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La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una direccin y pendiente constante.En el espacio la lnea recta esta definida, bien sea por dos puntos o un punto y una direccin.Se acostumbra a denominar la recta con la letra minscula.ConceptoOAVhABhVBAAAhvBBBhvrepresentacin de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)Ejemplo:rrvrhrhrvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra DescriptivaSegn la posicin de la recta con respectos a los planos de proyeccin (horizontal, vertical o frontal y de perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones.Tipos de rectasDe Pie ABDe Punta CDFrontal EFParalela a la L.T. MNHorizontal GHOblicua IJDe Perfil KL

Recta de Pie (AB):Es perpendicular al plano horizontalRecta de Punta (CD):Es perpendicular al plano vertical o Tambin llamado frontalRecta frontal (EF):Es paralelo al plano vertical o tambin llamado frontalRecta paralela a la L.T.Es paralelo a la lnea de tierraRecta Horizontal (GH):Es paralelo al plano horizontalRecta oblicua (IJ):No es paralela al PH, PV y PL.Recta de Perfil (LK):Es paralela al plano lateral o plano de perfil

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhC

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhhvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhCRepresentacin en doble proyeccin ortogonalABhAVVhBCDhCVhDEvhEFvhFNvMvhMhNGvhGHvhHJvhJIvhIhKKvhLLv

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhhvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

BVVAhBAhVVhVhHHVBAVHTrazas de la rectahBLa traza (o interseccin) es el punto de penetracin de una recta en un plano de proyeccin tambin se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta.BVAhVAhVVVhHHVPara que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyeccin sobre la proyeccin de la rectaDibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).Traza VerticalSe determina con la interseccin de la proyeccin horizontal con la lnea de tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyeccin vertical.Traza HorizontalSe determina con la interseccin de la proyeccin vertical con la lnea de tierra encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyeccin horizontal.Ejemplo:Unidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra DescriptivaDistancia y verdadera magnitud de la rectaCuando una recta es al menos paralela a uno de los proyeccin, su distancia se puede ser determinada en la proyeccin de la recta del plano de proyeccin al que es paralela.Mtodo del tringulo de rebatimiento:Consiste en dibujar el tringulo que se genera en el espacio, resultante de la interseccin de la recta en el espacio con su proyeccin. Este tringulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.

Cuando una recta es oblicua, su proyeccin sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes mtodos para determinar su verdadera distancia en el espacio.

hBBVAhVABaABVMABdvdcVMABdcdvBaph ABpv ABhBBVAhVAdcdvVMABVMABBaBadcdvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra DescriptivaDistancia y verdadera magnitud de la rectaMtodo del tringulo de rebatimiento:

hBBVAhVABaABVMABdvdcVMABdcdvBaph ABpv ABPara determinar la verdadera magnitud:Se lleva sobre la proyeccin vertical de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra (beta) que es el ngulo que forma la recta con el plano vertical.Se lleva sobre la proyeccin horizontal de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra (alfa) que es el ngulo que forma la recta con el plano vertical.hBBVAhVAdcdvVMABVMABBaBadcdvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

Medir distancias sobre una rectahBBVAhBaABVMABdcVMABdcdvBaCuando una recta es al menos paralela a uno de los proyeccin, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyeccin de la recta del plano de proyeccin al que es paralela.

Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y determinamos su verdadera magnitud (AvBa) sobre el verdadero tamao medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponder proporcionalmente a la relacin entre la proyeccin y verdadera magnitudEjemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)dvCCVChCVAd

Unidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptivangulo de una rectaUna recta en el espacio forma generalmente un ngulo (alfa) con el plano horizontal y un ngulo (beta) con el plano verticalSe debe verificar que la suma de dichos ngulos tienen que estar comprendida entre 0 y 90Ejemplos:Recta de Pie (AB):=90= 0Recta de Punta (CD):

Recta frontal (EF):

Recta paralela a la L.T.

=0= 90=se mide en el P.V.= =0=0ABhAVVhBCDhCVhDEvhEFvhFNvMvhMhN

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhChvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra DescriptivaLvngulo de una rectaEjemplos:Recta Horizontal (GH):

Recta oblicua (IJ):

Recta de Perfil (LK):

=0=se mide en el P.V.

Se determina por el mtodo de tringulo de rebatimientoSe puede medir en un plano lateral y los ngulos son complementarios y suman 90GvhGHvhHJvhJIvhIhKKvhLLvLppKVista de perfil o lateralzyKvhLhKdvdc= 50= 40dvdcPara problemas de rectas de perfil casi siempre es necesaria construir al lado de la recta de perfil, una vista auxiliar de perfil (paralela al plano de perfil para resolverlos, (donde la recta se muestra en verdadero tamao).

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, (conociendo sus ngulos y por medio de tringulos de rebatimiento).Cuando la recta no es paralela a los planos de proyeccin se recurre al triangulo de rebatimiento para determinar las proyecciones de estaDado el punto A se desea conocer las proyecciones de una recta dada por el segmento AB que forma un ngulo y con los planos de proyeccin.Se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento pero empezando a dibujar en un lugar arbitrario la hipotenusa que es el segmento AB (distancia conocida en V.T.). Para obtener las proyecciones (PV y PH) dibujamos los catetos adyacentes que estarn determinada por los ngulos y .Y para determinar la distancia de la PH y la PV se traza desde B perpendiculares a estas, quedando genera con PV dv y con PH dc.Teniendo generada la PH y PV del segmento AB y sus dv y dc, se procede a colocar las proyecciones de estas en doble proyeccin ortogonal con respecto al punto AHay varias soluciones del problema cuando B tiene mayor cota o menor cota, mayor vuelo o menor vuelo, o si B este a la izquierda del punto A.Otra solucin PH de ABOtra solucin PV de AB< cota q A> cota qA< vuelo q A> vuelo qAUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Conociendo la Proyeccin Horizontal (P.H.) de una recta (AB) y el ngulo (ngulo con el mismo plano cuya proyeccin se conoce), construir la recta sabiendo que pasa por A.?La P.V. del segmento AB se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento, el problema se resuelve en determinar la diferencia de cota, para ello utilizamos la proyeccin horizontal en el cual se traza el ngulo dado y trazando una perpendicular desde la P.H. del segmento AB y con la interseccin de la hipotenusa o segmento en verdadera magnitud queda generada la dc (diferencia de cotas de los dos puntos.Determinada dc, se procede a dibujar la proyeccin desde Av Datos:Solucin:Determinamos dc? mediante la P.H. de AB conociendo

hBBVAhVAABdcpv ABdcUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

dvConstruccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Conociendo la Proyeccin Horizontal (P.H.) de una recta (AB), y el ngulo que forme con el plano vertical (). determinar la proyeccin vertical de ella, y que pase por el punto A.Datos:Solucin:Determinamos dv? mediante la P.H. de AB conociendo La P.V. del segmento AB se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento.

El problema se resuelve en dibujar un tringulo arbitrario conociendo el ngulo delimitado con el cateto opuesto que ser la dv de AB, quedando generada as la P.V. de segmento AB.Luego se coloca este segmento (PV) en la proyeccin vertical de la recta desde Av.hBBVAhVAABpv ABdvUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra Descriptiva

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Si conocemos la proyeccin vertical (PV) y el ngulo el problema es similar al ejemplo primero anterior.Si conocemos la proyeccin vertical (PV) y el ngulo el problema es similar al ejemplo segundo anterior.

dvhBBVAhVAABpv ABdv

hBBVAhVAABdcpv ABdcPH ?dv ?PHUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaGeometra DescriptivaOrientacin y pendiente de una rectaEs el ngulo que forma la proyeccin horizontal de una recta con el eje coordendao Norte-Sur, Este ngulo siempre se mide en el plano de proyeccin horizontal y ser en un ngulo menor a 90 Unidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaOrientacin de una recta con respecto a un punto

Ejemplo: Dado el punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientacin N 66 E.Geometra DescriptivaOrientacin y pendiente de una rectaEs la tangente trigonomtrica del ngulo que forma la recta en el espacio con el plano horizontal de proyeccin. Se proyectar en verdadera magnitud en un plano vertical paralelo a la recta.Unidad N 2Geometra Descriptiva4.- La rectaPendiente de una recta con respecto a un puntoLa pendiente se puede denotar en ngulos o en porcentaje. Para determinar la pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ngulo determina el valor de la pendiente en base al 100%.

En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la lnea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ngullo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la lnea de tierra.Pendiente determinado por nguloPendiente determinado por porcentajePendiente Positiva (+)Pendiente Negativa (-)Geometra DescriptivaUnidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestos1- Dada la recta m por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta a el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB.

5. Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60 con el Plano Horizontal de proyeccin y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representacin del punto D.b) Hallar las trazas. Prctica N 4Geometra DescriptivaUnidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosPrctica N 51 Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyeccin ortogonal la boca de un tnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyeccin) donde se encuentra las estaciones de trabajo del tnel AB.c) Representar la proyeccin del tnel HC que desciende por el suelo extensin de la recta "r" que mide 45 mt.d) Determinar la ubicacin de otra estacin de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estacin ubicada en el punto D construir un segundo tnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este tnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que DDeterminar los ngulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.

2- Se desea perforar un tnel en una montaa para llegar a una mina de carbn partiendo del punto A (25;10;35) la boca del tnel, extendindose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30 con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetracin del tnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbn).c) sobre el tramo AB, Construir un segundo tnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90 con el plano horizontal y 0 con el plano vertical, este tnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH.Geometra DescriptivaUnidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notables

AvBvAhBhQvQhDada la recta m por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta a el tipo de recta y trazas y verdadera magnitud del segmento AB.Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.La extensin de la proyeccin vertical hasta la lnea de tierra ayuda a determinar el punto de penetracin (traza) de la recta AB al plano horizontal que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyeccin de la recta.AhAvHhHvBvBhVM ABSolucin de ejercicios.1 Prctica N4Geometra DescriptivaUnidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.2 Prctica N4Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60 con el Plano Horizontal de proyeccin y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representacin del punto D.b) Hallar las trazas.

Geometra Descriptiva

Unidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.1 Prctica N51 Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyeccin ortogonal la boca de un tnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyeccin) donde se encuentra las estaciones de trabajo del tnel AB.c) Representar la proyeccin del tnel HC que desciende por el suelo extensin de la recta "r" que mide 45 mt.d) Determinar la ubicacin de otra estacin de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estacin ubicada en el punto D construir un segundo tnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este tnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que DDeterminar los ngulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.Geometra DescriptivaUnidad N 2Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.2 Prctica N5

2- Se desea perforar un tnel en una montaa para llegar a una mina de carbn partiendo del punto A (25;10;35) la boca del tnel, extendindose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30 con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetracin del tnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbn).c) sobre el tramo AB, Construir un segundo tnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90 con el plano horizontal y 0 con el plano vertical, este tnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH.Geometra DescriptivaEstudio de las superficies planaMaterial de apoyo para la construccin de cuerpos en el espacioUnidad N2

Geometra DescriptivaUnidad N2Estudio de superficies planasEl plano es un lugar geomtrico originado por una lnea en movimiento y tiene una extensin indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se denomina con letras griegas ().Concepto del planoEl Plano

El planoLos planos pueden ser:Limitados (polgonos, crculos, otros).Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).Un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas).Representacin de un planoLa forma mas expresiva de representar un plano es a travs de sus trazas. Las trazas del plano son rectas del plano (V y H) que se originan por la interseccin del plano en el espacio con los planos de proyeccin; determinando la posicin de este.Traza vertical (V): recta del plano contenida en el plano vertical. (recta frontal).Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en el plano horizontal (recta horizontal)VHEjemplo: representacin de un plano (omega) dado por sus trazas.

VHGeometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasAl igual que la recta, el plano recibe un nombre segn la posicin que tengan con respecto a los planos de proyeccin, (por ejemplo ). Es conveniente conocer sus trazas o rectas caractersticas que las estudiaremos ms adelante.Tipos de planosEl Plano

Tipos de planosa) Plano oblicuoVHb) Plano paralelo a la Lnea de TierraVHVH

VHTiene una posicin accidental con respecto a los planos de proyeccinSus trazas son paralelas a la L. T.Geometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasTipos de planosEl Plano

Tipos de planosc) Plano horizontald) Plano frontalVHHVEs paralelo al PH (Plano de Proyeccin Horizontal)Es paralelo al PV (Plano de Proyeccin Vertical)Geometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasTipos de planosEl Plano

Tipos de planose) Plano d canto o Proyectante Verticalf) Plano Vertical o Proyectante HorizontalVHHVEs Perpendicular al PV (Plano Vertical)Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal)HVHVGeometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasTipos de planosEl Plano

Tipos de planosg) Plano d perfilh) Plano 1er BisectorHVEs paralelo al plano de perfilHV

HVBhvhBAhAVi) Plano 2do BisectorSus trazas se encuentran en la Lnea de TierraBAAhAVHVHVGeometra DescriptivaUnidad N 2Estudio de superficies planasFormas de determinar un planoEl Plano

Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir ciertas condiciones como son:Representacin de un planoPlanos determinados por dos rectas paralelasPlanos determinados por dos rectas que se cortanPlanos determinado por 3 puntos no alineadosPlanos determinados por un punto y una rectaPlano determinado por sus trazas.Planos determinado por 2 rectas paralelas

abahavbhbv

b) Planos determinado por 2 rectas qse cortanabPPahavbhbvPLas rectas deben tener un punto en comnGeometra DescriptivaUnidad N 2Estudio de superficies planasFormas de determinar un planoEl Plano

Representacin de un planoc) Planos determinado por 3 puntos no alineados

BACAhAvBhBvCvCh

ACBrAhAvBhBvCvChe) Planos dado por sus trazasVH

VHd) Planos determinado por 2 rectas paralelasrhrvGeometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasComo determinar las trazas de un plano.El Plano

Como determinar las trazas de un plano

Dado una plano por 2 rectas paralelas (a y b) se pide determinar sus trazas.abavbvahbhPara obtener la traza de un plano se deben conseguir 2 puntos de esta.avbvahavbhbvPara obtener la traza Vert. Se consiguen las trazas verticales de 2 rectas del plano.Para obtener la traza Horiz. Se consiguen las trazas horizontales de las 2 rectas del plano.VHVVH

V1v2vahbh4h3habab1v2v4h3hGeometra DescriptivaUnidad N 2Estudio de superficies planasPuntos y rectas del planoEl Plano

Puntos y rectas del plano

abTodo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber como representar un punto o una recta cualquiera contenida en si.PPara que un punto tal como P pase por un plano ab es condicin de que sea de una recta (c) perteneciente al plano.Se conoce el plano ab y la proyeccin vertical de P, determinar su proyeccin horizontal sabiendo que esta en el plano ab.ahavbhbvPvahavbhbvPvPhcvchPara que P este en el plano tiene que estar en c que es una recta del planoToda recta para que pertenezca a un plano debe pasar por 2 puntos de ese planocGeometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasRectas caractersticasEl Plano

Rectas CaractersticasEs un recta horizontal (h) que se encuentra contenida en el planohv es paralela a la L.T. y hh a la traza Horizontal.Recta Horizontal (h) de un planoSe les llama rectas caractersticas de un plano a todas las rectas horizontales y frontales de esteRecta Frontal (f) de un plano

VHhvhhfvhvhhhEs un recta frontal (f) que se encuentra contenida en el planofh es paralela a la L.T. y fv a la traza Horizontal.VHfhfvfhfGeometra DescriptivaUnidad N 2Estudio de superficies planasRectas caractersticasEl Plano

Rectas CaractersticasEs perpendicular a la traza horizontal al igual que todas las rectas horizontales del planoDetermina el ngulo () que forma dicho plano con el plano horizontal.Para obtener en verdadera amplitud se determina por el mtodo de triangulo de rebatimiento sobre la PH.Recta de mxima pendienteRecta mxima inclinacindcVHphpvdcBvBhAvAhB

pvphpivihiAAhAvBBhBvCvChdvdcDCDvDhVHdvdvDhDvChCvDEs perpendicular a la traza vertical al igual que todas las rectas frontales del plano. Determina el ngulo () que forma dicho plano con el P.V.Para obtener en verdadera amplitud se determina por el mtodo de triangulo de rebatimiento sobre la PV.

Geometra Descriptiva

Unidad N 2Estudio de superficies planasngulos del planoEl Plano

ngulos del plano= ngulo que forma el plano con el PH= ngulo que forma el plano con el PV

=90=90PHPV + = 180Cuando el plano es perpendicular al PH y PV + = 90Cuando el plano pasa o es paralelo a la LT+>90y