Matemática Superior Aplicada

Regresión Lineal: Análisis de la ecuación de convección

forzada por el teorema p Fuente: Procesos de Transferencia de calor – Donald Q. kern

Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz

J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi

Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt

Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda

Análisis Dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes.

Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema p), permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido.

Ventajas: Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse

para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

Convección Forzada

La razón de transferencia de calor (hi) por convección forzada a un fluido incompresible que viaja en flujo turbulento por una tubería de diámetro uniforme a flujo de masa constante, se ha encontrado que es influenciada por la velocidad (u), densidad (r), calor especifico (c), conductividad térmica (k), viscosidad (m), así como por el diámetro interno de la tubería (D).

Teorema p

El número de grupos adimensionales es igual a la diferencia entre el número de variables y el número de dimensiones usadas para expresarlas.

Numero de Variables coeficiente de transferencia de calor (hi) velocidad (u) densidad (r) calor especifico (c) conductividad térmica (k) viscosidad (m) diámetro interno de la tubería (D)

Dimensiones M (masa) L (longitud) q (tiempo) T (temperatura)

347 p

Teorema p

1' mgfedba

i kDcuh mrp

mg

f

edba

L

M

LT

EL

MT

E

L

ML

TL

E

qqqqp

32

Los exponentes deben logar que la expresión sea adimensional

2

2

q

LMenergiaE

Teorema p

m

g

f

e

db

a

L

M

LT

LM

LMT

LM

L

ML

TL

LM

qq

qqqq

qp2

2

2

2

32

2

2

0

023

0323

0

geaT

mgfedbL

mgeba

mgdaM

q4 ec. 7 incog.

p1

01

1

00

3

01

21

qqqqp

L

M

LT

EL

MT

E

L

ML

TL

E

Suponemos a=1, b=0 y e=0. Los demás exponentes salen de resolver el sistema de ecuaciones correspondiente, que permite que p sea adimensional.

E

LTL

TL

E q

qp

21

k

Dhi'

1 p

p2

Suponemos f=1, a=0 y e=0. Los demás exponentes salen de resolver el sistema de ecuaciones correspondiente, que permite que p sea adimensional.

10

1

01

3

10

22

qqqqp

L

M

LT

EL

MT

E

L

ML

TL

E

M

LL

L

ML q

qp

32

m

rp

Du'

2

p3

Suponemos a=0, e=1 y f=0. Los demás exponentes salen de resolver el sistema de ecuaciones correspondiente, que permite que p sea adimensional.

11

0

10

3

00

23

qqqqp

L

M

LT

EL

MT

E

L

ML

TL

E

k

cmp '

3

q

qp

L

M

E

LT

MT

E3

Teorema p

La expresión final es:

0,,

k

cDu

k

Dhi m

m

r

0,, 321 ppp

k

cDu

k

Dhi m

m

r 21

qp

i

k

cDu

k

Dh

m

m

r

Las constantes de proporcionalidad y los exponentes deben evaluarse de datos experimentales.

Experimentación

Supóngase que se dispone de un aparato experimental de diámetro y longitud conocidos y a través del cual se podría circular líquido a varios gastos medibles. Supóngase, además, que se equipó con aditamentos especiales para permitir la medición de las temperaturas del liquido a la entrada y a la salida, así como la temperatura de la pared del tubo.

Resultados

Resultados

qp

i

k

cDu

k

Dh

m

m

r

¿Cómo evaluamos , p y q?

¿Es lineal en los parámetros?

¿Cuáles son los parámetros?

qpNu PrRe

Linealizar

PrlnRelnlnln qpNu

qpNu PrRe

Matriz de modelización

PrlnRelnlnln qpNu

2222

2121

22

11

PrlnReln1

PrlnReln1

PrlnReln1

PrlnReln1

CC

CC

BB

BB

22

21

2

1

ln

ln

ln

ln

C

C

B

B

Nu

Nu

Nu

Nu

q

p

ln

. . . . . .

. . . . . .

Matriz de modelización

A x

q

p

ln

b

Solución

AAA t*

33

328

283

*

A

A

At

bAb t*

13

128

283

*

b

b

At

** \ bAx SAEL 3x3

Solución

q

px

ln)1(xe

)2(xp

)3(xq

0028.0

1.0156p

0.4402q

4402.00156.1 PrRe0028.0Nu

Solución

Otro Modelo

qp

i

k

cDu

k

Dh

m

m

r

p

q

i

Du

k

c

k

Dh

m

r

m

p

q

NuRe

Pr

En este modelo, debemos elegir el valor de q y estimar y p

Solución 2

p

q

NuRe

Pr Linealizar para q=1 y q=1/3

RelnlnPr

ln pNu

RelnlnPr

ln3/1

pNu

Solución 2

RelnlnPr

ln pNu

Relnln

Prln

3/1p

Nu

Realizar las matrices de modelización

1.2187Re005-4.4435ePr

Nu 0.9768

3/1Re0.0061

Pr

Nu

PrRe005-4.4435e 1.2187Nu 3/10.9768PrRe0.0061Nu

Solución 2

¿Que modelo es mejor?

Resumen

4402.00156.1 PrRe0028.0Nu 2952.01 bAxr

PrRe005-4.4435e 1.2187Nu 1.36402 bAxr

3/10.9768PrRe0.0061Nu 0.38953 bAxr

3/10.9 PrRe0.0115Nu 0.56084 bAxr

Kern