RED DE ESTACIONES GPS ACTIVAS Y PASIVAS DE GIPUZKOA

MEMORIA

Enero 2003

ANEXOS:

ANEXO I: RESEÑAS.

ANEXO I.1: RESEÑAS DE LOS VÉRTICES DEL I.G.N.

ANEXO I.2: RESEÑAS DE LAS ESTACIONES DE LA RED ACTIVAS Y

PASIVAS.

ANEXO II: FICHEROS DE CÁLCULO DE LOS PROGRAMAS SKI-PRO Y

BERNESE.

ANEXO II.1: COVARIANZAS DE GFA EN ITRF00.

ANEXO II.2: AJUSTES DE LA RED.

ANEXO II.2. A) AJUSTE DE LA RED GPS DE CONTROL.

ANEXO II.2. B) AJUSTE DE LA RED PASIVA CONSTREÑIDA A

CONTROL.

ANEXO II.3: COVARIANZAS SEMANALES DE BERNESE.

ANEXO II.3. a) SEMANA 1.

ANEXO II.3. b) SEMANA 2.

ANEXO II.3. c) SEMANA 3.

ANEXO III: IGS, RECOMENDACIONES PARA PROCESAR.

ANEXO IV: PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.

ANEXO IV.1: ITRF00, ÉPOCA 2002.9 a ED50.

ANEXO IV.2: ITRF00, ÉPOCA 2002.9 a ETRS89.

ANEXO IV.3: ETRS89 a ED50.

ANEXO V: RESULTADOS.

1.- Introducción. El presente documento reúne todas las incidencias acaecidas en la fase correspondiente a la determinación de coordenadas en todas las estaciones activas y pasivas en el Territorio Histórico de Gipuzkoa, dentro del concurso con nº de expediente x01054, con título: “Puesta en servicio de un sistema de posicionamiento con estaciones GPS activas y pasivas en el Territorio”. El trabajo ha sido realizado por el personal de GEOLan DONOSTI, S. L. La precisión obtenida mediante el Sistema GPS está fuera de toda discusión. Sin embargo, es fundamental determinar las coordenadas de las estaciones de referencia para poder alcanzar elevadas precisiones con bajos costes dentro de los marcos actuales de referencia. Por este motivo, se diseñó una red de precisión cuyos vértices están siempre a una distancia inferior a 10 km en cualquier parte del Territorio Histórico de Gipuzkoa. La materialización básica de la red es la de cuarto orden; concretamente, los hitos de hormigón que la Excelentísima Diputación de Gipuzkoa tiene distribuidos por todo el Territorio Histórico. En este trabajo se presentan los resultados obtenidos en la determinación de una red de estaciones GPS activas y pasivas en el Territorio Histórico de Gipuzkoa. 1.1- Objetivos. El objetivo de este trabajo es, tal y como se ha adelantado en la introducción, establecer una red de estaciones GPS activas y pasivas en el Territorio Histórico de Gipuzkoa. Sin embargo, la red ha sido diseñada para poder apoyar en ella toda la infraestructura geodésica y topográfica que se vaya a realizar en el futuro en el Territorio mencionado. Por ese motivo y, con la gran ventaja de disponer de una antena GPS activa en las instalaciones de la Excelentísima Diputación Foral de Gipuzkoa, se diseñó una red totalmente funcional, en la cual primó, además de la situación de los vértices, el acceso a los mismos. Debido a la gran precisión exigida y a que la red será el marco para los posteriores trabajos relacionados con la geoinformación, se acondicionaron las estaciones con centrado forzoso, siendo preciso el estacionamiento en ellas con basada. De esta forma, se minimiza el error de estacionamiento, tanto para la observación en sí como para los futuros trabajos. Adicionalmente, se han tomado una serie de puntos de control, que se corresponden con las pertenecientes al proyecto REGENTE (REd GEodésica Nacional por Técnicas Espaciales), de forma que se puedan determinar parámetros de transformación precisos y únicos para todo el Territorio. Cabe reseñar que las estaciones REGENTE son las establecidas por el IGN: éstas disponen de centrado forzoso y hay una por cada hoja del MTN50. Además de disponer de la red de estaciones GPS activas y pasivas, se observaron estaciones fuera del Territorio, de forma que, además de servir de marco geodésico y topográfico de precisión para el Territorio Histórico de Gipuzkoa, se cumplen los siguientes objetivos fundamentales:

• Cubrir todo el Territorio con un marco de referencia preciso.

• Garantizar enlaces geodésicos con Territorios adyacentes. • Obtener parámetros de transformación precisos y comunes para todo el Territorio.

1.2- Materiales y métodos de trabajo. Dadas las precisiones exigidas, y los objetivos del proyecto, es fundamental que los vértices sean estables y que el error de estacionamiento sea mínimo. Por ello, se ha diseñado una placa de acero inoxidable con tres cuñas, de forma que el estacionamiento se realiza sobre una basada. En la figura 1, se adjunta una imagen de una de las placas diseñadas. Las placas se adhirieron a los hitos de hormigón con resina de epoxi, garantizándose así su estabilidad. Se optó por este tipo de señalización debido a que los hitos tienen en su parte más elevada una placa de fundición, que hizo que cualquier otro tipo de solución no fuera tan adecuada.

Figura 1.- Placas de acero inoxidable diseñadas. La distribución de la red de estaciones GPS, se ha diseñado, tal y como ya se ha comentado con anterioridad, para que desde cualquier punto del Territorio Histórico de Gipuzkoa se disponga de una de las estaciones GPS a una distancia inferior a 10 km. Además, se tuvo muy en cuenta el acceso, de forma que es posible acceder a la gran mayoría de las estaciones GPS en vehículo, muchas veces incluso en turismo. En el apartado 1.3, se adjunta información más detallada acerca de la situación general de la red y de las estaciones que la componen. Respecto a la observación en sí, se contó con siete antenas GPS, todas ellas bifrecuencia de doce canales en código y fase:

• 4 antenas GPS modelo Leica 520, con antenas AT502. • 2 antenas GPS modelo Leica 9500 SR, con antena AT202. • 1 antena modelo Leica SR530, con antenas AT502.

Los tiempos de observación fueron variables, pero todas las estaciones han sido observabas al menos durante 2 días, en sesiones de 7 a 8 horas, como mínimo. Hay que destacar que algunas estaciones se han observado hasta 9 días.

En la tabla 1, se adjunta una relación con el nombre de cada estación y el número de días en que dicha estación ha sido observada.

Estación Días de observación

Estación Días de observación

Aitzorrotz 2 Itxumendi* 9 Ametzmendi 4 Larrezkondo 2

Arrate 2 Mendizorrotz* 9 Artxueta* 4 Oitz* 3 Añugaña 2 Onddy 2

Belar 2 Pagoetagaña* 4 Bianditz* 4 San Telmo* 6

Garagartza 2 Urbina* 5 Intxorta Txiki 2 Usurbe 2

Iturregi* 6 Zubeltzu 2

Tabla 1.- Días de observación en cada estación. Como se puede apreciar en la tabla 1, los puntos de control son los que se han observado durante más tiempo. Esto se debe a que por un lado, son las más alejadas de la estación activa y, por otro lado, a que el ajuste se realizó constreñido a dichas estaciones. Desde estos puntos de control, se formaron polígonos, de forma que el resto de las estaciones se encuentran a distancias muy cercanas de las de control.

Figura 2.- Configuración de las observaciones de los puntos de control.

Figura 3: la red de estaciones GPS activas y pasivas. Una vez se calculó esta red, se procedió a calcular, tomando ésta como red de estaciones fijas, el resto de las estaciones que componen la totalidad de la red de estaciones GPS activas y pasivas. Como se puede apreciar en la figura 3, la red queda compuesta por 5 polígonos, cuyos vértices quedan perfectamente definidos con una gran redundancia de observaciones. Independientemente de la configuración de la red, de las observaciones,... es imprescindible proceder de esta forma para evitar, en la medida de lo posible, sistematismos. Las observaciones GPS realizadas en épocas comunes no son insesgadas (Craymer et al, 1992). Por este motivo, al calcular las coordenadas con diferentes sesiones, se consigue eliminar los posibles sesgos para que, el ajuste mínimos cuadrados sea insesgado: es la mejor estimación lineal insesgada mínima varianza (Sevilla, 1985).

1.3- Localización. La red se ha materializado en el Territorio Histórico de Gipuzkoa y en sus Territorios adyacentes. En la figura 4 se adjunta un mapa donde se muestra la distribución de las estaciones GPS: los puntos de control y la antena fija GFA se muestran en color rojo y las estaciones pasivas, en azul.

Figu

ra 4

.- M

apa

de s

ituac

ión

gene

ral.

Asimismo, en la tabla 2 se detalla cada estación con sus características y su acceso. Con * se indican las estaciones pertenecientes a REGENTE. En dicha tabla, se muestra la funcionalidad de la red, ya que la gran mayoría de las estaciones son accesibles en turismo. Para una descripción más detallada de cada una de las estaciones, consultar el Anexo I.

ESTACIÓN MUNICIPIO ACCESO Aitzorrotz Eskoriatza Vehículo TT. Ametzmendi Zarautz Turismo, y caminar 10’, o vehículo TT. Arrate Eibar Turismo. Artxueta* Turismo, último tramo con dificultad. Añugaña Azpeitia Turismo, y caminar 5’. Belar Oñati Turismo, y caminar 5’, o vehículo TT. Bianditz* Oiartzun Turismo y caminar 30’. Garagartza Amezketa Turismo. Intxorta Txiki Elgeta Turismo y caminar 25’, o TT y caminar 5’. Iturregi* Gaztelu Vehículo TT. Itxumendi* Azkoitia- Bergara Turismo. Larrezkondo Idiazabal Turismo y caminar 5’. Mendizorrotz* Donostia Turismo. Oitz* Vehículo TT, o turismo (algo complicado). Onddy Urnieta TT por cortafuegos, o andar 30’ Pagoetagaña* Itziar Turismo y caminar 5’. San Telmo* Hondarribia Turismo. Urbina* Vehículo TT, o turismo (algo complicado). Usurbe Beasain Turismo. Zubeltzu Ventas de Irún Vehículo TT, complicado con lluvia.

Tabla 2.- Estaciones seleccionadas.

2.- Desarrollo del trabajo. Debido a que el trabajo trata sobre la precisión GPS, es necesario hacer una introducción a este sistema de posicionamiento, de forma que, posteriormente, permita abordar los cálculos a realizar. Se puede encontrar información más detallada en Hofmann-Wellenhof et al. (1992) y en Leick, A. (1994). 2.1- El sistema de posicionamiento global GPS. 2.1.1- Introducción. El sistema GPS está constituido por tres segmentos bien diferenciados:

Figura 5.- Esquema de los segmentos que conforman el GPS 2.1.1.1- Segmento espacial. Comprende la constelación NAVSTAR, que en su época de total operatividad estará formada por veinticuatro satélites (Seeber, 1993), todos ellos en órbitas casi circulares (e=0,01), con una altitud media de 22.200 km y un período de doce horas sidéreas. Los satélites se distribuirán en seis planos orbitales, con una inclinación de 55º respecto al ecuador, conteniendo cada plano cuatro satélites. Esta configuración asegurará que sobre el horizonte de cualquier lugar de la Tierra serán simultáneamente visibles entre 4 y 7 satélites, permaneciendo aquellos que sean cenitales más de cinco horas sobre el horizonte de la estación, por lo que tal constelación permitirá la continuidad de la observación -mínimo de cuatro satélites - durante las veinticuatro horas del día. La señal radiodifundida es una señal de amplio espectro (Spread Spectrum S.S), que dificulta las interferencias y asegura las comunicaciones. Cada satélite de la constelación NAVSTAR transmite tres señales de radio, con amplitud estable que no requieren en la etapa receptora, un control automático de ganancia (Automatic Gain Control):

• L1 a 1575,42 Mhz • L2 a 1227,60 Mhz

Existe una tercera frecuencia (L3), 1381,05 Mhz, que no se emplea para usos civiles en los sistemas de posicionamiento.

Se expresan con la letra L porque los valores están comprendidos en la banda L de radiofrecuencia que abarca desde 1 Ghz hasta 2 Ghz. L1 es el resultado de multiplicar la fundamental generada por el oscilador atómico (10,23 Mhz) por 154 y tiene una longitud de onda de 19,05 cm. La segunda portadora L2 usa el factor 120 y una longitud de onda de 24,45 cm.

Figura 6.- Datos difundidos por el satélite.

Sobre las dos portadoras L1 y L2 se envían modulados en fase dos códigos llamados C/A y P y un mensaje de navegación (NAVMES). Los códigos y el mensaje son una secuencia de dígitos binarios (ceros y unos) denominados Chips. Los códigos permiten realizar posicionamientos, mientras que el mensaje aporta información a los usuarios del sistema. El código C/A o código S (Standard Positioning Service) consiste en una modulación sobre la portadora L1, con una frecuencia de 1,023 MHz y una repetición de 1.023 bits cada milisegundo, El código P, designado también como PPS (Precise Positioning Service), modulado sobre las dos portadoras Ll y L2, consiste en una larga secuencia (10-14 bits) de modulaciones con una frecuencia de 10,23 MHz y una duración de 267 días (38 semanas), aunque se modifica todas las semanas, y dividida de forma tal que cada satélite tiene asignada una única fracción de una semana del código, que no puede solaparse con la asignada a otro satélite y que sirve para caracterizarlo. Un elemento en la secuencia del código corresponde, por tanto, a un intervalo de tiempo de unos 100 nanosegundos, lo que equivale a 30 m en distancia, si bien la resolución puede incrementarse a nivel submétrico por interpolación. El código P queda absolutamente reservado por el DoD para los usuarios autorizados, en general, militares –Fuerzas Armadas de USA, de NATO o Australians Defense Forces- y, excepcionalmente, civiles -Defense Mapping Agency, National Geodetic Survey-. Mediante el empleo de la técnica conocida como Anti-Spoofing (A-S), el código P es transformado en el denominado código Y, impidiendo tanto el acceso a los usuarios no autorizados como posibles perturbaciones contra los usuarios autorizados, quienes pueden eliminar el efecto A-S y obtener la máxima precisión que en

tiempo real permite el GPS; es decir, un posicionamiento absoluto instantáneo en 16 m (SEP), Caturla (1998). La mayoría de los receptores civiles utilizan el código C/A para obtener la información del sistema. Los receptores de mayor precisión y los militares emplean también el código P. El mensaje de navegación (NAVMES) contiene los datos para poder llevar a cabo los cálculos en la determinación de las coordenadas de los puntos en los que esté situada la antena del receptor. Se designa como NAVDATA, y está modulado en fase sobre ambas portadoras (L1 y L2) con una frecuencia de 50 bites por segundo. Y una duración de 12 min y 30 seg; contiene información sobre efemérides, estado de los satélites, almanaque, parámetros del reloj y modelo ionosférico (Wells et al., 1986). Por tanto, básicamente y de una forma muy simplificada, se podría ver el posicionamiento absoluto GPS como una intersección inversa respecto de los satélites que se encuentran sobre el horizonte en un momento dado. 2.1.1.2. Segmento de control. En la actualidad queda constituido por cuatro estaciones de rastreo y seguimiento, (monitor stations) y una estación principal (master control station). Las primeras realizan un seguimiento permanente de la constelación NAVSTAR, en las frecuencias que éstos emiten, y proporcionan datos precisos de las órbitas a la estación principal. La estación principal calcula las efemérides de los satélites y los coeficientes de corrección de los relojes y los transmite a las estaciones de rastreo y seguimiento. Éstas transmiten los datos a cada uno de los satélites al menos una vez al día. 2.1.1.3.- Segmento usuario. Este segmento queda constituido por todos los equipos, permanentes u ocasionales, utilizados para la recepción de las señales emitidas por los satélites y empleados para el posicionamiento (estático o cinemático) o para la precisa determinación de tiempo. En general, se conoce como receptor GPS un equipo constituido por una antena con preamplificador para captación de las señales emitidas por los VS y un receptor integrado por los elementos físicos y lógicos necesarios para el control, seguimiento, registro, almacenamiento y visualización de los datos, cálculos pre y post observación, presentación de resultados, etc. Algunos receptores (geodésicos) llevan incorporado en su interior el calculador, así como un elemento para registro de datos sobre soporte magnético, en tanto que otros precisan de un ordenador exterior, generalmente de tipo PC, y unidad de registro. Además, pueden acoplarse otros elementos exteriores, tales como un oscilador atómico, sensores meteorológicos, etc. Básicamente, todos los receptores contienen un oscilador muy estable de cuarzo, si bien tal estabilidad, fijada en el orden de 10-9 es muy inferior a la de los SV. Este oscilador genera una frecuencia fundamental, de la que se derivan todas las que, según el modo de funcionamiento, precise el proceso de medición. Diversas clasificaciones pueden establecerse para los receptores. En una primera clasificación se pueden distinguir:

A partir del tipo de señal que procesan:

• Receptores no codificados (codeless) • Receptores codificados

En función del tipo de canales empleado:

• Multicanales. • Multiplexadores. • Canales conmutados.

2.1.2- Aplicaciones GPS. Aunque concebido con fines eminentemente militares, el GPS resulta accesible a múltiples aplicaciones puramente científicas, abarcando dos aspectos bien diferenciados: Posicionamiento de precisión, muy adecuado para levantamientos geodésicos, geofísicos e hidrográficos, situación de plataformas marítimas e investigación científica. Sistema de tiempo de alta precisión, aplicable a fines de navegación, comunicaciones digitales, metrología e investigación. 2.1.2.1- Posicionamiento. Bajo el concepto de posicionamiento quedan incluidas dos modalidades que requieren diferentes metodologías: Posicionamiento absoluto. En el que se determinan, en general, las coordenadas 3D

del receptor directamente en forma de coordenadas

cartesianas X, Y, Z y, posteriormente, de coordenadas

geodésicas (ϕ, λ h), utilizando como sistema de

referencia el convencional terrestre World Geodetic

System 1984 (WGS 84).

Figura 7.- Posicionamiento

Posicionamiento relativo.

En él se calculan las coordenadas de uno o más

receptores con relación a otro fijo cuyas

coordenadas se suponen conocidas con precisión.

Figura 8.- Posicionamiento En este caso, los errores inherentes al GPS - estados de los relojes, errores de las efemérides, errores por efectos atmosféricos, etcétera- quedan notablemente reducidos al poder correlacionar las observaciones simultáneas entre estaciones. Esta modalidad requiere un tratamiento posterior a la recepción de los datos individuales que ha de efectuarse en un centro de cálculo, por lo que el posicionamiento relativo de precisión se realiza en tiempo diferido 2.1.2.2- Escalas de tiempo. Tiempo Atómico Internacional (TAI): se define por la combinación ponderada de relojes atómicos por parte del International Earth Rotation Service (IERS). La unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el segundo, definido como la «duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de césium 133. Tiempo Dinámico Terrestre (TDT) emplea la misma unidad de tiempo que el anterior y define una escala de tiempo uniforme para el movimiento dentro del campo de gravedad terrestre. Se le conoce oficialmente como Tiempo de Efemérides, por haber sido empleado para la descripción del movimiento orbital de satélites próximos a la Tierra. El TDT se define como

[ ]1184.32 sTAITDT += UT0 es el Tiempo Universal deducido directamente a partir de las observaciones estelares, considerando la diferencia entre el día universal y sidéreo de 3 minutos y 560.055 segundos. UT1 es el Tiempo Universal corregido por la componente rotacional inducida por el movimiento del polo. El UTC es el Tiempo Universal Coordinado cuya unidad es el segundo TAI. Para mantener el sistema estable y exacto es necesario insertar segundos intercalares cuando la diferencia entre UTC y UT1 es mayor de 0,9 s . Por tanto,

[ ]211 dUTUTCUT +=

Para establecer una escala de tiempo para las mediciones a satélites hay que tener en cuenta que no esté influida por las variaciones rotacionales terrestres. Con este criterio, el US Naval Observatory establece una escala de tiempo atómico para estos fines denominado Tiempo GPS, cuya unidad es el segundo atómico internacional. El origen de la escala del tiempo (TGPS) coincide con el UTC el día 6 de enero de 1980 a la 0 h. Pero en este momento el TAI difería del UTC 19 s ; por tanto, el TGPS es equivalente al TAI menos 19 s y mantiene esta desviación constante para que ambas escalas de tiempo atómico se mantengan uniformes y paralelas. El día 6 de enero de 1980 a las 0 h, el TGPS y el UTC eran coincidentes pero como UTC está sujeto a correcciones, a fin de que su diferencia CM UT1 no sea superior a 0,9 s , paulatinamente se van incrementando las diferencias entre TGPS y UTC. El motivo de una definición de tiempos tan precisa, exacta y accesible se debe a la necesidad en la determinación del retardo en la propagación entre estaciones terrestres para poder obtener así su posición, y al hecho de poder transmitir en tiempo instantáneo de alta precisión (hasta 1000 ns ), inalcanzable con otros sistemas de radio-recepción. 2.1.3- Técnicas de medición GPS. Las características propias de las señales emitidas por los SV (satélites) y las relativas a la configuración instantánea de la constelación NAVSTAR -número de SV sobre el horizonte- permiten obtener diversos tipos de observables, que serán tratados con diferentes técnicas de medición. Los observables de posible adquisición son:

o Pseudodistancia. o Medición Doppler (no se va a tratar). o Medida de diferencia de fase o interferométrica.

2.1.3.1- Pseudodistancias.

Código recibido del satélite

Réplica del código generado en el receptor

Retardo (Medida de Pseudodistancia)

Figura 9.- Código GPS recibido frente al generado. Esquemáticamente, la técnica de posicionamiento por medidas de pseudodistancias consiste en la determinación de un valor aproximado de la distancia SV-RC, en función del tiempo que una determinada marca de tiempo tarda en llegar desde el satélite al receptor. Si los relojes del SV y del RC estuviesen exactamente sincronizados, es decir, su estado relativo en el momento de la medida fuese igual a cero, el intervalo medido en el reloj del receptor desde la salida hasta la llegada del impulso, una vez corregido de las perturbaciones sufridas por la trayectoria, proporcionaría el valor de la distancia al ser escalado por la velocidad de la luz. Si esta determinación se efectúa simultáneamente sobre tres o cuatro satélites bajo los mismos condicionamientos, por un simple problema de resección -intersección inversa de distancias o de las esferas con centro en el satélite y radio igual a cada distancia-, tan empleado en navegación, se obtendría la posición de la estación con una precisión función de las distancias, es decir, de la relativa a la medida del tiempo de tránsito. En la realidad no se cumple la hipótesis considerada, puesto que existe un estado relativo entre los dos relojes o, lo que es lo mismo, un estado de cada reloj con relación a GPS TS. Por lo que se refiere a las perturbaciones introducidas durante la trayectoria -retardos ionosférico y troposférico, interferencias, etc.-, se supone han sido eliminados. Como consecuencia de la existencia de los estados de los relojes, el intervalo de tiempo medido en el reloj del receptor -mediante la correlación del código recibido y la respuesta generada en RV- proporciona un valor falso del tiempo de tránsito, obteniéndose a partir del mismo un valor erróneo de la distancia, que es designado como «pseudodistancia», representada por:

( ) [ ]3ij

ij tTcP −⋅=

y refiriendo las dos escalas de tiempo a GPS ST y teniendo presente que, en dicha escala de tiempo, a un momento de recepción t corresponde un momento de emisión , se puede escribir cPt i

j /−

[ ] ( ) [ ]4/ jii

jii

jjij ETEtcPEtcPtETtcP −⋅+=++−−⋅=

donde se aprecia que la diferencia entre la distancia geométrica y la pseudodistancia es precisamente la diferencia de estados multiplicada por la velocidad de la luz. Representando esta diferencia de estados por E∆ se obtiene

[ ]5EcDP ij

ij ∆⋅+=

Generalmente, el estado del reloj del satélite puede calcularse a partir de los datos radiodifundidos en el mensaje de navegación y, en consecuencia, ser eliminado de (5), con lo que resulta

it∆

[ ]6EcDP ij

ij ⋅+=

donde E representa, para simplificar la notación, el estado del reloj RC. Sean

:,, ZYX ddd correcciones más probables a los valores aproximados de las coordenadas Xj, Yj, Zj del centro eléctrico de la antena. dE : corrección al estado del reloj del receptor.

iii ZYX ,, : coordenadas del satélite deducidas de las efemérides.

Supuesta una observación casi simultánea (dentro del error residual de calibración de los canales del receptor) sobre un mínimo de cuatro satélites, para cada uno de ellos se obtiene una relación de observación de la forma (Caturla, 1988):

[ ]70=++++++ vppdEdEdpdz

dZdpdy

dYdpdx

dXdp oc

donde

( ) ( ) ( )[ ] [ ]82/1222 i

ji

ji

jc ZZYYXXp −+−+−=

y la pseudodistancia observada. cp Un mínimo de cuatro estaciones como (7) permite calcular las cuatro incógnitas dx, dy, dz; dE en un instante determinado. Una observación continuada de varias horas (dos o tres en general), en la que se efectúan cálculos de las incógnitas cada poco tiempo, da lugar a un sucesivo refinamiento del valor de las incógnitas relativas a la estación, introduciendo cada vez como valores aproximados los obtenidos en la anterior determinación, y continuados valores del estado del reloj de RC, de los que se deducen la marcha y el movimiento del mismo. El método de pseudodistancias es el utilizado para el posicionamiento en tiempo real. As¡ mismo, en posicionamiento relativo, se emplea para el cálculo de las coordenadas muy aproximadas de la estación y los parámetros del reloj del receptor, valores que se utilizan para las más precisas observaciones de diferencias de fase. 2.1.3.2- Medida de la fase de la portadora. Este método, conocido abreviadamente como «diferencia de fase», consiste en medir la diferencia de fase entre las frecuencias entrante y generada tomando como referencia la del RC. La medida de fase puede ser procesada mediante diferentes algoritmos que utilizan como observables la pura medida de fase, la «simple diferencia», la «doble diferencia» o la «triple diferencia», dando lugar a diversas técnicas -fundadas todas en el auténtico observable básico que, debidamente ponderadas, deben conducir a idénticos resultados. El proceso sólo es aplicable a posicionamiento relativo, es decir, a la determinación de los vectores ∆X, ∆Y, ∆Z, componentes de la base. 2.1.3.2.1-Observable pura medida de fase.

Figura 10.- Observable pura medida de fase

Sea el instante en tiempo GPS ST, simiultáneo con la época del reloj del receptor, en que se

recibe una señal con fase procedente del satélite i , emitida en el momento GPS ST, simultáneo con la época del reloj del satélite (Caturla, 1988).

t jTiϕ ot

it Según se deduce de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell (Remondi), la fase de recepción de la señal es la misma con que fue emitida en el momento , es decir,

iϕit

( ) ( ) [ ]9tt iii ϕϕ = Aunque la señal se transmite continuamente y, en teoría, se recibe constantemente, es posible imaginar que sólo un ciclo ha sido transmitido y más tarde recibido. A causa del movimiento relativo SV-RC, el satélite se acercará o alejará de RC durante la emisión de este ciclo, lo que se denota en un cambio de la longitud de onda (y de la frecuencia) de la señal en propagación. Este cambio es el denominado “efecto Doppler”. Aunque una variación de la distancia modifica el espaciamiento entre picos (máximos), no influye en el vuelo de un pico, argumento que se mantiene para todas las fases. Por consiguiente, la fase propiamente dicha no resulta afectada por el movimiento, solamente la longitud de onda. Esto demuestra que una fase instantánea de la portadora, observada y recibida, puede considerarse como un evento que tiene asociado un tiempo de transmisión preciso y definido, es decir, la fase en el momento de la recepción es la misma que la fase en el momento de la transmisión. Ignorando los retardos atmosféricos y relativistas y las posibles pérdidas de señal y designando por la distancia geométrica o recorrido de la señal entre el satélite y el receptor, puede escribirse

ijp

( ) ( ) ( ) [ ]10ijjj

iiij NTtt +−= ϕϕφ

donde ϕ representa la fase de una onda, φ la diferencia de fase o señal ya batida, y es un número entero.

ijN

Teniendo en cuenta los estados de los relojes y la invariabilidad de los mismos en el corto tiempo de la transmisión de la señal

( ) ( ) ( ) [ ]11/ ijjj

ij

iiij NETtcpEttt +−−−−= ϕϕφ

Dada la alta estabilidad de los relojes puede aceptarse ( ) ( ) [ ]12tfttt ∆⋅+=∆+ ϕϕ

con una precisión superior a 0,01 ciclo en un segundo. En consecuencia, de (1) se deduce

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]13/

/

ijj

iijj

i

ijjj

ij

iiij

NETEtfcfptt

NfETtcfpfEttt

+−−⋅−−=

=+⋅+−⋅−⋅−=

ϕϕ

ϕϕφ

ecuación referida toda ella a tiempo GPS ST, época de la recepción de la señal, es decir, de la medida de la fase. La ecuación (13) representa un modelo instantáneo del observable pura medida de fase, en la que quedan incluidos los estados del reloj de RC y SV. El , conocido bajo la designación de «ambigüedad», corresponde al número entero de ciclos, desconocido, que constituyen la onda portadora comprendida entre SV y RC, desde el momento en que es radiada hasta aquel en que es batida. En consecuencia, no contiene la fracción de ciclo -auténtica magnitud medida- sino únicamente ciclos enteros. En el momento de recibirse la señal, una vez

ijN

sincronizado el satélite, un contador de ciclos se pone automáticamente en funcionamiento y comienza a contar ciclos enteros de la señal batida durante el seguimiento ininterrumpido del satélite. Este contador puede encontrarse a cero en el momento que se desee comenzar la medida o tener ya un valor entero y desconocido que puede designarse como «error de cero» (Ec). Si en la primera medición

, en una posterior medición se habrá incrementado exactamente en el número de ciclos enteros recibidos durante el intervalo transcurrido, valor que será medible, permaneciendo desconocido el inicial. Para abreviar las notaciones, se supone que el contador está puesto a cero con lo que evitamos introducir una variable más cuyo valor es indiferente por permanecer constante a todo lo largo de la medida. Igualmente, durante toda la sincronización, el valor inicial desconocido permanece inalterable. Pero su conocimiento es necesario para lo cual puede procederse mediante el empleo de algoritmos que lo eliminan de las ecuaciones o puede calcularse, siendo un procedimiento muy utilizado la cuenta Doppler.

cC

EcNNC ijc +== ~

ijN

Si durante la observación, por causas atribuibles a un defectuoso funcionamiento del receptor o a obstáculos que se interpongan en la trayectoria, se produce una momentánea pérdida de señal con posterior recuperación, el contador no registra en ese intervalo, produciéndose el fenómeno conocido como «pérdida de ciclos» (cycle slip) que da lugar a uno de los más graves problemas asociados a esta técnica de medida. En tal caso, la ambigüedad adquiere un valor diferente al real, lo que se detecta en el registro de datos como un brusco salto en el historial de la fase de la portadora y que debe resolverse tras un análisis y bien ser corregido manualmente, bien ser eliminado mediante un adecuado proceso de cálculo. En la formulación establecida en este apartado se supone que el problema de la pérdida de ciclos ha sido superado.

cC

Como se aprecia en la ecuación (11), el número total de incógnitas es muy elevado, debiendo acudir los programas de cálculo a los necesarios artificios para la eliminación de las pérdidas de ciclos y la medición, por técnicas como las anteriormente mencionadas, de los estados de los relojes y de las ambigüedades, recurriendo a un gran número de observaciones reiteradas cada poco tiempo, por ejemplo cada 15 segundos, sobre cuatro o más satélites simultáneamente, para, de esta forma, calcular los valores ajustados de las componentes del vector interestaciones ya que, esta técnica sólo se aplica para posicionamiento relativo. Si se establece la hipótesis de que en (13) no existen más errores que los en ella reflejados, es decir, que las coordenadas de los satélites son suficientemente precisas, que no hay errores de propagación, que todos los satélites son simultáneamente visibles desde las dos estaciones y que no existe pérdida de señal, para dos estaciones, j = 1,2, cinco satélites, i = 1, 2, 3, 4, 5 y 100 observaciones continuadas, se obtienen: 2 x 5 x 100 = 1.000 ecuaciones con seis incógnitas en coordenadas (3 por estación), 200 incógnitas de estados de reloj (100 por estación), 500 incógnitas de estado de reloj (100 por SV) y 10 ambigüedades, es decir, 716 incógnitas, lo que indica que, en las condiciones establecidas, el sistema es superabundante. 2.1.3.2.2 Simple diferencia de fase. Conocido también como primera diferencia (Caturla, 1988), se define este método como la diferencia entre dos lecturas simultáneas de la fase de la portadora batida de un mismo satélite i en dos estaciones diferentes j,k, cuya posición relativa trata de determinarse, es decir

[ ]14,ij

ik

ikj φφφ −=

donde los observables son precisamente las fases batidas en cada estación, procedentes de aplicar la ecuación (13) en cada una de ellas. Sustituyendo en (14) los valores obtenidos desde (13), se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]15/,ij

ikjk

ik

ijkj

ikj NNETETfcfpptt −+−⋅+⋅−+−= ϕϕφ

ecuación en que ha quedado eliminada la incertidumbre del estado del reloj del satélite, apareciendo sin embargo el estado del reloj en la nueva estación k así como su ambigüedad correspondiente. De forma extractada puede representarse la ecuación por

( ) [ ]16/ ,,,,,i

kjkji

kjkji

kj dNfdETcfdptd −⋅−⋅+= ϕφ obteniéndose una similar para cada satélite observado y cada instante de observación (figura. 10).

Figura 11.- Simple diferencia de fase.

También se conoce bajo esta denominación de simple diferencia de fase la ecuación obtenida por diferencia de dos ecuaciones (13) de pura fase procedentes de la observación simultánea desde una estación j sobre dos satélites i = 1, 2, en la cual desaparece la incertidumbre del estado del reloj de la estación pero se introduce el estado del reloj del nuevo satélite. Es metodología tradicional considerar como primera diferencia la representada por las ecuaciones (15) y (16). 2.1.3.2.3. Doble diferencia de fase. Designada a veces como segunda diferencia (Caturla, 1988), se obtiene mediante la diferencia de dos simples diferencias simultáneas desde las dos estaciones j y k sobre dos satélites i = 0 1,2 (figura 11).

Figura 12.- Doble diferencia de fase.

Aplicando la fórmula (16) a los satélites 1 y 2 en la misma época, se deduce

[ ] [ ]171 1,

2,

2,

1,

11,

22,

1,

2,

2,1, kjkjkjkjkjkjkjkjkj dNdNfdEfdEfdpfdp

c−+⋅+⋅−⋅−⋅=−= φφφ

Por definición, las dos frecuencias y correspondientes a las portadoras L1 de ambos satélites son idénticas dentro del margen de alta definición de los osciladores de los satélites NAVSTAR, por lo que la ecuación (17) se reduce a

1f 2f

( ) [ ]18// 2,1,

2,1,

1,

2,

1,

2,

1,

2,

2,1, kjkjkjkjkjkjkjkjkj ddNcfddpdNdNcfdpdp +⋅=−+⋅−=−= φφφ

ecuación en la que han desaparecido las incertidumbres relativas a los estados de los relojes de las estaciones y que, en consecuencia, es mucho más sencilla de tratar, razón por la cual es la utilizada masivamente por todos los logicales que actualmente se encuentran en uso, quedando reducidos los términos del segundo miembro a la diferencia combinada de ambigüedades. Por lo tanto, la incógnita no relativa al vector de la base tiene carácter de sistematismo, dada su naturaleza entera. Si por algún procedimiento puede determinarse este valor entero, todo sesgo en la solución queda eliminado, incrementándose la precisión en la obtención de las incógnitas de posicionamiento. 2.1.3.2.4. Triple diferencia de fase. Diferenciando dos dobles diferencias correspondientes a las mismas estaciones y satélites, pero observados en épocas diferentes –aunque muy próximas- se obtiene el observable denominado triple diferencia (figura 12).

Figura 13.- Triple diferencia de fase.

Para j = j, k; i = 1, 2 y t = 1, 2, de (18) se deduce

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ]19/ 12,1

,22,1

,12,1,2

2,1,1

2,1,2

2,1,2,1

2,1, tddNtddNcftddptddpttt kjkjkjkjkjkjkj −+−=−= φφφ

donde, por la propia naturaleza de (Caturla, 1988), ijN

( ) ( ) [ ]2012,1

,22,1

, tddNtddN kjkj = por lo que, en definitiva, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]212,12,1,1

2,1,2

2,1,2,1

2,1, tdddpttt kjkjkjkj =−= φφφ

ecuación en la que quedan eliminadas las ambigüedades, por lo que las únicas incógnitas que permanecen son las referentes al vector de posición relativa, pudiendo el sistema ser resuelto con facilidad.

2.1.3.2.5. Combinación lineal L3, “libre de ionosfera”. La combinación lineal:

L 1

f f(f L f L )3

12

22 1

21 2

22=

−⋅ ⋅ − ⋅ , [22]

se conoce como “libre de ionosfera”, ya que el efecto ionosférico se elimina (Leick, 1994). Para la medida de código, se obtiene:

P 1

f f(f P f P )3

12

22 1

21 2

22=

−⋅ ⋅ − ⋅ , [23]

Considerando las dobles diferencias en la medida de fase y sin tener en cuenta el efecto troposférico ∆ρkl

ij, la combinación L3 viene expresada por: Lij

3kl= ρklij + Bij

3kl, [24] donde el parámetro “libre de ionosfera”, Bij

3kl, se puede expresar como:

)nfn(fff

1B ij2kl2

22

ij1kl1

212

22

1

ij3kl ⋅⋅−⋅⋅⋅

−= λλ [25]

2.1.3.2.6- Órbitas de los satélites: efemérides precisas. Hasta 1.992 la calidad de las órbitas se consideraba como un factor clave para limitar la precisión del GPS, hasta que, a partir de Junio de 1.992, empezó a operar el IGS. Hoy día se pueden obtener órbitas con una precisión sin precedentes en un intervalo de 13 días tras la observación. A continuación se adjunta una tabla donde se muestran los distintos tipos de órbitas disponibles:

Órbita Precisión (m) Disponibles en Disponibles en Transmitida 3,00 Tiempo real Mensaje de navegación CODE, predichas 0,20 Tiempo real CODE (ftp) CODE, rápidas 0,10 16 horas CODE (ftp) CODE, finales 0,05 5 - 11 días CODE, IGS IGS, ultra rápidas 0,20 3 horas IGS IGS, rápidas 0,10 19 horas IGS IGS, finales 0,05 13 días IGS

Tabla 3: Tipos de órbitas disponibles y sus precisiones. A continuación se adjunta una fórmula [Bauersima, 1.983], donde se relaciona el error ∆x en una línea base de longitud l, en función de un error orbital ∆X, para una distancia entre el satélite y receptor de 25 km:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2625

1 mXkmlmXd

mx ∆⋅≈∆⋅≈∆

A continuación se adjunta una tabla, basada la anterior fórmula, donde se reflejan las estimaciones de error para distintas longitudes de líneas base y errores orbitales:

Error en la órbita (m)

Long. LíneaBase (km)

Error en la líneabase (ppm)

Error en la línea base (mm)

2,5 1 0,1 - 2,5 10 0,1 1 2,5 100 0,1 10 2,5 1000 0,1 100 0,05 1 0,02 - 0,05 10 0,02 - 0,05 100 0,02 0,2 0,05 1000 0,02 0,2

Tabla 4: Error para distintas longitudes de líneas base y errores orbitales. 2.2- Trabajo de campo. Las observaciones se realizaron con algunas incidencias a destacar. En primer lugar, la observación se llevó a cabo entre los meses de Octubre y Noviembre de 2.002, por lo que las condiciones meteorológicas a priori no son las más adecuadas: durante estas fechas se produjeron grandes tormentas, acompañadas de rachas de fuerte viento en ciertas zonas. Todo esto hizo que la observación o campaña de campo no fuera todo lo continua que debiera haber sido, por lo que la campaña de campo se prolongó para poder conseguir la precisión exigida. Las estaciones, cuyas observaciones continuas son menores de 6 horas, no se han tenido en cuenta en el cálculo final. En las figuras 14, 15 y 16 se observan los diferentes tiempos de observación para cada estación, organizados por semana GPS:

Figura 14.- Ventana de observación de la semana GPS 1190.

Figura 15.- Ventana de observación de la semana GPS 1191.

Figura 16.- Ventana de observación de la semana GPS 1192.

En todas las sesiones de observación se almacenaron datos cada 10 segundos, con una máscara de elevación de 10º. En cada base, adicionalmente, se anotaron todas las lecturas de altura y constantes de las antenas, para obtener las excentricidades sobre la vertical y también se anotaron valores de temperatura, humedad relativa y presión atmosférica para poder realizar correcciones meteorológicas, en caso de necesidad, en el cálculo con software científico. Debido a que el software convencional no suele considerar dichas variables para sus cálculos, para poder comparar los resultados de este software con el científico, no se han utilizado dichas variables.

De esta forma, los resultados obtenidos con software convencional y científico quedan sujetos a los algoritmos y modelos adoptados, no a la introducción de las variables meteorológicas. Sin embargo, cabe destacar que el programa científico utilizado “Bernese” realiza estimaciones troposféricas a partir de las observaciones. Debido a la calidad de los resultados así obtenidos, se procedió a la desestimación de las variables climatológicas antes mencionadas. 2.3- Trabajo de gabinete. Tras lo expuesto, se puede abordar el cálculo de las líneas base GPS con garantías. Cabe destacar que se han realizado varios cálculos en función de la máscara de elevación (15º y 20º), por lo que finalmente se adjunta el resultado con software convencional de máscara 20º, por ser el que mejores resultados han proporcionado. Los cálculos se han realizado con efemérides precisas del IGS. El modelo troposférico utilizado ha sido el de Saastamoinen (1973), tal y como recomienda el IGS y el NOAA/NGS (ver anexo III):

[ ]2705.01255002277.0 2.⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅=∆ ze

Tp

zTrop tan

cos

siendo z el ángulo cenital del satélite, p la presión atmosférica en milibares, T la temperatura en grados Kelvin y e la presión parcial del vapor de agua en milibares. Respecto al efecto ionosférico, éste ha sido eliminado debido a que se ha adoptado la solución L3, es decir el modelo “libre de ionosfera” (ver apartado 2.1.3.2.5). Cabe destacar que ha habido líneas base con grandes diferencias respecto de los valores medios, sobre todo en aquéllas en las que han intervenido los puntos de control Oitz y Artxueta. Las diferencias se han detectado con software convencional, pues con software científico han sido valores normales. Esta circunstancia se pueden deber a:

• Son dos de los vértices más alejados de GFA, o • Están rodeados de estaciones de emisión tanto de televisión como de radio y telefonía.

Sin embargo, son estaciones REGENTE, por lo que se hizo imprescindible disponer de ellas. De cualquier forma, los resultados finales son los esperados, como se observa en el apartado 3. Respecto al ajuste en sí, éste se ha realizado por mínimos cuadrados. En el apartado 2.3.1 se detalla el modelo matemático que el software convencional utilizado emplea, así como las definiciones de fiabilidad, precisión,... que se corresponden con los valores obtenidos para la red. La red ha sido calculada en el marco ITRF2000, para lo cual previamente se calculó la estación activa GFA en dicho marco (véase el apartado 2.3.2.1) Debido a las grandes precisiones a alcanzar y a la necesidad de referir las coordenadas a estaciones globales, es necesario calcular las coordenadas de la red con sumo rigor y con las máximas garantías. Por ello, adicionalmente al procesamiento con “software comercial”, concretamente la versión 2.5 del software SKI- Pro de Leica, se ha calculado la red con software científico Bernese, versión 4.2. Los resultados se adjuntan en el apartado 2.3.2.2.

De cualquier forma, si bien los datos considerados como definitivos son los obtenidos con el software Bernese, se adjuntan los parámetros y modelos utilizados por el software SKI Pro, pues son los que pueden ser tenidos en cuenta para futuras campañas locales. 2.3.1. Ajuste de la red: precisión, fiabilidad y pruebas estadísticas. Software comercial. La nomenclatura utilizada en este apartado ha sido extraída del manual del usuario del software SKI Pro, versión 2.5, de la marca comercial Leica. De esta forma, se exponen los criterios adoptados con ese software en particular. Sin embargo, como ya se ha comentado, la solución definitiva ha sido la obtenida con software científico “Bernese”. 2.3.1.1. Ajuste por mínimos cuadrados. En esta sección se presentan los conceptos básicos del ajuste por mínimos cuadrados, así como los conceptos de modelos matemáticos y estocásticos. Se explican también algunas nociones importantes empleadas en SKI-Pro, tales como valores aproximados, parámetros adicionales que no se aplican muy frecuentemente y ajustes forzados. 2.3.1.1.1. Ajuste por mínimos cuadrados: Consideraciones generales. Entre los geodestas y topógrafos, es una práctica común realizar un mayor número de mediciones que las originalmente planeadas, al establecer una red geodésica. De esta forma, se podrán compensar las observaciones en caso de que algunas de ellas se pierdan, pero (más importante aún) para poder mejorar la calidad de la red. Como consecuencia de estas mediciones adicionales, ya no existe solamente una solución única que satisface las condiciones de la red en forma exacta (por ejemplo, que los ángulos de un triángulo deban sumar 200 gon). Por lo tanto, se requiere de un método para corregir las observaciones, con el fin de cumplir con las especificaciones señaladas. La cantidad en la que cada observación se debe corregir se conoce como residual de la observación. El método de ajuste por mínimos cuadrados provocará que las observaciones entren en el modelo al minimizar la suma de los cuadrados de los residuales de las observaciones. Los residuales están referidos a las correcciones por mínimos cuadrados. Cualquier modelo de ajuste por mínimos cuadrados consiste de dos componentes igualmente importantes: el modelo matemático y el modelo estocástico. El modelo matemático es una serie de relaciones entre las observaciones y las desconocidas. El modelo estocástico describe la distribución esperada de los errores de las observaciones. 2.3.1.1.2. Modelo Matemático. Generalmente en un levantamiento, los observables no constituyen cantidades, las cuales son las que se espera obtener. Más bien, se emplean las observaciones para determinar parámetros desconocidos, como pueden ser las coordenadas de las estaciones en una red. Las observaciones se expresan como una función de los parámetros en el llamado modelo matemático o funcional. En algunos casos, el modelo que representa las relaciones entre los observables y los parámetros desconocidos es muy sencillo. Por ejemplo, la relación en un problema de nivelación en 1 dimensión entre las diferencias de alturas observadas y las alturas desconocidas, es completamente lineal:

Resulta más complicado el caso de una red GPS en la que los elementos desconocidos son las coordenadas (X,Y,Z) a determinar en un sistema de referencia diferente al cual están referidas las líneas base ∆X:

con

α, β, γ, µ como parámetros de transformación. Ya que el método de mínimos cuadrados requiere de ecuaciones lineales, el modelo aquí mostrado se debe hacer lineal. Generalmente, esto significa que se requiere de un cierto número de iteraciones para obtener una solución. Asimismo, también se requiere de valores aproximados en el ajuste para las coordenadas de las desconocidas. Si los valores aproximados son incorrectos, se puede provocar un incremento en el número de iteraciones o, en el peor de los casos, impedir que converjan. Ya que nuestro interés se enfoca en las coordenadas, no siempre se emplean los otros valores desconocidos en el modelo matemático. Valores desconocidos, tales como los parámetros de transformación antes mencionados, se denominan como parámetros adicionales o entorpecedores. Ejemplos de este tipo de parámetros son: los parámetros de transformación, factores de escala, offsets de acimut, orientación de valores desconocidos y coeficientes de refracción. Algunos de estos parámetros se pueden mantener como fijos con un cierto valor, en cuyo caso no se corrigen en el ajuste. La decisión de mantener fijos ciertos parámetros no es sencilla: se debe poner especial cuidado en no ser demasiado estrictos ni dejar demasiados grados de libertad. Un ejemplo de lo anterior es la introducción de coeficientes de refracción, ya que puede resultar en la admisión de efectos sistemáticos que no son causados por la refracción. Sin embargo, el ignorar la refracción, cuando efectivamente ejerce influencia sobre las mediciones, tendrá como resultado un efecto igualmente desfavorable. El éxito de lo que podría llamarse “equilibrar” el modelo, dependerá mayoritariamente de la experiencia del usuario. En SKI-Pro se puede estimar un factor de escala para las mediciones de distancia. El objetivo de introducir un factor de escala en el ajuste consiste en evitar un posible sesgo en la escala interna del equipo de medición y, en términos más generales, prevenir una limitación exagerada de la red durante un ajuste libre. Un factor de escala libre 'encogerá' o 'extenderá' la red para que esta se adapte a las estaciones conocidas en un ajuste forzado. Como consecuencia, en algunos casos un factor de escala libre puede obstruir la aplicación de pruebas estadísticas sobre las coordenadas conocidas. Las coordenadas de una estación conocida pueden quedar fuera de los límites promedio y no detectarse cuando, debido al efecto de 'encoger' o 'extender' la red, esta siga siendo forzada a adaptarse (sin ningún rechazo) a las estaciones conocidas. El valor en cuestión (que excede los límites promedio) será absorbido por el factor de escala, el cual como consecuencia, tendrá un valor diferente a 1.0 . Por lo tanto, se recomienda analizar el valor del factor de escala después de efectuar el ajuste y, en caso de duda, volver a efectuar el ajuste con una escala fija. El ajuste fallará cuando el modelo matemático, tal como se representa por la matriz de diseño y la matriz normal (véase el apartado 2.3.1.1.5), tenga características de singularidad. La singularidad es causada por:

• un problema de mal diseño o; • un modelo planteado erróneamente.

El problema de un mal diseño consiste en que quizás se espera demasiado de las observaciones, o se incluyeron muy pocas. Un ejemplo de esto es la determinación de coordenadas en dos dimensiones de una estación desconocida mediante la medición de una sola dirección horizontal, a partir de otra estación. Un modelo se plantea erróneamente cuando se incluyen demasiados parámetros. Generalmente, estos modelos no son una representación fidedigna de la realidad. En el caso de soluciones computarizadas mediante mínimos cuadrados, la condición de mal diseño de la matriz N puede derivar en una característica de singularidad. La característica de singularidad es el caso limitante de un mal diseño. Una matriz de mal diseño puede adquirir la característica de 'singularidad' como resultado de los límites internos de precisión del hardware empleado. Un ejemplo de este problema es la intersección de una estación por dos o más direcciones paralelas cercanas a aquella. Además de los problemas mencionados, no es posible resolver un ajuste de observaciones terrestres a menos que se haya establecido la ubicación, la orientación y la escala de la red, es decir, que se haya definido un datum. Esto se logra imponiendo límites a la solución. El número mínimo de límites dependerá de las dimensiones de la red. En una red 3D existen 3 translaciones, 3 rotaciones y un factor de escala. La singularidad se elimina al fijar por lo menos 7 coordenadas de 3 estaciones (Lat1, Lon1, Alt1, Lat2, Lon2, Alt2,Alt3). 2.3.1.1.3. Modelo Estocástico. Una observación geodésica, tal como una dirección, distancia o diferencia de alturas, es una variable aleatoria o estocástica. Una variable estocástica no puede ser descrita por un solo valor exacto, ya que existe una gran incertidumbre involucrada en el proceso de medición. Por ejemplo, al medir repetidamente la distancia entre dos estaciones se obtendrá un amplio rango de diferentes valores. Esta variación se toma en cuenta para calcular la probabilidad de la distribución. Lo anterior significa que, además del modelo matemático, es necesario formular un segundo modelo que describa las desviaciones estocásticas de las observaciones: el modelo estocástico. En el caso de observaciones geodésicas, se asume una probabilidad de distribución normal (Figura 17). Esta distribución se basa en la media µ y la desviación estándar σ.

Figura 17.- Características de la distribución normal

La media µ representa el valor matemático que se espera de la observación. La desviación estándar es una medida de la dispersión o extensión de la probabilidad. La desviación estándar caracteriza a la precisión de la observación (véase Precisión ) Al cuadrado de σ se le llama varianza. Por definición, existe un 0.684 de probabilidad de que las variables estocásticas con distribución normal se encuentren en una región limitada por-σ y +σ. Para la región limitada por-2σ y +2σ , esta probabilidad es de 0.954. En general, la probabilidad de que una variable estocástica tome un valor entre x1 y x2 es igual al área delimitada por la curva y las ordenadas x1 y x2, la cual se representa por el área sombreada de la gráfica anterior. Es posible que dos o más observaciones sean interdependientes o estén correlacionadas, lo cual significa que la desviación de alguna repercutirá en la otra. La correlación entre dos observaciones x y y se expresa matemáticamente por la covarianza σxy . La covarianza se emplea también en el coeficiente de correlación , definida como:

El coeficiente toma valores entre - 1 y + 1: -1 ≤ ρ ≤ 1 Si las observaciones no son interdependientes, ρ = 0. Los elementos vectoriales (DX,DY,DZ) de una línea base GPS constituyen un ejemplo de observables correlacionados. Para expresar dicha correlación, se emplea una matriz de 3x3. En SKI-Pro, esta matriz de simetría es una combinación de desviaciones estándar y coeficientes de correlación:

En esencia, el modelo estocástico consiste en la elección de la probabilidad de la distribución de los observables. Prácticamente, esto significa que para cada observable se elige una desviación estándar σ. El valor de σ estará basado en el conocimiento que se tenga del proceso de medición (condiciones prevalecientes en el terreno, tipo de instrumento empleado) y la experiencia. Se supone que la desviación estándar de la mayoría de los observables presenta una parte absoluta y una parte relativa.

En la parte relativa, se toma en cuenta la dependencia que existe entre la distancia de la estación y el punto a medir, la cual caracteriza la precisión de la mayoría de los observables. Las desviaciones estándar así definidas se ingresan en la matriz de varianza-covarianza Σb (véase 2.3.1.1.5). La precisión de las desconocidas en el ajuste dependerá de la precisión de los observables definidos en Σb , así como de la propagación de esta precisión a lo largo de todo el modelo matemático. 2.3.1.1.4. Ajustes Libres y Forzados. Generalmente, el ajuste de una red se subdivide en dos pasos o fases separados:

• ajuste libre y • ajuste forzado.

Este método tiene como objetivo separar las observaciones sujetas a pruebas de las estaciones conocidas. Un ajuste libre puede definirse como una red cuya disposición geométrica se determina únicamente por las observaciones. La posición, escala y orientación de la red se fijan por un número mínimo de límites, a través de las estaciones base. Por tanto, las estaciones base no imponen límites adicionales a la solución del ajuste. En un ajuste libre de red se hace mayor énfasis en el control de calidad de las observaciones, más que en el cálculo de las coordenadas. Al seleccionar otras estaciones para fijar la posición, la escala y la orientación, las coordenadas se modificarán, pero no así las pruebas estadísticas implementadas en SKI-Pro. Una vez eliminados del ajuste libre los posibles datos que excedan los límites promedio, la red se podrá conectar a las estaciones conocidas. Esto impone límites adicionales a la solución. A partir de este punto, el énfasis se pone en el análisis de las estaciones conocidas y en el cálculo de las coordenadas finales. Existen dos tipo de ajuste forzados: completamente forzado y forzado promediado. La diferencia entre ambos radica en el cálculo de coordenadas. En un ajuste completamente forzado, las coordenadas de las estaciones conocidas conservan su valor original, es decir, no se les aplica una corrección por mínimos cuadrados A este tipo de ajuste se les denomina a veces ajuste por seudo mínimos cuadrados. Por otro lado, en un ajuste promediado se aplica una corrección a las estaciones conocidas. La elección entre uno y otro tipo de ajuste no modifica los resultados de las pruebas aplicadas. 2.3.1.1.5. Fórmulas. El modelo matemático (lineal) es:

b + e = Ax + a donde

b = (m) vector de las observaciones; e = (m) vector de las correcciones;

A = (m x n) matriz de diseño; x = (n) vector de las incógnitas; a = (n) vector de las constantes.

El modelo estocástico es:

Sb = s2Q = s2P-1

donde: Sb = (m x m) matriz de varianza-covarianza; s2 = varianza a-priori de la unidad ponderada; Q = (m x m) matriz del coeficiente ponderado;

P = (m x m) matriz ponderada. El criterio para los mínimos cuadrados es:

etPe = mínimo La solución es:

x = N-1 At P(b - a) s2= etPe/(m - n)

donde: N = (At P A), (n x n) matriz de la normal;

s2= varianza a-posteriori de la unida ponderada. La matriz de varianza-covarianza de las incógnitas:

Sx = s2N-1

Nota : se emplea el valor a-priori s2 , no el valor a-posteriori s2 En el caso de un modelo matemático lineal, la solución para el vector de las incógnitas x queda disponible después de una serie de iteraciones para actualizar Dx de lo valores aproximados:

x = x0 + Dx Después de cada iteración, se compara la nueva solución con la anterior. Si la diferencia entre las dos soluciones satisface el criterio de iteración, el proceso de iteración finaliza y la última solución se considera como la final. 2.3.1.2. Precisión y fiabilidad. El resultado de un ajuste debe ser preciso y fiable. No es suficiente que una observación sea precisa, significando que la repetición llevará a un grado mayor de cercanía. Las observaciones deberán ser también fiables, es decir, cercanas al valor verdadero. La precisión, o en términos más generales, la calidad de una red se puede definir por dos elementos: precisión y fiabilidad. En este capítulo, se revisarán los parámetros que cuantifican la precisión y la fiabilidad. Antes de explicar estos conceptos a mayor detalle, cabe aclarar que la precisión y la fiabilidad son dos nociones independientes entre sí. Un proceso de medición puede ser muy preciso, pero no necesariamente será fiable. Por otro lado, un proceso fiable no siempre será preciso. Al comparar las frecuencias relativas f A y f B de dos procesos de medición A y B (véanse las siguientes figuras), se observa que el proceso de medición A es mejor que el proceso de medición B; ya que el grado de cercanía de las observaciones en el proceso A es mayor. Pero a pesar de que el proceso A es más preciso, no resulta muy fiable. Un error sistemático ha generado un desplazamiento en la distribución de la frecuencia, alejándola del valor µ. El proceso B no es muy preciso, pero definitivamente resulta más fiable, ya que su distribución es más cercana al valor verdadero µ. En esta sección se introducen los conceptos de precisión y fiabilidad, así como las herramientas implementadas en SKI-Pro para el análisis de precisión y fiabilidad en una red.

-

2.3.1.2.1. Precisión En la sección Ajusobservable. Esto edesviación estándaprecisión de una recoordenadas. En SKI-Pro se presLas elipses estándaelipses se pueden cconocen también cencuentre dentro dconfianza es de 0.3factor de 2.5). Las lago del modelo mprecisión entre un semi-eje menor B. se forma entre el selipse estándar relaune a la estación co 2.3.1.2.2. Fiabilida

Figura 18.

Figura 19. -

.

te por mínimos cuadrados , se introduce el concepto de desviación estándar de un s necesario para describir una observación tanto por el valor medido como por la r. La desviación estándar expresa las variables estocásticas de la observación. La d se puede definir como la influencia de las variables estocásticas de la red sobre las

entan las desviaciones estándar a-posteriori de todas las observaciones y estaciones. r se emplean frecuentemente para representar la precisión de las estaciones. Dichas onsiderar como el equivalente en dos dimensiones de las desviaciones estándar y se omo elipses de confianza. Existe un cierto nivel de confianza de que una estación se el área delimitada por esta elipse. En el caso de elipses estándar, el nivel de 9 (para obtener un nivel de confianza de 0.95, los ejes se deben multiplicar por un elipses estándar Absolutas representan la propagación de los errores aleatorios a lo atemático sobre las coordenadas. Las elipses estándar Relativas representan la

par de estaciones. La forma de una elipse se define por el semi-eje mayor A y el La orientación de una elipse estándar absoluta queda definida por el ángulo Phi que emi-eje menor y el eje Y Norte del sistema de coordenadas. La orientación de una tiva se define por el ángulo Psi que se forma entre el semi-eje mayor y la línea que n el punto a observar.

d.

La fiabilidad de una red se puede describir en términos de la sensibilidad para detectar valores que exceden los límites promedio. La fiabilidad se puede subdividir en interna y externa:

• Fiabilidad interna.- se expresa por el Sesgo Mínimo Detectable (MDB). El MDB presenta el tamaño del error mínimo posible de observación, detectable por la prueba estadística (de análisis de datos) con una probabilidad igual al valor β de la prueba. Un valor MDB elevado indica una observación o coordenada pobremente revisada. Por lo tanto, entre más grande sea el valor del MDB, menor será la fiabilidad. Si una observación no está revisada en absoluto, no es posible calcular el MDB y la observación quedará marcada como 'observación libre'.

• Fiabilidad externa.- se expresa por la Relación Señal-Ruido (BNR). La fiabilidad externa se emplea como medida para determinar la influencia de un posible error en las observaciones de las coordenadas ajustadas. El BNR de una observación refleja dicha influencia, mientras que el tamaño del error de la observación se define igual al MDB de esa observación en particular. El BNR es un parámetro sin dimensión que combina la influencia de una sola observación con todas las coordenadas. Se puede proporcionar una interpretación práctica si se considera al BNR como un límite superior de la relación entre la influencia ∇ del MDB de una observación sobre cualquier coordenada x, y la desviación estándar a posteriori σ de dicha coordenada:

En otras palabras: el BNR se puede interpretar como la relación que existe entre la fiabilidad y la precisión. Lo más deseable es que el BNR sea homogéneo a lo largo de toda la red Una cualidad importante tanto del MDB como del BNR es que ambos son independientes de la selección de las estaciones base. Para ilustrar el comportamiento de los parámetros de fiabilidad, analice el ejemplo que se presenta a continuación:

Observación Lectura (m) MDB (m) BNR Prueba W Distancia A-B 1051.426 0.048 10.8 -0.76 Distancia A-B + ∆ 1051.476 0.048 10.8 3.53**

Ejemplo de fiabilidad interna y externa En este ejemplo la distancia A-B es una observación de una red, la cual ha sido ajustada y se le han aplicado pruebas. Como se observa en la última columna de la tabla, esta observación aprobó la prueba que se le aplicó (valor crítico de la Prueba W = 3.29). La fiabilidad interna está dada por un MDB de 0.048 m. Esto significa que probablemente, la Prueba W detectará un error de este tamaño (véase 2.3.1.3.3). Para verificarlo, se introduce un error ∆ de 0.05 m en la distancia A-B. La red se ajusta y se prueba nuevamente, incluyendo este error simulado. Al observar el segundo valor de la última columna, la observación es rechazada por la prueba W debido a que excede el valor crítico. La fiabilidad externa se da por un BNR de 10.8. Esto significa que la influencia del MDB, con un valor de 0.048 m sobre cualquier punto de la red, es 10.8 veces a la desviación estándar de la coordenada. Para los fines generales de la red, es deseable contar con una fiabilidad externa homogénea. En el caso de la red del ejemplo anterior, se considera que es homogénea, ya que los valores BNR de todas las observaciones s encuentran al mismo nivel. Por el contrario, la red no será homogénea cuando el BNR

de, por ejemplo, la distancia A-B, exceda considerablemente el valor BNR de otras observaciones en la red. En ese caso la red será inestable, es decir que la fiabilidad dependerá principalmente de qué tan correcta sea una sola observación. 2.3.1.3. Pruebas Estadísticas. Las pruebas estadísticas tienen como finalidad revisar si el modelo matemático y estocástico (véase apartado 2.3.1.1.1) proporcionan una representación correcta de la 'realidad'. Además, es importante detectar los posibles valores que excedan los límites promedio (debidos a errores gruesos) en las observaciones, los cuales podrían arruinar la precisión que se podría obtener. Es por todo esto que la aplicación de pruebas estadísticas es imprescindible para el proceso de control de calidad. La prueba estadística que aquí se presenta se lleva a cabo simultáneamente con el ajuste por mínimos cuadrados y está basada en el análisis de los residuales de este último. La detección de errores gruesos también se puede efectuar antes de realizar el ajuste, revisando por ejemplo los cierres de poligonal o la numeración correcta de las estaciones. Este tipo de revisiones se consideran como un paso previo al proceso, por lo que no serán objeto de discusión en este punto. En SKI-Pro se llevan a cabo tres pruebas estadísticas: la prueba F, la prueba W y la prueba T. En esta sección se explican los procedimientos que implican, a lo cual antecede una descripción general de pruebas hipotéticas. En los últimos párrafos se presta especial atención a la interpretación de los resultados obtenidos de estas pruebas y de los errores estimados. 2.3.1.3.1. Pruebas Estadísticas: Consideraciones generales. Tanto el modelo matemático como el modelo estocástico están basados en una serie de suposiciones. A esta serie de suposiciones se le denomina hipótesis estadística. Suposiciones diferentes darán lugar a hipótesis distintas, por eso es que se aplican las pruebas estadísticas: para analizar dichas hipótesis. Puede existir también una hipótesis nula H 0, la cual implica que:

• no existen errores gruesos en las observaciones; • el modelo matemático ofrece una descripción correcta de las relaciones que existen entre las

observaciones y los parámetros desconocidos; • el modelo estocástico seleccionado describe en forma adecuada las propiedades estocásticas de

las observaciones. Resulta evidente que se pueden obtener dos resultados al probar una hipótesis: que ésta sea aceptada o que se rechace, lo cual será decidido por un punto de corte específico del valor crítico. El valor crítico establece una ventana de aceptación. Entre más alejado se esté de estos límites, menor será la certeza de que la hipótesis sea cumplida. Los valores críticos se determinan al seleccionar un nivel de significancia α. La probabilidad de que el valor crítico sea excedido, aunque la serie de suposiciones sea válida, es igual a α. En otras palabras, α es la probabilidad de un rechazo incorrecto. Asimismo, el nivel de confianza complementario 1- α, es una medida de la confianza que se puede obtener en esta decisión. Al probar una hipótesis nula H 0 se pueden presentar cuatro situaciones desfavorables:

• Que H 0 sea rechazada, cuando en realidad es verdadera. La probabilidad de que esto ocurra es igual al nivel de significancia ?. A esta situación se le conoce como error de Tipo I (véase la siguiente tabla).

• Que H 0 sea aceptada, cuando en realidad es falsa. La probabilidad de que esto ocurra es de 1-?, donde ? es el poder de la prueba. A esta situación se le conoce como error de Tipo II (véase la tabla siguiente).

SITUACIÓN DECISIÓN: ACEPTAR

H 0DECISIÓN: RECHAZAR

H 0H 0 verdadera Decisión correcta: Error tipo I: probabilidad = 1 - α probabilidad = α H 0 falsa Error tipo II: Decisión correcta: probabilidad = 1 - β probabilidad = 1 - β

En los siguientes apartados se revisan los métodos para probar las hipótesis nulas y las hipótesis alternativas. 2.3.1.3.2. Prueba F. La prueba F es empleada comúnmente en pruebas multi dimensionales para revisar las hipótesis nulas H 0. Se le conoce también como la prueba del modelo completo, ya que lo analiza en forma general. El valor F se establece por la expresión:

F = s 2 / α 2donde

s 2 = factor de varianza a posteriori, el cual depende de los residuales calculados y de la redundancia;

α 2 = factor de varianza a priori. El valor F se confronta con un valor crítico de la distribución F, el cual es una función de la redundancia y el nivel de significancia α. Existen tres fuentes de rechazo, descritas más adelante, que son: los errores gruesos, un modelo matemático incorrecto y un modelo estocástico incorrecto. La información proporcionada por la prueba F, principalmente la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula, no es muy específica. Por lo tanto, si H 0 es rechazada, será necesario encontrar la causa, tratando de encontrar errores en las observaciones o en las suposiciones planteadas. En caso de sospechar que H 0 es rechazada debido a algún error grueso presente en alguna de las observaciones, será necesario aplicar la prueba W. El llamado análisis de datos emplea la prueba W para buscar errores en observaciones individuales. Las pruebas F y W están relacionadas entre sí por un valor común del poder β. Este es el llamado método B de prueba. A continuación, se describe la prueba W y el método B. H0 es rechazada cuando el modelo matemático es incorrecto o no es lo suficientemente detallado. Por ejemplo, si el coeficiente de refracción vertical no es considerado o si las observaciones referidas a datums diferentes se combinan, sin resolver los parámetros de transformación del datum. En este caso, el modelo matemático se debe mejorar, con el fin de prevenir un resultado de poca calidad.

Otra fuente de rechazo consiste en una matriz de varianza-covarianza a priori demasiado optimista. Este tipo de rechazo se puede solucionar fácilmente, incrementando las desviaciones estándar de las observaciones ingresadas. Obviamente, se debe tener presente que el propósito de las pruebas estadísticas no consiste en aceptar todas las observaciones, sino en detectar valores que exceden los límites promedio y errores en los modelos. Cabe aclarar que también puede ocurrir una combinación de las tres fuentes de rechazo antes mencionadas. 2.3.1.3.3. Prueba W. El hecho de que la prueba F rechace los resultados no nos remite directamente a la fuente que originó el rechazo. En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, deberán formularse otras hipótesis que describan un posible error, o combinación de errores. Existe un número infinito de hipótesis que se pueden establecer como alternativa a la hipótesis nula. Entre más complejas sean estas hipótesis, será más difícil interpretarlas. Una hipótesis simple pero efectiva es la llamada hipótesis convencional alternativa, basada en el supuesto de que existe un valor que excede los límites promedio en una sola observación y que el resto son correctas. La prueba de una dimensión asociada con esta hipótesis es la prueba W. Generalmente, el suponer que existe un solo valor que excede los límites promedio, resulta muy cercano a la realidad. Si la prueba F es rechazada, se puede buscar la causa en un error grueso en una sola observación. Para cada observación, existe una hipótesis convencional alternativa, que implica aplicar la prueba en cada observación en forma individual. A este proceso de probar cada observación de la red por la prueba W se le conoce como análisis de datos (datasnooping). La dimensión de la corrección por mínimos cuadrados por sí sola no siempre es un indicador preciso al hacer la revisión de observaciones que exceden los límites promedio. Una mejor forma de hacerlo, aunque solo es adecuada para observaciones no relacionadas, consiste en la corrección por mínimos cuadrados, dividida entre su desviación estándar. Para observaciones correlacionadas, por ejemplo los tres elementos de la línea base, se deberá tomar en cuenta la matriz completa de las observaciones. Esta condición es satisfecha por la prueba W, la cual tiene una distribución normal y es más sensible para detectar un error en una de las observaciones. El valor crítico Wcrit depende de la selección del nivel de significancia α 0. Si W> Wcrit (la prueba W es rechazada), existe una probabilidad de 1- α 0 de que efectivamente, la observación correspondiente se encuentre fuera de los límites promedio. Por otro lado, existe una probabilidad α 0 de que la observación no esté fuera de dichos límites, lo cual significa que el rechazo es injustificado. Generalmente, en geodesia se eligen los valores para α 0 entre 0.001 y 0.05. La siguiente tabla proporciona información general de los valores de α 0 con sus correspondientes valores críticos. La selección dependerá de qué tan estricta y rígida será la prueba que se desea aplicar a las observaciones. Una prueba muy estricta (con un valor crítico pequeño), nos llevará a un valor α 0 más grande y en consecuencia, se incrementará la probabilidad de rechazar observaciones que sean válidas. Un valor de α 0 = 0.001 significa que existe una observación falsa por cada 1000 observaciones. La práctica ha demostrado que este es el mejor valor a escoger.

Nivel de significancia α 0 0.001 0.010 0.050 Valor crítico de la prueba W 3.29 2.58 1.96

Nivel de significancia/valor crítico Para aplicar el método B, es muy importante detectar un valor que exceda los límites promedio con la misma probabilidad tanto en la prueba F como en la prueba W. Para este fin, generalmente se fija el valor del poder β de ambas pruebas en 0.80. Asimismo, también se fija el nivel de significancia α 0 de la prueba W, con lo cual el nivel de significancia α de la prueba F queda como incógnita a despejar. Fijando los valores de α 0 y β, α dependerá principalmente de la redundancia de la red. En redes muy grandes, con muchas observaciones y una redundancia considerable, resulta muy difícil para la prueba F detectar un solo valor que exceda los límites promedio. Ya que la prueba F es un modelo de prueba muy general, no es lo suficientemente sensible para tales fines. Como consecuencia del vínculo que existe entre la prueba F y la prueba W, en las cuales el valor del poder está forzado a 0.80, el nivel de significancia α de la prueba F se incrementará. Considerando lo anterior, es una práctica común llevar a cabo el análisis de datos, sin importar cuál sea el resultado de la prueba F. Durante el análisis de datos, cada observación es probada mediante una hipótesis convencional alternativa en forma individual. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, se puede formular otra hipótesis alternativa. SKI-Pro cuenta con una hipótesis especial, con el fin de detectar los errores de altura de antena en las líneas base GPS. Esta hipótesis se basa en el hecho de que la dirección del error de antena coincidirá con la dirección de la vertical local. La prueba W para la altura de antena ha demostrado ser una herramienta muy eficiente al detectar, por ejemplo, errores de lectura de altura de antena de 10 cm. 2.3.1.3.4. Prueba T. Como se discutió en el capítulo de la Prueba W , la prueba W es una prueba de una dimensión que revisa las hipótesis convencionales alternativas. En estas hipótesis se asume que existe una sola observación incorrecta a la vez. Este análisis de datos trabaja muy bien para observaciones individuales, por ejemplo direcciones, distancias, ángulos cenitales, acimutes y diferencias de altura. Sin embargo, para algunas observaciones, tales como líneas base GPS, no es suficiente probar únicamente los elementos del vector DX-, DY-, DZ- en forma separada. Es necesario probar también la línea base como un todo. Con este fin, se introduce la prueba T. Dependiendo de la dimensión de la cantidad que estará sujeta a prueba, la prueba T será de 3 o 2 dimensiones. Al igual que la prueba W, la prueba T también está relacionada a la prueba F mediante el método B de prueba. La prueba T tiene el mismo poder que las otras dos pruebas, pero tiene su propio nivel de significancia y su propio valor crítico (véase el siguiente ejemplo).

Nivel de significancia α 0 0.001 0.010 0.050 Nivel de significancia α (2 dim) 0.003 0.022 0.089 Valor crítico de la prueba T 5.91 3.81 2.42

Nivel de significancia/valor crítico para la prueba T en 2 dimensiones, basado en α 0 de la prueba W

Nivel de significancia α 0 0.001 0.010 0.050 Nivel de significancia α 0 (3 dim) 0.005 0.037 0.129 Valor crítico de la prueba T 4.24 2.83 1.89

Nivel de significancia/valor crítico para la prueba T en 3 dimensiones, basado en a0 de la prueba W

La prueba T es igualmente útil para probar estaciones conocidas. El análisis de datos probará la existencia de valores que excedan los límites promedio debidos, por ejemplo, a un error en el ingreso de datos ya sea en la coordenada X Este, o Y Norte, o Alt. El análisis de datos no podrá detectar la deformación de una estación si esta se encuentra desplazada en la dirección X Este, Y Norte y Alt. con valores muy pequeños. Para probar una posible deformación que influye tanto la coordenada X Este, y Y Norte, y Alt., se requiere una hipótesis alternativa diferente. La prueba T en 3 dimensiones sobre la tripleta completa de coordenadas, puede encontrar más fácilmente la deformación, aunque no será capaz de ubicar la dirección exacta en la cual se ha desplazado la estación. Nota: La situación en la que la prueba W fue aceptada y la prueba T asociada de la observación se rechazó, lo cual es común en la práctica, no es una contradicción. Se trata únicamente de la prueba de diferentes hipótesis. 2.3.1.3.5. Prueba de altura de antena. Durante el análisis de datos, cada observación individual es probada mediante una hipótesis convencional alternativa. Sin embargo, también se pueden establecer otras hipótesis alternativas. En el Ajuste se implementa una hipótesis especial, con el fin de detectar errores de altura de antena en las líneas base GPS. Esta hipótesis se basa en el hecho de que la dirección del error de altura de antena coincide con la dirección de la vertical local. La prueba W para la altura de antena ha demostrado ser una herramienta muy eficiente al detectar, por ejemplo, errores de lectura de altura de antena de 10 cm. La prueba de altura de antena siempre se calcula cuando se emplean líneas base GPS. Esta prueba consiste en tres cálculos de la Prueba W :

• Componente Este • Componente Norte • Componente de Altura

La altura de antena será rechazada únicamente si el componente de altura es rechazado y se aceptan los componentes norte y este. 2.3.2. Cálculos con software científico: Bernesse V 4.2. Los objetivos de la red ya han sido puestos de manifiesto. Por ese motivo, es de gran importancia calcularla con software científico, no sólo para integrar la antena activa en el marco ITRF2000 vigente en la actualidad, sino para comprobar y contrastar los resultados obtenidos y a obtener en futuras campañas con software comercial. A diferencia de lo sucedido con el software comercial donde, por disponer de un elevadísimo número de horas de observación, no se ha llevado a cabo la resolución de ambigüedades, con Bernese 4.2 se procede a resolverlas. Para ello, se hace un cálculo inicial con la frecuencia L3 (apartado 2.1.3.2.5) para, posteriormente, proceder a fijar las ambigüedades con el Algoritmo QIF (Quasi Iono Free).

Cabe destacar que los resultados adjuntados como definitivos se corresponden a los obtenidos con Bernese, ya que han sido los de mayor calidad. No se han calculado en ninguna sesión líneas base triviales. Las diferencias halladas entre los datos obtenidos con SKI Pro y Bernese son bastante significativas, tal y como se expone en la tabla 9. 2.3.2.1. Cálculo de la estación activa en ITRF2000. Para calcular cualquier red en un marco de referencia, es necesario disponer de al menos una estación con coordenadas conocidas en dicho marco. El cálculo de la antena activa de referencia se ha llevado a cabo mediante las estaciones pertenecientes al IGS siguientes:

ONSA GRAS BRUS CASC MADR WTZR MATE

Para calcular las coordenadas de GFA en el marco ITRF2000, época 2002.9 se han tomado sesiones de duración diaria para producir una solución semanal, tal y como es habitual en IGS. Una vez resueltas las líneas base no triviales, se ha compensado la red constreñida a los vértices BRUS, CASC, WTZR, MATE y los restantes (ONSA, GRAS y MADR) han servido como chequeo a los cálculos realizados. Con esta forma de proceder, la precisión global estimada ronda el centímetro.

Figura 20- Estaciones utilizadas para calcular GFA en ITRF2000, época 2002.9. Las coordenadas finales de GFA, en el marco ITRF2000, época 2002.9 son:

Coordenadas Geodésicas Coordenadas Cartesianas ϕ:43º 19’ 15,74978’’ X:4644833,0652 m λ:1º 58’ 58,63809’’ O Y:-160817,6784 m HELIPS.: 82,8644 m Z:4353575,0764 m

Tabla 5: Coordenadas GFA en ITRF00, época 2002.9.

2.3.2.3. Ajuste de la red en ITRF2000. Una vez se conocen las coordenadas de GFA en el marco ITRF2000, época de la observación, se pasa a calcular la campaña en dicho marco. El ajuste se ha realizado como constreñido únicamente a la estación activa GFA. Como ya se ha comentado con anterioridad, las líneas base han sido seleccionadas de forma que no se consideren las triviales. Con Bernese se han procesado los datos semanalmente y los resultados definitivos son aquellos con las varianzas más pequeñas. Se ha tomado esta decisión por dos motivos:

• Las diferencias entre las soluciones han sido mínimas. • Según el modelo estocástico, la mejor solución es la que tiene la varianza más pequeña.

Las matrices de varianza - covarianza se adjuntan en el Anexo II. Respecto a los modelos matemáticos de ajuste, son los ya comentados en el apartado 2.3.1.

2.3.3. Parámetros de transformación. Los parámetros de transformación son los datos necesarios para pasar de un sistema de referencia, concretamente ETRS89, a otro que, en este caso, es el ED50. Es importante, antes de entrar en detalles, realiza una serie de comentarios acerca de los sistema de referencia involucrados en el presente trabajo. Los resultados se adjuntan en el Anexo V. A finales del siglo XIX la gran mayoría de paises de Europa disponía de sus propias redes fundamentales en las cuales se apoyaba la cartografía y la geoinformación. Cada país disponía de su propio Datum, que en el caso de España era como se define a continuación:

Elipsoide: Struve 1.860: Semieje mayor (a): 6.378.298 m Achatamiento (f): 1/295 Punto Fundamental: Madrid (Observatorio Astronómico): ϕ0: 42º 24’ 29’’70 N λ0: 00º 00’ 00’’ E Azimut astronómico fundamental: Observatorio-Hierro. Azimutes astronómicos secundarios: Montjuich-Matas Lérida-Montsent Reducto-Lobón Desierto-Peñagolosa Tetica-Gigante San Fernando-Gibalbín

Escala: Base fundamental Madridejos y auxiliares de Arcos de la Frontera, Lugo, Vich, Olite y Cartagena. Estas bases auxiliares se se ampliaron a los lados de la Red Geodésica Fundamental: Gibalbín-Algibe, Coba-Pradairo, Rodós-Matagalls, Higa-Vigas y Columbares-Sancti Spiritus, respectivamente. Tanto las Redes Geodésicas Nacionales como el Mapa Topográfico Nacional 1/50.000, representado en proyección poliédrica ó natural, quedaron referidos a este Datum. 2.3.3.1. Datum ED50. Tras la II Guerra Mundial, e intentando unificar los diversos Datums existentesen Europa, el AMS (Army Mapping Service ó Servicio Geográfico del Ejercito de Estados Unidos) solicitó se le remitieran las observaciones y coordenadas de todas las redes. De esta forma, se llevó a cabo una compensación en bloque, previa definición del Datum Europeo ED50:

Parámetros de Datum ED50 (Antwerpen, 1.979): Elpsoide: Internacional (Hayford, 1.924): Semieje mayor (a): 6.378.388 m Achatamiento (f): 1/297 Punto Fundamental: Postdam (torre de Helmert) ϕ0: 52º 21’ 51’’45 N λ0: 13º 03’ 58’’74 E

Desviación de la vertical: ξ0: 3’’36 η0: 1’’78 α0: Orientación mediante numerosos azimutes Laplace. N0: No existe información sobre la ondulación del geoide.

Como soporte dinámico, para la definición del campo gravitatorio y como término de comparación para las medidas de la gravedad, se eligió una superficie de gravedad normal, simétrica respecto al eje de rotación, siendo esta un elipsoide de equipotencial, caracterizada por la fórmula internacional de la gravedad (Cassinis-Silva-Heiskanen, 1.930):

( ) 222 2sen0000059,0sen0052884,0178094,9 −⋅⋅−⋅+⋅= smϕϕγ En 1.973 se adoptó un proceso similar para unificar las líneas de nivelación europeas, fijándose en el mareógrafo de Amsterdam el origen. 2.3.3.2. WGS84 (World Geodetic System, 1984). La necesidad de sistemas y marcos de referencia geodésicos globales está fuera de toda discusión. Uno de los primeros marcos definidos fue el WGS60 (World Geodetic System, 1964), definido por el DoD (Department of Defense). Tras este primer marco de referencia, siguieron el WGS66 y WGS72, hasta llegar al desarrollo del WGS84. Éste Sistema CTRS (Conventional Terrestrial Referenca System), proporciona un conjunto de modelos y definiciones básicas para la navegación, geodesia y cartografía mundiales. Consta de un sistema coordenado cartesiano rectangular 3D de la forma:

Origen coincidente (± 2m) con el centro de masas de la Tierra, incluidos océanos y atmósfera. Eje Z en dirección del Polo CTP (Conventional Terrestrial Pole), definido por el BIH (Bureau Internationel de l’Heure) para la época 1984.0. El eje X es la intersección del plano Meridiano Cero de referencia definido por el BIH para la época 1984.0 y el plano del ecuador CTP. El eje Y completa un sistema de coordenadas ortogonal dextrorsum. Semieje mayor del elipsoide de referencia (a)= 6378137 m Segundo armónico zonal normalizado del potencial gravitacional de la Tierra:

60,2 1016685.484 −⋅−=C

Velocidad angular media de rotación de la Tierra (ω)=7292115·10-11 rad/s. Producto de la constante gravitacional por la masa de la Tierra (GM)= 3986004.418·108 m3·s-

2. El marco de referencia original WGS84 se estableció mediante un total de 1.591 estaciones Doppler, lo que limitó la precisión de dicho marco a ±1-2m, si bien, por exigencias tanto civiles como militares, se ha refinado hasta 0.1 m. 2.3.3.3. El IERS (International Earth Rotation Service). En 1987, la IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics) y la IAU (International Astronomy Union) crearon el IERS, para proporcionar sistemas y marcos de referencia, así como datos precisos sobre la rotación de la Tierra. Estableció sistemas de referencia terrestre (ITRS) y celeste (ICRS) internacionales, así como los marcos de referencia terrestre (ITRF) y celeste (ICRF)

internacionales, controlando regularmente los movimientos relativos de estos dos marcos mediante técnicas VLBI y LLR. De esta forma, VLBI proporciona un marco de referencia absoluto, mientras que SLY, GPS, y DORIS permiten obtener valores diarios del movimiento del polo. En 1989, ya se disponía de una red de estaciones con precisión centimérica, por lo que, cada año, el IERS, calcula una nueva solución global, denominada ITRFYY, correspondiendo YY a la época: ITRF96, publicada en Marzo de 1998, correspondería a la época 1997.0. 2.3.3.4. Campaña EUREF GPS 89. Debido a la necesidad de un preciso Sistema de Referencia Terrestre Europeo (ETRS), se constituyeron el Grupo de Trabajo VIII y la Subcomisión EUREF, para obtenerlo lo antes posible. Debido a que en la parte estable de Europa la precisión de las estaciones era de centímetros, se definió el marco de referencia ETRF89 coincidente con ITRS en la época 1989.0. En mayo de 1989, para densificar la red de 36 estaciones, se diseñó la campaña EUREF GPS 89, diseñada para determinar un total de 93 estaciones. Dado que, como se ha comentado anteriormente, el IERS publica anualmente las coordenadas de las estaciones, se hace necesario referir todas las observaciones al marco ETRF89. 2.3.3.5. Cálculo de una campaña GPS referida a ETRS89. El objetivo es procesar datos en el Sistema de Referencia ETRS89, adoptado de forma habitual en Europa, sacando el máximo partido de los datos facilitados por el IGS (International GPS Service for Geodynamics), como son posiciones y efemérides precisas, que están referidos a la época actual. Para obtener los mayores beneficios en los cálculos, es preciso partir de los sucesivos resultados obtenidos por el IERS para cada ITRS, conocidos como ITRF-YY, que son publicados anualmente. Estos resultados consisten en una serie de coordenadas de las estaciones de referencia, junto con:

• Posiciones para la época t0. • Velocidades.

De esta forma, la posición dada para la época t, será:

XYY(t)= XYY(t0)+VYY ·(t- t0). Para obtener resultados en ETRS89, para la época tc:

( ) ( ) ( )0.198989 −⋅⋅++= ccYYYYYYcYYETRS TtXRTtXX 3.- Resultados. A continuación se adjuntan los resultados obtenidos. Para ver con un mayor detalle todos los parámetros obtenidos, véase el Anexo II; asimismo, véase el Anexo V para ver los resultados

definitivos. Cabe destacar, sin embargo, que no se adjuntan los ficheros de ajuste de Bernese, pues su gran extensión lo hace imposible. Se adjuntan, eso sí, las matrices de varianza - covarianza de las coordenadas semanales en el Anexo II. En la tabla 6 se muestran las elipses de error de la red de estaciones activas y pasivas, con software convencional. Nótese que se han realizado dos ajustes, uno con la red de puntos de control y otro con la red de estaciones pasivas, constreñida a la red de puntos de control. Este hecho se puede consultar con mayor detalle en el Anexo II. En la figura 21 se muestra una gráfica donde se aprecian las estaciones de la red con sus precisiones obtenidas con el programa Ski-Pro:

Figura 21.- Red de estaciones activas y pasivas: elipses de error y fiabilidades.

En el Anexo V se adjuntan las coordenadas definitivas de las estaciones.

Estación Latitud Longitud Altura Fiab. Lat.

Fiab. Lon.

Fiab. Alt.

AITZORROTZ 43° 00' 05.99523" N 2° 32' 25.11507" W 789.8836 0.0019 0.0031 0.0036 AMETZMENDI 43° 15' 56.83001" N 2° 10' 38.71299" W 240.3969 0.0022 0.0036 0.0041 ARRATE 43° 12' 25.35028" N 2° 26' 59.83089" W 629.6972 0.0028 0.0049 0.0055 ARTXUETA 42° 57' 08.81811" N 1° 57' 54.45318" W 1395.9420 0.0044 0.0078 0.0087 AÑUGAÑA 43° 09' 15.90967" N 2° 14' 01.32205" W 379.9737 0.0020 0.0034 0.0038 BELAR 43° 00' 16.65538" N 2° 25' 19.97892" W 948.2037 0.0023 0.0035 0.0042 BIANDITZ 43° 14' 48.74883" N 1° 47' 26.70429" W 894.5210 0.0040 0.0068 0.0079 GARAGARTZA 43° 03' 26.29116" N 2° 04' 36.17881" W 406.1264 0.0018 0.0030 0.0035 GFA 43° 19' 15.74051" N 1° 58' 58.64817" W 82.7933 0.0027 0.0047 0.0053 INTXORTA TXIKI 43° 07' 42.17876" N 2° 29' 37.91511" W 765.1228 0.0018 0.0030 0.0035 ITURREGI 43° 07' 30.88908" N 2° 01' 06.86277" W 854.5028 0.0037 0.0062 0.0071 ITXUMENDI 43° 07' 39.71446" N 2° 22' 25.74952" W 775.3406 0.0036 0.0060 0.0068 LARREZKONDO 42° 56' 58.78522" N 2° 13' 54.90502" W 765.1868 0.0048 0.0078 0.0091 MENDIZORROTZ 43° 17' 52.25525" N 2° 04' 00.91723" W 464.7857 0.0033 0.0058 0.0064 OITZ 43° 13' 39.28687" N 2° 35' 28.77063" W 1076.9691 0.0035 0.0058 0.0067 ONDDY 43° 13' 57.93136" N 1° 57' 03.61413" W 596.3548 0.0016 0.0027 0.0032 PAGOETAGAÑA 43° 17' 17.42243" N 2° 17' 27.58279" W 281.1744 0.0042 0.0071 0.0080 SAN TELMO 43° 23' 05.19984" N 1° 47' 52.98433" W 166.2520 FIJO FIJO FIJO URBINA 42° 56' 41.42270" N 2° 37' 09.28783" W 749.2815 0.0038 0.0060 0.0071 USURBE 43° 03' 56.55030" N 2° 12' 13.75722" W 757.4680 0.0044 0.0071 0.0078 ZUBELTZU 43° 19' 15.39390" N 1° 48' 19.89291" W 266.3425 0.0017 0.0028 0.0032

Tabla 6: Coordenadas y fiabilidades obtenidas tras el ajuste con SKI, en ETRS89, fijando San Telmo. Las coordenadas presentadas en la tabla 6 han sido obtenidas a partir del ajuste constreñido a San Telmo, cuyas coordenadas han sido obtenidas de la publicación “Iberia 95, red peninsular de orden cero”, del IGN. Se ha realizado de esta forma por ser la única estación con coordenadas ETRS89 precisas de la zona. A la vista de la figura 21 y, más concretamente, de la tabla 6, se aprecia que los resultados obtenidos son de una enorme precisión. Concretamente se trata de una red con una precisión mejor que un centímetro en el momento de la observación. Sin embargo, los resultados obtenidos con Bernese proporcionan discrepancias superiores a las estimadas. En la tabla 7 se adjunta la relación de estaciones con coordenadas y precisiones obtenidos con Bernese, consideradas como definitivas. En la tabla 8, se muestran las coordenadas obtenidas con los dos programas, referidas a ITRF00.

Estación Latitud Longitud Altura Fiab.

Lat. Fiab. Lon.

Fiab. Alt.

AITZORROTZ 43 0 6.004521 N 2 32 25.105206 W 789.9158 0.0008 0.0007 0.0039 AMETZMENDI 43 15 56.839405 N 2 10 38.703050 W 240.4518 0.001 0.0007 0.0045 ANUGANA 43 9 15.918881 N 2 14 1.312263 W 380.0219 0.0009 0.0007 0.0041 ARRATE 43 12 25.359663 N 2 26 59.820974 W 629.713 0.0011 0.0008 0.0053 ARTXUETA 42 57 8.827367 N 1 57 54.443548 W 1396.0167 0.0008 0.0006 0.0036 BELAR 43 0 16.664476 N 2 25 19.968793 W 948.2397 0.0009 0.0007 0.0041 BIANDITZ 43 14 48.757948 N 1 47 26.694210 W 894.599 0.0007 0.0005 0.0034 GARAGARTZA 43 3 26.300403 N 2 4 36.169074 W 406.2042 0.0008 0.0006 0.0038 GFA 43 19 15.749780 N 1 58 58.638092 W 82.8644 FIJO FIJO FIJO INTXORTA TXIKI 43 7 42.187837 N 2 29 37.904939 W 765.1736 0.0011 0.0009 0.0052 ITURREGI 43 7 30.898255 N 2 1 6.852585 W 854.557 0.0009 0.0006 0.0038 ITXUMENDI 43 7 39.723652 N 2 22 25.739608 W 775.3845 0.0006 0.0005 0.0027 LARREZKONDO 42 56 58.794435 N 2 13 54.895258 W 765.2199 0.0008 0.0006 0.0037 MENDIZORROTZ 43 17 52.264470 N 2 4 0.906918 W 464.8197 0.0006 0.0004 0.0028 OITZ 43 13 39.296060 N 2 35 28.760683 W 1077.0376 0.0008 0.0007 0.0038 ONDDY 43 13 57.940672 N 1 57 3.604008 W 596.4085 0.0008 0.0006 0.0039 PAGOETAGANA 43 17 17.431691 N 2 17 27.572799 W 281.2192 0.0008 0.0007 0.0035 SAN TELMO 43 23 5.209051 N 1 47 52.974307 W 166.344 0.0006 0.0005 0.0028 URBINA 42 56 41.432017 N 2 37 9.278024 W 749.2944 0.0009 0.0007 0.0036 USURBE 43 3 56.559468 N 2 12 13.747449 W 757.5017 0.0009 0.0006 0.0042 ZUBELTZU 43 19 15.403209 N 1 48 19.882725 W 266.3885 0.0008 0.0006 0.0038

Tabla 7: Resultados obtenidos con Bernese, en ITRF00, época 2002.9. Las discrepancias entre esta solución y la presentada en la tabla 6 se debe a que las coordenadas de la tabla 6 se han calculado en ETRS89, con San Telmo como estación fija, mientras que los resultados presentados en la tabla 7 son los obtenidos en ITRF00, época 2002.9. Las coordenadas definitivas se adjuntan en los Anexos I y V.

Coordenadas SKI-Pro, ITRF00, época 2002.9 Coordenadas Bernese, ITRF00, época 2002.9

Estación X Y Z X Y Z AITZORROTZ 4667813.030 -207091.237 4328176.036 4667813.004 -207091.238 4328176.011 AMETZMENDI 4648581.584 -176745.626 4349215.111 4648581.571 -176745.628 4349215.102 ARRATE 4652438.482 -199058.200 4344726.801 4652438.441 -199058.200 4344726.766 ARTXUETA 4673825.572 -160365.141 4324588.331 4673825.576 -160365.149 4324588.334 AÑUGAÑA 4656972.501 -181645.881 4340292.571 4656972.487 -181645.886 4340292.554 BELAR 4668121.438 -197465.299 4328524.625 4668121.419 -197465.294 4328524.598 BIANDITZ 4651583.852 -145430.078 4348133.060 4651583.860 -145430.078 4348133.061 GARAGARTZA 4664840.126 -169153.493 4332432.909 4664840.133 -169153.500 4332432.914 GFA 4644833.065 -160817.678 4353575.076 4644833.065 -160817.678 4353575.076 INTXORTA TXIKI 4658356.668 -202888.297 4338445.160 4658356.661 -202888.293 4338445.146 ITURREGI 4660182.660 -164249.441 4338251.958 4660182.650 -164249.437 4338251.945 ITXUMENDI 4658830.936 -193130.142 4338396.641 4658830.920 -193130.143 4338396.621 LARREZKONDO 4672777.689 -182116.772 4323931.903 4672777.664 -182116.776 4323931.877 MENDIZORROTZ 4646636.379 -167698.003 4351962.263 4646636.354 -167697.997 4351962.236 OITZ 4650697.735 -210481.140 4346696.119 4650697.738 -210481.141 4346696.116 ONDDY 4652015.649 -158468.868 4346786.210 4652015.636 -158468.866 4346786.199 PAGOETAGAÑA 4646548.061 -185892.983 4351053.889 4646548.044 -185892.983 4351053.871 SAN TELMO 4640529.554 -145676.295 4358781.594 4640529.569 -145676.297 4358781.607 URBINA 4671792.863 -213717.241 4323528.834 4671792.823 -213717.242 4323528.796 USURBE 4664072.749 -179486.914 4333355.101 4664072.726 -179486.919 4333355.074 ZUBELTZU 4645449.614 -146437.375 4353693.225 4645449.594 -146437.373 4353693.208

Tabla 8: Coordenadas obtenidas con SKI-Pro y Bernese en ITRF00, época 2002.9. La tabla 9, presenta las discrepancias entre las dos soluciones: convencional y científica. Cabe reseñar que las coordenadas se presentan en ITRF00, con las coordenadas presentadas en la tabla 6 transformadas a dicho marco.

DIFERENCIAS DIFERENCIAS Estación DX DY DZ Estación DX DY DZ

AITZORROTZ 0.025 0.001 0.025 ITXUMENDI 0.016 0.001 0.020 AMETZMENDI 0.014 0.002 0.008 LARREZKONDO 0.024 0.004 0.026 ARRATE 0.041 0.000 0.035 MENDIZORROTZ 0.025 -0.007 0.027 ARTXUETA -0.004 0.009 -0.003 OITZ -0.003 0.001 0.003 AÑUGAÑA 0.014 0.005 0.017 ONDDY 0.013 -0.002 0.011 BELAR 0.019 -0.004 0.027 PAGOETAGAÑA 0.018 0.000 0.018 BIANDITZ -0.008 0.000 -0.002 SAN TELMO -0.015 0.002 -0.013 GARAGARTZA -0.007 0.007 -0.005 URBINA 0.040 0.001 0.038 GFA - - - USURBE 0.023 0.004 0.027 INTXORTA TXIKI 0.008 -0.005 0.018 ZUBELTZU 0.020 -0.003 0.016 ITURREGI 0.009 -0.003 0.013

Tabla 9: Discrepancias entre la solución Bernese y la Ski-Pro.

A la vista de las comparaciones de los resultados, podemos decir que son discrepancias admisibles, ya que se trata de coordenadas absolutas. Estas diferencias no se corresponden con los resultados de

precisión obtenidos tras el ajuste, pero cabe reseñar que los ajustes proporcionan precisiones bajo una serie de criterios de regiones de confianza. Además, las distancias entre las estaciones observadas son elevadas, por lo que las discrepancias están dentro de lo esperado. Concretamente, las diferencias medias entre ambas soluciones son de 0.013 m, 0.001m y 0.015 m para las componentes X, Y, Z respectivamente. Adicionalmente, la tabla 9 muestra un patrón o guía de las precisiones que pueden ser tanto exigidas como obtenidas en los futuros trabajos de alta precisión calculados con programas convencionales, realizados con técnicas GPS en el Territorio Histórico de Gipuzkoa. 3.1. Cálculo de los parámetros de transformación. El objetivo perseguido es el de unificar los parámetros para todo el Territorio, de forma que el usuario final pueda disponer de coordenadas en ambos sistemas de manera directa, única y común. Para llevar a cabo los cálculos, se han utilizado las coordenadas ETRS89 calculadas en esta campaña y las ED50 facilitadas por el IGN, que se adjuntan el Anexo I. Sin embargo, cabe reseñar que las coordenadas ETRS89 de esta campaña se han obtenido a partir de las coordenadas ETRS89 de la red REGENTE, ya que no se dispone de velocidades para las estaciones GPS activas y pasivas. Además se garantiza la homogeneidad de los resultados con los territorios limítrofes, que se apoyan en esta red. Los resultados obtenidos son muy buenos, ya que hay que tener presente que abarcan una zona de extensión mayor que el Territorio Histórico de Guipúzcoa. La totalidad de los parámetros de transformación se adjuntan en el Anexo IV. 3.1.1. Parámetros de transformación ITRF2000 (época 2002.9) a ETRS89. Con el fin de facilitar los cálculos y la obtención directa de coordenadas en el sistema ED50, se adjuntan los parámetros de transformación de ITRF00, época 2002,9 a ED50. Estos parámetros son válidos únicamente para el Territorio Histórico de Gipuzkoa. Se recomienda utilizar estos parámetros con extrema cautela, pues si bien las discrepancias entre los resultados con unos u otros parámetros no serán importantes, no es el proceder habitual. Sin embargo, para homogeneizar los resultados se recomienda utilizar en todos los casos los parámetros de ETRS89 a ED50, por ser ETRS89 un sistema de referencia común en las campañas GPS. 3.1.2. Parámetros de transformación ETRS89 a ED50. Los parámetros a utilizar para obtener los resultados más homognéneos son los presentados en este apartado. Tal y como se ha adelantado en párrafos anteriores, se han llevado a cabo dos transformaciones: ITRF00, época 2002,9 a ETRS89: ambos en WGS84, necesarios para obtener las coordenadas de la red de estaciones GPS activas y pasivas en ambos sistemas de referencia. Se han utilizado las estaciones REGENTE, por disponer de coordenadas ETRS89. ETRS89 a ED50.

Como se puede apreciar tras examinar los dos parámetros adjuntos en el Anexo IV, los residuos obtenidos tanto en la transformación ITRF00 a ED50 como ETRS89 a ED50 son idénticos. Esto se debe a que la transformación ITRF00 a ETRS89 en la zona objeto de estudio es prácticamente una traslación: las rotaciones y el factor de escala son prácticamente despreciables. Esto es lo que hace que sea posible haber calculado en primer lugar una red en ETRS89 fijando San Telmo y posteriormente otra fijando GFA en ITRF00. Sin embargo, se recomienda utilizar directamente los parámetros de transformación ETRS89 a ED50, ya que en los posibles enlaces geodésicos con los Territorios limítrofes se garantizará la correcta transmisión de los mismos. Independientemente de los parámetros a utilizar y, vistos los residuos obtenidos en cualquiera de ambos, se puede decir que se ha conseguido la unificación de parámetros de transformación para la totalidad del Territorio Histórico de Gipuzkoa al menos para las componentes planimétricas. Analizando los residuos se comprueba que, si bien inicialmente pueden parecer algo elevados en los bordes, en las estaciones de la zona central (Iturregi e Itxumendi), la precisión ronda los 15 cm, lo cual es muy significativo. Si bien es posible determinar parámetros más precisos disminuyendo las zonas, no se cree conveniente, ya que se tendrá, por un lado, el inconveniente de cambio de zona y, por otro, la ventaja de obtener precisiones absolutas algo menores, pero unificadas, siempre sin perder la precisión interna de las futuras observaciones. 4.- Conclusiones. A la vista de los resultados podemos concluir el trabajo diciendo que los objetivos iniciales han sido sobradamente cumplidos. Se puede afirmar que el Territorio Histórico de Gipuzkoa cuenta en la actualidad con una red de estaciones GPS activas y pasivas de precisión muy elevada, difícilmente alcanzable con técnicas y metodologías convencionales. Se ha conseguido que en todo el Territorio se disponga de una estación GPS de fácil acceso con precisión milimétrica, garantizada con un centrado forzoso. Este hecho hace que, mediante la metodología correcta de cálculo, sea posible determinar en toda la Provincia, posiciones de una elevadísima precisión con un escaso coste. Además, al considerar estaciones REGENTE de los Territorios adyacentes, se garantizan en todo momento los enlaces geodésicos tanto en ETRS89 (GPS) como en ED50 (geodesia clásica, en las componentes planimétricas). En definitiva y, como conclusión final, se puede decir que el Territorio Histórico de Gipuzkoa cuenta con una red de estaciones GPS activas y pasivas de precisión tal que debe ser el “esqueleto” en el que se apoye toda la geoinformación generada en el Territorio. La red de estaciones GPS activas y pasivas del Territorio Histórico de Gipuzkoa es funcional no sólo a nivel local, sino que, al estar integrada en ITRF00 con precisión centimétrica, puede ser el soporte de todas las campañas geodésicas en los diferentes marcos de referencia, a excepción de las altimétricas. Sin embargo, tras la comparación de los resultados obtenidos tanto con software convencional como con software científico, hace tratar, en un futuro, las observaciones con extrema cautela, a fin de evitar la pérdida de precisión de la red de estaciones GPS activas y pasivas por procesamientos incorrectos. En este aspecto, este hecho ya se ha puesto de manifiesto en campañas de similares características,

siendo la más destacable “Monitoring the deformation of Guntur Volcano using repeated GPS survey method”, H. Z. Abidin et. Al. La red de estaciones GPS activas y pasivas del Territorio Histórico de Gipuzkoa será el marco de referencia de precisión para la geodesia tetradimensional a realizar en el Territorio Histórico de Gipuzkoa.