5.2 REGRESIN LINEAL MLTIPLEModelo de regresin mltiple: Es un modelo de regresin que contiene ms de una variable regresora o independiente, y ste utiliza el trmino lineal ya que forman una funcin lineal de variables desconocidas. En general, la variable de respuesta o dependiente y puede relacionarse con k variables regresoras independientes. MODELO DE REGRESION LINEAL MUTIPLE

Un ejemplo de regresin lineal mltiple es: * Suponga que la vida efectiva de una herramienta de corte depende de la velocidad de corte y del ngulo de la herramienta, el modelo que describe esta relacin es:

Donde: Y = vida de la herramienta. = velocidad de corte. = ngulo de la herramienta. = error aleatorio.

Enfoque matricial de la regresin lineal mltipleAl ajustar un modelo de regresin mltiple, es mucho ms conveniente expresar las operaciones matemticas utilizando la notacin matricial. Suponga que hay K variables regresoras y n observaciones ( xi1, xi2, x ik, yi), i= 1,2,,n, y que el modelo que relaciona las variables regresoras con la variable de respuesta es Yi = +1

xi1 +

2

xi2 + +

k

xik +

i

i=1,2,, n

Este modelo es un sistema de n ecuaciones que en notacin matricial puede expresarse como

Y=X + Donde

y1

1 x11 X12X1k

y2Y= X=

1 x 21 X22X2k

yn

0

1

=

1

y

=2

k

En general, y es un vector (n x1) de las observaciones, x es una matriz ( n x p) de los niveles de las variables independientes, es un vector ( p x 1) de los coeficientes de regresin, y es un vector ( n x 1) de los errores aleatorios. Quiere encontrarse el vector de los estimadores de mnimos cuadrados, , que minimice L=2 1 =

'

=(yx ) es la solucin para en las ecuaciones

El estimador de mnimos cuadrados L

=0

No se presentaran los detalles para sacar las derivadas anteriores; sin embargo, las ecuaciones resultantes que deben resolverse son X' X '= X' Y

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones normales de mnimos cuadrados en forma matricial. Son idnticas a la forma escalar de las ecuaciones normales que se presentaron en las ecuaciones 11-10. Para resolver las ecuaciones normales, se multiplican ambos miembros de las ecuaciones por la inversa de X' X, por lo tanto, la estimacin de mnimos cuadrados de es: = (X' X) -1XY Obsrvese que hay p= k + 1 ecuaciones normales en p = k +1 incgnitas ( los valores de ( o, 1,.. k). adems, la matriz X' X con frecuencia no es singular , como se puso arriba por lo que los mtodos descritos en los libros de texto sobre determinantes y matrices para invertir una matriz pueden usarse para encontrar (X' Y )-1. Al escribir la ecuacin 11- 12 en detalle, se obtiene

n

o

=

k

Si se realiza la multiplicacin de matrices indicada, se llegara a la forma escalar de las ecuaciones normales ( es decir 11- 10). Esta forma es sencillo ver que X' X es una matriz simtrica ( p x p) y que x' y es un vector columna ( p x 1). Ntese la estructura especial de la matriz X' X . los elementos de la diagonal de X' X son las sumas de los cuadrados de los elementos de las columnas de x, y los elementos que estn fuera de la diagonal son las sumas de los productos cruzados de las columnas de x y las observaciones {Yi}. El modelo de regresin ajustado es Yi =0+

i= 1,2,,n

En notacin matricial, el modelo ajustado es Y= x La diferencia entre la observacin yi y el valor ajustado yi es un residual, es decir, ei= yi - yi. el vector ( n x 1) de los residuales se denota por e = y y.