Clase PD4

Matematicas I

“Rectas - Aplicaciones a la Economıa -

Transformaciones de Coordenadas”

20 de septiembre de 2019

1

PD4

Distancia en el Plano. Definimos la distancia entre P y Q como:

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

P (x1, y1)

Q(x2, y2)

x

y

PD4

Propiedades de la distancia. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces

� d(P,Q) ≥ 0

� d(P,Q) = 0↔ P = Q

� d(P,Q) = d(Q,P )

� d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R)

P

QR

x

y

PD4

Punto medio. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces

� M =P +Q

2

� d(P,M) = d(M,Q)

� M : Punto medio del segmento PQ

P

Q

M

x

y

PD4

Pendiente. Sean P (x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos distintos en el plano R2. Definimos la

pendiente entre estos dos puntos pend(P,Q) como:

pend(P,Q) =

y2 − y1x2 − x1

, si x1 6= x2 (razon de cambio)

vertical, si x1 = x2.

P

Q

x

y

PD4

Definicion. Dados P,Q ∈ R2 dos puntos distintos del plano, tenemos:

pend(P,Q) ∈ R ∨ pend(P,Q) es vertical

Denotamos por

R = R ∪ {vertical}

al conjunto de todas las posibles pendientes.

PD4

Propiedades.

� Dados P y Q dos puntos distintos del plano. Entonces

pend(P,Q) = pend(Q,P )

� Dados P,Q y R tres puntos distintos dos a dos del plano y m ∈ R. Si

pend(P,Q) = pend(Q,R) = m

entonces

pend(P,R) = m.

PD4

Recta. Sean m ∈ R y P ∈ R2 un punto en el plano. Definimos el conjunto

l(m, p) = {Q ∈ R2 : Q = P ∨ pend(P,Q) = m} ⊂ R2

Como la recta de pendiente m y que pasa por el punto P (punto de paso).

l = l(m,P )

Q

P

x

y

PD4

Teorema. En una recta cualquier par de puntos diferentes tienen la misma pendiente.

pend(P,Q) = pend(R, S)

l = l(m,P )

P

Q

RS

x

y

PD4

Teorema. Sean l1 = l(m1, P1) y l2 = l(m2, P2) dos rectas (m1,m2 ∈ R).

� Si P1 = P2, entonces

l1 = l2 ↔ m1 = m2.

� Si P1 6= P2, entonces

l1 = l2 ↔ m1 = m2 = pend(P1, P2).

l1 = l2

x

y

PD4

Teorema. Dos rectas siempre cumplen una y solo una de las siguientes condiciones.

� Son iguales.

� Se intersectan en un solo punto.

� No se intersectan.

l1 = l2

x

yl1

l2x

y

l1 l2

x

y

PD4

Intercepto. Si una recta intersecta el eje x en un unico punto (a, 0) entonces el x-intercepto

es la constante a.

Intercepto. Si una recta intersecta el eje y en un unico punto (0, b) entonces el y-intercepto

es la constante b.

l = l(m,P )(0, b)

(a, 0)x

y

PD4

Ecuacion punto-pendiente de la recta. Si m ∈ R y P = (x0, y0) entonces

l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y − y0 = m(x− x0)}

l = l(m,P )

Q

P

x

y

Observacion: La ecuacion punto-pendiente no admite representacion unica.

PD4

Ecuacion pendiente-intercepto de la recta. La ecuacion de una recta de pendiente real m

se puede expresar como

l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y = mx+ b}

donde b es el y-intercepto.

l = l(m,P )(0, b)

x

y

Observacion: La ecuacion pendiente-intercepto admite representacion unica.

PD4

Ecuacion doble-intercepto de la recta. Si los interceptos de la recta son no nulos, entonces

la ecuacion de la recta se puede expresar como

l(m,P ) ={(x, y) ∈ R2 :

x

a+

x

b= 1}

donde a es el x-intercepto y b es el y-intercepto.

l = l(m,P )(0, b)

(a, 0)x

y

Observacion: La ecuacion doble-intercepto admite representacion unica.

PD4

Ecuacion general de la recta. Toda recta tiene una ecuacion de la forma

l = l(m,P ) ={(x, y) ∈ R2 : Ax+By + C = 0

}donde A,B,C son constantes. Esta ecuacion se denomina ecuacion general de la recta.

l

x

y

Observacion: Las constantes A y B no pueden ser ceros a la vez (A2 + B2 6= 0). La ecuacion

general no admite representacion unica.

PD4

Pendiente vertical. Si la pendiente es vertical, la recta satisface la ecuacion

x = a

PD4

Paralelismo. Dos rectas son paralelas cuando son iguales o no se intersectan.

� Si l1 y l2 son paralelas usaremos la notacion ll ‖ l2.

Propiedad. Dos rectas son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente.

� ll ‖ l2 ↔ m1 = m2.

l1 = l2

x

y

l1 l2

x

y

PD4

Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares cuando el angulo entre ellas es recto (90◦).

� Cuando l1 y l2 son perpendiculares usaremos la notacion ll ⊥ l2.

Propiedad. Dos rectas l1 = l1(m1, P1) y l1 = l2(m2, P2) con m1,m2 ∈ R− {0} son perpendi-

culares si y solamente si

m1 ·m2 = −1

� ll ⊥ l2 ↔ m1 ·m2 = −1.

l1

l2x

y

PD4

Diccionario. Denotamos por p al precio unitario de un producto y por q al numero de unidades

de dicho producto. Ambas se asumen usualmente como numeros reales no negativos, es decir,

elementos del conjunto R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Oferta. La oferta es una relacion O ⊂ R+0 × R+

0 donde (q, p) ∈ O representa el precio unitario

p que un productor esta dispuesto a vender por q unidades de un bien.

Demanda. La demanda es una relacion D ⊂ R+0 × R+

0 donde (q, p) ∈ D representa el precio

unitario p que un comprador esta dispuesto a pagar por q unidades de un bien.

PD4

Observacion. Una de las leyes de la oferta y demanda nos dice que un aumento en el precio

tiende a disminuir la demanda D y a aumentar la oferta O. Entonces las siguientes figuras pueden

representar la oferta y demanda de un bien en el caso que sean lineales.

O

q

p

D q

p

PD4

Punto de equilibrio. El punto de equilibrio entre la oferta y la demanda es el punto (qe, pe)

donde la oferta y la demanda se intersectan, es decir, O ∩D = {(qe, pe)}.

� pe:= precio de equilibrio (o precio del mercado).

� qe:= cantidad de equilibrio (o cantidad de mercado).

qe

pe

O

D

(qe, pe)

q

p

PD4

Excedente del consumidor. El excedente del consumidor (EC) es el area encerrada por la

demanda, el eje p y la recta horizontal p = pe.

Excedente del consumidor. El excedente del productor (EP) es el area encerrada por la oferta,

el eje p y la recta horizontal p = pe.

Excedente. Tambien se define el excedente como la suma del excedente del consumidor y el

excedente del productor.

qe

pe

O

D

(qe, pe)EC

q

p

qe

pe

O

D

(qe, pe)EP

q

p

PD4

Observacion:

� Si la ecuacion la Oferta es lineal:

O : p = mq + b.

La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias adicionales debe aumentar el precio

para ofertar una unidad adicional.

� Si la ecuacion de la Demanda es lineal:

D : p = mq + b.

La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias debe disminuir el precio para comprar

una unidad adicional

PD4

Diccionario.

� q : Numero de unidades que se fabrican de un bien.

� p : Precio unitario.

PD4

Ingreso, Costo y Utilidad.

� El Ingreso, I, de define por I = pq.

� El costo fijo: Cf , es el que se mantiene constante durante el proceso de produccion.

� El costo variable se define como: Cv = qCu, donde Cu es el costo unitario de produccion.

� El costo o costo total: C, se define por C = Cf + Cv = Cf + qCv.

� La utilidad: U , se define como U = I − C = p(q − Cu)− Cf .

PD4

Observacion: Como vemos, existe una relacion entre el ingreso y las unidades producidas ası

como tambien entre el costo y las unidades producidas. Podemos entonces pensar en ellas como

relaciones, subconjuntos de R+0 × R+

0 . Definimos el punto de equilibrio en este contexto como

la interseccion del ingreso con el costo. Si dicho punto es (q0,M0) entonces q0 es el nivel de

produccion de equilibrio y M0 se denomina monto de equilibrio.

q0

M0

CI

(q0,M0)

q

S/.

PD4

Propiedades.

I = p· q

C = Cuq + Cf

U = (p− Cu)q − Cf

(q0,M0)

Cf

−Cf

q0

M0−

q

S/. � En el equilibrio U(q0) = 0 entonces

(p− Cu)q0 = Cf

� (0,−Cf ), (q0, 0) ∈ U ,U

−Cf

+q

q0= 1

� (0, Cf ), (q0,M0) ∈ C

� (q0,M0) ∈ I entonces p =M0

q0

� I(q0) = C(q0) = M0

PD4

Propiedades.

I = p· q

C = Cuq + Cf

U = (p− Cu)q − Cf

(q0,M0)

Cf

−Cf

q0

M0−

q

S/. � p : precio de venta unitario, q : unidades

producidas y vendidas

� U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf , n ∈ Q

� U(q0 + k) = k(p− cu) para todo k ∈ N

� U(q) = 0⇔ q = q0

� Analice la utilidad en los intervalos ]0, q0[

, ]q0,+∞[.

PD4

Transformaciones de coordenadas.

Traslaciones. Sean h, k ∈ R constantes. Una traslacion de coordenadas es una relacion en R2

que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2 definida por las ecuaciones

x′ = x− h y′ = y − k

PD4

Observaciones:

� Cuando k = 0 la traslacion se dice horizontal.

� Cuando h = 0 la traslacion se dice vertical.

� Denotamos la traslacion por TP donde P = (h, k) y podemos entenderla como la

traslacion que lleva el punto P al origen.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

TP (Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Representacion grafica de una traslacion: www.desmos.com

PD4

Re-escalamiento: Sean h, k ∈ R constantes positivas. Un re-escalamiento de coordenadas es

una relacion en R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2 definida

por las ecuaciones

x′ =1

h· x y′ =

1

k· y

PD4

Observaciones:

� Cuando k = 1 el re-escalamiento es horizontal.

� Cuando h = 1 el re-escalamiento es vertical.

� Denotamos el re-escalamiento por EP donde P = (h, k).

� Podemos pensar en esta transformacion de coordenadas como una transformacion que re-

escala el eje de abscisas por el factor h y el eje de ordenadas por el factor k.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

EP (Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Representacion grafica de un re-escalamiento: www.desmos.com

PD4

Reflexiones. Sean l ⊂ R2 una recta, P = (x, y) ∈ R2. Definimos la reflexion de P a traves de

la recta l como Q = (x′, y′) ∈ R2 de la siguiente manera.

� Si P ∈ l entonces Q = P .

� Si P /∈ l entonces construimos la recta r tal que P ∈ r y r ⊥ l. Sea R el punto de

interseccion de l con r. Definimos Q como el punto tal que R es el punto medio entre P

y Q.

� La recta l se denomina eje de reflexion.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

Rl(Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Observacion. Si hacemos esto con todos los puntos del plano a esta la llamamos una reflexion

del plano cartesiano a traves del eje l y lo denotamos por Rl. Si Q = (x, y) entonces usamos la

notacion Rl(Q) = Q′ = (x′, y′).

PD4

Composicion. Sean S1 y S2 dos transformaciones de coordenadas cualesquiera. Si aplicamos

primero S1 y luego S2 llamaremos tambien al resultado una transformacion de coordenadas. De-

notaremos dicha transformacion por S2◦S1 y la llamamos la composicion de dos transformaciones

(notemos que el orden se lee de derecha a izquierda).

PD4

Teorema:

� Cuando el eje de reflexion es el eje de las ordenadas la reflexion se dice horizontal, se denota

por Rh , y se puede probar que

x′ = −x y′ = y

� Cuando el eje de reflexion es el eje de las abscisas la reflexion se dice vertical, se denota

por Rv , y se comprueba que

x′ = x y′ = −y

� Si el eje de reflexion es la recta determinada por la ecuacion y = x la reflexion es diagonal,

se denota por Rd, y podemos demostrar que

x′ = y y′ = x

�

PD4

Teorema:

� El resultado de una reflexion horizontal seguida de una reflexion vertical se denomina refle-

xion a traves del origen, se denota por RO = Rv ◦Rh , y se calcula directamente que

x′ = −x y′ = −y

� El resultado de una reflexion diagonal seguida de una reflexion horizontal es

Rπ2= Rh ◦Rd y se puede demostrar que esta es una rotacion por un angulo recto.

Se calcula directamente que

x′ = −y y′ = x