Rectas, parábolas y sistemas

OBJETIVO Desarrollar la noci6n de pendiente y las diferentes form as de ecuaciones de rectas.

y

--~--------------~x

f<'AGVRA 4.1 La recta L1 es "mas inclinada" que la L2"

124

, RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMAS

4.1 RECTAS

Pendiente de una recta

Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por rectas. Una caracterfstica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura 4.1 la recta Ll crece mas rapido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En este sentido Ll esta mas inclinada respecto a la horizontal.

Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la cOOl'de-

y L

7 I (3, 7) '} 6 I

5 i Cambio vertical = 4

4 (1 3) i ~ ~ Pendiente = i = 2

I I I • x 1 2 3

FIGURA 4.2 Pendiente de una recta.

nada x aumenta desde 1 hasta 3 y la coordenada y aumenta de 3 a 7. La tasa promedio de cambio de y con respecto a x es la raz6n

cambio en y == cambio vertical == 7 - 3 == ~ == 2. cambio en x cambio horizontal 3 - I 2

La raz6n de 2 significa que por cada unidad de aumento en x hay un aumellto de 2 unidades eny. Debido a este aumento, la rectase eleva de izquierda a derecha. Puede

No tener pendiente no significa tener pendiente cero.

Este ejemplo muestra como puede ser interpretada la pendiente

4.1 Rectos 125

mostrarse que sin importar cUliles puntos de L se elijan para calcular el cambio en y al cambio en x, el resultado siempre es 2, al cuaillamamos pendiente de la recta.

Definicion

Sean (Xl' Y l ) Y (X2' Y 2) das puntas diferentes sabre una recta na vertical. Lapendiente de la recta es el numero m dada par

Y2 - Yl m=

X2 - Xl (

cambia verticaL ) = cambia horizontal .

(1)

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben tener Xl = X2 [vease la figura 4.3(a)], que da un denominador de cero en la ecuaci6n (1). Para una recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Y

l = Y2

[vease la figura 4.3(b)]. Esto da un numerador de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.

y y

I (x" y,) • ••

(x"y,)

--~------Ir-----"x --------~--------.. x

(a) Pendiente no definida (b) Pendiente igual a cero

FIGURA 4.3 Rectas vertical y horizontal.

EJEMPLO 1 Relacion precio/cantidad

La recta de Lafigura 4.4 muestra La relacion entre eL precio p de un articuLo (en doLares) Y La cantidad q de artfcuLos (en miLes) que Los consumidores campraran a ese precio. Determinar e interpretar La pendiente.

p (precio)

incremento de 1 unidad

unidad

-+-------------=--- q (cantidad)

FIGURA 4.4 Recta precio/cantidad.

126 4 RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMAS

m--"- 2

---3lME~-- m = 0

m=-2

FIGURA 4.5 Pendientes de rectas.

y

(X,. y,) -+--------------X

FIGURA 4.6 Recta que pasa por (x " Y,) con pendiente m.

Solucion: En la f6rmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q " P'). Haciendo (2, 4)::: (qI' PI) Y (8, 1) = (q2' P2)' tenemos

P2 - PI m=

1 - 4

8 - 2 -3 6

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la cantidad (un millar de artfculos), habra una disminucion de t (d6lar por artfculo) en el precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha. •

En resumen, podemos caracterizar la orientaci6n de una recta por su pendiente:

Pendiente cer6: Pendiente indefinida:

Peridiente positiva: Pendiente negativa:

recta horizontal, recta vertical, recta que sube de izquierda a derecha, recta que desciende de izquierda a derecha.

En la figura 4.5 se muestran rectas con pendientes diferentes. Observe que entre mas cercana a cero es la pendiente, esta mas cerca de ser horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estara mas cercana a ser vertical. Notamos que dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.

Ecuaciones de rectas

Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuaci6n cuya grMica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a traves del punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (vease la figura 4.6), podemos encontrar una relaci6n algebraica entre x y y. Utilizando la f6rmula de la pendiente con los puntos (XI ' y I) y (x, y), se obtiene

y - YI ----- = m x - XI '

(2)

Todo punto de L satisface la ecuaci6n (2). Tambien es cierto que todo punto que satisfaga la ecuaci6n (2) debe pertenecer aL. Por tanto,la ecuaci6n (2) es una ecuaci6n para L; se Ie da un nombre especial :

Y - YI = m(x - x,)

es la forma punto.pendiente de una ecuaci6n de la recta que pas a por (XI' )'1)

con pendiente m.

EJEMPLO 2 Forma punto-pendiente

Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).

Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.

y

Pendiente m 1

(0, b) -intercepci6n y

=mx+b

----~---+----------x

FIGURA 4.7 Recta con pendiente m e intercepci6n y igual a h.

4.1 Rec tos 127

Solucion: Utilizando una fonna punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3) , se obtiene

que puede reescribirse como

Y - (- 3) = 2(x - 1),

Y + 3 = 2x - 2,

2x - Y - 5 = O. • Una ecuaci6n de la recta que pasa por dos puntos dados se puede encontrar

facilmente , como 10 muestra el ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Determinacion de una recta a partir de dos puntos

Encontrar una ecuaci6n de fa recta que pasa por (-3, 8) Y (4, -2).

Solucion:

Estrategia: Primero determinamos la pendiente de la recta a partir de los puntos dados . Despues sustituimos la pendiente y uno de los puntos en la forma pun topendiente.

La recta tiene pendiente

-2 - 8 10 m= = 4 - (-3) 7 .

Utilizando una forma punto-pendiente con (-3, 8) como (x" Y,) se obtiene

Y - 8 = -~[x - (-3)],

Y - 8 = -~(x + 3),

7y - 56 = - lOx - 30, o

lOx + 7y - 26 = O. • Recuerde que un punto (0, b) donde la griifica interseca al eje yes Hamado una

intercepci6n y (figura 4.7). Si se conocen la pendiente my la intercepci6n y, b de una recta, una ecuaci6n para la recta es [utilizando una fonna punto-pendiente con (x"

y,) = (0, b)]

y - b = m(x - 0).

Resolviendo para y se obtiene y = mx + b, Hamada laforma pendiente-ordenada al origen de una ecuaci6n de la recta.

y=mx+b

es la forma pendiente.ordenada al origen de una ecuaci6n de la recta con pendiente m.e intercepci6n b con el eje y.

128 4 RECTAS. PARABOLAS Y SISTEMAS

y

(a , b)

X=8

(x, y) • x

8

FIGURA 4.8 Recta vertical que pasa por (a, b) ,

y

y=b ! (x~ y)

b (a, b )

---------r---------x

FIGURA 4.9 Recta horizontal que pasa por (a, b).

EJEMPLO 4 Forma pendiente-ordenada al origen

Encontrar una ecuaci6n de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.

Solucion: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y b = - 4, se obtiene

y = 3x + (-4),

Y = 3x - 4. • EJEMPLO 5 Determinacion de la pendiente y de la intercepcion con el eje y

Hallar La pendiente y la intercepci6n y de La recta con ecuaci6n y = 5(3 - 2x).

Solucion:

Estrategia: Reescribiremos la ecuaci6n de modo que tenga la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b. As!, la pendiente es el coeficiente de x y la intercepci6n y es el termino constante. ,I

Tenemos

y = 5(3 - 2x),

y = 15 - lOx,

y = -lOx + 15.

Por tanto, m = -lOy b = IS, de modo que la pendiente es -lOy la intercepci6n yes 15. I

Si una recta vertical pasa por (a, b) (vease la figura 4.8), entonces cualquier otre punto (x, y) pertenece a la recta si y s610 si x = a. La coordenada y puede tener cualquier valor. De aqu! que una ecuaci6n de la recta es x = a. De forma analoga, una ecuaci6n de la recta horizontal que pasa por (a, b) es y = b (vease la figura 4.9). Aqu! la coordenada x puede terr cualquier valor.

EJEMPLO 6 Ecuaciones de rectas horizontales y verticales

a. Una ecuaci6n de la recta vertical que pasa por (-2,3) es x = -2. Una ecuaci6n de la recta horizontal que pas a por (-2, 3) es y = 3.

b. Los ejes x y y son rectas horizontal y vertical, respectivamente. Puesto que (0, 0) pertenece a ambos ejes, una ecuaci6n del eje x es y = ° y una del eje y es x = 0. •

De nuestro analisis podemos mostrar que toda Ifnea recta es la grafica de una ecuaci6n de la forma Ax + By + C = 0, donde A, Bye son constantes yAy B no son ambas cero. Llamamos a esta la ecuacion lineal general (0 ecuacion de primer grado) en las variables x y y, y se dice que x y y estan relacionadas lineal mente. Per ejemplo, una ecuaci6n lineal general para y = 7x - 2 es (-7)x + (I»' + (2) = 0, Recfprocamente, la grafica de una ecuaci6n lineal general es una recta.

La tabla 4.1 proporciona un buen resumen para usted.

No confunda las formas de las ecuaciones de las rectas horizontal y vertical. Recuerde que una tiene la forma x = constante y la otra tiene la forma y = constante.

Esto ilustra que una forma lineal general de una recta no es unica.

4.1 Rectos 129

La tabla 4.1 da varias formas de ecuaciones de rectas.

EJEMPL07

TABLA 4.1 Formas de ecuaciones de lineas rectos

Forma punto-pendiente

Forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b

Forma lineal general

Recta vertical

Recta horizontal

Ax + By + C = 0

x = a

y = b

Conversion entre formas de ecuaciones de rectas

a. Hallar una forma lineaL generaL de La recta cuyaforma pendiente-ordenada at origen es

Solucion: Dejando un miembro como cero, tenemos

2 -x + y - 4 = 0 3 '

que es la forma lineal general con A = t, B = I Y C= -4. Una forma lineal general

alterna puede ser obtenida quitando fracciones:

2x + 3y - 12 = O.

b. Hallar La forma pendiente-ordenada aL origen de La recta que tiene una forma lineal general 3x + 4y - 2 = O.

Solucion: Queremos la forma y = mx + b, de modo que resolvemos la ecuaci6n

dada paray.

3x + 4y - 2 = 0,

4y = -3x + 2,

3 1 Y = -4? + 2'

que es la forma pendiente-ordenada al origen. Notamos que la recta tiene pen

diente de -f e intercepci6n con el eje y t· •

EJEMPLO 8 Graficacion de una ecuacion lineal general

Bosquejar la grdfica de 2x - 3y + 6 = O.


2x-3y+6=0

·~~-L-+--------__ X

(-3,0)

FIGURA 4.10 GrMica de 2x- 3y + 6 = O.

TECNOLOGIA

Solucion:

Estrategia: Ya que esta es una ecuaci6n lineal general, su gnifica es una linea recta. Por tanto, s610 necesitamos dos puntos diferentes a fin de bosquejarJa. Encontraremos las intercepciones.

Si x = 0, entonces -3y + 6 = 0, de modo que la intercepci6n yes 2. Si y = 0, entonces 2x + 6 = 0, de modo que la intercepci6n xes -3. Ahora podemos dibujar la recta que pasa por (0, 2) y (-3, 0). Viase la figura 4.10. •

Para graficar la ecuaci6n del ejemplo 8 con una calculadora grafica primero expresamos a y en tt~rminos de x:

2x - 3y + 6 = 0,

3)" = 2x + 6,

y = *C2x + 6).

En esencia y es expresada como una funci6n de x, cuya gnifica se muestra en In figura 4 .11 .

6

r •. _.---~...--/--

----- ~ - 6' . ; .'1-~. I I • • I • 6 /-- !

-6

FIGURA 4.11 GrMica de 2x - 3.1' + 6 = 0 con la calculadora.

Rectas paralelas y perpendiculares

Como se estableci6 previamente, existe una regia para rectas paralclas:

Rectas paralelas

Dos rectas ~on paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son vcrticalcs.

4.1 Rectos 131

Tambien existe una regia para rectas perpendiculares. Vease otra vez la figura 4.5 y observe que la recta con pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2. EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recfproco negativo de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como 10 establece la siguiente regia.

Rectas perpendiculares

Dos rectas con pendientes ml

y m2

son perpendiculares entre sf, si y s610 si,

Ademas, un~Lrecta horizontal y una vertical sonpetpendiculares entre sf.

EJEMPLO 9 Rectas paralelas y perpendiculares

Lafigura 4.12 muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x + 1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas.

Y Y= 3x + 1

~ (a) paralela I

I I

I I

I I

........ ,'------.. X I

"',) (3, -2) I ..............

" ..... (b) perpendicular I

I I

f

FIGURA 4.12 Rectas paralela y perpendicular a y = 3x + I (ejemplo 9).

Soluci6n: La pendiente de y = 3x + 1 es 3. Por tanto, la recta que pasa por (3, -2)

que es paralela a y = 3x + 1, tambien tiene pendiente 3. Utilizando la forma puntopendiente, obtenemos

y - (- 2) = 3(x - 3),

y + 2 = 3x - 9,

y = 3x - 11.

La pendiente de la recta perpendicular a y = 3x + 1 debe ser -t (= al recfproco negativo de 3). Utilizando la forma punto-pendiente, obtenemos

y - (-2) = -~(x - 3),

y + 2 = -~x + I,

y= -~x - 1. •


EJERCICIOS 4. 1

En los problemas 1-8 hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

1. (4, I), (7, 10). 2. ( - 3, II), (2, I).

3. (4, -2), (-6, 3). 4. (2, -4), (3, -4).

5. (5, 3), (5, - 8). 6. (0, - 6), (3, 0).

7. (5, - 2), (4, - 2). 8. (1, - 6), (I, 0).

En los problemas 9-24 hallar una ecuacion lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas y bosquejar cada recta.

9. Pasa por (2, 8) y tiene pendiente 6.

10. Pasa por el origen y tiene pendiente -5 .

11. Pasa por (-2,5) y tiene pendiente -to 12. Pasa por (-t, 5) Y tiene pendiente +. 13. Pasa por (-6, l)y(l,4).

14. Pasa por (7, I) Y (7, -5).

15. Pas a por (3, -I) Y (-2, -9).

16. Pas a por (0, 0) y (2, 3).

17. Tiene pendiente 2 y su intercepci6n con el eje yes 4.

18. Tiene pendiente 7 y su intercepci6n con el eje y es -5.

19. Tiene pendiente de -t y su intercepci6n con el eje yes -3.

20. Tiene pendiente 0 y su intercepci6n con el eje y es de -t. 21. Es horizontal y pas a por (-3, -2).

22. Es vertical y pasa por (-I, 4).

23. Pasa por (2, -3) y es vertical.

24. Pasa por el origen y es horizontal.

En los problemas 25-34 encontrar, si es posible, la pendiente y la intercepci6n con el eje y de la recta determinada por la ecuacion y bosque jar la grafica.

25. y = 2x - 1. 26. x - I = 5.

27. x + 2y - 3 = O. 28. y + 4 = 7.

29. x = -5. 30. x - 5y + 3.

31. y = 3x. 32. y - 7 3(x - 4).

33. y = 1. 34. 2y - 3 = 0.

En los problemas 35-40 determine una forma lineal general y ta forma pendiente-ordenada al origen de cada ecuacion.

35. 2x = 5 - 3y. 36. 3x + 2y = 6.

37. 4x + 9y - 5 = O.

38. 2(x - 3) - 4(y + 2) 8.

39. x Y

- 4. 1

- - - = 40. y = 300 x + 8. 2 3

En los problemas 41-50 determine si las rectas SOIl paraletas, perpendiculares, 0 ninguna de las dos.

41. Y = 7x + 2, Y = 7x - 3.

42. Y = 4x + 3, y = 5 + 4x.

43. y = 5x + 2, -5x + y - 3 O.

44. Y = x, y = -x.

45. x + 2y + I = 0, y = -2x.

46. x + 2y = 0, x + Y - 4 = O.

47. Y = 3, x = I -3'

48. x = 3, x= -4.

49. 3x + y = 4, x - 3y + I = O.

50. x - I = 0, y = O.

En los problemas 51--60 determine una ecuacion de fa recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, de la respuesta en la forma pendiente-ordenada al origen.

51. Pas a por (-I, 3) y es paralela a y = 4x - 5.

52. Pas a por (2, -8) Y es paralela a x = -4.

53. Pasa por (2, I) Y es paralela a y = 2.

54. Pasa por (3, -4) Y es paralela a y = 3 + 2x.

55. Esperpendicular a y = 3x - 5 Y pasa por (3, 4) .

56. Es perpendicular a y = -4 Y pasa por (I, I).

57. Pasa por (7, 4) Y es perpendicular a y = -4.

58. Pasa por (-5, 4) Y es perpendicular a la recta 2)' = -,\' + I.

59. Pasa por (-7, -5) yes paralela a la recta 2t + 3y + 6 = O.

60. Pasa por (-2, 1) Y es paralela al eje y.

61. Una recta que pasa por (1, 2) Y por (-3, 8). Encontrar eI punto en la recta que tiene una primera coordenada igual a 5.

4.2 Aplicacio nes y func iones lineales 133

62. Una lfnea recta tiene pendiente 2 e intercepci6n y (0, I). i,EI punto (-I , -I) pertenece a la recta?

i,Que observa acerca de las orientaciones de estas Ifneas? i,Por que esperarfa este resultado de las ecuaciones de las Ifneas?

63. Mapa del campus Un mapa coordenado de un campus universitario da las coordenadas (x, y) de tres edificios principales como sigue: centro de c6mputo, (3 .5, -I); laboratorio de ingenierfa, (0.5,0); biblioteca (-I, -4.5). Determinar las ecuaciones (en forma pendiente-ordenada al origen) de las trayectorias en lfnea recta que conectan (a) el laboratorio de ingenieria con el centro de c6mputo, y (b) ellaboratorio de ingenierfa con la biblioteca. Demuestre que estas dos trayectorias son perpendiculares.

~ 66. Grafique la recta y = 3.4x - 2.3. Determine las coordenadas ~ de cualesqUlera dos puntos de la recta y utIlfcelos para es tl

mar la pendiente. i,Cual es la pendiente real de la rec ta?

~ 67. Utilizando un~ ventana estandar y en el mismo rectangulo film de vlsuahzaclOn , graflque las rectas con ecuaclOnes

0.1875x - 0.3y + 0.94 = 0, y

0.32x + 0.2y + l.01 = 0 164• Grafique y = 1.3x + 7 Y verifique que la intercepci6ny sea 7.

I· 65. Grafique las rectas cuyas e:uaciones son

y - ~ + I ,

Ahora, cambie la ventana a una ventana cuadrada (por ejemplo, en la TI-82, utilice ZOOM, Zsquare). Observe que las rectas aparentan ser perpendiculares entre sf. Pruebe que esto es cierto.

Y = 1.5x - I,

Y y = l.5x + 2.5.

OBJETIVO Desarrollar la noci6n de curvas de demanda y de oferta e introgucir las funciones lineales.

y (unidades de B)

51 (0,50)

4x+ 2y = 100 (y=-2x+ 50)

40

30 (10,30)

20

10

---r-L-1~0~-720~---'X

(unidades de A)

FIGURA 4.13 Niveles de producci6n relacionados lineal mente.

4.2 APLICACIONES Y FUNCIONES LINEALES

Muchas situaciones pueden ser descritas utilizando rectas, como 10 muestra el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Niveles de producci6n

Suponga que un fabricante utiliza 100 \ibras de material para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el numero de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de producci6n estan dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuaci6n

4x + 2.Y = 100. donde x, y 2: O.

Por tanto, los niveles de producci6n de A y B estan relacionados Iinealmente. Resolviendo para y se obtiene

\' = -2x + 50 (forma pendiente-ordenada al origen),

de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A, se requeriran 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades mellos de B. Por tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades. Para bosquejar la grafica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepci6n y (0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30 (vease la figura 4.13). •

Curvas de demanda y de oferta

Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algun periodo. Por 10 comun, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto


En general, una curva de demanda desciende de izquierda a derecha y una curva de oferta asciende de izquierda a derecha. Sin embargo, existen excepciones. Por ejemplo, la demanda de insulina podrfa ser representada por una recta vertical, ya que permanece constante sin importar el precio.

esta dado por pyla correspondiente cantidad (en unidades) est a dada por q, enlon, ces una ecuaci6n que relaciona p y q es Hamada ecuacion de demanda. Su gnifica es la curva de demanda. La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda. D acuerdo con la practica de la mayorfa de los economistas, el eje horizontal es el eje q y el eje vertical es el p . Supondremos que el precio por unidad esta dado en d61ares y el periodo es una semana. Asf el pun to (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b d61ares por unidad , los consumidores demandaran a unidades por serna_ na. Como precios 0 cantidades negativos no tienen sentido, a y b deben ser no nega_ tivos. Para la mayorfa de los productos, un incremento en la cantidad demandada corresponde una disminuci6n en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a derecha, como en la Figura 4. 14(a).

p

Curva de demanda

---+----~----------~q a

(Cantidad por unidad de tiempo)

(a)

p

---+--------~------.q c

(Cantidad por unidad de tiempo)

(b)

FIGURA 4.14 Curvas de demanda y de oferta.

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los productores estan dispuestos a proveer al mercado durante algun periodo. Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores estan dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye tambien 10 hace la cantidad suministrada. Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una ecuaci6n que relacionap y q es Hamadaecuacion de oferta y su grMica es unacurva de oferta. La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si pesta en d61ares y el periodo es una semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los productores proveeran c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos. Una curva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura 4. 14(b). Esto indica que un fabricante suministrara mas de un producto a precios mayores.

Centraremos la atenci6n ahora en las curvas de oferta y de demanda que son lfneas rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta lineal y de demanda lineal. Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q estan linealmente relacionadas. Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha, una curva de demand a lineal tiene pendiente negativa [vease la Figura 4.1S(a»). Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva asciende de izquierda a derecha [vease la Figura 4.1S(b »).

EJEMPLO 2 Determinacion de una ecuacion de demanda

Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando ei precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar la ecuaci6n de demanda, suponiendo que es lineal.

80

FIGURA 4.16 Gnifica de la funci6n de demand a p = - I~O q + 65.

4.2 Aplicaciones y funciones lineales 135

p

Curva de demanda ~ lineal

~ Pendiente negativa

---+--------------~q

(a)

p

Curva de oferta lineal /

~ndiente positiva

--~---------------q

(b)

FIGURA 4.15 Curvas de demanda y de aferta lineales.

Solucion:

Estrategia: Ya que laecuaci6n de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una linea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p estan re lacionados linealmente de tal modo qlle p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q = 200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. p [vease la figura 4.15(a)] por los puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuaci6n de la recta, esto es, la ecuaci6n de demanda.

La pendiente de la recta que pas a por (100, 58) y (200, 51) es

51 - 5g III =

200 - 100 7

100'

Una ecuaci6n de la recta (forma punto-pendiente) es

/) - PI = 111«(/ - q l ).

7 /) - 5g = - 100 ((/ - 1(0).

Simplificando, da la ecuaci6n de demanda

7 II = --q + 65.

100 ( I )

Por costumbre, una ecuaci6n de demanda (asf como una ecuaci6n de oferta) exprcsa pen terminos de q y define una funci6n de q. Por ejemplo, la ecuaci6n (I) define P como una funci6n de q y es llamada lafuncion de del1landa para el producto. Wose la figura 4.16. •

Funciones lineales

En la secci6n 3.2 se describi6 una flillcic5n lilleal. A continuacion se prescnta una definicion formal.

Definicion

Una fllncion f es lInafunci6n lineal si y solo si f(x) pllede se r esc rita ell laf(lrll/(/ fl.r} = ax + b, en donde a y b son cOllstantes y a :;t: O.

136 · 4 RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMAS

Suponga que 1(x) = ax + b es una funci6n lineal y que y = J1x). Entonces y = ax + b la cual es una ecuaci6n de una recta con pendiente a e intercepci6n con el eje ; b. Asf, la gr8fica de una fundon lineal es una recta. Decimos que la funci6nf(x)::: ax + b tiene pendiente a.

EJEMPLO 3 Graficacion de funciones lineales

a. Graficar f(x) = 2x - 1.

Soludon: Aquffes una funci6n lineal (con pendiente 2), de modo que su gnifica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, s610 necesitamos graficar dos puntos y despues dibujar una recta que pase por ellos [vease la figura 4. 17(a)]. Observe que uno de los puntos graficados es la intercepci6n en el eje vertical, -I, que ocurre cuando x = O.

x ((x)

o -1 2 3

((x)

(a)

((x) = 2x-1

t • x 0

6

FIGURA 4.17 GrMicas de funciones lineales.

15 - 2t h. Grafique get) = 3 .

g(t)

t 3 5 -----, :2 g(t) = 1532t

g(t)

5 1

(b)

Soludon: Observe que g es una funci6n lineal porque podemos expresarla en la forma get) = at + b:

15 - 2t 15 2t 2 g(t) = 3 = 3 - 3' = -3 t + 5.

La gr:ifica de g se muestra en la figura 4.17(b) . Ya que la pendiente es -+, observe que cuando t aumenta en 3 unidades, get) disminuye en 2. •

EJEMPLO 4 Determinacion de una funcion lineal

Suponer que f es unafunci6n lineal con pendiente 2 y 1(4) = 8. Hal/ar f(x).

Solucion: Ya quefes lineal tiene la forma1(x) = ax + b. La pendiente es 2, de modo que a = 2:

f(x) = 2x + b. (2)

Ahora determinamos b. Comof(4) = 8, en la ecuaci6n (2) reemplazamos x por 4 y resolvemos para b.

De aquf que f(x) = 2x.

f(4) = 2(4) + b,

8 = 8 + b, 0= b.

w(peso)

675 (25, 675)

_4~O'--jI_----="~_LI ----~ d(dfas) 25 50

FIGURA 4.18 Funci6n lineal que describe una dieta para gallinas .

4.2 Aplicaciones y funciones lineales 137

EJEMPLO 5 Determinacion de una funcion lineal

Si Y = f (x) es una f uncian lineal tal que j(-2 ) = 6 Y f (1) = - 3, encontrarf(x).

Solucion:

Estrategia: Los valores de la funcion corresponden a puntos sobre la grafica de f Con estos puntos podemos determinar una ecuacion de la recta y, por tanto, de la funcion lineal.

La condicionf( -2) = 6 significa que cuando x = -2, Y = 6. Por tanto (-2, 6) pertenece ala gnifica de f, que es una recta. De manera similar,j(1) = -3 implica que (I , -3) tambien pertenece a la recta. Si hac em os (XI' )) = (-2, 6) y (x2' Y) = (I, -3), la pendiente de la recta esta dada por

Y2 - YI m=--

X2 - XI

-3 - 6 1 - (-2)

=-= -3. -9 3

Podemos encontrar una ecuacion de la recta por medio de la forma punto-pendiente.

Y - 6 = - 3[x - (- 2)],

Y - 6 = -3x - 6,

Y = -3x.

Puesto que y = f(x),j(x) = -3x. Por supuesto, se obtiene el mismo resultado si hacemos (XI' YI ) = (1, -3). •

En muchos estudios los datos son reunidos y graficados en un sistema de coordenadas. Un analisis de los resultados puede indicar que hay una relacion funcional entre las variables involucradas. Por ejemplo, los datos pueden ser aproximados por puntos en una recta. Esto indicarfa una relacion funcional lineal, tal como en el ejemplo 6 que sigue.

EJEMPLO 6 Dieta para gallinas

En pruebas de una dieta experimental para gallinas. se determina que el peso promedio W (en gram os) de una gallinajue. segun las estadfsticas. unafuncialllineal del numem de dfas d despues de que se inicia la dieta, donde 0 $ d $ 50. Suponer que el peso promedio de una gallina al inicio de la dietafue de 40 gramos y 25 dfas despues fue de 675 gramos.

a. Determinar w como unajuncian lineal de d.

Solucion: Como w es una funcion lineal ded, su grafica es una Ifnea recta. Cuando d = 0 (al inicio de la dieta), W = 40. Por 10 tanto (0. 40) pertenece a la grafica (vease la figura 4.18). De manera similar (25, 675) pertenece a la grafica. Si hacemos (d l , WI) = (0, 40) Y (d2 , w

2) = (25,675), la pendiente de 1a recta es

675 - 40 635 127 =-=-

25 - 0 25 5

138 4 REC TAS, PARABOLAS Y SISTEMAS

Utilizando la forma punto-pendiente, te nemos

W - WI = m(d - d l ) ,

127 W - 40 = 5 (d - 0),

W - 40 = 127 d 5 '

W = 127 d + 40 5 '

que expresa W como una funci6n lineal de d.

b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando d = 10.

Solucion: Cuandod= 1O,entonces W = 1;7 (10) + 40 = 254 + 40 = 294. Asf, el pesc promedio de una gallina 10 dfas despues del inicio de 1a dieta es de 294 gramos .

EJERCICIOS 4.2

En los problemas 1-6 determinar la pendiellte y la illtercepcion COil el eje vertical de lafullcion lineal; bosquejar la grafica.

1. r = f(x) = - 4x.

3. g(l) = 21 - 4.

7 - q 5. h(q) = - 2-

2. r = f(x) = x + I.

4. g(l) = 2(4 - I).

6. h(q) = 0.5q + 0.25 .

Ell los problemas 7-14 determillar fix) cuando f es ullafuncioll lineal que tiene las propiedades dadas.

7. pendiente = 4, ./(2) = 8

8. f(O) 3 . ./(4) = -5.

9. f(l) 2. f( - 2) = 8.

10. pendiente -6 .. M) = - 2.

11. pendiente - ~. f( -~) = 4.

12. f( I) = I. j(2) = 2.

13.f( - 2) = - I. ./(-4)= - 3.

14. pendiente = 0.0 I . .{(O.I) = 0.0 I.

15. Ecuadon de la demanda Suponga que los clientes demandanin 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 cada una. Encontrar la ecuaci6n de la demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas.

•

16. Ecuadon de la oferta Suponga que un fabricante de za· patos colocara en el mercado 50 (miles de pares) cuando e precio es de $35 (d6lares por par) y 35 pares cuando cuestar $30. Determinar la ecuaci6n de oferta, suponiendo que e: precio pyla cantidad q est an relacionados lineal mente.

. I ~ .~

A _

17. Ecuadon de costo Suponga que el costa para producir 10 unidades de un producto es de $40 y el de 20 unidades es $70. Si el costa c esta relacionado lineal mente con el producto q, determine una ecuaci6n lineal que relacione c con q. Encuentre el costa de producir 35 unidades.

18. Terapia por medio de radiadones Un paciente con dncer recibira terapias mediante farmacos y radiaci6n. Cada centfmetro cubico de medicamento que se usani contiene 200 unidades curativas, y cada minuto de exposici6n a la radiaci6n proporciona 300 unidades curativas. EI paciente requiere 2400 unidades curativas. Si d centfmetros cubicos de la droga y r minutos de radiaci6n son administrados, determine una ecuaci6n que relacione d y r. Grafique la ecuaci6n para d 2: 0 Y T 2: 0; identi fique al eje horizontal como d.

19. Depredadon Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada ano en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8000, encuentre una ecuaci6n que exprese el valor v de la maquinaria despues de 1 arios de la

compra, donde 0:0; t :O; 10. Bosqueje la ecuaci6n, seleccione t como el eje horizontal y v como el eje vertical. l,Cual es la pendiente de la recta resultante? Este metoda de considerar el valor del equipo es Hamado depreciaci6n lineal.

Zo. Longitud de lana de ovejas Para regular su temperatura en relaci6n con el calor amblental, las oveJas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana I (en centfmetros) disminuye. ' Suponga que una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo (promedio) respiratorio de 160, y aquellas con una longitud de lana de 4 cm tienen un ritmo respiratorio de 125. Suponga que r y I estan relacionadas lineal mente. (a) Determine una ecuaci6n que de r en terminos de l. (b) Determine el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de I cm.

21. Linea de isocostos En analisis de producci6n, una [[nea de isocosto es una Ifnea cuyos puntos representan todas las combinaciones de dos factores de producci6n que pueden ser comprados por la misma cantidad. Suponga que un granjero tiene asignados $20,000 para la compra de x toneladas de fertilizante (con un costo de $200 por tonelada) y y acres de terreno (con un costa de $2000 por acre). Determine una ecuaci6n de la lfnea de isocosto que describa las distintas combinaciones que pueden ser compradas con $20,000. Observe que ni x ni y pueden ser negativas.

22. Linea de isoutilidad Un fabric ante produce los productos X y Y para los cuales las ganancias por unidad son de $4 y $6, respectivamente. Si x unidades de X, y Y unidades de Y son vendidas, la ganancia total Pesta dada por P = 4x + 6y, donde x, y ~ O. (a) Bosqueje la grMica de esta ecuaci6n para P = 240. EI resultado es lIamado [[nea de isouti/idad y sus puntos representan todas las combinaciones de ventas que producen una utilidad de $240. (b) Determine la pendiente para P = 240. (c) Si P = 600, determine la pendiente. (d) i,Las rectas de isoutilidad para los productos X y Y son paralelas?

23. Escala de calificaciones Por razones de comparaci6n, un profesor quiere cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de examenes escritos, de modo que la calificaci6n maxima siga siendo 100 pero la media (promedio) sea 80 en lugar de 56. (a) Determine una ecuaci6n lineal que haga esto. [Sugerencia: Quiere que 56 se convierta en 80 y 100 perm anezca como 100. Considere los puntos (56,80) Y (100,100) y,

I Adaptado de G. E. Folk, Jr., Textbook of Environmental Physiology, segunda edici6n (Filadelfia: Lea & Febiger, 1974).

4.2 Aplicaciones y func iones lineales 139

de manera mas general, ex, y), donde xes la calificaci6n anterior y y la nueva. Encuentre la pendiente y uti lice la forma punto-pendiente. Exprese yen terrninos de x. ] (b) Si 60 en la nueva escala es la calificaci6n mas baja para acreditar, i,cual fue la calificaci6n mas baja para acreditar en la escala anterior~

24. Psicologia El result ado del experimento psicol6gico de Stemberg2 sobre la recuperaci6n de informaci6n, es que el tiempo de reacci6n, R, de una persona, en milisegundos. de acuerdo con las estadfsticas es una funci6n lineal del tamano del conjunto de memoria N como sigue:

R = 38N + 397.

Bosqueje la grMica para I :0; N:O; 5. l,Cual es la pendiente~

25. Psicologia En cierto experimento de aprendizaje involucrando repetici6n y memoria,] se estim6 que la proporci6n p de elementos recordados se relacionaba lineal mente con un tiempo de estudio efectivo t (en segundos), donde testa entre 5 y 9. Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos, la proporci6n de elementos recordados fue de 0.32. Por cada segundo mas en el tiempo de estudio, la proporci6n recordada aumentaba en 0.059. (a) Determine una ecuaci6n que de p

en terminos de t. (b) l,Que proporci6n de elementos rue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio?

26. Dieta para cerdos En pruebas de una dieta para cerdos, se determin6 que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo estadfsticamente era una funci6n lineal del numero de dfas d despues de iniciada la dieta, donde 0 :0; d:O; 100. Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue de 20 kg Y despues gan6 6.6 kg cada 10 dfas, determine w como una funci6n de d; y calcule el peso de un cerdo para 50 dfas despues que inicia la dieta.

27. Chirrido de grill os Los bi610gos han encontrado que el numero de chirridos por minuto hecho por los grillos de ciertas especies esta relacionado con la temperatura. La relaci6n es casi lineal. A 68 OF, los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto. A 80 OF son alrededor de 172 por minuto. (a) Determine una ecuaci6n que de la temperatura Fahrenheit ten terminos del numero de chirridos c por minuto. (b) Si

, G. R. Loftus y E. F. Loftus, Human Memory: The Processillg (If Information (Nueva York: Lawrence Erlbaum Associates, Inc .. distribuido por la Halsted Press, division de John Wiley & Sons, Inc .. 1976). J D. L. Hintzman, "Repetition and Learning". en The Psychology of Leal7lillg Vol. 10, ed. G. H. Bower (Nueva York: Academic Press. Inc .. 1976). p. 77.


usted cuenta los chirridos por solo 15 segundos, i.,como puede nipidamente estimar la temperatura?

aire seco, se encontro que P = 90 cuando T = 40, Y que p: 100 cuando T = 80. Exprese P como una funcion de T.

28. Circuitos electricos En un circuito electrico el voltaje V (en volts) y la corriente i (en amperes) estan relacionados linealmente. Cuando i = 4, V = 2; cuando i = 12, V = 6.

30. Teorfa electric a Cuando la diferencia de potencial tenni. nal V, en volts, de una celda de Daniel es graficada como un, funci6n de la corriente i, en amperes, enviada a un resistol externo, se obtiene una linea recta. La pendiente de esta rec. ta es el negativo del valor de la resistencia interna de la cel. da. Para una celda en particular, con resistencia interna df 0.06 ohms, se encontr6 que V = 0.6 volts cuando i = 0.1; amperes . Exprese V como una funci6n de i.

31. Hidniulica Una f6rmula utilizada en hidraulica es

a. Determine V como una funcion de i . Q = 3.340b) + 1.8704b2x,

b. Encuentre el voltaje cuando la corriente es de 10 amperes. donde b es una constante.

29. Flsica La presi6n P de un volumen constante de gas, en centimetros de mercurio, esta relacionada linealmente con la temperatura, T, en grados Celsius. En un experimento con

a. i.,La grMica de esta ecuaci6n es una linea recta?

b.,De ser asi, i.,cual es la pendiente cuando b = I?

OBJETIVO Bosquejar las parabolas que surgen de funciones cuadniticas.

4.3 FUNCIONES CUADR.A.TlCAS

En la secci6n 3.2 se describi6 a una funcion cuadrtitica como una funci6n polinomial de grado 2. A continuaci6n se presenta una definici6n formal.

Definicion

Una funcion f es una funci6n cuadratica si y solo si j(x) puede ser escrita en fa formaj(x) = ax2 + bx + c, donde a, by c son constantes y a"# O.

Por ejemplo, j(x) = x2 - 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadraticas. Sin

1 embargo, g(x) = - 2 no es cuadratica ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =

x ax2 + bx + c.

La grafica de la funci6n cuadr<iticay = f(x) = ax2 + bx + c es Hamada parabola y tiene una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la grafica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parabola se abre hacia arriba [figura 4.19(a)]. Si a < 0, entonces la parabola se abre hacia abajo [figura 4 .19(b)].

Cada parabola en la figura 4.19 es simetrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetria de la parabola. Esto es, si la pagina fuera doblada en una de estas rectas , las dos mitades de la parabola correspondiente coincidirfan . El ejil (de simetrfa) no es parte de la parabola, pero es una ayuda uti I al bosquejarla.

La figura 4.19 tambien muestra puntos etiquetados como vertice, donde el eje corta a la parabola. Si a > 0, el vertice es el punto "mas bajo" de la parabola. E5tO significa que f(x) tiene un valor mfnimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 + bx + c (completar el cuadrado), podemos determinar no 5610 este valor mfnimo, sino tam bien en d6nde ocurre. Tenemos

f(x) = ax1 + bx + c = (ax2 + bx) + c.

4.3 Funciones cuodroticos 141

Parabola: y = ((x) = ax2 + bx + c

: Eje ',......-

:'- Vertice

a> 0, abre hacia arriba

(a)

FIGURA 4.19 Parabolas.

b2

Sumando y restando - se obtiene 4a

Vertice --.....:

----~---r--r-lr---~X

a < 0, abre hacia abajo (b)

= a x2 + - X + - + c - -. ( b b

2) b

2

a 4a2 4a

( b)2 b2 f(x) = a x + - + c - -.

2a 4a

Ya que (x + :aJ 2! 0 ya > 0, se asume quef(x) tiene un valor minimo cuando

b b x + 2a = 0, esto es, cuando x = - 2a· La coordenada y correspondiente a este va-

lor de x es f( -:a). Asi, el vertice esta dado por

vertice = (- :a' f( -:a))· Este tambien es el vertice de la parabola que abre hacia abajo (a < 0), pero en este

caso f( - :a) es el valor maximo def(x) [vease la figura 4.19(b)].

El punto en donde la parabola y =. ax2 + bx + c interseca al eje y (esto es, la intercepci6n y) se da cuando x = O. La coordenaday de este punto es c, de modo que la intercepci6n y es (0, c) 0, simplemente, c. En resumen, tenemos 10 siguiente.


Gratica de una funcion cuadnitica

La grafica de la funci6n cuadnitica y = f(x) = ax2 + bx + c es una panibola.

1. Si a > 0, la parabola abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo.

2. EI vertice es (- :a' f( -:a))' 3. La intercepci6n y es c.

Rapidamente podemos bosquejar la grafica de una funci6n cuadratica local izando primero el vertice, la intercepci6n y y unos cuantos puntos mas, aquellos en donde la parabola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0 y resolviendo parax. Una vez que las intercepciones y el vertice han sido 1encontrados, es relativamente facil trazar la parabola apropiada a traves de estos puntos. Cuando las intercepciones x esten muy cercanas al vertice, 0 no existan, fijaremos un pun to a cada lado del vertice de modo que podamos dar un bosquejo razonable de la parabola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Ifnea punteada) a traves del vertice da el eje de simetrfa. Graficando puntos a un lado del eje, podemos obtener por simetrfa los correspondientes del otro lado.

EJEMPLO 1 Graficacion de una funcion cuadratica

Graficar La funci6n cuadratica y = f(x) = _x2 - 4x + 12.

Solucion: Aquf a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parabola abre hacia abajo y por tanto tiene un punto mas alto. La coordenada x del vertice es

b -4 - 2a = - 2( - I) = - 2.

La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Asf, el vertice es (-2, 16), de modo que el valor maximo def{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para encontrar las intercepciones x, hacemos y igual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y resolvemos para x.

o = - x 2 - 4x + 12,

o = - (x2 + 4x - 12),

o = - (x + 6)(x - 2).

Asf x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el vertice, el eje de simetrfa y las intercepciones [vease la figura 4.20(a») . Como (0, 12) esta dos unidades a la derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades ala izquierda del eje con la misma coordenaday. Por tanto, obtenemos el punto (-4. 12). Pasando por todos los puntos, dibujamos una parabola que abra hacia abajo [vease la figura 4.20(b»). •

I p 2 8

- 2 8

p

FIGURA 4.21 GrMica de la parabola p = 2q2.

EI ejerriplo 3 ilustra que determinar las intercepciones puede requeri r del uso de la f6rmula cuadnitica.

4.3 Funciones cuadroticas 143

y

I I

V9rtice - . 16t I I

• I 12 . I I I I

8 I I I y = ((x ) = _x2 - 4x + 12 I

4 Eie-: I

~ ---L....,.. x -6 -4 -2 2

- 4

- 8 -8

(a) (b)

FIGURA 4.20 Gnifica de la parabola Y = fi x) = _x2 - 4x + 12.

EJEMPLO 2 Graficadon de una fundon cuadnitica

Graficar p = 2q2.

Soludon: Aqui pes una funcion cuadnitica de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a> 0, la panibola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto mas bajo. La coordenada q del vertice es

b 0 -- - -- - 0 2a - 2(2) - ,

y la coordenada pes 2(0)2 = O. As! el valor minima de p es 0 y el vertice es (0, 0) . En este caso el eje pes el eje de simetria. Una parabola que abre hacia arriba con vertice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepcion. De aquf que para bosquejar una grafica razonable graficamos un punto a cada lado del vertice. Si q = 2, entonces p = 8. Esto da el punto (2,8) y, por simetria, el punto (- 2,8) (vease la figura 4.21). •

EJEMPLO 3 Graficadon de una fundon cuadratica

Graficar g(x) = x2 - 6x + 7.

Soludon: Aqu! g es una funcion cuadratica, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La panibola abre hacia arriba ya que a > O. La coordenada x del vertice (el punto mas bajo) es

_~ = _ -6 = 3 2a 2(1) ,

Y g(3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor minimo de g(x) . Por tanto el vertice es (3 , -2). Ya que c = 7, la intercepcion con el eje vertical es 7. Para encontrar las intercepciones x, hacemos g(x) = o.

o = x 2 .- 6x + 7.

144 4 RECTAS, PA RABOLAS V SISTEMAS

g(x)

t 7 -

3- ..J2

FIGURA 4.22 GrMica de la parabola g(x) = xl - 6x + 7,

Ellado derecho no se puede factorizar facilmente, de modo que usaremos la f6nnu ' cuadratica al resolver para x,

x= -b::'::Vb2 -4ac

2a

- (- 6) ::':: V( - 6)2 '- 4(1)(7)

2(1)

6::'::v8

2

6::':: V4-2 2

= ~ + 2V2 = 3 + • ;;:;-2 2 - 2 - v 1"

6::':: 2V2

2

Por tanto, las intercepciones x son 3 + J2 y 3 - J2. Despues de graficar el verti las intercepciones y (por simetrfa) el punto (6, 7), dibujamos la parabola que se ab hacia arriba en la figura 4,22.

EJEMPLO 4 Graficacion de una funcion cuadratica

GraJicar y = J(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f

Solucion: Esta funci6n es cuadratica con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a> 0 la grafi es una parabola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vertice es

b 2a

2 2(2)

1 2'

ylacoordenadayes 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Asfel verticees (-t,t)·Comoc::3., la intercepci6n y es 3. Una parabola que abre hacia arriba con su vertice arriba dell eje x, no tiene intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepci6n y, el i

~y

-2 7 1 7

Y= f(x) = 2X2 + 2x+ 3

Y

Rango: Y~t

----~--~r-~--------------x -2 -.1. 2

FIGURA 4.23 GrMica de y = fix) = 2x2 + 2x + 3.

vertice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vertice. Por simetrfa, tambien obtenemos el punto (I, 7). Trazando una parabola a traves de estos puntos se obtiene la grafica deseada. A partir de la figura 4.23 vemos que el rango de J es toda y ;:: t. esto es, el intervalo [t, 00). •

EJEMPLO 5 Ingreso maximo

La Juncion de demanda para un producto es p = 1000 - 2q, donde p es el precio (en dolares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los con-

-La f6rmula para el ingreso total debe r agregada a su repertorio de sc . ,

relaciones en negoclOs y economla.


sumidores. Encontrar el nivel de producci6n que maximizarti el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso.

Solucion:

Estrategia: Para maximizar el ingreso debemos determinar la funci6n de ingreso, r = f(q). Utilizando la relaci6n

ingreso total = (precio)(cantidad),

tenemos

r=pq.

Con la ecuaci6n de demand~ podemos expresar pen terminos de q, de modo que r sea estrictamente una funci6n de q.

Tenemos

r = pq

= (1000 - 2q)q.

r = 1000q - 2q2.

Observe que res una funci6n cuadnitica de q, con a = -2, b = 1000 Y c = O. Ya que a < 0 (parabola que abre hacia abajo), res maximo en el vertice (q, r), donde

b 1000 q = - 2a = - 2( - 2) = 250.

EI valor maximo de r esta dado por

r = 1000(250) - 2(250)2

= 250,000 - 125,000 = 125,000.

As!, el ingreso maximo que el fabricante puede recibir es de $125,000, y ocurre en un nivel de producci6n de 250 unidades. La figura 4.24(a) muestra la grafica de la funci6n de ingreso. S610 la parte para la que q ;:: 0 y r ;:: 0 se dibuja, ya que la cantidad y el ingreso no pueden ser negativos. •

r t r= 1000q- 2q2

125'O~

I 250 500 q

(a)

150,000

FIGURA 4.24 GrMica de la funci6n de ingreso.

(b)


TECNOLOGIA El valor maximo (0 minimo) de una funcion puede ser encontrado con una calculad'

grafica utilizando trazado y acercamiento, 0 bien con la operacion de " maximo"

"minimo"). L a figura 4 .24(b) muestra la funcion de ingreso del ejemplo 5 , esto es . grafica de y = lOOOx - 2x2. Observe que reemplazamos r par y y q par x. to

EJERCICIOS 4.3

En los problemas 1-8 establecer si lafuncion es cuadratica o no.

3. g(x) = 7 - 6x.

5. h(q) = (q + 4)'.

.\'2 - 4 7. f(s) = -2-'

I 2. g(x) = 2x' _ 4

4. h(s) = 2.1"(.1" + I).

6. f(f) = 2f(3 - t) + 4f .

8. g(t) = (f2 - I)'.

En los problemas 9-12 no incluya una grafica.

9. Para la parabola y = fix) = -4xl + 8x + 7, (a) eneontrar el vertiee, (b) i.EI vertice eorresponde al punto mas bajo 0 al mas alto de la grafiea?

10. Repita el problema 9 si y = fix) = 8r + 4x -I.

11. Para la parabola y = fix) = Xl + 2x - 8, encontrar (a) la intereepci6n y, (b) las intereepeiones X, y (c) el vertiee.

12. Repita el problema II si y = fix) = 3 + X - 2x2

En los problemas 13-22 grafique cadafuncion. Obfenga el verfice y las intercepciones y establezca el rango.

13. Y = .f(x) = x ' - 6x + 5.

14. Y = f(x) . - 3x'.

15. y = g(x) = -2x' - 6x.

16. y = f(x) = x 2 - I.

17. s = h(t) = f' + 2f + I.

18. s = h(f) = 2f' + 3f - 2.

19. y =f(x) = -9 + 8x - 2x' .

20. y = H(x) = I - x - x 2,

21. t =/(s) = s'2 8s + 13.

22. t = f(s) = s' + 6s + II.

En los problemas 23-26 establezca sif(x) tiene un valor maxim a minima y encuentre ese valor.

23. f(x)

24. f(x )

20x + 25.

16x + 3.

25. f(x) = 4x - 50 - O.lxl.

26. f(x) = x(x + 3) - 12.

27. Ingreso La funei6n de demanda para el fabrieante de u . produeto es p = f(q) = 1200 - 3q, donde f7 es el precio (e 1

d6lares) por unidad cuando q unidades son demandadas (pori semana). Eneontrar el nivel de produeei6n que maximiza el: ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. .

28. Mercadeo Una eompaiifa de investigaei6n de mereados es~\ tima que n meses despues de la introdueei6n de un nuevo' produeto, fen) miles de familias 10 usaran , en donde

f(ll) = -W n( 12 - II), o ~ n ~ 12.

Estime el mlmero maximo de familias que usaran el producto"

29. Biologia Se estudiaron los efeetos nutrieionales sobre ra.' tas que fueron alimentadas con una dieta que eontenfa un l 10% de protefna. 4 La protefna eonsistfa en levadura y harina, de mafz. Variando el poreentaje P de levadura en la mezcla de l protefna, se estim6 que el peso promedio ganado (en gramosl de una rata en un periodo fue de f(P), donde

f(P) = - f"P' + 2P + 20. o ~ P ~ 100.

Eneontrar el maximo peso ganado.

30. Altura de una pelota Suponga que la altura s de una pelota lanzada vertiealmente hacia arriba desde el piso esta dada por

s - 4.9f' + 58.8f.

" Adaptado de R. Bressani. "The Use of Yeast in Human Foods". en Single-Cell Protein, ed., R. I. Mateles y S. R. Tannenbaum (Cambridge. Mass.: MIT Press, 1968).

donde s esta en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Viase la figura 4.25 . i,Despues de cuantos segundos la pelota alcanza su altura maxima? i,Cual es la altura maxima?

Max

s = 0 '----"-"'---__ _

FIGURA 4.25 Pelota lanzada vertical mente hacia arriba (problema 30).

31. Ffsica EI desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, esta dado por

s = 3.2t' - 16t + 28.7,

donde s esta en metros y t en segundos.

a. i,Para que valor de t ocurre el desplazamientominimo?

b. i,Cual es el desplazamiento minima del objeto desde el punto de referencia?

32. Fuerza Durante una colisi6n, la fuerza F (en newtons) que actua sobre un objeto varia con el tiempo t de acuerdo con la ecuaci6n F = 87t - 21 (2, donde testa en segundos.

a. i,Para que vaior de t fue maxima la fuerza?

b. i,Cual fue el valor maximo de la fuerza?

33. Viga con carga Cuando una viga horizontal de longitud I es cargada uniformemente, la ecuaci6n del momenta es

wlx wx2

M=---2 2 '

donde w esta relacionada con la carga y xes la medida des de el extrema izquierdo de la viga.

a. i,Para que valor de x es M un maximo (suponga w> O)?

b. i,Cual es el valor maximo de M?

c. i,Para que val ores de x se tiene M = O?


34. Area Exprese el area del rectangulo mostrado en la fi gura 4.26 como una funci6n cuadratica de x. i,Para que valor de s el area sera maxima?

x

FIGURA 4.26 Diagrama para el problema 34.

35. Terreno cercado Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un rfo recto utili zando la orilla del rfo para un lado del area encerrada . Vease la figura 4.27. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del area maxima que se puede encerrar.

FIGURA 4.27 Diagrama para el problema 35.

36. Encontrar dos numeros cuya suma es 40 y cuyo producto es un maximo.

~ 37. A partir de la grafica de y = 1.4x2 - 3. lx + 4.6, determine las

II:J coordenadas del vertice. Redondee los val ores ados decimales. Verifique su respuesta utilizando la f6rmula para el vertice.

" 38. Encontrar los ceros de/ex) = -.fix' + 3x +8.5 examinando [illj] su graflca. Redondear los valores ados declmales.

~ 39. Determine el numero de ceros reales de cada una de las si-mm guientes funciones cuadraticas:

a. f(x)

b. f(x)

4.2x' - 8.lx + 10.4;

5x' - 2v35x + 7;

c. f(x) = 5.1 - 7 .2x - x2

4.8

~ 40. Encuentre el valor maximo (redondeado ados decimales) de I!i:lll la funci6nf(x) = 5.4 + 12x - 4.1x2 a partir de su grafica.

Ii 41. Encuentre el valor maximo (redondeado ados decimales) de " la funcian f(x) = 20x2 - 3x + 7 a partir de su grafica.

148 4 RECTAS, PA RABOLAS Y SISTEMAS

OBJETIVO Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables por medio de la tecnica de eliminaci6n por adici6n y por sustituci6n. (En el capItulo 6 se muestran otros metodos.)

Y Un punto de intersecci6n (xo. Yo) L L2

FIGURA 4.28 Sistema lineal (una soluci6n).

Y

No hay punto de intersecci6n

x

FIGURA 4.29 Sistema lineal (no hay soluci6n).

4.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES -Sistemas con dos variables

Cuando una situacion debe ser descrita matematicamente, no es raro que surja un con junto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fabrica establece un plan de produccion para dos modelos de Un producto nuevo. El modelo A requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fabrica obtiene 335 piezas del tipo I y 850 piezas del tipo II cada dfa. De cada modelo, l.cuantos debe producir cada dfa de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas?

Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla 4.2 muestra el mlmero de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada modelo, asf como el mimero total disponible.

TABLA 4.2

Modelo Modelo Total A B disponible

Piezas del tipo I 4 5 335

Piezas del tipo II 9 14 850

Suponga que hacemos x igual al ntimero de artfculos del modele A fabric ados cada dfa y y igual al ntimero de artfculos del modele B. Entonces estos requieren de 4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como estan disponibles 335 y 850 piezas del tipo I y II, respectivamente, tenemos

{4X + 5y = 335, 9x + l4y = 850.

(1) (2)

A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en las variables (0 incognitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultanea. Estos valores son llamados soluciones del sistema.

Como las ecuaciones (1) y (2) SOn lineales, sus graficas son lfneas rectas; I\amemoslas L I y L2· Ahora, las coordenadas de cualquier punto sobre una Ifnea satisfacen la ecuacion de esa Ifnea; esto es, hacen a la ecuaci6n verdadera. Por tanto, las coordenadas de cualquier punto de intersecci6n de LI y L2 satisfacen am bas ecuaciones. Esto significa que un punto de intersecci6n da una soluci6n del sistema.

Si LI Y L2 se dibujan en el mismo plano, existen tres posibles situaciones que pueden ocurrir:

LI Y L2 pueden intersecarse en exactamente un punto, digamos (xo' Yo) (vease la figura 4.28). Por tanto, el sistema tiene la solucion x = Xo y y = Yo' LI Y L2 pueden ser paralelas y no tener puntos en comtin (vease la figura 4.29). Por tanto, no existe soluci6n.

y

L L Numero infinito ,. 2 de puntos

~e interseccion

_ x

I

FIGURA 4.30 Sistema lineal (nl1mero infinito de soluciones).

4.4 Sistemas de ecuaciones lineales 149

LJ

Y L2 pueden ser la misma recta (vease la figura 4.30). Por tanto, las coordenadas de cualquier punto sobre la recta son una soluci6n del sistema. En consecuencia, existe un numero infinito de soluciones.

Nuestro objetivo aquf es estudiar los metodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En esencia, reernplazamos de manera sucesiva un sistema por otro que tenga la misrna soluci6n (esto es, por sistemas equivalentes), pero cuyas ecuaciones tengan una forma progresivamente mas adecuada para determinar la soluci6n. En terminos mas precisos, buscamos un sistema equivalente que contenga una ecuaci6n en la que una de las variables no aparezca (que sea eliminada) . Ilustraremos este procedimiento para el sistema propuesto originalmente:

{4X + 5y = 335, 9x + 14y = 850.

(3) (4)

Para empezar, obtendremos un sistema equivalente en el que x no aparezca en una ecuaci6n. Primero encontramos un sistema equivalente en el que los coeficientes de los terminos enx en cada ecuaci6n sean iguales excepto por el signo. Multiplicando la ecuaci6n (3) por 9 [esto es, multiplicando ambos miembros de la ecuaci6n (3) por 9] y multiplicando la ecuaci6n (4) por -4 se obtiene

{ 36x + 45y = 3015,

- 36x - 56y = - 3400.

(5) (6)

Los miembros izquierdo y derecho de la ecuaci6n (6) son iguales, de modo que cada miembro puede ser sumado al correspondiente de la ecuaci6n (5). Esto da

- lly ;= - 385,

que s610 tiene una variable, como se plane6. Resolviendo se obtiene

y = 35,

as! obtenemos el sistema equivalente

{ y = 35

- 36x - 56y = - 3400.

Reemplazando y en la ecuaci6n (8) por 35, obtenernos

- 36x - 56(35) = - 3400,

- 36x - 1960 = - 3400,

- 36x = -1440,

x = 40.

Por tanto, el sistema original es equivalente a

{y = 35, x = 40.

(7) (8)


y

2X+3r =31 3x-4y=13

/~X ~, -1)

FIGURA 4.31 Sistema lineal del ejemplo 1: una soluci6n.

Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo x = 40 Y Y = 35 en alll

ecuaciones originales. En la ecuaci6n (3) obtenemos 4(40) + 5(35) = 335, 0 33 335. En la ecuaci6n (4) obtenemos 9(40) + 14(35) = 850, u 850 = 850. Por tanto soluci6n es

x = 40 y y = 35.

Cada dfa el administrador debe planear la fabricaci6n de 40 productos del mOdelo . y 35 del modelo B. Nuestro procedimiento es conocido como eliminacion por a cion. Aunque elegimos eliminar primero x, pudimos haber hecho 10 mismo pa~ mediante un procedimiento similar.

EJEMPLO 1 Metodo de eliminaci6n por adicion

Utilizar eliminacion por adicion para resolver el sistema

{3X - 4y = 13, 3y + 2x = 3.

Solucion: Alineando por conveniencia los terminos en x y en y, se obtiene

{3X - 4y = 13, 2x + 3y = 3.

Para eliminar y, multiplicamos la ecuaci6n (9) por 3 y la ecuaci6n (10) por 4:

{9X - 12y = 39, 8x + 12y = 12.

(9) (10)

(II) (12)

Sumando la ecuaci6n (11) ala (12) se obtiene 17x = 51, de la cual x = 3. Tenemos el sistema equivalente

{9X - 12y = 39,

x = 3.

Reemplazando x por 3 en la ecuaci6n (13) se obtiene

9(3) - I2y = 39,

- 12y = 12,

y = -1 ,

de modo que el sistema original es equivalente a

{y = -1, x = 3.

La soluci6n es x = 3 y y = -1. La figura 4.31 muestra una gnifica del sistema.

EI sistema del ejemplo 1

{3X - 4y = 13, 2x + 3y = 3,

(13) (14)

• (15) (16)


puede ser resuelto de otra manera . Primero elegimos una de las ecuaciones. por ejemplo la ecuacion (15), y despejamos una de las incognitas en tt.~rminos de la otra. digamos x en terminos de y. Asf la ecuacion (15) es equivalente a 3x = 4y + 13 ()

y obtenemos

x = -y +-{

4 13

2x } 3y = ~.' Sustituyendo el valor de x de la ecuacion (17) en la ecuacion (18) se obtiene

(4 13) 2 :3 y + '"3 + 3y = 3.

De este modo x ha sido eliminada. Resolviendo la ecuacion (19) tenemos

8 26 - v + - + 3y = 3 3' 3 . '

8y + 26 + 9y = 9 (eliminando fac tores).

17y = -17.

y = -I.

(17)

(18)

( 19)

Reemplazando yen la ecuacion (17) por -I se obtiene x = 3, y el sistema original cs equivalente a

{

X = 3 y = -I,

como vimos antes. Este metoda se llama eliminacion por sustitucion.

EJEMPLO 2 Metodo de eliminacion por sustitucion

Utilizar eliminacion por sustitucion para resolver el sistema

{

X + 2y - 8 = O. 2x + 4y + 4 = O.

Solucion: Es f<icil resolver la primera ecuacion para x . Esto da el sistema equivalente

{

X = -2» + 8. 2x + 4y + 4 = O.

Sustituyendo -2{ + 8 para x en la ecuacion (21) se obtiene

2( - 2)' + 8) + 4)' + 4 = O.

-4)' + 16 + 4y + 4 = O.

(20)

(21 )


Esto se simplifica a 20 = O. Por tanto, tenemos que el sistema

{

X = -2y + 8, 20 = O.

Ya que la ecuaci6n(23) nunca es verdadera, no existe solucion para el sistema origi. ~ nal. La raz6n es clara si observamos que las ecuaciones originales pueden ser escri. J

tas en la forma pendiente-intercepci6n al origen como

1 y= --x + 4

2

1 1. Y y= --x -

2

Estas ecuaeiones representan lfneas reetas que tiene pendientes de -+ pero diferen. tes intereepeiones y, 4 Y -1 . Esto es, determinan lfneas paralelas diferentes (vease la figura 4.32). •

y

Rectas paralelas distintas

----~~--4---------------~~--~x

FIGURA 4.32 Sistema lineal del ejemplo 2: no hay soluci6n.

EJEMPLO 3 Un sistema lineal con un numero infinito de soluciones

Resolver

(24)

(25)

Solucion: Empezamos eliminando x de la segunda eeuaei6n. Multiplieando II eeuaei6n (25) por -2, tenemos

{X + 5y = 2,

-x - 5y = -2.

Sumando la ecuaei6n (26) ala (27) se obtiene

{

X + 5y = 2, 0=0.

(26) (27)

(28) (29)

Puesto que la ecuaei6n (29) siempre es eierta, eualquier soluei6n de la eeuaei6n (28: es una soluei6n del sistema. Ahora veamos c6mo podemos expresar nuestra res-

y

r L1:X+5y=2

~.x FIGURA 4.33 Sistema lineal del ejemplo 3: mlmero infinito de soluciones.

.. TECNOLOGIA

10

\ "0 ••

" I

- 10

'\ \ , ..•.. ' I) .

... .~ I ~ .. ~.'}',.

Irlt~~·NI:tit)C1·· \. ~:'.S1nS97 \': ·~.a1a37S

-10

10

FIGURA 4.34 Soluci6n gnifica del sistema.


puesta. De la ecuaci6n (28) tenemos x = 2 - Sy, donde y puede ser cualquier numero real, digamos r. Por tanto, podemos escribir x = 2 - Sr. La soluci6n completa es

x = 2 - Sr,

y = r,

donde r es cualquier numero real. En esta situaci6n r es llamado un parametro, y decimos que tenemos una familia de soluciones con un panimetro. Cada valor de r determina una soluci6n particular. Por ejemplo, si r = 0, x = 2 y Y = 0, es una soluci6n; si r = S, x = -23 Y y = S es otra soluci6n. Es claro que el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

Es util notar que escribiendo las ecuaciones (24) y (2S) en sus formas pendiente-intercepci6n al origen, obtenemos el sistema equivalente

{y =_lX+~ S S' I 2

y = --x + -S S

en el que ambas ecuaciones representan a la misma recta. De aquf que las rectas coincidan (figura 4.33) y las ecuaciones (24) y (2S) sean equivalentes. La soluci6n al sistema consiste en las parejas de coordenadas de todos los puntos sobre la recta x + Sy = 2, Y estos puntos estan dados por nuestra so1uci6n parametrica. •

De manera grdfica resolver el sistema

{

9x+4.ly=7,

2.6x - 3y = 18.

Soluci6n: Primero resolvemos cada ecuaci6n para y de modo que cada ecuaci6n tenga la forma y = f(x) .

I y = 4.l (7 - 9x),

I y = -'3 (18 - 2.6x).

Ahora introducimos estas funciones como Y I Y Y 2 Y las desplegamos sobre el mismo rectangulo de visualizaci6n. Yease la figura 4.34. Por ultimo, ya sea utilizando el trazado y acercamiento 0 bien la operaci6n de intersecci6n, estimamos la soluci6n como x = 2.S2, y = -3.82.

EJEMPLO 4 Mezcla

Un fabricante quimico debe surtir una orden de SOO fitros de soluci6n de dcido at 2S% (2S% del volumen es dcido) . Si en existencia estdn disponibles soluciones al18 y at 30%, icudntos litros de cada una debe mezclar para satisfacer el pedido?


500

• , •.•.••• \.I .... 0.30X+ 0.18y= 125 '. ...

..... "1 .... .... ~ .... . '\. '\

x+ y= 506"'~\ 'If!e .. ":.~

\<:: ..... ~ ':\ ....

0t:=======~~500 o

FIGURA 4.36 Grafica del ejemplo 4.

Solucion: Sean x y y, respectivamente, el numero de litros de las soluciones al30 18% que deben ser mezclados , Entonces .

x + y = 500.

Para ayudar a visualizar la situaci6n, dibujamos el diagrama en la figura 4.35. 500 litros de una soluci6n al 25%, habra 0.25(500) =.: 125 litros de acido. Este acid

x litros

0.30x as acido.

Soluci6n al 30%

+

y IItros

0.18y as acido.

Soluci6n al 18%

500 litros

0.25(500) as acldo.

Soluci6n al 25%

FIGURA 4.35 Problema de la mezcla de :kido.

proviene de dos fuentes: 0.30x litros de la soluci6n al 30% y 0 .18y litros de la solu- l ci6n al 18%. De aquf que ' ,

0.30x + 0.18y = 125 .

Las ecuaciones anteriores forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc6gni tas. Resolviendo la primera para x da x = 500 - y. Sustituyendo en la segunda se obtieni

0.30(500 - y) + 0 .18y = 125.

Resolviendo esta paray, encontramos y = 208+ litros .Asf x = 500 - 208+ = 291+

litros. Wase la figura 4.36. •

Sistemas con tres variables

Los metodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables tambien pueden ser utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales con ires variables . Una ecuacion lineal general con tres variables x,y y z tiene la forma

Ax + By + Cz = D,

donde A, B, C y D son constantes y A, By C no son todas cero. Por ejemplo, 2x - 4,r + z = 2 es una de tales ecuaciones. Geometricamente, una ecuaci6n lineal general con tres variables representa un plano en el espacio, y una soluci6n al sistema de tales ecuaciones es la intersecci6n de los pianos. El ejemplo 5 muestra c6mo resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

EJEMPLO 5 Resolucion de un sistema lineal con tres variables

Resolver

{

2x + y + z = 3, -x+2y+2z= I,

x - y - 3z = -6.

(30) (31 ) (32)

4.4 Sistemas de ecuaciones linea les 155

Solucion: Este sistema esta constituido por tres ecuaciones lineales con tres variables. De la ecuaci6n (32), x = y + 3z - 6. Sustituyendo en x las ecuaciones (30) y (31), obtenemos

Simplificando

{

2(y + 3z - 6) + y + z = 3, - (y + 3z - 6) + 2y + 2z = I,

x = y + 3z - 6.

{

3Y + 7z. = 15, y - z = -5,

x = y + 32 - 6.

(33) (34) (35)

Observe que x no aparece en las ecuaciones (33) y (34). Como cualquier soluci6n del sistema original debe satisfacer las ecuaciones (33) y (34), primero consideraremos su soluci6n:

(33) (34)

De la ecuaci6n (34), y = 2 - 5. Esto significa que podemos reemplazar la ecuaci6n (33) por

3(~ - 5) + 7z. = 15 0 z. = 3.

Como 2 es 3, podemos reemplazar la ecuaci6n (34) con)' = -2. De aq uf que el sistema anterior sea equivalente a

{ ~ = 3, \' =- - 2.

EI sistema original se transforma en

{

:: = 3, v = -2, x = y + 3z - 6,

de la cual x = 1. La soluci6n es x = 1, Y = -2 y z = 3, que usted puede verificar. •

AI igual que un sistema de dos variables puede tener una familia de soluciones con un parametro, un sistema con tres variables puede tener una familia de soluciones con uno 0 dos parametros.5 Los dos ejemplos siguientes 10 ilustran.

EJEMPLO 6 Familia de soluciones con un parametro

Resolver

{

X - 2y = 4, 2x - 3v + 2z = - 2, 4x - 7\' + 2z = 6.

, Nota para eI instructor: Los ejemplos 6 y 7 pueden ser omitidos sin perdida de continuidad.

(36) (37) (38)


Soluci6n: Observe que como la ecuaci6n (36) puede ser escrita x - 2y + Oz == 4, mos considerar a las ecuaciones (36), (37) y (38) como un sistema de tres ecuacio lineales en las vruiables x, y y z. De la ecuaci6n (36) tenemos x = 2y + 4. Utilizando ecuaci6n y sustituyendo, podemos eliminar x de las ecuaciones (37) y (38):

0 , sencillamente,

{

X = 2y + 4, 2(2y + 4) - 3y + 2z = - 2, 4(2y + 4) - 7y + 2z = 6,

{

X = 2y + 4, y + 2z = -10, y + 2z = -10.

Multiplicando la ecuaci6n (41) por -1 se obtiene

{

X = 2y + 4, y + 2z = -10,

- y - 2z = 10.

Sumando la segunda ecuaci6n a la tercera nos da

{

X = 2y + 4, y + 2z = -10,

0=0.

(39 ' (40 (41

Como la ecuaci6n 0 = 0 siempre es verdadera, en esencia podemos tratar con el sistema

{

X = 2y + 4, y + 2z = -10.

Resolviendo la ecuaci6n (43) para y, tenemos

y = -10 - 2z,

(42) (43):1

que expresa a y en terminos de z. Tambien podemos expresar a x en terminos de z' . De la ecuaci6n (42),

Por tanto, tenemos

x = 2y + 4

= 2( - 10 - 2z) + 4

= -16 - 4z.

{

X = -16 - 4z, y = -10 - 2z.

Como no hay restricciones sobre z, esto sugiere una familia de soluciones parametrica., Haciendo z = r, tenemos la familia de soluciones siguiente para el sistema dado:

x = -16 - 4r,

y = -10 - 2r,

z = r,

Son posibles otras representaciones parametricas de la soluct6n.

EJERCICIOS 4.4


don de r puede ser cualquier numero real. Por tanto, el sistema dado tiene un numero infinito de soluciones. Por ejemplo, haciendo r = 1 se obtiene la soluci6n particular x = -20, Y = -12 Y z = 1. •

EJEMPLO 7 Familia de soluciones con dos panimetros

Resolver el sistema

{

X + 2y + z = 4, 2x + 4y + 2z = 8.

Solucion: Este es un sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables. Eliminaremos x de la segunda ecuaci6n multiplicandola primero por -t.

{

X + 2y + z = 4, -x - 2y - z = -4.

y sumando la primera ecuaci6n a la segunda se obtiene

De la primera ecuaci6n,

{X + 2y + z = 4,

0=0.

x = 4 - 2y - z.

Como no existe restricci6n sobre yo z, pueden ser numeros reales arbitrarios dandonos una familia de soluciones con dos parametros. Haciendo y = r y Z = s, la soluci6n del sistema es

x = 4 - 2r - s,

y = r,

z = s,

donde r y s pueden ser cualquier numero real. Cada asignaci6n de val ores a r y as da una soluci6n del sistema, de modo que existe un numero infinito de soluciones. Por ejemplo, haciendo r = 1 y s = 2 se obtiene la soluci6n particular x = 0, y = 1 Y z = 2 .

•

En los problemas 1-24 resuelva algebraicamente los sistemas.

{

X - 2y= 8, 7. 8. {3X + Sy = 7,

Sx + 9y = 7.

1. { x + 4y = 3, 3x - 2y = -s.

3. {3X - 4y = 13, . 2x + 3y = 3.

5. {sv + 2w = 36, 8v - 3w = -S4.

{4X + 2y = 9, 2. Sy - 4x = S.

{ 2x - y = 1, 4.

-x + 2y = 7.

6 {p + q = 3, . 3p + 2q = 19.

Sx + 3y = 1.

{4X - 3y - 2 = 3x - 7y,

9. x + Sy - 2 = y + 4.

{ Sx + 7y + 2 = 9y - 4x + 6,

10. ¥x-b-¥=~x+h+~.

{~X + h = · 2, 11.

~x + b = -lJ:. 12 {4z - i w = i,

• z + 4 w = ~.


13. {4P + 12q = 6, 2p + 6q = 3.

{

2X + Y + 6z = 3, 15. x - y + 4z = I ,

3x + 2y - 2z = 2.

{

5X - 7y + 4z = 2, 17. 3x + 2y - 2z = 3,

2x - y + 3z = 4.

{

3x - 2y + z = 0, 18. - 2x + y - 3z = 15.

~ x + ~ y + 4z = 10.

19. {X - 2z = I, Y + z = 3.

{

X - y + 2z = 0, 621. 2x + y - Z = 0,

X + 2y - 3z = O.

623. {2x + 2y - z = 3, 4x + 4y - 2z = 6.

14. { 5x - 3v = 2,

- lOx + 6y = 4.

{

X + y + Z = -I, 16. 3x + y + z = I ,

4x - 2y + 2z = O.

('20. {2Y + 3z = I, 3x - 4z = O.

{

X - 2y - z = 0 622. 2x - 4~ - 2z = 0:

-x + 2y + z = O.

624. { x + 2y - 3z = -4, 2x'+ y - 3z = 4 .

25. Mezcla Un fabric ante qufmico desea surtir un pedido de 700 galones de una soluci6n de acido al 24%. En existencia tiene soluciones al 20 y 30%. i,Cuantos galones de cada soluci6n debe mezclar para satisfacer el pedido?

26. Impue:,;~os Una companfa tiene ingresos gravables por $312,000. EI impuesto federal es el 25% de la parte que queda despues que el impuesto estatal ha sido pagado. EI impuesto estatal es un 10% de la parte que queda despues que el federal ha sido pagado. Encuentre los impuestos federal y estatal.

27. Velocidad de un aeropJano Un aeroplano recorre 900 millas en 3 horas con la ayuda de viento a favor. Le toma 3 horas 36 minutos el viaje de regreso volando en contra del viento. Encuentre la velocidad del aeroplano sin viento, calcule tambien la velocidad del viento.

o Se refiere a los conceptos de los ejemplos 6 y 7.

28. Velocidad en balsa En un viaje en balsa, tom6 + de h recorrer 12 millas rfo abajo. EI viaje de regreso tOm6 ~ horas. Encuentre la velocidad de la balsa con al agua en ~ rna, y calcule la velocidad de la corriente.

29. Venta de muebles Un fabricante de comedores prodUQ dos estilos, Early american y Contemporaneo. De experien cia pas ada el administrador ha determinado que pueden se vendidos 20% mas comedores Early american que Contempo reineo. En cada vent a de un Early amencan hay una utilidad d $250, mientras que se gana $350 en cada Contempon\neo Si, en el ano pr6ximo, el administrador desea una gananc~ total de $130,000, i,cwintas unidades de cada estilo debe! ~~~~? 1

i 30. Encuesta A Encuestas Nacionales se Ie concedi6 un Can,

trato para realizar una estimaci6n de producto para CrisPl Crackers. Un total de 250 personas fueron entrevistadas Encuestas Nacionales reporto que 62.5% mas de las pers(). nas les gustaba Crispy Crackers que a las que no les gustaba Sin embargo, el reporte no indico que e116% de las personlll entrevistadas no habfan contestado. i,A cuantas de las pers(). nas entrevistadas les gusto Crispy Crackers? i,A cuantas no~

i,Cuantas no contestaron?

31. Costo de iguaJacion Productos Unidos, S. A., fabrica cal. culadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y Why ton En la planta de Exton, los costos fijos son de $7000 por lues, y el costa de producir cada calculadora es de $7.50. En Ii planta de Why ton, los costos fijos son de $8800 por mes, Y cada calculadora cuesta $6 producirla. Si hay que produciJ 1500 calculadoras, i,cuantas dehe producir cada planta si el costa total en cada una debe ser el mismo?

32. Mezcla de cafe Un comerciante de cafe mezcla tres tipos de cafe que cuestan $2.20, $2.30 y $2.60 por libra. para ob, tener 100 Ib de cafe que vende a $2.40 por libra. Si ut iliza la misma cantidad de los dos cafes mas caros, i,CUanto de cada tipo debe utilizar en la mezcla?

33. Comisiones Una companfa paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, mas otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100,000. Si un agente recibio $8500 por ventas de $175,000 y otro recibi6 $14,800 por ventas de $280.000. encuentre los dos porcentajes.

,.. Vtilidades anuales En reportes financieros, las utilidades de una companla en el ano actual (1) con frecuencia son comparadas con las del ano anterior (L), pero los val ores reales de Ty L no siempre son dados. Este ano una compania tuvo una utilidad de 20 millones mas que el ano pasado. Las utilidades fueron 25% mas. Determine T y L a partir de estos datos.

35. produccion La compafifa Controles Universales fabrica unidades de control. Sus modelos nuevos son el Argon I y el Argon II. Para fabricar cada unidad de Argon I, usan 6 medidores y 3 control adores. Para fabricar cada unidad de Argon II, usan 10medidores Y 8 control adores. La companla recibe un total de 760 medidores y 500 controladores diarios de sus proveedores. (,Cuantas unidades de cada modelo puede producir diariamente? Suponga que todas las partes son utilizadas.

36. Inversiones Una persona tiene dos inversiones y el porcentaje de ganancia por ano en cada una de elias es el rnismo. Del total de la cantidad invertida, 10 mas $600 fue invertida en una em presa de riesgo y al final de un ano la persona recibio un rendimiento de $384 de esa empresa. Si el rendirniento total despues de un ano fue de $1120, encuentre la cantidad total invertida.

37. Produccion Una companla produce tres tipos de muebles para patio: silIas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plastico y aluminio, como se indica en la tabla siguiente. La companla tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plastico y 1500 unidades de aluminio. Para la corrida de fin de temporada, la companla quiere utilizar todas sus existencias. Para hacer esto, (,cUllntas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?

Madera Phistico Aluminio

Silla I unidad I unidad 2 unidades Mecedora I unidad I unidad 3 unidades Sillones I unidad 2 unidades 5 unidades

38. Inversiones Un total de $35,000 fueron invertidos a tres tasas de interes: 7, 8 y 9%. El interes en el primer ano fue de $2830, que no se reinvirtio. El segundo ano la cantidad originalmente invertiua al 9% devengo un 10% y las otras tasas permanecieron iguales. El interes total en el segundo ano fue de $2960. (,Cuanto fue invertido a cada tasa?

39. Contratacion de trabajadores Una compafifa paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Trabajadores sernicalificados en ese departamento

4.5 Sistemas no lineales 159

ganan $9 por hora. A los empleados de envlos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la companla necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envlos. Pagara un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. i,Cuantos trabajadores semicalificados, calificados y empleados de enVIOS debe contratar la compafifa?

40. Almacenamiento de sol vente Un tanque de ferrocarril de 10,000 galones sera lIenado con solvente de dos tanques de almacenamiento, A y B. El sol vente de A es bombeado a raz6n de 20 galones/minuto. EI sol vente de B es bombeado a 30 galones/minuto. En general, ambas bombas operan al mismo tiempo. Sin embargo, a causa de un fusible fundido la bomba en A estuvo parada 10 minutos. (,Cuantos galones de cada tanque de almacenamiento seran utilizados para llenar el tanque del ferrocarril?

~ 41. Verifique su respuesta al problema I utilizando su calcula-illII dora grafica.

~ 42. Verifique su respuesta al problema 11 utilizando su cal cui a-~ dora grl'iflca. .

/1 43. Resuelva graficamente el sistema

{0 .24X - 0.34y = 0.28 , O.llx + 0.21y = 0.86.

Ii 44. Resuelva graficamente el sistema

. { x + Y = 2, ± x + ~ y = ~.

Redondee los valores x y y ados decimales.

1 45. Resuelva grl'ificamente el sistema

{0 .S736X - 0.3420y = 0, 0.8192x + 0.9397y = 20.

Redondee los valores x y y a un decimal.

4.5 SISTEMAS NO LINEALES OBJETIVO Utilizar sustitucion para resolver Sistemas no lineales.

Un sistema de ecuaciones en el que al men os una ecuaci6n es no lineal se llama

sistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por susti

tuci6n, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes 10 ilustran.

160 4 RECTAS, PARABO LAS V SISTEM AS

y

----.r~+----~--------~x

FIGURA 4.37 Sistema no lineal de ecuaciones.

Este ejemplo ilustra la necesidad de verificar todas las "soluciones".

6

-6 10

Jl'tttY5tcti~1'I ~:2 l

-2

FIGURA 4.38 Sistema no lineal del ejemplo 2,

EJEMPLO 1 Solucion de un sistema no lineal

Resolver

Solucion :

{

X2 - 2x + Y - 7 = 0, 3x - y + 1 = 0,

,t Estrategia: Si un sIstema no lineal contiene una ecuaci6n lineal, en genet;· resolvemos la ecuaci6n lineal para una de las variables y sustituimos esl). ~\lti ble en la otra ecuaci6n.

Resolviendo la ecuaci6n (2) para y se obtiene

y = 3x + 1.

Sustituyendo en la ecuaci6n (1) y simplificando, tenemos

x 2 - 2x + (3x + 1) - 7 = 0,

x2 + X - 6 = 0, (x + 3)(x - 2) = 0,

x = -3 0 x = 2.

Si x = -3, entonces la ecuaci6n (3) implica y = -8; si x = 2, entonces y = 7. De J

verificar que cada pareja de val ores satisfaga la ecuaci6n dada. De aquf que la:': soluciones sean x = -3, y = -8 Y x = 2, y = 7. Estas soluciones pueden ser vist :' geometricamente en la gnifica del sistema de la figura 4.37. Observe que la grafic

i

de la ecuaci6n (1) es una parabola y la de la ecuaci6n (2) una recta. Las solucione corresponden a los puntos de intersecci6n (-3 , -8) Y (2, 7).

EJ EMPLO 2 Resolucion de un sistema no lineal

Resolver

{y = Yx+2, x + Y = 4.

Solucion: Resolviendo la segunda ecuaci6n, que es lineal, para y se obtiene

y = 4 - x.

Sustituyendo en la primera ecuaci6n se obtiene

4 - x = Vx'+2,

16 - 8x + x 2 = X + 2

x2 - 9x + 14 = 0,

(x - 2)(x - 7) = O.

(elevando ambos miembros al cuadrado

Por tanto, x = 2 0 x = 7. De la ecuaci6n (4), si x = 2, entonces y = 2; si x = 7, entonc' y = -3. Ya que realizamos la operaci6n de elevar al cuadrado en ambos miembro debemos verificar nuestros resultados. Aunque x = 2 Y Y = 2 satisfacen amb ,' ecuaciones originales, este no es el caso para x = 7 Y Y = -3. Por tanto, la soluci6n ~ x = 2, y = 2. Wase la figura 4.38. •

... ' yeCNOLOGIA -

"I\C:;.... ...... -_ ..... __ ... 6

:-2

PlGURA 4.39 Soluci6n de O.5r +X = 3.

EJERCICIOS 4.5

4.5 Sistemas no lineales 161

Resolver graficamente la ecuacion O.5x2 + x = 3, donde x ~ O.

Soludon: Para resolver la ecuaci6n podrfamos encontrar los ceros de la funci6n f(x) = O.5x2 + X - 3. De manera altern a, podemos pensar en este problema como la soluci6n del sistema no lineal

y = 0.5x2 + x,

y = 3.

En la figura4.39, el punto de intersecci6n es estimado comox= 1.65, y = 3. Observe que la gratica de y = 3 es una recta horizontal. La soluci6n ala ecuaci6n dada es x = 1.65.

En los problemas 1-14 resuelva el sistema no lineal dado. 116. Resuelva graficamente el sistema

1 { Y = 4 - x2,

· 3x + Y = O.

3. {p2 = 4 - q, P = q + 2.

S. {x = i, Y = x2

'7. {Y = 4x - x" + 8, Y = x2

- 2x.

9.fP = vq, 1.P = q2.

11 {X2 = i + 14, • Y = i 2 - 16.

:,'

13 {x = y + 6, • y=3~.

2. { y = x3,

x - y = O.

{i - x 2 = 28,

4. x - y = 14.

6 { p2 - q = 0, . 3q - 2p - 1 = O.

{

X2 - Y = 8, 8. 2

Y - X = O.

{ z = 4/w,

10. 3z = 2w + 2.

{

X2 + l - 2xy = 1, 12.

3x - y = 5.

{y=~+ 1, 14. x ~ I

y=~.

115. Determine grMicamente cuantas soluciones tiene el sistema

{y = x3

Y = 6 '- x2

con un decimal de precisi6n.

117. Resuelva graficamente el sistema

{y = x 2

- 2x + I y = Xl + x2 - b: + 3


118. Resuelva graficamente el sistema

{y = x 3 + x, y = 4x


l En los problemas 19-21 resuelva graficamente La ecuacion tra. tandola como un sistema. Redondee las respuestas ados deci

males.

19. 0.8x2 + 2x = 6, donde x ;:0: O.

20. ~=5-x.

21. Xl - 3x2 = X - 8.


OBJETIVO Resolver sistemas que describen equilibrio y puntos de equilibrio.

4.6 APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Equilibrio

Recuerde de la secci6n 4.2 que una ecuaci6n que relaciona el precio por unidad y, cantidad demandada (suministrada), es Hamada ecuaci6n de demanda (ecuaci6n

l

oferta) . Suponga que para un producto Z la ecuaci6n de demand a es

I p= --q +1 2

180 y la ecuaci6n de oferta es

I p = 300 q + 8,

donde q, p ~ O. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las Ifneas { las figuras 4.40 y 4.41 . AI analizar la figura 4.40, vemos que los c1ientes comprar

P

12

(j) (540, 9)

Q) 8 (ij

~ :0 e. 4

500 1000 1500 q

(Unidades/semana)

Ecuacion de demanda: p = - l~O q + 12

FIGURA 4.40 Curva de demanda.

p

--t---~---'----L...-"q '

500 1000 1500 (Unidades/semanaj

Ecuaci6n de oferta: p = - :X:o q + 8

FIGURA 4.41 Curva de oferta.

540 unidades por seman a cuando el precio sea de $9 por unidad; 1080 unidades cuando el precio sea $6; y asf sucesivamente. La figura 4.41 muestra que cuando el precio es de $9 por unidad, los productores colocanin 300 unidades por seman a en el mercado; a $10 colocanin 600 unidades y asi sucesivamente.

Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto son representadas en el mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan es Hamado punto de equilibrio. (Vease la figura 4.42.) El precio n, Hamado precio de equilibrio, es el precio al que los consumidores compranin la misma cantidad de un producto que los productores ofrezcan a ese precio. En resumen, n es el precio en que ocurre una estabilidad entre productor y consumidor. La cantidad m es Hamada cantidad de equilibrio.

Para determinar con precisi6n el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de of en a y demanda. Hacemos esto para los datos anteriores, es decir el sistema

{

p = _ _ I q + 12 180

I p = 300 q + 8

(ecuaci6n de demanda),

(ecuaci6n de of en a).

4,6 Apllcaciones de sistemas de ecuac iones 163

c::

o @ ·s 0-(l)

(l) "'0 o '(3

~

p Curva de oferta

(m, n) Punto de equilibrio

Curva de demanda

~ --+-----~--------~~q m

Cantidad de equilibrio = m

FIGURA 4.42 Equilibrio,

1 Sustituyendo p por 300 q + 8 en la ecuaci6n de demanda, obtenemos

(3~0 + I~O) q = 4, q = 450 (cantidad de equilibrio).

Por tanto,

1 P = 300 (450) + 8

= 9.50 (precio de equilibrio),

y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad , los fabricantes producirfan exactamente la cantidad (450) de unidades por seman a que los consumidores comprarfan a ese precio (vease la figura 4.43).

p

12

Precio de equilibrio- 9,50

8

4

--~----~----~------~q 450 1000

+ I

Cantidad de equilibrio

FIGURA 4.43 Equilibrio.

164 4 RECTAS, PARABO LAS Y SISTEMAS

EJEMPLO 1 Efecto de los impuestos sobre el equilibrio

Sea p = I~ q + 50 fa ecuacion de oferta para ef producto de unfabricante y SUpong~ que fa ecuacion de demanda es p = - lim q + 65.

a . Si se carga un impuesto de $1.50 por unidad al fabricante, i.,como sera afectad~ el precio de equilibrio original si La demanda permanece igual?

y

Solucion: Antes del impuesto, el precio de equilibrio es obtenido resolviendo eJ sistema

Por sustituci6n

7 8 - 100 q + 65 = 100 q + 50,

15 15=IOO q,

100 = q,

8 p = 100 (100) + 50 = 58.

Por tanto, $58 es el precio de equilibrio original. Antes del impuesto el fabricante ofrecfa q unidades a un precio de p = 0.08 q + 50 por unidad. Despues del impuesto vendeni las mismas q unidades con el $1.50 adicional por unidad. El precio por unidad sera (0.08 q + 50) + 1.50, de modo que la nueva ecuaci6n de oferta es

Resolviendo el sistema

8 p = 100 q + 51.50.

{

p ~ 1~7q + 51.50,

p = --q + 65 100

dara el nuevo precio de equilibrio.

8 7 looq + 5\.50 = -IOO q + 65,

15 100 q = 13.50,

q = 90,

8 p = ]00 (90) + 51.50 = 58.70.

4,6 Apiicaciones de sistemas de ecuaciones 165

El impuesto de $1.50 por unidad increment6 el precio de equilibrio en $0.70 (vease la figura 4.44). Observe que tambien existe una disminuci6n en la cantidad de equilibrio, de q = 100 a q = 90, a causa del cambio en el precio de equilibrio. (En los ejercicios se Ie pide que determine el efecto de un subsidio dado al fabricante, 10 cual reducirfa el precio del producto.)

p

70

Curva de oferta despues del impuesto Curva de oferta antes del impuesto

60

~~::~~ 581 Curva de demanda

---r------~------~---q 100 200

FIGURA 4.44 Equilibrio antes y despues del impuesto.

b. Determine el ingreso total obtenido por el Jabricante en el punto de equilibrio antes y despues del impuesto.

Soluci6n: Si q unidades de un producto son vendidas a un precio de p d61ares cada una, entonces el ingreso total, que denotaremos con Y

TR, estani dado por

YTR = pq.

Antes del impuesto el ingreso en (100, 58) es (en d61ares)

-"TN = (58)( I 00) = 5800.

Despues del impuesto es

YTR = (58.70)(90) 5283,

que es una disminuci6n. • EJEMPLO 2 Equilibrio con demanda no lineal

Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oJerta Y demanda de un pro-q 8000

ducto son p = -- + 10 y p = ----, respectivamente. 40 q

166 4 RECTAS, PARABOLA.3 Y SISTEMAS

Solucion: Aquf la ecuaci6n de demanda no es lineal. Resolviendo el sistema

{

p = 4~ + 10,

8000 p=--

q

por sustituci6n se obtiene

8000 = !L + 10 q 40 '

320,000 = q2 + 400q (multiplicando ambos miembros por 40q)"

q~ + 400q - 320,000 = 0,

(q + 800)(q - 400) = 0,

q = -800 o q = 400.

Descartamos q = -800, ya que q representa cantidad. Eligiendo q = 400, tenemos p :: (8000/400) = 20, de modo que el punto de equilibrio es (400, 20) (vease la figura 4.45) .

p Demanda p = 8000

q

Oferta q

p= -· +10 40

20L __ ~~==== 10 ~r---~---L--~----L-__ ~ __ -L _______ q

80 160 240 320 400

FIGURA 4.45 Equilibrio con demanda no lineal.

Puntos de equilibrio

•

Suponga que un fabricante produce un producto A y 10 vende a $8 por unidad Entonces, el ingreso total Y

TR recibido (en d6lares) de la venta de q unidades es

YTR = 8q (ingreso total) .

La diferencia entre el ingreso total recibido por q unidades y el costa total de ~

unidades, es la utilidad del fabricante (0 perdida si es negativa):

utilidad (0 perdida) = ingreso total- costo total.

EI costo total, YTC

' es la suma de los costos totales variables YVC' y los costas totale ~ fijos YFC

Yrc = Yvc + YFC·

4.6 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones 167

Los costos fijos son aquellos costos que bajo condiciones normales no dependen del nivel de producci6n; esto es, en algun periodo permanecen constantes en todos los niveles de producci6n (ejemplos son renta, salario de los oficinistas y mantenimiento normal). Los costos variables son los que varian con el nivel de producci6n (tal como el costo de materiales, salarios, mantenimiento debido al uso y desgaste , etc .). Para q unidades de producto A, suponga que

Entonces

y

YFC = 5000

22 Yvc = 9"q

22 Yrc = 9" q + 5000

(costo fijo)

(costo variable).

(costo total).

Las gnificas del costo total y del ingreso total aparecen en la Figura 4.46. EI eje hori zontal representa el nivel de producci6n q, y el eje vertical representa el valor

5000

Y (Ingreso, costos en d6lares) Punto de equilibrio

\~ YTC= ¥- q+ 5000

YTR = 8q

__ -¥~ ______ ~ ________ L-_____ q

500 1000

FIGURA 4.46 Diagrama de equ ilibrio.

total, en d6lares, del ingreso 0 del costo. El PUDto de equilibrio es el punto en que el ingreso total es igual al costo total (TR = TC). Ocurre cuando los niveles de producci6n y de ventas tienen como resultado cero perdidas y cero utilidades. En el diagrama, llamado diagrama del punto de equilibrio, esta el punto (m, n) en el que las graficas de YTR = 8q Y YTC = ~2q + 5000 se intersecan. Llamamos am la caDtidad de equiIibrio y a n el iDgreso de equilibrio. Cuando el costo total y el ingreso total estan relacionados de manera lineal con el producto, como es nuestro caso, para cualquier nivel de producci6n mayor que m, el ingreso total es mayor que el costo total , teo niendo como resultado una utilidad. Sin embargo, en cualquier nivel menor de 111

unidades, el ingreso total es menor que el costo total, teniendo como resultado una perdida. En una producci6n de m unidades la utilidad es cero. En el ejemplo siguiente examinaremos nuestros datos con mayor detalle .

EJEMPLO 3 PUDto de equilibrio, utilidad y perdida

Un Jabricante vende un producto a $8 por unidad, vendiendo todo 10 que produce. El costa fijo es de $5000 Y el variable por unidad es de 29

2 (dolares) .

a. Encontrar la produccion Y el ingreso totales en el punto de equi/ibrio.


8000

FIGURA 4.47 Punta de equilibria (900, 7200).

Solucion: A un nivel de produccion de q unidades, el costa variable es v . 292 q Y el ingreso total es YrR = 8q. De aquf que . V("

YrR = 8q,

22 Yrc = Yvc + YFC = 9 q + 5000.

En el punto de equilibrio, el ingreso total es igual al costa total. De esta manell resolvemos el sistema formado por las ecuaciones anteriores . Como '

YrR = Yrc,

tenemos

22 8q = 9 q + 5000,

590 q = 5000,

q = 900.

Asf la produccion deseada es de 900 unidades , resultando en un ingreso total (eq dolares) de

YrR = 8(900) = 7200.

Wase la figura 4.47.

b. Encontrar La utiLidad cuando 1800 unidades son producidas.

Solucion: Ya que utilidad = ingreso total- costa total , cuando q = 1800 tenemos

YrR - Yrc = 8( 1800) - [292

(1800) + 5000 ]

= 5000.

La utilidad cuando 1800 unidades son producidas y vendidas es de 5000.

c. Encontrar La pirdida cuando 450 unidades son producidas.

Salucion: Cuando q = 450,

YrR - Yrc = 8(450) - [2~ (450) + 5000] -2500.

Ocurre una perdida de $2500 cuando el nivel de produccion es 450 unidades.

d. Encontrar fa producci6n requerida para obtener una utilidad de $10,000.

Y

3000

~o t

Puntos de equilibrio

YTR = 100 + JQ

--;---__ -L ______ -L ___ q

400 900

F.IGURA 4.48 Dos puntos de equilibrio.

4.6 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones 169

Solucion: Para obtener una utilidad de $10,000, tenemos

utilidad = ingreso total - costo total.

10,000 = 8q - (~2 q + 5000) ,

50 15,000 = 9 q,

q = 2700.

As!, deben producirse 2700 unidades.

EJEMPLO 4 Cantidad de equilibrio

Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la informacion siguiente: costo fifo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso totaf por fa venta de q unidades YTR = 100Jq.

Solucion: Por q unidades de produccion,

YrR = lOOvq,

Yrc = 2q + 1200.

Igualando el ingreso total al costo total se obtiene

100vq = 2q + 1200,

50vq = q + 600 (dividiendo ambos miembros entre 2).

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos

2500q = q2 + 1200q + (600)2,

o = q2 - 1300q + 360,000.

Por la formula cuadnitica,

1300 :t \1250,000 q=

2

1300 :t 500 q=

2

q = 400 0 q = 900.

Aunque tanto q = 400 como q = 900 son cantidades de equilibrio, observe en la figura 4.48 que cuando q > 900, el costo total es mayor que el ingreso total , de modo que siempre se tendni una perdida. Esto ocurre porque aqu! el ingreso total no esta relacionado linealmente con la produccion. Por tanto, producir mas que la cantidad de equilibrio no necesariamente garantiza una utilidad. _

1 70 4 RECTAS, PARABOLAS Y SISTEM AS

EJERCICIOS 4.6

En los problemas 1-8 se Ie da una ecuacion de oferta Y Ull1 de demanda para un producto. Si p representa el precio por unidad en dolares Y q el numero de unidades por unidad de tiempo. ellcuelltre el punto de equilibrio. Ell los problemas 1 Y 2 bosqueje el sistema.

1. Oferta: p I~q + 2,

Demanda: p = - 160 q + 12.

2. Oferta: p = 2~ q + 3,

Demanda: p = -25~q + ¥. 3. Oferta: 35q - 2p + 250 = 0,

Demanda: 65q + p - 537.5 = O.

4. Oferta : 246p - 3.25q 2460 = O.

Demanda: 410p + 3q 14,452.5 = O.

S. Oferta: p = 2q + 20,

Demanda: p = 200 - 2q2.

6. Oferta: p = (q + 10)2,

Demanda: p = 388 - 16q

7. Oferta: p = ~,

Demanda: p = 20 - q.

8. Oferta: p = ~q + 5,

3000 Demanda. P = q + 200

q2.

Ell los problemas 9-14 YTR

represellta el illgreso total ell dolares \' \' el costa total ell dolares para ullfabricante. Si q representa .. re tanto eillumero de ullidades producidas como el numero de ulli-dades vendidas. encuelltre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama de equilibria en los problemas 9-10.

9. YrR = 3q,

Yre = 2q + 4500.

11. YrR = 0.05q,

Yrc = 0.85q + 600. 1000

13. YrR = 100 - q + I 0 '

YTe = q + 40.

10. YTR = 14q,

Yre = 1J1 q + 1200.

12. YrR = 0.25q,

Yrc = 0.16q + 360.

14. YTR = 0.lq2 + 7q,

YTr = 2q + 500.

15. Negocios Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son

3q - 200p + 1800 = 0 y

3q + lOOp - 1800 = 0,

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en d6lares y q el mlmero de unidades por periodo.

a. Aigebraicamente encuentre e l precio de equi librio Y d duzcalo graficamente.

b. Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija Un illl puesto de 27 centavos por unidad al proveedor.

16. Negocios Un fabric ante vende todo 10 que produce. Su in greso total esta dado por YrR = 7 q y el cos to total es Yre ::: 6 + 800, donde q representa el numero de unidades produci y vendidas.

a. Encuentre el nivel de producci6n en el punto de equili brio y dibuje el diagrama de equilibrio.

b. Encuentre el nivel de producci6n en el punto de equili brio si el costa total es incrementado en 5%.

17. Negocios Un fabricante vende un producto a $8.35 poruni dad, vendiendo todo 10 producido. EI cos to fijo es de $2 116 el costa variable es de $7.20 por unidad. i,A que nivel de pr ducci6n existiran utilidades de $4600? i,A que nivel de producci6n existira una perdida de $1150? i,A que ni vel de p ducci6n ocurre el punto de equilibrio?

18. Negocios EI punto de equilibrio del mercado para un pr ducto ocurre cuando 13 ,500 unidades son producidas au precio de $4.50 por unidad . EI productor no proveera unida des a $1 y el consumidor no demandara unidades a $20. En. cuentre las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son li. neales.

19. Negocios Un fabricante aIcanzara el punto de equilibria en un volumen de ventas de $200,000. Los costos fijos so de $40,000 y cada unidad se vende a $5 . Determine el cost variable por unidad.

20. Negocios La compafiia Sandalias C6modas fabrica sandalias para las que el costa del material es de $0.80 por par y e costa de mana de obra es de $0.90 por par. Hay costos adi cionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $70,000 Si cada par se vende a $2.50, i,cuantos pares deben venders para que la compafiia llegue al e~uilibrio?

21. Negocios Encuentre el punto de equilibrio para la COI11pa~

fHa Z, que vende todo 10 que produce, si el costa variable por. unidad es de $2, los costos fijos de $1050 y ,l'TR = 50.[ci, donde q es el numero de unidades producidas.

22. Negocios Una compafiia ha determinado que la ecuaci6n de demand a para su producto es p = 10001q, donde pes el precio por unidad para q unidades en algun periodo. Determine la cantidad demandada cuando el precio por unidad es (a) $4; (b) $2; y (c) $0.50. Para cada uno de estos precios

alcule el ingreso total que la compafifa recibini. (,Cwil sera CI ingreso sin importar el precio? (Sugerencia : Encuentre el ~ngreso cuando el precio es P d6Iares.)

%3. Negocios Utilizando los datos del ej~mplo I, determine c6mo el precio de eqUilIbno ongillal sera afectado slla compafifa recibe un subsidio del gobierno de $1.50 por unidad.

~ Negocios La compafifa Aceros Forjados vende un produc.. to de acero corrugado a Fabricaciones Modelo y esta en com

petencia en tales ventas con otros proveedores. EI vicepresidente de vent as de Aceros Forjados cree que reduciendo el precio del producto se podJia asegurar un 40% de incremento en el volumen de unidades vendidas a Fabricaciones Mode-10. Como administrador del departamento de costa y analisis, a usted se Ie ha consultado para que analice la propuesta del vicepresidente y exponga sus recomendaciones de si es financieramente benefica. Especfficamente se Ie pide que

determine:

a. Ganancia 0 perdida neta con base en el precio propuesto.

b. Volumen de ventas de unidades que bajo el precio propuesto son requeridas para obtener las mismas utilidades de $40,000 que se recibe con el precio y volumen de ventas actuales.

Utilice la siguiente informaci6n en su analisis:

Propuesta del Operaciones vicepresidente

actuales de ventas

Precio uni tario $2.50 $2.00 Volumen de ventas 200,000 unidades 280,000 unidades Cos to variable

Total $350,000 Por unidad $1.75 $1.75

Cos to fijo $110,000 $110,000 Ganancia $40,000 ?

4.7 REPASO

Terminos y simbolos importantes

4.7 Reposo 1 71

25. Negocios Suponga que los productos A y B tienen ecuaciones de demanda y oferta que estan relacionadas una con otra. Si qA Y qB son las cantidades de A y B. respectivamente. y P A Y P

B sus respectivos precios, las ecuaciones de demand a son

qA = 8 - p, + PB

Y qB = 26 + PA - PB ,

Y las ecuaciones de oferta son

qA = - 2 + 5PA - PB

Y qB = -4 - PA + 3PB '

Elimine qA Y qB para obtener los precios de equilibrio.

[ill 26. Negocios La ecuaci6n de oferta para un producto es

P = 0.3q} + 14.6

y la ecuaci6n de demanda es

34.2 p=

I + 0.3q·

Aquf P representa el precio por unidad en d61ares y q el numero de unidades (en miles) por unidad de tiempo. Grafique ambas ecuaciones y a partir de su grMica determine el precio y la cantidad de equilibrio a un decimal.

~ 27. Negocios Para un fabricante la ecuaci6n de ingreso total es II!IJB~I

YrR = 20.S-vq-:t4 - 41

y la ecuaci6n de costo total es

YTC = 0.02q' + 10.4,

donde q representa (en miles) tanto el numero de unidades producidas como el de unidades vendidas. Grafique un diagrama de equilibrio y encuentre la cantidad de equilibrio.

Seccion 4.1 pendiente de una recta forma punto-pendiente ecuaci6n lineal general en x y )' relaci6n lineal

forma pendiente-ordenada al origen

Seccion 4.2

Seccion 4.3

Seccion 4.4

ecuaci6n de demanda curva de demanda ecuaci6n de oferta curva de oferta funci6n lineal

funci6n cuadratica parabola eje de simetrfa vertice

sistema de ecuaciones sistemas equivalentes eliminaci6n por adici6n eliminaci6n por sustituci6n para metros ecuaci6n lineal general en x, y y z

1 72 4 REC1AS, PARABOLAS Y SISTEMAS

sistema no lineal Seccion 4.5

Seccion 4.6 punto de equilibrio precio de equilibria cantidad de equilibrio ganancia costa total costo fijo costo variable punto de equi librio cantidad de equilibrio ingreso de equilibrio

Resumen

La orientaci6n de una recta no vertical esta caracterizada por su pendiente m:

Y2 - Yl m=---X2 - Xl'

donde (Xl ' y) Y (Xl ' Yl ) son dos puntos diferentes sobre la recta. La pendiente de una recta verti cal no esta definida Y la pendiente de una recta horizontal es cero. Rectas que ascienden tienen pendiente positiva; rectas que descienden tienen pendiente negativa. Dos rectas son paralelas si Y s610 si , tienen la misma pendiente 0 son verticales. Dos rectas con pendientes m

l Y m

1 son perpen-

diculares si Y s610 si, ml = __ 1_. Una recta horizontal y una

m1

vertical son perpendiculares entre sf.

Formas basicas de las rectas:

Y - Yl = m(x - Xl) (forma punto-pendiente),

y=mx+b

x=a

y=b

Ax+By+ C= 0

(forma pendiente-ordenada al origen),

(recta vertical),

(recta horizontal) ,

(general) .

La funci6n lineal f(x) = ax + b (a # 0) tiene como grafica una lfnea recta.

PROBLEMAS DE REPASO

1. La pendiente de la recta que pasa por (2, 5) Y (3, k) es 4. Encontrar k.

2. La pendiente de la recta que pasa por (2, 3) Y (k, 3) es O. Encontrar k.

En los problemas 3-9 determine laforma pendiente-ordenada al origen y una forma general de una ecuacion de La recta que tiene las propiedades indicadas.

3. Pas a por (3, -2) Y tiene intercepci6n y igual a I .

4. Pas a por (- I, -I) Y es paralela a la recta y = 3x - 4.

En economfa, las funciones de oferta y demanda tie forma P = f(q) y juegan un papel importante. eada una da correspondencia entre el precio p de un producto y el ntlme- unidades q del producto que los fabric antes (0 consumido ofreceran (0 compraran) a ese precio durante algun periodC).

Una funci6n cuadn\tica tiene la forma

f(x) = ax2 + bx + c

Su grafica es una parabola que se abre hacia arriba si a :>, -hacia ablljo si a < O. EI vertice es

y c es la intercepci6n y. EI eje de simetrfa, asf como . intercepciones X y Y son utites para bosquejar la grafica.

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser resuelto ' los metodos de eliminaci6n por adici6n y eliminaci6n por s tuci6n. Una soluci6n puede involucrar uno 0 mas parametros. sustituci6n tambien es util en la soluci6n de sistemas no lineal'

La soluci6n de un sistema formado por las ecuacione oferta y demanda para un producto, da el punto de equilibrio indica el precio al que los ciientes compraran la misma canti . de un producto que los productores desean vender a ese prec

Las utilidades son el ingreso total - el costa total, donde costa total es la suma de los costos fijos Y los costos variables . .' punto de equilibrio es el punto en donde ganancia total = costa tot

5. Pasa por (10, 4) Y tiene pendiente -t.

6. Pasa por (3, 5) Y es vertical.

7. Pasa por (-2, 4) Y es horizontal.

8. Pas a por (I , 2) Y es perpendicular a la recta -3y + 5x = 7

9. Tiene intercepci6n y 2 Y es perpendicular a y + 3x = 2.

10. Determine si el punto (0, -7) pertenece a la recta que p , por (1, -3 ) Y (4, 9).

_ loS problemas 11-16 detern;ine si las rectas son paralelas,

-r:;endiculares 0 nmguna de estas.

... X + 4y + 2 = 0, 8x - 2y - 2 = 0.

'1 - 2 = 2(x - I), 2x + 4y - 3 = 0.

: x - 3 = 2(y + 4), y = 4x + 2.

, .. 3x + 5y + 4 = 0, 6x + lOy = 0.

... y:= t x + 5, 2x = 4y - 3.

46. y := 7x, y = 7.

Jos los problemas 17-20 escriba cada recta en La forma pendien-II-ordenada al origen y haga un bosquejo de su grafica. ,; CuaL

li la pendiente de la recta?

17. 3x - 2y = 4.

19. 4 - 3y = 0.

18. x = - 3y + 4.

20. y = 2x.

En los problemas 21-30 grafique cada Junci6n. Para las que I,an funciones lineales tambien obtenga la pendiente y la 'lnI,rcepci6n can el eje vertical. Para las cuadraticas obtenga 'todas las intercepciones y eL vertice.

21. y = f(x) = 4 - 2x.

ll. s = g(t) = 8 - 2t - t2•

a.1. y = f(x) = 9 - x2•

24. y = f(x) = 3x - 7.

25. y = h(t) = t2 - 4t - 5.

U. y = h(t) = I + 3t.

27. p = get) = 3t.

28. y = F(x) = (2x - 1)2. I. 29. y = F(x) = -(x2 + 2x + 3).

30. y = f(x) x

2. 3

En los problemas 31-44 resuelva el sistema dado.

{a- y=6 31 ' • 3x + 2y = 5. 32.

ex - 4y = 7, y = 2x - 4.

33. {4X + 5y = 3, 3x + 4y = 2. 34.

{3X + 6y = 9, 4x + 8y = 12.

f 3 {' 1 1 3S 4X - 2Y = - 4, j'x - 4Y = 12'

• 3 1 36. ~x + 3y = i. 4X + 2Y = 8.

{

3X - 2y + Z = -2, 37. 2x + Y + z = I,

x + 3y - z = 3.

{

X 2 - Y + 2x = 7 39. x2 + y = 5. '

4 {x + 2z = -2, 1. x + y + z = 5.

743

{ x - y - Z = 0, . 2x - 2y + 3z = 0.

4.7 Reposo 173

{

2y + x x + --- = 14 6 '

38. 3x + y Y +--= 20 4 .

40. {y = x ~ 4 '

x - y + 7 = 0.

{

X + Y + z = 0, 42. x - y + Z = 0,

x + Z = 0.

44 {2x - 5y + 6z = I, . 4x - lOy + 12z = 2.

45. Suponga que a y b estan relacionadas lineal mente de modo que a = I cuando b = 2, Y a = 2 cuando b = I. Encuentre una forma lineal general de una ecuaci6n que relacione a y h. Tambien encuentre a cuando b = 3.

46. Temperatura y frecuencia cardiaca Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida, la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye. Bajo condiciones de laboratorio, un gato a una temperatura de 37°C tuvo una frecuencia cardiaca de 220, y a una temperatura de 32°C su frecuencia cardiaca fue de 150. Si r esta relacionada lineal mente con T, en donde Testa entre 26 y 38, (a) determine una ecuaci6n para r en terminos de T, y (b) determine la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28°C.

47. Suponga que f es una funci6n lineal tal que f(l) = 5 y f(x) disminuye 4 unidades por cada incremento de 3 unidades en x. Encuentre f(x).

48. Sifes una funci6n lineal tal quef(-l) = 8 yf(2) = 5, encuentre f(x).

49. Ingreso maximo La funci6n de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200 - 2q, donde pes el precio (en d6lares) por unidad cuando q unidades son demandadas. Determine el nivel de producci6n que maximiza el ingreso total del fabricante y calcule este ingreso.

50. Impuesto sobre ventas La diferencia en precio de dos artfculos antes de que se les imponga un impuesto sobre la

7 Se refiere a los conceptos de los ejemplos 6 y 7, de la secci6n 4.4.


venta del S% es de $4. La diferencia en el precio despues del impuesto es de $4.20. Encuentre el precio de cada artIculo antes del impuesto.

51. Precio de equilibrio Si las ecuaciones de oferta y deman

da de cierto producto son 12Sp - q - 250 = ° Y lOOp + q -1100 = 0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio.

52. Punto de equilibrio EI fabricante de cierto producto vende todo 10 que produce. Determine el punto de equilibrio si el producto es vendido a $16 por unidad, el costa fijo es de $10,000 y el costa variable esta dado por Yve = 8q, don de q es el numero de unidades producidas (Y ve esta ex pres ado en d6Iares).

53. Psicoiogia En psicologla el termino memoria semantica se refiere al conocimiento del significado y la relaci6n de las palabras, aSI como al significado con el que almacenamos y recuperamos tal informaci6n. 8 En un modelo de red de memoria semantica, hay una jerarqula de niveles en que la informaci6n es almacenada. En un experimento de Collins y Quillian basado en un modelo de red, los datos fueron obtenidos sobre el tiempo de reacci6n para responder a preguntas sencillas acerca de sustantivos. La grafica de los resultados muestra que, en promedio, el tiempo de reacci6n R (en milisegundos) es una funci6n lineal del nivel L en el que una propiedad caracterlstica del sustantivo es almacenada. En el nivel ° el tiempo de reacci6n es de 1310; en el nivel 2 el tiempo de reacci6n es de 1460. (a) Encuentre la funci6n lineal. (b) Encuentre el tiempo de reacci6n en el nivel 1. (c) Encuentre la pendiente y determine su significado.

54. Conversion de temperatura La temperatura Celsius C es una funci6n lineal de la temperatura Fahrenheit F. Para encontrar esta funci6n uti lice los datos que 32 OF es 10 mismo que ° °C, Y que 212 OF es 10 mismo que 100°C. Tambien encuentre C cuando F = 50.

R G. R. Loftus y E. F. Loftus, Human Memory: The Processing of Information (Nueva York: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., distribuido por Halsted Press, Division de John Wiley & Sons, Inc ., 1976).

55. Cercado de terreno Una companla tiene destinados $3 para cercar una parte rectangular de un terreno adyace~ un rIo recto, utilizando el rIo para uno de los lados del . cercada. EI costa del cercado paralelo al borde del rIo e . $5 por pie instalado y el cercado para los dos lados restan es de $3 por pie instalado. Encuentre las dimensiones area maxima encerrada. (Sugerencia: Si el lado opuest rIo tiene longitud x , primero demuestre que cada uno de otros dos lados tiene longitud (300 - 5x)/6 .)

1Jj56. Resuelva graficamente el sistema lineal

{3X + 4y = 20, 7x + 5y = 64.

157. Resuelva graficamente el sistema lineal

{0.2x ~ 0.3y : 7, 0.3x O.Sy - 4.

Redondee x y y ados decimales .

Ii 58. Resuelva graficamente el sistema no lineal

L : ;,d:n:," > 0,

Redondee x y y ados decimales.

159. Resuelva graficamente el sistema no lineal

{y = Xl + I, y = 2 - x 2

•

Redondee x y y ados decimales.

mID 60. Resuelva graficamente la ecuaci6n

x 2 + 4 = X l - 3x

tratandola como un sistema. Redondee x a dos decimale~

, CACION CTICA

en quiere jugar tenis?

-ez usted haya hecho una cita, en alguna ocasi6n, para '~ con alguien s610 para encontrarse con una larga es--Por ejemplo, mucha gente se queja con frecuencia de

"' gas esperas que deben soportar para consultar al mer-o para que les revisen sus autom6viles. Aun en los ,hes, existen quejas acerca de la espera. Los jugadores ,this pueden tener que esperar hasta las 10:00 para em-

su partido de las 9:00. De manera semejante los . ~tas, y as! sucesivamente. Parece que en la programa;t:eside el origen de todos estos problemas. Aquf apren',}llla manera de planificar el horario para los partidos

-torn eo de tenis. 9

Suponga que 11 canchas esHin disponibles para un " de tenis que inicia a las 8:00 A.M. Utilizando un tiemmedio por partido de 1 hora y 30 minutos, el direc-

de un torneo por 10 comun programaria 11 partidos a :00 A.M., 11 partidos a las 9:30 A.M., 11 partidos a las

t ' .. :, Y as! sucesivamente. Sin embargo, el tiempo real ' ura un partido varfa. Algunos partidos se terminan al

9 de 30 minutos y otros duran mas de dos horas. A cau·.e esto, los partidos program ados casi al final del torneo

en iniciarse varias horas mas tarde. Tal vez un metodo ~r de programaci6n sea tener 11 partidos que inicien a .:00 A.M., despues programar algunos partidos a las 8:30,

• ' ~ 9:30 y continuar de esta manera, programando parti:cada 30 minutos. Por conveniencia, a estos intervalos b ,minutos nos referiremos como los period os 1,2, 3,

cIlWtado de Brian Garman. "Applying a Linear Function to Schedule l,S Matches", The Mathematics Teacher. 77, num. 7 (octubre de 1984).

-~. -4. 7. Con permiso de National Council of Teachers of Mathematics.

etc., con el periodo 1 empezando a las 8:00 A.M . El problema es determinar el numero de partidos que deben programarse en cada periodo.

Con base en los registros de aiios anteriores de este tomeo, se estima que el tiempo promedio de duraci6n es de 1 hora y 37 minutos. Estos registros aparecen en la tabla 4.3, que da el numero promedio de partidos jugados en las canchas a cada intervalo de 30 minutos, as! como el total acumulado. De Ja tabla 4.3 parece que una programaci6n con 11 partidos a las 8:00 A.M., 1 partido a las 8:30,4 partidos a Jas 9:00 y asf sucesivamente, es mas razonable que la programaci6n tipica de 11 partidos cada hora y media. As! nadie tendrfa que esperar mas de 30 minutos. Denotando el periodo por x y eJ numero total acumulado de partidos con y, Ja figura 4.49 da una representaci6n geometrica de los puntos (x, y). Por ejemplo, el punto (2, 12) indica que durante el periodo 2 el numero total de partidos jugados en las canchas desde el inicio del torneo fue de 12.

Es obvio a partir de la figura 4.49 que los puntos casi estan en linea recta. Conocer la ecuaci6n de tal recta nos permitirfa predecir el numero total de paJ'tidos que se programarfan para un periodo dado. Ya que II partidos deben ser programados para el periodo I, Y el ultimo partido, el octagesimo quinto (85), para eJ periodo 23, es razonable seleccionar como la recta "de predicci6n" aquella que pase por los puntos (1, 11) Y (2:3, 85), como se muestra en la figura 4.49. La pendiente, m, esta dada por

85-11 74 37 m= =-=-

23 -I 22 11

175


TABLA 4.3

Periodo

rJ) o

"C

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

y

85

80

70

60

'E 50 111 Co Q)

Hora

8:00 8:30 9:00 9:30

10:00 10:30 11:00 11 :30 12:00 12:30 1:00 1:30

Partidos Partidos por periodo totales

11 11 12

4 16 5 21 4 25 3 28 3 31 3 34 3 37 3 40 4 44 4 48

(23.85) • • 1

JI J'

I .' • l JI

" , "C 40 ]I ~

30 .' . 1 7

20 L 10 . - (2.12)

\1.11) --~--L-~L--J--~_~ __ x

5 10 15 20 23

Periodo

Periodo

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

FIGURA 4.49 Partidos de tenis totales como una funci6n del periodo,

Partidos Partidos Hora por periodo totales

2:00 3 51 2:30 4 55 3:00 3 58 3:30 2 60 4:00 3 63 4:30 4 67 5:00 4 71 5:30 3 74 6:00 4 78 6:30 4 82 7:00 3 85

Una forma punto-pendiente de una ecuaci6n de I

37 Y -11 = ll(x -1),

que puede ser escrita como

37 y =-(x-I)+ll.

11

Por ejemplo, si x = 2, entonces la ecuaci6n (I) da y= , "

14,36, Como un numero fraccionario de partidos sentido, Ia funci6n de la ecuaci6n (I) debe ser Un metoda es redondear los valores de yen la ec al numero entero mas cercano haciendo uso de ci6n conocida como funci6n mayor entero y tlP""'''tl" [x], La no~aci6n [x] significa el mayor entero, menor a x, Por ejemplo,

rJ

[4]=4, [4,1]=4, [5,9]=5 , ~

Si usted suma 0,5 a cualquier numero y despues cnc , el mayor entero en la sum a, el resultado sera cl dado redondeado al entero mas cercano, Por ejemplo, 0,5] = [4,6] = 4, que es 4,1 redondeado al cntcro Jl1

cano; [5,9 + 0,5] = [6.4] = 6, que es 5,9 rcdoIlU""UM entero mas cercano, Asf la funci6n depurada, que predice el numero total de partidos hasta c inel el periodo x, esta dada por

[37 ] f(x)= ll(x -1)+ 11.5,

I f!I.l'I,iU . ... , si x = 2, entonces

' 37 37 , - (x -1) + 11.5 = - (2 -1) + 11.5::::: 14.86 ; 11 11 ,

= 14. Por tanto, f(2) = 14. La tabla 4.4 da los predecidos,f(x), para x = 1, 2, 3, ... , 23, asf como

Total Total Total pronosticado, ajustado,

Hora real I(x) F(x)

8:00 11 11 11 8:30 12 14 12 9:00 16 18 16 9:30 21 21 21

10:00 25 24 24 10:30 28 28 28 11:00 31 31 31 11:30 34 35 35 12:00 37 38 38 12:30 40 41 41 1:00 44 45 45 1:30 48 48 48 2:00 51 51 51 2:30 55 55 55 3:00 58 58 58 3:30 60 61 61 4:00 63 65 65 4:30 67 68 68 5:00 71 72 72 5:30 74 75 75 6:00 78 78 78 6:30 82 82 82 7:00 85 85 85

~J..""'t.al,;;:, reales. Observe quefda un muy buen pron6stico totales reales. Sin embargo,fpredice mas partidos

periodos 2 y 3 que los que la experienciajustifica. otros periodos existe una discrepancia menor. Ya programaci6n adecuada al inicio del tomeo es de

importancia, podemos ajustar los totales predichos ~1\'I'''''4'',U<U 12 partidos en el periodo 2 y 16 hasta el perio-

. Los totales ajustados tambien se muestran en la tabla que es razonable una programaci6n con los to

ajustados. La funci6n, digamos F, que describe esta 'l!&li:lUlaC.lon esta dada por

Aplicocion practico: <-Alguien quiere jugor tenis? 177

{

12,SiX=2,

F(x) = 16,si x = 3,

[ ~~ (x -1) + 11.5] en otro caso,

donde F(x) es el numero total de partidos programados hasta el periodo x. Asf el numero de partidos asignados al inicio de un periodo x es F(x) - F(x - 1), don de x > 1.

Por supuesto, no todos los tome os de tenis implican 85 juegos en 11 canchas. Tambien el tiempo promedio del partido varia y depende, por ejemplo, de la c1ase de jugadores 0 del tipo de cancha. Asf, para manejar otras situaciones, suponga que generaliza la funci6n anterior de programaci6n a un tomeo que impJique m partidos en c canchas con base en un tiempo promedio de partido de t minutos.

Primero, necesita determinar el numero de periodos de 30 minutos implieados. Suponga que el tom eo inieia a la hora T= 0 y que E es el tiempo promedio (en minutos) que una eancha es utilizada a 10 largo del dfa. Entonees

E = m(60h + t) . c

EI ultimo partido termina aproximadamente a la hora T = E, de modo que empezara aproximadamente ala hora T = E -(60h + t). EI numero de intervalos de 30 minutos desde T= 0 hasta el inieio del ultimo partido es

m(60h + t) _ (60h + t) E - (60h + t) c =----------30 30

m(60h + t) (60h + t)c c c =---------30

(m - c)(60h + t) = -'----:-:------=--

30c

Este numero no incluye el periodo final. EI numero de periodos que seran programados es el valor redondeado de

(m - c)(60h + t) + 1 30c .

Denotando al numero de periodos por z se obtlene

= [em - c)(60h + t) + 1 5] z 30c . . (2)

Suponga que el numero total de eneuentros, )', programados hasta el periodo x es una funei6n lineal de x.


Puesto que c partidos son programados en el periodo I, Y en el z se han programado un total de m partidos, los puntos (1, c) y (z, m) pertenecen a la gnifica de esta funci6n. La pendiente es

m-c --, z-I

de modo que una forma punto-pendiente de una ecuaci6n de la recta es

m-c y - c = --' (x -1).

z'-I

Simplificando se obtiene

m-c y=--. (x-l)+c.

z -1

Esta funci6n debe ser depurada de modo que los valores de y sean redondeados al entero mas cercano. Ademas, la experiencia indica que para los periodos 2 y 3, el numero total de partidos asignados debe reflejar la misma proporci6n de los datos basados en 11 canchas. Esto es, para el periodo 2 debe asignatse un total de [:~ c + 0.5] partidos y para el periodo 3 sera de [:~ c + 0.5]. La funci6n, digamos F, que des.: illc esta programaci6n es

F(x) =

[:~ c +0.5], si x = 2,

[:~ c + 0.5], si x = 3,

[m-c ] --'(x -I) + c+O.5 z -1 en otro caso

donde F(x) es el numero total de partidos nr.\ar" ".",rI:".~

el periodo x, m el numero de partidos en el numero de canchas y z el numero de periodos, dada por la ecuaci6n (2).

Esta funci6n describe el sistema de pro de tenis conocido como "sistema de Garman", que ' zado ahora en muchos torneos de tenis.

EJERCICIOS

En los problemas siguientes, utilice el sistema de programar UTI torneo de tenis que implique 16 pa"';~'n'~"JII'

promedio por partido de 1 hora 45 minutos y 4 <"UfH;IlUS, "S

1. Determine (a) el valer de z, el numero de periedes nutes, (b) F(x) y (c) 10.5 valeres de F(x) para x = 1,2, .

2. Si el ternee inicia a las 10:00 A.M., para cada la hera de inicie y el numero de partidos que senln . durante el periedo.

2 OBJETIVO Bstudiar las funciones exponenciales y sus aplicaciones en areas tales como interes compuesto, crecimiento poblacional y decaimiento radiactivo.

No confunda la funci6n exponencial y = 2' can lafunci6n pOlencia y = Xl,

que tiene una base variable y un exponente con stante.

FUNCIONES EXPONENCIAL , Y LOGARITMICA

5.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

Existe una funcion que tiene un papel importante no solo en matematicas sino tambien en finanzas, economfa y otras areas de estudio, una constante e levada a un exponente variable, tal como f(x) = 2". A tales funciones les llamamos fun ciolles exponenciales.

Definicion

La junci6n f definida por

f(x) = b X,

donde b > 0, b'# 1, y el exponente x es cualquier numero real, es llamadafunci6n exponencial can base b.1

Ya que el exponente de if puede ser cualquier numero real , podrfa sorprender

Ie como Ie asignamos un valor a algo como 2,[2 , donde el exponente es un numero

irracional. Simplemente utilizamos aproximaciones . Como V2 = 1.41421 ... , 2v2 es

aproximadamente 21.4 = 2 7/ 5 = vr27, que ya esta definido . Aproximaciones mejores 1.01 ;;:;-;;;;

son 21.41 = 21 4 1/100 = V 2 141 , y asf sucesi vamente . De esta manera el signi ficado de

2,[2 se vuelve claro. EI valor que da una calculadora para 2,[2 es (aproximadamente)

2.66514. Cuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplicar las

reglas de los exponentes. Estas reglas aparecen a continuacion, donde m y Il son numeros reales yay b positivos.

I Si b = I. entonces!(x) = 1-' = I . Esta funci6n es tan poco interesante que no la llamaremos funci6n exponencial.

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Rectas, parábolas y sistemas

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