Redes de Dos Puertos

CIRCUITOS ELECTRICOS II Jairo Palomino de la Cruz

Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Página 1 de 38

7. REDES DE DOS PUERTOS

Se define puerto como un par de terminales por los que una señal de voltaje o

corriente pueden salir o entrar de una red.

Una red de dos puertos o de dos pares de terminales es una red que contiene

resistencias, inductores, capacitores, transformadores, amplificadores

operacionales y fuentes dependientes, caracterizada por un puerto de entrada y

un puerto de salida.

El puerto izquierdo, se designa puerto de entrada y el de la derecha puerto de

salida.

En estas redes, la señal eléctrica entra por los terminales de entrada, sufre la

acción del sistema y sale por los terminales de salida. En muchos casos los

terminales de salida están conectados a los terminales de entrada de otra red.

El estudio de las redes de dos puertos tiene como objetivo aprender como

establecer las relaciones que enlazan las variables I1, I2, V1 y V2 por medio de un

conjunto de parámetros que describen dichas redes.

Estos parámetros permiten establecer por completo el comportamiento de la

red en términos del voltaje y corriente de cada puerto. Así, al conocer los

parámetros de una red de dos puertos, permite describir su operación cuando

ésta se conecta a una red más grande.



Las redes de dos puertos aparecen en los sistemas de comunicaciones, sistemas

de control, sistemas de potencia y en electrónica. De esto se deduce su

importancia en un curso de circuitos eléctricos.

7.1 Parámetros de Impedancia Z

Una forma de describir las relaciones que ligan las cuatro variables de una red

de dos puertos consiste en expresar los voltajes en función de las corrientes:

2221212

2121111

IZIZV

IZIZV

Las Z son constantes de proporcionalidad o coeficientes que reciben el nombre

de parámetros Z ó parámetros de impedancia o de circuito abierto ya que se

pueden medir desde un terminal mientras el otro permanece abierto.

Se define como:

0I2

222

0I1

221

0I2

112

0I1

111

1212I

VZ

I

VZ

I

VZ

I

VZ

Los valores de estos parámetros se expresan en unidades de impedancia.

En forma de matrices:

1 11 12 1

2 21 22 2

V Z Z I

V Z Z I

Ejemplo

Determinar los parámetros Z de la siguiente red:



Cuando I2=0:

1 1 11

2 1 21

V (4 2S)I : Z 4 2S

V 2SI : Z 2S

Cuando I1=0:

1 2 12

2 2 22

V 2SI : Z 2S

V (2 2S)I : Z 2 2S

7.2 Redes Recíprocas

Un cuadripolo se denomina recíproco cuando Z12=Z21

Las redes compuestas solamente por R.L.C son recíprocas.

Ejemplo



Cuando I2=0:

1 1 11

2 1 21

V (14 10 S)I : Z 14 10 S

V (10 10 S)I : Z 10 10 S

Para I1=0:

1 2 2 12

2 2 22

V 2I (10 10 S)I : Z 8 10 S

V (16 10 S)I : Z 16 10 S

14 10 S 8 10 S

Z10 10 S 16 10 S

Ejemplo

a) Calcular los parámetros Z de la siguiente red.

b) Si esta red se alimenta con una fuente V(t) 2 10Cos 100t con una

impedancia interna de 2 y en los terminales de salida se conecta una carga de

10 , calcular la potencia consumida en la carga.

a) ; 10J4Z ;4ZZ ;20Z 22211211



b)

1 1 2 2

1 1 2

2 1 2

1 2 1

1 2 2

2

2

V 10 0 2I V 10I

10 0 2I 20I 4I

10I 4I (4 J10)I

22I 4I 10 0 ; I 0.4705 1.457

4I (14 J10)I 0; I 0.109 143

P 10( I ) 0.121 Wts.

Circuito Equivalente Usando Parámetros Z:



7.3 Parámetros Y ó de Admitancia

Usando los mismos argumentos que se dieron en el caso de los parámetros Z,

se pueden calcular las corrientes en función de los voltajes; es decir, que las

variables dependientes sean las corrientes y las independientes los voltajes.

2221212

2121111

VYVYI

VYVYI

En forma de matrices:

1 11 12 1

2 21 22 2

I Y Y V

I Y Y V

De donde se deduce:

0V2

222

0V1

221

0V2

112

0V1

111

12

12

V

IY

V

IY

V

IY

V

IY

Ejemplo

Calcular los parámetros Y de la siguiente red:



Solución para calcular Y11 y Y21:

2

2

1 1 11 11

1 V 0

1 22 21

1 V 0

V V II Y 0.183 s

12 10 V

V I I Y 0.1 s

10 V

Para calcular Y12 y Y22:



2 22 2 22

21 2 12

V VI 0.5V Y ( 0.4 J0.125) s

10 J8

V I 0.5V Y 0.4 s

10

Ejemplo

Calcular los parámetros Y de la red demarcada y luego usarlos para calcular I1 e

I2.

Escribiendo las ecuaciones de nodos

1 1 2 2 2 11 2

V V V V V VI I

5 10 20 10

1 1 2

2 1 2

I 0.3V 0.1V (1)

I 0.1V 0.15V (2)

11 12

21 22

Y 0.3s Y 0.1s

Y 0.1s Y 0.15s



1 21 2

V VI 15 (3) I (4)

10 4

Reemplazando (3) y (4) en (1) y (2)

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

15 0.1V 0.3V 0.1V 0.4V 0.1V 15

0.25V 0.1V 0.15V 0.1V +0.4V 0

De donde resulta:

1 2

1 2

V 40 V y V 10 V

I 11 A y I 2.5 A

Conversión de parámetros Z en parámetros Y

Partiendo de las ecuaciones de definición

V Z I (1) I Y V (2)

Si se multiplica la ecuación 2 por Z

Z I Z Y V

Como Z I V , entonces Z Y = matriz unitaria.

Lo que significa que 1

Z Y

o 1

Y Z

22 12

111 12 21 11

21 22

Z -Z

Z Z -Z ZZ Z Y

Z Z Z



22 1211 12

21 1121 22

Z ZY Y

Z Z

Z ZY Y

Z Z

Los parámetros Z en función de los parámetros Y

22 1211 12

21 1121 22

Y YZ Z

Y Y

Y YZ Z

Y Y

Circuito equivalente utilizando parámetros Y

Ejemplo

Obtener la matriz Y para la siguiente red, y a partir de esta calcular la matriz Z.



11 21

12 22

3 1Y s Y s

2 2

1 5Y s Y s

2 6

3 2 1 2

Y1 2 5 6

1 5 6 1 2

Z Y1 2 3 2

Ejemplo

Calcular los parámetros Y de la siguiente red:



2

2

111

1 V 0

221

1 V 0

IY

V

IY

V

1 11 1 1

211

1

2

Nodo 1

V V VI 0 (S 1)V V 2SI (1)

2 2S

Nodo V

V V SV V0 15V (3S 5S 15)V 0 (2)

2S 10 6

15Vde (2) V (3)

3S 5S 15



1 12

Reemplazando (3) en (1):

15S 1 V 2SI

3S 5S 15

2 2

1 1 112 2

2

12 1 122

3S +8S+20 3S +8S+20V =2I Y =

3S +5S+15 6S +10S+30

V V 15 3S +5S+20I = - 0.5 V V

2 6 6S +10S+306 3S +5S+15

2

21 2

3S +5S+20Y

6S +10S+30



1

1

112

2 V 0

222

2 V 0

IY

V

IY

V

222

2 22 2 2

2

2

Nodo V

V VV SV0 (3S 5S 15)V 5SV 0 (4)

2S 10 6

Nodo 2

V V VI 0 V 4V 6I (5)

2 6

5SVde (4) V (6)

3S 5S 15

2

2 2 222 2

Reemplazando (6) en (5):

5S 4S 5S 204 V 6I Y

3S 5S 15 6S 10S 30

2

1 22

VV 5SI = - +0.5 V

2S 2 2S 3S +5S+15

2

1 22

3S +5S+20I V

6S +10S+30

2

12 2

3S +5S+20Y =-

6S +10S+30



7.4 Parámetros Híbridos

Para los parámetros híbridos, V1 e I2 son las variables dependientes.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

Estos parámetros son de gran utilidad en el análisis de sistemas que contienen

transistores, y su nombre se debe a que cada parámetro tiene unidades

diferentes.

Los parámetros se definen por medio de las siguientes ecuaciones:

2 2

1 1

1 211 21

1 1V 0 V 0

1 212 22

2 2I 0 I 0

V Ih h

I I

V Ih h

V V

En forma matricial:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 1

2 2

V h h I

I h h V

V I

I Vh

Los parámetros híbridos representan lo siguiente:



h11 = Impedancia de entrada en corto circuito.

h12 = Ganancia inversa de voltaje en circuito abierto.

h21 = Ganancia de corriente hacia delante de corto circuito.

h22 = Admitancia de salida de circuito abierto.

Ejemplo

Calcular los parámetros híbridos de la red que se muestra.

Calculo de h11 y h21:

2

111

1 V 0

Vh

I



1 21 1 1 1

1 2

1 1 21 11

1 1 2

R R V R I I

R R

V R RR h

I R R

2

221

1 V 0

Ih

I

1 1i 1 1 2

0 1 2

1 12 1 21

0 1 2 0 1 2

i

1 1

AV R I V R I I

R R R

AR ARR RI I h

R R R R R R

Calculo de:

1 1

1 212 22

2 2I 0 I 0

V Ih h

V V

Como I1=0, entonces AVi = 0.



1 21

1 2

112

1 2

R VV

R R

Rh

R R

2 22

0 1 2

1 2 02 2

0 1 2

1 2 022

0 1 2

V V I

R R R

R R RI V

R (R R )

R R R h

R (R R )

7.5 Conversión de parámetros Z en parámetros híbridos

La ecuación de los parámetros Z:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z I (1)

V Z I Z I (2)

Si despejamos I2 de (2) se tiene:

212 1 2

22 22

Z 1I I V (3)

Z Z

Sustituyendo la ecuación (3) en (1), se obtiene

11 22 12 21 121 1 2

22 22

Z Z Z Z ZV I + V (4)

Z Z



La comparación de las ecuaciones para I2 y V1 en términos de los parámetros Z

con las ecuaciones de definición de los parámetros híbridos muestra que:

1211 12

22 22

2121 22

22 22

ZZh h

Z Z

Z 1h h

Z Z

Donde:

11 22 12 21Z Z Z Z Z

Con procedimientos similares se puede obtener cualquiera de los conjuntos de

parámetros a partir de cualquiera de ellos.

7.6 Parámetros de Transmisión

Estos parámetros se usan en el análisis de líneas de transmisión y cuando se

tiene varias redes conectadas en cascada.

Se definen mediante las ecuaciones siguientes:

1 2 2

1 2 2

V AV BI

I CV DI

En forma matricial,

1 2

1 2

1 2

1 2

V VA B

I C D I

V V

I Ia

Otra nomenclatura que se utiliza mucho para este conjunto de parámetros:



11 12

21 22

t tA B

C D t ta

Los parámetros se determinan con las siguientes ecuaciones:

2 2

2 2

1 1

2 2I 0 I 0

1 1

2 2V 0 V 0

V IA C

V V

V IB D

I I

A estos parámetros también se les llama parámetros ABCD.

Ejemplo

Calcular los parámetros de transmisión de la siguiente red

Calculo de A y C cuando I2=0

2 2

1 1

2 2I 0 I 0

V IA C

V V



Reemplazando (3) en (1)

2

2 1

2 212 1

2 I 0

(1.5 JW)(1 J2W) 0.5 V V

V(1 J4W 2W )V V A 1 J4W 2W

V

1 1 3 1 1 2

2

1 2

V I V V I (1 J2W)V (4)

de A, V (1 J4W 2W )V (5)




2

2 212 1 2

2 I 0

I(1 J4W 2W )V I (1 J2W)V C J2W 2W

V

Cálculo de B y D

4 2V I

2 2

1 1

2 2V 0 V 0

V IB D

I I

3 3 43 1 3 2 1

4 3 44 3 2

3 2

Nodo 3:

V V VV V 0 (1.5 JW)V 0.5( I ) V (6)

J W 2

Nodo 4:

V V VV 0 0.5V (1.5 JW)( I ) 0 (7)

2 J W

de (7) V (3 J2W)( I ) (8)




2 1

2 2

2 1

(1.5 JW)(3 J2W) 0.5 ( I ) V

(4 J6W 2W )( I ) V B 4 J6W 2W

1 31 1 2

2

1 2 2

2 2

1 2

V VI de B, V B( I ) (9)

1

I (4 J6W 2W )( I ) (3 J2W)( I )

I (1 J4W 2W )( I ) D 1 J4W 2W

La siguiente tabla indica las formulas de conversión que relacionan un conjunto

de parámetros de dos puertos con otros. Se aclara que en dicha tabla Z, Y, H

y T se refieren a los determinantes de las matrices correspondientes.



1222 12

11 12 22 22

21 22 21 11 21

22 22

22 12

11 12

21 11 21

hhA TY Y Z Z h hC CY Y

Z Z Y Y 1 D h 1

C CY Y h h

Z Z

Y YZ Z

Z Z Y

Z Z

12

11 11

22 21

11 11

11 22

21 21 21 21

22 11

21 21 21 21

h1D T h hB B

Y 1 A h h

B B h h

Z YZ -1

Z Z Y Y A B

Z Y C D1 Y

Z Z Y Y

11

21 21

22

21 21

12 12

22 22 11 11 11 12

21 21 21 22

22 22 11 11

hh

h h

h 1

h h

Z YZ 1 B T Z Z Y Y h hD D

Z Y 1 C h h1 Y

D DZ Z Y Y

7.7 Interconexión de Redes de dos Puertos

La importancia de las redes de dos puertos interconectadas se deriva del hecho

de que cuando se diseñan sistemas complejos, es mucho más fácil diseñar un

número de subsistemas más simples que luego se pueden interconectar para

formar el sistema complejo.



Si se trata cada subsistema como una red de dos puertos, las técnicas de

interconexión facilitan el análisis y el diseño de sistemas complejos.

7.8 Interconexión en paralelo

Las ecuaciones que definen las redes a y b son:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1b 11b 1b 12b 2b

2b 21b 1b 22b 2b

a a a a a

a a a a a

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V

Donde

1 1 1b

2 2 2b

a

a

V V V

V V V

1 1 1b

2 2 2b

a

a

I I I

I I I



1 11 11b 1 12 12b 2

2 21 21b 1 22 22b 2

a a

a a

I (Y Y )V (Y Y )V

I (Y Y )V (Y Y )V

De lo anterior se deduce que para la conexión en paralelo de dos redes, la

matriz de parámetros [ Y ] del sistema equivalente es igual a la suma de las

matrices de los parámetros [ Y ] individuales.

11 11b 12 12b11 12

21 22 21 21b 22 22b

a a

a a

Y Y Y YY Y

Y Y Y Y Y Y

Ejemplo

Obtener la ganancia de voltaje V2/V1 con la salida en circuito abierto de la

siguiente red:

Esta red se puede descomponer en dos redes conectadas en paralelo:



2 2

1 211 21

1 1V 0 V 0

I IY Y

V V

1 1 1

1 1

11

'

V J10I 2 ( J10) I

V (10.5612 79.5085)I

Y 0.09469 79.5086 s

12 11 1

2 1

21

'

2I 2I Y V

2 J10 2 J10

I (0.0186 21.801)V

Y 0.0186 21.801

1 1

1 212 22

2 2V 0 V 0

I IY Y

V V

12 21

22 11

' '

' '

Y Y 0.0186 21.801 (por reciproca)

Y Y 0.09469 79.5086 (simetrica)



Para la otra red:

1 1 1

1 1

11

''

V 4I 4 ( J20) I

V (7.884 5.6)I

Y 0.127 5.6 s

12 11 1

2 1

21

''

''

J20I J20I Y V

4 J20 4 J20

I (0.1245 174.29º )V

Y 0.1245 174.29º

12 21 22 11

'' '' '' ''Y Y y Y Y

Para la red total:

11 11 11

21 21 21

12 12 12

22 22 22

' ''

' ''

' ''

' ''

Y Y Y 0.178 36.297 s

Y Y Y 0.1067 177.058 s

Y Y Y 0.1067 177.058 s

Y Y Y 0.178 36.297 s



2 2

2 121 11

1 1I 0 I 0

V VComo Z y Z , entonces:

I I

2

2 21 21 21

1 11 22 22I 0

V Z Y Y Y 0.6 140.76

V Z Y Y Y

7.9 Redes en cascada

Cuando se tienen dos redes conectadas en cascada se utilizan los parámetros

de transmisión para calcular los parámetros equivalentes.

Las ecuaciones de parámetros para las dos redes son:

1 2

1 2

1b b b 2b

1b b b 2b

a a a a

a a a a

V A B V

I C D I

V A B V

I C D I

Pero

1 2 1b 2b1 2

1 1 2 1b 2b 2

a a

a a

V V V VV V, ,

I I I I I I

Y por tanto, las ecuaciones para toda la red son:



b b1 2

1 b b 2

a a

a a

A B A BV V

I C D C D I

De lo anterior se deduce que los parámetros de transmisión para toda la red se

obtienen de la multiplicación matricial.

El orden de esta multiplicación matricial se debe llevar a cabo en el orden en

que las redes están interconectadas.

Ejemplo

Obtener la matriz de transmisión de la siguiente red:

Esta red se puede dividir en 2 redes conectadas en cascada.



2

2

2

2

11 2

2 I =0

12 1

2 I =0

12 1

2 V =0

11 2

2 V =0

VA= V = nV , donde n=10, A=10

V

IC= de I = 0, I =0, C= 0

V

VB= Si V = 0, V = 0 B= 0

-I

I 1D= I = (-I ), D= 0.1

-I n

' 10 0

0 0.1a

Para la otra red:

1 1 2 1

2 1

V (10 J6)I , V J6I

10 J6A 1.944 59.036º

J6

V J6I C 0.1667 90º

12

J6II

40 J6

D 6.741 81.47º



1 2

1 1 2 2 2

1 2

de D, I D( I )

V 10I 40( I ) 10 6.741 81.47 ( I ) 40( I )

V 83.33 53.13( I )

B 83.33 53.13

La matriz de transmisión total es:

10 0 1.944 59.036 83.33 53.13

a0 0.1 0.1667 90 6.741 81.47

19.44 59.036 833.3 53.13

0.01667 90 0.6741 81.47

7.10 Interconexión en Serie

1 1 1b 2 2 2ba aV V V V V V

En forma matricial:



1 1b1

2 2 2b

a

a

V VV (1)

V V V

Sustituyendo los voltajes en función de las corrientes y los parámetros Z, se

tiene:

11 12 1 11b 12b 1b1

2 21 22 2 21b 22b 2b

a a a

a a a

Z Z I Z Z IV (2)

V Z Z I Z Z I

Pero las corrientes del puerto de entrada son todas iguales, al igual que las

corrientes del puerto de salida:

1 1b1

2 2 2b

a

a

I II (3)

I I I

Al sustituir (3) en (2) se obtiene:

11 12 11b 12b1 1

2 21 22 21b 22b 2

a a

a a

Z Z Z ZV I

V Z Z Z Z I

Lo que significa que la matriz [Z] equivalente de dos redes interconectadas en

serie es igual a la suma de las matrices Z de las redes:

11 11b 12 12b11 12

21 22 21 21b 22 22b

a a

a a

Z Z Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z

Ejemplo

Calcular la función de transferencia

2

2

1 I 0

V

V

de la siguiente red:



Esta red se puede dividir en 2 en serie:

11 21

12 22

Z 6 2S Z 6

Z 6 Z 6 2S



11 12 21 22

1 4 5S 1Z Z Z Z 4

S S S(S 1)

11 12

21 22

5S 1 5S 1

Z Z 6 2S 6 S(S 1) S(S 1)

Z Z 6 6+2S 5S 1 5S 1

S(S 1) S(S 1)

3 2 2

2 3 2

2S 8S 11S 1 6S 11S 1

S(S 1) S(S 1)Z

6S 11S 1 2S 8S 11S 1

S(S 1) S(S 1)

2

2

2 21

3 2

1 11I 0

V Z 6S 11S 1H(S)

V Z 2S 8S 11S 1



7.11 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular los parámetros de transmisión y la función de transferencia

012

1V

I

I de la red número 1.

Red número 1

2. Calcular los parámetros Z de la red número 2.

Red número 2

3. Calcular los parámetros Y del red número 3.



Red número 3

4. Calcular los parámetros de transmisión A, B, C y D de la red número 4.

Red número 4

5. Calcular los parámetros híbridos de la red número 5.

011 21

1 V

V

IY 021 21

2 V

V

IY012 12

1 V

V

IY 022 12

2 V

V

IY

022

1

V

I

ID022

1

V

I

VB 022

1 I

V

IC022

1 I

V

VA



Red número 5

RESPUESTAS DEL TALLER.

2. 11325.0001975.0

)1.0019.0(211

ss

ssZ ;

11325.0001975.0

41.0212

ss

sZ

11325.0001975.0

)1004.0(221

ss

ssZ ;

11325.0001975.0

6125.0222

ss

sZ

3. )15.1(2

5.25.432

2

11

ss

ssY ;

232

5.0212

ss

sY

15.1

25.0221

ss

sY ;

232

235.12

2

22

ss

ssY

4. s

A2

; B = -2; s

C7

2 ;

7

5D

5. 90794.230556.411 jh ; 21696.0123.112 jh

134.0216314.021 jh ; 001133.02.022 jh

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