I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

QUINTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

PARA SER TRABAJADO EL 04, 05, 11, 12, 18, 19,25 y 26 DE JULIO 2011

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resuelve problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos reducidos al primer cuadrante.

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

IMPORTANTE RECORDAR:

Las razones trigonométricas de 30º, 45º, 60º, son:

Angulo sen cos tg

30º 2/1 2/3 3/3

45º 2/2 2/2 1

60º 2/3 2/1 3

Reducir al primer cuadrante, es escribir el valor de una razón trigonométrica de cualquier ángulo mayor de 90º,

en función de una razón trigonométrica de un ángulo correspondiente al primer cuadrante.

Se aplican l os siguientes métodos:

. MÉTODO DEL ÁNGULO DE REFERENCIA ( )

Si “” es un ángulo en posición normal ( >90º), su ángulo de referencia ( ) es el menor ángulo que forma el lado final

de con el semieje X

SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE

II C III C IV C

= 180º = 180º = 360º

Al usar este método se pueden presentar tres casos:

* P RIMER CASO: (Para ángulos positivos menores de un a v uelta)

En este caso se cumple que: R.T.() = R.T. ()

Donde el signo + ó se elige de a cuerdo a la R.T. y al cuadrante donde pertenece

* SE GUNDO CASO: (Para ángulos positivos mayores de un a vuelta)

En este caso se divide el ángulo entre 360º (ó 2 rad) y se trabaja con el residuo. Si e l residuo representa un

Valor del primer cuadrante, la reducción ha concluido, de lo contrario se procede como en el caso anterior.

* TERCER CASO: (Para ángulos negativos)

Se tiene en cuenta teoría de ángulos negativos y se trabaja utilizando los casos anteriores según sea necesario.

Ejemplo:

Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1. 225°

2. 2 330°

3. 3 2675°

4. −840º

5. -150º

6. 61740°

. MÉTODO DEL FACTOR “k”

Si “” es un ángulo en posición normal ( >90º); “x” es un ángulo del primer cuadrante

(0°<x<90°) tal que:

= k90° x ó = k x

Se cumple que:

R.T.( x ) ; cu ando “k” es un número par

R.T.( ) =

CoR.T.( x ) ; cuando “k” es un número impar

NOTA: El signo (+) ó ( ) se elige de acuerdo a la R.T. y al cuadrante donde pertenece .

En los siguientes ejemplos x es agudo:

Simplifica : ctg (499π + x) = ctg (498π + + x)= ctg (π + x)= ctg (x)

Simplifica : sen

= sen

= sen

= cos x

Simplifica : cos

Tg 2999π - x

Si Cos (90°+x) = 0,6 (x es agudo).

Calcular:

P = Sen(180+x) Sen(270+x)

Solución:

APLICO LO QUE APRENDÍ

I. Reduce al primer cuadrante:

1) Tan188º =

2) Cos 307º =

3) Sen135º =

4) Sec233º =

5) Cot286º =

6) Csc120º =

7) Tan1117º =

8) Cos765º =

9) Tan( 826°)

10) Sec( 945°)

11) Sec233º =

12) Cot286º =

13) Sec 120º =

14) Ctg 1117º =

15) Sen 765º =

16) cos( 826°)

17) Sen( 1477°)

18) Cos( 690°)

19) Sen(200°).

20) Cos(130°).

21) - Tg 233º =

22) Sen 286º =

23) Sen 120º =

24) Tan1117º =

25) Cos765º =

26) – cos ( 826°)

27) Tg - 840º

28) Sec -300º

29) – cos -220

30) –(- sec - 1200 )

31) –(-( - ctg 1200 ) )

32) (-( - ctg 1200 ) )

33) –(- ctg - 1200)

34) - (-( - ctg 1200 ) )

35) -(-( - ctg -1200 ) )

II. Resuelve:

a. Halla : E = sen 120º - cos 210º

b. Halla: M = sec 300º - + tg 135º

c. Simplificar :

d. Considerando que: = 1,73

E =

e. Simplificar :

f. Simplificar: ( sen

( Tg 2999π – x) , x es agudo.