndola ( 1k ó

0 1k ) en desplazamiento horizontal k unidades.

( ) 0f x raíces o puntos de corte con el eje OX

(0)f y punto de corte con el eje OY





k) ( ) sen / 2 1f x x

l) ( ) 2senf x x

m) ( ) 3cosf x x

n) ( ) 2sen 3f x x

o) ( ) sen 2f x x

p) 1

( ) cos2

f x x

q) 2( ) xf x e

r) ( ) 1xf x e

s) ( ) ln 2f x x

t) ( ) 2arctgf x x

u) ( ) arctg 2f x x

v)

2

4 2

3

2

2 3 2

5 4 2 2( )

3 1 2 4

4 4

x x x

x x xf x

x x

x x

w) 22( ) 1 1xxf x e e

5. Determina las siguientes funciones valor absoluto:

a) 3 2( ) 6 1 2 3f x x x x x x

3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

6 6 06

6 6 0

x x x x x xx x x

x x x x x x

Resolvamos las dos inecuaciones de un plumazo:

3 2

3

6 0 0

2

x

x x x x

x

Por tanto,

3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

6 6 0 , 3 0,26

6 6 0 3,0 2,

x x x x x xx x x

x x x x x x

-3 0 2

- + - +

Las funciones valor absoluto son un poco tediosas, pero muchos ejercicios de selectividad se

dejan por ver un valor absoluto, así que aprendámoslas bien para que no nos asusten. Se

define el valor absoluto de x como: 0

0

x xx

x x

, (el igual puede ir donde nos dé la

gana).

Ahora bien, eso es muy fácil, pero ¿qué pasa cuando dentro del valor absoluto hay una

función?

( ) ( ) 0( )

( ) ( ) 0

g x g xg x

g x g x

, pues igual. La complejidad está en las dos inecuaciones y

ser muy ordenado para que no nos perdamos a la hora de descomponer la función.





1 1 0

11 1 0

x xx

x x

Resolvamos las dos inecuaciones de un plumazo 1 0 1x x

luego

1 1 0 1,1

1 1 0 , 1

x xx

x x

Ahora hacemos una ordenación de los datos, que tenemos, en una tabla

-3 -1 0 2

3 2 6

1 2 3

x x x

x x

3 2 6x x x 3 2 6x x x

3 2 6x x x 3 2 6x x x

3 2 6x x x

1x 1x 1x 1x 1x

2 3x 2 3x 2 3x 2 3x 2 3x 3 2 7 4x x x

3 2 5 4x x x 3 2 3 2x x x

3 2 9 2x x x 3 2 3 2x x x

Ahora escribimos la función a trozos que nos queda: 3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

7 4 3

5 4 3 1

( ) 3 2 1 0

9 2 0 2

3 2 2

x x x x

x x x x

f x x x x x

x x x x

x x x x

y ésta es la función que nos pedían.

(*) El igual podemos arrastrarlo desde donde estuviera arriba, pero dado que las funciones son

continuas es indiferente donde lo pongamos.

b) 2( ) 2 3 1f x x x x

c) ( ) 3 1f x x x

d)

3 9( ) 1

x xf x x

x

e) 2( ) 2 2 6 3f x x x x

f) ( ) lnf x x

g) ( ) sen 0,2f x x x

h) ( ) arctgf x x x x

i)

13 0

( ) arctg 0 1

11

2 6

xx x

x

f x x x

xx

-1

+ -





j) ( ) sen

x x

f x x x x

x x

k) ( ) 2f x x x x

l) 2( )f x x x

m) ( ) 1 1f x x x

n) ln 0

( )0 0

x xf x

x

o)

2

2 2

1 5 5( )

sen cos 5

x xf x

x x x

p) ( ) 1 1f x x x x

q) 3

( ) 1x

f xx

6. Calcula los siguientes límites sin hacer uso de la regla de L’Hôpital. (Ver anexo)





Hemos de definir matemáticamente, aunque sea un engorro y no entre en el examen, cada

límite para acercarnos al lenguaje matemático y además adquirir la noción de todos los

límites que vamos a estudiar matemáticamente. Aunque al finalizar todas las definiciones

se procederá a exponer todas las técnicas de resolución de límites. Intentad dibujar como

podáis la situación gráfica aclaratoria. Todas las situaciones serán explicadas, al menos, una

vez en la pizarra. En las siguientes definiciones k y M son cantidades muy grandes, y

son cantidades muy pequeñitas y ,a l .

LÍMITES CUANDO x

lim ( ) Dado 0 0 /si ( )x

f x l k x k f x l

lim ( ) Dado 0 0 / si ( )x

f x M k x k f x M

lim ( ) Dado 0 0 / si ( )x

f x M k x k f x M

LÍMITES CUANDO x

lim ( ) Dado 0 0 /si ( )x

f x l k x k f x l

lim ( ) Dado 0 0 / si ( )x

f x M k x k f x M

lim ( ) Dado 0 0 / si ( )x

f x M k x k f x M

LÍMITES CUANDO x c

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

x a

x a

f x M x a a f x M

f x M x a a f x M

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

x a

x a

f x M x a a f x M

f x M x a a f x M

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

lim ( ) Dado 0 0 / si , ( )

x a

x a

f x l x a a f x l

f x l x a a f x l

lim ( ) Dado 0 0 /si , ( )x a

f x l x a a a f x l

Todo esto es la teoría de límites. Parece horrible pero es conveniente que os acostumbréis.

Ahora pasamos a describir las técnicas que nos van a servir para calcular todos los límites

que nos encontremos.





TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LÍMITES

Resolución de la mayoría de límites. Propiedades (Omitimos las obvias):

Cocientes 0

0, 0 , 0,0 0

l ll

.

Potencias

0, ( 0), ( 1), (0 1),

00 0

l

l

l ll l l

l l

00 1l l

Indeterminaciones Más Comunes

0, Límites laterales; , Factorizar y simplificar;

0 0

, Escala de Infinitos; , Hacer las cuentas

k

Para el cálculo de límites cuando x : lim ( ) lim ( )x x

f x f x

Infinitésimos. Escala de Infinitos. Resuelve Indeterminación 0

,0

.

Un infinitésimo es una función que cumple lim ( ) 0,x a

f x a

. Cuando

dos infinitésimos proporcionan ( )

lim 1,( )x a

f xa

g x se llaman infinitésimos

equivalentes. Veamos los casos más comunes, con estos, seremos capaces de

resolver muchos límites que no tienen técnica de resolución estándar:

20 0 0 0 0 0 0

ln 1sen tg 1 cos arctg arcsen 1lim lim lim lim lim lim lim 1

2

x

x x x x x x x

xx x x x x e

xx x x x x x

Eso quiere decir que podemos rotar todas esas funciones en un cociente entre ellas en el

orden que queramos sabiendo con seguridad que el límite dará 1. Previamente

deberemos hacer alguna transformación para conseguir lo que tenemos arriba.

Sean lim ( ) , lim ( )x x

f x g x

, infinitos. Diremos que f es un infinito de orden

superior al infinito g cuando ( ) ( )

lim ó lim 0( ) ( )x x

f x g x

g x f x . A continuación

exponemos la escala de infinitos para saber el orden de infinitos de mayores a

menores:

lim lim lim lim lim log lim logx x a b

b ax x x x x x

a b x x x x a b

.

Límites en los que intervienen ( )n g x . Resuelve Indeterminación 0

0 , , ,0

.

Para todos los límites en los que nos aparezcan radicales, generalmente, se resuelven

usando el primer párrafo. Para los demás casos, o se multiplica y divide por el

conjugado, o bien, se pasan a índice común en productos o cocientes. Previamente es

posible que hubiera que hacer una transformación para conseguir llegar a los dos casos

expuestos. Para aclararnos podemos echar un vistazo a los numerosos ejemplos del

anexo.





Límites inmediatos o casi inmediatos

1) 2

0

3 1lim

2 3x

x x

x

2) 2

0

1lim 1

2

x

x x

3)

5 12

0

3lim 1

x

x

x

x

4)

2

3

2

1lim 3

x

x

x x

5) 2

1lim

sen2

x

x

x

6)

1

arctglim

1

1

x

x

x

7) 2

21

1 1lim 2 1

2xx x

x x

8) 0

lim cos senx

xe x x

9) 4

lim 2 cos tgx

x x

10) 2

0lim 2 3 cosx

x x

11) 2 2

2

lim 2cos senx

x x x

12) 20

coslim

1x

x

x

13) 2

lim sen 2x

x a

14)

23

0limln 2

x x

xx e

15) 2 2 2

2limcos 1 arccos 4 arctg 3x

xe x x

Limites del tipo ( )( ) , ( ) 0g xf x f x . Resuelve Indeterminación 1 .

lim ( ) 1 ( )( )

Si, lim ( ) 1 lim ( ) , siendo a , entonces:

lim ( ) x a

x a x a

f x g xg x

x a

f x y g x

f x e

Limites ( )lim ( ) , ( ) 0, ag x

x af x f x

. Resuelve Ind.

001 , 0 ,

lim ( ) ln ( )( )lim ( ) x a

g x f xg x

x af x e

Probablemente después de aplicar esta fórmula debamos usar la Regla de L’Hôpital. En

tal caso y si no la sabemos no podremos resolver el límite salvo uso de infinitésimos.





16) 2

1 2limx x x

17) 1 2

limxx xe

18) 2

lim1 3x

x x

x x

19) 2 1

lim 22

x

x

x

x

20) 1

2

1lim ln

x

x

x

e xe

e x

21) 31

3 2lim 1 arctg

2 1

x x

x

xe e x

x

22) 1

3lim

1

x

x

xe

x

23) 0

1 2limx

x

x x

24) 0

1lim lnx

xx

25) 2

lim 2 tgx

x

26) 2

lim tg2x

x x

27) 1

3 1lim

1 2 2x

x x

x x

28) 1

2

1lim ln

2 1x

xx

x

29) 0

1lim lnx

xx

30) 0

1lim lnx

xx

31) 0

5 1lim ln

1xx

xx

x e

32) 1 01 111

1 1lim ln 1

l

1 1 1 1lim ln (1 ) 1 ln 0

ln1n 01 11xxx e e e

xx

1 1

1 1 0

33) 3

21

2lim

1x

x

x

34) 2

tglim

x

x

x

35) 1

1

1limlnx

x

x





36) 0

limlnx

x

x

37) 11 1 1

lim arccos tg arctg arctg arcsen2 2

x

xx

xe x e

x x

38)

1

coslim

sen sen 3arctg2 1

x x

x

e e

xx

x

39) 21lim ln 4x

xx

Cocientes de Polinomios 0

0

40) 3 2

4 3 22

2 3 2 5lim

3 3 11x

x x x

x x x x

41) 4 2

3 21

2 1lim

2 3 4x

x x

x x x

42) 22

1lim

3 7 2x

x

x x

43)

3 22

3 1lim

2 2x

x x

x x

44)

2

31

3 1lim

1 2x

x x

x x

45)

2

23

2

22 20

2 2

2

0 20

20

2 4lim

012 4lim

01 2 4lim

01

2lim

1

x

xx

x

x

xx x

x

xx

x x x

x x

x

46) 2

3 23

2lim

7 15 9x

x x

x x x

47) 2

23

9lim

2 3x

x

x x

Escala de Infinitos , 0

lim lim lim lim lim log lim logx x a b

b ax x x x x x

a b x x x x a b

48) ln 1

lim2 3x

x

x

49) 2lim x

xx e

50) 2

limx

x

e

x

51) 2

lim1

x

x

e

x





52) 2lim x x

xe e x

53) 1lim 1 x

xx e

54) 32lim x

xx e

55) 2

50

2lim

x

xx

e x

x e

56) 22

limlnx

x

x

57) 5loglim

lnx

x

x

58) 2

11loglim

log 1x

x x

x x

59) 2

9

10

log 1lim

logx

x

x e

60) 1

20 Porque logaritmo es un infinito de orden inferior a que es una ln

lim .potencia de1

x

x

xx x

61) 3

lnlimx

x

x

62) 1

lim1

x

x

e

x

63)

1

1lim lim

x

xx x

xx e

e

64)

1002

1

1lim

xx

x

e

65) 32lim ln x

xx e

Límites con Radicales0

, ,0

Multiplicar y dividir por el conjugado.

66) 26

2 2lim

36x

x

x

67) 3

3 6lim

1 4x

x

x

68) 2 2

23

2 6 2 6lim

4 3x

x x x x

x x

69) 0

1 1limx

x x

x

70) 1

3 3 1lim

1x

x x

x

71) 3

2lim

4 1 3x

x x

x





72) 2 2

2 2

2 2

22 3 2 3 2 3

lim lilim 22 2

3 m3 3x xx

x x x x x xx x x

x x xI

x x x x x x

2 2

2 3 2 2lim lim 1

1 12 3x x

x x

x x x x x

73)

0 0 0 0

1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 20 2lim

1 4 1 2lim lim

0 1 3 1 21 3 1 1 3 1lim

1 3 1 x x xx

x xx x x x x x xI

x x xx xx xx x

0

0 2lim 1

0 2xI

74) 2

2 2

3 1 1lim

4 4 2 1x

x x x

x x x x

75) 0

1 3 1lim

2x

x x

x

76) 2

2

1lim

1 2 3x

x x

x x x

77) 4

3 5lim

1 5x

x

x

78) 2

lim 3 1 3 1x

x x

79) 2

lim 3 1 3 1x

x x

80) 2 2

2

2 3 2lim

1x

x x x x

x x

81) 4 4

2 40

1 1lim

1x

x x

x x

82) 2 2

2

2 3 2lim

1x

x x x x

x x

83) 3 23

21

2 1lim

1x

x x x

x

84) 3 3 2lim 8 7 3 4 2x

x x x x

85) 3

0

1 1lim

3x

x

x

Límites en los que intervienen Exponentes

0 00, , 1 , 0 ,

0

lim ( ) 1 ( )( )

Si, lim ( ) 1 lim ( ) , siendo a , entonces:

lim ( ) x a

x a x a

f x g xg x

x a

f x y g x

f x e

lim ( ) ln ( )( )lim ( ) x a

g x f xg x

x af x e





86) 6

6 1

2

1 13

lim1

x

x

x

x

x

87)

23

3

1lim

3

x

x

x

x

88)

2

11lim

5 2

x

x

x

x

x

89) 2

12 2

lim3

x

x

x

x

90)

32

3

9lim

3

x

x

x

x

x

91)

2

2 2 2 22

1 1 1 1lim ln lim ln 3 lim ln 3 lim ln 3

0 1 ln 32 3 2 2 2

1

21lim

33

x

xx x x x

x x x x xx

x

x x

x

xx

xx

I e e e e e

92)

2 1

21lim

3

x

x

xx

93) 2 1

2lim 1x

x

xx

94) 2

1

21lim

3

x

x

xx

95) ln 1

lim 2x

x

x

96)

2 1

2

1lim

x

x

x x

97)

2 11 2

lim2

x

x

x

x

98) ln 2

2

3lim

2

x

x x

99)

12

21

2 3lim

x

x

x

x x

x x

100)

2

2 2

2

3lim

x

x

x

x

101)

212

2

2lim

3

x

x

x

x

102)

44

1

3

4 41

3 3 4 3

1 11 lim 1 lim 1 1 lim 1

1

1lim 1

x

x

xx x

x

x

x

x xI

xx x x xx

103)

2

3

2

1 1lim 1

x

x x x





104) ln

2lim 1

x

x x

105)

ln2

2

3 2lim

3 1

x

x

x x

x

106)

2 42

2

3lim

1

x

x

x

x

x

107)

3

2lim 1

xe

xx e

108) 1

lim 1 2x x

xx x

109) 2

2

3lim 1x

x

xx x

110)

22 5

3 15 4

lim3 5

x

x

x

x

x

Infinitésimos 0

, 00

20 0 0 0 0 0 0

ln 1sen tg 1 cos arctg arcsen 1lim lim lim lim lim lim lim 1

2

x

x x x x x x x

xx x x x x e

xx x x x x x

En realidad estos límites no tiene mucho sentido calcularlos por esta técnica pues la regla de L’Hôpital

resuelve todos ellos. Pero si alguien quiere aprenderlos, damos la oportunidad. Aviso: Son bastante

ingeniosos y tediosos. La técnica consiste en transformar convenientemente de forma que aparezcan los

cocientes señalados en el recuadro.

111) 20

1 coslimx

x

x

112)

2

1 0 01

1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 20li

1lim

sem 1 lim lim

0 sen n sen senxx x y

x x y y y yI x y

x y y

x

x

0 0 0 0

0 0

2lim lim lim 2 lim 2

sen 1 sen sen cos cos sen

2 2 2lim 2 lim 1

sen sen

x x x x

x x

y y y y

y y y y

y y

y y

113) 1

1lim

cos2

x

x

x

114) 0

1 sen 1 senlimx

x x

x

115) 2

2

lim 1 sen tgx

x x

116)

4

1 2 coslim

1 2 senx

x

x





117) 1

lim 1 tg2x

xx

118) 0

limcotg 2 cotg2x

x x

119) 0

2 senlim

1 cosx

x x

x

120) 0

2 senlim

1 cosx

x x

x

121)

0

sen 2lim

1 cos 3x

x

x

122)

4

sen coslim

1 tgx

x x

x

123)

4

1 tglim

cos 2x

x

x

124)

2

2

2 3 2lim

sen 2x

x x

x

125) 2

sen cos2

lim1 sen cosx

xx

x x

126) 2 30

senlimx

x

x x

127) 2 30

senlimx

x

x x

128) 2

2lim 4 tg

4x

xx

129) 2

21

lnlim

1x

x

x





7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) 2( ) 4 0,10f x x x x

b)

2

32 2

32

sen

3( )

3

cos

x x

xf x x

x

x x

c)

1

5 2( ) 1 2

3

22

1

xx

x

xf x x

xx

x

Se dice que una función ( )f x es continua en x a si lim ( ) ( )x a

f x f a

.

En un entorno de : 0 0 / ( ) ( )a si x a f x f a

Diremos que una función es continua en un intervalo I si lo es x I .

Esto es la teoría, esto está muy bonito, “queda genial”, “sabemos un montón”, “que guay”

…, pero no sirve para nada de los ejercicios. Eso sí, sirve para que nos vayamos

familiarizando con la simbología matemática de la universidad.

CARACTERIZACIÓN

Todas las funciones estudiadas son continuas en su dominio.

La continuidad de una función a trozos se estudia:

1. En cada trozo calculando su dominio y haciendo la intersección con su

intervalo de definición.

2. En cada frontera:

Es Continua si lim ( ) lim ( ) ( )x a x a

f x f x f a

Es Discontinua Evitable si lim ( ) lim ( ) ( )x a x a

f x f x f a

.

Es Discontinua No Evitable de salto b c si lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

b c

Es Discontinua No Evitable de salto Infinito si lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

y

al menos uno de los dos límites es infinito.





d)

1 2 1

( ) ln 1 1

x x

f x x x e

xx e

e

Veamos primero qué función es, descomponiendo el valor absoluto:

Para estudiar la continuidad de una función a trozos primero estudiamos que la función esté bien

definida, es decir, el dominio de cada trozo, que es la continuidad de cada trozo.

1 1 0 1 11 1

1 1 0 1 1

x x x xx x

x x x x

Por tanto al incluirla en

1 2 1

1 2 1 1

( ) ln 1 1

x x

x x

f x x x e

xx e

e

3 1

1 1 1

( ) ln 1 1

x x

x x

f x x x e

xx e

e

Ahora ya pasamos a estudiar la continuidad, primero por trozos y luego en cada frontera.

En , 1 la función es polinómica (continua en ) por tanto continua en todo

, 1 , 1 .

En 1,1 la función es polinómica (continua en ) por tanto continua en todo

1,1 1,1 .

En 1,e la función es logarítmica (continua en su dominio), calculemos su dominio:

1 0 1,x , por tanto continua en 1, 1, 1,e e .

Aquí estamos rozando el límite de la buena definición, pues fijaos que el intervalo de

definición es 1,e , porque si hubiera sido 1,e o 1,e la definición habría sido

incorrecta y la función no habría sido continua, ni tan siquiera existido en 1,

En ,e la función es radical (continua en su dominio), calculemos su dominio:

0 0,x

e , por tanto continua en 0, , ,e e .

Concluimos diciendo, después de estudiar la continuidad por trozos, que cada trozo es continuo en

su intervalo de definición, por tanto está bien definida por trozos.

Vamos a estudiar la continuidad en cada frontera.

1

1

lim 3 2

1 lim 1 2 ( ) es continua en 1

( 1) 2

x

x

x

x x f x x

f





1

1

lim 1 0

1 lim ln 1 ( ) es discontinua de salto en 1

(1) 0

x

x

x

x x f x x

f

( ) es discontinua de salto 1 0.54 =0.46 en

lim ln 1 0.54

lim 1

( ) 1

x e

xe

x ef x x e

x

x e

f e

Concluimos el estudio de la continuidad diciendo que la función es continua en 1,e .

e)

2 0

2( ) 0 1

2

11

3

xe x

xf x x

x

xx

f)

2

2

02

( ) 03

xx

x

xf x x e

x

xx e

e

g) 1

2 2 1( )

1x

x x xf x

e x

h) 1

( )ln 1

xe xf x

e x x

i)

1cos 0

( )

0 0

xf x x

x

j)

2sen 2

( ) 2

1 2

xx

f x x

x

k)

1sen 0

( )

0 0

xf x x

x





l)

2 1cos 0

( )

0 0

xx

f x x

x

m) 0

( )

0 0

x xx

f x x

x

n)

4 3 2

2

4 42

2 1( )

22

7

x x xx

x x xf x

x

o) 2

( )2

xf x

x

p) 2( ) 5 4f x x x

q) 2

1( )

5 6f x

x x

r) 2( ) 3 6f x x x

s) sen 2

( )1 sen

xf x

x

t) 1

( )ln

f xx x

u) 2

( )2

xef x

x

v) 2

1 1( ) xf x e

x x

w) 1 1

( )1

xef x

x

x)

214

212

1 0

( ) 2 0

2 3 0

x x x

f x x

x x x

y)

2

21

1( ) 1

2 1

xx xf x x

x

z)

2

0( )

1 0

xx x

f x x

x

8. Determina el valor del parámetro desconocido para que la función sea continua en ℝ salvo codominio.





a)

3 2

2

11

( ) 2 1

1

x x xx

f x x x

a x

b)

3 2

2

3 2

2 4 1

( ) 1 3

4 3

x x mx x

f x x mx n x

x x nx x

c) 2

2

11

( )

3 1

x mx

f x x m

x mx x

d)

3 2

2

2

2

27 12

( )3

21

x mxx

x xf x

x x mx

x m x

e) 0

( ) 1

0

x

xx

f x e

a x

f)

23 3

( ) 1

6

x xx a

f x x

x a

g)

sen

( )

1

xx a

f x x

x a

Este ejercicio es muchísimo más corto que el anterior, porque lo único que hay que hacer es calcular

a imponiendo la continuidad.

sen senlim

sen senlim

( ) 1

x a

x a

x a

x a

x ax a

x a

f a

sen( ) es continua en cuando 1, es decir, cuando sen

af x x a a a

a .

(*)Es cierto que no conocemos técnicas de resolución de una ecuación con RT y polinomios, pero en

este caso es claro y fácil pensar qué número cumple esa ecuación. Si no sabemos qué número pensar,

siempre podemos probar 0 y 1. No vayáis a pensar que esto es siempre tan difícil o simplemente que

no vais a saber resolver una ecuación de este estilo, pues siempre estarán preparadas para que, o bien,

se resuelvan por los métodos aprendidos, o bien, salga fácil “de cabeza”.

La solución es 0a , pues solamente esta solución vale para la ecuación sena a .





h) 2

1

( ) 1 1

1

x x b

f x x b x

x a x

9. Calcula la derivada en los siguientes casos usando la definición:

a) 2( ) 3f x x

b) 3( )f x x Veamos cómo obtener la derivada a través de la definición:

3 2 2 3 3

0 0 0

( ) ( ) 3 3'( ) lim lim lim

h h h

x h xf x h f x x x h xh h xf x

h h h

, recordad

que esto es un límite para resolver en h. 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2

2

0 0 0

3 3 3 3 3 3lim lim lim 3

1h h h

x x h xh h x x h xh h x xh hx

h h

, por

tanto según la definición 3 2( ) , '( ) 3f x x f x x

c) ( ) senf x x

d) ( ) xf x e

10. Calcula las siguientes derivadas:

Llamamos derivada de una función f en un punto x a y representamos por

0

( ) ( )'( ) lim

h

f a h f af a

h

. Si queremos hallar la función derivada, tan sólo hay que

cambiar a x , así nos queda, 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

.

Resolviendo este límite para cada una de las funciones elementales estudiadas, obtenemos

la tabla de las derivadas usaremos en el punto siguiente. Pero ese trabajo es demasiado

largo y poco didáctico.





REGLAS DE DERIVACIÓN:

' 0k

' 'k f k f

' ' 'f g f g

' ' 'f g f g f g

2

' ''

f f g f g

g g

'( ) ' 'f g x f g x f g x g x

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

1( ) '( )n nf x x f x n x

1

( ) '( )2

f x x f xx

1

1( ) '( )n

nnf x x f x

n x

( ) '( )x xf x e f x e

( ) '( ) lnx xf x a f x a a

1

( ) ln '( )f x x f xx

1 1

( ) log '( )ln

af x x f xx a

( ) sen '( ) cosf x x f x x

( ) cos '( ) senf x x f x x

2

2

1( ) tg '( ) 1 tg

cosf x x f x x

x

2

1( ) arcsen '( )

1f x x f x

x

2

1( ) arccos '( )

1f x x f x

x

2

1( ) arctg '( )

1f x x f x

x

1( ) '( ) lnx x xf x x f x x x x x





a) 2( ) 5sen cos 2 tg 3 1xf x x x e x x

b) 2( ) 5sen 6 3log lnf x x x x

c) 4 6 2( ) 3 5 4sen 2 ln 2 1f x x x x x a

d) ( ) 3arcsen 5arccos 2arctg 2f x x x x

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES COMPUESTA:

1( ) ( ) '( ) ( ) '( )n nf x g x f x n g x g x

1

( ) ( ) '( ) '( )2 ( )

f x g x f x g xg x

1

1( ) ( ) '( ) '( )

( )

n

nnf x g x f x g x

n g x

( ) ( )( ) '( ) '( )g x g xf x e f x e g x

( ) ( )( ) '( ) ln '( )g x g xf x a f x a a g x

1

( ) ln ( ) '( ) '( )( )

f x g x f x g xg x

1 1

( ) log ( ) '( ) '( )( ) ln

af x g x f x g xg x a

( ) sen ( ) '( ) cos ( ) '( )f x g x f x g x g x

( ) cos ( ) '( ) sen ( ) '( )f x g x f x g x g x

2

2

'( )( ) tg ( ) '( ) 1 tg ( ) '( )

cos ( )

g xf x g x f x g x g x

g x

2

'( )( ) arcsen ( ) '( )

1 ( )

g xf x g x f x

g x

2

'( )( ) arccos ( ) '( )

1 ( )

g xf x g x f x

g x

2

'( )( ) arctg ( ) '( )

1 ( )

g xf x g x f x

g x

( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ln ( )h x h x h xf x g x f x h x g x g x h x





e) 2

3

ln( ) 2 arcsen 3 5

2

xf x x x

x x

f) 3 2ln sen 2 3 1

( )

x

x

x xf x

e

g) 3 36 2

( )2

xx ee x xf x

h) 3( ) log ln 1 3f x x x

i)

2

3

3

3( ) sen cos

log 2 4

cxxax bx

f x e x xx

j) ( ) sen ''( ) '''( )xf x e x f x f x

k) 2( ) ln 1 ''( ) '''( )f x x f x f x





11. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) Todas las funciones del ejercicio 7

b)

1 1 1

( ) 21

x x x

f xx

x

c) 2

1 2

( ) 18 8 2

4

x x

f xx x x

d) 2

4 8 2( )

4 2

x xf x

x x

e) 2 2

( )2 2

x xf x

x x

El procedimiento para estudiar la derivabilidad es el siguiente:

Si la función es de un solo trozo, primero vemos dónde es continua, a continuación

calculamos su derivada y estudiamos el dominio de la derivada, hacemos la intersección de

los dos intervalos que nos han salido y el intervalo resultado que nos salga es donde la

función es derivable.

Si la función es a trozos:

1) Estudiamos su continuidadDonde NO es continua NO es Derivable (FIN)

Donde es continua Puede ser Derivable (*)

2) (*) Calculamos la función derivada y estudiamos su continuidad en las fronteras

donde ha salido continua.

Supongamos que a es un valor frontera donde la función ha salido continua,

entonces estudiamos:

'( ) lim '( ) 1 Si 1 2 NO es derivable en

Si 1 2 es derivable en y la derivada '( ) 1'( ) lim '( ) 2

x a

x a

f a f x l l l f x a

l l f x a f a lf a f x l

Cuando una función a trozos, en un valor frontera, sale continua y no derivable

gráficamente es un pico AQUÍ (la frontera) SÓLO PODEMOS TENER MÁXIMO O

MÍNIMO, NOOOO PUNTO DE INFLEXIÓN.

MáximoContinua + No Derivable (PICO)

Mínimo

Cuando una función a trozos, en un valor frontera, sale continua y derivable gráficamente

es una curva suave AQUÍ (la frontera) PODEMOS TENER MÁXIMO, MÍNIMO O

PUNTO DE INFLEXIÓN.

MáximoCurva

Continua + Derivable MínimoSuave

Pto de Inflexión





f)

2

2

2 1( )

2 2 1 2

x x xf x

x x x

g)

4 3 2

2

21

1 1( )

11

3

x x xx

x x xf x

x

h) 2sen

1( ) 1

0 1

xx

f x x

x

Para estudiar la derivabilidad debemos estudiar primero la continuidad:

Primero por trozos, como en este caso sólo hay uno y el cero, pues veamos la continuidad de

2sen

1

x

x

en ,1 1, , para ello calculemos el dominio de la función

2sen

1

x

x

:

Por ser trigonométrica, su dominio es todo .

Por ser racional, su dominio es 1 .

Así resulta que la función es continua en donde está definida porque 1 ,1 1, es

la misma cosa 1 . Luego no hay problema de definición, por tanto, es continua en su intervalo

de definición. Veamos ahora la continuidad en 1x :

2

1 1

1

sen 2sen cos0lim ' lim 0

1 0 1 Continua en 1

lim 0 0

x x

x

x x xI L H

x x

Calculemos la función derivada:

2

2

sen 2 cos 1 sensen11

( ) '( )1 1

0 1 0 1

x x x xxxx

f x f xx x

x x

' 22

2 2

sen 2 cos 1 sen2sen cos 1 sen 1sen

1 1 1

x x x xx x x xx

x x x

Veamos la derivabilidad

21

sen 2 cos 1 sen 0lim '

01x

x x x xI L H

x

2

1

2 2 2 2 2

1

2

1

cos 2 cos 1 sen sen 2 sen 1 2 cos 1 coslim

2 1

2 1 cos sen 1 cos sen cos senlim

2 1 cos 2

2 1 cos 2 1 cos sen 0lim

2 1 0

x

x

x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

x x x xI

x

'L H





2

1

2 3 2 2

1

2 3

1

3 2

2

1

2 1 cos 2 1 cos senlim

2 1

2 cos 2 4 1 sen 2 1 cos senlim

2

2 cos 2 4 1 sen 2 1 cos 2lim

2

4 1 sen 2 2 1 cos 2 1lim

2 2

x

x

x

x

x x x x

x

x x x x x

x x x x

x x x

12. Realiza los siguientes ejercicios relacionados con la derivabilidad.

a) Determina la función derivada de las funciones siguientes

10

( ) cos 02

1

2

x

xx

e

f x x x

xx

( ) ln 3f x x

2( ) ln 1f x x

2

( ) ln 2 3f x x

1

( ) ln1

xf x

x

( ) ln 2 lnf x x x

( ) ln cosf x x

2

1

11

( ) 2 2

1x

xx

f x

e x

b) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma 2

2

4 2( )

2

x x a xf x

x b x x

sea

derivable en todo x .

c) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma 2

sen 0( )

0

x xf x

x ax b x

sea derivable en todo x .

d) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma

1

2

2 1

2

1

( )x

xf x

m n x x

sea


Lo primero que debemos hacer es descomponer el valor absoluto tanto la frontera como en la

función:

1

21 1 1

2 2 2 1

2

, ,x

xx





1 1 1 1 1

2 2 2 2 2,x x

Reescribimos la función con los valores absolutos de las fronteras desarrollados:

1

2

2 1 1

2 2

1

2

1

( )

1

xx

f x m n x x

xx

Ahora descomponemos 0

0

x xx

x x

, como los dos intervalos se corresponden pues no hay que

armar demasiado para escribir correctamente la función original.

1 12 22

2 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 22

1 1

( ) '( ) 2

1 1

x xx x

f x m n x x f x n x x

x xx x

Ahora vamos a imponer primero la continuidad y después la derivabilidad sólo en las fronteras

porque suponemos que la función está bien definida como así es.

Como es continua en 1

2x

12

12

2

1lim 2

2 8 44

lim4

x

x

x nm m n

nm n x m

Como es continua en 1

2x

12

12

2lim4

2 8 41 4

lim 2

x

x

nm n x m

nm m n

x

Como la función es derivable en 1

2x

12

12

2

1lim 4

4 4lim 2

x

x

x n nn x n

Como la función es derivable en 1

2x

12

12

2

lim 2

41lim 4

x

x

n x n

n

x





Imponiendo la derivabilidad y la continuidad de la función, tenemos que resolver el sistema:

8 44 3.

4

m nn m

n

e) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma 1

( )1 ln 1

mx ne xf x

x x x

sea

derivable en 1x .

f) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma 2

2

1 3( )

2 1 3

x mx m xf x

x nx n x

sea derivable en todo x .

g) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma

2

2

2

2 32

( ) 1

2

xx

f x x

a x b x

sea


h) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma

2

2

2

2 32

( ) 1

2

xx

f x x

a x b x

sea


i) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma 2

2 1

2( )

2x

a x b x b xf x

x x

sea derivable en todo 0x . Determina también la recta tangente a la gráfica de la función en 2x .

j) Inventa dos problemas de este estilo y resuélvelos.

k) Inventa 4 funciones a trozos en los que aparezcan todas las discontinuidades y casos de continua y

no derivable, así como, fronteras derivables.

13. Calcula los límites siguientes usando la regla de L’Hôpital (Anexo).





1) 0

lim 1senx

x

x

2) 0

sen 2 2lim

sen5 5x

x

x

3) 0

lim 1tgx

x

x

4) 2 20

1 1 1lim

sen 3x x x

5) 20

1 cos 1lim

2x

x

x

6) 0

coslim 3

senx

x x x

x x

7) 30

cos sen 1lim

3x

x x x

x

8) 0

lim 2sen

x x

x

e e

x

9) 0

tg 2 2lim

tg 5 5x

x

x

10) 0

lim 1 cos cotg 0x

x x

REGLA DE L`HÒPITAL

0

( ) ( ) '( )0SI lim siendo lim lim

( ) ( ) '( )x a x a x a

f x f x f xa

g x g x g x

Esta regla quiere decir: “ Si al calcular el límite de un cociente de funciones, sean

las que sean, cuando x tiende a , un número ó más o menos infinito, y en el primer paso nos

sale una de las indeterminaciones mencionadas arriba, entonces es lo mismo calcular ese

límite inicial que calcular el límite del cociente de las derivadas de las de las funciones f y

g”.

Puede ser que al aplicar L’H una vez, nos salga una nueva indeterminación, pero

nosotros nos reímos de eso, porque aplicamos otra vez la regla, hasta que desaparezcan las

indeterminaciones y podamos calcular el límite.

Repito, ver anexo porque viene mucho más detallado y con muchos casos que se

nos pueden presentar.

A continuación vienen los límites con los resultados para que comprobéis si están bien.





11) 2

2lim 0

2x

x

x

12) 4

4lim 4

2x

x

x

13)

3 20

1 senlim 1

x

x

e x

x x

14)

2

lim tg 12x

x x

15) 1

1 1 1lim

ln 1 2x x x

16) 1

2lim 1 tg

2x

xx

17)

0

ln 1 sen 1lim

sen 2x

x x

x x

18) 1 ln 1

limx e

x

x e e

19)

1 1 1

2

Aquí no puedo

aplicar L'H,

Transformo y

ya sí podemos

1ln 1 10 lim ' lim

1 10 1

ln l

lim ln l 1

n

nxx x

x xI I L H

x x

x

x x

2

2

1 1 1

2

1 1ln 2lnln 01lim lim ' lim 0

1 1 0 1

ln

x x x

x x xx xx xI L Hx

x x

20) 11

1 1 1lim

1 1 2xx e x

21) 0

lim ln sen 0x

x x

22)

2

tglim 5

tg 5x

x

x

23) 1

1 1lim

1 ln 2x

x

x x





24)

0

ln 1 sen 1lim

sen 2x

x x

x x

25) ln

lim 0x

x

x

26)

2ln

lim 0x

x

x

27) ln

lim 0 0x

x

x

28) 3

3lim

x

x x

29) ln 2 3 3

lim32 3

x

xx

e

e

30) lim arctg 02

x

xx e

31) 1 1

1

1 lnlim ln lim limln lim l

1im ln

0 1'limx x

x x xx x

x xxx xx x x

xI ex e e e I L H e

1lim

0 1x xe e

32)

tg

0

1lim 1

x

x x

33) 0

lim ln 1 1x

xx

34) sen

0lim 1x

xx

35)

3

34 ln

0lim x

xx e

36)

1

11

1lim x

xx e

37)

2

20

1 cos 2lim 1

4x

x

x

38) 0

1 coslim 1

1xx

x

e x

39)

2

33 1

lim3 1

x

x

xe

x





40) 1

1lim ln 1

1xx

x

41) 1

2 8 1lim

2 2

x

xx

42) 0

sen 1lim

tg 2x

x x

x x

43) 1

0lim cos sen x

xx x e

44) 0

ln cos3 9lim

ln cos2 4x

x

x

45) 4

0lim 1 2 8x

xx

46)

2

0

1lim 2

cos 1

x

x

e

x

47) 0 0

1 1 20 12 4 24 4

lim4

4 4' lim0 4 4 8xx

x xI L H

x x

x

48) 0

1 1 1lim

ln 1 2x x x

49)

30

2 cos 2 sen 2 8lim

3x

x x x

x

50)

2

0

1 cos 1lim

21x x

x

e

51) 0

4 ln 1lim 2

ln 1x

x x

x x

52) ln

lim 0xx

x x

e

53) 0

lim ln sen 0x

x x

54) 20

coslim 1

sen

x

x

e x x

x

55) 0 0

arctglim 2 * lim 1

sen senx x

x x x

x x x

56) lim ln 1 ln 1x

x x x





57) No se puede aplicar L'Hôpital porque el seno es unasen

fulimsen

nción periódica x

x x

x x

y no sabemos cómo se comporta en el , por tanto para calcular el límite se procede de

otra manera, veámosla:

sen sen1

senlim lim lim 1

sen sensen1

x x x

x x x

x x x xx x xx x

x x

58)

2

0 0

1No se puede calcular porque no existe el

1sen

l limsen , imsenx x

xx

xx

Pero sí lo podemos calcular de esta forma:

2

0 0 0 0

1sen

1lim lim lim sen 0 * lim 1

sen sen senx x x x

xx xx

xx x x x

59) Determina k para que se verifique 1

4

0lim x x

xe k x e

Sol: 3k

60) Calcula a y b para que se verifique

2

20

1 coslim 1

senx

a x b x x

x

Sol:

10,

2b a

61) Se sabe que el 20

senlimx

x x

x

es finito. Determina y calcula el límite. Sol: 1

62) Determina k para que exista el límite y sea finito. Calcula el límite para ese valor de k.

0lim

sen

x x

x

e e k x

x x

Sol: 2k

63) Se sabe que el 0

senlim

tgx

x x

x x

es finito. Determina y calcula el límite. Sol: 1

64) Determina k para que exista el límite y sea finito. Calcula el límite para ese valor de k.

11

1 1lim

1 1xx e k x

Sol: 1k

14. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones, a continuación represéntalas:





a) 1

( )xe

f xx

b) 1

( )1

x

x

ef x

e

c)

2

2( ) 2

9

xf x x

x

d) sen

( )cos2

xf x

x

e) 2( ) 5 3 1f x x x

f) ln

( )x

f xx

Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas

x kSi lim f ( x )

x k es AV

xSi lim f ( x ) c

y c es AH

. .

lim ( )

( )lim

lim ( )

x

x

x

A O y m x n si

f x

f xm

x

n f x m x

Generalmente la asíntota vertical, será

aquel valor que no está en el dominio

o aquél que nos quiten de la

definición de la función

Generalmente saldrá sólo un valor

para c, pero habrá algunos casos en

los que haya que estudiar el límite en

y en por separado, porque

podrán salir valores distintos.

Puede no existir la A. O.,

pero si existe es porque los

límites, de la celdilla

superior, los hemos podido

calcular. Posición Relativa A. V. Posición Relativa A. H. Posición Relativa A. O.

Se trata de saber por dónde queda la

gráfica de la función a la izquierda y a

la derecha de la recta imaginaria (AV)

gráfica encima de la asíntota.

gráfica debajo de la asíntota.

la gráfica está por

encima de la asíntota.

la gráfica está por

debajo de la asíntota. En los ejercicios nos pedirán dos cosas muy distintas. Fijaos, pueden decirnos “determina las

asíntotas” y quedarse ahí. En ese caso, una vez calculadas las ecuaciones de las mismas y

verificadas las condiciones, hemos terminado el ejercicio. En otro caso además de pedirnos

determinar las asíntotas pueden venir preguntas relacionadas con ellas o con la gráfica de la

función, en ese caso, ya si conviene estudiar la posición relativa.

Las asíntotas horizontales no pueden coexistir con las oblicuas por el hecho de que un

límite no puede salir infinito y, a la vez, un número.

Las AH y AO pueden ser diferentes en el y .Así, se recomienda asegurarse de

que los límites necesarios para el cálculo de dichas asíntotas se realicen en el y





g) ( )x

x

e xf x

e

h) ( ) ln 2 xf x x e

i)

2

( )x x

f xx

j) 1

( )1

f xx

k) ( ) lnf x x

l) 2

1

( ) xf x e

m) ln

( )x

f xx

15. Determina la recta tangente y normal en los siguientes casos:

a) 31( ) 4 1

3f x x x x

Calculemos 2 4'( )

3f x x . Ahora calculemos

( 1) 1

1'( 1)

3

f

f

. Por tanto ya podemos determinar las

dos rectas:

Recta Tangente Recta Normal

'( 1) 1 ( 1)

11 1

3

1 2

3 3

y f x f

y x

y x

11 ( 1)

'( 1)

3 1 1

3 4

y x ff

y x

y x

Ahora, aunque no hace falta, pero fijaos en la gráfica de la función, en la recta tangente en 1x y

en la recta normal en 1x :

Las rectas tangente y normal a una función en un punto de abscisa x a son:

Recta Tangente:

siendo Recta Normal

( )

'( )1

( ):

y m x a f a

m f ay x a f a

m





b) ( ) ln cuando 1f x x m

Cuando nos dan la función y la pendiente, determinar las rectas tangentes que tienen esa pendiente

NO es un ejercicio tan directo como los otros, puesto que previamente hay que calcular x a . Se

procede de manera distinta, veámosla:

Tengo 1

( ) ln '( )f x x f xx

y tengo 1

1 '( ) 1 1 1m f a aa

. Luego ya tengo a entonces

qué queda, pues calcular la recta tangente con los datos que tengo, a saber, 1, 1 y ( ) lna m f x x .

Recta Tangente Recta Normal

( )

1 1 (1)

1

y m x a f a

y x f

y x

1( )

1 1 (1)

1

y x a f am

y x f

y x

Para el que no se lo crea las representamos:





c) 1

( )1

xf x x x x

m

d) 2cos( )

sen cos 1

xxf x

x x m

e) ( ) ln paralela al eje de abscisasf x x x

f) 2( ) paralela a la bisectriz del tercer cuadrantexf x x e

g) ( ) sen 2 paralela a la bisectriz del primer cuadrantef x x

h) ( ) sen56

f x x x

i) 2( ) 2ln 1 1f x x paralela a su asíntota.

16. Resuelve los siguientes ejercicios sobre recta tangente:

a) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma1

( )2

xf x

x

en los que la recta

tangente es:

Paralela a la recta de ecuación y x

Paralela a la recta de ecuación 1

58

y x

Perpendicular a la recta de ecuación 2 7y x

b) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma ( ) ln 2f x x en los que la recta

tangente pasa por el origen de coordenadas. Determina también las ecuaciones de estas rectas

tangentes.





c) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma2

2

2 3( )

1

xf x

x

en los que la recta

tangente pasa por el origen de coordenadas. Determina también las ecuaciones de estas rectas

tangentes y normales.

d) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes y las rectas normales a la gráfica de la función

definida de la forma 4 2( ) 3 10f x x x en sus puntos de inflexión.

e) Dada la función ( ) 2f x x x x . Esboza la gráfica de f. Estudia la derivabilidad de f. Halla la

ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en 0x y en 1

.4

x

17. Estudia la monotonía (extremos relativos y intervalos de crecimiento y decrecimiento) y curvatura

(puntos de inflexión y concavidad y convexidad) si los hubiere de las siguientes funciones.

Represéntalas:

0 0 0

0 0 0

0 Creciente en

Monotonía 0 Decreciente en

0 0 Mínimo en

Ext Rel, P Crítico en 0 Máximo en

0 Conv

Curvatura

f '( x ) x a,b a,b

f '( x ) x a,b a,b

f '( x ) f ''( x ) x x

x x f ''( x ) x x

f ''( x ) x a,b

0

exa en

0 Cóncava en

0 Punto de Inflexión = cambio de a o de a .

a,b

f ''( x ) x a,b a,b

f ''( x )

El procedimiento para estudiar la MONOTONÍA a seguir es el siguiente

1) Calcula la derivada y resuelvo '( ) 0f x

2) Las soluciones son los extremos relativos. Construimos una tabla en la que

ponemos los valores codominio, valores frontera y extremos relativos.

3) En la tabla estudiamos el signo de la derivada a cada lado de cada uno de los

valores que hemos puesto. Y concluimos con '

'

f f

f f

.

El procedimiento para estudiar la CURVATURA a seguir es el siguiente

1) Calcula la derivada segunda y resuelvo ''( ) 0f x

2) Las soluciones son los puntos de inflexión. Construimos una tabla en la que

ponemos los valores codominio, valores frontera y puntos de inflexión.

3) En la tabla estudiamos el signo de la derivada a cada lado de cada uno de los

valores que hemos puesto. Y concluimos con ''

''

f f

f f

.

*MUY IMPORTANTE: Al determinar los máximos y los mínimos de una función

definida en un intervalo cerrado, NO BASTA con el estudio de los extremos relativos,

pues es necesario saber a qué altura queda la función en las fronteras. Pensad que la

función puede quedar más alta en las fronteras, del intervalo de definición, que en los

propios extremos relativos.





a) 2( ) 1f x x x

b) 1

( )3

xf x

x

c) ( ) cos ,xf x e x

Lo primero que hacemos para estudiar la monotonía y curvatura es determinar el dominio pues los

valores a tener en cuenta para dicho estudio son: CODOMINIO, FRONTERAS y EXTREMOS

RELATIVOS o PUNTOS DE INFLEXIÓN. En este caso el dominio es muy fácil, se trata de un

producto de funciones continuas en todo , en particular, en , , es decir

Dom , ,f . Por tanto no hay codominio.

En esta función tenemos valores frontera, así que en nuestros estudios de tablas deberemos

limitarnos al intervalo , .

Lo segundo que hacemos es calcular la derivada primera, y como vamos a estudiar la curvatura de la

función, también, de camino, hacemos la derivada segunda.

Factor

( ) cos '( ) cos sen cos senComún

x x x xf x e x f x e x e x e x x

Por tanto, '( ) cos senxf x e x x , ahora bien, necesitamos también la derivada segunda:

''( ) cos sen sen cos 2sen 2 senx x x xf x e x x e x x e x e x

Así pues, ''( ) 2 senxf x e x

Recapitulamos:

( ) cos

'( ) cos sen

''( ) 2 sen

x

x

x

f x e x

f x e x x

f x e x

Ahora debemos obtener los extremos relativos '( ) 0f x cos sen 0 cos sen 0xe x x x x

45º4

3135º

4

x

x

que son las soluciones reales que quedan dentro del intervalo , . Por

tanto, debemos poner en nuestra tabla los dos extremos relativos más las dos fronteras, luego en

nuestra tabla de estudio de monotonía vamos a situar sólo el valor 0x .

34

4

'f

f

m M

Concluimos escribiendo:

La función es creciente en 3

,4 4

y decreciente en 3

, ,4 4

. Como la función es

continua en todo el intervalo de definición podemos asegurar que existe un mínimo en





3 3,4 4

f y un máximo en ,4 4

f . Más concretamente esos dos extremos relativos

son:

34

4

23 3 3Mínimo , , 2 '35, 0 '064 4 4 2

2Máximo , , 0 '78,1'55

4 4 4 2

f e

f e

Que os creíais vosotros que había acabado la monotonía ahí. Cuando mi función a estudiar está

en un intervalo cerrado. Los máximos y los mínimos se pueden encontrar justo en las fronteras del

intervalo, en particular, en este ejmplo mirando la tabla de la monotonía, el máximo absoluto podría

estar en y el mínimo absoluto en . Veamos, cuánto vale la función en las fronteras:

, , 3'14, 0 '04

, , 3'14, 23'14

f e

f e

Por tanto, si vemos globalmente todos los valores hallados, observamos que el máximo está claro y

queda determinado directamente en la tabla de la monotonía, pero el mínimo NO es el que habíamos

calculado antes, pues ahora hay un valor en el intervalo de definición que tiene el valor más bajo. Por

tanto , , 3'14, 23'14f e

34

23 3 3Mínimo Relativo , , 2 '35, 0 '064 4 4 2

Mínimo Absoluto , , 3'14, 23'14 Es el más bajo.

f e

f e

Conclusión: cuando estudiemos la monotonía en un intervalo cerrado deberemos tener en

cuenta también las fronteras para máximos y mínimos. Recordad que en ellas pueden estar los

máximos y mínimos.

34

4

'f

f

M? m M m?

Veamos ahora la curvatura de la función, para ello:

''( ) 0 2 sen 0 0x

x

f x e x x

x

y aquí tenemos un problema, resulta que aunque salen de

igualar la derivada segunda a cero, no podemos determinar y tampoco es de nuestro interés, saber si

son o no, puntos de inflexión, pues son justamente las fronteras del intervalo de definición, y a los

lados externos no vamos a realizar estudio alguno, por tanto el único valor a tener en cuenta para la

tabla de la monotonía es el 0.

0

''f

f

PI





3 2 1 1 2 3

12

10

8

6

4

2

Terminamos concluyendo que la función es convexa en ,0 y cóncava en 0, . La función

tiene un punto de inflexión en 0,1 .

ESTO COMPLEMENTADO CON LOS PUNTOS DE CORTE Y EL ESTUDIO POR

EJEMPLO DE LAS ASÍNTOTAS, NOS DA UNA RECOPILACIÓN DE DATOS MUY

PRECISA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE.





Si quieres un ejemplo de estudio completo de una función y su gráfica, puedes irte al anexo

correspondiente.

d) ( ) sen ,xf x e x x

e) 3

2( )

3

xf x

x

f)

22 1

( )3

xf x

x

g) 2( ) 2 20 52 xf x x x e

h) ( ) 3 senf x x x

i) 3 2( ) 4 7 6 xf x x x x e

j) 2

1( ) xx

f x ex

Lo primero que hacemos para estudiar la monotonía y curvatura es determinar el dominio pues los

valores a tener en cuenta para dicho estudio son: CODOMINIO, FRONTERAS y EXTREMOS

RELATIVOS o PUNTOS DE INFLEXIÓN. En este caso el dominio es muy fácil, sin apenas

mojarnos haciendo cuentas obtenemos Dom 0f . Por tanto nuestro codominio sería 0x .

En esta función no tenemos valores frontera, así que, una cosa menos a tener en cuenta en nuestros

estudios de tablas.

Lo segundo que hacemos es calcular la derivada primera, y como vamos a estudiar la curvatura de la

función, también, de camino, hacemos la derivada segunda.

2

2 4 4

1 1 1 21 1 1 21 Factor( ) '( )

Común

xx x xx xe x x xe x e x e x xe xf x f x

x x x

2 2

4 4 3

2 2 2 22 2x xx xe x x e x xxe x x x

x x x

Por tanto,

2

3

2 2'( )

xe x xf x

x

, ahora bien, necesitamos también la derivada segunda:

2 3 2 2 3 2

6 4

2 2 2 2 2 2 3 3 6 6''( )

x x x xe x x e x x e x x x e x x xf x

x x

Así pues,

3 2

4

3 6 6''( )

xe x x xf x

x

Recapitulamos:

2

2

3

3 2

4

1( )

2 2'( )

3 6 6''( )

x

x

x

e xf x

x

e x xf x

x

e x x xf x

x

Ahora debemos obtener los extremos relativos '( ) 0f x

2

2

3

2 20 2 2 0

xe x xx x

x

que

no tiene soluciones reales. Por tanto, no podemos poner en nuestra tabla extremos relativos, luego en

nuestra tabla de estudio de monotonía vamos a situar sólo el valor 0x .





0

f’ +

f

Concluimos escribiendo:

La función es creciente en ,0 y decreciente en 0, . No podemos asegurar que, según la

tabla, haya un mínimo en el 0 pues la función en ese valor NO EXISTE. Recordemos que es

codominio. Así pues, queda estudiada la monotonía.

Veamos ahora la curvatura de la función, para ello: 3 2

3 2

4

3 6 6''( ) 0 0 3 6 6 0

xe x x xf x x x x

x

y aquí tenemos un problema, (que en el

examen NO se nos presentará) y es que si nosotros probamos por Ruffini con 1, 2, 3, 6 no sale

absolutamente nada. Conclusión: si no podemos resolverlo (que no será nuestro caso), pues no

podemos estudiar la curvatura, porque, nosotros sabemos que una cúbica corta como mínimo una

vez seguro al eje OX, pero no sabemos sacarlo.

Hay una forma, un poco tramposilla, que es aproximando la gráfica, hasta que veamos que va a

cortar, por ejemplo, si yo considero como función independiente 3 23 6 6y x x x y represento la

cúbica esta con una tabla de valores

Vemos, que de 1 a 2 la cúbica cambia de signo, esto nos indica, que entre 1 y 2, seguro que corta

ésta al eje OX. Podemos decir entonces, que algún número 1’… seguro es nuestro punto de

inflexión. Pero bueno, retomemos nuestro estudio de la curvatura como si hubiéramos calculado

nosotros la solución y nos hubiera salido 1'59x .

0 1’59

f’’ - - +

f

Terminamos concluyendo que la función es convexa en 1'59, y cóncava en

,0 0,1'59 .

ESTO COMPLEMENTADO CON LOS PUNTOS DE CORTE Y EL ESTUDIO POR

EJEMPLO DE LAS ASÍNTOTAS NOS DA UNA RECOPILACIÓN DE DATOS MUY

PRECISA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE.

x -1 0 1 2

y -16 -6 -2 2





Si quieres un ejemplo de estudio completo de una función y su gráfica, puedes irte al anexo

correspondiente.

3 2 1 1 2 3

10

8

6

4

2

2

4





k) 2 ln

( )x

f xx

l) ( ) 1xf x e x

m) ( ) 4 5lnf x x x

n) 1

( ) ln 21

xf x x

x

o)

10

( ) cos 02

1

2

x

xx

e

f x x x

xx

p)

4 3 2

2

4 42

2 1( )

22

7

x x xx

x x xf x

x

q) 2( ) ln 1f x x

r) 1

( ) ln1

xf x

x

s) ( ) ln cosf x x

t)

2

1

11

( ) 2 2

1x

xx

f x

e x

18. Determina la imagen de las funciones definidas de la siguiente forma:

(*) Intenta calcular el máximo absoluto y el mínimo absoluto. La imagen sería el intervalo que forman

________________ y _______________.

a)

2

2

2: 3,3 ( )

2

xf f x

x

b) 3 2: 0,1 ( ) 2 1f f x x x x

c) 2: 1,3 ( ) 1xf f x e x x

d) 2

2

2 1: 0,3 ( )

1

x xf f x

x x

19. Determina los parámetros de las funciones en los siguientes casos:





a) Halla una función polinómica de grado tres, que corta al eje OY en el punto (0,4), que pasa por el

punto (1,2) y que en ese punto tenga tangencia horizontal. Una vez hallados los parámetros

determina los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Sean dos funciones 2( ) y ( )

x df x a x b x c g x

x e

. Determina los parámetros sabiendo que las

dos funciones se cortan en el punto 1,1 , f tiene un máximo en el 2,2 y g tiene una asíntota

vertical en 2x .

Traduzcamos al lenguaje matemático:

Consisten en determinar los parámetros desconocidos aplicando los conocimientos

teóricos. A continuación, detallamos todas las posibles condiciones que nos podemos

encontrar por raras que sean y cómo aplicarlas:

La función pasa por el punto ,a b es la condición ( )f a b

La función posee un extremo relativo, local o punto crítico en x a , '( ) 0f a

La función posee un punto de inflexión en x a , ''( ) 0f a

La función tiene un máximo

mínimo en el punto

0)('

)(,

af

bafba

La función tiene un punto de inflexión en el punto

0)(''

)(,

af

bafba

La función corta al eje abscisas OX en 0)( afa

La función corta al eje ordenadas OY en afa )0(

La función tiene una asíntota horizontal en lim ( )x

a f x a

La función tiene una asíntota vertical en a al evaluar a en el denominador

debe ser 0.

La función en a tiene una recta tangente con igual pendiente a m0 conocida.

Entonces 0' maf .

En funciones a trozos ser continua significa que los limites laterales en las

fronteras han de ser iguales.

En funciones a trozos ser derivable significa ser continua, por tanto, que los

limites laterales en las fronteras han de ser iguales, y además, que las derivadas

laterales en las fronteras han de ser también iguales

Que dos funciones se corten significa que se han de igualar y resolver la

ecuación.

Dejamos esos en blanco porque no se me ocurren más, y sé que luego saldrán y habrá que

ponerlos en algún sitio, pues ahí.





dos funciones se cortan en el punto

(1) 1 1

11,1 (1) 1 1

1

1(1) (1)

1

f a b c

dg d e

e

df g a b c

e

f tiene un máximo en el (2) 2 4 2 2

2,2'(2) 0 8 0

f a b c

f a b

g tiene una asíntota vertical en 2 2 0x e

Recopilando la información me queda el sistema:

1

2, 2

4 2 2 1 1 2, ,

8 0 5 5 5

2 0

a b c

d e e d

a b ca b c

a b

e

c) Encuentra una función polinómica de segundo grado que verifique las siguientes condiciones:

(0) 3f ; la tangente a la gráfica en 0x es paralela a la recta que pasa por los puntos A(0,2) y

B(2,6); f alcanza el mínimo en 1x .

d) Determina el valor del parámetro a para que la función 3

( )x a

f xx

, presente en el punto de abscisa

2x , un extremo relativo.

e) Se considera la función 2

( ) 1a b

f xx x

, calcula el valor de los parámetros sabiendo que f presenta

un extremo relativo en P(1,3)

f) Halla una función polinómica de tercer grado, sabiendo que corta al eje OX en los punto 0x y

1x , y presenta un mínimo relativo en 0x .

g) Sea la función 3 2( ) 2f x x ax bx c . Encuentra los valores de los parámetros para los cuales f

tiene sus extremos relativos en los puntos 1x y 2x , y de forma que el punto P(1,6) pertenezca a

la gráfica de f.

h) Sea la función 3 2( )f x x ax bx , de la que sabemos que su recta tangente, en el punto de abscisa

1x , es paralela a la recta de ecuación 7 4y x , y también se sabe que tiene un extremo relativo

en 1x . Calcula a y b, y con dichos valores encuentra algún otro extremo para f.

i) Determina una función polinómica de tercer grado 3 2( )f x ax bx cx d , cuya gráfica tenga un

extremo relativo en el origen de coordenadas y un punto de inflexión en (1,2).

j) Determina la parábola que pasa por el origen tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y

que además tiene un extremo en el punto de abscisa 1

2x .

k) Se sabe que la función 3( )f x x ax b , corta a su función derivada en 1x y que además en dicho

punto f tiene un extremo. Determina los valores de a y b.

l) Sea la función 2( )c

f x a xax b

. Determina a, b y c para que la función tenga una asíntota vertical

en 2x , como asíntota oblicua

20. Problemas de optimización





ALGEBRAICOS

1) Probar que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado.

2) Descomponer el número 20 en dos sumandos tales que el producto del cubo de uno de ellos por el

cuadrado del otro sea máximo.

a. ,C x y k , 20x y

b. 3 2( , )f x y x y paso la función a una variable

2 23 2 3 320 ( , ) 20 ( ) 20y x f x y x y x x f x x x

23 3 2 3 4 5( ) 20 400 40 400 40f x x x x x x x x x

c. La Optimización. Maximizar ( , )f x y es maximizar ( )f x

3 3 4'( ) 1200 160 5f x x x x ahora igualamos la derivada a cero y obtenemos las

soluciones:

2

2 3 4

2

05 0

01200 160 5 0

2232 240 0

10

xx

xx x x

xx x

x

Ahora calculamos 3 2''( ) 20 480 2400f x x x x , y estudiamos el signo de la segunda

derivada en los extremos relativos porque en este caso al tratarse de una función polinómica, las

cuentas son más fáciles.

En un problema de optimización siempre nos van a dar tres cosas de manera indirecta o

directa:

,C x y k , la condición que me relaciona x e y. En ella podré despejar o x o y.

( , )f x y , la función en la que intervienen dos variables a optimizar.

La Optimización. Una pregunta que me indicará si debo maximizar o minimizar.

Una vez identificadas estas tres cosas el problema ya está casi resuelto. Tan sólo hemos

de seguir el siguiente procedimiento:

1) En la condición despejamos la variable (x o y) más fácil.

, (Despejo) ( )C x y k y g x

2) A continuación sustituimos en la función de manera que dejamos la función en

una sóla variable.

1( , ) ( , ( )) ( )f x y f x g x f x

3) Derivamos y obtenemos lo que nos diga la optimización.

1 '( ) 0......f x

4) RESPONDEMOS A LA PREGUNTA EN EL DOMINIO DEL

CONTEXTO “Esto es importante también ¿eh?”

Para facilitaros el camino vamos a tener una relación con un problema de optimización

de cada tipo de los que suelen aparecer en selectividad. Hay resuelto uno de cada tipo.





0x no puede ser pues no tiene sentido en el contexto.

''(10) 0f por tanto la función se hace máxima en 10x .

''(22) 0f , aquí se hace la función mínima, por tanto no me interesa.

Así pues, los dos números que hay que hallar, son 10, 10x y .

3) Determina dos números reales positivos cuya suma es 10 y sabiendo que el producto de sus

cuadrados es máximo.

4) Determinar m de modo que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

2 2 3 0x m x m sea mínima.

RECIPIENTES, ENVASES, DEPÓSITOS

5) Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8dm3. Averigua las

dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima.

Queremos construir una caja cerrada de base cuadrada. Aunque la lógica me diga

a mí que va a ser un cubo, yo nunca me imagino la situación obvia. Pensemos en

algo parecido a esto.

La condición: 2

2

88,x y y

x

La función es la superficie de la caja: 3

2 2 8 2 32( , ) 2 4 2 4

xf x y x x y x

x x

, el dominio de esta

función es 0,

2 33 3

2 2

6 2 32 12 32 4 32( ) '( )

x x xx xf x f x

x x x

Ahora, calculamos los extremos relativos

34 32 0 2x x que es mínimo pues

Por tanto 2, 2x y , se trata de una caja con forma cúbica.

6) Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm2. Determina el

radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.

7) Una empresa tiene que construir un depósito para que pueda contener 10.000 m3 de un determinado

combustible. La forma del depósito debe ser la de un cilindro en el que se han sustituido las bases

por dos semiesferas. El depósito debe ser recubierto por una pintura exterior cuyo coste es 6 €/m2.

¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que el coste del recubrimiento sea mínimo?

8) Se quiere hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 dm3. Para la

tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero la para la base debemos emplear

un material un 50% más caro. Halla las dimensione de este envase para que su precio sea el menor

posible.

9) Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser

el radio de la base? 2

3V r h

2





TIEMPO MÍNIMO

10) Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma

playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h. Averigua a qué

lugar debe dirigirse a nado para llegar en el menor tiempo posible.

11) Un motorista se encuentra en el desierto frente a un punto A situado en una carretera a 5 km de él.

Desea ir a un punto B sobre la misma carretera situado a 10 km de A. Suponiendo que la carretera es

recta y que puede viajar por el desierto a 15 km/h, y a 39 km/h por la carretera. Encontrar el punto en

que debe alcanzar la carretera para llegar a B en el menor tiempo posible.

Bueno, antes de nada debemos saber cómo están relacionadas las variables velocidad, tiempo y

espacio:

e ev t e v t

t v

Si yo estuviera en el punto M y estuviese viendo la carretera enfrente, A, pero mi destino fuese B

evidentemente todo el mundo piensa: “Niños, vamos a recortar que si no vamos a andar más que

Frodo por la Tierra Media”, pero claro si yo tengo que ir esquivando piedras todo el camino hasta

llegar a B, probablemente llegue a mi destino con los pies sangrando después de no se cuántas

piedras camufladas con el matorral y zarzas. En fin, estoy desvariando, todos en definitiva

recortaríamos un poquito por el desierto y luego andaríamos por la carretera que es más cómodo.

Vale, esto es entender el planteamiento.

Como el enunciado nos habla de menor tiempo posible, ya sabemos que la función va a ser el tiempo

que tardemos en ir de M a x y después a B. Para escribir el tiempo que tardaremos, de M a B, hay

que usar las formulitas de arriba y los datos de velocidades del problema. Así pues, los recorridos en

espacio serían 225 x el de la diagonal y 10 x el de lo que queda por carretera. Y como las

velocidades son respectivamente 15 y 39 km/h. Por tanto, el tiempo que se tarda en recorrer esas

distancias a esas velocidades, según e

tv

, es: 225 10

( )15 39

x xf x

Así pues, nos queda minimizar esa función y contestar a la pregunta.

Algunos se preguntarán, dónde está la condición, pues en el dibujo está la condición. No aparece y

pues ya hemos escrito 10 – x.

FIGURAS INSCRITAS EN FIGURAS

12) Calcula las dimensiones de un rectángulo de área máxima que se pueden inscribir en un triángulo

equilátero de 6 cm de lado.





13) En una circunferencia de radio r, se divide su diámetro en dos partes que a su vez se toman como

diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a ella. ¿Qué longitud debe tener cada uno de

estos dos diámetros para que el área delimitada por las tres circunferencias sea máxima?

14) En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m, se va a instalar un parterre rectangular, uno de

cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él está sobre la parte curva. Calcula las dimensiones

del parterre para que su área sea máxima.

15) Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de 10 cm de diámetro, ¿cuál es el de

área máxima?

16) En una página ha de imprimirse un texto de 200 cm2. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm y el

superior e inferior de 6cm cada uno. Calcula las dimensiones de la página para que la cantidad de

papel necesaria sea mínima.

17) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

18) Un campo tiene forma de trapecio rectángulo de bases 240 y 400 metros y el lado perpendicular a las

bases también 400 m. Se quieren construir dos campos rectangulares, C1 y C2, en su interior con

bases en el lado perpendicular a las bases del trapecio. En el campo C1 se quiere sembrar maíz y en

el C2 trigo. Los beneficios para maíz y trigo son 0.12 €/m2 y 0.10 €/m

2 respectivamente. Determina

las medidas de cada uno de los campos para obtener el beneficio máximo.

19) Considera el recinto limitado por la curva 21

3y x y la recta 9y . De entre todos los rectángulos

situados en el recinto cerrado delimitado por las dos gráficas, determina el que tiene área máxima.

20) En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo

de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados

iguales. Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de la base, x, y dí cual es el

dominio de la función. Halla el valor máximo de esa función.

PENDIENTE MÁXIMA

21) Determina un punto de la recta de ecuación 3 3 1,4y x x x en el que la pendiente de

la recta tangente sea máxima.

Este ejercicio, a veces, algunas personas, pueden confundirse al no tener claros los conceptos de

pendiente de la recta tangente a una función, y extremo relativo. Pero si los tenemos claros es un

ejercicio muy fácil, la recta tangente es '( ) ( )y f c x c f c , veámoslo:

¿Qué es la pendiente? '( )f c , donde c es la abscisa del punto de la gráfica donde la pendiente es

máxima, la que nosotros queremos buscar. Entonces la pendiente es 2'( ) 3 3f x x .

¿Qué es lo que tengo que maximizar? La pendiente. Y ¿quién es la pendiente? 2'( ) 3 3f x x .

Ahora, tengo que maximizar 2'( ) 3 3f x x . Entonces debo derivar esa función e igualarla a

cero, para obtener el posible extremo relativo. 2''( ) 6 ''( ) 0 0f x x f x x es el extremo relativo. Veamos si es máximo o mínimo:

Por tanto, máximo. Entonces la función alcanza su máxima pendiente en el punto (0,0).

22) Dada la función : 1,f e definida por 1

( ) lnf x xx

, determina cuales de las rectas

tangentes a la gráfica de f tienen la pendiente máxima.

0





23) Determina un punto de la recta de ecuación 2xy x e en el que la pendiente de la recta tangente

sea máxima.

DISTANCIAS Y FIGURAS DE GRÁFICAS Y PUNTOS

24) Desde una casa situada en el punto P(7,0), se quiere hacer un camino recto para conectarla con una

carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación 21 2 2y x x . ¿Con qué punto de

la carretera conecta el camino más corto posible?

Lo que me están pidiendo es la distancia más corta luego ya sabemos, quién es la función:

2 2

( , ) 7 0f x y x y , la distancia entre un punto de la curva P(x,y) y el punto P(7,0).

La condición está clara, es la propia curva que me dan: 21 2 2y x x .

Luego 2

2 2 2( , ) 7 1 2 2 0 3 12 50f x y x x x x x , cuyo dominio es , así pues,

debemos derivar la función 2( ) 3 12 50f x x x e igualarla a cero para obtener los extremos

relativos.

2

6 12'( ) '( ) 0 2

2 3 12 50

xf x f x x

x x

es extremo relativo, debe ser mínimo. Veámoslo:

Estábamos en lo cierto, luego, el punto en el que la distancia es mínima, o bien, en el que la curva

está más cerca del punto P(7,0) es el 2, 13 .

25) El punto P(x,y) recorre la elipse

2 2

125 9

x y . Deduce las posiciones del punto P para que su

distancia al origen sea máxima y también aquellas en las que la distancia sea mínima.

26) De entre todas las rectas que pasan por el punto P(3,2), determina la ecuación de aquella que forma

con los ejes y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima y calcula el valor de dicho área.

Todas las rectas que pasan por el punto (3,2) son de la forma: 3 2y m x .

Esa recta tiene unos puntos de corte con los ejes ¿No es así?. Veamos cuáles son esos puntos de

corte:

2





2 2 3

0 0 3 2 3m

OX y m x xm m

0 0 3 2 3 2OY x y m y m

Entonces los puntos de corte son:

2 3

,0 , 0, 3 2m

mm

Estas son las condiciones.

Eso quiere decir que sabemos cuánto miden la base y la altura de el triángulo de la izquierda, luego

sabemos cuánto vale el área, ¿no?

Podemos decir entonces que el área vale

2 33 2

( )2

mm

mA m

, y esta es la función a minimizar.

Derivemos e igualemos a cero para obtener los extremos relativos:

22 2

2 2

18 12 2 9 12 4 22 3 3 2 9 12 4 18 4( ) '( )

2 2 4 4

m m m mm m m m mA m A m

m m m m

2'( ) 0

3A m m para estos dos valores de m debemos determinar cuál de ellos es el mínimo:

Así pues vemos que para que el triángulo, que conforma la recta con los ejes, sea de área mínima la

pendiente de dicha recta ha de valer 2

3m .

27) De entre todas las rectas que pasan por el punto P(1,2), encuentra la que determina con los ejes de

coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

GEOMÉTRICOS

28) A una placa de vidrio de forma rectangular de dimensiones 15 y 10 cm, se le ha roto en una esquina

un pedazo de forma triangular, de tal modo que la longitud ha disminuido en 5 cm y la anchura en

tres centímetros. De la parte restante se quiere formar una nueva placa rectangular de superficie

máxima, ¿Cuáles serán las dimensiones de la placa?

Esta es la traducción del enunciado a un dibujo, en teoría, deberíais de llegar todos hasta aquí.

Leyendo el enunciado y teniendo en cuenta que lo que debemos

maximizar es el área del rectángulo interior, todos debemos

concluir que la función a maximizar en este ejercicio es

( , )A x y x y .

Claro esto es como la teoría de la manta “Cuanto más tapada

tienes la cabeza y el cuello, más destapados tienes los pies, y

viceversa”. Pues aquí lo mismo, cuanto más fácil es la función

más complicada es la condición, y viceversa.

¿Qué se os ocurre que podría ser la condición?

2

3

2

3





Pues lo único que queda es el área total que es 150 cm2.

Es decir, deberíamos poder expresar el área de cada una

de las cuatro regiones que hay dentro de la placa grande.

Veámoslo:

(*) Recordemos que el área de un trapecio es la

semisuma de las bases por la altura.

Entonces podemos ahora escribir la condición:

3 5 10 7

150 10 152 2 2

x yx y y x

.

Los cuatro sumandos son las áreas de las cuatro regiones

que hay en la placa.

Despejemos la y para sustituir en la función: 300 2 15 100 10 10 105 15 7xy x y xy y x xy

75 380 3 5

5

xx y y

Así pues, la función se queda, 80 3

( , )5

xA x y x

.

Vamos a optimizarla: 80 3 3 6 40

'( ) 1 16 '( ) 05 5 5 3

xA x x x A x x

, veamos que dicha

solución es un máximo, 6

''( ) 0 10,155

A x x , luego se trata como estimábamos de un máximo.

Concluimos que el área de la nueva placa cortada de la anterior se hace máxima cuando sus

dimensiones sean 40

cm, 8cm.3

x y

29) Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se

recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen

de la caja sea máximo.

30) Un triángulo isósceles tiene el lado desigual 12 cm y la altura relativa a ese lado es de 5 cm.

Encuentra un punto P sobre la altura tal que la suma de las distancias de P a los tres vértices sea

mínima.

31) Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea unir un punto del suelo entre los

dos postes con los extremos de estos. ¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud

total del cable sea mínima?

32) Se quiere cercar un recinto rectangular para refugio de ganado. Para ello se aprovecha una tapia

existente en uno de los lados y se disponen de 500 m de tela metálica para los otros tres. Indica las

dimensiones del recinto acotado cuyo área sea el mayor posible. Se estima que para el ganado

existente se necesitan 30.000 m2. Teniendo en cuenta los cálculos realizados en el apartado anterior,

¿será suficientemente grande el recinto preparado?

33) El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo, t, viene dado por

2

( ) 9 2 , 0 4.5f t t t . Deduce en qué valor de t alcanzó su máximo valor y en qué

valor de t alcanzó su valor mínimo.

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