Redes Lineales - Ramos Departamento de...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 6

REDES LINEALES

Se desea definir redes lineales y estudiar sus propiedades.

Luego se desarrollará el método de análisis por superposición para redes lineales; y dos

importantes casos particulares de este método: Los teoremas de Thévenin y Norton.

Una red lineal está formada por la interconexión de componentes elementales lineales.

Entonces una red lineal queda descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de

primer orden. El número de ecuaciones es igual al número de componentes dinámicas, esto si

existe un árbol que contenga a todos los condensadores y fuentes independientes de tensión, y

que las cuerdas contengan a todos los inductores y fuentes de corriente.

De la definición de linealidad podremos demostrar qué modelos matemáticos pueden

emplearse para representar componentes lineales. Veremos que los condensadores, resistencias

e inductores son componentes lineales.

Una red no-lineal es aquella que no es lineal. Un número importante de redes útiles son no-

lineales.

Las redes lineales son un caso particular de sistemas lineales, que se estudia como asignatura

aparte.

Comenzamos el estudio observando redes con una excitación y una respuesta; luego, redes

con dos excitaciones y, finalmente, el caso general de n excitaciones.

6.1 Redes con una excitación y una respuesta

En la Figura 6.1 se tiene una red que posee sólo una fuente independiente, que se considera

la excitación. De todas las variables de la red se escoge el voltaje en la resistencia R3 como la

respuesta.

Ejemplo 6.1.

Sea la siguiente red:

2 Teoría de Redes Eléctricas


Figura 6.1. Red con una excitación.

De todas las variables observables se escogió arbitrariamente una. En el caso de la Figura

6.1, se eligió r, el voltaje en R3.

La corriente i1 resulta, mediante equivalencias:

1

2 31

2 3

ei

R RR

R R

(6.1)

La corriente i3, por divisor de corriente:

23 1

2 3

Ri i

R R

(6.2)

Finalmente:

23 3

1 2 2 3 3 1

( ) ( )( )

Rr t i R e t

R R R R R R

(6.3)

Si el coeficiente, formado por las resistencias, se denomina g, resulta:

( ) ( )r t g e t (6.4)

La relación (6.4) la podemos simbolizar, empleando notación de sistemas, según se muestra

en la Figura 6.2.

Figura 6.2. Símbolo de sistema.

S e(t) r(t)

R1

e(t)

i1

R2 R3

i2 i3

r(t)

Capítulo 6. Redes lineales 3


El símbolo relaciona el estímulo, excitación o causa, con la reacción, respuesta o efecto. La

relación entre ambas es la red R.

Se anota:

: ( )S r e (6.5)

Es decir, la red S está definida por una relación.

En el caso del ejemplo:

( )r e ge (6.6)

6.2. Linealidad para redes con una excitación

La red descrita por el sistema: S: r(e) es lineal si y solamente si cumple las propiedades de

homogeneidad, o proporcionalidad, y superposición.

Una red es homogénea si al aplicar una proporción de un estímulo conocido, la respuesta

también varía en esa proporción.

Es decir, si se conoce que:

Figura 6.3. Causa – efecto.

Entonces se cumple, por homogeneidad que:

Figura 6.4. Homogeneidad.

Como k es una constante, la forma de e y ke son proporcionales; también r y kr tienen

formas proporcionales.

Una red tiene la propiedad de superposición, si al aplicar la suma de dos estímulos, en

general diferentes, la respuesta es la suma de las respuestas a cada uno de los estímulos.

Es decir, si se tiene que:

S e(t) r(t)

S k e(t) k r(t)



Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes.

Entonces se cumple que:

Figura 6.6. Superposición.

Combinando las definiciones anteriores, y si se tienen las relaciones de la Figura 6.5, se dice

que S es lineal, si y solamente si:

Figura 6.7. Linealidad.

Donde a y b son constantes.

Debe notarse que sólo existe una excitación.

Por lo tanto, (e1 + e2) se interpreta como un generador cuya forma de onda es la suma de las

formas de ondas de e1 y e2.

De la Figura 6.7, puede obtenerse la Figura 6.6, si a y b son iguales a uno. También puede

obtenerse la Figura 6.4 si a es cero o bien si b es cero.

6.3. Modelos básicos de componentes lineales

6.3.1. Recta que no pasa por el origen

Sea un sistema descrito por:

S e1(t)+e2(t) r1(t)+r2(t)

S e1(t) r1(t)

S e2(t) r2(t)

S ae1(t) + be2(t) ar1(t) + br2(t)



: S r ae b (6.7)

Donde a y b son constantes.

Se desea determinar si el sistema S es lineal.

Sean: r1(e1) y r2(e2) los pares estímulo-respuesta conocidos.

O sea, se cumplen:

1 1 r ae b (6.8)

2 2 r ae b (6.9)

De la definición (6.7) si se aplica una excitación 1 2e e , tendremos una respuesta que

llamaremos 1 2( ) sr e e ; es decir, se cumple:

1 2( ) b sr a e e (6.10)

El sistema cumple superposición si y sólo si:

1 2 sr r r (6.11)

Si se reemplaza (6.8) y (6.9) en (6.10), se logra:

1 2sr r r b (6.12)

Lo que demuestra que S es lineal sólo si b=0. Es decir, una recta que pasa por el origen.

Para el sistema dado en (6.7) se define la respuesta a un estímulo proporcional, como ( ) h kr e

. Es decir, se cumple:

( )hr a ke b (6.13)

El sistema S cumple homogeneidad si:

hr kr (6.14)

Eliminando e, mediante (6.7) en (6.13) se logra:

(1 )hr kr b k (6.15)

La relación (6.15) muestra que se cumple (6.14), homogeneidad, si y sólo sí: b=0.



Entonces el sistema :S r ae b es no lineal.

También podemos aseverar que el sistema :S r aees lineal.

Una resistencia es un sistema lineal, que relaciona la causa i, con la respuesta v, mediante la

relación de equilibrio: v Ri , con R constante.

6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación

Sea un sistema S, descrito por:

der

dt

(6.16)

Se definen:

11

der

dt

(6.17)

22

der

dt

(6.18)

Sea sr la respuesta a la suma de los estímulos, de la definición de S en (6.16), se cumple que:

1 2( )s

d e er

dt

(6.19)

Reemplazando (6.17) y (6.18) en (6.19) se logra:

1 2sr r r (6.20)

Por lo tanto, S definido en (6.16) cumple superposición.

Se tiene, aplicando la definición de S en (6.16), que:

( )h

d ker

dt

(6.21)

Como el operador derivada es un operador lineal, se tiene a partir de (6.21) que:

h

der k

dt

(6.22)

Empleando (6.16) en (6.21), se cumple que:



hr kr (6.23)

Entonces de (6.21) y (6.23) se tiene que S es homogéneo.

Y, como se cumple homogeneidad (6.23) y superposición (6.20), el sistema (6.16) será

lineal.

Vemos entonces que si L y C son constantes, el inductor y condensador serán componentes

lineales, ya que relacionan la corriente y el voltaje en ellas con una relación similar a la (6.16).

6.3.3. Red de primer orden

Sea una red S, descrita por el sistema:

:dr

S a br edt

(6.24)

El modelo matemático en (6.24) es una ecuación diferencial ordinaria, lineal y de

coeficientes constantes. Puede decirse que S es una red de primer orden.

En las Figuras 6.8 y 6.9 se muestran dos redes que cumplen la relación (6.24):

Figura 6.8. Red RC.

Para la red de la Figura 6.8, aplicando LCK, se obtiene:

1/e

r dra

b dt

(6.25)

Que es equivalente a la relación (6.24)

En la siguiente red:

a 1/b e r



Figura 6.9. Red RL.

Aplicando LVK, se obtiene:

dre a br

dt

(6.26)

Puede comprobarse, aplicando un desarrollo similar al de los puntos 6.3.1 y 6.3.2, que una

red de primer orden es lineal; y también que el sistema descrito en (6.27) es no lineal.

dre a b r c

dt

(6.27)

6.3.4. Componente cuadrática

Sea un sistema S descrito por una relación cuadrática:

2:S r e (6.28)

Se definen: 2

1 1r e (6.29)

22 2r e (6.30)

De (6.28) para la suma de las excitaciones se tendrá la respuesta:

2

1 2( )sr e e (6.31)

Reemplazando (6.29) y (6.30) en (6.31) resulta:

1 2 1 22sr r r e e (6.32)

Por lo tanto, no cumple superposición. Es no lineal.

Además por la definición (6.28) se tiene que la respuesta a un estímulo proporcional es:

2 2 2( )hr ke k e (6.33)

b

e(t)

r(t)

a



Reemplazando (6.28) en (6.33), se logra:

2

hr k r (6.34)

Y no se cumple que:

hr kr (6.35)

Por lo tanto, no cumple homogeneidad, y (6.28) es no lineal.

La no linealidad cuadrática es muy útil en la generación de nuevas frecuencias.

Si la excitación es de tipo sinusoidal: ( ) ( )e t sen t

Se tendrá una respuesta:

2 2 1 cos(2 )( ) ( ) ( )

2

tr t e t sen t

Se aprecia que la respuesta contiene una señal que tiene el doble de la frecuencia de la señal

de entrada. Este tipo de componente se emplea en sistemas de comunicaciones para generar

nuevas frecuencias.

6.4. Algunas redes no lineales

Veremos algunos ejemplos de sistemas no lineales, para mostrar que una gran cantidad de

dispositivos útiles pertenecen a esta categoría.

6.4.1. Amplificador lineal con saturación

Del punto 6.3.1. se puede asegurar que la red, cuya característica es la de la Figura 6.10, es

no lineal.

Figura 6.10. Red con saturación.

Sin embargo, si –E<e<E, la red tendrá comportamiento lineal.

e

R

-R

-E

E

r



La característica de la Figura 6.10 es la de un amplificador operacional real.

6.4.2. Diodo

El sistema descrito por la Figura 6.11, suele encontrarse en redes que tengan diodos. De

acuerdo a 6.3.1. será un sistema no lineal.

Figura 6.11. Red tipo diodo.

Una característica como la de la Figura 6.11, es muy útil en la construcción de rectificadores

de media onda.

6.4.3. Rectificador de onda completa

Empleando varios diodos se puede construir una red que tenga la característica de la Figura

6.12.

Figura 6.12. Módulo de ke.

La característica anterior se emplea en rectificadores de onda completa.

6.4.4. Amplificador inversor

La característica de un transistor, puede representarse con la gráfica que se ilustra en la

Figura 6.13. Existen innumerables aplicaciones de esta componente, tanto en la zona lineal

como en las zonas no lineales.

e

R

E

r

e

R

E -E

r



Figura 6.13. Saturación y corte.

6.5. Redes con dos excitaciones

Sea un sistema S que tiene una respuesta r debida a dos excitaciones.

1 2, ): ( eS r e (6.36)

El sistema se simboliza en la Figura 6.14.

Figura 6.14. Red con dos excitaciones.

Ejemplo 6.2.

En la Figura 6.15, se ilustran las excitaciones del sistema, como dos generadores de tensión

independientes en una red formada por resistencias.

Figura 6.15. Red con dos fuentes.

Puede comprobarse planteando las ecuaciones de la red que el sistema puede representarse

según:

S e1(t) r(t)

e2(t)

e

r

e1

r R1 R

e2

R2



1 2ber ae (6.37)

Donde:

1 2

1

2 1

2

1

1

1

1

aR R

R R

bR R

R R

(6.38)

Puede decirse que r en (6.37) es una combinación lineal de las excitaciones.

Si se definen dos sistemas S1 y S2, mediante la relación (6.39):

1 1 1

2 2 2

,0)

)

: (

: (0,

S r e

S r e

(6.39)

Ahora S1 y S2 son redes con una excitación. Para ellas ya está definido el concepto de

linealidad.

Nótese que r1 es una respuesta que sólo se debe a e1; y que r2 sólo depende de e2.

Se dice que S, cumple la propiedad de descomposición si y sólo si:

1 2rr r (6.40)

Es decir, r puede descomponerse en la suma de las respuestas debidas a cada una de las

excitaciones.

En el ejemplo de la Figura 6.15, empleando (6.37) se cumple que:

1 1 2 2 y r ae r be (6.41)

Entonces la red de la Figura 6.15 cumple la propiedad de descomposición.

Se define como lineal a un sistema con dos excitaciones si y sólo si:

1 1 1,0): (S r e es lineal

2 2 2 ): (0,S r e es lineal

y si: 1 2rr r

(6.42)



Ejemplo 6.3.

Para la red de la Figura 6.16, con v(0) =V, analizar las excitaciones.

Figura 6.16.

Solución.

Se tiene por (2.58) que el voltaje en el condensador puede expresarse según:

0

1( ) (0) ( )

t

v t v i dC

(6.4

3)

Si definimos:

0

1( ) ( )r

t

v t i dC

(6.4

4)

Observando (6.43), reconocemos que rv es la ecuación de equilibrio para un condensador

con voltaje inicial igual a cero, o que no tiene energía acumulada en el instante inicial. Suele

decirse que el condensador, en esas condiciones, está inicialmente relajado.

Reemplazando (6.44) en (6.43) y ocupando la condición inicial para el condensador, se tiene:

( ) ( )rv t V v t (6.4

5)

Interpretando (6.45) como una LVK, podemos visualizar la red equivalente de la Figura

6.17, según:

Figura 6.17.

R

C e(t)

+

v(t)

i

i vR

R

C

e(t)

+

v(t)

i

vR

V

vr(t)



La red de la Figura 6.17, tiene ahora dos excitaciones: la original representada por la fuente

independiente e(t), y la fuente continua que representa la condición inicial del condensador. Lo

cual puede representarse por el sistema que se muestra en la Figura 6.18.

Figura 6.18.

Puede demostrarse que S es lineal, con lo cual puede estudiarse el voltaje en el condensador,

inicialmente relajado, como la composición de los aportes causados por las excitaciones por

separado.

El voltaje en el condensador queda dado por (6.45).

La parte debida solo a las condiciones iniciales se denomina respuesta a entrada cero; y la

debida solamente a la excitación se llama respuesta a estado cero.

6.6. Redes con tres y más excitaciones

Sea un sistema S con tres excitaciones y una respuesta r:

1 2 3, , ): ( e eS r e (6.46)

Se definen:

1 1 1,0,0): (S r e

2 2 2 ,0): (0,S r e

3 3 3): (0,0,S r e

(6.47)

Entonces S es lineal si y solamente si:

S1, S2 y S3 son lineales y si:

1 2 3r rr r

(6.48)

La definición de los subsistemas, alternativamente, podría haberse planteado:

12 12 1 2, ,0): ( eS r e

3 3 3): (0,0,S r e

(6.49)

Entonces S es lineal si y solamente si:

S e(t) vr(t)

V



S12 y S3 son lineales y si:

12 3rr r

(6.50)

Esto debido a que previamente se definió linealidad para redes con dos excitaciones, y S12 es

un sistema con dos excitaciones.

La generalización para más excitaciones sigue la misma línea precedente.

También puede demostrarse por inducción matemática, la definición de linealidad para

sistemas con n excitaciones.

6.7. Método de superposición

Se aplica a redes lineales y consiste en aplicar la propiedad de descomposición de la

respuesta.

Su aplicación es conveniente, cuando al eliminar algunas de las excitaciones, los cálculos de

las partes de la respuesta se simplifican, ya que resultan redes más simples.

Mayores simplificaciones pueden lograrse aplicando los conceptos de redes equivalentes

vistos en el Capítulo 5, notando que solamente interesa calcular el valor de una variable, y no la

solución de la red completa.

Para eliminar el efecto de las excitaciones, debe recordarse que una fuente de tensión que se

lleva a cero, puede reemplazarse por un cortocircuito; y que una fuente de corriente que se lleva

a cero, puede reemplazarse por un circuito abierto.

Ejemplo 6.4.

Sea la red de la Figura 6.19, con dos excitaciones:

Figura 6.19. Cálculo de v por superposición.

Debido a que las relaciones de interconexión son lineales, y que las ecuaciones de equilibrio

también lo son, el sistema de ecuaciones que representa a la red de la Figura 6.19 será un

sistema lineal de ecuaciones; y por lo tanto una red lineal, a la que se puede aplicar el método de

superposición.

v 2 j e

2



La parte de la respuesta que se debe a e, puede calcularse en la red de la Figura 6.20:

Figura 6.20. Parte de la respuesta debida a e.

Resulta, dividiendo la tensión de la fuente e, en las resistencias:

24 2

e

e ev

(6.51)

La parte de la respuesta debida a j, se calcula en la red simplificada de la Figura 6.21, según:

Figura 6.21. Parte de la respuesta debida a j.

Resulta, dividiendo la corriente de la fuente j, en las resistencias:

22

2 2jv j j

(6.52)

Aplicando la composición de las partes, resulta:

2e j

ev v v j

(6.53)

6.8. Teorema de Thévenin

6.8.1. Definición del equivalente Thévenin.

Se tiene la siguiente red:

ve 2 j=0 e

2

vj 2 j e=0

2



Figura 6.22. Ra es una red activa con n fuentes.

La red lineal Ra tiene n fuentes. La red R es una red cualquiera, puede ser no lineal. La única

interacción entre las redes Ra y R es en los terminales; es decir, no existen fuentes controladas

que tengan la fuente en una red y el elemento de control en la otra. Tampoco inductores

acoplados que tengan una inductancia en una red y otra inductancia acoplada en la otra red.

La red Ra puede tener componentes multiterminales; pero todos sus miembros están dentro

de Ra.

La red Ra no tiene componentes dinámicas. Se estudiará primero este caso particular, pero

frecuente en las asignaturas de Electrónica.

El Teorema de Thévenin plantea que la red activa Ra con n fuentes, tiene como equivalente a

una red con sólo una fuente y una resistencia en serie, como se muestra en la Figura 6.23.

Es decir:

Figura 6.23. Red Thévenin Resistiva.

La ecuación de equilibrio para la red equivalente a Ra, que se muestra en la Figura 6.23

puede escribirse según:

T Tv e R i (6.54)

También puede decirse que (6.54) es la relación entre las variables en los terminales de Ra.

Red

activa R

v

i a

b Ra

R

v

i a

b

RT

eT



6.8.2. Formas de cálculo de la Red Thévenin

6.8.2.1. Aplicando equivalencias

Se calculan los parámetros de la Red Thévenin mediante equivalencias. Se procede a aplicar

teoremas de equivalencia hasta reducir la red a la forma de la Figura 6.23. Esto determina eT y

RT.

6.8.2.2. Aplicando métodos de análisis

Se plantean las ecuaciones independientes en la red Ra.

Se eliminan las variables internas de la red Ra, quedando una ecuación de equilibrio, en

función de las variables terminales, v e i, que permite determinar los parámetros eT y RT.

6.8.2.3. Parámetros de circuito abierto y cortocircuito

Este procedimiento permite modelar la red Thévenin, mediante mediciones.

Primero se desconecta la red R, en este caso i es cero y se mide v en estas condiciones. Para

la red de la Figura 6.24, puede determinarse, mediante el análisis de la red que:

oc Tv e (6.55)

Figura 6.24. Cálculo de voc .

Luego, se saca la red R y se coloca un cortocircuito entre los terminales. En este caso v es

cero, y la corriente que circula por el cortocircuito, con la dirección que se indica en la Figura

6.25 es iCC .

Figura 6.25. Cálculo de iCC .

Considerando la red activa, con su equivalente mostrado en la Figura 6.23, aplicando

métodos de análisis puede determinarse que:

Red

activa icc v

i

b

a

voc

i a

b

RT

eT



Tcc

T

ei

R

(6.56)

Reemplazando la (6.55) en la (6.56) se obtiene la expresión para el cálculo de RT según:

ocT

cc

vR

i

(6.57)

Este método, o variantes de él, puede aplicarse usando instrumentos.

Los métodos anteriores pueden aplicarse a redes en el dominio de la Transformada de

Laplace, cuando las excitaciones son señales temporales cualesquiera; y en el dominio de la

Transformada Fasorial, cuando las excitaciones son excitaciones sinusoidales. En estos casos

pueden existir componentes dinámicas.

6.8.2.4. Cálculo basado en superposición

Se saca la red R, y se coloca una fuente de corriente i, con la dirección que se indica en la

Figura 6.26. Se aplica substitución por fuente de corriente.

Resulta:

Figura 6.26. Thévenin por Superposición.

El voltaje v se debe a las n fuentes internas de la Ra, más el debido a la fuente de corriente i.

De acuerdo a la ecuación de equilibrio de la Red Thévenin vista en (6.20), la parte del voltaje

v, que es debida a las n fuentes de Ra es la fuente Thévenin eT, con i=0. Las condiciones en que

se calcula la parte vT del voltaje, se ilustra en la Figura 6.27.

Figura 6.27. Cálculo fuente Thévenin.

Resulta:

T Tv e (6.58)

Red

activa i v

i a

b

Red

activa i = 0 vT

i a

b



La otra parte del voltaje v es debida a la fuente externa i, cuando se elimina el efecto de las n

fuentes internas. Las condiciones en que se calcula la parte vp del voltaje, se ilustra en la Figura

6.28.

Figura 6.28. Cálculo red pasiva Thévenin.

La red pasiva pR tiene una relación de equilibrio definida por la relación: ( )pv i .

La red pasiva pR , es la red activa con sus excitaciones internas llevadas a valor cero.

Se calcula, aplicando métodos de análisis redes, pv en función de i, y se identifica RT. En

caso de una red que no contenga elementos dinámicos ni fuentes controladas; es decir una red

resistiva, resultará:

p Tv R i (6.59)

Si la red aR no tiene fuentes controladas el cálculo de RT, puede efectuarse aplicando

métodos de equivalencias; en general suma de resistencias en serie y paralelo.

Aplicando composición de las partes, resulta:

pTv v v (6.60)

Reemplazando (6.58) y (6.59) en (6.60) se obtiene:

T Tv e R i (6.61)

Lo cual demuestra el Teorema de Thévenin para redes resistivas.

Ejemplo 6.5.

La red de la Figura 6.29, no tiene equivalente Thévenin.

Red

pasiva i vp

i a

b Rp

i



Figura 6.29. No existe Red Thévenin.

Esto se debe a que en la situación planteada no puede abrirse los terminales para imponer

i=0, ya que debido a LCK, siempre se cumple que i j ; y, por lo tanto, no puede ser cero.

6.8.3. Redes con componentes dinámicas

En este caso sólo conviene aplicar el cálculo basado en superposición visto en 6.8.2.4.

Si en el cálculo de la red pasiva, se obtiene una relación ( )pv i , según:

0

t

p

dic id

dtv ai b

La red pasiva Thévenin se interpreta como la suma serie de una resistencia de valor a, una

inductancia de valor b, y un condensador de valor 1/c.

En el cálculo de la red pasiva, no pueden lograrse en general grandes simplificaciones, el

modelo de la red pasiva quedará con los inductores y condensadores. Sin embargo si se aplica

transformación de Laplace, la red pasiva resultará un cuociente de polinomios en la variable

compleja s.

6.9. Teorema de Norton

Es similar al de Thévenin, y la red equivalente Norton se plantea empleando sólo un

generador de corriente, según se muestra en la Figura 6.30.

Figura 6.30. Red Norton.

El teorema se demuestra aplicando superposición. Se reemplaza la red R por una fuente de

tensión v, aplicando substitución por fuente de voltaje.

R

v

i a

b

j

R

v

i a

b

RP iN



Figura 6.31. Red Norton aplicando Substitución.

La descomposición del cálculo de i se plantea:

( )N pi i i v (6.62)

Donde el cálculo de Ni se efectúa cortocircuitando los terminales de aR , es decir con 0v .

Según:

Figura 6.32. Cálculo fuente Norton.

Y la red pasiva, resulta del cálculo de pi , cuando sólo está aplicada la fuente v:

Figura 6.33. Cálculo red pasiva Norton.

En redes resistivas, la red pasiva Norton es una resistencia. Pueden aplicarse métodos

similares a los vistos en 6.8.2.

Cuando no pueda aplicarse el Teorema de Thévenin podrá aplicarse el Teorema de Norton y

viceversa.

Red

activa v v

i a

b

Red

pasiva v v

ip a

b

Red

activa v=0

i a

b

iN



6.10. Redes invariantes en el tiempo

Si en una red, no varía en el tiempo la relación entre la excitación y la respuesta, se dice que

la red es invariante en el tiempo.

Si tenemos un sistema S:

: ( )S r e (6.63)

Entonces si se cumple que la respuesta es ( )r t T cuando se aplica una excitación ( )e t T ,

se dice que el sistema es invariante en el tiempo:

Figura 6.34. Red invariante en el tiempo.

Se dice que la red no cambia en el tiempo o que es invariante en el tiempo. Si la red

estuviera descrita por ecuaciones diferenciales, para las cuales se requieran condiciones

iniciales, entonces también se deben desplazar en el tiempo los valores iniciales.

Si en diferentes tiempos se tienen las mismas causas, los efectos serán iguales en sistemas

invariantes.

Ejemplo 6.6.

Determinar si la red S es o no invariante en el tiempo.

: ( ) ( ) ( )S r t a t e t (6.64)

Si aplicamos el estímulo e(t), desfasado T en el tiempo, se tendrá, aplicando (6.64) que:

( ) ( ) ( )ir t a t e t T (6.65)

Si se cumple:

( ) ( )ir t r t T (6.66)

Entonces, la red S, será invariante en el tiempo.

Si en la relación que define la red, aplicamos el cambio de variable, t por t-T, se tendrá:

S e(t-T) r(t-T)



( ) ( ) ( )r t T a t T e t T (6.67)

Si eliminamos ( )e t T , usando (6.65) en (6.67) se logra:

( )( ) ( )

( )i

a tr t r t T

a t T

(6.68)

Comparando (6.68) con (6.66) demostramos que la red S es variante en el tiempo.

Se puede comprobar que si el coeficiente a no varía en el tiempo, la red S será invariante en

el tiempo.

Si los coeficientes de las ecuaciones de equilibrio de las componentes no varían en el tiempo,

las redes formadas por la interconexión de esas componentes serán sistemas invariantes en el

tiempo.

Ejemplo 6.7.

Una componente no-lineal puede ser invariante en el tiempo.

Sea un sistema S, no lineal:

2r e (6.69)

Entonces cuando en la entrada se aplica e(t-T), en la salida se tendrá:

2( ) ( ( ))ir t e t T (6.70)

Con un cambio de variables en la ecuación (6.69) se obtiene:

2( ) ( ( ))r t T e t T (6.71)

Reemplazando (6.71) en (6.70) se tiene que:

( ) ( )ir t r T (6.72)

Con lo cual se prueba que la red S será invariante en el tiempo.

6.11. Redes lineales e invariantes en el tiempo

Para redes lineales e invariantes en el tiempo se pueden desarrollar algunos teoremas que

muestran propiedades importantes de esas redes.



Ejemplo 6.8.

Sea S: r(e), lineal e invariante en el tiempo. Entonces se cumplen las siguientes relaciones

causa efecto:

Excitación Respuesta

( )e t ( )r t Por definición

( )e t T ( )r t T Por invarianza temporal

( ) ( )e t T e t ( ) ( )r t T r t Por superposición

( ) ( )e t T e t

T

( ) ( )r t T r t

T

Por homogeneidad

Entonces, con T tendiendo a cero, y aplicando la definición de derivada se obtiene, que si se

aplica a S la derivada de una excitación, se obtendrá la derivada de la respuesta a esa excitación.

Figura 6.35. Derivada de la excitación.

También puede demostrarse, aplicando conceptos de integrales de Riemann, que si se

alimenta con la integral de la excitación se obtendrá la integral de la respuesta a esa excitación.

S de

dt

dr

dt



Problemas resueltos

Problema 6.1

Para la red de la Figura P6.1:

Figura P6.1.

a) Determinar la red pasiva Norton entre A y B, vista por la resistencia R1.

b) Determinar la fuente equivalente Thévenin entre A y B, vista por la resistencia R1,

aplicando superposición.

Solución:

a) Igualando a cero los valores de las fuentes independientes, se tiene la Figura P6.2

izquierda. A la derecha se muestra un diagrama simplificado:

Figura P6.2.

R4

j1

R2

R3 e2

D

C B

A

R1 j2

e1

E

R4

R2

R3

D

C B

A

E

R2

R3||R4

B

A C

D

E



Resulta:

2 3 4( || )NR R R R

b) El equivalente Thévenin entre A y B, visto por la resistencia R1, se muestra en la Figura

P6.3:

Se tiene que N TR R

Figura P6.3.

b1) La parte de la fuente de tensión Thévenin, 1Te , debida a los generadores de tensión,

puede calcularse empleando la Figura P6.4:

Figura P6.4.

Por LVK, se tiene, ya que no circula corriente por R2:

1 1 2 0Tv e e (1)

La tensión v1 puede calcularse en la malla EBDE, según:

R4

R2

R3 e2

D

C B

A

eT1

e1

E

v1

RT

R1

B

A

eT



11 3

3 4

ev R

R R

(2)

Reemplazando (2) en (1), resulta:

31 1 2

3 4

T

Re e e

R R

(3)

b2) La parte de la fuente de tensión Thévenin, 2Te , debida a los generadores de corriente,

puede calcularse empleando la Figura P6.5:

Figura P6.5.

Por LVK se tiene:

2 3 2Te v v (4)

Con la ecuación de equilibrio para R2, y LCK en nodo A, se tiene:

2 2 2v R j (5)

Contrayendo el cortocircuito entre E y B, y aplicando LCK en B, se tiene que por el paralelo

de R3 con R4 circula corriente 1 2( )j j , entonces puede calcularse 3v , según:

3 1 2 3 4( )( || )v j j R R (6)

Reemplazando (5) y (6) en (4), se obtiene:

R4

j1

R2

R3

D

C B

A

eT2 j2

E

v3

v2



3 42 2 3 2 2 1 2

3 4

( )T

R Re v v R j j j

R R

(6)

Finalmente, de (3) y (6):

3 4 31 2 2 2 1 2 1 2

3 4 3 4

( )T T T

R R Re e e R j j j e e

R R R R

(7)

Que puede expresarse, con a, b, c y d constantes, según:

1 2 1 2Te aj bj ce de (8)

Es decir, una combinación lineal de los generadores.

Problema 6.2

Para la red de la Figura P6.6:

Figura P6.6.

Determinar la fuente Norton entre A y C, vista por la resistencia R2, mediante superposición.

Calcular potencia absorbida por R2.

Solución:

Se requiere calcular la corriente iN en el cortocircuito entre A y C, en la red a la izquierda de

la Figura P6.7; a la derecha se muestra el equivalente Norton.

R4

j1

R2

R3

e2

D

C B

A

R1

j2

e1

E



Figura P6.7.

Si consideramos juntas las fuentes del mismo tipo, tenemos dos situaciones, para calcular la

corriente de la fuente equivalente Norton, mediante superposición:

a) b)

Figura P6.8.

Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre D y C es cero en la red a la izquierda

en la Figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es cero; entonces, por LCK, se

tiene que:

1 1Ni j (1)

Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre C y D es (e1-e2) en la red a la

derecha en la Figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es 2Ni . Entonces, por

LCK, se tiene que:

R4

j1

iN

R3

e2

D

C B

A

R1

j2

e1

E

iN RN

C

A

R2

i2

R4

j1

iN1

R3

D

C B

A

R1

j2

E

R4

iN2

R3

e2

D

C B

A

R1

e1

E



1 22

1

N

e ei

R

(2)

Superponiendo (1) y (2), se tiene:

1 21 2 1

1

N N N

e ei i i j

R

(3)

Para calcular la potencia absorbida por R2, empleando el equivalente Norton, se tiene:

2

2

2 2 2 2

2

N N

N

R ip R i R

R R

(4)

Para calcular la red pasiva Norton RN, se elimina el efecto de las fuentes de corriente, en la

Figura P6.8 izquierda, y se aplica v, entre A y C; luego se calcula i, en la Figura P6.9.

Figura P6.9.

A la derecha, en la Figura P6.9, se dibuja la red equivalente vista desde los terminales A y C,

en la cual se tiene:

NR i v (5)

Por la combinación serie de R3 con R4, no circula corriente, entonces:

1R i v (6)

Con lo cual:

1NR R (7)

Reemplazando (7) y (3) en (4) se obtiene:

R4

i

R3

D

C B

A

R1

E

v

RN

C

A

v

i



2 2

1 1 22 2 1

1 2 1

R e ep R j

R R R

(8)

Problema 6.3

Para la red de la Figura P6.6, determinar la fuente equivalente Thévenin entre E y B, vista

por la fuente j2. Calcular potencia entregada por j2.

Solución.

Se requiere calcular el voltaje vT en el circuito abierto entre E y B, en la red a la izquierda en

la Figura P6.10. A la derecha se muestra el equivalente Thévenin.

Figura P6.10.

Se calcula vT por superposición. La Figura P6.11 izquierda muestra el efecto de las fuentes

de corriente; la de la derecha el efecto de las fuentes de tensión.

a) b)

Figura P6.11.

R4

j1

R2

R3

e2

D

C B

A

R1

vT

e1

E

vT

RT

B

E

j2 v

R4

j1

R2

R3

D

C B

A

R1

vT1

E

R4

R2

R3

e2

D

C B

A

R1

vT2

e1

E



Debido a LVK, en el circuito ABDEA, el voltaje entre A y D es cero en la red a), por lo

tanto la corriente que circula por R3 y por R4 es cero; entonces, por LVK, se tiene que:

1 0Tv (1)

Debido a LVK, el voltaje entre A y D es (e1-e2) en la red b), por lo tanto la corriente que

circula por R3 y R4 es:

1 2

3 4

e e

R R

(2)

Entonces, por LVK en el circuito BDEB, se tiene que:

1 22 2 4

3 4

T

e ev e R

R R

(3)

Superponiendo (1) y (3):

341 2

3 4 3 4

T

RRv e e

R R R R

(4)

La red pasiva Thévenin se calcula eliminando el efecto de las fuentes en la Figura P6.10; y

calculando el voltaje v, debido a la fuente de corriente i, tal como se muestra en la Figura P6.12.

Figura P6.12.

Por LVK en circuito ACDBA no circula corriente en R1 y R2, y se las puede substituir por

circuitos abiertos. Contrayendo los cortocircuitos AB y BD, la resistencia Thévenin corresponde

al paralelo de R3 con R4.

En la Figura P6.10 derecha, se tiene que la potencia entregada por j2 está dada por:

R4

R2

R3

D

C B

A

R1

v

E

i



2 ( )p j v (5)

LVK en Figura P6.10 derecha:

2T Tv v R j (6)

Reemplazando (6) y (4) en (5):

23 4 2 4 1 3 2

3 4

( )j

p R R j R e R eR R

(7)

Problema 6.4

Para la red de la figura P6.13, con v(0) =V, analizar las excitaciones.

Figura P6.13.

Solución.

Se tiene por (2.58) que el voltaje en el condensador puede expresarse según:

0

1( ) (0) ( )

t

v t v i dC

(1)

Si definimos:

0

1( ) ( )r

t

v t i dC

(2)

Observando (1), reconocemos que vr es la ecuación de equilibrio para un condensador con

voltaje inicial igual a cero, o que no tiene energía acumulada en el instante inicial. Suele decirse

que el condensador, en esas condiciones, está inicialmente relajado.

Reemplazando (2) en (1) y ocupando la condición inicial para el condensador, se tiene:

( ) ( )rv t V v t (3)

R

C e(t)

+

v(t)

i

i vR



Interpretando (3) como una LVK, podemos visualizar la red equivalente de la Figura P6.13,

según:

Figura P6.14.

La red de la Figura P6.14, tiene ahora dos excitaciones: la original representada por la fuente

independiente e(t), y la fuente continua que representa la condición inicial del condensador. Lo

cual puede representarse por el sistema que se muestra en la Figura P6.15.

Figura P6.15.

Puede demostrarse que S es lineal, con lo cual puede estudiarse el voltaje en el condensador

como la composición de los aportes causados por las excitaciones por separado.

La parte debida solo a las condiciones iniciales se denomina respuesta a entrada cero; y la

debida solamente a la excitación se llama respuesta a estado cero.

Problema 6.5

Determinar para la red de la Figura P6.16:

a) Potencias que entregan las fuentes de tensión.

b) Potencias que entran a las fuentes de corriente.

c) Equivalente Thévenin visto por la resistencia R, entre A y B.

d) Equivalente Norton visto por la resistencia R, entre A y B.

R

C

e(t)

+

v(t)

i

vR

V

vr(t)

S e(t) vr(t)

V



Figura P6.16.

Solución.

Aplicando LVK, y ecuaciones de equilibrio de las fuentes de tensión, en el circuito ACBA,

se obtiene la corriente que circula por la resistencia R, desde B hacia A:

1 2v vi

R

(1)

a) Aplicando LCK en A, la potencia que sale de la fuente de tensión v1, está dada por:

1

1 21 1 1 1( ) ( )v

v vp v j i v j

R

(2)

Aplicando LCK en B, la potencia que sale de la fuente de tensión v2, está dada por:

2

1 22 2 2 2( ) ( )v

v vp v j i v j

R

(3)

b) Aplicando LVK en circuito ACA, la potencia que entra a la fuente de corriente j1, está

dada por:

1 1 1 1 1( )jp j v j v (4)

Aplicando LVK en circuito BCB, la potencia que entra a la fuente de corriente j2, está dada

por:

2 2 2 2 2( )jp j v j v (5)

c) La red pasiva Thévenin resulta un cortocircuito entre A y B, es decir RT = 0.

La fuente Thévenin es el voltaje que aparece entre A y B cuando se saca la resistencia R, este

voltaje es:

1 2( )ABv v v (6)

j1

R

+

+

C

B A

v1 j2 v2



La red Thévenin resulta:

Figura P6.17.

d) Para calcular el equivalente Norton debe determinarse la corriente que circula por un

cortocircuito que reemplaza a la resistencia R, pero no es posible efectuar este reemplazo ya que

no se cumpliría LVK en el circuito ACBA, ya que v1+v2 no es cero.

No existe entonces el equivalente Norton.

Problema 6.6

Para la red de la Figura P6.18, con R1=2, R2=1, R3=1, a=2 y k=4:

a) Plantear ecuaciones de la red.

b) Determinar fuente Thévenin vista por la subred entre C y D.

c) Determinar la red pasiva Thévenin vista por la subred entre C y D.

Figura P6.18.

Solución:

a) Se desea calcular la red Thévenin, que se muestra en la Figura P6.19, en la cual se cumple:

T Tv E R i (1)

kv2

R1

aic

R2

+

D

R3 A C

B ic

v2

R

+

B A

v1+v2



Figura P6.19.

Reemplazando la subred por una fuente de corriente de valor i, y definiendo variables se

tiene la red que se muestra en la Figura P6.20:

Figura P6.20.

LCK en C:

3 ci ai i (2)

LCK en B:

2 3c ci i i ai (3)

No se plantea LCK en A, ya que se asume que la corriente que circula de D hacia A, en la

fuente controlada por tensión es ic.

LVK y ecuaciones de equilibrio de la fuente controlada de tensión y de las resistencias R1 y

R2, en la malla ABDA:

2 2 1 2 2ckR i R i R i (4)

LVK y ecuaciones de equilibrio de las resistencias R2 y R3, en la malla BDCB:

kv2

R1

aic

R2

+

D

R3 A C

B ic

v2 i v

i3 i2

vF

ET +

D

RT C

i

v



2 2 3 3v R i R i (5)

LVK y ecuación de equilibrio de la resistencia R3, en la malla BCB:

3 3Fv R i (6)

b) No es necesario emplear la ecuación (6), salvo para calcular vF.

Eliminando i3, reemplazando (2) en (3) y (5), resultan:

2 ci i i (7)

2 2 3( )cv R i R ai i (8)

Despejando ic en (4) se obtiene:

2 2 2

1

( )c

kR R ii

R

(9)

Eliminando ic, reemplazando (8) en (6) y (7), resultan:

2 2 22

1

( )kR R ii i

R

(10)

2 2 22 2 3

1

( )( )

kR R iv R i R a i

R

(11)

Despejando i2 de (10) se obtiene:

12

1 2 ( 1)

Ri i

R R k

(12)

Eliminando i2, reemplazando (12) en (11), se obtiene finalmente:

1 2 3 2 3

1 2

( ) ( 1)( 1)

( 1)

R R R R R k av i

R R k

(13)

Comparando con (1) se obtienen:

1 2 3 2 3

1 2

( ) ( 1)( 1)

( 1)T

R R R R R k aR

R R k

(14)



0TE (15)

Reemplazando los valores numéricos en (14) se tiene:

2(1 1) 1 1(4 1)(2 1) 4 37

2 1(4 1) 1TR

(16)

Una resistencia de valor negativo puede interpretarse como una fuente de tensión controlada

por corriente, como se muestra en la Figura P6.21.

Figura P6.21.

O alternativamente como una fuente de corriente controlada por tensión:

Figura P6.22.

7i +

D

C

i

v

v/7

D

C

i

v



Ejercicios propuestos

Ejercicio 6.1.

Para la red de la Figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de 5

ohms entre A y C, con x=4.

Figura E6.1.

Para la red de la Figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de x

ohms entre B y C. Luego calcular la corriente i, para x= 2, 4, 8 y 16.

Ejercicio 6.2.

Para la red de la Figura E6.2:

Figura E6.2.

Aplicar teoremas de equivalencia para:

a) Determinar la red equivalente Norton vista por la resistencia de 5 ohms, entre los vértices

C y E.

b) Determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia de 7 ohms, entre los

vértices H y C. Luego calcular i2.

c) Calcular i1, aplicando método de superposición.

5

2

10

2 3

x

D C

B A

i

5

2

F

2 +

4

E

C B

A i1

3

5

4

D

G H

7

3

5

i2



d) Calcular i2, aplicando método de superposición.

Ejercicio 6.3.

Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista por la red R.

Figura E6.3.

Ejercicio 6.4.

Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista por la red R.

Figura E6.4.

Ejercicio 6.5.

Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista desde los terminales a y b.

Figura E6.5.

v R

i R3

R2

R1

ia

mv1

+

kia v1

i2

v R

i R1

mv +

ki1 R2 +

e

i1

i2 Vs

0

v R4

+

1

R1

2 R3

R2

3 a

b

i2



Ejercicio 6.6.

Para la red de la Figura E6.6 determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia

Rc.

Figura E6.6.

Ejercicio 6.7.

Para la red de la Figura E6.7 determinar la red equivalente Norton vista por la resistencia

Rc.

Figura E6.7.

Ejercicio 6.8.

Para la red de la Figura E6.8 determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia

Rc.

Determinar relación entre los parámetros para que la resistencia Thévenin equivalente sea

negativa.

e

R1 kvBD

R2

+

D C

B A

+

RC

e

R1

kiAB

R2

+

D

R3 A

RC

C B



Figura E6.8.

Ejercicio 6.9.

a) Para la red de la Figura E6.9 determinar la red equivalente Thévenin vista por la

resistencia Rc.

b) Para la red de la Figura E6.9 determinar la red equivalente Thévenin vista por la fuente e.

Figura E6.9.

e

R1

kiCB R2 +

D

R3 A

RC

C B

+

E

e

R1

kiAB +

C

A

RC

B



Índice general

CAPÍTULO 6 .......................................................................................................................... 1

REDES LINEALES ............................................................................................................... 1

6.1 REDES CON UNA EXCITACIÓN Y UNA RESPUESTA ........................................................... 1 Ejemplo 6.1. ..................................................................................................................... 1

6.2. LINEALIDAD PARA REDES CON UNA EXCITACIÓN .......................................................... 3 6.3. MODELOS BÁSICOS DE COMPONENTES LINEALES ......................................................... 4

6.3.1. Recta que no pasa por el origen ............................................................................. 4 6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación ....................................................... 6 6.3.3. Red de primer orden .............................................................................................. 7 6.3.4. Componente cuadrática ......................................................................................... 8

6.4. ALGUNAS REDES NO LINEALES ................................................................................. 9 6.4.1. Amplificador lineal con saturación ........................................................................ 9 6.4.2. Diodo .................................................................................................................... 10 6.4.3. Rectificador de onda completa ............................................................................. 10 6.4.4. Amplificador inversor .......................................................................................... 10

6.5. REDES CON DOS EXCITACIONES................................................................................... 11 Ejemplo 6.2. ................................................................................................................... 11 Ejemplo 6.3. ................................................................................................................... 13

6.6. REDES CON TRES Y MÁS EXCITACIONES ...................................................................... 14 6.7. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN ....................................................................................... 15

Ejemplo 6.4. ................................................................................................................... 15 6.8. TEOREMA DE THÉVENIN .......................................................................................... 16

6.8.1. Definición del equivalente Thévenin. ................................................................... 16 6.8.2. Formas de cálculo de la Red Thévenin ................................................................ 18 6.8.3. Redes con componentes dinámicas ..................................................................... 21

6.9. TEOREMA DE NORTON ............................................................................................. 21 6.10. REDES INVARIANTES EN EL TIEMPO .......................................................................... 23

Ejemplo 6.6. ................................................................................................................... 23 Ejemplo 6.7. ................................................................................................................... 24

6.11. REDES LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO ....................................................... 24 Ejemplo 6.8. ................................................................................................................... 25

PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 26 Problema 6.1 .................................................................................................................. 26 Problema 6.2 .................................................................................................................. 29 Problema 6.3 .................................................................................................................. 32 Problema 6.4 .................................................................................................................. 34 Problema 6.5 .................................................................................................................. 35 Problema 6.6 .................................................................................................................. 37

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 41 Ejercicio 6.1. .................................................................................................................. 41 Ejercicio 6.2. .................................................................................................................. 41 Ejercicio 6.3. .................................................................................................................. 42 Ejercicio 6.4. .................................................................................................................. 42



Ejercicio 6.5. .................................................................................................................. 42 Ejercicio 6.6. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 6.7. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 6.8. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 6.9. .................................................................................................................. 44

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. 45 ÍNDICE DE FIGURAS. ............................................................................................................ 46

Índice de figuras.

Figura 6.1. Red con una excitación. ............................................................................................. 2 Figura 6.2. Símbolo de sistema. ................................................................................................... 2 Figura 6.3. Causa – efecto. ........................................................................................................... 3 Figura 6.4. Homogeneidad. .......................................................................................................... 3 Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes. ............................................................................. 4 Figura 6.6. Superposición. ............................................................................................................ 4 Figura 6.7. Linealidad. .................................................................................................................. 4 Figura 6.8. Red RC. ...................................................................................................................... 7 Figura 6.9. Red RL. ...................................................................................................................... 8 Figura 6.10. Red con saturación. .................................................................................................. 9 Figura 6.11. Red tipo diodo. ....................................................................................................... 10 Figura 6.12. Módulo de ke. ......................................................................................................... 10 Figura 6.13. Saturación y corte. ................................................................................................... 11 Figura 6.14. Red con dos excitaciones. ...................................................................................... 11 Figura 6.15. Red con dos fuentes. .............................................................................................. 11 Figura 6.16. .................................................................................................................................. 13 Figura 6.17. .................................................................................................................................. 13 Figura 6.18. .................................................................................................................................. 14 Figura 6.19. Cálculo de v por superposición. ............................................................................. 15 Figura 6.20. Parte de la respuesta debida a e. ............................................................................. 16 Figura 6.21. Parte de la respuesta debida a j............................................................................... 16 Figura 6.22. Ra es una red activa con n fuentes. ......................................................................... 17 Figura 6.23. Red Thévenin Resistiva. ......................................................................................... 17 Figura 6.24. Cálculo de voc . ........................................................................................................ 18 Figura 6.25. Cálculo de iCC . ........................................................................................................ 18 Figura 6.26. Thévenin por Superposición. ................................................................................. 19 Figura 6.27. Cálculo fuente Thévenin. ....................................................................................... 19 Figura 6.28. Cálculo red pasiva Thévenin. ................................................................................. 20 Figura 6.29. No existe Red Thévenin. ........................................................................................ 21 Figura 6.30. Red Norton. ............................................................................................................. 21 Figura 6.31. Red Norton aplicando Substitución........................................................................ 22 Figura 6.32. Cálculo fuente Norton. ........................................................................................... 22 Figura 6.33. Cálculo red pasiva Norton. ..................................................................................... 22 Figura 6.34. Red invariante en el tiempo. ................................................................................... 23



Figura 6.35. Derivada de la excitación. ...................................................................................... 25 Figura P6.1. ................................................................................................................................. 26 Figura P6.2. ................................................................................................................................. 26 Figura P6.3. ................................................................................................................................. 27 Figura P6.4. ................................................................................................................................. 27 Figura P6.5. ................................................................................................................................. 28 Figura P6.6. ................................................................................................................................. 29 Figura P6.7. ................................................................................................................................. 30 Figura P6.8. ................................................................................................................................. 30 Figura P6.9. ................................................................................................................................. 31 Figura P6.10. ............................................................................................................................... 32 Figura P6.11. ............................................................................................................................... 32 Figura P6.12. ............................................................................................................................... 33 Figura P6.13. ............................................................................................................................... 34 Figura P6.14. ............................................................................................................................... 35 Figura P6.15. ............................................................................................................................... 35 Figura P6.16. ............................................................................................................................... 36 Figura P6.17. ............................................................................................................................... 37 Figura P6.18. ............................................................................................................................... 37 Figura P6.19. ............................................................................................................................... 38 Figura P6.20. ............................................................................................................................... 38 Figura P6.21. ............................................................................................................................... 40 Figura P6.22. ............................................................................................................................... 40 Figura E6.1. ................................................................................................................................. 41 Figura E6.2. ................................................................................................................................. 41 Figura E6.3. ................................................................................................................................. 42 Figura E6.4. ................................................................................................................................. 42 Figura E6.5. ................................................................................................................................. 42 Figura E6.6. ................................................................................................................................. 43 Figura E6.7. ................................................................................................................................. 43 Figura E6.8. ................................................................................................................................. 44 Figura E6.9. ................................................................................................................................. 44

Redes Lineales - Ramos Departamento de...

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