RAZONES Y PROPORCIONES

El siguiente documento sobre razones y proporciones presenta

algunas definiciones y ejemplos importantes para el desarrollo

del curso. Espero le desea de apoyo.

2011

Matemática Para La Administración II Profesor Emiliano González Gómez

14/08/2011

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

RAZONES Y PROPORCIONES

Pocas veces es cuestión de si puedes o no, de si sabes cómo o no. Usualmente, el ponerte en acción es más que todo una cuestión de motivación.

2

Profesor Emiliano González Gómez

Razones: Una razón es la división de un número sobre otro; normalmente se indica con

números enteros; por ejemplo:

Considerando este ejemplo: El número indicado arriba es el numerador (1), y el que divide es el

denominador (2).

Ejemplo. En un alimento se encuentran 30 gramos de azúcar por cada 3 gramos de grasa;

indicarlo en forma de una razón:

Solución:

Una razón es

una comparación

entre dos

cantidades

expresada como

un cociente.

Orden en una razón: En

una razón, al anotar las

cantidades, debemos

mantener el orden en que se

nombran los elementos que

se están comparando.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD

1.) DISCRIMINAR ENTRE UNA RELACIÓN

PROPORCIONAL O NO PROPORCIONAL.

2.) DISCRIMINAR ENTRE UNA PROPORCIÓN

DIRECTA E INVERSA.

3.) INTERPRETAR INFORMACIÓN EXPRESADA EN

RAZONES.

4.) RESOLVER PROBLEMAS SOBRE RAZONES Y

PROPORCIONES.

5.) RESOLVER PROBLEMAS SOBRE PORCENTAJE E

INTERPRETAR RESULTADOS DE SITUACIONES

DIVERSAS EXPRESADOS EN PORCENTAJE.


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Ejemplo. Escribe la razón en cada caso.

a.) Un auto con 4 galones de gasolina recorre 72 km.

b.) Una llave gotea 100 c.c. en 5 horas.

c.) Un bus demora 60 minutos en recorrer los 80 kms que separan dos ciudades.

Ejemplo. Manuel realizó la fiesta del curso, en la cual participaron 16 hombres y 20

mujeres.

a) ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y de niños?

b) ¿Cuál es la razón entre los varones y el total de participantes? c) ¿Cuál es la razón entre el número de participantes y el total de niñas?

Ejemplo. Una pareja de abuelos tiene 18 nietos y 20 nietas.

a) ¿Cuál es la razón entre el número de nietas y el total de nietos?

b) ¿Cuál es la razón entre los nietos y el total de nietos? c) ¿Cuál es la razón entre las nietas y los nietos?

Ejemplo. Determina el valor de cada razón.

a.) 2

1 b.)

9

7

c.) 20

15 d.)

5

25

e.) 5,0

10 f.)

2,0

26,0

g.) 6,0

072,0 h.)

5,0

25,1

El valor de una razón corresponde al

cociente entre el antecedente y el

consecuente de la razón.


4


i.) 003,0

9 j.)

02,0

4,0

k.) 4

3:

2

1 l.)

10

3:

8

5

m.) 10

72:

5

21 n.)

6

11:

3

11

Ejemplo. Un terreno rectangular mide 80 metros de largo y 60 metros de ancho y, además su

diagonal mide 100 metros. Escribe la razón entre:

a.) El largo y el ancho.

b.) El ancho y el largo.

c.) La diagonal y el largo.

d.) La diagonal y el ancho.

e.) El perímetro y el largo.

f.) El perímetro y el ancho.

g.) El largo y el perímetro.

h.) El ancho y el perímetro.

i.) Calcula el valor de las razones anteriores.

Nota: La relación entre la población y la superficie recibe el nombre de densidad

poblacional y se expresa con la razón:

Determina la densidad en cada caso:

REGIÓN POBLACIÓN SUPERFICIE

V 1.384.336 hab. 16.396 kms2

VII 836.141 hab. 30.302 kms2


5


XII 143.198 hab. 132.034 kms2

Ejemplo. Una empresa mantiene en efectivo en su cuenta bancaria $400,000; y tiene en deudas

con proveedores en el corto plazo un monto de $850,000; el contador compara mediante una

razón la cantidad de dinero en efectivo sobre las deudas que requieren pago en el corto plazo

para determinar la liquidez de la empresa. ¿Cuál es el resultado?

Solución:

$ en deudas en el corto plazo

Esta razón simplificada por cuestiones didácticas, es usada como un indicador por algunas

instituciones financieras para determinar si conviene darle un préstamo a una empresa; no es el

único criterio determinante por que se analizan varios factores en conjunto, pero si es una razón

importante que se denomina Razón de liquidez.

Ejemplo. La razón a la cual un auto al viajar consume gasolina es de 10 kilómetros por cada

litro; expresarlo como una razón:

Solución:

En toda proporción el producto de los términos medios es igual al producto de los términos

extremos.

Una proporción es una igualdad entre dos o más

razones.


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Proporción. La variación proporcional describe relaciones entre dos cantidades o variables; se

puede clasificar en directa, inversa o mixta, en este curso solo se analizarán las dos primeras.

Indica si cada par de razones forma o no una proporción.

a.) 3

2

4

3y b.)

2

1

9

5y c.)

40

20

2

1y

d.) 8,0

4,0

2,0

1,0y e.)

3

1:

5

4

3

1:

6

5y f.)

4

3:

2

4

5

3:

5

4y

g.) 4

3:

3

2

3

2:

2

1y h.)

6,2

9

72,0

3y i.)

2,2

3,1

2,4

6,2y

Calcular el valor desconocido en las siguientes proporciones.

a.) x

8

9

12 b.)

30

104

x

c.) 410

15 x d.)

x

12

8

3

e.) x : 2,7 = 0 : 9 f.)

5,0

7,34,7

x

g.) 2,7

5,4

2,3

x h.)

x

75,0

36,0

25,0

i.) 75,0

25,0

3,0

x j.)

6,4

2,04,3

x

k.) x:4

3

6

5:

2

1 l.)

2

1:

9

5:

3

2x

m.) 2

1:

9

4:

8

3x n.)

4

1:

8

52:

5

21 x

o.) x : 9

5:

3

2

4

3 p.) x:

8

3

2

1:

7

6


7


PROPORCIÓN DIRECTA: Variación proporcional directa. Una variable “x” (por ejemplo el

incremento en la deuda de una persona) aumenta de forma directamente proporcional al tiempo

“y” que transcurre sin pagar dicha deuda.

Esta relación se expresa mediante el símbolo de la siguiente manera: x y

Para que dicha expresión sirva en operaciones matemáticas, debemos sustituir el símbolo de

proporcionalidad por una igualdad; al hacerlo debemos incluir lo que se conoce como una

constante de proporcionalidad “k” quedando de la siguiente forma.

Completa el cuadro de acuerdo al cambio monetario entre dólar y peso.

Dolar Pesos $

1 750

2 1500

3

4

5

6

7

8

9

Ejemplo. Se conoce que la variable financiera “x” aumenta de forma directamente proporcional

al valor de la variable “y”; se sabe que en un mes, la variable x = 10 y la variable y=30;

determine lo siguiente:

a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky.

Dos magnitudes son directamente

proporcionales cuando al disminuir una la

otra también disminuye o al aumentar una

la otra también aumenta en la misma

proporción

En la magnitud directamente proporcional el

valor de la razón permanece constante


8


b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40.

Solución: a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky.

Se plantea la ecuación de proporcionalidad

Se sustituyen los datos x = 10; y=30.

Acomodar la ecuación.

Despejar (si 30 multiplica, pasa dividiendo)

Simplificar (este es el resultado del inciso a)

Solución: b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40.

Los datos para este inciso son:

x =?, y = 40, k = 1/3 (NOTA IMPORTANTE: las variables x, y pueden cambiar en el

problema pero la CONSTANTE de proporcionalidad, NO CAMBIA, de ahí su nombre

“Constante”).

Se plantea la ecuación de proporcionalidad

Se sustituyen los datos k = 1/3; y=40.

Acomodar la ecuación para la multiplicación.

Multiplicar (y simplificar cuando se requiera)

El resultado es x = 40/3

Ejemplo. El valor de “z” varía directamente proporcional a la resta de variables “x – w”; en un

momento dado los valores de las variables son: x = 7, w = 4, z = 2.

Determine:


9


a) La expresión que relaciona las variables.

b) El valor de la constante de proporcionalidad.

c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9.

Solución: a) La expresión que relaciona las variables. Se indica que “z” varía directamente

proporcional a “x-w”:

z = k(x-w) (RESPUESTA)

Solución: b) El valor de la constante de proporcionalidad.

En este caso se requieren los datos x = 7, w = 4, z = 2.

z = k(x-w) se escribe la ecuación que relaciona las variables.

se sustituyen los datos.

se realiza la resta indicada

despejar (RESPUESTA)

Solución: c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9.

Ecuación que relaciona las variables

Sustituir los datos z=9, k=2/3, w=3.

Simplificar y despejar x.


10


Resultado x = 33/2.

Ejemplo. Cinco teléfonos celulares cuestan $4000 ¿Cuánto costarán 8 celulares iguales a los

anteriores?

Solución: Para este tipo de problemas debemos comprender que el costo es directamente

proporcional al número de celulares comprados; a ambas cantidades debemos identificarlas con

una variable; podemos usar “c” para el costo y “t” para los teléfonos celulares comprados.

Expresado en forma de ecuación queda: c = kt

El texto indica que t = 5 celulares costaron c = $4000; por lo tanto al sustituir los datos tenemos:

c = kt

$4000 = k(5)

k = 4000/5 = 800. Nótese que es el costo de cada celular. Ahora

¿Cuál será la respuesta? (El alumno debe contestar este ejemplo).

PROPORCIÓN INVERSA 1.) Completa el cuadro.

Nº deTrabajadores Nº de días

1 120

2 60

3 40

4 30

5

6

8

10

Dos magnitudes son inversamente

proporcionales cuando al aumentar el

valor de una variable la otra disminuye y

viceversa.

En las magnitudes inversamente

proporcionales el producto de las

variables permanece constante.


11


Responde las siguientes preguntas observando el cuadro anterior:

a.) Cuando el número de trabajadores se duplica, ¿qué ocurre con el número de días?

b.) Cuando el número de trabajadores se triplica, ¿qué ocurre con el número de días?

c.) Cuando el número de trabajadores se reduce a la mitas, ¿qué ocurre con el

número de días?

d.) Para cada par de valores de trabajador versus día encuentra el producto de ellos

(anótalos al lado de la tabla) ¿es un valor constante ese producto?

e.) Las variables trabajador versus día son directamente o inversamente

proporcionales? ¿Por qué?

Variación proporcional inversa. Se presenta cuando al aumentar una cantidad o variable, hay

otra variable que disminuye su valor.

Si al aumentar el valor de “x” el valor de “y” disminuye de forma proporcional,

matemáticamente la expresión se indica:

Nuevamente para expresarlo como una igualdad se requiere incluir una constante de

proporcionalidad.

O también se puede expresar:

Algunos autores prefieren multiplicar ambas variables, quedando:

Cualquiera de las tres expresiones indicadas anteriormente puede ser usada en la solución de

problemas de proporcionalidad inversa.

Ejemplo. Una variable “x” disminuye al aumentar la variable “y” de forma proporcional,

cuando el valor de x = 20 el valor de y = 60.

Determine lo siguiente:


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a) Expresión que relaciona ambas variables.

b) Valor de la constante de proporcionalidad

c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10

Solución:

a) Expresión que relaciona ambas variables

Dado que la relación es inversamente proporcional:

RESPUESTA INCISO A

b) Valor de la constante de proporcionalidad

Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y

20*60 =k Se sustituyen los datos x = 20, y = 60.

1200 =k Se multiplica

k = RESPUESTA INCISO B.

c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10

Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y

y*10 = 1200 Se sustituyen los datos y =?, x = 10, k = 1200.

Como 10 multiplica a la “y” pasa dividiendo

y = 120 RESPUESTA INCISO C.

Ejemplo. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para realizar el mismo trabajo?

Solución: Debemos reconocer que la cantidad de hombres es inversamente proporcional al

tiempo que tardan en realizar un trabajo.


13


Entre más hombres haya trabajando, menor será el tiempo en el cual se tardan en terminarlo.

Número de hombres = n; tiempo tardado en días = d.

ACTIVIDAD

Realice los siguientes ejercicios de proporcionalidad directa e inversa.

1. Si y es directamente proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se sabe

que cuando x = 16, el valor de y = 96.

2. Si “u” es directamente proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x = 15; si se

sabe que cuando x = 10, el valor de u = 120.

3. Si y es INVERSAMENTE proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se

sabe que cuando x = 16, el valor de y = 96.

4. Si “u” es INVERSAMENTE proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x =

15; si se sabe que cuando x = 10, el valor de u = 120.

5. Dos llaves de agua idénticas llenan un tanque de agua en 6 horas ¿Cuánto tiempo se

tardarán en llenar el mismo tanque 3 llaves?


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6. Por una varilla de cobre de 3 metros de longitud una persona pago $ 2000 cuantos pagará

por 9 metros de longitud.

7. Una persona pinta ¾ de su casa en 6 horas, ¿Cuánto tiempo requiere para pintar toda su

casa?

8. Mil acciones de una empresa cuestan $ 420,000; cuanto tendrá que invertir una persona

para comprar 1200 acciones.

9. Una fotografía muestra a un niño parado al lado de un árbol, si en la foto el niño mide

1.5cm y el árbol 8.12cm; cual será la altura real del árbol si el niño mide en realidad

1.10m.

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