razonar

Actividades matemáticas para el desarrollo de

procesos lógicos:

Actividades matemáticaspara el desarrollo de procesos lógicos: razonar

© Universidad Pedagógica NacionalISBN: 978-958-8650-42-5Primera edición, 2013

Autores:Carlos Julio Luque AriasJuan Carlos Ávila MahechaMaría Nubia Soler Álvarez

Prohibida la reproducción total o parcialsin permiso escrito

Universidad Pedagógica Nacional

Juan Carlos Orozco CruzRector

Edgar Alberto Mendoza ParadaVicerrector Académico

Víctor Manuel Rodríguez SarmientoVicerrector de Gestión Universitaria

Nohora Patricia Moreno GarcíaDirectora Centro de Investigaciones, CIUP

Preparación EditorialUniversidad Pedagógica NacionalFondo Editorial

Víctor Eligio Espinosa GalánCoordinador Fondo Editorial

Alba Lucía Bernal CerqueraEditora

Fernando Carretero Padilla Corrección de estilo

Juan Manuel Martínez Restrepowww.juanmare.comFotografía de carátula

Haydee JiménezDiagramación en LATEX

Mauricio Esteban Suárez BarreraDiseño de carátula y diagramación

Impresión JavegrafBogotá, Colombia, 2013

Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

razonar

Actividades matemáticas para el desarrollo de

procesos lógicos:

Catalogación en la fuente

Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.

Luque Arias, Carlos Julio Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos : razonar / Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez. - -- 1ª. ed. - - Bogotá : Universidad Pedagógica Nacional, CIUP, 2013 410 p. : figuras

Referencias bibliográficas: p.395 – 401 ISBN : 978-958-8650-42-5

Lógica – Aprendizaje. 2. Razonamiento (Matemáticas). 3. Argumentación (Matemáticas). 4. Matemáticas – Enseñanza. I. Ávila Mahecha, Juan Carlos. II. Soler Álvarez, María Nubia. III. Tít.

510.1 cd. 21 ed.

Los Autores

Carlos Julio Luque Arias

Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.

Juan Carlos Ávila Mahecha

Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación tanto como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España.

María Nubia Soler Álvarez

Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Uni-versidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.

A mi dama y alfilen un mundo con dos reinas,

Ella y la μαθημα como forma de ser.Carlos Julio Luque Arias

A mis padres Juan y Stella,y a ti, ek het jou lief.

Juan Carlos Avila Mahecha

Tabla de contenido

Introducción 13

Capítulo ILa noción de verdad 17

1.1. Los sofistas: no hay verdades absolutas 18

1.2. Los filósofos: la verdad absoluta existe 19

1.3. La ciencia: la verdad es científica 20

1.4. La matemática: la verdad no nos importa 211.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos lógicos 241.4.2. Los problemas del lenguaje común 30

Capítulo 2Argumentación y razonamiento 35

2.1. Argumentos válidos 362.1.1. Razonamientos válidos y proposiciones verdaderas 432.1.2. Deducciones 462.1.3. La posición de Diodoro 472.1.4. La posición de Filón 652.1.5. Principios lógicos 70

2.2. Falacias 772.2.1. Sobre la verdad de las premisas 782.2.2. Sobre la relación entre antecedente y consecuente 82

Capítulo 3. Razonamientos no demostrativos 89

3.1. El razonamiento inductivo 913.1.1. El método de inducción clásico: Sócrates y Aristóteles 923.1.2. Inducción completa 933.1.3. Inducción incompleta 953.1.4. Falacias del razonamiento inductivo 115

3.2. El razonamiento abductivo 125

3.3. Argumentación por analogía 127

Capítulo 4. Matemáticas de los objetos lógicos 147

4.1. ¿Qué significa un punto de vista matemático? 148

4.2. El conjunto base: los valores de verdad 150

4.3. Los conectivos lógicos binarios 1534.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos lógicos 155

4.4. Relaciones entre los conectivos lógicos 1884.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales 1884.4.2. Propiedades de absorción 1954.4.3. Propiedad distributiva 2004.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retículos 207

4.5. Conectivos como matrices 2164.5.1. Como acción de grupoide 223

4.6. El espacio de las funciones XX 224

Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I 227

5.1. Validez de las reglas de inferencia 2275.1.1. Tautologías y tablas de verdad 2285.1.2. Otras leyes de inferencia 246

5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos 250

5.3. Tautologías y reemplazamiento 253

Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicos II:

axiomáticas para la lógica 257

6.1. Sistemas axiomáticos 261

6.2. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional 2636.2.1. Axiomática T 2636.2.2. Axiomática C 2686.2.3. Axiomática B 2726.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional) 2816.2.5. Axiomática K 2826.2.6. Axiomática L 286

6.3. Otras axiomatizaciones para la lógica proposicional 2936.3.1. El sistema G (deducción natural) 293

Capítulo 7. Lógica de predicados 303

7.1. De las proposiciones a los predicados 304

7.2. De los predicados a las proposiciones: cuantificadores 3067.2.1. Alcance de un cuantificador 3097.2.2. Combinación de cuantificadores 3107.2.3. Cuantificadores y conectivos lógicos 312

Capítulo 8. Matemática de la lógica de predicados 323

8.1. Silogismos aristotélicos 323

8.2. Álgebras de Boole 3258.2.1. Lógica en álgebras de Boole 337

8.2.2. Relaciones de congruencia en álgebras de Boole 338

8.3. Álgebras de Boole y los silogismos aristotélicos 339

8.4. Anillos de Boole 344

Capítulo 9. El razonamiento matemático 347

9.1. Teorías matemáticas 3499.1.1. Cómo nace una teoría 3499.1.2. Demostración en teorías matemáticas 3499.1.3. Prueba condicional 3509.1.4. Estrategias de demostración 351

9.2. Dos teorías básicas para las teorías matemáticas 3529.2.1. La lógica de predicados 3529.2.2. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem 354

9.3. Teorías de números 3629.3.1. Teoría de los números naturales: Peano 3629.3.2. Teorías de los números reales 364

9.4. Teorías algebraicas 3689.4.1. Teoría de grupos 368

9.5. Teorías geométricas 3709.5.1. Geometría de Hilbert 3719.5.2. Axiomática de Weyl 373

9.6. Topología 378

9.7. El método de demostración por inducción matemática 3819.7.1. El método 381

9.8. Argumentación o demostración en clase de matemáticas 390

Bibliografía 395

Índice alfabético 403

Introduccion

E ste libro es producto de la investigacion: Actividades matematicas parael desarrollo de procesos logicos: los procesos matematicos de ordenar y

razonar, desarrollada en la Universidad Pedagogica Nacional entre los anos2007 y 2008, con el proposito de determinar actividades matematicas ele-mentales que favorecieran el desarrollo de procesos matematicos de razonary ordenar. Durante los anos 2010 y 2011 se le realizaron algunas modifica-ciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matematicos diferentesal deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades quepropiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profe-sores de matematicas que han cursado los espacios academicos de aritmetica,sistemas numericos y construccion de estructuras algebraicas, del proyectocurricular de Licenciatura en Matematicas de la Universidad Pedagogica Na-cional y ofreciendo ambientes academicos de trabajo matematico que a lavez les permitan abstraer un modelo didactico para la ensenanza, desde supropia experiencia.

Asumimos como hipotesis fundamental, como en las investigaciones prece-dentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible laactividad de creacion matematica a nivel elemental1 en los estudiantes de laLicenciatura, entendida como la que desarrollan los matematicos en su labordiaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas.

1Compartimos la definicion experimental de I. Yaglom (1981), de matematicas elemen-tales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de ensenanzasecundaria (Yaglom, 1981).

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

Introducción

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Introduccion

E ste libro es producto de la investigacion: Actividades matematicas parael desarrollo de procesos logicos: los procesos matematicos de ordenar y

razonar, desarrollada en la Universidad Pedagogica Nacional entre los anos2007 y 2008, con el proposito de determinar actividades matematicas ele-mentales que favorecieran el desarrollo de procesos matematicos de razonary ordenar. Durante los anos 2010 y 2011 se le realizaron algunas modifica-ciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matematicos diferentesal deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades quepropiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profe-sores de matematicas que han cursado los espacios academicos de aritmetica,sistemas numericos y construccion de estructuras algebraicas, del proyectocurricular de Licenciatura en Matematicas de la Universidad Pedagogica Na-cional y ofreciendo ambientes academicos de trabajo matematico que a lavez les permitan abstraer un modelo didactico para la ensenanza, desde supropia experiencia.

Asumimos como hipotesis fundamental, como en las investigaciones prece-dentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible laactividad de creacion matematica a nivel elemental1 en los estudiantes de laLicenciatura, entendida como la que desarrollan los matematicos en su labordiaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas.

1Compartimos la definicion experimental de I. Yaglom (1981), de matematicas elemen-tales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de ensenanzasecundaria (Yaglom, 1981).

Introducción

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Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos

La actividad que desarrollamos en el aula de clase esta fundamentadaen preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulacion de respuestas enuna construccion colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan,argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; engeneral, en cada actividad se simula un ambiente cientıfico. Sin embargo, lapresentacion que hacemos de cada actividad, en este libro, esta organizada deuna forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguidaen clase, aunque el espıritu y los resultados son productos de esta interaccion.

Este no es un libro de logica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje dela logica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusascon la esperanza de que algun lector profundice; se muestran alternativas y sesugieren caminos. Hacemos enfasis en la actividad matematica relacionadacon el proceso matematico de razonar; inductiva, abductiva y deductiva-mente, que es un proceso vinculado con otros mas simples como simbolizar,visualizar, comparar, relacionar, secuenciar.

Las actividades se disenaron, unas con el proposito de mostrar ambientesacademicos de trabajo matematico en los cuales el estudiante este en condi-ciones de crear conocimiento matematico nuevo para sı mismo, en particularlas descritas en los cinco primeros capıtulos; otras con los objetivos de estu-diar y comparar propuestas matematicas establecidas como las presentadasen los capıtulos restantes.

En el primer capıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciandocon la verdad relativa de los sofistas presocraticos, ademas del nacimientoy desarrollo de la retorica como herramienta de persuasion, para convencera otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de laverdad de los filosofos y el metodo de induccion de Socrates como recursopara conseguir la verdad. Pasamos por la conviccion de que la ciencia sı tienela verdad, hasta llegar a la concepcion matematica de que la verdad de susproposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposicionde una proposicion como recurso para determinar su verdad en terminos dela verdad de sus proposiciones atomicas componentes, entendida esta ultimacomo un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad.

El capıtulo dos lo dedicamos a la argumentacion entendida como unaforma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concep-ciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudiode los razonamientos deductivos validos y el proceso de inferencia deducti-va, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicacion: la formal deDiodoro y la material de Filon; asumiendo la primera como un intento por

vi

Introduccion

lograr una construccion intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida porel profesor a la manera de la deduccion natural de Gentzen. En la propues-ta de Filon aparecen las llamadas paradojas de la implicacion material, queaunque son logicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas,pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero quees la posicion asumida en casi todas las teorıas matematicas.

Discutidas algunas formas basicas de razonamiento deductivo valido, abor-damos enseguida las formas mas comunes de errores de razonamiento, o fala-cias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las quepervierten la relacion entre las premisas y la conclusion.

En el tercer capıtulo nos centramos en las formas de razonamientos nodemostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesaria-mente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permitenobtener informaciones nuevas, que no estan contenidas en las premisas; estasson las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razona-mientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de lasmatematicas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observa-ciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusionesfalsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de fala-cias frecuentes en estos tipos de razonamientos.

El capıtulo cuatro esta dedicado a la actividad matematica, focaliza-da en encontrar estructuras matematicas de los objetos logicos encontra-dos en los capıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valoresde verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiandosus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita1.0”(adjunto a este libro), disenado por el grupo de Algebra de la Universi-dad Pedagogica Nacional y programado por Jose Leonardo Angel (integrantedel grupo), para facilitar calculos tediosos, y procurando en cada caso encon-trar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentospara demostrar las demas, en una aproximacion a la actividad matematicade axiomatizar.

Seguidamente, en un paso mas de abstraccion, aplicamos el mismo procesoa las operaciones tratando de expresar unas en terminos de las otras, encon-trando relaciones entre ellas que nos serviran para explicar mas adelante lasverdades logicas conocidas como tautologıas y estructuras algebraicas comolos retıculos. Finalmente, cambiamos de optica y miramos cada tabla de losconectores logicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre lalogica y el algebra lineal.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

Introducción

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Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos

La actividad que desarrollamos en el aula de clase esta fundamentadaen preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulacion de respuestas enuna construccion colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan,argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; engeneral, en cada actividad se simula un ambiente cientıfico. Sin embargo, lapresentacion que hacemos de cada actividad, en este libro, esta organizada deuna forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguidaen clase, aunque el espıritu y los resultados son productos de esta interaccion.

Este no es un libro de logica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje dela logica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusascon la esperanza de que algun lector profundice; se muestran alternativas y sesugieren caminos. Hacemos enfasis en la actividad matematica relacionadacon el proceso matematico de razonar; inductiva, abductiva y deductiva-mente, que es un proceso vinculado con otros mas simples como simbolizar,visualizar, comparar, relacionar, secuenciar.

Las actividades se disenaron, unas con el proposito de mostrar ambientesacademicos de trabajo matematico en los cuales el estudiante este en condi-ciones de crear conocimiento matematico nuevo para sı mismo, en particularlas descritas en los cinco primeros capıtulos; otras con los objetivos de estu-diar y comparar propuestas matematicas establecidas como las presentadasen los capıtulos restantes.

En el primer capıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciandocon la verdad relativa de los sofistas presocraticos, ademas del nacimientoy desarrollo de la retorica como herramienta de persuasion, para convencera otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de laverdad de los filosofos y el metodo de induccion de Socrates como recursopara conseguir la verdad. Pasamos por la conviccion de que la ciencia sı tienela verdad, hasta llegar a la concepcion matematica de que la verdad de susproposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposicionde una proposicion como recurso para determinar su verdad en terminos dela verdad de sus proposiciones atomicas componentes, entendida esta ultimacomo un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad.

El capıtulo dos lo dedicamos a la argumentacion entendida como unaforma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concep-ciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudiode los razonamientos deductivos validos y el proceso de inferencia deducti-va, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicacion: la formal deDiodoro y la material de Filon; asumiendo la primera como un intento por

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Introduccion

lograr una construccion intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida porel profesor a la manera de la deduccion natural de Gentzen. En la propues-ta de Filon aparecen las llamadas paradojas de la implicacion material, queaunque son logicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas,pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero quees la posicion asumida en casi todas las teorıas matematicas.

Discutidas algunas formas basicas de razonamiento deductivo valido, abor-damos enseguida las formas mas comunes de errores de razonamiento, o fala-cias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las quepervierten la relacion entre las premisas y la conclusion.

En el tercer capıtulo nos centramos en las formas de razonamientos nodemostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesaria-mente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permitenobtener informaciones nuevas, que no estan contenidas en las premisas; estasson las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razona-mientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de lasmatematicas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observa-ciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusionesfalsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de fala-cias frecuentes en estos tipos de razonamientos.

El capıtulo cuatro esta dedicado a la actividad matematica, focaliza-da en encontrar estructuras matematicas de los objetos logicos encontra-dos en los capıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valoresde verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiandosus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita1.0”(adjunto a este libro), disenado por el grupo de Algebra de la Universi-dad Pedagogica Nacional y programado por Jose Leonardo Angel (integrantedel grupo), para facilitar calculos tediosos, y procurando en cada caso encon-trar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentospara demostrar las demas, en una aproximacion a la actividad matematicade axiomatizar.

Seguidamente, en un paso mas de abstraccion, aplicamos el mismo procesoa las operaciones tratando de expresar unas en terminos de las otras, encon-trando relaciones entre ellas que nos serviran para explicar mas adelante lasverdades logicas conocidas como tautologıas y estructuras algebraicas comolos retıculos. Finalmente, cambiamos de optica y miramos cada tabla de losconectores logicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre lalogica y el algebra lineal.

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Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos

El capıtulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usan-do tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en elcapıtulo 2, ademas se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos ra-zonamientos. Finaliza con la introduccion de la regla de sustitucion como unmecanismo para simplificar demostraciones que nos servira en los capıtulossiguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferenciadeductiva.

En el capıtulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la logica pro-posicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de queen matematicas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por losmultiples acercamientos a los mismos objetos y teorıas matematicas, estopermite las comparaciones, mejora la comprension y sugiere analogıas queconducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentacion de los elementosbasicos de la deduccion natural de Gentzen.

El capıtulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos basicos del lengua-je de la logica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento delos cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivoslogicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicacion en razonamientosvalidos.

En el capıtulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamientocon predicados, mas exactamente usando el algebra a la manera de Boole.Estudiamos las algebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luegose reducen en numero y permiten explicar los silogismos aristotelicos conecuaciones.

El ultimo capıtulo esta dedicado a algunas consideraciones sobre el ra-zonamiento matematico, las nociones de demostracion, prueba condicional,pruebas indirectas en diferentes ramas de la matematica, desde la teorıade conjuntos hasta la topologıa, pasando por formas de argumentacion enalgebra, en teorıa de numeros, en geometrıa, para concluir que los metodosde demostracion en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que varıa,generalmente en abstraccion, son los objetos y sus relaciones. Finaliza conuna muestra del metodo de induccion matematica que tambien esta presenteen casi todas las ramas de la matematica.

viii

Impreso en el mes de agosto de 2013 en los talleres de Javegraf

Bogotá, 2013. Colombia.