RECTAS EN ℝ𝟑

1. Introducción

En el plano ℝ𝟐 se puede encontrar la ecuación de la recta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien,

un punto y la pendiente de la misma. En ℝ𝟑 la intuición dice que las ideas básicas son las mismas. Como

dos puntos determinan una recta, debe poderse calcular la ecuación de una recta en el espacio si se

conocen dos puntos sobre ella. De manera alternativa, si se conoce un punto y la dirección de una recta,

también debe de ser posible encontrar su ecuación.

Comenzamos con dos puntos 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) sobre una recta 𝐿. Un vector paralelo a 𝐿

es aquel con representación 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗. Entonces

𝐯 = (𝑥2 − 𝑥1)𝐢 + (𝑦2 − 𝑦1)𝐣 + (𝑧2 − 𝑧1)𝐤

es un vector paralelo a 𝐿. Ahora sea 𝑅 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) otro punto sobre la recta. Entonces 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ es paralelo a

𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗, que a su vez es paralelo a 𝐯, de manera que 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑡𝐯 para algún número real 𝑡. Las figuras muestran

los tres posibles casos.

En los tres casos 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗, que al reemplazar 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ se tiene 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑡𝐯

2. Ecuación vectorial de la recta

Los puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) que están en la recta ℒ que pasa por 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y es paralela al vector 𝑣 =

(𝑎, 𝑏, 𝑐) (llamado vector director), satisfacen la ecuación

ℒ ∶ 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑣 , 𝑡 ∈ ℝ

3. Ecuaciones paramétricas de la recta

En la ecuación vectorial tenemos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐), de donde

𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎

𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏

𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐

que son las ecuaciones paramétricas de la recta.

4. Ecuación simétrica de la recta

Eliminado el parámetro 𝑡 de las ecuaciones paramétricas de la recta, se tiene:

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

llamada la ecuación simétrica de la recta.

𝑦 𝑦 𝑦

𝑥 𝑥 𝑥

𝑧 𝑧 𝑧

𝑅

𝑃

𝑄

0 𝑃

𝑄

𝑅

0

𝑄

0 𝑃

𝑅

5. Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores lo son, es decir:

𝐿1 ∶ 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡𝑣 1 ∕∕ 𝐿2 ∶ 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑣 2 ⟺ 𝑣 1 ∕∕ 𝑣 2 ⟺ 𝑣 1 × 𝑣 2 = 𝟎

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son, es decir:

𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡𝑣 1 ⊥ 𝐿2: 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑣 2 ⟺ 𝑣 1 ⊥ 𝑣 2 ⟺ 𝑣 1 ∙ 𝑣 2 = 0

6. Ejercicios resueltos

a) Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por el punto 𝑃0 =

(−1,2,1) y cuyo vector director es 𝑣 = (4,5,−1)

Solución

Ecuación vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,2,1) + 𝑡(4,5,−1)

Ecuaciones paramétricas: 𝑥 = −1 + 4𝑡

𝑦 = 2 + 5𝑡𝑧 = 1 − 𝑡

Ecuación simétrica: 𝑥+1

4=

𝑦−2

5=

𝑧−1

−1

b) Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por los puntos

𝐴 = (3,−1,2), 𝐵 = (1,2,4)

Solución

El vector director 𝑣 = (−2,3,2) y elegimos el punto de paso 𝐴 = (3,−1,2)

Ecuación vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,−1,2) + 𝑡(−2,3,2)

Ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 3 − 2𝑡

𝑦 = −1 + 3𝑡𝑧 = 2 + 2𝑡

Ecuación simétrica: 𝑥−3

−2=

𝑦+1

3=

𝑧−2

2

c) Halla la ecuación simétrica de la recta ℒ1 que pasa por el punto 𝑃0 = (2,1,4) y que es paralela a la

recta ℒ: 𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = −2 + 4𝑡, 𝑧 = −5𝑡, 𝑡 ∈ ℝ

Solución

El vector director de la recta ℒ es 𝑣 = (3,4, −5). Como la recta ℒ1 es paralela a la recta ℒ entonces el

vector director de ℒ1 es 𝑣 = (3,4,−5).

Así la ecuación simétrica será: 𝑥−2

3=

𝑦−1

4=

𝑧−4

−5

d) Halla la ecuación de la recta ℒ que intercepta en ángulo recto a la recta ℒ1: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) +

𝑡(2,1,−1), 𝑡 ∈ ℝ y que pasa por el punto 𝐴 = (1,0,2)

Solución

Sea 𝑃 ∈ ℒ ∩ ℒ1, entonces 𝑃 ∈ ℒ y 𝑃 ∈ ℒ1

Si 𝑃 ∈ ℒ1 entonces, 𝑃 = (1 + 2𝑡, 2 + 𝑡, 3 − 𝑡)

Además 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (1 + 2𝑡, 2 + 𝑡, 3 − 𝑡) − (1,0,2) = (2𝑡, 2 + 𝑡, 1 − 𝑡).

Como ℒ ⊥ ℒ1 se tiene que

(2𝑡, 2 + 𝑡, 1 − 𝑡) ∙ (2,1,−1) = 0 → 𝑡 = −1

6

Luego 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2

6,11

6,7

6) =

1

6(−2,11,7), por lo tanto la ecuación de la recta ℒ es

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,2) + 𝑟(−2,11,7), 𝑟 ∈ ℝ

ℒ

𝑃

𝐴 ℒ1

𝑣