Recurso educativo para fortalecer la enseñanza y aprendizaje del concepto de

volumen

Fabián Leonardo Muñoz Bolaños

Universidad Nacional de Colombia – Sede Palmira Facultad de Ingeniería y Administración

Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales Palmira

2018

Recurso educativo para fortalecer la enseñanza y aprendizaje del concepto de

volumen

Fabián Leonardo Muñoz Bolaños

Trabajo para optar por el título de Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Oscar Checa Cerón. Ph.D.

Universidad Nacional de Colombia – Sede Palmira Facultad de Ingeniería y Administración

Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales Palmira

2018

Dedicatoria

Dedico este trabajo a Dios por darme la vida y brindarme la maravillosa oportunidad de llevar a cabo mis estudios de Maestría.

A mi padre por darme ese ejemplo de hombre luchador incansable y a mi madre quien desde el cielo me acompaña compartiendo su nobleza y amor.

A mi hermosa familia, mi hijo Juan José y mi esposa Andrea por su amor, apoyo y motivación.

Agradecimientos Manifiesto mis sinceros agradecimientos en primer lugar a Dios, por permitirme alcanzar esta gran meta.

A mis docentes de la maestría por sus valiosas orientaciones, Nelson Castillo, Reinel Uribe, Viviana Vargas, Gladis Aparicio, Myriam Vásquez, Hernando Tamayo, Luz Marina Hoyos.

A mi director de trabajo de grado PhD. Oscar Yovany Checa Cerón por sus sugerencias y orientaciones.

A Ricardo Portilla por sus excelentes aportes en la consolidación de mi trabajo de grado.

A mis compañeras de maestría Sandra Lancheros, Diana Karina Orozco, Irene Bambagüé, Myriam Amparo Rodríguez y Paola Andrea Torres por brindarme su amistad.

A los estudiantes de grado noveno de mi Institución Educativa por su colaboración durante este proceso.

Y a todas las personas que hicieron posible la culminación exitosa de mi trabajo de grado.

Tabla de contenido Introducción .......................................................................................................... 1 1. Planteamiento del problema de investigación ........................................... 3

1.1 Justificación ................................................................................................. 5

1.2 Pregunta de investigación ........................................................................... 6

1.3 Objetivos ..................................................................................................... 7

1.3.1. Objetivo general .................................................................................... 7

1.3.2. Objetivos específicos ............................................................................ 7

1.4. Población a quien va dirigida ................................................................... 7

2. Marco de referencia ................................................................................... 10 2.1. Estado del arte ....................................................................................... 10

2.2. Marco teórico.......................................................................................... 12

2.2.1. Consideraciones sobre la enseñanza de las matemáticas ................. 12

2.2.2. Competencias matemáticas ................................................................ 15

2.2.3. Avances en el aprendizaje de las matemáticas .................................. 16

2.2.4. Aprendizaje basado en problemas (ABP) ........................................... 17

3. Metodología ................................................................................................ 19 3.1. Tipo de estudio ....................................................................................... 19

3.1.1. El método cualitativo ........................................................................... 19

3.2. Fases de la investigación ....................................................................... 20

3.3. Modelo metodológico para la construcción de los objetos físicos .......... 21

3.3.1. Diseño de sólidos con volumen similar en la pirámide de Kukulcán ... 21

3.3.2 Diseño de sólidos con volumen similar en el Templo del Sol .............. 23

3.3.3 Diseño de sólidos con volumen similar en el castillo de San .............. 25

4 Resultados y análisis ................................................................................. 29 4.1. Análisis de resultados de prueba diagnóstica ........................................ 29

4.1.1. Preguntas de tipo cognitivo ................................................................. 29

4.1.2 Preguntas sobre estrategias metodológicas ....................................... 32

4.2. Diseño general de la secuencia didáctica .............................................. 34

4.2.1. Generalidades ..................................................................................... 34

4.2.2. Estándares básicos de competencias ................................................. 35

4.2.3 Orientaciones pedagógicas para el desarrollo de las guías didácticas40

4.3. Aplicación de secuencia didáctica .......................................................... 40

4.4. Análisis de resultados de evaluación y cierre ......................................... 43

5. Conclusiones y recomendaciones ............................................................ 49

5.1. Conclusiones .......................................................................................... 49

5.2. Recomendaciones .................................................................................. 50

6. Referencias ................................................................................................. 51 Anexos ................................................................................................................. 53

Lista de gráficos

Gráfico 1. Resultados grado noveno área matemáticas 2018. Fuente: Icfes.gov.co ...... 3 Gráfico 2. Reporte histórico Prueba Saber 2015-2016-2017. Fuente: Icfes.gov.co ........ 5 Gráfico 3. Localización Sedes Institución Educativa Sebastián de Belalcázar. Fuente: http://www.olmue.com.co/wp-content/uploads/2012/08/colombia-valle-palmira.jpg y maps.google.com ............................................................................................................ 8 Gráfico 4. Resultados pregunta 1. Fuente: propia. ........................................................ 29 Gráfico 5. Resultados competencia comunicación y representación. Fuente: propia. .. 30 Gráfico 6. Resultados competencia modelación, planteamiento y resolución de problemas. Fuente: propia. ........................................................................................... 31 Gráfico 7. Resultados competencia razonamiento y argumentación. Fuente: propia. .. 31 Gráfico 8. Tiempo de estudio en casa. Fuente: propia. ................................................. 32 Gráfico 9. Uso de conceptos previos por el docente. Fuente: propia. ........................... 33 Gráfico 10. Espacio para aclarar dudas. ....................................................................... 33 Gráfico 11. Participación en clase. ................................................................................ 34 Gráfico 12. Promedio diagnóstico vs prueba de cierre. Fuente: propia. ........................ 44 Gráfico 13. Distribución según niveles de desempeño prueba de cierre vs. Prueba diagnóstica. Fuente: propia. .......................................................................................... 44 Gráfico 14. Volumen a partir de unidades cúbicas. Fuente: propia. .............................. 45 Gráfico 15. Volumen con fórmulas y datos. Fuente: propia. .......................................... 46 Gráfico 16. Desarrollo de poliedros. Fuente: propia. ..................................................... 46 Gráfico 17. Cálculo de áreas. Fuente: propia. ............................................................... 47 Gráfico 18. Problemas sobre área y volumen. Fuente: propia. ..................................... 47 Gráfico 19. Volumen de cilindros y conos. Fuente: propia. ........................................... 48

Lista de figuras Figura 1. Dimensiones reales de algunos niveles de la pirámide de Kukulcán. Fuente: propia. ...................................................................................................... 21 Figura 2. Conformación de los niveles de la pirámide. Fuente: propia ................. 21 Figura 3. Organización de cada nivel de la pirámide. Fuente: propia. .................. 22 Figura 4. Desarrollo plano prisma rectangular No. 3. Fuente: propia. .................. 22 Figura 5. Modelo Templo del sol. Fuente: propia. ................................................. 23 Figura 6. Cilindro No. 2. Fuente: propia. ............................................................... 24 Figura 7. Cilindro No. 3. Fuente: propia. ............................................................... 24 Figura 8. Cilindro No. 4. Fuente: propia. ............................................................... 24 Figura 9. Cilindro No. 5. Fuente: propia. ............................................................... 25 Figura 10. Dimensiones del techo. Fuente: propia. .............................................. 25 Figura 11. Dimensiones de las columnas. Fuente: propia. ................................... 25 Figura 12. Modelo Castillo de San Felipe. Fuente: propia. ................................... 26 Figura 13. Dimensiones semiesfera (ficha 1). Fuente: propia. .............................. 26 Figura 14. Dimensiones cilindro (ficha 2). Fuente: propia. .................................... 27 Figura 15. Dimensiones prisma rectangular (ficha 3). Fuente: propia. ................. 27 Figura 16. Dimensiones cubo (fichas 4 y 5). Fuente: Propia ................................ 27 Figura 17. Dimensiones prisma rectangular (ficha 6). Fuente: propia .................. 28 Figura 18. Dimensiones prisma trapezoidal (fichas 7 y 8). Fuente: propia. .......... 28

Lista de tablas

Tabla 1. Prismas rectangulares con volúmenes similares. Fuente: propia. .......... 22

Lista de fotografías

Fotografía 1. Estudiantes durante la revisión de la guía. Fuente: propia. ..................... 41 Fotografía 2. Estudiantes durante la ejecución de un ejercicio. Fuente: propia. ........... 41 Fotografía 3. Estudiantes durante la construcción de una estructura. Fuente: propia. . 41 Fotografía 4. Estudiantes durante la construcción de una estructura – 2. Fuente: propia. ...................................................................................................................................... 41 Fotografía 5. Estudiantes durante la ejecución de la guía. Fuente: propia.................... 42 Fotografía 6. Figura geométrica construida por un estudiante. Fuente: propia. ............ 42 Fotografía 7. Estudiante durante la resolución de las guías. Fuente: propia................. 42 Fotografía 8. Grupo de estudiantes durante la construcción de figuras geométricas. Fuente: propia. .............................................................................................................. 42 Fotografía 9. Estructura construida por los estudiantes (Pirámide de Kukulcán). Fuente: propia. ........................................................................................................................... 43 Fotografía 10. Estructura construida por los estudiantes (Templo del Sol). Fuente: propia. ........................................................................................................................... 43 Fotografía 11. Estructura construida por los estudiantes (Castillo de San Felipe de Barajas). Fuente: propia. ............................................................................................... 43

Resumen El presente trabajo surge debido a las deficiencias en el dominio de los conceptos de matemáticas que presentan los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar. Estas deficiencias claramente evidenciadas en las pruebas Saber de grado noveno durante los últimos cuatro años y en pruebas diagnósticas realizadas al interior de la institución. La preocupación más relevante que nos dejan ver estas pruebas es la dificultad que presentan los estudiantes en el manejo de conceptos de área, especialmente en lo referente a las competencias de comunicación y representación, razonamiento y argumentación, las cuales son de vital importancia para apropiarse de conocimientos futuros como el concepto de volumen de sólidos.

Una de las alternativas de solución a la problemática mencionada, es la implementación de nuevas estrategias didácticas, apoyados en el aprendizaje desde lo concreto, basada en la creación de objetos físicos de aprendizaje. El trabajo se realizó en torno al desarrollo y elaboración de dichos objetos que puedan emplearse como estrategia metodológica a partir de la solución de situaciones problema aplicados en contexto. El trabajo específicamente se concentra en el desarrollo e implementación de una secuencia didáctica en la que los estudiantes construyen a escala, modelos arquitectónicos de estructuras latinoamericanas con un valor histórico, algunas de ellas de origen indígena precolombino.

Estas estructuras son usadas como pretexto dentro de una situación, para usar la metodología del aprendizaje basado en problemas (ABP), la cual permite generar en los estudiantes apropiación del conocimiento de una manera más eficiente, ya que se plantea una situación problema que, además de apoyarse en el contexto, contribuye a aprendizajes transversales de otras áreas como son las construcciones históricas, lo cual se convirtió en un aspecto significativo para los estudiantes.

Summary

The present work arises due to the deficiencies in the mastery of the concepts of mathematics presented by ninth grade students of the Sebastian de Belalcázar Educational Institution. These deficiencies clearly evidenced in the Saber ninth grade tests during the last four years and in diagnostic tests performed within the institution. The most relevant concern that these tests allow us to see is the difficulty that students present in the management of area concepts, especially in relation to communication and representation competences, reasoning and argumentation, which are of vital importance for appropriating future knowledge as the concept of volume of solids.

One of the alternative solutions to the aforementioned problem is the implementation of new didactic strategies, based on learning from the concrete, based on the creation of physical objects of learning. The work was carried out around the development and elaboration of these objects that can be used as a methodological strategy based on the solution of problem situations applied in context. The work specifically focuses on the development and implementation of a didactic sequence in which students build scale architectural models of Latin American structures with historical value, some of them of pre-Columbian indigenous origin.

These structures are used as a pretext within a situation, to use the methodology of problem-based learning (PBL), which allows students to generate knowledge in a more efficient manner, since a problem situation is posed that, in addition, to rely on the context, contributes to cross-cutting learning of other areas such as historical constructions, which became a significant aspect for the students.

1

Introducción Dentro de los derechos básicos de aprendizaje establecidos por el Ministerio de Educación Nacional, concebidos como un conjunto de conocimientos y habilidades necesarias para que los estudiantes puedan construir nuevos aprendizajes, encontramos el concepto matemático de volumen de cuerpos sólidos, el cual se estudia en diferentes grados de la educación básica y media. Este concepto tiene mucha importancia puesto que, al encontrarnos en un universo de tres dimensiones, todos los objetos que nos rodean presentan volumen. De hecho, nos desenvolvemos a diario en diferentes situaciones donde es necesario efectuar el procedimiento de cálculo de volúmenes de objetos sólidos, líquidos o gaseosos.

El presente proyecto se enmarca dentro del horizonte temático que implica la enseñanza del concepto de volumen de cuerpos sólidos. Su propósito es, en primera instancia, identificar algunas causas de la falta de apropiación de conceptos en el área de matemáticas por parte de los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar en su Sede José María Vivas Balcázar.

Con base en dicha observación fue posible detenerse a pensar sobre diversos caracteres relacionados con la enseñanza y el aprendizaje del concepto de volumen, y de esta manera se planteó un interrogante con el que se analizó si por medio de la utilización de estrategias didácticas que empleen el uso de objetos educativos se podría cumplir el objetivo propuesto; para esto, era necesario proponer el diseño y aplicación de situaciones didácticas orientadas mediante el aprendizaje basado en problemas.

Esto con el fin no solo de que los estudiantes de grado noveno resuelvan situaciones problema de tipo cotidiano, muy reales y tangibles para apoderarse del significado y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos, sino también que se amplíe el conocimiento acerca del Corregimiento de Palmaseca, lugar donde se llevará a cabo este estudio. Por ello, se hace necesario realizar una descripción del contexto de la Institución y específicamente de la Sede José María Vivas Balcázar, su población, actividades económicas, entre otros aspectos.

Entonces se pensó en una elaboración de objetos físicos de forma especial, basados en los monumentos de la región latinoamericana, ya que los estudiantes son ciudadanos del continente y pareció pertinente que, así como apropiaban estos conceptos del área de matemáticas, tomaran conciencia del valor cultural que poseen sus territorios a través de la arquitectura única de la región donde viven.

En primer lugar, se presenta una exploración sobre algunos estudios que sirven como antecedentes de este proyecto, a nivel internacional, nacional y regional; estos trabajos contienen información relevante y directamente relacionada con el tema de investigación. Posteriormente se exploran las distintas fuentes que sirven como referente teórico, pues esto permite situar el problema planteado dentro de un conjunto de conocimientos pasando por la importancia de las matemáticas, algunas consideraciones sobre la enseñanza de las matemáticas, avances en el aprendizaje de las matemáticas e inclusión de objetos físicos de aprendizaje en las aulas. Esta información permitió en un primer momento plantear como hipótesis que el uso de objetos físicos de aprendizaje

2

como estrategia metodológica por los estudiantes de grado noveno, mejora la apropiación del cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos en el área de matemáticas.

Después, se realiza la descripción de la metodología que se busca emplear, la cual será de tipo integración metodológica con asimetría hacia lo cualitativo, con el detalle de sus respectivas fases hasta llegar a la verificación del cumplimiento o no de los objetivos. A continuación, se halla un análisis de la situación didáctica y las muestras recogidas, que corresponde a los resultados. Finalmente, se plantean unas conclusiones y recomendaciones.

3

1. Planteamiento del problema de investigación En la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar, Sede José María Vivas Balcázar, se puede observar en la actualidad un bajo rendimiento académico en el área de matemáticas, específicamente en el grado noveno, evidenciado en el poco dominio de conceptos, operaciones básicas y en el planteamiento de ecuaciones (expresión del lenguaje escrito al lenguaje algebraico) y resolución de las mismas. Esta situación es más preocupante si se considera que estos son conceptos en los que los estudiantes se han venido formando desde los grados inferiores. La problemática se manifiesta en la Prueba Saber Grado 9° 2018, la cual arrojó los siguientes resultados:

Gráfico 1. Resultados grado noveno área matemáticas 2018. Fuente: Icfes.gov.co

En el gráfico 1 se puede observar que el porcentaje de estudiantes de la

I.E. Sebastián de Belalcázar que se encuentran en los niveles de desempeño insuficiente y mínimo suman el 90%, ubicándose por debajo de la media, mientras sólo el 10% alcanzaron el nivel de desempeño satisfactorio y 0% el nivel avanzado (Icfes, 2018). Esta es una necesidad similar que también se observa en reportes de contextos internacionales; por ejemplo Lastra (2005), hace mención de los grandes déficits en matemáticas y, específicamente en geometría, evidenciados en los resultados de pruebas estandarizadas que se aplican en escuelas públicas de Chile.

Por otra parte, el poco dominio de conceptos es el resultado del proceso educativo que han recibido los estudiantes de grado noveno en el transcurso de su vida escolar (grado cero a grado octavo), ya que ellos ven a las matemáticas como

4

una asignatura teórica y complicada, donde los conceptos no tienen ninguna aplicación para su vida cotidiana ni para las demás asignaturas contempladas en el PEI de la Institución, haciendo necesaria la búsqueda de la transversalidad con otras asignaturas, así como el planteamiento de problemas de la vida real que sirvan para dar significado, en un contexto, a los conceptos teóricos del área.

En 1998, el Ministerio de Educación Nacional, en relación con las competencias en esta área señala que “ser competente está relacionado con ser capaz de realizar tareas matemáticas, además de comprender y argumentar por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas. Esto es, utilizar el saber matemático para resolver problemas, adaptarlo a situaciones nuevas, establecer relaciones o aprender nuevos conceptos matemáticos”.

En este mismo sentido, como docente se espera que los estudiantes manejen adecuadamente determinados conceptos previos al iniciar el grado noveno, porque dichos conocimientos son de gran importancia pues sirven de precedente en la adquisición de nuevos saberes. “Estos conocimientos previos no solo le permiten contactar inicialmente con el nuevo contenido, sino que, además, son los fundamentos de la construcción de los nuevos significados. Un aprendizaje es tanto más significativo cuantas más relaciones con sentido es capaz de establecer el alumno entre lo que ya conoce, sus conocimientos previos y el nuevo contenido que se le presenta como objeto de aprendizaje” (Miras, 1993, p.3).

Es posible que el bajo desempeño académico de los estudiantes se deba en gran medida a diversos factores como la carencia de un proyecto de vida bien definido desde el entorno familiar, el cual se constituya en una fuente de motivación para alcanzar metas desde el ámbito académico. Lastimosamente, muchos estudiantes de nuestra Institución no asisten a clases de forma voluntaria, sino que lo hacen porque sus padres solo desean que ellos no se queden en casa sin hacer nada o salgan a la calle a exponerse a riesgos como la delincuencia o el consumo de sustancias psicoactivas, o quizá para recibir subsidios económicos por parte del gobierno. En otras palabras, no ven a la Institución Educativa como un lugar desde donde se podría empezar a construir un gran futuro para sus hijos, bien sea para continuar sus estudios en una institución de educación superior o prepararse adecuadamente con miras a ingresar al mercado laboral.

Somos los docentes quienes nos damos cuenta de que dichos factores inciden negativamente en el rendimiento académico y en la falta de apropiación de conceptos en el área de matemáticas en los diferentes niveles educativos. Esta falta de apropiación de conceptos se evidencia durante todo el transcurso de la vida escolar de los estudiantes, solo que se muestra en diferentes momentos, edades o grados. Con base en estas características es muy común observar estudiantes que presentan un desempeño académico alto o superior, pero al llegar a la adolescencia, su mente cambia y se inicia una etapa de rebeldía que, como afirma Mendizábal (1999), “Puede manifestarse en la escuela al desobedecer reglas o disminuir el rendimiento escolar” (p.196).

Ante este conjunto de situaciones el primer perjudicado es el mismo estudiante y, además, afecta toda la comunidad educativa incluyendo sus padres, docentes y la Institución como tal. Reflejo de ello son los bajos resultados de las diferentes evaluaciones censales como por ejemplo las Pruebas Saber, que se puede evidenciar en los resultados históricos del grado noveno de la Institución

5

Educativa Sebastián de Belalcázar en el área de matemáticas para los años 2015 A 2018; años en los cuales el porcentaje de estudiantes en el nivel insuficiente ha tenido un promedio de 32,7%, nivel mínimo de 53,3% y nivel satisfactorio tan solo un 14,3%; como se deduce del gráfico 2.

Gráfico 2. Reporte histórico Prueba Saber 2015-2016-2017. Fuente: Icfes.gov.co

1.1 Justificación Para seleccionar el contenido específico que trata este estudio, se revisó el documento Competencias y componentes en situación crítica (Anexo A), recopilado por tutores del Programa Todos a Aprender (PTA) del Ministerio de Educación Nacional; así como el Informe de resultados de simulacro prueba saber 9° (Anexo B), aplicado en la Institución por el grupo Helmer Pardo, donde se observa que una de las afirmaciones con tendencia negativa dentro del componente espacial métrico y la competencia de resolución es la que trata sobre el concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos.

A partir de la indagación teórica de autores como Coll y Guillén, en lo referente al proceso de enseñanza-aprendizaje y visualización de sólidos; se concluyó que con la aplicación de una estrategia didáctica que emplee el recurso

6

didáctico de los objetos físicos de aprendizaje se lograría aportar a que los estudiantes comprendan los conceptos de una forma vivencial, con lo cual se logra que el conocimiento sea significativo y pueda aplicarse en la vida cotidiana. Igualmente se brinda la posibilidad de que adquieran un mayor gusto por las matemáticas y empleen de mejor manera las herramientas de las cuales disponen en el espacio de la institución educativa. Por lo tanto, el presente trabajo también aporta al objetivo principal del Ministerio de Educación que es mejorar los niveles de desempeño en las pruebas Saber.

En otro sentido, este trabajo está comprometido con el contexto y el rol de los estudiantes dentro de él, de modo que se tomaron como modelos para los objetos físicos los monumentos más representativos de la cultura latinoamericana, con el fin de que adquieran su conocimiento a la vez que un compromiso con la región donde nacieron. Los vestigios que se conservan de las ciudades precolombinas, templos y pirámides son ricos en figuras que, al representarse en un objeto físico, facilitan la apropiación de conceptos geométricos.

De forma directa, los primeros beneficiados de esta investigación son los estudiantes, quienes siempre han tenido en sus mentes a las matemáticas como una asignatura abstracta y sin sentido práctico. Asimismo, se favorecen los docentes que tengan acceso a herramientas para manualidades, ya que el método aquí planteado se constituye en una estrategia didáctica alternativa a partir de la que se pueden enriquecer los procesos de enseñanza y aprendizaje. Por su parte, la Institución Educativa se ve privilegiada, ya que se está produciendo un nuevo proceso o este se constituye en el inicio del desarrollo de un proceso replicable fácilmente en sus diferentes sedes, de cuyos logros pueden fructificar en toda la población educativa.

Con esto se contribuye en esencia a la apropiación de conceptos del área de matemáticas. Si bien no es la salida definitiva, hace un aporte significativo en la solución de este problema. Igualmente se considera como un punto de partida con base en el cual otros profesionales de la docencia pueden contribuir con su integración a otros temas, tanto del área de matemáticas como de otras asignaturas o grados, lo cual le posibilita crecer como recurso didáctico y enriquecerse como estrategia metodológica.

1.2 Pregunta de investigación Existen diferentes factores que inciden de forma directa en el bajo rendimiento académico de los estudiantes, algunos se han mencionado anteriormente como la inexistencia de un proyecto de vida pertinente o el inadecuado uso de su tiempo libre. Otro factor es, como lo menciona Martínez (2012), “una enseñanza inadecuada en el aula de clase, a métodos tradicionales que no favorecen el aprendizaje significativo sino memorístico” (p.5). Por este y los argumentos expuestos anteriormente se describe una estrategia metodológica que involucra el uso de objetos físicos de aprendizaje para que los estudiantes de grado noveno se apropien de algunos conceptos básicos del área de matemáticas. Así mismo se espera que con la aplicación de esta estrategia se mejore su desempeño académico, elevando los resultados de las pruebas saber.

7

Por esto se sugiere el siguiente interrogante: ¿Cómo el uso de recursos físicos de aprendizaje a modo de estrategia metodológica permite la apropiación del procedimiento de cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos, en estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar, Sede José María Vivas Balcázar?

1.3 Objetivos

1.3.1. Objetivo general Desarrollar un recurso educativo con objetos físicos de aprendizaje dirigido a la apropiación del concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos, para estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar, Sede José María Vivas Balcázar.

1.3.2. Objetivos específicos

Elaborar e implementar una secuencia didáctica basada en el concepto de volumen de sólidos según las concepciones del aprendizaje basado en problemas (ABP), a partir de figuras arquitectónicas de Latinoamérica como estrategia para mejorar el aprendizaje del concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos.

Construir con los estudiantes objetos físicos teniendo en cuenta el contexto arquitectónico latinoamericano, como material de apoyo para desarrollar su pensamiento espacial y volver el aprendizaje trasversal a otras áreas de conocimiento.

Evaluar la incidencia derivada de la aplicación de los recursos y estrategias didácticas desarrollados, en la solución de problemas de cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos del área de matemáticas de los estudiantes de grado noveno de la institución.

1.4. Población a quien va dirigida

El conocimiento del contexto en el que se localiza cada institución educativa brinda la posibilidad de observar algunas de las condiciones a las que se ven enfrentados día a día los estudiantes, lo cual permite una intervención del maestro en la comunidad educativa y un mejor entendimiento de la forma o estilo de aprendizaje por parte de ellos.

La Institución Educativa Sebastián de Belalcázar es una Institución de carácter oficial, mixta, creada mediante Decreto de fusión No. 394 del 2 de septiembre de 2004 y Resolución de aprobación No. 688 de mayo 7 de 2007 emanadas de la Secretaría de Educación del Municipio de Palmira; brinda educación en los niveles preescolar, básica primaria y secundaria y media técnica en sus jornadas de mañana y tarde. Administrativamente se compone de un (1)

8

Rector, tres (3) Coordinadores, cincuenta y seis (56) docentes de aula, un (1) tutor y una población aproximada de 1.100 estudiantes, distribuidos en sus 6 sedes.

Gráfico 3. Localización Sedes Institución Educativa Sebastián de Belalcázar.

Fuente: http://www.olmue.com.co/wp-content/uploads/2012/08/colombia-valle-palmira.jpg y maps.google.com

Sus sedes se localizan así: La sede Principal en el Corregimiento

Guanabanal; Sede José María Vivas Balcázar en el Corregimiento de Palmaseca, Sede Julia Saavedra de Villafañe en el Corregimiento de Juanchito, Sede La Dolores en el Corregimiento La Dolores, Sede Alfredo Vásquez Cobo en el Corregimiento Caucaseco y Sede La Unión localizada en la Vereda La Unión.

La Sede José María Vivas Balcázar empezó a funcionar en un lote donado por los señores Primo Prado B. y Álvaro Molina H., según escrituras públicas # 344 de la notaria primera principal del circuito de Palmira, de fecha 11 de marzo de 1951 con una extensión de 1.600 m2; es de anotar que el terreno originalmente donado fue recortado al construir en su parte posterior la Inspección de Policía.

En esta sede se ofrecen todos los niveles educativos, en las jornadas de mañana y tarde, puesto que la sede no cuenta con las aulas suficientes para atender a la población estudiantil en una sola jornada. En el mes de enero de 2018 entran en funcionamiento 4 nuevas aulas, restaurante escolar, cocina y baterías sanitarias, las cuales suplen un poco esta necesidad, aunque presenta otros problemas de infraestructura (paredes, pisos, techos, baterías sanitarias e instalaciones eléctricas en mal estado) dada la antigüedad de la planta física y la falta de inversión por parte del Ministerio de Educación y Secretaría de Educación.

Se localiza en el Corregimiento de Palmaseca; corazón del triángulo de oro Cali-Palmira-Yumbo, distante siete kilómetros de Cali, a catorce de Palmira, a cinco del aeropuerto, a ocho de Yumbo, a trece de Rozo; su territorio plano limita con los corregimientos de Obando, la Herradura, Guanabanal y La Dolores. Tiene una temperatura promedio de 27 grados centígrados; se encuentra a 980 km sobre el nivel del mar. Su territorio es atravesado por los ríos Bolo, Fraile y Palmira. Cuenta con todos los servicios públicos, aclarando que el servicio de agua potable lleva un año de funcionamiento. Al igual que el resto del Valle del

9

Cauca, las vías principales que atraviesan Palmaseca son de primer nivel, aunque existen varias estaciones de peaje que limitan el acceso a diferentes lugares.

Esta zona se caracteriza por el monocultivo de la caña de azúcar en grandes extensiones. Su población perteneciente a los estratos 1 y 2 es rural, pero no existe el minifundio. Las labores económicas para su sustento las realizan en la ciudad de Cali o Palmira. La mayoría de los habitantes se dedica a la economía informal, en pequeños negocios, transporte informal o como mayordomos de grandes propiedades cañeras. En Palmaseca se encuentran ubicadas algunas empresas como la Industria de Licores del Valle, la Zona Franca de Palmaseca, El estadio del Deportivo Cali y el Aeropuerto Internacional Alfonso Bonilla Aragón (antes Palmaseca) y numerosas empresas agrícolas y agroindustriales.

La investigación se llevará a cabo en la totalidad de los 19 estudiantes de grado noveno (9°) de la Sede José María Vivas Balcázar de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar. Este grupo es el único grado noveno en esta Sede educativa. Dicha sede es rural y sus estudiantes pertenecen a los estratos socioeconómicos 1 y 2. Con edades que oscilan entre los 13 y 16 años. Las familias de estos niños presentan un nivel académico entre primaria incompleta y bachillerato incompleto en su mayoría, en pocos casos cuentan con bachillerato completo o educación universitaria.

10

2. Marco de referencia

2.1. Estado del arte

Han sido diversas las investigaciones que han abordado el problema de la enseñanza de la geometría en las aulas, así como la utilización de objetos físicos de aprendizaje (OFA) para la enseñanza de los temas del área de matemáticas. En concreto, en este apartado se reseñarán aquellas investigaciones internacionales y nacionales que se basen en una propuesta didáctica donde sea fundamental la utilización de OFA, las cuales servirán como antecedentes de la presente.

En primer lugar, a nivel internacional se encuentra el trabajo de Lastra Torres, Sonia (2005), “Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geometría, aplicada en escuelas críticas”. Se trató de su tesis para optar al grado de Magíster en la Universidad de Chile, Santiago. Para resolver problemas de índole pedagógico en la enseñanza del tema de cuadriláteros, del área de matemáticas, en su institución, la autora (2005) elaboró una estrategia basada en una serie de herramientas pedagógicas que usaran el plegado, la construcción, el dibujo, modelamientos, software y variadas actividades. Interesa traerla a colación porque su propósito fue que los estudiantes identificaran los cuadriláteros, distinguieran la figura de otras construcciones geométricas, construyeran cuadriláteros y, en últimas, apoyaran sus conocimientos en el área de geometría, lo que se tradujera en un mejoramiento de las notas al finalizar el periodo que duró la propuesta; objetivo que se puede poner en paralelo con el de esta misma investigación. También es importante este trabajo porque brinda una secuencia didáctica bien estructurada donde se utilizan, aunque no en cada taller, los OFA y se muestran resultados optimistas al respecto.

En segundo lugar, se reseña el trabajo de Patricia Miguens Pereda (2016), “Material lúdico-manipulativo para el aprendizaje de geometría en 4° de Educación Primaria”, el cual fue su trabajo de grado para conseguir el título de Licenciada en Educación Primaria de la Universidad Internacional de La Rioja. La intención de Miguens (2016) al basar su trabajo en los materiales lúdicos-manipulativos consistió en motivar a los alumnos de 4° a adquirir los conocimientos del área de geometría, con base en el principio de que los estudiantes aprenden mejor si la observación se compagina con la experimentación. Utiliza materiales ambientales y estructurados en la elaboración de tangrams, geoplanos y mecanos magnéticos. Tomar como antecedente esta investigación permite tener otro ejemplo de aplicación de objetos físicos de aprendizaje en un aula de matemáticas, donde se brindan además algunas pistas sobre la experiencia durante la elaboración de este tipo de materiales.

A nivel nacional, se encuentra el aporte de Matheus, L. N. et al. (2009), “Propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría a través de la papiroflexia”, conferencia del Décimo Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, San Juan de Pasto, realizado el 7 de octubre, que sintetiza los resultados de su investigación. El trabajo aborda en términos generales las ventajas del uso de la papiroflexia como estrategia didáctica, que además se

11

apoye en las herramientas tecnológicas y digitales, para la enseñanza de conceptos de geometría.

De acuerdo a Matheus et al. (2009), la papiroflexia es una forma de que a partir del papel los estudiantes construyan diversas figuras geométricas y aprendan de mejor manera los conceptos del área mientras crean. Con este método se trabajan conceptos del área de matemáticas del tipo de “línea recta paralela y perpendicular, bisección de ángulos y mediatriz, y algunas nociones de trigonometría como: las identidades trigonométricas” (2009, p. 6). Pero además, apoyados en software como Geogebra® y Cabri Geometry-3d®, los cuales brindan los módulos que se imprimen en el papel para después realizar los dobleces indicados.

Es importante reseñar y tener en cuenta esta investigación porque registra un proceso hecho a partir de la acción manual de los estudiantes y brinda una estrategia concreta para utilizar los OFA que no está destinada a un grado escolar específico, por lo que su espectro abarca todos los niveles de la básica primaria y secundaria y sirve para el grado noveno donde se va a intervenir en este trabajo.

Por su parte, Villada Herrera (2013), en su estudio Diseño e implementación de un curso virtual como herramienta didáctica para la enseñanza de las funciones cuadráticas para el grado noveno en la Institución Educativa Gabriel García Márquez utilizando Moodle; ilustra la falta de interés y motivación en el aprendizaje del tema relacionado con las funciones cuadráticas de los estudiantes de ese grado. Con base en su afirmación propone una estrategia pedagógica basada en el diseño de un curso virtual para la enseñanza aprendizaje de las funciones cuadráticas mediante el planteamiento y la resolución de situaciones problema a través de la de la plataforma Moodle para que se facilite la apropiación del conocimiento. Además, formula situaciones problemáticas y las soluciona mediante la utilización de los diferentes conceptos sobre funciones relacionándolas con otras áreas del conocimiento.

En este proyecto se aplica una estrategia metodológica por medio de un curso donde se observa como resultados su desarrollo de manera virtual con los estudiantes de grado noveno, donde finalmente se aprecia un avance significativo en el tema de funciones cuadráticas y mostrando un mayor interés en el área de matemáticas.

En el contexto local, se tiene el antecedente “Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º”, tesis de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales de Olga Lucía Masso Sanjuán (2013), en la Universidad Nacional de Colombia sede Palmira. En su tesis, Masso (2013) se propuso la formulación de una estrategia didáctica a partir de los objetos físicos para la enseñanza del álgebra en el grado 8vo de la institución Educativa Rafael Navia Varón de la ciudad de Cali. Partió del reconocimiento de la dificultad que se halla en el momento del proceso de aprendizaje de las matemáticas en la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico, por lo que formuló una estrategia donde los estudiantes elaboraban diversos objetos físicos como tableros, torres y triángulos de pascal. Este trabajo es fundamental como antecedente al presentar una intervención didáctica sistemática elaborada en torno a la enseñanza de las matemáticas con diversos OFA, además de haberse hecho en el ámbito local.

12

2.2. Marco teórico

Las matemáticas es la ciencia de los números y de las figuras geométricas como sujetos abstractos. El hombre se ha valido de esta ciencia desde tiempos inmemorables para llevar un orden de todos los aspectos de la sociedad y facilitar su vida. Los egipcios ya conocían los números desde la antigüedad y los aplicaron en diferentes campos como la construcción de sus pirámides, diques, distritos de riego, entre otros. Igualmente, en Grecia hubo grandes aportes de los antiguos matemáticos y filósofos, muchos de los cuales prevalecen hasta nuestros días, permitiendo el desarrollo de las matemáticas como una ciencia que se encuentra presente en casi todos los aspectos de nuestra sociedad como la medicina, la computación, la física, química, contabilidad, administración, economía, etc. En este apartado, inicialmente se tratarán algunos aspectos acerca de la enseñanza de las matemáticas para pasar a lo referente a la utilización de OFA.

2.2.1. Consideraciones sobre la enseñanza de las matemáticas Se considera importante hacer una mirada general a la enseñanza de las matemáticas en la actualidad, para observar sus puntos débiles y así poder reorientarse hacia una nueva metodología en la forma como se imparte esta área. Comencemos observando cómo, a lo largo de los años, muchos objetos y situaciones de la vida han cambiado y evolucionado; por ejemplo, en las empresas, los obreros u operarios han sido reemplazados por máquinas y robots automáticos, los computadores hacen las operaciones de contabilidad con mayor rapidez y precisión; solo por mencionar algunos ejemplos. Contrario a esto, la didáctica y pedagogía de las matemáticas no parecen mostrar una evolución, por lo tanto, se puede afirmar que su enseñanza es muy similar a la de hace mucho tiempo, muchas décadas, incluso casi un siglo. Lo único que ha cambiado es la aparición de las calculadoras electrónicas o de los computadores con su infinidad de programas, pero estas mismas tecnologías han terminado mal empleadas o subutilizadas.

Como docentes, al hacernos un autoanálisis y autoevaluación podemos mirar algunos puntos importantes que se generalizan en todo el magisterio, y que se convierten en debilidades:

El acto de acorralar a nuestros estudiantes para que se apresuren en terminar una evaluación dejándolos confusos.

Con mucha frecuencia se utiliza para el desarrollo de las clases un mismo libro de texto, y se hace que los estudiantes transcriban al pie de la letra sus contenidos. Esto sin tener en cuenta las diferencias que existen entre los alumnos, por ejemplo, en su rol de futuros profesionales como médicos, abogados o técnicos de una fábrica.

Cuando se intenta resolver problemas, casi todos los docentes pueden observar que la información está planteada de tal manera que los

13

resultados que obtenga el estudiante sean prácticamente exactos, desconociendo aquellos que se presentan en la vida diaria.

Así mismo, al entablar conversaciones con los colegas docentes, sobre todo

de la misma área, a veces sale a colación el tema del cambio en las estrategias de enseñanza. En dichas discusiones se concluyen cosas como afirmar que los docentes desconocemos las temáticas de otras asignaturas, como por ejemplo las de humanidades; otros afirman que ya están a punto de retirarse y que ya no es conveniente aventurarse en el mundo de las alternativas didácticas, o también que no se sentirían cómodos haciendo cambios en las temáticas lo que les generaría, tal vez, un poco de inseguridad. Hay quienes manifiestan que ya es suficiente con la gran sobrecarga laboral y que los cambios vendrían acompañados de trabajo adicional, generando un cierto temor a la innovación, además de la necesidad de diseñar nuevos tipos de exámenes o evaluaciones basadas en las pruebas Saber para cumplir con el requisito de un buen puntaje

Apenas se ha iniciado, en gran parte estimulado por las políticas del ministerio, una reorganización de los contenidos del área de matemáticas y en la reformulación de métodos. Con esto se busca que los estudiantes aprendan de manera agradable y que los motive a asistir a clases. Esto es una educación adaptada a las características de los alumnos.

Es importante resulta dar una mirada sobre cuál es el estado de la enseñanza del área de matemáticas hoy en día en las Instituciones educativas, pero especialmente cómo se va a aplicar estos conocimientos pensando en un desarrollo en el ámbito académico (universitario o tecnológico) o laboral. De lo contrario seguiremos, en cierto modo, desconectados con la cotidianidad, es decir, sin ver la utilidad de los conceptos de manera práctica. Para ello conviene hacer reflexionar sobre las metodologías utilizadas actualmente y las que en realidad permitirían un mejor aprendizaje y apropiación de los conceptos por parte de los estudiantes, orientando las matemáticas con mayor eficacia según los distintos niveles de aprendizaje.

Tradicionalmente se ve al docente como una persona que solo se limita a transmitir conocimientos y saberes, definiciones y teoremas, que varían de acuerdo al área que tenga a su cargo, siempre colocando la teoría por encima de la práctica. Esta enseñanza tradicional de algoritmos y fórmulas, hoy por hoy, se ha vuelto excesivamente aburrida para los estudiantes y, en gran parte, acaban con su ingenio natural, alejándolo de la utilidad cotidiana, lo cual agota la motivación para aquellos que pretenden continuar con sus estudios técnicos o profesionales como los ingenieros, geólogos o contadores. Así mismo, siempre se encuentran en los libros de texto de matemáticas una infinidad de problemas que nunca podrían aplicarse en la vida real.

Pero este análisis sobre la enseñanza de las matemáticas a nivel de bachillerato se debería extender a todo el currículo con el fin de propender por un aprendizaje que incluya, además de los contenidos, una visión más amplia de la cultura, de la sociedad y del medioambiente. Con base en esta afirmación es posible cuestionarse sobre el papel de las matemáticas en la vida diaria de los alumnos. Al respecto, un excelente pensamiento de H. Pollack es citado en el artículo “Apología de la utilidad y del realismo” de Alsina (1996):

14

Tradicionalmente, las matemáticas de la vida normal de cada día han sido las matemáticas de la escuela primaria. Las matemáticas para ejercer una ciudadanía inteligente tendrían que ser básicamente las matemáticas de secundaria. Las matemáticas del ejercicio profesional se tienen que enseñar en la etapa universitaria (si el ejercicio de la profesión requiere estudios a este nivel). Las matemáticas como parte de la cultura integral humana no han sido asignadas a ningún nivel educativo (p.7).

Desde la educación básica secundaria es necesario que en los currículos sea planteada el área de matemáticas de forma más práctica para paulatinamente llegar a ese objetivo, es decir, mientras el sistema educativo adopta esas modificaciones.

De modo que no se puede desconocer la gran importancia de las matemáticas, sus contribuciones a distintas áreas del conocimiento, tampoco dejar de saber que gracias a ella se pudieron desarrollar muchas industrias, como la musical, la telefónica, aparatos tecnológicos de hogares y oficinas, además de su desarrollo en la academia, en las investigaciones y en las comunicaciones.

Es muy importante entender que las matemáticas no están separadas de las otras áreas del conocimiento, considerando este conocimiento como un todo y las matemáticas una parte de ese todo. Si las separamos corremos el riesgo de deformarlo. Por esta razón, cada aporte proveniente de las diferentes materias representa una gran utilidad al desarrollo pedagógico del área. En este orden de ideas, estamos abriendo la posibilidad de demostrar que las matemáticas tienen infinitas posibilidades de ser usadas en diferentes contextos ajenos al específico.

Otra particularidad esperada por todos los docentes es que sus alumnos comprendan e interioricen de manera consiente que las matemáticas pueden afectar positivamente su desarrollo profesional, y que su educación debe estar marcada por grandes diferencias a la que han venido recibiendo tradicionalmente, es decir, una educación aplicable a la vida cotidiana y laboral.

Con todas estas expectativas mencionadas, se crea la posibilidad de elegir algunas opciones acordes a la cotidianidad de los alumnos y que además permitan su inserción dentro del trabajo en el aula. De esta manera la enseñanza de las matemáticas estaría orientada incluyendo innovaciones, las cuales por pequeñas que sean, permiten salir de lo común o rutinario y pasan a destacarse entre el resto de procesos, fomentan la creatividad tanto de docentes como estudiantes, mejora la práctica educativa y fomenta la investigación, con lo cual se alcanzan mejores resultados de aprendizaje.

De acuerdo a Ruiz (2013), cabe resaltar en este punto la obra de John Dewey, quien desarrolla un esquema teórico de la investigación qué consiste fundamentalmente de 5 momentos: el primero es la situación problema, el segundo es la intelectualización del problema, es decir empezar a buscar o tener sugerencias de una búsqueda o idea para darle solución a ese problema. El tercer momento ya es la experimentación como tal, donde se ensayan diferentes hipótesis. En el cuarto momento se reelaboran las hipótesis originales y el quinto momento es la verificación de dichas soluciones.

15

Igualmente, la idea central del activismo de John Dewey dio lugar al método del problema, que es finalmente una adaptación del método científico al proceso de aprendizaje, y cuya perspectiva o cuyo énfasis se da en la resolución de problemas. En este orden de ideas, Dewey concibió el método del problema, que no es sino una adaptación al método científico basada en la resolución de problemas. Como consecuencia aparece la educación progresiva o progressive education, análogamente es la que nosotros conocemos como escuela activa. En ella, a través del ensayo y error el estudiante va progresando, con lo cual la educación escolar utiliza unas experiencias reales para que los estudiantes al final resuelvan problemas prácticos.

Igualmente, se destacan algunos planteamientos que pueden aplicarse en la enseñanza de las matemáticas, como la valoración del aprendizaje por descubrimiento, la incorporación de la enseñanza de objetos manipulables y visitas a museos, es decir, la exploración; la incorporación, el debate, el trabajo de los estudiantes en proyectos individuales o grupales, el desarrollo y la motivación de los niños, la adaptación al resultado de la investigación y que el docente no sea concebido como una autoridad sino como un facilitador del aprendizaje. Sus postulados y pretensiones permiten darnos una vista histórica, pero la podemos observar en la educación de nuestros días de manera clara.

2.2.2. Competencias matemáticas

Es muy importante hablar de competencias matemáticas, puesto que, de

forma general, en cualquier aspecto de nuestra vida cotidiana o profesional; el ser competente o tener una competencia significa alcanzar aquellos aspectos que se requieren para desenvolverse adecuadamente en ese aspecto. Por esto el Ministerio de Educación Nacional (MEN) ha definido el poseer competencia matemática como:

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere analizar la situación; identificar lo relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Estas actividades también integran el razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que justifiquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con fluidez distintos

16

recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos.

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos.

2.2.3. Avances en el aprendizaje de las matemáticas Existen dos grandes dudas que siempre aparecen en el camino de los estudiosos de las ciencias, ellas son, la “identificación de los fenómenos de modo que permita describir su evolución cualitativa, y, en segundo lugar, la medida de tales fenómenos. Esta medida aporta una nueva característica para su conocimiento y previsión: la magnitud” (Canevet, 1970).

La búsqueda de una respuesta a la primera pregunta ha llevado al desarrollo de los procesos de observación e ingenio ligados específicamente al lenguaje estándar; mientras tanto, las matemáticas se han desarrollado en torno a la solución del segundo interrogante. A lo largo de la historia, grandes pensadores basaron sus estudios en las matemáticas y, así como la humanidad misma, estas también han evolucionado desde la simple representación de sucesos, hasta la aparición de los números, las funciones, los sistemas numéricos, y, finalmente, aparatos como el ábaco, la regla de cálculo, las calculadoras y computadores. Ha sido un proceso lento que lleva miles de años, pero que siempre ha implicado una labor de enseñanza y aprendizaje entre dos actores: alumno y maestro. Dicha labor se podría decir que no ha presentado muchos cambios y se continúa realizando hasta el presente.

A lo largo de su historia, la Matemática ha evolucionado con los diversos descubrimientos, pasando del empirismo inicial a la abstracción, y por diversos cambios que se presentaron hasta adquirir el lenguaje en que está escrita, el método con el que se trabaja y la estructura abstracta en la que se mueve (Baquero y González, 2006). Estos cambios han influenciado los aspectos relacionados con las teorías de enseñanza de esta área, así mismo sus metodologías. Se ha iniciado con la inclusión de problemas de la vida cotidiana para darle un enfoque más práctico a los ejercicios por resolver. Sobre las estrategias metodológicas

Es importante, con el fin de desglosar ciertos conceptos pedagógicos, comprender cuáles podrían ser algunas de las estrategias metodológicas que serían apropiadas para su aplicación en la enseñanza de las matemáticas. Pero antes de ello se debe tener claridad sobre la diferencia que existe entre método de aprendizaje, técnica de aprendizaje y estrategias de aprendizaje.

Como afirman Latorre y Seco (2013), el método de aprendizaje es el camino que sigue el estudiante para desarrollar habilidades más o menos generales, aprendiendo contenidos. Un método es una forma de hacer. Cada estudiante, con sus diferencias individuales, tiene un estilo peculiar de aprender, es decir, una

17

manera concreta de recorrer el camino del aprendizaje. Para ello es necesario establecer o delimitar correctamente el contexto donde se va a desarrollar el proceso educativo, el área de estudio, los contenidos, las características propias de los estudiantes, entre otros.

También ellos definen la técnica de aprendizaje como un procedimiento algorítmico. Es un conjunto finito de pasos fijos y ordenados, cuya sucesión está prefijada y secuenciada, y su correcta ejecución lleva a una solución segura del problema o de la tarea; por ejemplo, realizar una raíz cuadrada, coser un botón, sumar, multiplicar, integrar, realizar una operación quirúrgica, anudar el zapato, reparar o reemplazar una llanta de un carro, hacer un traje, hacer una cerámica, una derivada, una multiplicación, etc. Mientras que la estrategia de aprendizaje es un procedimiento heurístico que permite tomar decisiones en condiciones específicas. Una estrategia de aprendizaje es una forma inteligente y organizada de resolver un problema de aprendizaje. Una estrategia es un conjunto finito de acciones no estrictamente secuenciadas que conllevan un cierto grado de libertad y cuya ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo; por ejemplo, llevar a cabo una negociación, la orientación topográfica, resolución de problemas, realizar un cálculo mental, planificación de una excursión por una montaña desconocida, ejecutar una decisión adoptada, etc. (Latorre y Seco, 2013, p. 15).

2.2.4. Aprendizaje basado en problemas (ABP)

Para la aplicación de las herramientas como los objetos físicos de aprendizaje (OFA), se propone emplear la estrategia metodológica de Aprendizaje basado en Problemas (ABP).

En el contexto histórico, Lourdy (2014) afirma que: El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) nace como una metodología de enseñanza, desarrollada desde la década de los 60’s en McMaster University, Canadá, extendida luego a todo el mundo académico. Como ya ha sido señalado, no todos los conocimientos pueden adquirirse fácilmente con esta metodología, esencialmente por un tema de costos en recurso humano y tiempo. No es un método rápido; es un método adecuado a las necesidades de aprendizaje individual. Requiere por tanto tutoría individual. Esto, ha significado que actualmente haya Universidades, las más, que lo adoptan como estrategia didáctica en aquellos cursos de ciertas titulaciones que lo soportan; unas pocas, que lo han adoptado como un enfoque curricular, es decir, como una malla curricular completamente diseñada al alero del ABP; y finalmente, las menos, que lo han asumido como un enfoque filosófico, esto es, como una manera de alcanzar los objetivos educacionales mayores, la misión y la visión de dichas Universidades (p.13). En esencia, el método del ABP se contrapone a la clase magistral. En esta

última, se espera que luego de dada una lección, los estudiantes pasen a la práctica a validar los conocimientos teóricos. El principio del ABP, en cambio, es que a partir de un enunciado los estudiantes deben averiguar y comprender qué

18

es lo que pasa para hallar una solución (Universidad Politécnica de Madrid, s.f.), es decir, los estudiantes son plenos protagonistas del proceso de aprendizaje. Barrows (1986, citado en UPM, s.f., p. 3) la define como “un método de aprendizaje basado en el principio de usar problemas como punto de partida para la adquisición e integración de los nuevos conocimientos”. Del mismo autor puede definirse una lista de características propias del ABP (Barrows, 1996, citado en Morales y Landa, 2004):

El aprendizaje está centrado en el alumno.

El aprendizaje se produce en grupos pequeños de estudiantes.

Los profesores son facilitadores o guías.

Los problemas formas el foco de organización y estímulo del aprendizaje.

Los problemas se relacionan o corresponden con problemas reales de la vida práctica.

La nueva información se adquiere a través del aprendizaje autodirigido Restrepo Gómez (2005), por su parte, afirma que “En el ABP se crea un

ambiente de aprendizaje en el que el problema dirige el aprendizaje. Con tal propósito, aquel debe presentarse de tal manera que el estudiante entienda que debe profundizar ciertos temas antes de poder resolver el problema en cuestión (ChemengMcMaster, 2000)” (p. 11).

19

3. Metodología

3.1. Tipo de estudio Este proyecto de investigación es de índole cualitativo, en tanto se pretende analizar los resultados de la aplicación de una secuencia didáctica en el rendimiento académico de un grupo de estudiantes. El enfoque investigativo es de tipo descriptivo, pues centra el análisis en la descripción de los fenómenos y cosas observadas. Una de las funciones principales del método descriptivo es la capacidad para seleccionar las características fundamentales del objeto de estudio y su descripción detallada dentro del marco conceptual de referencia (Cerda, 1993). Inicialmente se realizó una revisión bibliográfica de libros de texto donde planteen problemas aplicables al tema de estudio, los cuales se contextualizan a la población objeto. Con ellos se elaboraron esquemas que van a ser desarrollados empleando objetos físicos de aprendizaje que puedan emplearse en diferentes aulas de clase y cuya aplicación pueda replicarse en diferentes contextos.

A su vez, se avanzó en el diseño de una estrategia o secuencia didáctica apoyada en la metodología de aprendizaje basado en problemas. En ella se incluyen los OFA desarrollados, que se implementan para ser trabajados por los estudiantes de forma activa como complemento de las actividades de la clase de matemáticas sobre el concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos. Lógicamente, antes de su aplicación se debe hacer una sensibilización a los estudiantes en relación con el manejo de las herramientas digitales que se usarán, el eje temático a abordar, además del método a emplear por medio de reuniones explicativas.

Por último, se hace la evaluación del proceso de aplicación de los objetos físicos de aprendizaje en la solución de problemas de cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos del área de matemáticas de los estudiantes de grado noveno.

3.1.1. El método cualitativo En este tipo de investigación es oportuno realizar observaciones que conduzcan a comunicar confiablemente la realidad social en la cual está inmersa la población objeto de estudio. Igualmente, se pretende obtener información fruto de la experiencia personal de los individuos involucrados en el estudio a través del uso de técnicas de recolección de información, como la entrevista a los estudiantes para conocer la postura que manifiesta con respecto a la utilización de recursos físicos durante el transcurso de las clases de matemáticas; la valoración específica del área como tal y sus apreciaciones referentes al manejo de las herramientas indicadas y su influencia en el rendimiento escolar.

Inicialmente se aborda la investigación desde una perspectiva preparatoria en donde se establece primero el marco teórico o conceptual, el cual se apoya en los antecedentes relacionados con el problema planteado y el uso de OFA en el aula de clases a nivel nacional e internacional. Luego se hace el diseño o planeación de las actividades de la investigación; para posteriormente llevar a

20

cabo un trabajo de campo en donde se demuestren actitudes de meticulosidad, orden, persistencia, flexibilidad, adaptación a las situaciones que se presentan durante la recolección de información.

El método cualitativo debe desarrollarse dentro del colegio y específicamente en el aula de clase, donde se observará y recopilará toda la información posible de los individuos objeto de investigación. Para ello se debe contar con la capacidad de hacer un muestreo de aquellos individuos que permitan una mayor y mejor información.

En el presente trabajo, toda la información recopilada se organizó eficazmente de forma tal que se facilite su posterior localización e interpretación. Es aquí donde se eliminan o descartan los datos que sean innecesarios para el objetivo de la investigación.

3.2. Fases de la investigación

Fase 1. Prácticas de prueba, diagnóstico y elaboración de la secuencia

didáctica.

En esta fase inicial, los niños demuestran sus conocimientos previos

respecto al concepto de volumen de sólidos, así como sus principales

inquietudes y vacíos sobre el tema. Una vez hecha la introducción al tema y

tomado las muestras de un ejercicio inicial, se hace un diagnóstico, el cual

será el primer pie para la construcción de una secuencia didáctica para

apropiar el concepto de volumen de cuerpos sólidos.

Fase 2. Ejecución de la propuesta pedagógica. Elaboración de figuras

geométricas basadas en monumentos latinoamericanos.

La secuencia didáctica se basa principalmente en la construcción por parte

de los estudiantes de figuras geométricas utilizando diversos materiales,

que tengan su modelo en las edificaciones emblemáticas de Latinoamérica,

en especial en su etapa prehispánica, donde resaltan las pirámides

escalonadas, los grandes templos, etc. Como puede verse en la secuencia,

antes de la elaboración propiamente de los objetos, primero se sitúa

teóricamente a los estudiantes.

Fase 3. Evaluación de la propuesta.

En la última parte del trabajo, se evalúan los resultados de la propuesta de

dos formas distintas. Primero a partir de los objetos físicos hechos por los

jóvenes, segundo desde una mirada a sus resultados en las pruebas

académicas, cuestionarios compaginados con los presentados durante la

etapa de diagnóstico, de modo que puede evidenciarse con mayor facilidad

el aporte didáctico realizado a los estudiantes.

21

3.3. Modelo metodológico para la construcción de los objetos físicos

3.3.1. Diseño de sólidos con volumen similar en la pirámide de Kukulcán

Hace parte fundamental dentro de la secuencia didáctica, puesto que uno de los propósitos fue que los estudiantes observen objetos de diferente forma y/o medidas, pero que el volumen fuese el mismo. De esta manera, para la guía 2 (Pirámide de Kukulcán), se manejó una escala de 1:200 y se tomaron 5 de los 9 niveles de la pirámide para descomponerla en forma de prismas rectangulares, los cuales se construirán por los estudiantes, se organizarán y finalmente se llegará al armado de la pirámide (ver figuras 1 y 2).

27,1 m ≈ 27 m

30,4 m ≈ 30 m

33,7 m ≈ 34 m 37 m

40,3 m ≈ 40 m

Figura 1. Dimensiones reales de algunos niveles de la pirámide de Kukulcán. Fuente: propia.

Figura 2. Conformación de los niveles de la pirámide. Fuente: propia

22

Cada nivel de la pirámide estará conformado por 5 prismas rectangulares

con diferentes medidas; por ejemplo, el nivel 1 cuyas medidas laterales serán, una vez armado, de 20 cm de largo x 20 cm de ancho, como muestra la figura 3.

Figura 3. Organización de cada nivel de la pirámide. Fuente: propia.

La construcción de cada uno de los prismas rectangulares se hará por

medio del desarrollo plano de los mismos, empleando para ello cartulina de diferentes colores. A modo de ejemplo se muestran las dimensiones del prisma rectangular No. 3 (ver figura 4).

Figura 4. Desarrollo plano prisma rectangular No. 3. Fuente: propia.

Como se mencionó anteriormente, cada nivel de la pirámide se ha dividido

en 5 prismas rectangulares diferentes. Los prismas se enumeraron del número 1 al 25 y se realizó por ensayo y error diferentes configuraciones en sus medidas, hasta obtener varios de ellos con volúmenes similares (ver tabla 1).

Tabla 1. Prismas rectangulares con volúmenes similares. Fuente: propia.

Volumen Número de los Prismas rectangulares similares

61 cm3 10, 20, 21

72 cm3 15, 23, 25

100 cm3 14, 18, 22

187 cm3 4, 6, 13, 19, 24

204 cm3 2, 3, 17

23

Como se aprecia en la tabla 1, se diseñaron 17 prismas rectangulares con

volúmenes similares. A cada volumen similar se le asignó un color para ser elaborado con cartulina partiendo de su desarrollo plano.

3.3.2 Diseño de sólidos con volumen similar en el Templo del Sol

El Templo del Sol puede estructurarse como un conjunto de 2 sólidos geométricos básicos: cono y cilindro. El cono forma el techo del templo y los cilindros, la estructura principal y las columnas. A su vez, el cilindro de la estructura principal se subdividió en cilindros más pequeños, diseñados para que su volumen coincida con los prismas rectangulares de la Pirámide de Kukulcán, de tal modo que permitan a los estudiantes observar que los sólidos geométricos de diferente forma pueden tener el mismo volumen. En la figura 5 puede observarse el modelo de la estructura.

Figura 5. Modelo Templo del sol. Fuente: propia.

Teniendo en cuenta que la altura total del cilindro de la estructura principal

es de 11 cm, se dividió en 4 cilindros de distinta altura. La altura se determinó con la ecuación de volumen del cilindro, considerando que se debían obtener volúmenes similares a los de la pirámide de la guía No. 2 (anexo E).

𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (𝑑) = 6,37 𝑐𝑚

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 (𝑟) = 3,2 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (ℎ𝑡) = 11 𝑐𝑚

a) Primer volumen similar: 61 cm3

Cilindro # 2: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 1 = 𝜋𝑟2ℎ

ℎ1 =𝑉1

𝜋𝑟2=

61𝑐𝑚3

𝜋(3,2𝑐𝑚)2= 1,89 𝑐𝑚

24

Figura 6. Cilindro No. 2. Fuente: propia.

b) Segundo volumen similar: 72 cm3

Cilindro # 3:

ℎ2 =𝑉2

𝜋𝑟2=

72 𝑐𝑚3

𝜋(3,2𝑐𝑚)2= 2,24 𝑐𝑚

Figura 7. Cilindro No. 3. Fuente: propia.

c) Tercer volumen similar: 100 cm3 Cilindro # 4:

ℎ3 =𝑉3

𝜋𝑟2=

100 𝑐𝑚3

𝜋(3,2𝑐𝑚)2= 3,1 𝑐𝑚

Figura 8. Cilindro No. 4. Fuente: propia.

d) Cuarto volumen similar: 187 cm3

Cilindro # 5:

ℎ4 =𝑉4

𝜋𝑟2=

187 𝑐𝑚3

𝜋(3,2𝑐𝑚)2= 5,81 𝑐𝑚

25

Figura 9. Cilindro No. 5. Fuente: propia.

Con la construcción de estos cuatro cilindros se forma la estructura principal del templo del sol. Por otra parte el techo (ficha 1) se constituye de un cono y las 5 columnas (fichas 6 a 10) tienen forma cilíndrica, los cuales no tienen volúmenes que coincidan con los demás sólidos. Sus dimensiones se observan en las figuras 10 y 11:

Figura 10. Dimensiones del techo. Fuente: propia.

Figura 11. Dimensiones de las

columnas. Fuente: propia.

3.3.3 Diseño de sólidos con volumen similar en el castillo de San

Felipe

El modelo del castillo de San Felipe propuesto es, en realidad, una pequeña parte

de la estructura real, puesto que construir su arquitectura completa es bastante

complejo, ya que esta edificación presenta un gran tamaño y una variedad de

formas. Por lo tanto, se organizó como 7 sólidos geométricos: semiesfera, cilindro,

prisma rectangular, cubo y prisma trapezoidal, los cuales se diseñaron con la

misma intención de que su volumen coincida con los prismas rectangulares de la

Pirámide de Kukulcán y los cilindros del Templo del Sol, para que los estudiantes

continúen observando que las diferencias en la forma no implican siempre

diferencia en el volumen.

26

Figura 12. Modelo Castillo de San Felipe. Fuente: propia.

Las dimensiones de los distintos sólidos que conforman el Castillo de San Felipe son:

a) Primer volumen similar: 61 cm3

𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =2

3𝜋𝑟3 , de donde 𝑟 = √

3𝑉

2𝜋

3

Para un volumen de 61 cm3, se tiene que 𝑟 = 3,07 𝑐𝑚

Figura 13. Dimensiones semiesfera (ficha 1). Fuente: propia.

b) Segundo volumen similar: 72 cm3

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (𝜋𝑟2)ℎ , de donde ℎ =𝑉

𝜋𝑟2

Para un radio 𝑟 = 3,07 𝑐𝑚 y un volumen 𝑉 = 72 𝑐𝑚3, se tiene que

ℎ =72 𝑐𝑚3

𝜋(3,07 𝑐𝑚)2= 2,43 𝑐𝑚

27

Figura 14. Dimensiones cilindro (ficha 2). Fuente: propia.

c) Tercer volumen similar: 100 cm3

Se parte del diámetro del cilindro anterior, el cual es el ancho del prisma rectangular, así:

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙. 𝑎. ℎ = 6,14 𝑐𝑚 ∗ 6,14 𝑐𝑚 ∗ 2,65 𝑐𝑚 = 100 𝑐𝑚3

Figura 15. Dimensiones prisma rectangular (ficha 3). Fuente: propia.

Igualmente los cubos de esta construcción presentan un volumen de 100

cm3, sus dimensiones son:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑙3 , de donde 𝑙 = √𝑉3

Para un volumen de 100 cm3, se tiene 𝑙 = √100 𝑐𝑚33= 4,64 𝑐𝑚

Figura 16. Dimensiones cubo (fichas 4 y 5). Fuente: Propia

d) Cuarto volumen similar: 204 cm3

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙. 𝑎. ℎ = 18,4 𝑐𝑚 ∗ 6,14 𝑐𝑚 ∗ 1,81 𝑐𝑚 = 204 𝑐𝑚3

28

Figura 17. Dimensiones prisma rectangular (ficha 6). Fuente: propia

Las seis fichas anteriores se ubican en la parte superior del Castillo de San

Felipe. En la base de esta estructura se localizan dos prismas trapezoidales (fichas 7 y 8), sin embargo estos no presentan un volumen de forma tal que coincida con los demás sólidos geométricos elaborados. Sus dimensiones se pueden apreciar en la figura 18.

Figura 18. Dimensiones prisma trapezoidal (fichas 7 y 8). Fuente: propia.

𝐴 = ℎ ∗𝑎 + 𝑏

2= 5 𝑐𝑚 ∗

(12 𝑐𝑚 + 6,4 𝑐𝑚)

2= 46 𝑐𝑚2

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = 𝐴 ∗ 𝑙 = 46 𝑐𝑚2 ∗ 6,14 𝑐𝑚 = 282,4 𝑐𝑚3

29

4 Resultados y análisis

4.1. Análisis de resultados de prueba diagnóstica

Es esta parte del trabajo se realizó una prueba diagnóstica, la cual se detalla en el Anexo C, a los 19 estudiantes que conforman el grado noveno (9°) escogidos como grupo de trabajo. El propósito de esta prueba diagnóstica es hacer una exploración de los conocimientos o saberes previos que los estudiantes poseen antes de introducirlos a los nuevos conceptos de volumen de cuerpos sólidos.

La prueba aplicada se dividió en 11 preguntas de tipo cognitivo, considerando una pregunta por cada uno de los conceptos previos identificados (Operaciones con números reales, medidas de longitud, medidas de superficie, medidas de capacidad, semejanza y proporcionalidad, traslación y rotación de figuras planas, elementos de polígonos y de la circunferencia, perímetro y áreas de figuras planas (polígonos regulares) y medidas de conversión (longitud, área y peso). En la parte final se presentaron 4 preguntas relacionadas con las estrategias metodológicas de la clase de matemáticas (tiempo de estudio en casa, uso de conceptos previos, espacio para aclarar dudas, motivación y participación).

4.1.1. Preguntas de tipo cognitivo

Estas preguntas permiten hacer una observación de la información que ha sido percibida, adquirida o apropiada por los estudiantes. La pregunta número uno corresponde al componente numérico variacional, por lo tanto se hizo un análisis de ella de manera individual.

Gráfico 4. Resultados pregunta 1. Fuente: propia.

En el gráfico 4 se observa que en la pregunta 1, el 55% de los estudiantes respondieron de forma correcta al presentarles una situación acerca de las propiedades y relaciones de los números reales. Esto permite observar que a partir de conceptos previos, específicamente conjuntos numéricos y operaciones con números reales, los estudiantes tienen capacidad de procesar la información y hacer un adecuado razonamiento.

Opción A25%

Opción B10%

Opción C10%

Opción D (Correcta)

55%

Componente Numérico Var iacionalPregunta 1

Opción A Opción B Opción C Opción D (Correcta)

30

El resto de preguntas se enmarcan dentro del componente Espacial métrico, por lo tanto su interpretación se hizo agrupando las preguntas de acuerdo a las competencias evaluadas. En primer lugar la competencia Comunicación y representación, en la que se agrupan las preguntas número 4 y 7, presenta los resultados que se observan en el gráfico 5.

Gráfico 5. Resultados competencia comunicación y representación. Fuente: propia. Según la gráfica 5, se nota una dificultad de parte de los estudiantes de

grado noveno, pues solo el 37,5% de las respuestas fueron acertadas. Esto quiere decir que ellos tienen problemas en la competencia de comunicación y representación, la cual evalúa su capacidad para relacionar las ideas respecto a los conceptos matemáticos presentados en una situación o contexto determinado; usar diferentes tipos de representación y describir relaciones matemáticas a partir de una tabla, gráfico o situación descrita en lenguaje común; así como la interpretación del lenguaje matemático.

La segunda competencia en la que se agruparon las preguntas 2, 3, 6, 10 y 11 es la Modelación, planteamiento y resolución de problemas, tal y como se detalla en el gráfico 6.

37,5%

62,5%

COMPETENCIAComunicación y representación

ACIERTO

DESACIERTO

31

Gráfico 6. Resultados competencia modelación, planteamiento y resolución de

problemas. Fuente: propia.

Se obtuvieron mejores resultados en esta competencia, con un 56% de respuestas acertadas por los estudiantes, frente a un 44% de desaciertos. Este resultado demuestra un mejor desempeño en la modelación, planteamiento y resolución de problemas, competencia que, como señala el ICFES (2011) “se refiere a la capacidad para plantear y resolver problemas a partir de contextos matemáticos y no matemáticos, de traducir la realidad a una estructura matemática y de verificar e interpretar resultados a la luz de un problema, de manera que se generalicen soluciones y estrategias que resuelvan nuevas situaciones”.

Por último, el gráfico 7 permite observar los resultados de la competencia de razonamiento y argumentación, en la que se agruparon las preguntas 1, 5, 8 y 9.

Gráfico 7. Resultados competencia razonamiento y argumentación. Fuente: propia.

Esta es una competencia que se relaciona con la identificación y el uso de

estrategias y procedimientos para tratar situaciones problema, formulación de

56%44%

COMPETENCIAModelación, planteamiento y resolución de

problemas

ACIERTO

DESACIERTO

35%

65%

COMPETENCIARazonamiento y argumentación

ACIERTO

DESACIERTO

32

hipótesis y conjeturas, exploración de ejemplos, identificación de patrones y generalización de propiedades. En ella no hubo resultados satisfactorios ya que el 65% de los estudiantes no acertaron en la respuesta correcta, mientras que el 35% si lo hicieron.

4.1.2 Preguntas sobre estrategias metodológicas

En la segunda parte de la prueba diagnóstica se formularon preguntas relacionadas con el quehacer pedagógico del docente y con el aspecto actitudinal de los estudiantes con respecto al área de matemáticas. Este tipo de preguntas permiten al docente una retroalimentación sobre sus metodologías y el desarrollo de las clases como tal. La primera pregunta fue acerca del tiempo que dedican los estudiantes a la construcción de su conocimiento, entendido como labores escolares y de estudio propio fuera de la institución educativa. Los resultados se pueden ver en el gráfico 8.

Gráfico 8. Tiempo de estudio en casa. Fuente: propia.

De aquí se observa que el 85% de los estudiantes manifiestan dedicar

menos de 1 hora semanal al desarrollo de actividades académicas de matemáticas en casa; un 5% afirma hacerlo entre 1 y 5 horas, mientras que el 10% se dedica al estudio entre 5 y 10 horas. Si bien es cierto que la ejecución de actividades académicas en el hogar es un elemento indispensable en el proceso de aprendizaje de los jóvenes, lastimosamente no siempre son bien recibidas por ellos ni sus padres. Los primeros porque sienten que les quitan parte de su tiempo, o no consideran que sean relevantes; los segundos porque en posiblemente se convierten en una carga que tienen que asumir y resolver o solo porque su nivel académico básico no les permite colaborar a sus hijos de manera adecuada en esa labor.

En el gráfico 9 se detallan los resultados a consultar si el docente emplea conceptos previamente vistos antes de iniciar un nuevo tema.

0

20

40

60

80

100

Menos de 1hora

Entre 1 y 5horas

Entre 5 y 10horas

Más de 10horas

85

5 100P

OR

CEN

TAJE

(%

)

¿Cuántas horas-semana dedicas a la construcción de tu conocimiento matemático en casa?

33

Gráfico 9. Uso de conceptos previos por el docente. Fuente: propia.

Como se ve en el gráfico 9, un 30% de los estudiantes declara que el

profesor siempre emplea los conceptos previos ante un nuevo tema; igualmente, el 65% dice que el docente casi siempre lo hace. Solamente un 5% afirma que se realiza algunas veces y 0% nunca. En general, es un buen resultado porque los conocimientos previos amplían la posibilidad de que los estudiantes se apropien de los nuevos conceptos, además “un aprendizaje es tanto más significativo cuantas más relaciones con sentido es capaz de establecer el alumno entre lo que ya conoce, sus conocimientos previos y el nuevo contenido que se le presenta como objeto de aprendizaje” (Miras, 1993, p.3).

También se les consultó si el maestro dedica un espacio de tiempo para aclarar dudas o ampliar el tema de la clase de matemáticas, y las respuestas pueden verse en el gráfico 10.

Gráfico 10. Espacio para aclarar dudas.

En esta pregunta se obtuvo que 65% de los estudiantes declararon que

siempre se aclaran dudas, 25% dicen que casi siempre, 10% que algunas veces lo hace y 0% nunca. En cualquier momento del ejercicio académico surgen inquietudes a los estudiantes, pues todo el tiempo resulta casi imposible comprender el tema estudiado por completo. Los estudiantes demuestran una buena actitud al emplear los espacios para aclarar dudas, lo cual es muy

0

20

40

60

80

1

30

65

5 0

Po

rce

nta

je (

%)

¿El profesor emplea conceptos previos ante un nuevo tema?

Siempre Casi siempre Algunas veces Nunca

0

20

40

60

80

Siempre Casi siempre Algunasveces

Nunca

65

2510

0

Po

rce

nta

je (

%)

¿El docente dedica un espacio para aclarar dudas o ampliar el tema?

34

importante para su aprendizaje ya que pueden eliminar los vacíos en el conocimiento que se está tratando de adquirir.

Finalmente se indagó con respecto a la participación, motivación e interés en las clases de matemáticas, como se observa en el gráfico 11. Los estudiantes manifestaron en un 15% presentar siempre un alto nivel de participación e interés; un 25% dijeron que casi siempre, algunas veces en un 55%, y nunca lo hace un 5% de los estudiantes. Uno de los factores que influyen negativamente en la motivación e interés es la enseñanza tradicional limitada a la mera transmisión de contenidos, algoritmos y fórmulas, por lo cual es importante buscar estrategias que saquen de la rutina a los estudiantes y los mismos docentes.

Gráfico 11. Participación en clase.

Para concluir se puede afirmar que los resultados antes analizados

refuerzan la hipótesis sobre la carencia en la apropiación de conceptos de parte de los estudiantes de este grado en el área de matemáticas, poniendo en manifiesto la necesidad de utilizar estrategias de aprendizaje diferentes a las rutinarias en el aula de clase, por ejemplo la utilización de objetos físicos de aprendizaje, que es el propósito de este proyecto.

4.2. Diseño general de la secuencia didáctica

AREA: MATEMÁTICAS

GRADO: NOVENO

TITULO: RECURSO EDUCATIVO PARA FORTALECER LA ENSEÑANZA Y

EL APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE VOLUMEN

4.2.1. Generalidades Apreciado docente, la presente guía pretende facilitar y apoyar su trabajo en el aula. Se ha organizado a manera de secuencia didáctica y tiene como propósito

0

10

20

30

40

50

60

Po

rcen

taje

(%

)

Tu nivel de participación e interés en las clases de matemáticas es muy alto:

Siempre Casi siempre Algunas veces Nunca

35

lograr que los estudiantes de grado noveno de las Instituciones Educativas logren apropiarse del concepto de volumen de cuerpos sólidos. Para ello se propone como situación problema el análisis de estructuras arquitectónicas de valor histórico localizadas en el continente americano, algunas de ellas, de origen indígena precolombino.

Esta guía pretende fomentar el desarrollo del pensamiento numérico y sistemas numéricos; pensamiento espacial y sistemas geométricos; pensamiento métrico y sistemas de medidas, así como las habilidades comunicativas para abstraer, manipular, interpretar, modificar, indagar, construir, formular y resolver inquietudes. Igualmente, se procura generar espacios de participación y comunicación de las dudas o cuestiones que presenten los estudiantes, de forma tal que pueda darse una solución oportuna y acertada a las mismas.

La guía le ofrece los siguientes componentes: en su primera parte (inicio), se presenta la guía del estudiante número 1 (Anexo D), basada en la exploración de los saberes previos de los estudiantes, como también en la profundización de conocimientos que adquirieron en grado octavo, según los estándares básicos de competencias.

La segunda parte (desarrollo) presenta las guías del estudiante número 2, 3 y 4 (Anexos E, F y G), las que describen la situación problema para que los estudiantes comprendan la relación propuesta entre las estructuras arquitectónicas precolombinas y su volumen. Igualmente, en esta parte los estudiantes deben hacer una diferenciación entre el significado de volumen, tamaño y área comparando objetos de distinta forma, los cuales son elaborados paso a paso por los mismos estudiantes bajo la orientación y supervisión del docente por medio de unas plantillas que servirán para armar sólidos (prisma rectangular, cono, cilindro, cubo, prisma trapezoidal) con distintas dimensiones.

Se pretende que los estudiantes manipulen los sólidos geométricos elaborados por ellos mismos para construir modelos de las estructuras arquitectónicas históricas con variaciones en las dimensiones que permitan observar cómo estas alteran el volumen parcial y total de la estructura, manejando para ello escalas. Para estas actividades se tienen en cuenta los colores de los sólidos, ya que han sido diseñados para que algunos valores del volumen de sólidos diferentes coincidan en su color; esto con el fin de que el estudiante observe que la variación de la forma no siempre implica un cambio en el volumen.

A través de toda la secuencia se presentan instrumentos como preguntas, cálculos de áreas y volúmenes; cuyo objetivo es la evaluación de los aprendizajes, teniendo en cuenta que el proceso evaluativo es permanente y continuo. De la misma manera, la parte final (cierre), se lleva a cabo por medio de la guía del estudiante número 5 (Anexo H), que básicamente es una evaluación de todo el proceso y sus resultados.

4.2.2. Estándares básicos de competencias

Tomando como referencia el documento del Ministerio de Educación Nacional

(1998), los estándares básicos de competencias involucrados en la secuencia

didáctica son:

36

a) PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en

diversos contextos.

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y

relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones

entre ellos.

b) PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre

figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución

de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas

en las matemáticas y en otras disciplinas.

c) PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS

Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área

de regiones planas y el volumen de sólidos.

Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas

de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión

apropiados.

Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas

en situaciones tomadas de distintas ciencias.

37

Guía Pregunta guía Componente curricular Actividades de aprendizaje (Metodología paso

a paso)

Desempeños esperados (Indicadores)

1 ¿Cuántos

conceptos

básicos

geométricos

conoces?

- Concepto de: punto, rayo,

recta, segmento.

- Construcción de: rayo,

segmentos paralelos.

- Medida y construcción de

ángulos.

- Polígonos y elementos de

los polígonos: lado,

vértice.

- Clasificación de

triángulos.

- Perímetro de polígonos

- Área a partir de unidades

cuadradas.

- Actividades de comprensión de diferentes

situaciones sobre conceptos básicos de

geometría (punto, línea, ángulo)

- Actividades donde el estudiante debe

emplear y manejar instrumentos como la

regla, escuadra y transportador

- Preguntas donde se repasan y refuerzan los

conceptos de polígonos y sus elementos,

perímetro, unidades de medida y área.

- Generalizo procedimientos de cálculo

válidos para encontrar el perímetro y área

de regiones.

- Selecciono y uso técnicas e instrumentos

para medir longitudes, áreas de

superficies y ángulos con niveles de

precisión apropiados.

- Justifico la pertinencia de utilizar unidades

de medida estandarizadas en situaciones

tomadas de distintas ciencias.

- Identifica en objetos del entorno

magnitudes y las expresa en áreas de

unidades del sistema internacional

- Usar de manera pertinente instrumentos y

unidades para determinar medidas de

superficies.

2 ¿Existe alguna

relación entre

los sólidos

geométricos y

las

construcciones

históricas de

América?

- Concepto de poliedro,

prisma y pirámide

- Unidades de medida

- Medida y construcción de

polígonos

- Desarrollo plano de

sólidos

- Área de polígonos

- Volumen de sólidos

- Lectura inicial donde se repasan las

definiciones de poliedro regular, prisma y

pirámide.

- Organización de grupos de trabajo y

selección del Nivel de la pirámide a armar.

- Trazado y construcción del prisma

rectangular a partir de su desarrollo plano.

- Solución de preguntas sobre elementos del

poliedro y cálculo de áreas y volúmenes.

- Diversas preguntas para orientar a la

reflexión y relación entre el volumen y el color

de los prismas.

- Armado de la pirámide de Kukulcán y cálculo

de su volumen total.

- Pequeña lectura sobre la pirámide de

Kukulcán y actividad de consulta

- Situación problema de obtención del volumen

de la pirámide de Kukulcán con dimensiones

reales.

- Identificar cuerpos poliédricos, prismas y

sus elementos

- Identificar prismas, pirámides y sus

elementos

- Calcular áreas y volúmenes de prismas

- Pasar de una representación

bidimensional a una tridimensional

- Reconocer propiedades de un sólido a

partir de uno de sus desarrollos planos

- Determinar diferentes desarrollos planos

de un sólido cuando es posible.

- Usar diferentes estrategias para

determinar medidas de superficies y

volúmenes

- Usar de manera pertinente instrumentos y

unidades para determinar medidas de

superficies y volúmenes

- Calcular con precisión áreas totales y

volúmenes de sólidos (prisma recto

38

regular)

- Aplicar las formulas dadas en la

resolución de problemas de los sólidos

vistos.

Parte Pregunta guía Componente curricular Actividades de aprendizaje (Metodología paso

a paso)

Desempeños esperados (Indicadores)

3 ¿Puedes

hacer

construcciones

a escala como

las que

edificaron

nuestros

indígenas?

- Concepto de cuerpos

redondos, cono circular

recto y cilindros circular

recto

- Unidades de medida

- Medida y construcción de

polígonos

- Desarrollo plano de

sólidos

- Área lateral y total de

polígonos

- Volumen de sólidos

- Lectura inicial donde se presentan las

definiciones de cuerpos redondos, cono

circular recto y cilindros circular recto

- Organización de grupos de trabajo y

selección de la parte de la estructura a

construir.

- Trazado y construcción del cuerpo sólido

seleccionado a partir de su desarrollo plano.

- Solución de preguntas sobre las plantillas

dibujadas y cálculo de áreas, áreas laterales

y volúmenes del cono y/o cilindro.

- Diversas preguntas para orientar a la

reflexión y relación entre el volumen y el color

de los sólidos construidos en esta guía y los

prismas de la guía No. 2

- Armado del Templo del Sol y cálculo de su

volumen total.

- Lectura sobre el Templo del Sol y actividad

de consulta

- Situación problema de obtención del volumen

del Templo del Sol con dimensiones más

reales.

- Generalizo procedimientos de cálculo

válidos para encontrar el área de regiones

planas y el volumen de sólidos.

- Selecciono y uso técnicas e instrumentos

para medir longitudes, áreas de

superficies, volúmenes y ángulos con

niveles de precisión apropiados.

- Identificar cilindros y conos con sus

elementos

- Pasar de una representación

bidimensional a una tridimensional

- Reconocer propiedades de un sólido a

partir de uno de sus desarrollos planos

- Interpretar el significado de área lateral y

total de un sólido

- Calcular con precisión áreas laterales,

totales y volúmenes de sólidos (cilindro

recto y cono recto)

4 ¿Cómo

inciden las

variaciones en

las

dimensiones

en el volumen

de nuestro

modelo

arquitectónico

- Concepto de cuerpos

geométricos, esfera y

prisma trapezoidal

- Unidades de medida

- Medida y construcción de

polígonos

- Desarrollo plano de

sólidos

- Área lateral y total de

- Lectura inicial sobre los conceptos de esfera

y prisma trapezoidal

- Organización de grupos de trabajo y

selección de la ficha o figura que se va a

armar

- Trazado y construcción de la figura escogida

a partir de su desarrollo plano.

- Solución de preguntas sobre las plantillas

dibujadas y cálculo de áreas, áreas laterales

- Identificar prismas, cubos, cilindros y

esferas con sus elementos

- Identificar poliedros regulares y no

regulares

- Calcular áreas y volúmenes de prismas y

cuerpos redondos

- Pasar de una representación

bidimensional a una tridimensional

- Reconocer propiedades de un sólido a

39

? polígonos

- Volumen de sólidos

y volúmenes

- Preguntas referentes a la relación entre el

volumen y el color de los sólidos construidos

en esta guía y los sólidos de las guías

anteriores

- Construcción del Castillo de San Felipe y

cálculo de su volumen total.

- Lectura sobre el Castillo de San Felipe y

actividad de consulta

- Situación problema sobre el Castillo de San

Felipe.

partir de sus desarrollos planos

- Interpretar el significado de área lateral y

total de un sólido

- Calcular con precisión áreas laterales,

totales y volúmenes de sólidos (cubo,

prisma recto regular, prisma trapezoidal,

cilindro recto, semiesfera)

Parte Pregunta guía Componente curricular Actividades de aprendizaje (Metodología paso

a paso)

Desempeños esperados (Indicadores)

5 ¿Cuánto has

aprendido

sobre el

volumen de

cuerpos

solidos?

- Concepto de: unidad

cúbica

- Volumen de prismas

rectangulares

- Desarrollo plano de

poliedros

- Área total de sólidos

- Unidades de medida

- Situaciones problema

- Volumen de cuerpos

redondos

- Preguntas de cálculo de volúmenes a partir

de unidades cúbicas

- Cálculo de volúmenes a partir de fórmulas y

datos

- Situaciones problema

- Preguntas basadas en el desarrollo plano de

poliedros

- Obtención del área total por medio de la

suma de las áreas de las caras

- Solución de problemas sobre área y volumen

- Situaciones problema acerca del volumen de

cilindros y conos

- Generalizo procedimientos de cálculo

válidos para encontrar el área de

regiones.

- Usar de manera pertinente instrumentos y

unidades para determinar medidas de

superficies.

- Calcular áreas y volúmenes de prismas

- Reconocer propiedades de un sólido a

partir de uno de sus desarrollos planos

- Usar diferentes estrategias para

determinar medidas de superficies y

volúmenes

- Calcular con precisión áreas totales y

volúmenes de sólidos

- Aplicar las formulas dadas en la

resolución de problemas de los sólidos

vistos.

40

4.2.3 Orientaciones pedagógicas para el desarrollo de las guías didácticas

La presente secuencia didáctica está conformada por cinco guías donde se tratará el concepto de volumen de cuerpos sólidos geométricos, para ser desarrolladas durante el primer periodo de grado noveno de educación básica secundaria. Las guías de inicio y cierre (No. 1 y No. 5), las cuales se detallan en el Anexo D y Anexo H, respectivamente, se pueden desarrollar en 2 horas de clase, mientras que las guías de desarrollo (No. 2 a No. 4), que corresponden a los Anexos E, F y G; han sido ajustadas para desarrollarse durante 4 horas de clase cada una.

Se hace mayor énfasis en los temas de volumen, aunque también se abordan los temas de perímetro, área, polígonos y poliedros, entre otros. Debido a la complejidad del trabajo a desarrollar, no se tratan todos los ejes temáticos de la asignatura de geometría sobre volumen de todos los cuerpos sólidos, únicamente se contemplan el cubo, prisma rectangular, prisma trapezoidal, cono recto, cilindro recto y semiesfera; por lo que en es necesario realizar una revisión anterior de los contenidos a plantear en la clase. Por esta razón, hacer una lectura previa de la secuencia didáctica le proporcionará una correcta asignación de las guías entre su planificación del área. Existe además, la posibilidad de que las guías se puedan plantear, no como un instrumento extra de la clase, sino como la alternativa pedagógica principal para la enseñanza del concepto de volumen.

Las actividades han sido diseñadas de forma tal que los materiales pueden adquirirse con facilidad, ya que estos hacen parte de los útiles escolares de los estudiantes. Se propone que las guías didácticas se desarrollen en grupos de trabajo de 4 estudiantes, asumiendo que el curso tiene 40 alumnos; aunque las guías de inicio y cierre podrían llevarse a cabo de manera individual o por parejas para obtener información personalizada. Así, se conformarían 10 grupos que construirían 2 estructuras arquitectónicas en cada guía. En el caso de contar con grupos de mayor o menor número de estudiantes, realice una distribución diferente, tratando de no aumentar el número de integrantes de cada grupo, pues se debe tratar que cada integrante del grupo tenga contacto directo con los sólidos geométricos que se están construyendo y asuman un rol en su grupo.

Se espera que estas orientaciones llevadas a cabo durante las clases, brinden la posibilidad de que los estudiantes desarrollen y se apropien del concepto de volumen de cuerpos sólidos geométricos.

4.3. Aplicación de secuencia didáctica

La aplicación de la secuencia didáctica pretendió la construcción, por parte de los estudiantes de tres objetos físicos, específicamente modelos a escala de estructuras arquitectónicas latinoamericanas, los cuales se emplearon como material de apoyo para desarrollar el pensamiento espacial de los estudiantes, dando transversalidad a estos aprendizajes en otras áreas del conocimiento como la historia o las ciencias sociales.

En esta etapa se observó, a nivel actitudinal, una muy buena disposición de parte de los estudiantes, pues interpretaron fácilmente las instrucciones iniciales, de manera especial, por aquellos estudiantes con mayor liderazgo en cada grupo.

41

Así mismo se mostraron receptivos, con mucha habilidad artística y creativa en el manejo de los materiales e instrumentos de trabajo, como en la búsqueda de alternativas para la solución de situaciones presentadas durante el desarrollo de la secuencia didáctica.

Fotografía 1. Estudiantes durante la revisión de la guía. Fuente: propia.

Fotografía 2. Estudiantes durante la

ejecución de un ejercicio. Fuente: propia.

La secuencia didáctica se planteó como estrategia para mejorar el aprendizaje del concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos, en su parte inicial con preguntas y situaciones relacionadas con el concepto de volumen. En la etapa de desarrollo se emplea el material concreto y la técnica de desarrollo plano de poliedros para llegar a la construcción de objetos físicos.

Fotografía 3. Estudiantes durante la

construcción de una estructura. Fuente: propia.

Fotografía 4. Estudiantes durante la

construcción de una estructura – 2. Fuente: propia.

Se observó que los estudiantes intercambian preguntas y respuestas con su grupo de trabajo y otros grupos, llevando paso a paso las actividades propuestas en las guías didácticas para cada una de las sesiones desarrolladas. El docente cumple su rol de orientador de los estudiantes, para dirigirlos a la elaboración de los modelos arquitectónicos, así como al cálculo de las áreas y volúmenes de las figuras construidas.

42

Fotografía 5. Estudiantes durante la ejecución de la guía. Fuente: propia.

Fotografía 6. Figura geométrica

construida por un estudiante. Fuente: propia.

Se aplicó, entonces, un instrumento didáctico, constituido por 5 guías. La

primera o etapa inicial, indagaba por los conocimientos previos al concepto de volumen; la etapa de desarrollo que estuvo conformada por las guías 2, 3 y 4, las cuales pueden revisarse en los anexos E, F y G, explicaron el paso a paso de la construcción de las 3 estructuras arquitectónicas, mientras que la guía 5 fue la evaluación de la secuencia. Los estudiantes conformaron grupos de trabajo para el desarrollo de las actividades de las guías. En ellas se aplica claramente los conceptos de área y volumen, tratando de pasar de conceptos generales a específicos de manera intencional, así como su transición en el proceso de aprendizaje apoyado en los objetos físicos construidos en cada una de las guías.

Fotografía 7. Estudiante durante la

resolución de las guías. Fuente: propia.

Fotografía 8. Grupo de estudiantes durante la construcción de figuras

geométricas. Fuente: propia.

Una vez se tienen todos los sólidos construidos (que en la guía se

denominan fichas), los estudiantes los juntaron para armar los objetos físicos, que en este caso fueron las tres estructuras arquitectónicas históricas de Latinoamérica. En esta etapa no se observó dificultad, pues los modelos se aparecen representados gráficamente en las guías facilitando su construcción.

43

Fotografía 9. Estructura

construida por los estudiantes (Pirámide de

Kukulcán). Fuente: propia.

Fotografía 10. Estructura

construida por los estudiantes (Templo del

Sol). Fuente: propia.

Fotografía 11. Estructura

construida por los estudiantes (Castillo de San Felipe de Barajas).

Fuente: propia.

En la parte final de cada guía se mostró un pequeño relato sobre cada una de las construcciones, de tal manera que se integren aspectos de historia y geografía a las matemáticas, convirtiéndose en aspectos relevantes y significativos para los estudiantes de grado noveno.

4.4. Análisis de resultados de evaluación y cierre Una vez el grupo de 19 estudiantes de grado noveno (9°) culminaron exitosamente la etapa de desarrollo, se pasó a la etapa de cierre por medio de una prueba de evaluación (Anexo H, guía # 5), en la cual se pretendió observar cuál fue la influencia producto del desarrollo de las estrategias pedagógicas relacionadas con el volumen de sólidos. Esta evaluación se constituyó de seis puntos organizados de acuerdo a los conocimientos a evaluar: cálculo del volumen a partir de unidades cúbicas, volumen empleando fórmulas y datos, desarrollo plano de poliedros, área total de la superficie al sumar las áreas de las caras, problemas sobre área y volumen, y finalmente cálculo de volúmenes de conos y cilindros.

De forma general, es posible analizar los resultados globales obtenidos por los estudiantes en la prueba de cierre, con una escala de 100 a 500 puntos, tal como la escala empleada por el ICFES en sus Pruebas Saber. Estos resultados fueron de 265 puntos. Haciendo una comparación con el resultado de la prueba diagnóstica, el promedio del puntaje fue superior al pasar de 225 a 265 puntos, lo cual mejora de manera positiva la ubicación del grupo. Los resultados se pueden ver en el gráfico 12.

44

Gráfico 12. Promedio diagnóstico vs prueba de cierre. Fuente: propia.

En el gráfico 12 se puede observar un mejor promedio en la prueba de

cierre con respecto a la prueba diagnóstica, pues el promedio incrementó en 40 puntos; demostrando que se mejoró el nivel de desempeño en los temas específicos de la prueba que se refieren al volumen de sólidos. Aunque se debe tener en cuenta que este puntaje del grupo noveno supera en pocos puntos el promedio de puntaje que es de 250 puntos de acuerdo a la escala utilizada.

Por otra parte, al detallar los puntajes de la prueba de evaluación y cierre de acuerdo a los niveles de desempeño y compararlo con la prueba diagnóstica, el porcentaje de estudiantes que se localizan en los niveles de desempeño insuficiente y mínimo bajó de 30% a 25% y de 55% a 35% respectivamente; mientras que el nivel satisfactorio este porcentaje aumentó de 15% a 30%. Por último, el nivel de desempeño avanzado aparece en esta prueba con un porcentaje de 10%, como se detalla en el gráfico 13.

Gráfico 13. Distribución según niveles de desempeño prueba de cierre vs. Prueba

diagnóstica. Fuente: propia.

200 220 240 260 280

PROMEDIO EVALUACION

PROMEDIO DIAGNOSTICO

265

225

Puntaje obtenido

Promedio Diagnóstico vs Evaluación

30

55

15

0

25

35

30

10

1 0 0 - 2 2 6 2 2 7 - 3 1 5 3 1 6 - 3 9 9 4 0 0 - 5 0 0

I N S U F I C I E N T E M I N I M O S A T I S F A C T O R I O A V A N Z A D O

PO

RC

ENTA

JE D

E ES

TUD

IAN

TES

RANGO DE PUNTAJES

DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL SEGUN NIVELES DE DESEMPEÑO

45

En seguida se analizan las respuestas a los 6 puntos que conformaron la

prueba de cierre y evaluación. Estas preguntas se ajustan al componente de evaluación Espacial métrico. Cada punto consta de varias preguntas (A, B, C, etc.), las cuales se interpretan gráficamente de manera agrupada y se comparan con el promedio del puntaje de aciertos y desaciertos del punto respectivo a continuación (gráfico 14).

Gráfico 14. Volumen a partir de unidades cúbicas. Fuente: propia.

En el punto 1, las preguntas A y B pretendieron evaluar el cálculo de

volúmenes de sólidos partiendo de unidades cúbicas, los resultados se detallan en el gráfico 14. Como se puede apreciar, si bien en la pregunta A hubo una notable diferencia entre los aciertos y desaciertos, esto contrasta con la pregunta B, donde hubo mayores desaciertos. El promedio en este punto fue de 12 aciertos y 8 desaciertos. Estas preguntas pretendían calcular el volumen de un cuerpo de manera sencilla, pues dicho cuerpo está formado por cubos. Entonces una manera gráfica de calcular el volumen de un objeto es contar cuántos cubos contiene, de tal forma que el volumen del objeto sea la suma de todos los cubos. Al presentar cuerpos más complejos se presentaron mayores desaciertos en este tipo de preguntas.

En el punto 2 aparecen dos preguntas para calcular el volumen de sólidos a

partir de fórmulas y otras tres preguntas con situaciones problema. Los resultados se muestran en el gráfico 15.

PREGUNTA APREGUNTA B

PROMEDIO

17

712

3

13

8

Volumen a partir de unidades cúbicas

Acierto Desacierto

46

Gráfico 15. Volumen con fórmulas y datos. Fuente: propia.

El promedio, en el punto 2 fue similar al del anterior punto, es decir, se

presentaron 12 aciertos y 8 desaciertos. Las preguntas A y B sobre cálculo de volumen con fórmulas tuvieron mejores resultados que las preguntas C, D y E, las cuales consistían de problemas en los que los estudiantes debían analizar la información, organizar los datos y resolverlos. En estos casos el volumen coincide con el producto de las medidas del alto, largo y ancho, pero hubo mayor dificultad en la interpretación de la información presentada en forma de problemas.

Teniendo en cuenta que en la etapa de desarrollo de la secuencia didáctica los estudiantes emplearon los desarrollos planos de poliedros, en el punto 3 se incluyeron preguntas que evaluaran este aspecto, observando los resultados representados en el gráfico 16.

Gráfico 16. Desarrollo de poliedros. Fuente: propia.

En este punto, como se puede apreciar, hubo una mayor tasa de aciertos

en todas las preguntas, lo cual puede evidenciar mayor claridad en el desarrollo plano de cuerpos sólidos, específicamente de poliedros. Los promedios de

05

1015

PREGUNTA A

PREGUNTA B

PREGUNTA C

PREGUNTA D

PREGUNTA E

PROMEDIO

15

15

11

9

10

12

5

5

9

11

10

8

Volumen con fórmulas y datos

Desacierto Acierto

0

5

10

15

20

PREGUNTA A

PREGUNTA B

PREGUNTA C

PREGUNTA D

PROMEDIO

Desarrollo de poliedros

Acierto Desacierto

47

aciertos y desaciertos fueron de 17,5 y 2,5 respectivamente. Existe, entonces, una mayor claridad en la competencia de comunicación y representación que se refiere a usar diferentes tipos de representación y describir relaciones matemáticas a partir de un gráfico.

Así mismo, se plantearon cuatro preguntas en el punto 4 para que los estudiantes calcularan el área superficial de cubos y prismas rectangulares tomando como base la suma de las áreas de sus caras. Estos resultados se indican en el gráfico 17.

Gráfico 17. Cálculo de áreas. Fuente: propia.

Este punto incidió negativamente en los resultados totales, puesto que

presentó el mayor número de desaciertos (16) en promedio, versus un promedio de 4 aciertos. Lo anterior pudo deberse a errores comunes que presentan los estudiantes, uno de ellos bastante frecuente es la confusión entre perímetro y área, pues estos implican el uso de estructuras aditivas y multiplicativas que vuelven más complejo el ejercicio planteado.

En el punto 5 aparecieron cuatro preguntas con situaciones problema sobre área superficial y volumen. Los resultados se presentan en el gráfico 18.

Gráfico 18. Problemas sobre área y volumen. Fuente: propia.

0 5 10 15 20

PREGUNTA A

PREGUNTA B

PREGUNTA C

PREGUNTA D

PROMEDIO

Cálculo de áreas

Desacierto Acierto

0

5

10

15

20

PREGUNTA A

PREGUNTA B

PREGUNTA C

PREGUNTA D

PROMEDIO

Problemas sobre área y volumen

Acierto Desacierto

48

Aquí se puede observar también el alto número de desaciertos en todas las

preguntas del punto, que se traducen en unos promedios de 5,75 aciertos y 14,25 desaciertos. Lo anterior pone en evidencia las dificultades que tienen los estudiantes para leer, analizar y organizar la información presentada en forma de situaciones problema, esto es la competencia de modelación, planteamiento y resolución de problemas, como también competencia de razonamiento y argumentación.

Finalmente el punto 6 planteó situaciones sobre el volumen de conos y cilindros. Sus resultados se pueden detallar en el gráfico 19.

Gráfico 19. Volumen de cilindros y conos. Fuente: propia.

A diferencia de los puntos 4 y 5, en este punto el promedio de aciertos es mayor que el de desaciertos con un puntaje de 10,5 y 9,5 respectivamente. Sin embargo, estos promedios se aproximan bastante al valor medio (10). De tal forma que en el punto 6 se evidencian fortalezas en las preguntas B y D, y debilidades en las preguntas A y C en lo referente al cálculo de volúmenes de conos y cilindros. En estas preguntas el nivel de dificultad fue mayor, pues se combinaron situaciones problema con representaciones de figuras sólidas complejas e irregulares, como también conos y cilindros, lo que incidió negativamente en los resultados. También estos resultados se pudieron presentar por las dificultades en el desarrollo del pensamiento métrico espacial de algunos estudiantes, falta de apropiación del lenguaje algebraico y falta de suficientes experiencias para conceptualizar el volumen de cuerpos sólidos.

0 2 4 6 8 10 12 14

PREGUNTA A

PREGUNTA B

PREGUNTA C

PREGUNTA D

PROMEDIO

Volumen de cilindros y conos

Desacierto Acierto

49

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1. Conclusiones

Junto a los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar, se desarrolló un recurso educativo con objetos físicos de aprendizaje dirigido a la apropiación del concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos. Esto se llevó a cabo en su Sede José María Vivas Balcázar, del Municipio de Palmira, lo cual permite notar que han mejorado la apropiación del concepto de volumen, luego de la aplicación de una secuencia didáctica.

La secuencia didáctica se elaboró e implementó teniendo en cuenta el aprendizaje basado en problemas (ABP), puesto que la situación problema no se apoyó solamente en el contexto sino también en el conocimiento de construcciones arquitectónicas históricas de Latinoamérica, lo cual se convirtió en un aspecto significativo para los estudiantes.

Pese al punto anterior, aún existen algunas falencias en el área, que se notan principalmente en la apropiación de conceptos en una minoría de los estudiantes. Esto puede deberse en parte a la ausencia de conocimientos previos o a que debería plantearse un mayor tiempo de intervención.

Si bien se tienen avances en lo que respecta a la conceptualización de volumen, algunos de los estudiantes de grado noveno que participaron en la investigación, continúan presentando dificultad en la comprensión del mismo, por lo tanto este proceso podría constituirse en una barrera para la solución de problemas de geometría de los cursos posteriores.

Sin lugar a dudas el ABP estuvo fuertemente apoyado por el uso de objetos físicos de aprendizaje. Lo que quiere decir que una estrategia que aúne tanto al método como al recurso será más efectiva a la hora de enseñar el concepto de volumen, así como otros temas del área de la matemática. Además, la estrategia permitió que los estudiantes observaran que la transversalidad de las matemáticas, en otras asignaturas como la historia o la geografía.

De tal manera, se concluye que implementar el desarrollo de un recurso didáctico con objetos físicos permite incentivar y motivar a los estudiantes a alcanzar los desempeños esperados dentro de su proceso de aprendizaje del área de matemáticas, específicamente el concepto y cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos.

La secuencia didáctica elaborada y desarrollada presentó diferentes tipos de actividades, las cuales pueden desarrollar las habilidades espaciales y las competencias de modelación, planteamiento y resolución de

50

problemas: a partir de unidades cúbicas, de fórmulas y datos, con situaciones problema y construcción de modelos físicos. Algunas con más efectividad que otras, pues es difícil comparar las distintas capacidades e inteligencias de los estudiantes.

La interacción y manejo de material concreto por parte de los estudiantes dado en la construcción de los objetos físicos, resulta en una actividad que se escapa de la rutina de las clases tradicionales, aún más si se presenta una transversalidad en otras áreas del conocimiento al escapar en el contexto local y ubicarse en un contexto nacional y continental arquitectónico latinoamericano, siendo estas, actividades que promueven el desarrollo de su pensamiento espacial.

Por último se debe reconocer que algunas falencias en el diseño o aplicación de la investigación pueden traer consigo, resultados no satisfactorios que no siempre pueden atribuirse a los estudiantes como tal. Cabe mencionar la escasa repetición de resultados y la falta de utilización de grupos de control, entre otras.

5.2. Recomendaciones

Para futuras investigaciones se propone continuar con el uso práctico de la estrategia didáctica realizada, pues se observó, en la etapa de evaluación de su aplicación, que si bien los recursos y estrategias didácticas empleados mejoraron la apropiación de la solución de problemas de cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos, aún existen muchas dificultades por parte de los estudiantes.

En las Instituciones que dispongan de una infraestructura adecuada en cuanto a equipos de cómputo, sería posible que la secuencia didáctica se pase al plano digital con un software adecuado que facilite la exploración y creación de objetos en tres dimensiones acompañados del docente que permitan llegar a desarrollar las habilidades de pensamiento espacial.

Con el ánimo de llevar a cabo una evaluación de desempeños de forma cualitativa, se propone que la etapa de aplicación se realice en un mayor lapso de tiempo y/o en distintos grupos de estudiantes que permita comparar los resultados con y sin el uso de la secuencia didáctica.

Esta investigación se puede ampliar con otras construcciones arquitectónicas y, considerando que la secuencia didáctica integra temas de áreas distintas a las matemáticas, se podrían incluir formas u objetos sólidos de áreas como las ciencias o la educación artística, entre otros.

51

6. Referencias

Alsina, C. (1994). Apología de la utilidad y el realismo. Conferencia inaugural de las II jornadas sobre la enseñanza de las matemáticas en las escuelas técnicas (pág. 7). Huelva, España: Universidad de Huelva.

Arriaza Balmón, M. (s.f.). Guía práctica de análisis de datos. Sevilla: Instituto de investigación y formación agraria y pesquera.

Baquero, M., & González, P. (2006). Historia del desarrollo y evolución de la llamada "Matemática Moderna". Obtenido de Universidad de Palermo: www.palermo.edu

Canevet, G. (1970). El cálculo Científico. Barcelona, España: Industria Gráfica Francisco Casamajó.

Cerda Gutierrez, H. (1993). Los elementos de la investigación: cómo reconocerlos, diseñarlos y construirlos. Bogotá: Editorial El Búho Ltda.

Coll, C., Martín, E., Mauri, T., Miras, M., Onrubia, J., & Solé, I. y. (1993). El constructivismo en el aula. Obtenido de Fundación Terras: www.terras.edu.ar/biblioteca

Granada Cano, G. A. (2014). Construcción de un objeto virtual de aprendizaje (ova) para la enseñanza de la inseminación artificial a término fijo. Trabajo de grado para optar al título de zootecnista asesor: Laura Patricia Posada Barrera Universidad Nacional Abierta y a distancia UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio (IATF).

Guillén, G. (2010). ¿Por qué usar los sólidos como contexto de enseñanza - aprendizaje de la geometría? ¿Y en la investigación? En M.M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo, & T.A. Sierra, (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV. Lleida: SEIEM, p. 11-68.

Guzmán, O. M. (1993). Enseñanza de las ciencias y de la matemática. Obtenido de Organización de los Estados Iberoamericanos para la educación, la ciencia y la cultura: http://www.oei.org.co

Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación. (2011). Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación. Obtenido de Orientaciones para el examen de Estado de la educación media ICFES SABER 11°. http://paidagogos.co/pdf/guia_saber_11_2011_feb_03.pdf

Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación. (2017). Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación. Obtenido de ICFES Saber 3°, 5° y 9°: http://www2.icfesinteractivo.gov.co/ReportesSaber359/seleccionListaInstituciones.jspx

Lorduy Plaza, O. M. (2014). Diseño de una propuesta didáctica utilizando el ABP como estrategia de enseñanza de la circulación sanguínea en el ser humano, en estudiantes de grado sexto. Medellín, Colombia: Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

Matheus, L. N. et al. (2009). “Propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría a través de la papiroflexia”. Décimo encuentro colombiano de matemática educativa. Recuperado de: http://funes.uniandes.edu.co/778/1/propuesta.pdf

52

Martínez, M. H. (2012). Implementación y creación de herramientas didácticas que afiancen las cuatro operaciones básicas de la aritmética de los números naturales (tesis de maestría). Bogotá, Colombia: Universidad Nacional de Colombia.

Mendizábal, J. A. (1999). La familia y el adolescente. . Obtenido de Revista médica del Hospital General de México, S. S.: http://www.medigraphic.com/pdfs/h-gral/hg-1999/hg993g.pdf

Ministerio de Educación Nacional. (1998). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Lineamientos curriculares. Obtenido de Ministerio de Educación Nacional: http://www.mineducacion.gov.co/1759/articles-116042_archivo_pdf2.pdf

Monje Alvarez, C. A. (2011). Metodología de la investigación cualitativa y cuantitativa. Neiva, Colombia: Universidad Surcolombiana.

Pizarro, R. A. (2009). Las TICs en la enseñanza de las matemáticas. Aplicación al caso de Métodos Numéricos (tesis de maestría). Buenos Aires, Argentina: Universidad Nacional de La Plata.

Restrepo Gómez, B. (2005). “Aprendizaje basado en problemas (ABP): una innovación didáctica para la enseñanza universitaria” Educación y Educadores, 8: pp. 9-19

Rojano, T. (2003). Incorporación de entornos tecnológicos de aprendizaje a la cultura escolar: Proyecto de innovación educativa en matemáticas y ciencias. Obtenido de Revista Iberoamericana de educación: http://lets.cinvestav.mx/Portals/0/SiteDocs/MediatecaSS/lets_sur_mediateca_rojano_Incorporaciondeentornos.pdf

Santa, W. A. (2014). Estrategias de enseñanza aprendizaje que fomenten el interés por las matemáticas en los alumnos del grado noveno de la institución educativa concejo municipal de Itagüí, a partir de los intereses del estudiante (tesis de maestría). Medellín, Colombia: Universidad Nacional de Colombia.

Usman, S. (2013). Aplicación de entornos elaborados con herramientas digitales gráficas animadas, para el desarrollo y fortalecimiento de habilidades de pensamiento de orden superior en el área de matemáticas de una institución educativa de la ciudad de Palmira. Palmira, Colombia: Universidad Nacional de Colombia.

Universidad Politécnica de Madrid (s.f.). “Aprendizaje basado en problemas: guía básica de nuevas tecnologías”. Universidad Politécnica de Madrid, Servicio de Innovación Educativa. Recuperado de: https://innovacioneducativa.upm.es/guias/Aprendizaje_basado_en_problemas.pdf

Villada, A. P. (2013). Diseño e implementación de un curso virtual como herramienta didáctica para la enseñanza de las funciones cuadráticas para el grado noveno en la Institución Educativa Gabriel García Márquez utilizando Moodle (tesis de grado). Medellín, Colombia: Universidad Nacional de Colombia.

53

Anexos

Anexo A. Documento componentes y competencias en situación crítica

GRADO NOVENO

AREA MATEMÁTICAS

COMPETENCIA

COMPONENTE

AFIRMACIÓN

COMUNICACIÓN

Aleatorio Reconoce la media, mediana y moda con base en la

representación de un conjunto de datos y explicita sus diferencias en distribuciones diferentes.

Numérico Variacional

Usa y relaciona diferentes representaciones para modelar situaciones de variación. TENDENCIA NEGATIVA

Reconoce el lenguaje algebraico como forma de representa procesos inductivos.

Espacial Métrico

Identifica relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud y determina su pertinencia.

TENDENCIA NEGATIVA

Identifica características de gráficas cartesianas en relación con la situación que representan.

Usa sistemas de referencia para localizar o describir posición de objetos y figuras

Representa y describe propiedades de objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas

RAZONAMIENTO

Espacial Métrico

Hace conjeturas y verifica propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales.

Argumenta formal e informalmente sobre propiedades y relaciones de figuras planas y sólidos.

Aleatorio

Establece conjeturas y verifica hipótesis acerca de los resultados de un experimento aleatorio usando conceptos básicos de probabilidad.

TENDENCIA NEGATIVA

Utiliza diferentes métodos y estrategias para calcular la probabilidad de eventos simples.

Usa modelos para discutir acerca de la probabilidad de un evento aleatorio. TENDENCIA NEGATIVA

Numérico Variacional

Interpreta tendencias que se presentan en una situación de variación.

Interpreta y usa expresiones algebraicas equivalentes..

Utiliza propiedades y relaciones de los números reales para resolver problemas.

54

RESOLUCION

Numérico Variacional

Resuelve problemas que involucran potenciación, radicación y logaritmación TENDENCIA NEGATIVA

Resuelve problemas en situaciones de variación con funciones polinómicas y exponenciales en contextos aritméticos y geométricos.

Resuelve problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en el conjunto de los números reales. TENDENCIA NEGATIVA

Espacial Métrico

Establece y utiliza diferentes procedimientos de cálculo para hallar medidas de superficies y volúmenes TENDENCIA NEGATIVA

Resuelve y formula problemas geométricos o métricos que requieran seleccionar técnicas adecuadas de estimación y aproximación.

Aleatorio

Resuelve y formula problemas a partir de un conjunto de datos presentado en tablas, diagramas de barras y diagrama circular.

TENDENCIA NEGATIVA

Resuelve problemas que requieran el uso e interpretación de medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de un conjunto de datos.

55

Anexo B: Resultados Helmer Pardo simulacro prueba saber grado 9° 2017

Tabla B-1. Análisis de rendimiento del simulacro de Pruebas Saber en la IE Helmer Pardo. Fuente: propia.

Tabla B-2. Análisis del rendimiento del simulacro de pruebas Saber en la IE Helmer Pardo. Fuente: propia.

56

Anexo C. Prueba diagnóstica

Prueba diagnóstica – Grado 9° - Nombre: _____________________________________ Fecha: _____________ Propósito: Explorar los conocimientos previos que los estudiantes tienen

acerca del concepto de volumen. Responde las siguientes preguntas seleccionando la opción que consideres

correcta. 1. Propiedades y relaciones de los números reales

Para cercar un jardín se compraron dos tipos de malla, A y B. Del tipo A, dos rollos de 25,5 metros cada uno, y del tipo B, dos rollos cada uno con 7 metros de malla menos que un rollo del tipo A. ¿Cuál de los siguientes procedimientos permite determinar correctamente la cantidad de metros comprados para cercar el jardín?

A. (2 x 25,5) + 2 x (25,5 + 7) B. 2 x [25,5 – 7] C. 2 x [2 x (25,5) – (2 x 7)] D. (2 x 25,5) + 2 x ( 25,5 – 7)

2. Medidas de longitud

Para instalar la televisión por cable en una casa se requiere tender un cable, tensionándolo, desde el poste alimentador hasta la conexión del televisor, como se muestra en la figura 1:

Aproximadamente

¿cuántos metros de cable se requieren para realizar la conexión?

A. 6 m. B. 7 m. C. 8 m. D. 10 m.

3. Medidas de

superficie

En una pared cuadrada de 16 m2 de área se dibujó el diseño que se presenta en la figura 2:

Figura 1

57

Figura 2 ¿Cuál es el área de la superficie pintada de negro en la pared?

A. 2 m2 B. 4 m2 C. 8 m2 D. 12 m2

4. Localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica

A continuación se presenta una figura geométrica (Figura 3) y las medidas de sus lados:

Figura 3

La figura se presentó en diferentes sistemas de coordenadas cartesianas. ¿En cuál de las siguientes representaciones, la escala permite leer todas las medidas de los lados de la figura?

58

5. Semejanza y proporcionalidad

La figura muestra la vista lateral de dos escaleras empleadas para limpiar el frente de un edificio. Las escaleras determinan los triángulos MNO y OPR que tienen las medidas indicadas en la figura 4:

Figura 4 Las patas de las dos escaleras forman con el piso ángulos congruentes

porque: A. los triángulos MNO y OPR son congruentes. B. los lados correspondientes de los triángulos son iguales. C. los triángulos MNO y OPR son semejantes. D. la altura del triángulo OPR es 3 veces la altura del triángulo MNO

6. Traslación y rotación de figuras planas

En la figura 5 se presentan los tres primeros pasos de una secuencia de construcción con la cual se puede obtener un diseño similar a una de las obras del maestro colombiano Omar Rayo.

59

Figura 5 ¿Cuál de las siguientes fotografías corresponde a la obra relacionada con la

secuencia anterior?

7. Sistemas de referencia

En el plano cartesiano (Figura 6) que se presenta a continuación se construyó una figura:

Figura 6 ¿Cuál de los triángulos que aparecen en la figura tiene vértices en los puntos

(1, 1), (4, 2) y (3, -2)? A. Triángulo JGE B. Triángulo JGH C. Triángulo JFE D. Triángulo JFI

8. Elementos de los polígonos

La figura 7 muestra un prisma heptagonal y uno de sus desarrollos planos:

60

Figura 7 Con este desarrollo plano se puede construir el prisma heptagonal, porque:

A. el desarrollo plano tiene 7 cuadrados y el prisma tiene 7 caras cuadradas. B. el número total de lados de los polígonos que conforman el desarrollo plano

es igual al número de aristas del sólido. C. los polígonos del desarrollo plano corresponden a las caras del sólido y

están correctamente ubicados. D. el desarrollo plano tiene 2 heptágonos y el prisma tiene 2 caras

heptagonales.

9. Elementos de la circunferencia

En una circunferencia se pueden inscribir polígonos regulares. A continuación se presenta, en la figura 8, la relación entre las medidas de los lados de un cuadrado inscrito y el radio de la circunferencia:

r

𝒓=𝟐

Figura 8 Si el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de

20√2 𝑐𝑚, el diámetro de la circunferencia es:

A. 2√2 𝑐𝑚

B. 3 𝑐𝑚

C. 10√2 𝑐𝑚

D. 10 𝑐𝑚

61

10. Perímetro y áreas de figuras planas (polígonos regulares)

Jorge quiere fabricar una cometa en forma de rombo como la que se presenta en la figura 9, utilizando plástico y palos de balso.

Figura 9 ¿Cuántos decímetros cuadrados de plástico, mínimo, se requieren para

cubrir la superficie de la cometa? A. 48 dm2 B. 24 dm2 C. 20 dm2 D. 12 dm2

11. Medidas de conversión (longitud, área y peso)

Un depósito de agua que tiene una superficie rectangular de 15 m2 y una altura de 100 cm va a desocuparse utilizando una bomba que extrae 1.000 litros de agua por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará en desocuparse el depósito?

A. 0,15 segundos. B. 1,5 segundos. C. 15 segundos. D. 150 segundos.

Sobre estrategias metodológicas 12. ¿Cuántas horas a la semana dedicas a la construcción de tu conocimiento

matemático (álgebra, geometría, estadística) en casa? a. Menos de 1 hora b. Entre 1 y 5 horas c. Entre 5 y 10 horas d. Más de 10 horas

13. ¿El profesor de matemáticas hace uso de conceptos previamente vistos para

introducir un nuevo tema? a. Siempre b. Casi siempre c. Algunas veces d. Nunca

62

14. ¿El maestro dedica un espacio de tiempo para aclarar dudas o ampliar el tema

de la clase de matemáticas? a. Siempre b. Casi siempre c. Algunas veces d. Nunca

15. Tu nivel de participación e interés en las clases de matemáticas es muy alto:

a. Siempre b. Casi siempre c. Algunas veces d. Nunca

63

Anexo D. Guía 1 de la secuencia didáctica GUIA # 1

Recordando conceptos geométricos Objetivo: Reforzar el nivel de apropiación de conceptos previos de geometría que

tienen los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Sebastián de Belalcázar.

Pregunta guía: ¿Cuántos conceptos básicos geométricos conoces? Materiales: Lápiz Regla Transportador Escuadra

Guía del estudiante Reúnete con uno de tus compañeros y en parejas analicen y discutan cada una de

las siguientes situaciones para intentar llegar a la solución más adecuada:

1. Sigue las instrucciones en cada literal. Después completa la proposición con las

opciones debajo de cada espacio.

a. Nombra el siguiente elemento:

_______________

Es un punto porque no tiene _____________, solo tiene

______________.

Tamaño - forma ángulo - posición

b. Traza un rayo (como el de color verde) para que tenga un extremo en el

punto A y pase por el punto B:

Es un rayo porque tiene _______ punto(s) extremo(s) y continua

indefinidamente 0 – 1 – 2

en _______ dirección(es).

1 – 2 – 3

c. Traza una recta que pase por los puntos A y B

64

Esta es una recta porque tiene ________ punto(s) extremo(s) y

continúa

0 – 1 – 2

indefinidamente en _________ direcciones.

0 – 1 – 2

d. Dibuja segmentos para conectar todos los posibles pares de los puntos A,

B y C.

Estos son segmentos porque cada uno tiene _______ punto(s) extremo(s)

y 1 – 2 – 3 continúan indefinidamente en __________ dirección(es).

0 – 1 – 2 2. Sigue las indicaciones para hacer la construcción propuesta:

a. Dibuja un rayo de manera que tenga su extremo en el punto A, que pase

por alguno de los otros puntos negros y sea paralelo al segmento de recta

de color verde. Comprueba que sean segmentos paralelos usando tu regla

y escuadra.

65

b. Conecta dos pares de puntos negros de manera que formen dos

segmentos de recta paralelos. Comprueba la solución usando tu regla y

escuadra.

3. Utilizando el transportador, mide los ángulos y responde:

a. ¿Cuál ángulo tiene mayor medida?

A = ______

B = ______

R/______________________

b. ¿Cuál ángulo tiene menor medida?

A = ______

B = ______

R/______________________

66

c. ¿Cuál ángulo numerado se refiere al mismo ángulo que ∠DOF?

R/=___________

d. ¿Qué nombre recibe el ángulo que mide 72°?

R/=____________

e. ¿Cuánto mide el ángulo?

R/=_____________

f. Construye un ángulo de 75°

67

4. Observa y responde:

a. ¿Cuántos lados tiene y qué nombre recibe cada figura?

Figura A

Nombre ____________________

Número de lados _____________

Figura B

Nombre ____________________

Número de lados _____________

Figura A Figura B

b. ¿Cuántos vértices tiene cada figura?

Figura A Nombre ____________________

Número de vértices _____________

Figura B

Nombre ____________________

Figura A Figura B Número de vértices _____________

c. ¿Cuál figura tiene todos sus lados de la misma longitud?

Figura A

Figura B

R/=____________________

68

5. Selecciona la respuesta correcta:

a. Clasifica el triángulo ∆ 𝐽𝐾𝐿 según la medida de sus ángulos:

b. Clasifica el triángulo ∆ 𝐴𝐵𝐶 según la medida de sus ángulos:

c. Clasifica el triángulo ∆ 𝑀𝑁𝑂 a partir de la medida de sus lados:

69

d. Clasifica los triángulos de abajo como escalenos o isósceles:

6. Encuentra el perímetro en cada uno de los siguientes casos:

a. Cada cuadrado en la cuadrícula es 1 cuadrado unitario. ¿Cuál es el

perímetro del cuadrado azul?

R/=______ unidades

b. ¿Cuál es el perímetro del hexágono regular?

R/=______ metros

70

c. Si el siguiente pentágono regular tiene un perímetro de 55 cm. ¿Cuál es la

longitud de uno de los lados del pentágono?

R/=______ cm

7. Encuentra el área contando cuadrados unitarios (1 unidad X 1 unidad) o construye

rectángulos:

a. ¿Cuál es el área de cada figura?

R/=_____ unidades cuadradas (u2) R/=_____ u2

b. ¿Cuál es el área de cada figura?

R/=_____ u2 R/=_____ u2

71

c. Dibuja un rectángulo con un área de 18 unidades cuadradas.

d. Selecciona. ¿Cuáles rectángulos tienen un área de 20 unidades

cuadradas?

72

Anexo E. Guía 2 de la secuencia didáctica. Guía # 2

La pirámide de Kukulcán

Objetivo: Desarrollar en los estudiantes el concepto de volumen de sólidos partiendo de su relación con construcciones arquitectónicas históricas de Latinoamérica.

Pregunta guía: ¿Existe alguna relación entre los sólidos geométricos y las construcciones históricas de América?

Materiales: Lápiz Regla Escuadra Cartulina de distintos colores (amarillo, azul, verde, rosada, naranja,

blanca) Tijeras de punta roma Pegamento Cinta adhesiva

Guía del estudiante

Antes de iniciar: Recordemos que los cuerpos geométricos constituidos por un número finito de regiones en forma de polígono se conocen como poliedros. Si sus caras son polígonos regulares se tiene un poliedro regular, mientras que si sus caras son polígonos irregulares el poliedro es irregular. Así mismo los poliedros se pueden clasificar en prismas y pirámides.

Un prisma, por lo tanto, es un poliedro en el cual sus bases son congruentes y paralelas. Existen prismas rectos y oblicuos. En la presente guía trabajaremos únicamente con prismas rectos (aquellos en los que su eje es perpendicular a sus bases).

Esta es una actividad tradicional que posiblemente hayas hecho en cursos

anteriores; y que te permitirá aproximarte a la geometría con objetos reales y, de esta manera, familiarizarte con los cuerpos geométricos, ya que para estudiar sus elementos es necesario poderlos ver y tocar.

1. En los grupos que previamente conformó tu profesor, reúnanse y escojan uno de

los 5 niveles que aparecen en la siguiente tabla. Informa a tu profesor cual es el

nivel escogido para que no se repita en otros grupos.

73

NIVEL

FICHA

Largo (l) cm

Ancho (a) cm

Altura (h) cm

5

25 7,6 3,5 2,7

24 10,8 6,4 2,7

23 9,9 2,7 2,7

22 10,3 3,6 2,7

21 7,1 3,2 2,7

4

20 8,5 2,65 2,7

19 10,9 6,35 2,7

18 9 4,1 2,7

17 12,6 6 2,7

16 8,65 2,4 2,7

3

15 6,2 4,3 2,7

14 10 3,7 2,7

13 9,9 7 2,7

12 11,3 7,1 2,7

11 13,3 5,7 2,7

2

10 7,5 3 2,7

9 13,8 7,5 2,7

8 10,5 4,7 2,7

7 12,2 8 2,7

6 11 6,3 2,7

1

5 6,95 3,15 2,7

4 13,7 5,05 2,7

3 12 6,3 2,7

2 9,45 8 2,7

1 14,9

5 10,5

5 2,7

2. Como puedes darte cuenta cada nivel tiene 5 fichas. A su vez cada ficha presenta

diferentes medidas en sus dimensiones (largo y ancho) y la altura (h) es igual para

todas las fichas. Vamos a trazar sobre la cartulina el desarrollo de cada ficha que

corresponde a un prisma rectangular. Debes tener en cuenta usar cartulina del

color correspondiente (amarilla, azul, naranja, verde, rosada o blanca).

Ten cuidado en medir exactamente con tu regla y escuadra. Toma como ejemplo la siguiente plantilla:

74

¿Qué tipo de polígonos encuentras en tu dibujo? _____________________________________________________________

_____ ¿Cuántas caras son semejantes? _____________________________________________________________

_____ Calcula el área de las caras:

Recuerda: El área de un rectángulo se calcula con la fórmula: 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑅𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Cara A: ___________ Cara B: ___________ Cara C:

___________

3. Cuando termines pide a tu profesor que revise si las medidas están correctas. De

ser así procede a recortar tu figura con las tijeras.

4. Con mucha precisión realiza los dobleces en todas las líneas de las caras y

pestañas. Estas líneas serán las aristas de nuestra ficha.

5. Aplica pegamento sobre las pestañas y procede a armar tu ficha. Escribe el

número que corresponde a la ficha que acabas de armar.

75

¿Qué nombre recibe el sólido formado? ¿Cuántas caras tiene?

_____________________________

_____________________________

¿Cuántas aristas tiene? ¿Cuántos vértices tiene?

_____________________________

___________________________

6. Calcula el área total del prisma, así:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝐴) ∗ 2 + (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝐵) ∗ 2 + (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝐶) ∗ 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = ___________________

7. Calcula el Volumen del prisma:

Recuerda: El volumen de un prisma rectangular se

Obtiene con la fórmula:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑥 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = ___________________

8. Compara con los resultados de volumen de los prismas de otros grupos.

¿Qué diferencias o semejanzas encuentras? _____________________________________________________________

___________________________________________________________________________________.

¿Qué característica reúnen los prismas del mismo color? _____________________________________________________________

_____________ ¿Qué podrías concluir al respecto?

_____________________________________________________________

_____________

76

9. Cuando tu grupo tenga sus cinco (5) prismas construidos, utilícenlos como fichas

de puzzle para armar el Nivel de la pirámide, que es una figura cuadrada, es decir,

con la medida de sus lados igual:

Une los prismas con cinta adhesiva para evitar que se desorganice.

10. Con ayuda de la regla toma la medida de los lados (largo, ancho y altura) de la

figura obtenida. Determina el volumen del Nivel.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = ___________________

11. Sobre el escritorio del profesor ubiquen los niveles armados uno encima del otro,

iniciando en el nivel 1 en la parte inferior y ascender hasta el nivel 5.

¿Qué figura se ha obtenido? __________________________________ Consulta con los demás grupos sus resultados y completa la tabla para

obtener el volumen total de la pirámide:

Ni

vel

Volumen

(cm3)

1

2

3

4

5

Vo

lumen

Total

Algunas construcciones antiguas eran diseñadas en forma de pirámide y tenían diferentes usos. La figura que acabamos de elaborar es un modelo a escala de los 5 niveles superiores de la pirámide de Kukulcán construida por los Mayas, quienes la usaron como templo de culto para adorar a sus divinidades.

77

Pirámide de Kukulcán

Investiga más aspectos sobre la pirámide de Kukulcán y de la cultura Maya. Comparte lo consultado con tus compañeros en la próxima clase.

12. Para finalizar resuelve:

La base cuadrada de la pirámide Kukulcán tiene 54 m de longitud y 2,7 m de

alto. Si la pirámide está formada por 9 niveles o prismas cuadrangulares, pero su

longitud disminuye en 1 m de ancho cada vez que se asciende un nivel. Determina

el volumen de la pirámide sabiendo que en la parte superior está el templete de 6

m de alto y 24 m de ancho.

78

Anexo F. Guía 3 de la secuencia didáctica Guía # 3

El Templo del Sol

Objetivo: Desarrollar en los estudiantes el concepto de volumen de sólidos partiendo de su relación con construcciones arquitectónicas históricas de Latinoamérica.

Pregunta guía: ¿Puedes hacer representaciones de las construcciones que edificaron nuestros indígenas?

Materiales: Lápiz Regla Compás Transportador Cartulina de distintos colores (amarillo, azul, verde, rosada, blanca) Tijeras de punta roma Pegamento Guía del estudiante Antes de iniciar: Recordemos que los cuerpos redondos son todos aquellos

sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones curvas y planas. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. Los cuerpos redondos más conocidos son el cono, el cilindro y la esfera.

Un cono circular recto recto puede ser generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo formado por el otro cateto se le denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

El cilindro circular recto es un cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases.

Cono Cilindro

En esta actividad vamos a continuar con el mismo procedimiento que se llevó a cabo en la guía anterior, es decir, a partir del desarrollo plano de las figuras vamos a elaborar nuestras piezas o fichas para al final armar el modelo de una construcción arquitectónica indígena.

1. Reúnanse en los mismos grupos que desarrollaron la guía # 2 (Pirámide de

Kukulcán). Seleccionen el techo (Ficha 1) o una parte de la estructura principal

(Ficha 2, 3, 4 o 5), que se muestran en la siguiente tabla. Informen al profesor qué

figura escogieron para que no se repita en otros grupos. Además deben escoger 1

columna para armar, las cuales tienen las mismas medidas para todos los grupos.

79

PARTE FIC

HA Dimensiones

TECHO

Cono

Radio

cm

Altura cm

1 7 7

ESTRUCTURA

PRINCIPAL

Cilindro

Radio

cm

Altura

cm

2 3,2 1,8

9

3 3,2 2,2

4

4 3,2 3,1

5 3,2 5,8

1

COLUMNAS

Cilindro

Radio

cm

Altura

cm

6 1 13,

04

7 1 13,

04

8 1 13,

04

9 1 13,

04

10 1 13,

04

2. A continuación, trazamos el desarrollo plano de la figura seleccionada sobre la

cartulina blanca o de color (verde, amarilla, rosada, azul) de acuerdo a la tabla. La

medida de las columnas es igual para todas las fichas.

Realiza los cálculos donde sea necesario para obtener algunas medidas. Ten cuidado en medir exactamente con tu regla, transportador y compás. A modo de ejemplo se muestran las siguientes plantillas:

80

Plantilla del cilindro

Plantilla del cono

El ángulo ∝ del desarrollo del cono se calcula mediante la fórmula:

∝=𝑟. 360°

𝑔

La generatriz g se encuentra como la hipotenusa de un triángulo rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras

¿Qué tipo de polígonos forman parte de tus plantillas? _____________________________________________________________

_____ ¿Cuántos de esos polígonos son semejantes? ____________________________________ Calcula el área de los rectángulos y/o círculos que encuentres: Área rectángulo: ___________ Área círculo: ___________

81

Recuerda: El área de un círculo se calcula con la fórmula:

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋 . (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜)2

3. Cuando termines pide a tu profesor que revise si las medidas están correctas. De

ser así procede a recortar tu figura con las tijeras.

4. Con mucha precisión realiza los dobleces en todas las líneas de las caras y

pestañas, pues estos serán los pliegues de las figuras.

5. Aplica pegamento sobre las pestañas y procede a armar tu figura. Escribe el

número que corresponde a la figura que acabas de armar.

¿Qué nombre recibe el sólido que acabas de construir?

_________________________________________________________________________

¿Qué características presentan ese sólido?

_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

_____________________

6. Calcula el área total del cilindro y/o cono, así:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ___________________

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 = ___________________

82

7. Calcula los volúmenes del cono y/o cilindro:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ___________________

Recuerda: Las fórmulas para obtener el volumen del cono y del cilindro

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜 =𝜋.𝑟2.ℎ

3

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋. 𝑟2. ℎ

8. Compara con los resultados de volumen de los sólidos elaborados en los otros

grupos.

¿Encuentras alguna diferencia o semejanza? _____________________________________________________

9. Ahora compara los volúmenes de los cilindros con los volúmenes de los prismas

calculados en la guía # 2 (Pirámide de Kukulcán) ¿Qué característica reúnen los

cilindros y los prismas del mismo color?

__________________________________________________________________________

¿Qué podrías concluir al respecto?

_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

_____________________

10. Una vez que todos los grupos hayan terminado de armar sus fichas (techo,

estructura principal y columnas), con orientación del profesor reúnan las fichas y

traten de construir un solo objeto.

¿Qué figura se ha obtenido? __________________________________ Consulta con los demás grupos sus resultados y completa la tabla para

obtener el volumen total del Templo del Sol:

PARTE FI

CHA

Volumen

cm3

TECHO Cono

1

ESTRUCTURA

PRINCIPAL

Cilindro

2

3

4

5

83

COLUMNAS

Cilindro

6

7

8

9

10

Volumen Total

Los indígenas Muiscas en Colombia construyeron sus viviendas o kioscos con

materiales que podían fácilmente deteriorarse con el tiempo, por eso en la actualidad no se encuentran vestigios de esas construcciones. Según la mitología Muisca, “el dios Bochica” se retiró a Sogamoso después de educar a los pueblos de la sabana y dispuso que allí se edificara un templo al dios Sol. La construcción duró más de dos años y en ella utilizaron las mejores maderas traídas de los Llanos Orientales.

Los científicos usaron técnicas avanzadas para reconstruir las antiguas viviendas y templos indígenas. La figura que acabamos de elaborar es un modelo a escala del Templo del Sol construido por los Muiscas antes de la llegada de los españoles a América. Este fue usado como templo de culto para adorar al dios Sol. El Templo del sol fue incendiado en 1537 por la avalancha de conquistadores españoles, exactamente un año antes de que ellos llegaran a Bogotá.

Templo del Sol

Indaga un poco más sobre la cultura indígena Muisca y sobre el Templo del Sol. Comparte lo consultado con tus compañeros en la próxima clase.

11. Para finalizar resuelve:

Se determinó que la altura total del Templo del Sol es 18 m; que el diámetro

de su estructura principal es 12,74 metros y su altura 11 metros. Está rodeado por

26 columnas en madera que sostienen el techo, el cual es de forma cónica.

Matemáticamente se determinó que la altura de las columnas es de 11 metros y su

diámetro de 0,85 metros, mientras que la altura del techo, el cual se considera

como sólido es de 7 metros y su base tiene un diámetro de 18,9 metros. ¿Cuál es

el volumen total de esta estructura?

84

Anexo G. Guía 4 de la secuencia didáctica. Guía # 4

El Castillo de San Felipe

Objetivo: Desarrollar en los estudiantes el concepto de volumen de sólidos partiendo de su relación con construcciones arquitectónicas históricas de Latinoamérica.

Pregunta guía: ¿Cómo inciden las variaciones en las dimensiones en el volumen de nuestro modelo arquitectónico?

Materiales: Lápiz Regla Transportador Cartulina de distintos colores (amarillo, azul, verde, rosada, blanca) Esfera o semiesfera de icopor (Radio=3,07 cm aproximadamente)

Tijeras de punta roma

Pegamento Guía del estudiante Antes de iniciar: Recordemos que existen muchos cuerpos geométricos rectos y

redondos. Entre los redondos tenemos la esfera y el cilindro, y en los rectos están el prisma rectangular y el prisma trapezoidal.

La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están todos a igual distancia de uno interior llamado centro.

El prisma trapezoidal es un prisma tal que los polígonos involucrados son trapecios. La definición de prisma es un cuerpo geométrico tal que está formado por dos polígonos iguales y paralelos entre sí y el resto de sus caras son paralelogramos.

Semiesfera Cilindro Cubo Prisma trapezoidal

La presente actividad, al igual que las anteriores, propone el armado o construcción de unas piezas en cartulina a partir del desarrollo plano de las figuras.

1. Inicialmente reúnanse en los mismos grupos que desarrollaron la guía # 3 (Templo

del sol). Luego escojan una de las 8 figuras o fichas que aparecen en la siguiente

tabla, informando al profesor qué figura escogieron para que no se repita en otros

grupos.

FICHA O

FIGURA Dimensiones

Cilindro

Radio

cm

Altura cm

2 3,07 2,4

3

Pris Largo Anc Alt

85

ma rectangular

cm ho cm

ura cm

3 6,14 6,1

6 2,6

5

Cubo Lado cm

4 y 5 4,64

Prisma

rectangular

Largo cm

Ancho

cm

Altura

cm

6 18,4 6,1

4 1,8

1

Prisma

trapezoidal

Long. Lado

mayor (B) cm

Long. Lado

menor (b) cm

Altura (h)

cm

Ancho (L)

cm

7 y 8 12 6,4 5 6,1

4

2. A continuación trazamos el desarrollo plano de la figura seleccionada sobre la

cartulina blanca o de color (amarilla, rosada, roja) de acuerdo a la tabla.

Realiza los cálculos donde sea necesario para obtener algunas medidas. Ten cuidado en medir exactamente con tu regla, transportador y compás. En las guías anteriores encuentras las plantillas del prisma y cilindro, la siguiente es la plantilla del prisma trapezoidal:

Plantilla del prisma trapezoidal

¿Qué tipo de polígonos forman parte de tus plantillas? _____________________________________________________________

_____ ¿Existen polígonos semejantes en las figuras? _____________________________________________________________

_____ Calcula el área de las partes semejantes encontradas:

86

Área círculo: _________ Área cuadrado: _________ Área

trapecio: _______

Conoce: El área del trapecio se obtiene con la fórmula:

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 = ℎ .𝐵 + 𝑏

2

3. Cuando termines pide a tu profesor que revise si las medidas están correctas. De

ser así procede a recortar tu figura con las tijeras.

4. Con mucha precisión realiza los dobleces en todas las líneas de las caras y

pestañas, para obtener los pliegues de las figuras.

5. Aplica pegamento sobre las pestañas y procede a armar tu figura. Escribe el

número que corresponde a la figura que acabas de armar de acuerdo a la tabla.

¿Qué nombre recibe el sólido que construiste?

_________________________________________________________________________

¿Qué características presentan esa figura?

_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

_____________________

6. Calcula el área total del cilindro, cubo, prisma rectangular o prisma trapezoidal,

así:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ___________________

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6𝑙2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 = ___________________

87

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

= 2. (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐴) + 2. (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐵) + 2. (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐶)

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = ___________________

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = (𝐵 + 𝑏 + 2𝑐). 𝐿 + ℎ .𝐵 + 𝑏

2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = ___________________

7. Por otra parte, pide a tu profesor que corte la esfera de icopor en dos partes

iguales para obtener nuestra semiesfera que será la cúpula de la garita del castillo.

Su radio debe ser igual a 3,07 cm.

Con ese valor del radio calcula el área de la semiesfera:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟2

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = ___________________

8. Calcula los volúmenes de las figuras construidas, cilindro, cubo, prisma trapezoidal

y de la semiesfera de icopor:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = ___________________

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 = ___________________ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = ___________________

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = ___________________

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = ___________________

Conoce: Las fórmulas para obtener el volumen del cubo,

prisma trapezoidal y semiesfera son:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑙3

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = ℎ.𝐵+𝑏

2. 𝐿

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =2

3𝜋𝑟3

(consulta las fórmulas de volumen de algunas figuras en las guías

anteriores)

88

9. Compara con los resultados de volumen de los sólidos elaborados en los otros

grupos.

¿Encuentras alguna diferencia o semejanza? _____________________________________________________

10. Ahora compara los volúmenes de los cilindros con los volúmenes de los prismas

calculados en la guía # 2 y en la guía # 3 ¿Qué característica reúnen los sólidos

construidos que tienen el mismo color?

__________________________________________________________________________

¿Qué podrías concluir al respecto?

_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

_____________________

11. Una vez que todos los grupos hayan terminado de armar sus fichas (cilindro,

cubos, prisma rectandular, prismas trapezoidales y semiesfera), con orientación

del profesor reúnan las fichas y traten de construir un solo objeto.

¿Qué figura se ha obtenido? __________________________________ Consulta con los demás grupos sus resultados y completa la tabla para

obtener el volumen total del Castillo de San Felipe:

FICHA O

FIGURA

Volumen

cm3

Semiesfera

1

Cilindro

2

Prisma rectangular

3

Cubo

4

5

Prisma rectangular

6

Prisma trapezoidal

7

8

Volumen Total

89

Situado sobre la colina de San Lázaro, el Castillo de San Felipe es un antiguo

complejo militar. Se creó este lugar estratégico con el fin de poder observar las invasiones en la ciudad por tierra o por la Bahía de Cartagena.

Su construcción comenzó en 1536 y terminó en 1657, por lo tanto, costó más de un siglo su construcción. El castillo recibió el nombre de San Felipe en honor a un soberano. De forma triangular, posee cuatro puestos de control y ocho cañones.

Resistió a varios asaltos especialmente al ataque a la ciudad en 1741 por las tropas inglesas del almirante Vernon, fue tomado solo una vez en 1697 por el comandante y barón Francés de Pointis.

Castillo de San Felipe

Aumenta tus conocimientos investigando más acerca de la historia de

Cartagena y su Castillo de San Felipe. Discutan lo investigado con tus compañeros y profesor en la próxima clase.

12. Para finalizar resuelve:

Una de las garitas del Castillo de San Felipe está compuesta por un cilindro

de 3 metros de altura y en la parte superior tiene una semiesfera de 4 metros de

diámetro. ¿Qué volumen presenta esta garita?

90

Anexo H. Guía 5 de la secuencia didáctica.

GUIA # 5 Cierre y evaluación

Objetivo: Evaluar la incidencia derivada de la aplicación de los recursos y

estrategias didácticas en la solución de problemas de cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos del área de matemáticas de los estudiantes de grado noveno.

Pregunta guía: ¿Cuánto has aprendido sobre el volumen de cuerpos solidos? Materiales: Lápiz Guía del estudiante Calculadora Reúnete con uno de tus compañeros y en parejas analicen y discutan cada una de

las siguientes situaciones para intentar llegar a la solución más adecuada: 1. Encuentra el volumen de las siguientes figuras a partir de unidades cúbicas:

Unidad cúbica:

e. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?

R/= ________ unidades cúbicas f. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?

R/= ________ unidades cúbicas

2. Calcula el volumen a partir de las fórmulas y datos:

a. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?

R/= ________ b. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?

91

R/= ________ c. Jeff y George tienen una caja de palomitas de maíz cada uno.

¿La caja de quién contiene más palomitas de maíz?

___________________ ¿Cuánto más puede contener la caja más grande que la pequeña?

_________ cm3

d. Ana está haciendo un pastel de fresa para el cumpleaños de su

hermano. El molde para el pastel tiene la forma de un prisma

rectangular de 20 cm de ancho por 28 cm de longitud. Ana coloca 1848

cm3 de masa en el molde. ¿Qué tan profunda está la masa para el

pastel en el molde?

R/= ____________________

e. Jaime quiere saber el volumen de su anillo de oro en centímetros

cúbicos. Él tiene un vaso rectangular con una base de 3 cm por 2 cm y

llena el vaso con agua a una altura de 4 cm. Jaime deja caer el anillo

en el vaso y mide que la altura del agua es ahora de 4.25 cm. ¿Cuál es

volumen del anillo de Jaime en centímetros cúbicos?

V1= ___________

V2= ___________

R/= ___________

92

3. Preguntas basadas en el desarrollo de poliedros. Selecciona la respuesta

correcta:

a. Observa la figura y responde

¿Qué poliedro se puede formar utilizando el anterior desarrollo?

b. Observa el sólido y responde

¿Cuál es el desarrollo que corresponde a la pirámide anterior?

93

c. Observa el desarrollo y responde:

¿Qué figura puede construirse utilizando el anterior desarrollo?

d. Observa el objeto y responde:

¿A cuál desarrollo corresponde la anterior figura?

4. Encuentra el área de la superficie al sumar las áreas de las caras:

94

a. ¿Cuál expresión puede usarse para obtener el área de la superficie del

siguiente cubo?

i. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

ii. 36 + 36 + 36 + 36

iii. 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

iv. 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36

b. Observa el cubo y su desarrollo:

El área de la superficie total del cubo es: ______ cm2

c. Observa el prisma rectangular y su desarrollo:

El área de la superficie total del prisma rectangular es: _______ cm2

d. Encuentra el área de la superficie del cubo que se muestra a

continuación.

95

R/= ________ cm3

5. Resuelve los siguientes problemas sobre área y volumen:

a. Juan le hizo a su gata Luna un poste nuevo para arañar. El necesita

recubrir el poste con alfombra.

¿Cuánta alfombra requiere Juan para recubrir la superficie del poste,

incluyendo la base?

R/= _________ cm2

b. Joe está construyendo un fuerte hecho de cajas para su hermano

menor. Se pregunta cuánto espacio habrá dentro del fuerte.

¿Cuánto espacio hay dentro del fuerte? R/= _________ pulgadas3

c. Samuel tiene a su camaleón, Pinky, en un terrario con las dimensiones

que se muestran a continuación. Hay 333 pulgadas de arena en el

fondo del terrario.

96

Samuel consigue un nuevo terrario más grande para Pinky. La base

del nuevo terrario es de 10 por 24 pulgadas. Samuel mudó la arena al

nuevo terrario.

¿Cuál será la profundidad de la arena en el nuevo terrario?

R/= _________ pulgadas

d. Un teatro quiere construir escalones movibles que se puedan usar para

subir y bajar del escenario. Quieren que los escalones tengan suficiente

espacio dentro como para poder almacenar objetos de utilería.

¿Cuánto espacio hay dentro de los escalones?

R/= _________ pulgadas3

6. Resuelve las situaciones sobre volumen de cilindros y conos (Da una

respuesta exacta en términos de π, o usa 3.14 para π):

a. Determina el volumen del cilindro.

R/= _________ unidades3

b. Determina el volumen del cilindro.

97

R/= _______ unidades3

c. Determina el volumen del cono.

R/= _______ unidades3

d. Determina el volumen del cono.

R/= _______ unidades3