Razones y Proporciones

Razones y Proporciones

Matematicas para Bachillerato I

Efraın Soto Apolinar

www.aprendematematicas.org

11 de octubre de 2008

Efraın Soto Apolinar Razones y Proporciones

Definicion de Razon

Definicion 1

RAZONConsidere los numeros a y b. La razon de ellos es el cocienteobtenido al dividirlos:

ab

En otras palabras, la razon de dos numeros es igual al cocienteentre ellos.


Ejemplo 1

ProblemaEn las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1 625. ¿En queproporcion estan sus respectivas votaciones?

Por definicion, debemos dividir el numero de votos que obtuvo elcandidato A entre el numero de votos que obtuvo el candidato B.

Votos del candidato AVotos del candidato B

=4 8751 625

= 3

Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos porcada voto que obtuvo el candidato B.


Continuacion...

Esta misma informacion obtenemos si encontramos la razon delos votos del candidato B con respecto al candidato A:

Votos del candidato BVotos del candidato A

=1 6254 875

=13

La fraccion 1/3 nos dice que por cada voto que obtuvo delcandidato B, el candidato A obtuvo 3.


Proporcion

Definicion 2

PROPORCIONEs una igualdad entre dos razones. Por ejemplo,

ab=

cd

Esta misma proporcion tambien podemos escribirla como: a : b ::c : d.

Definicion 3

PROPORCION DIRECTACuando dos cantidades estan relacionadas de tal forma quecuando una cantidad crece la otra tambien crece el mismo numerode veces, entonces tenemos una proporcion directa.


Ejemplo 2

Problema

Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cuantocuesta un litro de ese refresco?

Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 2

Problema


Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.

La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 2

Problema


Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.

Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 2

Problema


Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.

Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 2

Problema


Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.

Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 2

Problema


Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00pesos.Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces mas quelo que cuestan 100 ml.Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10× 5/6 = 50/6 = $9.33pesos.


Ejemplo 3

ProblemaEl vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30minutos. ¿Cuantos puede preparar en 45 minutos?

Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.

Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.

Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.

Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.

Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.

En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 3


Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble detiempo.Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30minutos, es decir, en 15 minutos.Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos conlo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puedepreparar en 45 minutos.En conclusion, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45minutos.


Ejemplo 4

ProblemaEn un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 dıas).¿Cuantos kilogramos de harina se consumen en 30 dıas?

En la septima parte del tiempo se consume la septima parte dekilogramos de harina.Esto significa que en un dıa se consumen 2 kilogramos deharina.En 30 dıas se consumen 30 veces mas de harina que lo que seconsume en un dıa,Esto indica que en 30 dıas se consumen 2× 30 = 60 kilogramosde harina.


Ejemplo 4


En la septima parte del tiempo se consume la septima parte dekilogramos de harina.Esto significa que en un dıa se consumen 2 kilogramos deharina.

En 30 dıas se consumen 30 veces mas de harina que lo que seconsume en un dıa,Esto indica que en 30 dıas se consumen 2× 30 = 60 kilogramosde harina.


Ejemplo 4


En la septima parte del tiempo se consume la septima parte dekilogramos de harina.Esto significa que en un dıa se consumen 2 kilogramos deharina.En 30 dıas se consumen 30 veces mas de harina que lo que seconsume en un dıa,

Esto indica que en 30 dıas se consumen 2× 30 = 60 kilogramosde harina.


Ejemplo 4


En la septima parte del tiempo se consume la septima parte dekilogramos de harina.Esto significa que en un dıa se consumen 2 kilogramos deharina.En 30 dıas se consumen 30 veces mas de harina que lo que seconsume en un dıa,Esto indica que en 30 dıas se consumen 2× 30 = 60 kilogramosde harina.


Regla de Tres Directa

Los problemas de proporcion directa se resuelven de maneramas sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.

Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en unacolumna el numero de Hot Dogs que puede preparar y en otra lacantidad de minutos que requiere:

Hot Dogs ⇒ MinutosDatos conocidos: 20 ⇒ 30

Para calcular: x ⇒ 45

Para resolver este problema con la regla de tres directa observaque si dividimos 20 (Hot Dogs) entre 30 (minutos) obtenemos laproporcion que indica cuantos Hot Dogs prepara el vendedor enun minuto.



Los problemas de proporcion directa se resuelven de maneramas sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en unacolumna el numero de Hot Dogs que puede preparar y en otra lacantidad de minutos que requiere:

Hot Dogs ⇒ Minutos

Datos conocidos: 20 ⇒ 30Para calcular: x ⇒ 45




Los problemas de proporcion directa se resuelven de maneramas sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en unacolumna el numero de Hot Dogs que puede preparar y en otra lacantidad de minutos que requiere:

Hot Dogs ⇒ MinutosDatos conocidos: 20 ⇒ 30




En realidad, esta proporcion nos indica que el vendedor prepara2 Hot Dogs en 3 minutos, o bien, dos tercios de Hot Dogs en unminuto.Si multiplicamos este resultado por 45 (minutos) obtenemos lacantidad de Hot Dogs que prepara en esa cantidad de tiempo.Entonces,

x = 45× 2030

= �3× 15× 2

�3= 30


En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harinaen 7 dıas, la razon 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2kilogramos de harina por dıa en ese asilo.

En 30 dıas se deben utilizar 30 veces mas, es decir, 30× 2 = 60kilogramos de harina.En forma de regla de tres directa, tenemos:

kg de harina ⇒ DıasDatos conocidos: 14 ⇒ 7


Y al realizar las operaciones, obtenemos:

x = 30× 147

= 30× 2 = 60


En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harinaen 7 dıas, la razon 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2kilogramos de harina por dıa en ese asilo.En 30 dıas se deben utilizar 30 veces mas, es decir, 30× 2 = 60kilogramos de harina.

En forma de regla de tres directa, tenemos:




x = 30× 147

= 30× 2 = 60


En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harinaen 7 dıas, la razon 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2kilogramos de harina por dıa en ese asilo.En 30 dıas se deben utilizar 30 veces mas, es decir, 30× 2 = 60kilogramos de harina.En forma de regla de tres directa, tenemos:

kg de harina ⇒ Dıas

Datos conocidos: 14 ⇒ 7Para calcular: x ⇒ 30


x = 30× 147

= 30× 2 = 60



kg de harina ⇒ DıasDatos conocidos:

14 ⇒ 7Para calcular: x ⇒ 30


x = 30× 147

= 30× 2 = 60




Para calcular:

x ⇒ 30


x = 30× 147

= 30× 2 = 60






x = 30× 147

= 30× 2 = 60


Observa que debido a que la multiplicacion y la division tienen lamisma prioridad como operaciones, en realidad no importa queoperacion realicemos primero.Bien podemos primero dividir y despues multiplicar, bienpodemos primero multiplicar y despues dividir... en ambos casossiempre obtendremos el mismo resultado.Por esto, es una costumbre utilizar de la siguiente manera laregla de tres directa. Por ejemplo en la ultima tabla queescribimos:




Empezamos multiplicando el unico numero que conocemos delrenglon donde se encuentra nuestra incognita (30) por el numeroque se encuentra en el otro renglon y en la otra columna (14) yeste resultado lo dividimos por el ultimo numero conocido (7).

x =30× 14

7= 30× 2 = 60


Porcentaje

Una proporcion directa que es muy utilizada comunmente es elporcentaje.

Definicion 4PORCENTAJEEs una proporcion de algo a cien. La palabra porciento indicacuantos se tomaran por cada cien.


Ejemplo 5

Problema

Luisa compro un vestido. Como le hicieron un descuento del 25%,solamente pago $180.00 pesos. ¿Cual es el precio original (sindescuento) de ese vestido?

Para calcular el precio con descuento del vestido, debieronquitar el 25%.Definimos P al precio sin descuento del vestido,Entonces, 0.25 P es el descuento que se le hizo,Y el precio con descuento es:

P − 0.25 P = 0.75 P

Esto indica que pago solamente el 75% del precio original delvestido.Y este precio fue de $180.00 pesos.


Continuacion...

Entonces,

0.75 P = 180 ⇒ P =1800.75

=180(

34

)=

4×��180

�3= 4× 60 = 240

Esto nos dice que el precio sin descuento del vestido era de$240.00 pesos.En efecto, si calculamos el 25% de $240.00 pesos, entoncesdebemos sacar la cuarta parte,es decir, $60.00 pesos es el 25% de $240.00A $240.00 le restamos $60.00 y obtenemos $180.00 que es elprecio con el 25% de descuento.


Ejemplo 6

Problema

Un paquete de cereal contiene 15% mas gratis. Si el envaseinicialmente contenıa 680 gr., ¿cuantos gramos contiene ahora?

Sabemos que originalmente el envase contenıa 680 gramos.El 10% de esa cantidad es la decima parte, porque 10 es ladecima parte de 100Y el porcentaje se refiere a la proporcion por cada cien...La decima parte de 680 gr., es 68 gr.Entonces, el 10% de 680 es 68.La mitad del 10% es el 5%.Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.


Ejemplo 6

Problema


Sabemos que originalmente el envase contenıa 680 gramos.

El 10% de esa cantidad es la decima parte, porque 10 es ladecima parte de 100Y el porcentaje se refiere a la proporcion por cada cien...La decima parte de 680 gr., es 68 gr.Entonces, el 10% de 680 es 68.La mitad del 10% es el 5%.Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.


Ejemplo 6

Problema


Sabemos que originalmente el envase contenıa 680 gramos.El 10% de esa cantidad es la decima parte, porque 10 es ladecima parte de 100Y el porcentaje se refiere a la proporcion por cada cien...

La decima parte de 680 gr., es 68 gr.Entonces, el 10% de 680 es 68.La mitad del 10% es el 5%.Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.


Ejemplo 6

Problema


Sabemos que originalmente el envase contenıa 680 gramos.El 10% de esa cantidad es la decima parte, porque 10 es ladecima parte de 100Y el porcentaje se refiere a la proporcion por cada cien...La decima parte de 680 gr., es 68 gr.Entonces, el 10% de 680 es 68.

La mitad del 10% es el 5%.Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.


Ejemplo 6

Problema


Sabemos que originalmente el envase contenıa 680 gramos.El 10% de esa cantidad es la decima parte, porque 10 es ladecima parte de 100Y el porcentaje se refiere a la proporcion por cada cien...La decima parte de 680 gr., es 68 gr.Entonces, el 10% de 680 es 68.La mitad del 10% es el 5%.Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.


Continuacion...

Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15%de 680.

Esto es, el 15% de 680 es 68 + 34 = 102Entonces, el envase contiene 102 gramos de mas...

3 Si originalmente contenıa 680 gramos,3 junto con los 102 gramos gratis (el 15%)3 obtenemos un nuevo total de 782 gramos.


Continuacion...

Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15%de 680.Esto es, el 15% de 680 es 68 + 34 = 102Entonces, el envase contiene 102 gramos de mas...

3 Si originalmente contenıa 680 gramos,3 junto con los 102 gramos gratis (el 15%)3 obtenemos un nuevo total de 782 gramos.


Final

¿Quien NO tienepreguntas?


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