REGIMEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

Trasparencias. E Tema 3 RGIMEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELCTRICOS

TEMA 3 RGIMEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELCTRICOS INTRODUCCIN

Periodo transitorio o transitorio: es el tiempo que transcurre entre dos

situaciones estacionarias, durante el cual las variables elctricas varan con el tiempo

de forma no peridica.

ECUACIN DIFERENCIAL COMPLETA

El anlisis de un fenmeno transitorio consiste en plantear y resolver la E. D,

obtenida al aplicar al circuito las Leyes de Kirchhoff.

dtx(t) d + ax(t) = f(t) (1)

x(t) es una funcin del tiempo; a es un coeficiente constante; y f(t), en

general es una funcin del tiempo.

Si x(t) = xf (t) es una solucin de la E. D. completa (1).

dtx(t) d + ax(t) = 0 (2)

Si x(t) = xn (t) es una solucin a la ecuacin homognea (2)

La solucin general x(t) de la E. D. completa (1), es:

x(t) = xf (t) + xn (t)

xn (t) se llama solucin complementaria o transitoria. Es la respuesta natural,

propia o libre del circuito.

xf (t) se llama solucin particular. Es la respuesta permanente o forzada.

xf (t) y xn (t), cumplen las ecuaciones (1) y (2) respectivamente.

dt(t) xd f + axf (t) = f(t) (3)

dt(t) xd n + axn (t) = 0 (4)

Pilar R. Matilla y Jos R. Sanz / Electrotecnia / Dpto. Ingeniera Elctrica / E.I.I. de Valladolid / Universidad de Valladolid 1


La solucin general de la E. D. consta de dos partes que se obtienen resolviendo

las ecuaciones (3) y (4).

Caso 1: f(t) es una constante igual a b; f(t) = b

Sustituimos en (3): dt

(t) xd f + axf (t) = b (5)

Si f(t) es una constante, xf (t) ser constante. xf (t) = K1

Sustituyendo en (5), obtenemos: K1 ab

=

Si f(t) no es una constante.

dt(t) xd f + axf (t) = f (t) (3)

La respuesta particular o forzada xf (t) es una combinacin lineal de la

funcin f(t) y de todas sus derivadas no nulas.

Si f(t) es una F. senoidal, xf (t) ser una F. senoidal.

Si f(t) es una F. potencial, xf (t) ser una F. potencial.

Si f(t) es una F. exponencial, xf (t) ser una F. exponencial.

Vamos a resolver la E. D. homognea (4).

=dt

(t) xd n axn (t) =)t(x(t) xd

n

n ad(t)

( ) = (t) da)t( xd)t(x 1 n n ln xn (t) = at + c

c es la constante de integracin

xn (t) = e ( a t + c) = e a t ec = Ae a t

La solucin de la E. D. (1) es:

x(t) = xf (t) + xn (t) = K1 + Ae a t

La constante A se determina de las C. I.



Condensador

ic (t) = C dt(t)dvc vc (t)

=t

c dt (t)iC1

Wc (t) 21

= Cvc2(t) La tensin en el condensador vc (t) no puede cambiar instantneamente.

Autoinduccin

vL(t) = L dtdiL iL(t) =

t

dt)t(vL1

WL (t) 21

= LiL2 (t) La corriente en la bobina iL (t) no puede variar instantneamente.

CIRCUITO SERIE RC CON FUENTE DE TENSIN CONSTANTE

Transitorio de carga

V = vR (t) + vC (t) = Ri(t) + vC (t)

i(t) = ic (t) = C dt(t) vd C

V = RCdt

(t) vd C + vc (t)

RCV)t(v

RC1

dt(t)v d

CC =+

vc (t) = vf (t) + vn (t)

vf (t) = cte 0dt)t( vd f = ; vf (t) = RC /1

RC /V = V

ic (t) C

+ vc (t)

iL (t) L

+ vL (t)

Fig. 1

C

0

V

R

1 2

Fig. 2

C V

R

+ +

i(t)

vC(t)

1 vR(t)



t CR

1

n eA(t)v

=

vc (t) = vf (t) + vn (t) = V + t

CR 1

eA

vc (0) = vc (0+) = 0 = V + = 0

CR 1

eA V + A A = V

vc (t) = V

t CR 1

e-1 = V

t

e-1

= RC = constante de tiempo = F (s/) s

t 0 vc (t) = 0

vc (t = ) = [ ]=1 - e-1 V 0632 V

vc (t = 5) = 099 V La intensidad en el condensador es:

ic (t) =C dt(t) vd C = CV

tC R

1 e

RC1- -

t CR

1 e

RV

=

< t < 0 ic (t) = 0

t = 0 ic (t) RV

e1

RV

0 ==

ic (t = ) == 1 eRV

RV368'0

Energa suministrada por la fuente:

==

dt)t(iv(t)W0

F =

dt.eRVV

t C R

1

0=

dte

RC1)RC(

RV

0

tC R

1 2

t 5

Fig. 3

vc (t)

063V 099V

V )e1(V)t(vRC

t

c

=

t Fig. 4

ic (t) =t

RC1

eRV

ic (t)

5

036

RV



0

tC R

1 2 eVC =

=

02

e1

e1VC CV2

Energa disipada en la resistencia:

==

dt)t(iRW 20

R =

0

tC R

2

2

2

dteRVR =

0

tC R

2 2

dte RC2

2RC

RV

=

02

R e1

e1VC

21W

21

= CV2

Energa almacenada en el condensador:

WC = WF WR 22 VC 21VC =

21

= CV2

CIRCUITO RC TRANSITORIO DE DESCARGA EN C. C.

C. I : ic (t) = 0 ; vc (t) = V

2 Ley de Kirchhoff Fig 2:

0 = vR (t) + vc (t) = Ri(t) + vc (t) = RC dt(t) vd C + vc (t)

0RC

)t(vdt

)t(v d CC =+ vc (t) = vn (t) t

C R1

eA

=

vc (0 ) = vC (0 + ) = V 0

C R1

eA

= V = A

vc (t) == t

CR 1

eV t

eV

; = RC

t 0 : vc (t) = V

vc (t = ) = = 1 eV 0368 V

vc (t = 5) = = 5 eV 0007 V Fig. 3

t

tRC

c eV)t(v1

=

vC (t)

5

036V

V

Fig. 2

C

+

vC(t)

2

R

+

i(t)

vR(t)

Fig. 1

2 C V

R

+

i(t)

vC(t)

1



ic (t) = C = dt)t( vd C t C R

1 t C R

1 e

RVe

C R1 VC

=

t < 0 ic (t) = 0

ic (t = 0 + ) RV

e1

RV

0 ==

ic (t = ) == 1 eRV

RV368'0

ic (t = 5) == 5 eRV

RV007'0

Energa almacenada en el condensador:

Wc (t) = 12

CvC2(0) 21

= CV2


= =

0

2R d(t)(t)iRW =

0

tC R22

d(t)e RVR =

0

tC R22

d(t)e C R

2 2C R

RV

==

0

tC R 2 2 e V C

21 ( )10 VC

21

21

= CV2

CIRCUITO SERIE RL CON FUENTE DE TENSIN CONSTANTE

Transitorio de carga.

V = vR (t) + vL (t) = Ri(t) + dt)t(i d L

LV)t(i

LR

dt)t(i d

=+

i(t) = if (t) + in (t)

Fig. 4 t

ic (t)

RV

RCt

c eRV)t(i

=

Fig. 1

0

V L

R

1 2

Fig. 2

V L

R

+ +

i(t)

vL(t)

1 vR(t)



if (t) = cte; =dt)t(i d f 0 e if (t) = R

V / LR / LV

=

in (t)t

LR

eA

=

i(t) = if (t) + in (t) t

LR

eARV

+=

Condiciones iniciales: i(0 ) = i(0 +) ; t = 0 i(0) = 0

i(0) = 0 0e1A

RV

+= A RV

=

i(t)

=

= t t

LR

e-1 RVe-1

RV

==RL constante de tiempo

=sH s

t = , i(t = ) [ ]== 1 e1 RV

RV 632'0

t = 5, i(t = 5) [ ]== 5 e1 RV

RV 99'0

La d.d.p. en la resistencia es:

vR (t) = R i(t)

=

tLR

e-1 V

La d.d.p. en la bobina es:

vL (t) = L =dt)t(i d

=

t LR

e RV

LR L

t LR

eV

Fig. 3

i (t)

t 5

063V / R 099V / R

V / R

Fig. 4 t

5

063V 099V

V vR (t)

VL (t)

v (t)

036V 0007V



Transitorio de descarga.

Condiciones Iniciales:

iL (t) = RV ; vL (t) = 0

0 = vR (t) + vL (t) = R i(t) + dt)t(i d L ( ) 0ti

LR

dt)t(i d

=+

i(t) = in (t) t

LR

eA

=

i (0 ) = i (0 +) , t = 0 i (t = 0) 0e1A

RV

== RVA =

t LR

e RV)t( i

=

t = , i(t = ) = 0368 RV

t = 5, i(t = 5) = 0007 RV

La d.d.p. en la R y en la L es:

vR (t) = R i(t)t

LR

eV

=

vL (t) = L dt)t(i d t L

R eV

=

Fig. 6

V / R

i(t)

t 5

036 V / R

0007 V / R

Fig. 7

t

036V

V

vR (t)

VL (t)

v (t)

036V

V

Fig. 1

0

V L

R

1 2

Fig. 2

V L

R

+ +

i(t)

vL(t)

1 vR(t)

Fig. 3

2

L

R

+ +

i(t)

vL(t)

vR(t)



Energa almacenada en la bobina:

WL (t) = 21 LiL2 (t) )0t(iL 2

1)0t(W 2L ===

Potencia disipada en la resistencia:

pR (t) = R i2 (t) =

=

2

tLR

e RV R =

tLR 2

2

2

e RVR

tLR 22

e RV


= =

0RR d(t)(t)pW =

0

tL

R 22

d(t)eRV =

)t(de LR 2

R 2L

RV t L

R 2

0

2

=

0

tL

R 2

2

2

e RV L

21

=

02

2

e1

e1

RVL

21 0)(tiL

21 2 == = WL (t = 0 )

TRANSITORIOS EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Se denominan circuitos de segundo orden, aquellos cuyo perodo transitorio

tiene una ecuacin diferencial de segundo orden.

ECUACIN DIFERENCIAL COMPLETA

2

2

dt)t(x d + 2

dt)t(x d + n2x(t) = f(t) (1)

x(t) = funcin del tiempo.

f(t) = trmino independiente (en el caso ms general, es funcin del tiempo).

y n son coeficientes constantes.

= coeficiente de amortiguamiento.

n = frecuencia natural o pulsacin natural no amortiguada.

Si x(t) = xf (t) es una solucin de la ecuacin diferencial completa (1) y si x(t)

= xn (t) es una solucin a la ecuacin homognea (2)

2

2

dt)t(x d + 2

dt)t(x d + n2x(t) = 0 (2)



La solucin general x(t) de la E. D. completa es:

x(t) = xf (t) + xn (t)

xn (t) = solucin complementaria o transitoria, es la respuesta libre, propia o

natural, del circuito.

xf (t) = solucin particular, o respuesta permanente o forzada; (depende de la

fuente particular utilizada).

xf (t) es una combinacin lineal de f(t) y de todas sus derivadas no nulas.

Vamos a resolver la ecuacin diferencial homognea, si xn (t) es solucin tiene

que cumplir la ecuacin.

d xdt

2n2

( )t + 2 d xdt

n ( )t + n2xn (t) = 0

Si Ae s t es solucin tiene que verificar la ecuacin.

xn (t) = Ae s t ; d x

dtn ( )t =A se s t ; d x

dt

2n2

( )t =A s2 e s t

Sustituyendo estas expresiones en la E. D.

s2Ae s t + 2 sAe s t + n2Ae s t = 0

Dividiendo por Ae s t obtenemos la ecuacin caracterstica:

s2 + 2 s + n2 = 0

La solucin es:

=

=2

4 4 2s

2n

22n

2

2n

21s =

2n

22s +=

Si t s1 1 eA y t s

22 eA son soluciones de la E. D. su suma lo es.

La solucin general de la E. D. H. es:

x(t) t st s eA eA 21 21 +=

A1 y A2 constantes, se determinan con las condiciones iniciales:



1.- x (0+) 2.- dt

)0(dxdt

)t(dx0t

=+=

S1 y S2 pueden ser reales o imaginarias.

1 2 > n2 S1 y S2 son reales caso Sobreamortiguado

2 2 < n2 S1 y S2 son complejas caso Subamortiguado

3 2 = n2 S1 = S2 = Crticamente amortiguado

1 Caso Sobreamortiguado

2 > n2

=== 12n

21 s real

==+= 22n

22 s real

La solucin de la E. D. es una combinacin de exponenciales

x(t) t t eAeA 21 21 +=

2 Caso Subamortiguado

2 < n2

La solucin de la E. caracterstica: s2 + 2 s + n2 = 0

==== 2d22

n2n

21 )( s j d

22n

2d =

n = frecuencia natural

= coeficiente de amortiguamiento.

d = frecuencia de amortiguamiento

t

x(t)



La solucin general: x(t) t s2t s

121 eA eA +=

x(t) =+= + t ) j (2t ) j (

1dd eA eA ( )t j 2t j 1t dd eAeAe +

Formulas de Euler:

e j = cos + j sen ; e j = cos j sen

x(t) [ ]=++= )t sen jt (cosA)t sen jt (cosAe dd2dd1t

( ) ( )[ ]=++= t sen AA jt cosAAe d12d21t [ ] t sen Bt cosBe d2d1t +

Con las condiciones iniciales determinamos B1 y B2

3 Caso Crticamente amortiguado

2 = n2 S1 = S2 =

x(t) t s2t s

121 eA eA += t 2

t 1 eA eA

+= ( ) t 21 eAA += t eA =

No es solucin de la E. D. (No es posible satisfacer las dos condiciones. iniciales. con

una sola constante).

En la E. D. homognea hacemos n2 = 2

d xdt

2

2

( )t + 2 d xdt

( )t + n2x(t) = 0

d xdt

2

2

( )t + 2 d xdt

( )t + 2x(t) = 0

La desglosamos, para poder transformarla:

d xdt

2

2

( )t + d xdt

( )t + d xdt

( )t + 2x(t) = 0



Sacamos factor comn a dt

d y a :

+ x(t)

dt)t(x d

dt d 0x(t)

dt)t(x d =

++

Llamamos:

f(t) = dt

)t(x d + x(t) (E. D. de 1 orden) dt

)t(f d + f(t) = 0 f(t) = A1e t

dt)t(x d + x(t) = A1e t despejamos A1

e tdt

)t(x d + x(t) e t = A1 Esta expresin es la derivada de e tx(t) respecto de t.

[ ]dt

)t(xe d t = A1 la integramos para obtener x(t) [ ]

= )t(dA)t(d

dt)t(xe d

1

t

e tx(t) = A1 t + A2

x(t) = (A1 t + A2)e t A1 y A2 se calculan a partir de las condiciones iniciales.



RESPUESTA NATURAL DE UN CIRCUITO RLC SERIE El circuito est excitado por la energa almacenada inicialmente en la bobina y en el condensador. sta se representa por la corriente inicial de la bobina Io y la tensin inicial Vo del condensador en t = 0.

vc (0) 0t Vdt iC1 == (1) iL (0) = I0 (2) Aplicando la 2 Ley de Kirchhoff (LKT):

vR + vL + vC =0; 0idtC1

dti dLiR

t

=++

(3) Derivamos respecto a t y reordenamos:

0iLC1

dti d

LR

dtid2

2

=++ (4) La ecuacin equivalente a esta, expresada en funcin de vc: dtv dCi Cc =

Llevndola a la (3) y reordenando: 0vdt

dvRCdt vdLC cc2

c2

=++ 0v

LC1

dtdv

LR

dt vd

cc

2c

2

=++ (5)

Su ecuacin caracterstica: s2 + 2 s + n2 = 0

Los dos valores de s son:

2n

21s =

2n

22s +=

Siendo y n: L 2R

= ; LC1

n =

La solucin general de la ecuacin (4) es: i(t) t s2t s

121 eA eA +=

I0

Fig. 1

C

L R

+

V0 i



A1 y A2 son constantes que se determinan con las condiciones iniciales:

1.- i(0+); 2.- +=

+

0tdt)0(di

El primer trmino i(0+) lo obtenemos de la expresin (2). El 2 trmino se

obtiene combinado las ecuaciones (1) y (3)

0Vdt

)i(0 dL)i(0R 0 =+++

+ ; ( )00 IRVL1

dt)0(i d

+=

1 Caso Sobreamortiguado ( > n) cuando 2R L4C >

=== 12n

21 s real y negativo

==+= 22n

22 s real y negativo La solucin de la ecuacin es: t 2t 1 21 eAeA)t(i +=

2 Caso crticamente amortiguado ( = n) cuando 2RL4C =

S1 = S2 L2R

== La solucin de la ecuacin es: i(t) = (A1 t + A2)e t

3 Caso subamortiguado ( < n) cuando C < 2RL4

La solucin de la ecuacin es: i(t) [ ] t sen At cosAe d2d1t +=

Siendo d = frecuencia de amortiguamiento; 22nd =

A1 y A2 en cada caso se determinan con las condiciones iniciales:

1.- i(0+); 2.- +=0tdt

)0(di Obtenida iL (t), es posible encontrar vR = Ri(t) y dtdiLvL = Pilar R. Matilla y Jos R. Sanz / Electrotecnia / Dpto. Ingeniera Elctrica / E.I.I. de Valladolid / Universidad de Valladolid 15


RESPUESTA NATURAL DE UN CIRCUITO RLC PARALELO En t = 0, la corriente inicial en la L es Io y la tensin inicial en el condensador es Vo. i(0) = I0

=t

dt )t(vL1 (1)

v(0) = V0 (2) Aplicando la 1 L. K (LKI): iR + iL + ic = 0;

=++t

0dtdvCdt )t(v

L1

Rv (3) Derivamos respecto a t y reordenamos

0vLC1

dt vd

RC1

dtvd2

2

=++ (4) Su ecuacin caracterstica es: s2 + 2 s + n2 = 0 Los valores de s son:

2n

21s = 2n22s += Siendo y n:

RC 21

= ; LC1

n = La solucin general de la ecuacin (4) es: v(t) t s2t s1 21 eA eA += A1 y A2 son constantes que se determinan con las condiciones iniciales: 1.- v(0+); 2.- +=

+

0tdt)0(dv

Dependiendo de los valores de y n hay tres posibles soluciones 1 Caso Sobreamortiguado ( > n) Si > n, cuando L > 4 R2 C. Las races son reales y negativas

12n

21s ==

22n

22s =+= La solucin de la ecuacin es:

v

I0

ic

C

iR

L V0

+ R

iL



t 2

t 1

21 eAeA)t(v +=

2 Caso crticamente amortiguado ( = n)

Para = n; L = 4 R2 C. Las races son reales e iguales y la respuesta es:

v(t) = (A1 t + A2)e t

3 Caso subamortiguado ( < n)

Cuando < n; L < 4 R2 C. En este caso las races son complejas.

s1,2 = j d

donde 22nd =

Siendo d = frecuencia de amortiguamiento. La respuesta es: v(t) [ ] t sen At cosAe d2d1t += A1 y A2 en cada caso se determinan a partir de las condiciones iniciales.

1.- v(0+) 2.- dt

)0(dv +

El primer termino v(0+) lo obtenemos de la expresin (2). El 2 trmino se

obtiene combinado las ecuaciones (1) y (3)

0)t(d

)0(dvCIRV

00 =++

+

( )

CRIRV

dt)0(v d 00

+

= Obtenida vc (t) en el condensador, es posible encontrar iR = v/R, e ic = C dv/dt.



RESPUESTA DE UN CIRCUITO RLC SERIE A UN ESCALN

Las condiciones iniciales son, Fig. 1: iL (0) y vC (0+). Aplicando la 2 Ley de Kirchhoff (LKT) para t > 0, Fig. 2:

vR + vL + vC = Vs; sVvdti dLiR =++ (1) como

dtdvCic = Sustituimos i en (1) y reordenamos:

LCVv

LC1

dtdv

LR

dtvd s2

2

=++ (2) La solucin de la ecuacin (2) es: v(t) = vn (t) + vf (t) La respuesta natural vn (t) es la solucin cuando hacemos Vs = 0 en la ecuacin (2). Las respuestas naturales para los distintos casos son:

t 2

t 1n

21 eAeA)t(v += sobreamortiguado (3 a) vn (t) [ ]t sen A t cosAe d2d1t += subamortiguado (3 b) vn (t) = (A1 t + A2)e t crticamente amortiguado (3 c) La respuesta forzada vf (t) es el estado estable o valor final de v(t).

vf (t) = vc () = Vs

Las soluciones completas son:

t 2

t 1s

21 eAeAV)t(v ++= sobreamortiguado (4 a) v(t) [ ]t sen At cosAeV d2d1t s ++= subamortiguado (4 b)

Fig. 1

t=0

Vs C

L R

+

v

i

Vs

Fig. 2

t=0

C

L R

+

v

i

I = 0

Fig. 3

Vs

L R

+

Vc



v(t) = Vs + (A1 t + A2)e t crticamente amortiguado (4 c) A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales:

1.- v(0+) 2.- dt

)0(dv + Con vc (t) es posible obtener ic = C dv/dt, vR = Ri(t), y vL = L di/dt.

RESPUESTA DE UN CIRCUITO RLC PARALELO A UN ESCALN Determinar iL para t > 0. Las condiciones iniciales son, Fig. 2: iL (0) = y vC (0). Aplicando la 1 LK (LKC). iR + iL + ic = Is; sIdtdvCiRv =++ (1) como vL dtdiL= Sustituyendo vL en (1) y reordenando

LCIi

LC1

dti d

RC1

dtid s2

2

=++ (2) La solucin de la ecuacin (2) es: i(t) = in (t) + if (t) La respuesta natural in (t) es la solucin cuando hacemos Is = 0 en (2). La respuesta forzada if (t) es el estado estable o el valor final de i(t), Fig.3:

if (t) = iL () = Is

Las soluciones completas son:

t 2

t 1s

21 eAeAI)t(i ++= sobreamortiguado (4 a) i(t) [ ] t sen At cosAeI d2d1t s ++= subamortiguado (4 b)

t=0

v

Is

ic

C

iR

L vc

+ R

iL

Fig. 1

t = 0 Is Is

Fig. 2

t = Is IL

Fig. 3



i(t) = Is + (A1 t + A2)e t crticamente amortiguado (4 c) A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales: 1.- i(0+) 2.- dt

)0(di + Obtenida iL (t), es posible obtener vL = L di/dt; iR = vL/R e ic = C dv/dt.


TEMA 3 RGIMEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELCTRICOSINTRODUCCINECUACIN DIFERENCIAL COMPLETA

Caso 1: f(t) es una constante igual a b; f(t) = bSustituimos en (3): ( + a(xf (t) = b (5)Sustituyendo en (5), obtenemos: K1La solucin de la E. D. (1) es:CIRCUITO SERIE RC CON FUENTE DE TENSIN CONSTANTECIRCUITO RC TRANSITORIO DE DESCARGA EN C. C.CIRCUITO SERIE RL CON FUENTE DE TENSIN CONSTANTE

REGIMEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

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