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Recepción en canales de banda limitada – Com. Digitales

Luca Mar:no y Francisco Rodríguez Ruiz Apuntes-‐Laboratorio

no revisados (cuidado!!!)

Parte 1 Consideraciones importantes

Observación importante

•  En general, transmi:endo tenemos ISI…

Observación importante

€

W = 2πB

€

ω

€

W = 2πB

€

ω

€

Rs,max =1T

= 2B =Wπ

€

Rs,max =1T

= B =W2π

Canal banda base

Canal paso banda

El ancho de banda del canal limita la velocidad de transmisión para que haya ausencia de ISI (que se conseguiría con un rectángulo en frecuencia, es decir, u:lizando en el :empo p(t)=sinc)

Detección cuando hay ISI

•  Cuando tenemos ISI (interferencias entre símbolos) tenemos 2 alterna:vas:

 Óp:ma: (Decisor óp:mo en presencia de ISI) detección de la secuencia de máxima verosimilitud (con el algoritmo de Viterbi lo hacemos de forma eficiente).

  Subóp:mas: uso de igualadores de canal y luego un decisor símbolo a símbolo.

Igualadores

•  Un igualador lineal realiza un filtrado de la señal demodulada con el objeto de compensar la distorsión introducida por el canal, de tal forma que a la salida del igualador la señal está lo más libre de ISI posible.

•  En tal caso, es posible u:lizar un decisor símbolo a símbolo sobre esta señal.

•  En procesado de audio se emplea el término ecualizador que, aunque es una mala traducción del inglés “equalize”, ha sido aceptado por la Real Academia de la Lengua.

Retardo óp:mo

•  Asumiendo que

•  Es conveniente decidir A[n-‐d]. De hecho, podemos escribir

•  Se ve claramente que los términos de ISI y de ruido están divididos por p[d], por lo que su potencia se verá minimizada si el valor de p[d], en módulo, es lo mayor posible.

€

p[d] ≥ p[k]

€

q[n]p[d]

= A[n − d]+ p[k]p[d]

A[n − k]+ z[n]p[d]k=1

K

∑

ISI, ene este caso

Decidimos esto

ruido

Relación Igualación -‐ Es:mación

•  La igualación coincide con un problema de es,mación donde

•  Al paso n, observamos y queremos es:mar (considerando que decidimos el primer símbolo, es decir retardo de decisión d=0). Respecto a un problema de es:mación clásico la observación no depende sólo de , también de K variables anteriores (que representan la ISI).

€

Yn = anXn + an−1Xn−1 + ...+ an−K Xn−K + N

€

Yn

€

Xn

Ruido

€

Yn

€

Xn

Parte 2 Pequeño resumen teórico

IMPORTANTE: cuidado que se u:liza una notación diferente a la de la teoría

€

ˆ A [n]→u[n]

€

˜ A [n]→ ˆ A [n]Notación aquí

Notación de la teoría

Igualadores

•  Por comodidad vamos a considerar , es decir

•  Así que nuestro problema consiste en

•  Eliminar/reducir la ISI y el ruido y proporcionar una es,mación de .

€

d = 0

€

p[0] ≥ p[k] Para cualquier k

€

q[n] = p[0]A[n]+ p[k]A[n − k]+ z[n]k=1

K

∑

€

ˆ A [n]

€

A[n]

ISI ruido

Lo que recibimos, observaciones

€

u[n]En vuestros apuntes de clase se denota como u[n].

Igualadores

•  Esquema general

Igualador -‐ w[n]

€

q[n]Decisión símbolo a símbolo

€

˜ A [n]decisión es:mación

Es un elemento de la constelación

En general, no es un elemento de la constelación

Depende de

€

A[n],...,A[n − k]y está contaminada por ruido.

€

ˆ A [n]€

u[n]En vuestros apuntes de clase se denota como u[n].

Igualadores – filtro lineal

•  Para hallar esta es:mación consideraremos un filtrado lineal de las observaciones

•  Donde tenemos dos posibilidades:

€

ˆ A [n] = w[n]∗q[n] = w[k]q[n − k]k =0

Kw

∑

€

Kw →∞

€

Kw finitoFiltro FIR (a veces llamado filtro a “media móvil” MA, o también “todo ceros”)

Filtro IIR ( con una parte autoregresiva AR… puede ser un “todo polos” o más en general tener polos y ceros (AR-‐MA))

Caso ideal: sin ruido

•  Vamos ahora a considerar un caso ideal donde no hay ruido

•  En este caso es fácil eliminar completamente la ISI (asumiendo conocido el canal discreto equivalente) €

q[n] = p[0]A[n]+ p[1]A[n −1]+ ....+ p[K]A[n −K]

€

A[n] =1p[0]

q[n] − p[1]A[n −1]....− p[K]A[n −K]( )

€

A[n]= − p[1]p[0]

A[n −1]....− p[K ]p[0]

A[n −K ]+ 1p[0]

q[n]Filtro AR (IIR) con entrada q[n] (es decir, filtra q[n])

Igualador IIR “zero forcing”

•  En presencia de ruido

•  Podemos u:lizar la misma idea de la trasparencia anterior pero realimentando las es,maciones (no confundir con las decisiones) €

q[n] = p[0]A[n]+ p[1]A[n −1]+ ....+ p[K]A[n −K]+ z[n]

€

ˆ A [n] =1

p[0]q[n] − p[1] ˆ A [n −1]....− p[K] ˆ A [n −K]( )

“Zero forcing” sin restricciones: Filtro IIR, expresado en forma autorregresiva (AR). Puede expresarse también como un FIR de longitud infinita (serie infinita).

€

ˆ A [n] = w[k]q[n − k]k =0

+∞

∑


•  Vamos a ver qué hemos hecho en frecuencia.

•  Que se puede escribir como €

ˆ A [n] =1

p[0]q[n] − p[1] ˆ A [n −1]....− p[K] ˆ A [n −K]( ) ⇔

⇔ p[0] ˆ A [n] + p[1] ˆ A [n −1]....+ p[K] ˆ A [n −K] = q[n]

€

p[n]∗ ˆ A [n] = q[n]

€

P(e jω ) ˆ A (e jω ) = Q(e jω )

€

ˆ A (e jω ) =1

P(e jω )Q(e jω )

€

W (e jω ) =1

P(e jω )

€

ˆ A (e jω ) = W (e jω )Q(e jω )

Filtro con polos y ningún cero.


•  Nótese que entonces podemos escribir

•  que es la condición para eliminar toda la ISI €

W (e jω )P(e jω ) =1

€

w[n]∗ p[n] = δ[n]

€

ˆ A [n] = w[k]⋅k =0

KW

∑ p[ j]A[n − k − j]j =0

K

∑ + z[n − k]⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

ˆ A [n] = w[k]k =0

KW

∑ p[ j]A[n − k − j]j =0

K

∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ + w[k]

k =0

KW

∑ z[n − k]

ˆ A [n] = w[k]p[ j]A[n − k − j] + w[k]z[n − k]( )j =0

K

∑k =0

KW

∑

ˆ A [n] = c[k]A[n − k] + w[k]z[n − k]k =0

K +KW

∑

€

ˆ A [n] = w[n]∗q[n]→

€

c[n] = w[n]∗ p[n]→

€

0 ≤ n ≤ K +KW

€

c[n] = w[n]∗ p[n] = δ[n]

Entonces para no tener ISI, necesitamos

(d=0)


•  Problemas:

  estabilidad (pero es posible resolverlo, sistema a fase mínima).

  un filtro IIR :ene un coste computacional alto.

  amplificación del ruido (hemos razonado omi:endo la existencia del ruido).

Igualador FIR “zero forcing”

•  Para bajar el coste computacional, puede considerarse un número finito de coeficientes (“zero forcing” con restricciones)

•  con Kw finito.   Ventaja: bajamos el coste computacional y de memoria.   Ventaja (parcial): se amplifica menos el ruido.

  Desventaja: no eliminamos toda la ISI.

€

ˆ A [n] = w[n]∗q[n] = w[k]q[n − k]k =0

KW

∑

€

u[n]En la notación de la teoría.


•  Dado que

€

q[n] = p[ j]A[n − j]j=0

K

∑ + z[n]

€

ˆ A [n] = w[k]⋅k =0

KW

∑ p[ j]A[n − k − j]j =0

K

∑ + z[n − k]⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

ˆ A [n] = w[k]k =0

KW

∑ p[ j]A[n − k − j]j =0

K

∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ + w[k]

k =0

KW

∑ z[n − k]

ˆ A [n] = w[k]p[ j]A[n − k − j] + w[k]z[n − k]( )j =0

K

∑k =0

KW

∑

€

q[n − k]€

ˆ A [n] = w[n]∗q[n]


•  Definiendo

•  Podemos escribir

€

u[n] = w[k]p[ j]A[n − k − j]+ w[k]z[n − k]( )j=0

K

∑k=0

KW

∑

u[n] = c[0]A[n]+ c[k]A[n − k]+k=1

KW +K

∑ w[k]k=0

KW

∑ z[n − k]

€

c[k] = w[k]∗ p[k]

ISI residual Ruido filtrado z’[n] Término deseado

€

0 ≤ k ≤ K +KW

Estamos considerando el caso d=0.

Ejemplo: Igualador FIR “zero forcing”

•  Supongamos y

•  y u:lizamos un filtro FIR con

€

w[n]∗q[n] = w[0]q[n]+ w[1]q[n −1]+ w[2]q[n − 2]€

q[n] = p[0]A[n]+ p[1]A[n −1]+ z[n]

€

K =1

€

KW = 2€

d = 0

€

w[n]∗q[n] = w[0] p[0]A[n] + p[1]A[n −1] + z[n]( ) + w[1] p[0]A[n −1] + p[1]A[n − 2] + z[n −1]( ) +

+ w[2] p[0]A[n − 2] + p[1]A[n − 3] + z[n − 2]( )w[n]∗q[n] = w[0]p[0]A[n] + (w[0]p[1] + w[1]p[0])A[n −1] + (w[1]p[1] + w[2]p[0])A[n − 2] + w[2]p[1]A[n − 3] + ruido

€

W (e jω ) = w[0]+ w[1]e− jω + w[2]e−2 jω

W (z) = w[0]+ w[1]z−1 + w[2]z−2

€

c[0]

€

c[1]

€

c[2]

€

c[3]

Ejemplo: Igualador FIR “zero forcing”

•  El sistema (las condiciones) se resumen así

€

c[0] = w[0]p[0] =1c[1] = w[0]p[1]+ w[1]p[0] = 0c[2] = w[1]p[1]+ w[2]p[0] = 0c[3] = w[2]p[1] = 0

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

€

c = [c[0],c[1],c[2],c[3]]T

€

K +KW +1 = 4

€

P =

p[0]p[1]00

0p[0]p[1]0

00p[0]p[1]

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

KW +1 = 3€

K +KW +1 = 4

€

w = [w[0],w[1],w[2]]T

€

c = P w

€

K +KW +1 = 4€

KW +1 = 3

condiciones

€

KW +1 = 3 Incógnitas

Sistema sobredimensionado

Igualador FIR “zero forcing” •  En general vamos siempre a tener un sistema

sobredimensionado

•  Un sistema sobredimensionado (de rango máximo) claramente no :ene solución (no pueden cumplirse todas las condiciones al mismo :empo).

€

c = P w

€

K +KW +1

€

K +KW +1( ) × K +1( )

€

KW +1

P (“matriz de convolución de canal”) es Toeplitz

Igualador FIR “zero forcing” •  Dado que un sistema sobredimensionado (de rango máximo)

claramente no :ene solución, se puede actuar de 2 formas:

  Se eligen K+1 condiciones dentro de las K+Kw+1, y se hallan los coeficientes del filtro para este sistema (K+1)*(K+1).

  o se intenta encontrar una solución que minimice el error cuadrá:co medio.

•  En ninguno de los dos casos eliminamos toda la ISI. €

c[0] = w[0]p[0] =1c[1] = w[0]p[1]+ w[1]p[0] = 0c[2] = w[1]p[1]+ w[2]p[0] = 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇔ c[3] = w[2]p[1] ≠ 0La ISI residual es dada por c[3], en este ejemplo

Igualador FIR “zero forcing” (con mínimo cuadrados)

•  La solución (los coeficientes del filtro) del sistema de ecuaciones que minimiza el error cuadrá:co medio es

•  Hasta ahora no hemos considerado el ruido.

•  CUIDADO: no hay que confundir este igualador con el igualador MMSE que se explica a con:nuación.

€

w = P*P( )−1P* c Solución de mínimos cuadrados clásica

Igualador MMSE -‐ IIR

•  Hasta ahora no hemos considerado el efecto del ruido. Para mi:gar también el efecto del ruido buscamos el filtro que

•  Se puede demostrar que la solución respeta el principio de ortogonalidad

€

minw[n ]

E A[n] − w[n]∗q[n]( )2[ ]€

ˆ A [n]

€

E A[n] − w[n]∗q[n]( )⋅ q∗[ j][ ] = 0

€

e[n]Error en la es:mación

€

∀j

Nota que q[n] con:ene ruido

Igualador MMSE -‐ IIR

•  El principio de ortogonalidad se puede reescribir como

€

E A[n] − w[n]∗q[n]( )⋅ q∗[ j][ ] = 0

E A[n]q∗[ j][ ] = E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ]

€

∀j

€

E A[n]q∗[ j][ ] = E A[n] p∗[k]A∗[ j − k]+ z∗[ j]k=0

K

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = p∗[k]E A[n]A∗[ j − k][ ] + E[A[n]z∗[ j]]

k=0

K

∑

Nula, porque símbolos y ruidos son independientes

€

Esδ[n − j + k]

Donde asumimos que los símbolos son incorrelacionados y energía Es

€

E A[n]q∗[ j][ ] = Es p∗[k]δ[n − j + k]k=0

K

∑

€

E A[n]q∗[ j][ ] = Esp*[ j − n]

€

n − j + k = 0→k = j − n

Igualador MMSE -‐ IIR •  Podemos desarrollar el segundo factor

€

E A[n]q∗[ j][ ] = E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ]

€

∀j

€

E A[n]q∗[ j][ ] = Esp*[ j − n]

€

E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ] = E w[k]k=0

KW

∑ q[n − k]q∗[ j]⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

w[k]k=0

KW

∑ E q[n − k]q∗[ j][ ] = w[k]∗Rq[k]( )k=n− j

€

E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ] = w[k]∗Rq[k]( )k=n− j

Igualador MMSE -‐ IIR •  Ahora calculamos la correlación de las salidas

€

Rq[n] = E q[n + j]q*[ j][ ] = E p[k]A[n + j − k]k=1

K

∑ + z[n + j]⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ p[i]A[ j − i]

i=0

K

∑ + z[ j]⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

*⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

= p[k]p*[i]E A[n + j − k]A*[ j − i][ ]i=0

K

∑k=1

K

∑ + E[z[n + j]z*[ j]]

€

Esδ[n − k + i]

€

Rq[n] = Es p[k]p*[k − n]k=1

K

∑ +σz2δ[n] €

σz2δ[n]

€

Rq[n] = Es p[n]∗ p*[−n]( ) +σz

2δ[n]

€

n − k + i = 0→i = k − n

Igualador MMSE -‐ IIR •  Volviendo a los dos factores anteriores

€

E A[n]q∗[ j][ ] = E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ]

€

∀j

€

E A[n]q∗[ j][ ] = Esp*[ j − n]

€

E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ] = w[k]∗Rq[k]( )k=n− j

€

E w[n]∗q[n]( )q∗[ j][ ] = w[n − j]∗ Es p[k]∗ p*[−k]( )

k=n− j+σz

2δ[n − j]⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ €

Rq[n] = Es p[n]∗ p*[−n]( ) +σz

2δ[n]

€

Esp*[ j − n] = Esw[n − j]∗ p[k]∗ p*[−k]( )

k=n− j+

σ z2

Esδ[n − j]⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Igualador MMSE -‐ IIR •  Hemos llegado a

•  Con un cambio de variable k=n-‐j €

p*[ j − n] = w[n − j]∗ p[k]∗ p*[−k]( )k=n− j

+σ z2

Esδ[n − j]⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

p*[−k] = w[k]∗ p[k]∗ p*[−k]+ σ z2

Esδ[k]( )

€

P*(e jω ) =W (e jω ) P(e jω )P*(e jω ) +σ z2

Es[ ]

€

W (e jω ) =P*(e jω )

P(e jω )P*(e jω ) +σ z2

Es

=P*(e jω )

P(e jω )2

+σ z2

Es

Se suele llamar también igualador de Wiener

Recuerda que

€

TF g*(−t){ } =G*(ω )

€

TF g*(t){ } =G*(−ω )

Igualador MMSE -‐ IIR •  Finalmente, hemos llegado a

•  Nota que si

•  Que es un filtro “zero forcing” sin restricciones.

€


P(e jω )P*(e jω ) +σ z2

Es

=P*(e jω )

P(e jω )2

+σ z2

Es

€

σz2 →0

€


P(e jω )P*(e jω ) + 0=

1P(e jω )

Igualador MMSE -‐ FIR •  Para el igualador MMSE con restricciones, con cálculos

parecidos llegamos a una expresión temporal

•  donde

€

w = P*P + λI( )−1P* c

€

λ =σ z2

Es

Solución de mínimos cuadrados regularizados

Es importante notar que esta es la solución en el :empo

Es importante notar si

€

σz2 →0

Volvemos al igualador “zero forcing” con restricciones

Consideración

•  Es curioso notar que las expresiones de los filtros IIR y FIR :enen una estructura muy parecida, aunque en los filtro con restricciones las P indican una matriz (con valores temporales del canal discreto equivalente p[n] en sus columnas) mientras es la respuesta en frecuencia de p[n].

€

P(e jω )

€


P(e jω )P*(e jω ) + λ

€

w = P*P + λI( )−1P* c

€

w = P*P( )−1P* c

€


P(e jω )P*(e jω )=

1P(e jω )

MMSE

ZF

Parte 3 Formulas ú:les para las resolución

de los problemas

€

γ ISI =Dpico

η≥ 0

NIVEL DE ISI

Distorsión de pico

€

Dpico =p[k]p[d]k≠d

K

∑

€

p[d] ≥ p[k]donde

Depende del canal discreto equivalente

Depende de la constelación u:lizada

€

η =dmin2 Amax

Distancia mínima entre símbolos de la constelación

máxima magnitud de los símbolos de la constelación

€

γ ISI = 0⇔ Dpico = 0

NIVEL DE ISI

Es cero sólo si no hay ISI.

€

γ ISI <1En ausencia de ruido, el detector símbolo a símbolo no cometerá errores si

Para un mismo canal, la transmisión será más robusta a la ISI cuanto mayor sea el valor

€

η

IMPORTANTE: El nivel di ISI depende también de la constelación u:lizada.

€

W (e jω ) =e− jωd

P(e jω )Respuesta en frecuencia de un Igualador ZF sin restricciones (infinitos coeficientes, filtro IIR, autoregresivo AR)

€

W (e jω ) =P*(e jω )e− jωd

P(e jω )P*(e jω ) +σz2

Es

=P*(e jω )e− jωd

P(e jω )2

+σz2

Es

Respuesta en frecuencia de un Igualador MMSE sin restricciones (infinitos coeficientes, filtro IIR, autoregresivo AR)

Criterio ZF Criterio MMSE

€

w = P*P( )−1P* c d

Respuesta al impulso (temporal) de un Igualador ZF con Kw coeficientes

€

w = P*P +σz2

Es

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−1

P* c d

Respuesta al impulso (temporal) de un Igualador MMSE con Kw coeficientes

Ignorando el ruido

€

σz'2 =σz

2 12π

1P(e jω )

2 dω−π

+π

∫

Potencia del ruido z’[n] filtrado por un igualador ZF sin restricciones

Criterio ZF Criterio MMSE

€

σz'2 =σz

2 12π

1P(e jω )

2+

σ z2

Es

dω−π

+π

∫

Potencia del ruido z’[n] filtrado por un igualador MMSE sin restricciones

€

σz'2 =σz

2 w[k] 2k=0

Kw

∑Potencia del ruido z’[n] filtrado para ambos criterios con Kw coeficientes

€

σISI2 = Es c[k] 2

k≠d

K +Kw

∑ Potencia ISI residual

€

Pe ≈κQdmin2⋅

p2[k]k=0

K

∑

N0 /2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

COTA (INFERIOR) DEL FILTRO ADAPTADO: Probabilidad de error de símbolo


Determina un valor mínimo para la probabilidad de error de símbolo (no siempre alcanzable, es una cota inferior).

la raíz cuadrada de la energía del canal p[n].

€

p 2 = p2[k]k =0

K

∑ Puede verse como la ganancia en potencia dada por el canal.

IMPORTANTE: si aumenta dmin o disminuye la probabilidad de error!! (es como aumentar el SNR )

€

p 2

Esta cota es hallada suponiendo enviar por el canal una secuencia de K símbolos iguales y luego u:lizar en detector ML (en la prac:ca es como asumir enviar un sólo símbolo).

€

Pe ≈κQDmin

2 N0 /2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Probabilidad de error de un detector ML de secuencias (probabilidad de una secuencia errónea. Es decir, el criterio ML, u:lizando el Viterbi por ejemplo, nos proporciona una secuencia diferente a la transmi:da)

representa la distancia Euclídea mínima entre dos secuencias sin ruido.

€

Dmin =

representa el máximo número de secuencias recibidas que se hallan a una distancia Dmin de una posible secuencia recibida.

€

κ =

Cuando

€

L→∞ ⇔ Pe →∞ Pero la probabilidad de error de símbolo permanece a niveles aceptables incluso cuando L crece.

Probabilidad de una secuencia errónea

€

Pe ≈ kQdmin2 σz'

2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Probabilidad de error de los igualadores SIN restricción de coeficientes


€

σz'2 =σz

2 12π

1P(e jω )

2 dω−π

+π

∫

€

σz'2 =σz

2 12π

1P(e jω )

2+

σ z2

Es

dω−π

+π

∫

€

Pe ≈ kQdmin c '[d]2 σz'

2 +σISI2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Probabilidad de error de los igualadores con restricciones de coeficientes

Potencia del ruido filtrado

Potencia ISI residual


€

σz'2 =σz

2 w[k] 2k=0

Kw

∑

€

σISI2 = Es c[k] 2

k≠d

K +Kw

∑

€

c '= P w

€

c '= [c'[0],c'[1],...,c '[K + Kw +1]]

Solución óp:ma con el criterio mínimos cuadrados

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