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EDITORIAL
PRESENCIA DE LAS NUEVAS TECNOLOGIAS EN EL AULA
Plantear que las tecnologías de la información
y la comunicación -TICs- son claves para las
personas del presente siglo y que son
fundamentales en una sociedad moderna y
desarrollada es una verdad que nadie se
atreve a discutir y mucho menos a desechar en
el campo social, laboral y familiar entre otras
actividades del ser humano.
La educación como factor clave de desarrollo
de los pueblos se ve directamente afectada por
la presencia de dichas tecnologías y va
experimentando cambios y desafíos que tienen
que ver con la presencia de ellas en el aula, se
plantea permanentemente sobre las
posibilidades que tienen los cambios
curriculares que conllevan y las necesidades de
formación del profesorado. Para obviar esta
problemática el MEN a través de sus
Secretarias de Educación viene articulando
acciones tendientes a la actualización de los
docentes en pro de obtener unos mejores
resultados académicos.
FRACASO ESCOLAR
Una de las asignaturas más afectadas por el fracaso escolar sigue siendo la asignatura de Matemáticas, los números determinan esta problemática académica, esta circunstancia negativa no se desconoce pero se hace necesario revisar otras variables intervinientes en esta situación, la capacitación y actualización del maestro, la integración del padre de familia en los procesos educativas, la falta de aulas dotadas con medios tecnológicos, la estratificación de la población, la situación económica, entre otras son razones que nos tiene que llevar a modificar los calificativos
como si los únicos responsables fueran los maestros, y esto sin analizar el plan de estudios porque la oferta académica no es la misma en todas las instituciones educativa, el estado también tiene un alto grado de responsabilidad al no respaldar los planes de mejoramiento que desde las instituciones oficiales se plantean. Los resultados en las pruebas SABER han llevado a todos los actores de la Educación a repensar en sus jornadas de Evaluación Institucional las cuatro áreas de gestión directiva, académica administrativa-financiera y gestión de la comunidad con miras al replanteamiento de su plan de mejoramiento institucional. Para la Red de docentes de Matemáticas y
áreas afines de Ibagué obviamente le preocupa
tal circunstancia, y uno de sus propósitos
académicos está en contribuir al mejoramiento
de la calidad de la Educación Matemática en
las Instituciones Educativas de Ibagué para lo
cual ha organizado el Proyecto 2014 el cual será
sustentado a la Secretaria de Educación
Municipal de Ibagué a través del Grupo de
Calidad.
La Junta Directiva de la Red de Matemáticos ha venido considerando entre otras actividades la realización de reuniones integrales tanto presenciales como virtuales con los maestros de matemáticas que permita no solo realizar inicialmente actividad académica con los maestros sino también con los estudiantes como beneficiario primario dentro del proceso de formación siendo necesario entonces la adecuación de la herramienta más apropiada que nos permita con la Cooperación de todos
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hacer un trabajo dinámico, serio y de mucho compromiso. El entender este proceso significa comprender el hecho de que no hay soluciones únicas a los problemas, sino varias, todas ellas susceptibles de ser mejoradas. Son tantas las experiencias que los maestros
realizamos en el aula, para presentar
alternativas de solución a la problemática que
han quedado en el tintero por falta de una
verdadera articulación y mayor divulgación.
Los maestros somos conscientes de esta
carencia y por eso seguimos interesados en
participar activamente en los procesos de
mejoramiento continuo.
Vencer estas barreras no es fácil ni rápido. Se requiere tiempo, recursos de todas las clases y, sobre todo, se requiere compromiso. Lo principal es entender que este proceso no se trata solo de mejorar lo que siempre se ha hecho sino encontrar nuevas formas de hacerlo. Esto implica muchos cambios, como el hecho de aprender a trabajar en equipo dejando a un lado el viejo esquema en donde uno piensa y los demás trabajan y adoptando otro donde todos piensen y trabajen para mejorar. Lo más importante de todo esto es no ver la mejora continua como una forma o procedimiento laboral, sino como una forma de vida. Al hacerlo podremos crecer como individuos y por ende las organizaciones también crecerán. El camino es arduo, pero al final vale la pena intentarlo. La mejora continua debe permitir, entre otras ventajas reducir costos, reducir desperdicios, reducir el índice de contaminación al medio ambiente, reducir tiempos de espera, aumentar los índices de satisfacción de los usuarios, aprovechar al máximo la capacidad intelectual de todos los integrantes de la comunidad educativa, manteniéndolos al mismo tiempo motivados y comprometidos con la organización. En este Boletín No.2, iremos a encontrar continuidad temática y nuevos artículos, esperamos a través de nuestro medio sus comentarios y aportes. A todos los docentes les
deseamos una Navidad Feliz y un año 2014 lleno de muchos deseos. http://www.youtube.com/watch?v=YZdiApOe2B4
http://www.youtube.com/watch?v=pRoQA3yld3E
http://www.youtube.com/watch?v=VOh7YvvI8Js
Junta Directiva RED MATEMATICOS
Faber Moreno
Coordinador
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Email: [email protected] – Cel. 317 821 84 19 – 310 150 23 77
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA INVERSIÓN GEOMÉTRICA
La geometría de Euclides y las geometrías de Lobachevski y Riemann tiene mucho en común pero
difieren en el axioma del paralelismo, en sus definiciones, sus teoremas y fórmulas. Para lograr
entender un poco esto debemos pasar a la geometría de la superficie del globo terrestre en donde dos
rectas equivalen a dos meridianos que se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Los
meridianos son rectas paralelas que son perpendiculares a la línea ecuatorial.
La geometría de lobachevski es la llamada geometría hiperbólica de concavidad negativa y la de
Riemann es la llamada geometría elíptica de concavidad positiva. La suma de los ángulos de un
triángulo hiperbólico es menor que 180° y la suma de los ángulos de un triángulo elíptico es mayor
que 180°. En la teoría de la relatividad se utilizan fórmulas de las geometrías no euclidianas, sin estas
geometrías no hubiera sido posible la teoría de la relatividad.
Para llegar a comprender lo relacionado con las geometrías no euclidianas, es necesario conocer la
Inversión y sus propiedades.
LA INVERSIÓN GEOMÉTRICA
Con la opción 3 de la caja de herramientas 9 de izquierda a derecha del software GeoGebra
(refleja objeto en circunferencia (Inversión) (9,3) trabajaremos la inversión geométrica.
LA INVERSIÓN DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA.
El inverso de un punto exterior A respecto a una circunferencia c de centro O y radio r, es un punto
interior A’, que se encuentra alineado con el centro de inversión (centro de la circunferencia) y el
punto A, y cumple que OA × OA’ = r2.
El inverso de un punto interior A respecto a una circunferencia c de centro O y radio r, es un punto
exterior A’, que se encuentra alineado con el centro de inversión (centro de la circunferencia) y el
punto A, que cumple que OA × OA’ = r2.
Dada la circunferencia c de centro O de radio r = 3 y un punto exterior A, dé clic en A con la
herramienta Inversión (9,3) y clic en la circunferencia, aparece el punto A’ que es el inverso de A.
Comprobaremos si se cumplen las condiciones hallando los segmentos OA y OA’ luego hallamos el
producto de OA × OA’ y verificamos si es igual a 9 que es el radio al cuadrado.
Con la herramienta segmento (3,2) caja 3 opción 2, dé clic en O y clic en A, aparece el segmento b con
su medida en la vista Algebraica. Luego dé clic en O y clic en A’, aparece el segmento d con su
medida.
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Ahora escriba en el campo de Entrada b * d (parte inferior izquierda) y le da Enter, aparece el número
e = 9 en la Vista Algebraica que es el cuadrado del radio, lo que significa que se cumplen las
condiciones.
Con la herramienta (1,1) Elige y mueve, mueva el punto A y observe que cambian los valores de b =
OA y de d = OA’ pero su producto e pemanece constante. La linea punteada es para significar que los
punto O, A y A’ permanecen alineados. Mueva el punto A hacia el interior de la circunferencia, ¿Qué
observa?
LA INVERSIÓN DE UN SEGMENTO Y UNA RECTA RESPECTO A UNA
CIRCUNFERENCIA
Haga una circunferencia c de centro O de radio r = 3, un segmento AB y una recta que pase por C y
D, ahora haga la inversión del segmento AB y de la recta que pasa por C y D respecto a la
circunferencia c.
Observe que la inversión del segmento AB = a es un arco A’B’ = a’ y la inversión de la recta b es una
circunferencia b’ que pasa por el centro de la circunferencia de inversión.
Con (1,1) Elige y mueve, mueva el segmento y la recta , observe
¿Qué piensa sobre la inversión de una semirecta?
¿Qué cree sobre la inversión de una circunferencia y de una semicircunferencia respecto a una
circunferencia de inversión? Inténtelo y con concluya.
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COMPRUEBE QUE:
La inversión de un punto diferente al centro de inversión (centro de la circunferencia) , es un punto que está alineado con el centro de la circunferencia de inversión y con el punto dado
La inversión de un punto interior es un punto exterior y viceversa.
La inversión de un segmento rectilíneo que no contenga el centro de la circunferencia es un arco de circunferencia. Si el segmento es interior a la circunferencia la inversión es un arco exterior y viceversa.
La inversión de una recta que no pasa por el centro es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
La inversión de una recta que pasa por el centro de inversión es la misma recta.
Si la recta es secante a la circunferencia de inversión, la inversión es una circunferencia secante a la circunferencia de inversión.
Si la recta es tangente a la circunferencia, su inversión es una circunferencia tangente interior a la circunferencia de inversión.
La inversión de una circunferencia que pasa por el centro de inversión y es secante a la circunferencia de inversión, es una recta que pasa por los puntos de intersección de las dos circunferencias.
La inversión de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión y es secante a la circunferencia de inversión es otra circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las dos primeras.
La inversión de una circunferencia concentrica a una circunferencia de inversión es otra circunferencia concentrica a las dos primeras.
Alvaro Gerardo Insuasti, GPC - IGT
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Un problema de todos/as: MEJORAR LA CALIDAD DE EDUCACION.
Para todos/as los que de alguna u otra manera estamos comprometidos con la Educación, es innegable que cada año nos veamos cuestionados por los resultados obtenidos en las diversas pruebas nacionales (SABER), que en la mayoría de las ocasiones en lo que se refiere a la
Matemática, nos dejan en una inadecuada posición en las tablas de resultados, evidenciándose que los estudiantes alcanzan un mínimo de logros en el proceso de aprendizaje, especialmente en la argumentación,(expresar y justificar por escrito y oralmente) la modelación
(organización de datos, asociar conceptos necesarios) y la resolución de problemas,
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siendo estos no son solo un objetivo general sino la columna vertebral del área a lo largo de toda etapa. Según la opinión de varios autores esta situación se debe a diversas causas, como son:
el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas (Gabaldon 1987).
el desconocimiento por parte de los docentes de los conocimientos previos que tienen los alumnos ( Peñalosa 1986) .
factores relacionados con el currículo, el docente, el estudiante, las tareas académicas requeridas.
la fundamentación legal, decreto 1290, en lo que se refiere a la evaluación y promoción de los estudiantes.
el contexto socio cultural.
las estrategias tanto instruccionales como de aprendizaje (Solórzano 1991).
Estas causas y resultados, nos debe motivar a docentes y directivos a analizar la complejidad de esta problemática no para comparar o criticar a docentes, instituciones o alumnos, sino para plantear alternativas que contribuyan a mejorar el proceso enseñanza – aprendizaje en nuestras instituciones. Quienes enseñamos y somos los que en ultimas tenemos el poder en nuestros manos para cambiar estos resultados, necesitamos revisar permanentemente nuestro rol: qué hacemos?, para qué lo realizamos?, como lo hacemos,? a quien le enseñamos?, en donde?, con qué recursos enseñamos?. Sabemos que cada una de nuestras experiencias tiene características singulares e irrepetibles; así, cada año, un nuevo grupo de alumnos nos plantea un desafío renovado, conllevando a que los conocimientos que enseñamos y nuestras estrategias de enseñanza también se modifiquen y se convierten además
en nuevas experiencias de múltiples transformaciones en sentido amplio y, en particular, en los campos de saber. Formemos redes de docentes aun de otras instituciones, para que permanentemente nos estemos preguntando qué significa aprender Matemática; qué se entiende por enseñar mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; analizar cómo influye la gestión de la clase en el tipo de aprendizaje que logren los alumnos, estar actualizados respecto a los avances de las investigaciones didácticas, todo ello puede ayudarnos a re contextualizar nuestras prácticas habituales, encontrar nuevos sentidos para lo que hacemos y reinventar así nuestro rol de docentes, se hace necesario reconocer la importancia y necesidad de revisar las estrategias metodológicas para lograr así que los alumnos se sientan altamente motivados y comprometidos con su aprendizaje, permitiendo así que sean capaces de asumir su responsabilidad con claro conocimiento de su misión como es el de mejorar su rendimiento académico durante y al final de sus estudios. Teniendo en cuenta que la Matemática constituye una de las ciencias de gran relevancia en el proceso educativo por la interrelación que existe entre ellas y las demás disciplinas, por su ayuda al desarrollo del pensamiento lógico y sistemático se deben generar desde ella actitudes de autocrítica y crítica constructiva, fortalecimiento de la autoestima, actitud positiva frente al error, capacidad de análisis, interpretación de enunciados y planteamiento de situaciones problema. Una de las actividades dentro del área de gran importancia, exigencia y responsabilidad es la relacionada con las estrategias metodológicas
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empleadas en nuestras clases, se hace necesario analizarlas y en el mejor de los casos replantearlas, modificarlas o reemplazarlas por estrategias basadas en lo lúdico, que contribuyan en forma significativa al mejoramiento de las dificultades que presentan los estudiantes y así llegar a corto o largo plazo a la construcción del pensamiento matemático. Para lograrlo necesitamos trabajar en nuestras clases, haciendo uso de materiales concretos, lo que permitirá al estudiante experimentar el concepto desde la estimulación de sus sentidos, logrando que ellos mismos interioricen los conceptos que se quieren enseñar. Como bien lo dice Piaget” los niños y niñas necesitan aprender a través de experiencias concretas, en concordancia a su estadio de desarrollo cognitivo. La transición hacia estadios formales del pensamiento resulta de la modificación de estructuras mentales que se generan en las interacciones con el mundo físico y social”, por lo tanto en la enseñanza de las matemáticas se deben partir de la manipulación de material concreto , seguir con actividades simbólicas que faciliten el desarrollo conceptual a partir de experiencias recogidas por los estudiantes durante la exploración, observación y análisis para llegar a la conceptualización y generalización .
El docente debe conocer y respetar este proceso, además de conocer y usar también los materiales concretos, como una herramienta clave para el aprendizaje, que le ayudaran y permitirán que este se realice de forma significativa. Las matemáticas son una materia viva llena de interés y muy útil fuera de la clase. Es necesaria que esta idea sea trasmitida a los alumnos por sus maestros para que ellos encuentren la necesidad de razonar, operar o manipular para dar solución, a problemas concretos de sus vidas cotidianas. Por ultimo “Ser educador requiere hoy en día
un alto sentido de compromiso con la
humanidad, supone estar consciente de que
una parte del destino está en nuestras manos y
depende de lo que pensamos, valoramos,
decimos, sentimos y hacemos, es algo más que
transmitir información, muchas veces inútil y
expresada sin motivación alguna, significa
dejar, en las mentes que pasan por nuestras
manos, huellas indelebles de compromiso con
la sociedad, es ofrecer herramientas para que
cada individuo se sienta responsable en la forja
de un mundo social digno y en la protección
del entorno ambiental.”
Nelsy Bonilla Hoyos, GPC - IGT
Referencias Bibliográficas
SOLORZANO, C (1991) La enseñanza y el rendimiento académico. Trabajo Publicado, Departamento de Biología y Química Instituto Pedagógico de Caracas. Leer más: http://www.monografias.com/trabajos25/rendimiento-matematicas/rendimiento-matematicas.shtml#ixzz2kuvLL9Pi
GO.NZÁLEZ-PIENDA, J.A. y NÚÑEZ, J.C. (coord.) (1998). Dificultades del aprendizaje escolar. Madrid: Pirámide. LUCEÑO, J.L. (1986). El número y las operaciones aritméticas básicas: su psico-didáctica. Alcoy: Marfil. MARÍN, S. (2000). El aprendizaje cooperativo. Una propuesta metodológica de atención a la diversidad para el
área de Matemáticas en la Educación.
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OTRO PROBLEMA NO TAN COMÚN
A continuación se formula un problema no tan común y se plantea la solución:
Cien personas entre las que hay hombres, mujeres y niños, entran a cine. Cada hombre paga $ 5 500;
cada mujer $ 1 000 y cada niño $ 500. Si el recaudo fue exactamente de $ 100 000, ¿Cuántos hombres,
cuántas mujeres y cuántos niños entraron a cine?
Lo primero que se piensa para resolver el problema, es plantear un sistema de ecuaciones. Veamos
cuáles y cuántas podrían ser las expresiones matemáticas que se obtendrían:
H + M + N = 100
5 500H + 1 000M + 500N = 100 000
Se obtienen así, dos ecuaciones pero con tres incógnitas cada una. Simplificando la segunda ecuación,
el sistema queda así:
H + M+ N = 100 y 11H + 2M + N = 200 ó
Igualamos las dos ecuaciones:
Al transponer y simplificar los términos se obtiene: N = 9H
Esto solamente nos dice que por cada hombre que entró al cine, también lo hicieron 9 niños. La
siguiente tabla muestra la relación de personas que pudieron haber entrado a cine, según la ecuación
obtenida:
Hombres H
Mujeres M
Niños N Total
1 90 9 100
2 80 18 100
3 70 27 100
4 60 36 100
5 50 45 100
6 40 54 100
7 30 63 100
8 20 72 100
9 10 81 100
Incluso puede darse el caso que solamente ingresaron 100 mujeres (no entraron hombres ni niños).
¿Este caso cumple con la solución del problema?
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Veamos ahora el recaudo:
H Recaudo H M Recaudo M
N Recaudo N Total
1 5 500 90 90 000 9 4 500 100 000
2 11 000 80 80 000 18 9 000 100 000
3 16 500 70 70 000 27 13 500 100 000
4 22 000 60 60 000 36 18 000 100 000
5 27 500 50 50 000 45 22 500 100 000
6 33 000 40 40 000 54 27 000 100 000
7 38 500 30 30 000 63 32 500 100 000
8 44 000 20 20 000 72 36 000 100 000
9 49 500 10 10 000 81 40 500 100 000
De esta manera se observa que este problema no tan común, requiere para su solución, plantear un
sistema de dos ecuaciones, cada una con tres incógnitas, las cuales derivan en una sola expresión que
nos arroja múltiples soluciones, en este caso 10 respuestas distintas. A continuación se escribe una de
ellas:
H M N
S = {(3, 16 500), (70, 70 000), (27, 13 500)}.
Luis Ramón López Mendoza, GPC - IGT
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TEOREMA DE PICK
El Teorema de Pick fue demostrado por Georg Alexander Pick (1859 -1942). Pick nació en Viena, Austria y era de padres judíos. Estudió matemáticas y física en la Universidad de Viena. Trabajó en distintas universidades, terminando su carrera en la Universidad de Praga. Su trabajo matemático fue extremadamente amplio, alrededor de 67 documentos de muchos temas, como algebra lineal, teoría de invariantes, cálculo integral. teoría potencial, análisis funcional y geometría. Sin embargo, parte de su popularidad se debe al teorema que lleva su nombre, el cual aparece en el año 1899, en un artículo llamado "Geometrisches zur Zahlenlehre" publicado en Praga. El teorema de Pick es un resultado geométrico cuanto menos curioso, si no sorprendente. Nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899. Vamos con el enunciado del teorema: Teorema: Supongamos que tenemos una cuadrícula en la que cada vértice corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son números enteros y sea un polígono simple (es decir, sin agujeros) que cumple que todos sus vértices están situados sobre vértices de la cuadrícula. Es decir, algo así:
Sea el número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y sea el número de vértices de la cuadrícula que están en algún lado del polígono, es decir, los puntos frontera que tienen sus dos coordenadas enteras. Entonces el área del polígono puede calcularse de la siguiente forma:
En el ejemplo que aparece en la imagen, y .
Por tanto (unidades cuadradas). Demostración: Vamos a demostrar este resultado por inducción: Sea un polígono simple y un triángulo con un lado común con . Asumimos que el teorema es cierto para y para de forma separada y demostremos que también es cierto para el polígono conseguido a partir de añadiendo Como y comparten un lado, todos los puntos frontera a lo largo del lado común, excepto los puntos extremos del lado, se convierten en puntos interiores de . Por tanto, llamando al número de puntos frontera en común, tenemos
que y
. De ello obtenemos
que y
. Como asumimos que el teorema es cierto para y de forma separada: Por tanto, el polígono cumple el teorema. Se sabe que en dos dimensiones cualquier polígono puede ser triangulado. Por tanto, lo
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que hemos obtenido es que si el teorema es cierto para un triángulo y para un polígono formado por triángulos también lo es para un polígono formado por triángulos. El último paso de la demostración es comprobar que el resultado es cierto para cualquier triángulo. Veámoslo: Es fácil ver que el teorema se cumple para cualquier cuadrado de lado 1 (¿de verdad es fácil?). De aquí se deduce que es correcto para cualquier rectángulo con sus lados paralelos a los ejes. A partir de esto deducimos que la fórmula es cierta para triángulos rectángulos obtenidos a partir de un rectángulo mediante un corte por una de sus diagonales. Ahora, cualquier triángulo puede convertirse en un rectángulo añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos. Como la fórmula es correcta para los triángulos rectángulos y para el rectángulo también lo es para cualquier triángulo. Con esto concluye la inducción. Hemos comentando anteriormente que el teorema es válido para polígonos simples, es decir, sin agujeros. Hay una generalización para cualquier polígono en la cual el de la
fórmula se sustituye por , es decir, la característica de Euler de . Por otra parte, una superficie llamada el
tetraedro de Reeve (de la cual no he encontrado información) demuestra que el teorema de Pick no se puede generalizar a tres dimensiones. Sin embargo, para dimensiones superiores sí hay una generalización vía polinomios de Ehrhart.
EJERCICIO
Verificar por los métodos que considere pertinente con los estudiantes, a lápiz y papel y luego con el Software GeoGebra.
Fuente: Pick’s Theorem en la Wikipedia (en inglés) Enlace: http://www.youtube.com/watch?v=jK4B7rw
Shr4
Compilación realizada por
FABER MORENO, GPC - IGT
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La regla de la adición para eventos que no son mutuamente
excluyentes
“El gran número de paradojas estocásticas puede confundir incluso a los expertos. Por ello, es más importante construir intuiciones correctas en este campo que en ningún otro. Por ello parece necesario ofrecer a los alumnos actividades estocásticas, en forma de juegos y experimentos.”
Batanero, Contreras, Díaz y Arteaga, 2009
En el Boletín N° 1 de la Red reflexionábamos sobre la conveniencia de utilizar construcciones con GeoGebra para introducir la noción de probabilidad en el aula de clase desde el enfoque de frecuencia relativa y se anexaron los enlaces para acceder a tres videos tutoriales para los docentes interesados en este tipo de actividades. En muchas ocasiones no es indispensable conocer los detalles de las construcciones, basta con buscarlas en http://www.geogebratube.com/material/show/id/59408 y utilizarlas en clase como apoyo para el docente en la clase tradicional, o si es posible, hacer que los estudiantes las exploren en forma interactiva. Sin embargo, si el maestro aprende a utilizar las herramientas y comandos del software puede diseñar otras construcciones similares o adaptar las existentes a las condiciones específicas de su clase.
En esta ocasión abordaremos la Regla de la Adición la cual nos permitirá, además de una reflexión sobre las estrategias didácticas para su enseñanza, (que el lector realizará en forma personal o con sus compañeros de trabajo y que esperamos nos comparta en [email protected]) conocer algunas nuevas herramientas como el comando CuentaSi [<Condición>,<Lista>] muy útil en esta oportunidad para el cálculo de frecuencias. La situación que presentaríamos a nuestros estudiantes para abordar el tema sería la siguiente:
La nave extraterrestre de la figura lanza proyectiles en forma aleatoria sobre el segmento AB. El
número de disparos puede ser controlado por el deslizador n. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de
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esos proyectiles caiga en el segmento CF? ¿Esta probabilidad depende de la longitud de CF?
¿Depende del número de disparos? Los segmentos CD y EF tienen una parte común, el segmento
ED. ¿Podemos asegurar que en todos los casos se cumple que P(CF) = P(CD) + P(EF) - P(ED)? (La
expresión P(CF), por ejemplo, significa: probabilidad de que el proyectil caiga en el segmento CF)
Con GeoGebra podemos simular este escenario, efectuar un número variable de lanzamientos
aleatorios, modificar la longitud de los segmentos en la recta, contar los proyectiles sobre una zona
determinada para luego calcular su frecuencia relativa y observar su variación cuando se cambian los
parámetros. Podemos elaborar conjeturas con base a las preguntas generadoras y por último verificar
la regla de la adición. En el próximo boletín mostraremos como presentar en una sola pantalla la
construcción y sus variaciones en un plano cartesiano y en forma dinámica.
A continuación presentamos un instructivo paso a paso que complementaremos con el video
correspondiente.
REGLA DE LA ADICIÓN PARA EVENTOS QUE NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Construcción con GeoGebra
Su versión en video está en el enlace: http://www.youtube.com/embed/exKmsxI47KE
La pantalla debe mostrar la Vista Algebraica y la Vista gráfica. No es necesario que sean visibles los
ejes y la cuadrícula
1. Construir un segmento AB
2. Crear un deslizador n con rango 0 a 50, aumentando una vez, incremento 1 y ancho 300
3. Dibujar la recta b que pasa por A y B y hacer visible en la vista gráfica su ecuación en la forma
y = ax + b arrastrándola con el puntero de la Vista Algebraica a la Vista gráfica
4. En Entrada utilizar el comando Pendiente[<Recta, semirrecta o segmento>] para escribir
Pendiente[b]. En la vista algebraica el valor de la pendiente aparece con la letra c. Ocultar la
representación de la pendiente en la Vista Gráfica
5. En Entrada escribir b(0) para registrar el valor del termino independiente en la ecuación de la
recta ( se nombrará d).
6. En Entrada escribir Secuencia[UniformeAleatorio[x(A),x(B)],k,1,n] para obtener una lista
aleatoria de abscisas de los puntos que se van a construir. Se denominará lista1 en la Vista
Algebraica.
7. En Entrada escribir Secuencia[Elemento[Lista1,k]*c+d,k,1,n] para obtener las ordenadas
correspondientes. Se denominará Lista2.
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8. En Entrada escribir Secuencia[(Elemento[lista1,k],Elemento[lista2,k]),k,1,n] para obtener los
puntos aleatorios en el segmento AB. Ahora arrastrando el deslizador n aparecerán puntos
aleatorios en el segmento AB
9. Determinar con el mouse puntos C, D, E y F en el segmento AB. Para evitar confusiones
dibujemos los puntos en el siguiente orden de izquierda a derecha A,C, E, D, F, B como se
muestra en la imagen.
10. Utilizar el comando CuentaSi[<Condición>,<Lista>] contar los puntos que se han ubicado
entre C y D. En Entrada escribir e=CuentaSi[ x(C)≤x≤x(D),lista1]. En la Vista algebraica se
mostrará el resultado e que podemos verificar accionando el deslizador.
11. De igual manera contamos los puntos entre E y F, entre E y D y entre C y F escribiendo en
Entrada, una a la vez, las siguientes expresiones:
f=CuentaSi[ x(E)≤x≤x(F),lista1],
g=CuentaSi[ x(E)≤x≤x(D),lista1]
h=CuentaSi[x(C)≤x≤x(F)]
12. Calcular las frecuencias relativas en cada uno de los intervalos anteriores, escribiendo en
Entrada una a la vez las siguientes expresiones:
He = e/n Hf = f/n Hg = g/n Hh = h/n
13. Con la herramienta Inserta Texto podemos escribir en la Vista Gráfica:
P(M) =
=
= e/n
Tener presente que para que el cociente quede en dos renglones se debe activar Formula LaTex y
seleccionar de la lista de raíces y fracciones la opción de fracción, además e y n deben ser copiados
de la lista de objetos de la herramienta Inserta Texto y que e/n deben ser escritos en la misma
casilla.
14. En forma semejante escribir los demás textos que se muestran en la imagen.
15. Para simular los rayos que salen de la nave dibujamos un punto G exterior a la recta AB y
trazamos los segmentos que determina el punto G con cada uno de los puntos aleatorios
escribiendo en Entrada el comando:
Secuencia[Segmento[G,Elemento[Lista3,k]],k,1,n]
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