Trigonometria Razones y Proporciones

SISTEMA HELICOIDAL 65

Compendio de Ciencias II-C Trigonometra

CAPTULO

0 4

OBJETIVOS

Definir las razones trigonomtricas: ctg, sec, csc.

Calcular las R.T. de un ngulo, conocida una de ellas.

Interpretar enunciados de caractersticas geomtricas.

I. MOTIVACIN

Creadores de la Trigonometra. Generalmente se

considera como creador de la Trigonometra al griego

Luego podemos definir

Hiparco de Nicea (150 a.C.), quien recopil en unalista

la posicin de 1 000 estrellas fijas y confeccion una

tabla de funciones trigonomtricas con ayuda de la

cual hall la distancia de la Tierra a la Luna.

Fue Claudio Ptolomeo quien sistematiz la Trigo-

nometra de entonces, enriquecindola con nuevas

frmulas y procedimientos. Public su inmortal obra

Al Magisti o Almagesto cuyos mtodos eran tan co-

rrectos que an siglos ms tarde se enseaban en

distintas universidades llegando a constituir la base

ctg =

sec =

csc =

Cateto Adyacente = c

Cateto opuesto a

Hipotenusa = b

Cateto adyacente c

Hipotenusa = b

Cateto opuesto a

de las tablas astronmicas que facilitaron los descu-

brimientos de Enrique el Navegante y Cristbal Co-

ln. Fue autor de la teora geocntrica del sistema

solar as como de importantes obras que por mu-

chos siglos fueron la nica fuente de consulta, hasta

la aparicin de Coprnico, Galileo y Kepler.

Modernamente, descuellan en el perfeccionamien-

1. En los vrtices de los tringulos siempre se colocan

letras maysculas y a los lados que se oponen se

colocan sus respectivas letras minsculas.

N

to de la Trigonometra Francisco Viete, Leonardo

Euler y John Kepler. A

II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN N-

a r m

M

n R

GUL O AG UDO

C

b a

b 2 a

2 b

2

2. Una razn trigonomtrica indica la proporcin

en que se encuentran los lados.

3. (sen )2 = sen2 sen2

sen + sen sen ( + )

se n

B c A

Para el ngulo .

b : Hipotenusa

a : Cateto Opuesto

c : Cateto Adyacente

se n

(Lo mismo sucede con las otras razones trigono-

mtricas).

66 PASCUAL SACO OLIVEROS


Problema desarrollado

1. Demostrar que la cotangente del menor ngulo

agudo de un tringulo rectngulo es 2 2 si la

hipotenusa es el triple de un cateto.

Resolucin:

Problema por desarrollar

1. Demostrar que la tangente del mayor ngulo agudo

de un tringulo rectngulo es 3 si la hipotenusa

es el doble de un cateto.

Resolucin:

a 3a

x

Sea el menor ngulo:

x 9 a 2 a 2 x 2a 2

x 2a 2 a

ctg 2 a 2

2 2 a

m en o r ngulo

1. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90).

Reducir:

E = senA . secC

8 4. Siendo: tg= , es agudo.

15

Calcular: P 1 tg 2

Rpta.: .............................................................

2. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90).

Reducir:

K=cosC . secC + 2tgA . tgC

Rpta.: .............................................................

Rpta.: .............................................................

5. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90), se sabe

que: b = 13 y a = 5. Calcular: E = secC + ctgA

Rpta.: .............................................................

3

3. Si sen= 5

; donde "" es un ngulo agudo de un 6. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90), se sabe

que: a + b = 3c. Calcular: R = secA + ctgC

tringulo rectngulo, calcular: M 1 ctg 2

Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................



7. En un tringulo rectngulo un cateto es el doble del

otro. Calcular la secante del mayor ngulo agudo.

Rpta.: .............................................................

8. En un tringulo rectngulo, su hipotenusa es el

doble de uno de los catetos. Determinar la

cotangente de su menor ngulo agudo.

Rpta.: .............................................................

9. Del grfico, calcular: E = ctg ctg

Si: MNPQ es un cuadrado.

13. Calcular: ctg. Si AM es bisectriz.

C

3

M

2

A B

Rpta.: .............................................................

14. Calcular: tgx. Si: se n= 1 2

M N

Q a 2a P x

Rpta.: .............................................................

10. Calcular: E ctg.se c

6

Rpta.: ............................................................. 15. Si BCDE es un cuadrado; calcular: E = ctg - tg

D

C

A

B E

8

Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 16. En un tringulo rectngulo ABC, recto en C, redu-

cir: M = c (senA senB) + a . tgB 11. Dado: se n 0, 6 . Calcular:

Donde es agudo.

R sec2 tg

2

Rpta.: .............................................................

Rpta.: .............................................................

17. En un tringulo ABC, recto en B, se sabe:

12. Si: cos= 0,8 , calcular: M = 3csc+ 4sec

Donde es agudo.

12 tgA=

5

. Calcular: E = cscC+ctgC

Rpta.: ............................................................. Rpta.: ..........................................................



3 18. Si: tg =

4

. Calcular: M 2 csc ctg20. Del grfico, calcular: tg

Donde es agudo.

Rpta.: .............................................................

19. Del grfico, calcular: tg . tg

C

B C

A D

Rpta.: .............................................................

A 2 D 1

B

Rpta.: .............................................................

1. Del grfico, calcular: E = tg . tg

4. Si: ctg = 1

; donde : ngulo agudo. 3

Calcule: sec . csc

3 A)

1 0 B) 3

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/4

4 1 0

C) 3

D) 3

3 E)

4

2. Calcular: tgA. Si PQRS es un cuadrado.

A

5. Si: ctg = 4. Calcular: E

sen cos

csc

1 Donde es ngulo agudo. R

Q 1 3 A) B)

17 17

P

S 4 B

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Sea un tringulo ABC (recto en B). Si:

senA . senC= 1

. Calcular: E = ctgC + ctgA 2

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4 E) 5

5 7 C) D)

17 17

9 E)

17



CAPTULO

0 5

OBJETIVOS

Identificar la proporcin en que se encuentran los lados de un tringulo rectngulo notable.

Reconocer el valor numrico de las razones trigonomtricas de ngulos notables y aproximados. NOTA HISTRICA

Investigar el origen de una palabra con frecuencia significa tener que efectuar muchas conjeturas, especialmente

cuando intervienen varios idiomas. La designacin intervienen varios idiomas. La designacin de "seno" dada a la

razn trigonomtrica de este nombre es un ejemplo destacado. El matemtico rabe Aryabhata (aproximadamente

en el ao 530 d.C.) emple la denominacin ardha-jyija (o semicuerda) para lo que ahora llamamos "seno". Los

rabes tenan la curiosa costumbre de omitir las vocales, de modo que la expresin ya fue interpretada fonticamente

como jiba por los matemticos rabes, y como jaib por los matemticos europeos que vertan al latn. Como

resultado jya (cuerda) se convirti en jaib, que significa seno (el pecho femenino) concepto que se designa en latn con

la palabra sinus. Esto es lo que dice esta historia. Aryabhata es conocido tambin por haber asignado la expresin

62 832/20 000 (o sea, 3927/1250) como un valor aproximado del nmero .

TRINGULOS RECTNGULO NOTABLES

Son aquellos tringulos rectngulos; donde conociendo las medidas de sus ngulos agudos, se puede saber la proporcin

de sus lados. Los tringulos conocidos son:

60

k

2k

30

3 k

45

k

k 2

45

k

53

3k 5k

4k

37

74

7k 25k

24k

16




1. Demostrar que n = 3, donde: se n n

10 n 4

Problema por desarrollar

1. Demostrar que n = 2, donde: tg 2 n 1

n

Si: tg se n 30 . tg 45 . se c 37 . se n74 ;

: agudo.

Resolucin:

Si: se c ctg 30 . se n 60 . ctg 45

Resolucin:

3 34

5

1 3

tg 1

. 1 . 5

. 24

3

2 4 25 5 5

se n 3

3

n

3 4 3 . 10 4 10 n 4

n 3



1. Calcular: E = 8sen45 + 4cos45

Rpta.: ..........................................................

2. Calcular: M = 3 . tg 30 4 cos 60

Rpta.: ..........................................................

3. Calcular: R = cos260 . tg245 . sen230

Rpta.: ..........................................................

11. Calcular: M = 32sen53 + 9sen30

Rpta.: ..........................................................

12. Si: tg = Cos 30. Calcular: sen es agudo.

Rpta.: ..........................................................

13. Si: sen= sen30 . tg37 . sec60. Calcular: cos;

es agudo.

Rpta.: ..........................................................

4. Resolver: A = sen53 . cos60 + sen37 . sen30 14. Calcular: E a b ; si: a = sen30 + tg37

Rpta.: ..........................................................

b = sec60 + cos230

Rpta.: ..........................................................

5. Calcular: R 1 co s2 6 0 15. Calcule: E = sen16 . cos 16

Rpta.: ..........................................................

6. Calcular: E = cos37. ctg53.sec60

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

16. Calcule: S = tg74 + ctg16

Rpta.: ..........................................................

17. Calcule: R = tg53 . sec16

7. Calcular: A

3.tg 2 60 . 8 se n 30

Rpta.: ..........................................................

18. Calcule: P = cos53 . tg74

Rpta.: ..........................................................

8. Calcular: E = 16Cos60 + 32Sen37

Rpta.: ..........................................................

9. Calcular: A = (csc30)tg45 (ctg45)sec60

Rpta.: ..........................................................

19. Calcule:

R 1 tg 2

1 6

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

10. Calcular: E = (sec 60 + csc30) . sen 37

20. Calcule:

H sen 3 0 . tg16 . ctg 53

tg 2

4 5

Rpta.: .......................................................... Rpta.: ..........................................................



A) 1/10 B) 1/20

C) 1/30 D) 1/40

E) 1/50

1. Calcular: T tg37 ctg53

se n 2 45 4. Calcule: S se c 2 7 4 tg 2 7 4

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

A) 4 B) 3

C) 6 D) 2

E) 1

2. Calcular: E co s 60 sen 37

11 tg 3

45

5. Calcule:

1

A) 2

sen

2 53 co s

2 53

K

csc2 16 ctg 2 16

B) 2

3. Si: sen2 = sen30; donde es agudo.

1 C) 3 D)

3

E) 1

Calcular: A tg ctg tg . ctg

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5



CAPTULO

0 6

OBJETIVOS

Resolver tringulos rectngulos, relacionando las longitudes de los lados mediante una razn trigonomtrica.

Encontrar equivalencias entre las razones trigonomtricas de ngulos notables en enunciados de caractersticas

geomtricas.

MOTIVACIN

La trigonometra, para qu sirve?

El problema bsico de la trigonometra es algo parecido a esto:

Est cerca de un ro ancho y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el rbol marcado en el

dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la tercera dimensin). Cmo hacerlo sin cruzar el ro?

La forma habitual es como sigue. Clave postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c

entre ellos (la base).

Luego extraiga el poste del punto A y sustityalo por un telescopio de topgrafo como

el que se muestra aqu (teodolito), contando con una placa dividida en 360 grados, A

marque la direccin (azimut) a la que apunta el telescopio.

Dirigiendo el telescopio primero hacia el rbol y luego hacia el poste B, mide el ngulo A

del tringulo ABC, igual a la diferencia entre los nmeros que ha ledo de la placa azimut. c

Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ngulo B.

La longitud c de la base y los dos ngulos A y B son todo lo que necesita para conocer el

tringulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un tringulo de la misma forma y mismo

tamao, en un sitio ms conveniente. La trigonometra (de trigon=tringulo) en un principio B fue el arte de calcular la informacin perdida mediante simple clculo. Dada la suficiente

Ro

b

C

a

informacin para definir un tringulo, la trigonometra le permite calcular el resto de las dimensiones y de ngulos.

Por qu tringulos?

Porque son los bloques bsicos de construccin para cualquier figura rectilnea

que se pueda construir. El cuadrado, pentgono u otro polgono puede dividirse en

tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un ngulo hacia los otros.

Para topografiar una tierra los topgrafos la dividen en tringulos y marcan cada

ngulo con un punto de referencia, que hoy en da es, a menudo, una placa de latn

redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que se ponen sus

varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescen-

te). Despus de medir la base, como la AB en el ejemplo del ro, el topgrafo medir

(de la forma descrita aqu) los ngulos que se forman con el punto C y usar la

trigonometra para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base

de dos nuevos tringulos, que a su vez suministrarn base para dos ms..., y de esta

forma construir ms y ms tringulos hasta que se cubra la tierra al completo con

una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede aadir una red

secundaria, subdividiendo los tringulos grandes y marcando sus puntos con estacas

de hierro, que proporcionarn distancias conocidas adicionales en las que se pueden

basar los mapas o planos.

Un antiguo telescopio de topgrafo

(teodolito)



TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

60

2K K

45

K 2 K

30

K 3

45

K

TRINGULOS APROXIMADOS

53

5K 3K

25K

7K

37

4K 16

24K

Es cierto que estos tres tringulos no son los nicos, pues existen muchos ms que los iremos descubriendo o

demostrando poco a poco.


1. Demostrar que:

ctg 3 7 csc ctg

ctg 3 7 4 3

csc ctg 25

7

3 2

4

24 24 2 4 3

ctg 3 7 csc ctg

Resolucin:

37 Problema por desarrollar

1. Demostrar que:

tg 3 7 csc ctg

24 25

7

37

25

Resolucin:

37

En el grfico: = 37

Luego: = 74



1. Del grfico, calcular: tg. 5. En el grfico mostrado, calcular: ctgx. Si:

C B

3 60

M

2

45 A

2 D 1 B

A 60 x

C

Rpta.: .............................................................

2. Calcular x del grfico.

Rpta.: .............................................................

6. Calcular: x si el rea del cuadrado es 642

B x

C

8

53 45

x

A 53

D

Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 7. Calcular: tg

N P

3. Calcular: tgx.

B

5

x 37

M 37

Q

A 13 C

Rpta.: .............................................................

4. Del grfico, calcular: ctgx.

C

x

Rpta.: .............................................................

8. Calcular: x.

D

A

30 x

A 37

B B

20 C

Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................



x

H

B

9. En el grfico, calcular: x.

A

A

53 45

D

16

C

A 30

H D

B

C

Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................

10. Calcular: DB, si: AC 2 6

C

45

14. Del grfico, calcular: ctg

C

D

60

16 B

2 D 6 A

A B

Rpta.: ............................................................. 11. De la figura, calcular: BH. Si: AC = 17.

B

Rpta.: ............................................................. 15. Calcular: tgx.

B

50

A 16 45

C

Rpta.: ............................................................. 12. Calcular: BC.

A x 74

C 26

Rpta.: ............................................................. 16. Calcular: tg.

A

5 3

C 16

D

Rpta.: .............................................................

13. Calcular: tg. Si: AB = BC.

Rpta.: .............................................................

17. Del grfico, calcular: tgx.



E

C A B

100

x 74 B D 4

A

Rpta.: .............................................................

18. Calcular: tg.

16 D

C

Rpta.: .............................................................

20. Del grfico; calcular: sen. O: Centro de la semicir-

cunferencia.

B

9 2

A 45

C 21

16

O

Rpta.: .............................................................

19. Del grfico, hallar: tg.

Rpta.: .............................................................

1. Del grfico, calcular: tg 2. Del grfico, calcular: ctg

53

53

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5



3. Del grfico, calcular: tgx. 5. Del grfico, calcular: x.

5

x

A) 24/31 B) 2/7

C) 7/31 D) 4/7

E) 5/7

53 45 30

x

4. Del grfico, calcular: ctgx. A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

x 74

7 2

A) 4 8

B) 8

3 4 8 C)

4 8 D)

3

1 0 E)

3

Trigonometria Razones y Proporciones

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