RazonamientoMatemático Primero Saco

Primer Ao RAZ. MATEMTICO

439

1

Optimizar el razonamiento y sentido de ubicacin del educando.

Estimular la discusin lgica de determinados enunciados.

Identificar ciertos tipos de problemas bsicos.

Aprender matemticas, fsica y qumica es muy difcil, as se expresa la mayora de estudiantes de todos los niveles, sinembargo pocas veces se busca una explicacin del porqu no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teora es lasiguiente:

Los alumnos no aprenden ciencias exactas, para uno saber relacionar los conocimientos que se proporc ionan en la escuela,(leyes teoremas, frmulas) con los problemas que se les presentan en la vida real. Otro problema grave es que el aprendizajeno es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda del razonamiento lgico, el seacapaz de encontrar estas relaciones entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buenaestructura cognitiva. Consideramos que el alumno domina el razonamiento lgico puede relacionar estos conocimientos, conlos de otras reas para de esta manera crear conocimientos.

Los problemas de este tipo, son fciles de reconocer. Su caracterstica ms importante es la de que en ellos siempre sepresentan una serie de datos desarrollados, que necesariamente contiene toda la importancia que requerimos para poderrelacionarlos entre s (ya sea armarlos de acuerdo a ciertas premisas o encontrar correspondencia entre los mismos).

La recomendacin ms importante para resolverlos, es tratar de enfrentar el problema de la manera ms esquemticamenteposible, es decir, tratando de representar grficamente lo que el problema y no pretender llevar tod as las relaciones en lacabeza.

Tres sujetos A, B y C eran lgicos perfectos. Cada uno poda deducir instantneamente todas las conclusionesde cualquier conjunto de premisas. Cada uno era consciente, adems, de que cada uno de los otros era unlgico perfecto. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos, dos amarillos y tres verdes. A continuacin, seles taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente; los cuatro sellos restantes se guardaron enun cajn. Cuando se les destaparon los ojos se le pregunt a A:

Sabe un color que con seguridad usted no tenga?

A, respondi:

No.

A la misma pregunta respondi B:

No.

Primer Bimestre Primer Ao

440

Es posible, a partir de esta informacin, deducir el color del sello de A, o del de B, o del C?

El nico cuyo color puede determinarse es C. Si el sello de C fuera rojo y B habra sido que su sello no era rojoal pensar: Si mi sello fuera tambin rojo, A, al ver dos sellos rojos, sabra que su sello no es ro jo. Pero A nosabe que su sello no es rojo. Por consiguiente, mi sello no puede ser rojo.

Esto demuestra que si el sello de C fuera rojo, B habra sabido que su sello no era rojo. Pero B no saba que susello no era rojo; as que el sello de C no puede ser rojo.

El mismo razonamiento, sustituyendo la palabra rojo por amarillo demuestra que el sello de C tampoco puedeser amarillo. Por tanto, el sello de C debe ser verde.

El presente captulo ha sido diseado con la finalidad de alinear y desarrollar tu creatividad; todo ello depender del esfuerzoy la dedicacin que pongan en cada uno de los captulos; nunca te quedes con alguna duda; recuerda que la duda no debeestar en ti; confa en tus profesores; que de ello depender tu aprendizaje.

Para desarrollar los ejercicios que se presentarn a continuacin slo depende de tu ingenio, ponte en cada uno de los casosy logrars entender mejor la informacin que se te da.

ORDENAR DE MANERA CRECIENTE O DECRECIENTEEste caso, una buena forma de guiarse para no confundir la informacin es trazar una recta, en donde se deben ir ubicandoa manera de puntos los nombres y los objetos que queramos ordenar de menor a mayor o viceversa.

Por ejemplo:

En un examen A obtuvo menos puntos que B, D menos puntos que A y C ms puntos que E. Si E obtuvo ms puntos queB, quin obtuvo el puntaje ms alto?

Resolucin:

En primer lugar trazaremos una recta para ir ubicando los datos.

(+)()


441

La primera premisa es que A obtuvo menos puntos que B, por lo cual, en nuestra recta, A debe ubicarse a la izquierda deB, es decir el lado del ().

(+)()

BA

Luego tenemos que D obtuvo menos punto que A por lo cual D debe ir a la izquierda de A.

(+)()

BAD

Despus tenemos que C obtuvo ms puntos que E, por lo cual C debe ir a la derecha de E, pero todava noconocemos la ubicacin de ambos con respecto al resto del grupo.

(+)()

BA CD E

Finalmente el problema dice que E, obtuvo ms puntos que B, por lo cual E debe ubicarse a la derecha de B y porconsiguiente llevarse a C an ms a la derecha.

(+)()

EAD B C

Por lo tanto, la respuesta es C.

En este tipo de problemas, se debe tener presente, que a veces, los datos no son suficientes para poder ubicar totalmenteel orden de los mismos. En esos casos se debe recordar que para que se pueda afirmar una respuesta es verdadera, estadebe ser necesariamente verdadera, de lo contrario la afirmacin no es correcta.

Para resolver los problemas de este tipo, no hay una norma general, si no ms bien depende de lo que est enunciado en elproblema, es decir, que se debe representar grficamente lo que est tratando de ubicar.

Por ejemplo:

Se tiene une casa de cuatro pisos, en cada piso vive un familia. La familia Castilla vive en un piso ms arriba que la familiaMuoz. La familia Fernndez habita ms arriba que la familia Daz y la familia Castilla ms abajo que la famila Daz. Enqu piso vive la familia Castilla?

Solucin:

En primer lugar, fijaremos la casa de cuatro pisos.

4321


442

La primera premisa dice que la familia Castilla vive un piso ms arriba que la familia Muoz (exactamente un piso) por locual, tenemos tres ubicaciones posibles:

4321

CM

CM

CM

Luego, el problema dice que la familia Fernndez vive ms arriba que la familia Daz (ms arriba no es lo mismo que unpiso ms arriba) por lo cual podremos completar las tres distribuciones posibles:

4321

FDCM

FCMD

CMFD

Por ltimo el problema dice que la familia Castilla vive ms abajo que la familia Daz, por lo cual la segunda y terceradistribucin quedan descartadas, siendo el orden correcto:

4321

FDCM

Por lo tanto, la respuesta ser en el segundo piso.

NOTA: Es importante acostumbrarse a trabajar analizando todas las distribuciones posibles, ya que puede ocurrir que alfinal exista ms de un orden que cumpla con los datos del problema.


443

1. - Teresa es mejor que Susana- Silvia es menor que Julia, quien es menor que

Teresa.- Susana es menor que Silvia.Quin es el mayor?

A) Teresa. B) Julia. C) Silvia.D) Susana. E) F.D.

2. Se sabe que:- A es mayor que B .- C es menor que D.- E es menor que C.- B es mayor que D.Quin es el menor?

A) A B) B C) CD) D E) E

3. En un examen Ana obtuvo menos puntos queBertha, David menos puntos que Ana y Carlos mspuntos que Elena. Si Elena obtuvo ms puntos queBertha, quin obtuvo el puntaje ms alto?

A) Ana. B) Elena. C) Bertha.D) David. E) Carlos.

4. Hernn es el nio ms alto de su clase. En la mismaclase Miguel es ms alto que Rubn y ms bajo quePeter, luego:I. Miguel, Rubn y Peter; son ms bajos que Hernn.II. Hernn es ms alto que Peter y ms bajo que

Rubn.III. Peter es el ms bajo de todos.Cules son verdaderos?

A) I y II B) Solo IC) II y III D) Todas

5. Si se sabe que Juan es mayor que Marcos y que Pablo,pero ste ltimo es mayor que Jos y que Mario. Culde las siguientes relaciones no es verdadera?

A) Mario es menor que Pablo.B) Jos es menor que Juan.C) Juan es mayor que Mario.D) Marcos es menor que Juan.E) Pablo es menor que Marcos.

6. Tres amigos: lex, Beto y Valentn, van al cine sesientan en una fila de 3 asientos contiguos vacos. Sise sabe que:- lex se sienta adyacente a Beto y Valentn.- Valentn se sienta a la derecha de Beto.Cul es el orden en que se sientan dichos amigos,empezando de izquierda a derecha?

A) Beto - lex - Valentn.B) Beto - Valentn - lex.C) Valentn - lex - Beto.D) Valentn - Beto - lex.E) lex - Valentn - Beto.

7. En una carrera compiten 5 amigos. Antonio lleg antesque Beto, quien lleg en cuarto lugar. Si Csar lleginmediatamente despus que Daniel, Csar llegdespus que Antonio y Daniel lleg antes queEduardo. Quin lleg en segundo lugar?

A) Beto. B) Antonio. C) Csar.D) David. E) Eduardo.

8. Ana, Bertha, Carlos y Diana, estn sentados en unafila de cuatro sillas numeradas del 1 al 4. Jos losmira y dice:Bertha est al lado de Carlos, Ana est entre Berthay Carlos. Pero sucede que las dos afirmaciones quehizo Jos son falsas.En realidad Bertha est en la silla N. 3. Quin esten la silla N. 2?

A) Bertha. B) Carlos. C) Jos.D) Diana. E) F. D.

9. En una fila de 6 asientos contiguos vacos se tieneque: Juan, Carlos y Diana son hermanos al igual queAna y Esteban se sabe que:- Los hermanos nunca se sientan juntos.- Diana se sienta entre Carlos y Juan y a la derecha

de este ltimo.Cul de las siguientes alternativas es la correcta?

A) Esteban se sienta a la izquierda de Diana.B) Ana est a la izquierda de Diana.C) El sitio vaco est junto a Juan.D) Juan est entre Ana y el sitio vaco.E) N.A.

10. En una carrera participan 6 personas:A, B, C, D, E y F. Si se sabe que: A lleg antes queD, pero 2 puestos despus que F; B lleginmediatamente despus que A pero antes que E,se puede afirmar que:I. C lleg en segundo lugar.II. D lleg antes que E.III. E lleg en sexto lugar.

A) Solo I B) I y II C) I y IIID) Todas E) Solo III


444

1. X tiene ms habitantes que W, W tiene menoshabitantes que Y, pero ms que Z. Cul es lacorrecta?

A) X tiene ms habitantes que Y.B) Y tiene menos habitantes que Z.C) X tiene menos habitantes que Y.D) X tiene ms habitantes que ZE) X tiene igual nmero de habitantes que Y.

Resolucin:Del 1.er dato: X > W ..................(I)

2. dato: Y > W > Z............(II)

Segn la alternativa:- La A no puede ser correcta porque el problema

no menciona nada de X e Y juntos.- La B segn II no es cierto- La C no necesariamente X ser menor que

Y el problema no menciona nada de ello.- La D se deduce que si X > W y W > Z se

deduce que X > Z, por lo tanto, es correcto.- La E no necesariamente X tiene que ser igual

a Y; el problema no hace referencia de ello.La nica respuesta es D.

2. Seis amigas (A, B, C, D, E y F) estn sentadas en unafila de seis asientos libres y juntos. Si se sabe que:- B est junto y a la izquierda de C.- D esta a la derecha de B y a la izquierda de

E.- E est junto y a la izquierda de F.- A est a la izquierda de C.Quin ocupa el cuarto lugar si lo contamos deizquierda a derecha?

A) B B) A C) CD) F E) D

Resolucin:Primero tengamos en cuenta :

Derecha Izquierda

Del primer dato:

C B

juntos

Del tercer dato:

Del primer y tercer dato:

C B A

Del segundo dato teniendo en cuenta, el primer ytercer dato.

F E D C B

Entonces.

Rpta: C esta en el cuarto lugar.


445

1. Si A es mayor que B y C es menor que B,entonces:

A) B es el mayor.B) A es el menor.C) C es el mayor.D) C es menor que A.E) N.A.

2. Si:I. El nogal es el ms bajo que el lamo.II. El cedro es ms alto que el nogal.III. El pino es ms bajo que el nogal.Luego:

A) El pino es el ms bajo.B) El lamo es el ms bajo.C) El lamo no es ms alto que el cedro.D) El cedro es el ms bajo.E) El cedro es ms alto que el lamo.

3. Cuatro amigas viven en una misma calle. Si sabemosque:- Dennisse vive a la izquierda de rsula.- La casa de rsula queda junto y a la derecha de la

de Wendy.- Wendy vive a la izquierda de Mara.Quin vive a la izquierda de las dems?

A) Wendy. B) rsula.C) Mara. D) Dennisse.E) No se puede.

4. Se tiene un edificio de 6 pisos, seis personas A, B, C,D, E y F viven cada uno en un piso. Se sabe que:- E vive adyacente a C y B.- Para ir de E a F hay que bajar dos pisos.- A vive en el segundo piso y F no vive en el primer

piso.Quin vive en el primer piso?

A) B B) C C) DD) E E) F

5. ngel es el nio ms inteligente de su clase, en lamisma clase Richard es ms inteligente que Pablo ymenos inteligente que Zulma. Luego:I. Richard, Pablo y Zulma son menos inteligentes

que ngel.II. ngel es ms inteligente que Zulma y menos

inteligente que Pablo.III. Zulma a comparacin de todos, es la menos

inteligente.Son verdaderas:

A) I y II B) Solo I C) II y IIID) I y II E) Todas

6. Se sabe que un libro de Razonamiento Matemtico esms caro que uno de Lenguaje; uno de Matemtica esms caro que uno de Geografa pero ms barato queuno de Razonamiento Matemtico. Cul es el mscaro?

A) El de Razonamiento Matemtico.B) El de Geografa.C) El de Matemtica.D) El de Lenguaje.E) No se puede determinar.

7. El cerro Negro est al este del cerro Blanco, el ro Azulal este de cerro Negro, el lago Rojo est est al este delcerro Rojo pero al oeste del ro Azul. Quin est msal este?

A) El ro Azul. B) El cerro Blanco.C) El cerro Negro. D) El lago Rojo.E) N.A.

8. En el momento de la entrada al colegio SacoOliveros, el portero anot los siguientes datos:- Apdaya no lleg despus de Advncula.- Snchez lleg antes que Romn y despus de

Pacheco.- Pacheco lleg despus de Ochoa y este despus

de Advncula.Puedes afirmar, quin lleg primero?

A) Apdaya. B) Avncula. C) Snchez.D) Pacheco. E) Ochoa.


446

9. Cuatro hermanos viven en un edificio de cuatro pisos:- rtur vive en el primer piso, Mario vive ms abajo

que Jorge y Willy vive un piso ms arriba queMario.

En qu piso vive Willy?

A) 1.er piso.

B) 2.o piso.

C) 3.er piso.

D) 4.o piso.

E) F.D.

10. Cuatro amigos: Luis, Beto, Jos y Carlos viven en unedificio en diferentes pisos y se sabe que:- Beto vive en el primer piso.- Carlos vive contiguo a Jos y Beto.- Luis vive ms arriba que Jos.Es cierto que:

A) Carlos vive en el 3.er piso.B) Jos vive en el 2.o piso.C) Luis vive en el 3.er piso.D) Beto vive en el 4.o piso.E) Jos vive en el 3.er piso.

Juegos matemticos La magia del ingenio- Esperanza Casas A.

Historia de las matemticas - K. Ribnikov.


447

Alumno(a) : ______________________________________________________________

Curso : ____________________________________________ Aula : __________

Profesor : ______________________________________________________________

1. Se sabe que:- ngel obtuvo menos puntos que Beto.- Dante menos puntos que ngel.- Carlos ms puntos que Enrique.- Enrique ms puntos que Beto.Quines obtuvieron el puntaje menor y mayorrespectivamente?

A) ngel y Enrique. B) Dante y Carlos.C) Carlos y Beto. D) Beto y Carlos.E) Dante y Enrique.

2. Mara es ms vieja que Sara, Ana es ms joven queSara pero ms vieja que Nataly y Nataly es ms jovenque Vanessa. Cul de las cinco es la ms joven?

A) Mara. B) Sara.C) Ana. D) Nataly.E) Vanessa.

3. Lucio en cierta ocasin dijo:Entregu el examen antes que Pablo pero despusque Lorena y que Jaime. Jaime lo entreg antes queLorena y despus que Meche. Quin entreg primeroel examen?

A) Pablo. B) Lorena. C) Jaime.D) Meche. E) Lucio.

4. En cierto examen, Sara obtuvo menos puntos queNataly; Vanessa menos puntaje que Karina; Irene elmismo puntaje que Susana; Sara ms que Silvia;Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene msque Karina. Quin obtuvo menos puntaje?

A) Nataly B) VanessaC) Silvia D) IreneE) Sara

5. Cuatro amigas: Laura, Leyla, Lorena y Luisa viven enun mismo edificio pero en diferentes pisos.Se sabe que:- Leyla vive en el 1.er piso.- Lorena vive adyacente a Luisa y Leyla.- Laura vive ms arriba que Luisa.

A) Lorena vive en el 3.er piso.B) Luisa vive en el 2.o piso.C) Laura vive en el 3.er piso.D) Leyla vive en el 4.o piso.E) Luisa vive en el 3.er piso.


448


449

2

Desarrollar el pensamiento lateral del estudiante.

Potenciar y desarrollar la discusin lgica de enunciados verbales.

Desarrollar las habilidades y capacidades lgicas.

Pensar, entrenar el cerebro, no slo no hace dao (aviso a la numerosa masa de perezosos mentales y de candidatosa llegar a serlo), sino que, por el contrario, es una que puede llenar de gozo, a quienes se entregan a ella.Comprobar que somos capaces de resolver un acertijo, de hallar la trampa escondida en un juego lgico, deconstruir algo que pareca imposible con las medidas que nos suministran, produce un sano placer, que desconocenlos que nunca se deciden a poner en marcha su intelecto, y que se merece experimentar el individuo desde losprimeros aos de su vida.

No hay que olvidar que la capacidad mental es algo que al igual que la fuerza fsica, hay que desarrollar conejercicio.

Alguien dijo que El genio no es ms que una gran paciencia. Hay que tener en cuenta una grandes intuicionesde estos gigantes del pensamiento fueron en general la consecuencia de su continua reflexin. Cuando preguntarona Newton cmo haba llegado a formular las leyes de la gravitacin universal, pensando continuamente sobreello. Algo parecido ocurre con Arqumedes y su famoso principio; se dice que exclam eureka, pero esto en griegosignifica lo encontr, y no es posible encontrar nada sin haber estado buscndolo.


450

Problema reto: El estanqueTenemos un estanque cuadrado. En sus ngulos crecen, cerca del agua,cuatro viejos robles. Hay que ensanchar el estanque, haciendo que susuperficie sea el doble, conservando su forma cuadrada y sin tocar losviejos robles. Puede agrandarse el estanque hasta las dimensionesdeseadas, quedando los robles fuera del agua, en las orillas del nuevoestanque?

Solucin:La superficie del estanque puede perfectamente duplicarse, conservandosu forma cuadrada y sin tocar los robles. En la figura se muestra como hayque hacerlo: hay que cavar de tal modo que los robles queden frente alpunto medio de los lados del nuevo cuadrado. Es fcil convencerse de queel rea del nuevo estanque es dos veces mayor que la del antiguo. Paraesto no hay ms que trazar las diagonales en el estanque viejo y calcularlos tringulos que se forman al hacer esto.

Ordenamiento circular Deber tenerse en cuenta la relacin entre los datos, teniendo en cuenta una disposicin circular.

La izquierda o derecha estn referidas a las personas del problema que estn sentados mirando hacia el centro de la mesa.

Ejemplo:

Seis amigos: A, B, C, D, E y F, se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simtricamente.

Si se sabe que:

- A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.

- D no se sienta junto a B.

- E no se sienta junto a C.

Entre quines se sienta F?

Resolucin:

A se sienta junto y la derecha de B y frente a C.

D no se sienta junto a B y

E no se sienta junto a C.

Colocando F

F se sienta entre C y B.


451

1. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesaredonda con 4 sillas distribuidas simtricamente.Si sabemos que:- Juan se sienta junto y a la derecha de Luis.- Pedro no se sienta junto a Luis.- Jos les coment lo entretenido que est.Podemos afirmar:

A) Jos y Juan se sienta juntos.B) Luis y Jos no se sientan juntos.C) No es cierto que Jos y Juan no se sientan juntos.D) Pedro se sienta junto y a la derecha de Jos.E) Juan se sienta junto y a la izquierda de Pedro .

2. Cuatro amigas: Nora, Martha, Irene y Leticia se sientanalrededor de una mesa circular que tiene 5 sillas. Sisabemos que:- Junto a Martha e Irene hay un asiento vaco.- Leticia no se sienta junto a Irene.Son verdaderas:

I) Martha se sienta junto a Nora.II) Leticia se sienta junto a Nora.III) Nora se sienta junto a Irene.

A) Solo I B) Solo II C) I y IID) II y III E) N.A.

3. En un restaurante, 5 personas se sientan alrededorde una mesa circular de 5 sillas y piden una gaseosapara cada uno; 3 Concordias y 2 Pepsi Cola. Si sesabe que:- Los que piden Pepsi Cola no se sientan juntos.- Betty no se sienta junto a Olga, pero ambas piden

Concordia.- scar que no pide Pepsi Cola y se sienta junto a

Betty pero no junto a Manuel.- Mientras los otros conversan Csar terminaba su

gaseosa.Podemos afirmar:

A) scar se sienta junto a Olga.B) No es cierto que Olga no se sienta junto a Manuel.C) No es cierto que Betty no se sienta junto a Csar.D) No es cierto que Manuel se sienta junto a Betty.E) Ms de una es correcta.

4. Por aniversario de Lima 6 presidentes se encuentranen el Palacio de Gobierno, sentados en una mesaredonda para hablar sobre un proyecto multinacionaly se ubican as: el presidente del Per no est sentadoa lado del presidente ecuatoriano ni de EE.UU. Elpresidente de Colombia no est sentado al lado delpresidente peruano; el presidente de Ecuador no esta lado del presidente de Brasil ni de Colombia.El presidente de Chile est a la izquierda delpresidente ecuatoriano.Quin est junto y a la izquierda del presidenteperuano?

A) El presidente de EE.UU.B) El presidente de Chile.C) El presidente de Brasil.D) El presidente de Colombia.E) El presidente de Ecuador.

5. En una mesa circular hay seis asientos simtricamentecolocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugarmonopolio. Adems se sabe que: Luca no est sentada al lado de Leticia ni de

Juana. Mara no est al lado de Cecilia ni de Juana. Leticia no est al lado de Cecilia ni de Mara. Irene est junto y a la derecha de Leticia.Entonces es cierto:I. Irene est junto y a la derecha de Mara.II. Lucia est frente a Leticia.III. Juana est junto y a izquierda de Cecilia.

A) Solo I B) Solo II C) I y IIID) II y III E) Todas

6. Seis amigos se sientan a comer helados alrededor deuna mesa: Julio est al lado de Carlos y al frente de Ana. David no se sienta nunca al lado de Ana y de

Carlos.Entonces es siempre cierto que:

A) Ana y Carlos se sientan juntos.B) David est a la derecha de Julio.C) David est a la izquierda de Julio.D) Ana y Carlos estn separados por un asiento.E) N.A.


452

7. En un comedor ocho comensales se sientan alrededorde una mesa circular, las 8 personas son estudiantesde diversas especialidades: el de ingeniera est frenteal de Educacin y entre los de Economa y Farmacia,el de Periodismo est a la izquierda del de Educaciny frente al de Economa. Frente al de Farmacia est elde derecho, ste a su vez a la siniestra del deArquitectura.Cul es la profesin del que est entre el de Biologay Educacin?

A) Periodismo. B) Farmacia.C) Derecho. D) Ingeniera.E) Economa.

8. Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Toono est sentado al lado de Nino ni de Pepe, Flix noest sentado al lado de Ral ni de Flix.Daniel est junto a Nino, a su derecha.Quin est sentado a la izquierda de Flix?

A) Nino. B) Pepe.C) Ral. D) Too.E) Daniel.

9. Cuatro amigos: Alvaro, Betto, Carla y Karn se sientanalrededor de una mesa circular con seis asientosdistribuidos simtricamente si se sabe que:- Entre dos personas del mismo sexo hay un asiento

vaco adyacente a ellos.- Karn se sienta junto a Alvaro.Podemos afirmar:

I. Carla se sienta junto a Betto.II. Alvaro se sienta frente a Betto.III. Karn se sienta junto a Alvaro.A) I y II B) II y III C) I y IID) Solo III E) N.A.

10. Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alrededor deuna mesa circular. Si se sabe que:- A se sienta junto a B.- D no se sienta junto a C.Podemos afirmar que:I. D se sienta a A.II. E se sienta junto a C.III. B se sienta junto a D.

A) Solo I B) Solo II C) I y IID) I y III E) Todas

Historia de las matemticas - K. Ribnikov.

Problemas y experimentos recreativos - Ya I. Perelman.


453

1. 4 amigas A, B, C y D se sientan alrededor de unamesa circular distribuidas simtricamente y se sabeque:

- A no est junto a C.

- A la izquierda de C est B.

Quin se encuentra a la derecha de D?

Del dato se concluye que:

A

C

Del segundo dato se concluye que:

A

C

B

A

C

B D Rpta.: A

2. 5 amigas A, B, C, D y E se sientan alrededor de unafogata y se sabe que:

- A est tocando la guitarra y E que est a su izquierdala observa maravillado.

- C no se sienta junto a B pero si a la derecha de A.

Quin est a la izquierda de E?

Del 1.er dato Al final

A

C

E

AC

D

E

B

Del 2. dato

AC

D

E

B

A la izquierda de E se sienta B.

3. 6 amigas A, B, C, D, E y F , se sientan alrededor deuna mesa circular distribuida simtricamente ademsse sabe que:

- D se sienta al frente de F y a la derecha de B.

- A no se sienta junto a C ni a B.

- C no est frente de A.

Entre quines se sienta A?

1.er dato

D

F

B

Del 2.o y 3.er dato:

D

B

AF

C C

D

F

B

A

D

A se sienta entre D y F..


454

1. Jos, ngel, Roberto y Teresa se encuentran sentadosuno al lado del otro. Ni Jos ni ngel estn junto aTeresa. ngel est entre Roberto y Jos.Entonces:I) Jos est ms lejos de Teresa.II) Jos esta al lado de ngel.III) Roberto no est al lado de Teresa.Son verdaderas:

A) Solo I B) Solo II C) Solo IIID) I y II E) II y III

2. 5 amigas se ubican alrededor de una mesa circularsimtricamente espaciados y se sabe que:- E no se sienta junto a A, est conversando muy

ameno con C, quien si est a la derecha de E.- D no se sienta al lado de A.Quin se sienta a la derecha de B?

A) A B) B C) D D) E

3. De la ordenacin anterior se puede afirmar que:

A) A la izquierda de B est C.B) A la derecha de B se encuentra C.C) C est entre A y B.D) E est sentado entre A y D.

4. 5 amigos A, B, C, D y E se ubican alrededor de unafogata distanciados simtricamente y se sabe que:- C est molesto con E por eso no se han sentado

juntos; pero B que esta entre los dos tratar deamistarlos.

- A que est a la izquierda de E le hace recordarsobre su promesa de una amistad perpetua.

A la derecha de C, quin se sienta?

A) A B) B C) D D) F.D.

5. Cuatro nios estn jugando con sus juguetespreferidos alrededor de una mesa cuadrada. Si:- David tiene el avin.- Luis est frente a Mario.- Mario no tiene la pelota.- El rompecabezas est a la izquierda del auto.- Carlos est a la derecha del que tiene la pelota.Luego:

A) David tiene el auto.B) Luis tiene el avin.C) Carlos tiene el avin.D) Mario tiene el rompecabezas.E) David est a la izquierda de Luis.

6. 6 amigos se ubican simtricamente alrededor de unamesa circular y se sabe que:- D est entre B y F.- E est frente a B y a la izquierda de C.- C se sienta frente a D.Quin est sentado frente a A?

A) D B) C C) B D) F

7. Del enunciado anterior, quin est a la derecha deA?A) B B) F C) D D) C

8. Del enunciado anterior, responde verdadero (V) ofalso (F) en las siguientes proposiciones:I. A la derecha y adyacente de E se encuentra

A.II. A la derecha de F se encuentra E.III. A la izquierda de D se ubica B.

A) FVV B) FVFC) VFV D) VFF

9. Seis postulantes estudian alrededor de una mesaredonda. Daro no est sentado al lado de Alberto nide Beto. Emilio no est al lado de Celestino ni deBeto. Alberto no est al lado de Celestino ni de Emilio.Fernando est a la derecha de Alberto. Cul es laubicacin de stos comenzando por Alberto? (Deacuerdo a las agujas del reloj).

A) Alberto, Emilio, Beto, Fernando, Daro, Celestino.B) Alberto, Celestino, Beto, Daro, Emilio, Fernando.C) Alberto, Beto, Celestino, Daro, Emilio y Fernado.D) Alberto, Daro, Fernando, Celestino, Beto y Emilio.E) Alberto, Beto, Fernando, Daro, Celestino, Emilio.

10. Seis amigos juegan a la ronda, Omar no est ubicadoal lado de Jorge ni de Luis, Pipo no est al lado deVctor ni de Luis, Jorge no est al lado de Vctor ni dePipo. Marco est junto a Jorge, a su derecha.Quin est junto a Jorge y a la izquierda de Pipo?

A) Marco. B) Luis. C) Vctor.D) Pipo. E) Omar.


455

Alumno(a) : ______________________________________________________________

Curso : ____________________________________________ Aula : __________

Profesor : ______________________________________________________________

1. Cuatro amigos se ubican alrededor de una mesacircular distanciadas simtricamente, se sabe que:- Mario se encuentra frente de Luis.- Juana se encuentra a la izquierda de Mario.Entre quines est Alvaro?

A) Mario y Luis. B) Luis y Juana.C) Luis y Carmen. D) Mario y Juana.

2. Cinco amigos estn alrededor de una fogata y se sabeque:

- A se encuentra junto y a la izquierda de D.

- C se encuentra entre B y E.

- A la izquierda de B est D.

Quin est a la izquierda de E?

A) A B) C D) B D) D

3. Cinco amigas se han ubicado en una mesa circular,con cinco sillas distanciadas simtricamente; ademsse sabe que:- A que se encuentra a la derecha de C le comenta

a ste sobre una pelcula de estreno.- E no se sienta con D.- D le comenta a B que A a discutido con E, por ese

motivo no se sientan juntos ahora.Quin se sienta a la izquierda de E?

A) A B) B C) C D) D

4. Seis amigos se ubican, en una mesa circular, con 6sillas simtricamente separadas, adems se sabe que:- E se sienta frente a B.- A se sienta frente a F y a la derecha de C.- Junto y a la derecha de E se encuentra D.Quin est a la derecha de D?

A) A B) C C) F D) E

5. Del problema anterior, entre quines se sienta B?

A) F y D B) E y CC) D y E D) F y C


456


457

3

Contextualizar datos ordenadamente.

Distribuir datos considerando el sentido horario.

Relacionar y descartar datos dentro de un conjunto de datos.

Los hermanos, Harim y Hamed, me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de melones. Harim me entreg 30melones que deban ser vendidos al precio de 3 por 1 dinar; Hamed me entreg tambin 30 melones para los que estipulel precio ms caro; 2 melones por 1 dinar. Lgicamente, una vez efectuada la venta Harim tendra que recibir 10 dinares, y suhermano 15. El total de la venta sera pues 25 dinares.

Sin embargo, al llegar a la feria, apareci una duda ante mi espritu.Si empezaba la venta por los melones ms caros, pens, iba a perder la clientela. Si empezaba la venta por los ms

baratos, luego iba a verme en dificultades para vender los otros treinta. La mejor, nica solucin para el caso, era vender lasdos partidas al mismo tiempo. Llegada a esta conclusin, reun los sesenta melones y empec a venderlos en lotes de 5 por2 dinares. El negocio se justificaba mediante un raciocinio muy simple: Si tena que vender 3 por 1 y luego 2 por 1, sera mssencillo vender 5 por 2 dinares.

Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco cada uno, recib 24 dinares.Cmo pagar a los dos hermanos si el primero tena que recibir 10 y el segundo 15 dinares?Haba una diferencia de 1 dinar. No se cmo explicarme esta diferencia, pues, como dije, el negocio fue efectuado con el

mayor cuidado. No es lo mismo vender 3 por 1 dinar y luego 2 por otro dinar que vender 5 por dos di nares?El caso no tendra importancia alguna, intervino Hamed Namir, si no fuera la intervencin absurda del vequil que vigila

en la feria. Ese vequil, odo el caso no supo explicar la diferencia en la cuenta y apost cinco dinares a que esa diferenciaproceda en la falta de un meln que haba sido robado durante la venta.

Esta equivocado el vequil, dijo Beremiz, y tendr que pagar los dinares de la apuesta. La diferenci a a que lleg elvendedor resulta de lo siguiente:

La partida de Harim se compona de 10 lotes de 3 melones cada uno. Cada lote deba ser vendido por 1 dinar. El total dela venta sera 10 dinares.

La partida de de Hamed se compona de 15 lotes de dosmelones cada uno, que, vendidos a 1 dinar cada lote, dabanun total de 15 dinares.

Fjense que el nmero de lotes de una partida no es igualal nmero de lotes de la otra.

Para vender los melones en lotes de cinco slo los 10primeros lotes podran ser vendidos a razn de 5 por dosdinares; una vez vendidos esos 10 lotes, quedan an 10melones que pertenecen exclusivamente a la partida deHamed y que, siendo de ms elevado precio, tendran queser vendidos a razn de 2 por 1 dinar.

La diferencia de 1 dinar result pues de la venta de los 10 ltimos melones. En consecuencia: no hub o robo. De ladesigualdad del precio entre las partes result un perjuicio de 1 dinar, que qued reflejado en el resultado final.

B

A


458

Relacionar datos entre sLa mejor forma de enfrentar los problemas en que se nos pide relacionar diversos datos entre s (como pueden ser

personas con su ocupacin, gustos, deportes, lugar donde viven o donde estudian, etc.) es haciendo un cuadro, en el cualpodamos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Igual que en el caso anterior, se recomienda , buscar paracomenzar, aquella premisa que nos da informacin que podamos colocar directamente.

Por ejemplo:

Tres amigos con nombres diferentes, tiene cada uno un animal diferente. Se sabe que:- El perro y el gato paleaban.- Jorge le dice al dueo del gato que el otro amigo tiene un canario.- Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario.- Julio le dice al dueo del gato que ste quiso comerse al canario.Qu animal tiene Luis?

Para comenzar a resolver el problema, observamos que tendremos que relacionar dos cosas; nombres y mascotas para lo cualpreparamos un cuadro de la siguiente manera:

Jorge

JulioLuis

Perro Gato Canario

La primera premisa slo sirve para saber que hay un gato y un perro.

La segunda premisa permite deducir que Jorge no es el dueo del gato ni del canario, por lo cual marcaremos con una Xlos casilleros correspondientes a Jorge con el gato y Jorge con el canario. Esto nos deja slo una opcin para Jorge, que es lade ser el dueo del perro. Al mismo tiempo y ya que Jorge es el dueo del perro podemos descartar a Julio como dueo delperro y a Luis como dueo del perro. El cuadro quedara como sigue:

Jorge

JulioLuis

Perro Gato Canario

NOTADebemos acostumbrarnos a que al descubrir un dato, podemos descartar toda la fila y toda la columna correspondiente alcasillero descubierto.

La tercera premisa slo sirve para saber que los otros amigos son Julio y Luis.

La cuarta premisa nos permite deducir que Julio no es el dueo del gato, por lo cual debemos marcar con una X el casillerocorrespondiente a Julio con el gato. Por descarte en el cuadro, Julio debe ser el dueo del canario, y al tachar la columnacorrespondiente, slo queda que Luis es el dueo del gato.

El cuadro quedar como sigue:

Jorge

JulioLuis

Perro Gato Canario

Por lo tanto, la respuesta ser: Luis es dueo del gato.


459

1. Aldo, Cirilo y Baltazar tienen por ocupaciones: relojero,panadero y pianista; no necesariamente en ese orden.Se sabe que:Cirilio nunca tuvo buen odo para la msica, lahabilidad que tiene Aldo con las manos es comparablecon la de un cirujano. Luego Baltazar, Aldo y Ciriloson respectivamente:

A) relojero, pianista, panadero.B) pianista, relojero, panadero.C) panadero, pianista, relojero.D) pianista, panadero, relojero.E) relojero, panadero, pianista.

2. Tres nios tiene como mascotas a un sapo, un pez, ya un hamster y les han puesto como nombre Boris,lex y Cuty. Se sabe que lex no croa, y que a Borisle cambian peridicamente el agua. Entonces el pez,el hamster y el sapo se llaman respectivamente:

A) lex, Boris, Cuty. B) Cuty, lex, Boris.C) Boris, Cuty, lex. D) lex, Cuty, Boris.E) Boris, lex, Cuty.

3 . Por mi casa viven un gordo, un flaco y un enano quetienen diferentes temperamentos. Uno para alegre,otro colrico y el otro triste. Se sabe que al gordo nuncase le ve rer; el enano para molesto porque siempre lofastidian por su tamao. Entonces, es cierto que:

A) el gordo para alegre.B) el flaco para triste.C) el enano para triste.D) el flaco para alegre.E) el gordo para colrico.

4. Tatn, Tetn y Titn son 3 ladronzuelos que robaronun reloj, una bi l letera y una chompa (nonecesariamente en ese orden). Si se sabe que:Tetn utiliz el artculo que rob para abrigarse, encambio el artculo que rob Tatn se malogr con ungolpe. Entonces: el reloj, la billetera y la chompafueron robadas respectivamente por:

A) Titn, Tetn, Tatn. B) Tatn, Titn, Tetn.C) Tetn, Tatn, Titn. D) Tatn, Tetn, Titn.E) Titn, Tatn, Tetn.

5. Tres muchachos llamados: Coco, Willy y Carlos, gustanver TV Los sbados por la tarde, uno gusta deprogramas deportivos, otro policiales y el otrosculturales. Se sabe que Willy disfruta cuando veencuentros reidos por TV Carlos le ha dicho a Cocoque alquile una pelcula con mucha accin. Entonceses cierto que:

A) Willy gusta de programas deportivos.B) Coco ve programas culturales.C) Carlos ve pelculas policiales.D) Willy no ve programas culturales.E) todas son ciertas.

6. Hay 3 ciudades cuyos nombres son: Pomacocha,Lauribamba y Tantamarca: cada una tiene un climaparticular. En una hace mucho fro, en otra hace muchocalor y en otra siempre llueve. Se sabe que enLauribamba hay unas playas bellsimas; casi no hayvegetacin en Pomacocha. Entonces, es cierto que:

A) en Pomacocha no hace fro.B) en Lauribamba llueve mucho.C) en Tantamarca no hace calor.D) en Pomacocha hace fro.E) ms de una es correcta.

7. Luis y Carlos tienen diferentes ocupaciones y endistritos diferentes. Se sabe que el vendedor visita asu amigo en Lince. Carlos vive en Brea. Uno deellos es doctor. Luego es cierto que:

A) el doctor vive en Brea.B) Carlos no es vendedor.C) el que vive en Lince es vendedor.D) Luis es doctor.E) ninguno es cierto.

8. Tres personas viven en 3 ciudades distintas y tienenocupaciones diversas.Se sabe que:- El que vive en Piura es poltico.- Jos no vive en Lima.- Luis no vive en Piura.- El que vive en Lima no es religioso.- Luis no es profesional.- Uno de ellos se llama Fernando.- Uno de ellos vive en Huancayo.


460

Entonces es cierto que:

A) el piurano es profesional.B) el religioso es limeo.C) Fernando es limeo y poltico.D) el poltico es de Piura.E) Jos es profesional.

9. La seora Carmela y sus hijas Rosa y Liliana fueron aalmorzar al restaurant HOLLYWOOD. Cada unade ellas pidi un plato: una comi carne de res, otrade pollo y la otra de pescado; adems pidieron unjugo, una de ellas de papaya, otra de pia y otra demanzana. Se sabe que: Liliana pidi CEVICHE,Rosa no pidi el LOMO SALTADO: quien comipollo, tomo el jugo de papaya. A Carmela le diosueo despus de tomar su jugo. Entonces, es ciertoque:

A) Carmela comi del lomo saltado y tom jugo depia.

B) Rosa tom jugo de papaya.C) Liliana comi pescado y tom jugo de manzana.D) Rosa no comi pollo.E) ms de una es cierta.

10. En una oficina trabajan 3 chicas cuyas edades son:18, 21 y 24 aos, despus del trabajo gustan ver TV,viendo cada una un programa diferente. Maritza esmayor que la menor, pero menor que la mayor. A lamayor de todas le gustan los noticieros. Mercedespara cantando todo el da en la oficina. Gladys haengordado ahora ltimo.Una de ellas siempre llega cuando su telenovelafavorita ha comenzado, la que usa cabello largo vemusicales. Entonces se puede afirmar que:

A) la de 18 aos ve telenovelas.B) quien ve noticieros es la mayor.C) a Maritza no le gusta los noticieros.D) Gladys ve telenovelas.E) ms de una es correcta.

1. Mily, Pili, Lenn y Ely terminaron sus estudios de Medicina, Ingeniera, Matemtica y Derecho, se sabe que:- Mily no estudia Medicina.- Pili hubiera estudiado derecho si Lenn hubiera estudiado Ingeniera.- Ely quiere empezar a estudiar Matemtica.- Lenn estudiara Medicina si Pili no lo hiciera.- Mily estudiaba derecho pero se traslad a Matemtica.Qu estudia Pili?

De los 2 primeros enunciados:* Lenn no estudia Medicina.* Pili no estudia Derecho, Lenn no estudia Ingeniera.

De los siguientes datos:* Ely quiere empezar a estudiar Matemtica.* Lenn estudiara Medicina si Pili no lo hiciera.* Mily estudiaba Derecho pero se traslad a Matemtica.


461

Se tiene:* Ely no estudia Matemtica.* Lenn no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina.* Mily estudia Matemtica.

Pili estudia Medicina

ARpta.:

2. Durante una cena se ubican en una misma mesa, cuatro personas cuyas edades son: 12; 24; 36 y 48 aos, de laconversacin que establecen se puede deducir que:I) La edad del menor ms la de Luis igualan a la de Omar.II) El mayor tiene el doble de la edad de Marco.Cunto suman las edades de Jorge y Omar?

Una primera lectura panormica nos puede permitir establecer un cuadro de doble entrada, como el siguiente, veamos:Ahora de (I) se deduce que Luis no es el mayor ni el menor y Omar es por lo menos mayor que dos personas:

12Luis

MarcoJorge

Omar

24 36 48

No

No No

No

Es importante tratar de extraer el mayor nmero de deducciones de cada informacin, sigamos analizando; el segundodato dice:El mayor tiene el doble de la edad de Marco.No sabemos an quin es el mayor, pero podemos deducir:1) Marco tiene 24, que es una informacin directa y nos permite tachar 12; 36 y 48 respecto a Marco y a Luis y Jorgerespecto a 24; veamos:

De este cuadro se puede continuar haciendo ms deducciones:1) Luis slo puede tener 36 aos.2) Slo Jorge puede tener 12 aos.3) Luego Omar slo podr tener 48.

Teniendo Jorge 12 aos y Omar 48; la respuesta es 60.


462

3. Too, Luis, Ral, Coco y Pepe se turnan para trabajar con una computadora, una sola persona la usa cada da y ningunode ellos la utiliza el sbado o domingo. Too slo puede usar la computadora a partir del jueves, Ral trabaja con lamquina un da despus de Luis, Pepe slo puede trabajar mircoles o viernes y ni Pepe, ni Luis, ni Ral trabajan conla computadora los mircoles, luego se deduce que:

Luego de una lectura global se determina el cuadro, en este caso especfico al no considerar sbados y domingos, sereducen a 5 entradas; luego vamos desagregando la informacin, veamos:Too a partir de los jueves, es decir, no usa la computadora lunes, martes y mircoles.

LunesToo

LuisRal

Coco

Martes Mircoles Jueves Viernes

Pepe

No No No

Pepe mircoles y viernes, es decir, ni lunes, ni martes, ni jueves, ni Pepe ni Luis, ni Ral trabajan los mircoles, es undato directo.

LunesToo

LuisRal

Coco

Martes Mircoles Jueves Viernes

Pepe

No No NoNoNo

No NoNoNo

Del grfico se deduce:1) Pepe trabaja los viernes, es decir, tachamos a Too, Luis, Ral y Coco respecto a los viernes.2) Coco trabaja los mircoles, se tacha lunes, martes, jueves y viernes respecto a Coco.

Del cuadro evidente que Too trabaja los jueves, ntese que para completar el cuadro es necesario definir cuandotrabaja Luis y Ral, para ellos se requiere considerar el resto del enunciado Ral trabaja un da despus de Luis, esdecir:

Coco trabaja mircoles (fijndonos en las alternativas). Rpta.: Coco trabaja el mircoles.


463

1. Marcos, Manuel, Janeth y Magaly son hinchas desiguientes equipos: Boys, Universitario, Cristal, yAlianza Lima. Marcos no es hincha del Boys, y suamigo tampoco. Si sabemos que Magaly es hincha deUniversitario y su enamorado es hincha del Cristal yes el nico amigo de Marcos, Marcos, hincha de quequipo es?

A) Universitario. B) Boys.C) Cristal. D) Alianza Lima.E) Boys y Cristal.

2. Mara, Luca e Irene viven en tres ciudades diferentes,Lima, Cuzco, y Tacna, estudian una carrera distinta,Educacin, Derecho y Arquitectura; no necesariamenteen ese orden, se sabe que:- Mara no vive en Cuzco.- Luca no vive en Tacna.- Luca no estudia Educacin.- Quien vive en Tacna estudi Arquitectura.Dnde vive Irene y qu estudia?

A) Cuzco - Educacin.B) Tacna - Derecho.C) Tacna - Arquitectura.D) Cuzco - Derecho.E) Lima - Educacin.

3. Un estudiante, un mdico y un abogado comentanque cada uno de ellos ahorra en un banco diferente.- Yo ahorro en Interbank dice el mdico a Jacinto.- Tito comenta: El banco que ms inters paga es

el Latino.- El abogado dice Secretaria lleva mi dinero al

Banco de Lima.- El tercer personaje se llama Jos.Cmo se llama el estudiante?

A) Jos. B) Jacinto. C) Tito.D) Pedro. E) lex.

4. Tres parejas de esposos asisten al matrimonio de unamigo. Ellos son: Jorge, Herbert y Oswaldo y ellasson Rosa, Maribel y Lourdes (no respectivamente).Una de ellas fue con un vestido negro, otra con azul yotra con roja. La esposa de Jorge fue de negro;

Oswaldo no bail con Maribel en ningn momento.Rosa y la del vestido azul fueron al matrimonio deLourdes.

Herbert es primo de Lourdes. Jorge y el esposo deLourdes siempre se reunen con el hermano deHerbert. Entonces es cierto que:

A) Rosa fue con Jorge y estuvo vestida de negro.B) La esposa de Oswaldo fue de rojo.C) Maribel y Herbert son hermanos.D) Lourdes fue de negro.E) ms de una es cierta.

5. Tres luchadores practican las artes marciales engimnasios diferentes; uno practica judo, otro karate yotro kung fu; adems uno de ellos es cinturn negro,otro es cinturn marrn y otro cinturn naranja. Susnombres son: Wen Li, Chi Lau, Pio Kiu. Se sabe queWen Li y Chi Lau practicaban antes karate, pero ahoraya no. El judoka es cinturn naranja; Pio Kiu y el decinturn marrn no se conocen. Wen Li es amigo delos otros dos. Entonces, se puede afirmar que:

A) Wen Li es judoka cinturn negro.B) el que practica kung fu es cinturn negro.C) Pio Ku es cinturn negro.D) el karateca es Wen Li.E) el judoka es cinturn marrn.

6. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudadessiguientes: Lima, Cuzco e Iquitos; pero cada uno tienecaracteres diferentes: tmido, agresivo y liberal:- Marcos no est en Lima.- Luis no est en Cuzco.- El que est en Lima no es tmido.- Luis no es liberal, ni tmido.En que ciudad vive Vctor que es uno de los amigosy que carcter tiene?Adems se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo.

A) Lima - liberal.B) Lima - agresivo.C) Cuzco - liberal.D) Cuzco - tmido.E) Iquitos - agresivo.


464

7. Cuatro amigos: Sandro, Ricardo, Toms y Pablo sevan de cacera, llevando a sus perros de cazarespectivos. Estos tienen los mismos nombresmencionados pero cada perro no lleva el nombre desu dueo. Adems se sabe:I. El perro de Sandro no tiene el mismo nombre

que el dueo de Sandro.II. El dueo de Toms era Sandro o Pablo.III. El perro de Pablo no tiene el mismo nombre que

el dueo de Toms.IV. Roberto no es dueo de Sandro.Cul es correcta?

A) Sandro es el dueo de Ricardo y Pablo deToms.

B) Sandro es dueo de Toms y Ricardo dePablo.

C) Sandro es dueo de Ricardo y Pablo deSandro.

D) Sandro es dueo de Toms y Toms deRicardo.

E) Toms es dueo de Sandro Pablo de Ricardo.

8. Camila, Omar y Mary estudian en tres universidadesA, B y C. Ellos estudian Ingeniera, Periodismo yTurismo. Camila no est en A. Omar no est en B. Elque est en B estudia Periodismo. El que est en A noestudia ingeniera. Omar no estudia Turismo. Questudia Mary y en qu universidad?

A) Turismo - B. B) Turismo - A.C) Periodismo - C. D) Ingeniera - A.

9. Miriam, Paola, Lenin y Ely terminaron sus estudiosde Medicina, Ingeniera, Matemticas y Derecho, sesabe que:

Miriam no estudia Medicina.

Paola hubiera estudiado Derecho si Lenin hubieraestudiado Ingeniera.

Ely quiere empezar a estudiar Matemtica.

Lenin estudiara Medicina si Paola no lo hiciera.

Qu estudia Paola?

A) Medicina. B) Derecho.C) Ingeniera. D) F.D.E) N.A.

10. Sandra, Benny y Freddy son tres hermanos que tienentres gatos. Estos tienen los nombres de sus dueos,aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabeque:- Ningn gato tiene el nombre de su dueo.- El gato de Sandio tiene el mismo nombre que el 1

dueo de Benny.Quin es el dueo de Sandra y cmo se llama elgato de Sandra?

A) Sandra - Benny.B) Freddy - Benny.C) Sandra - Freddy.D) Benny - Freddy.E) Freddy - Freddy.

Juegos Matemticos La magia del ingenio- Esperanza Casas A.


465

Alumno(a) : ______________________________________________________________

Curso : ____________________________________________ Aula : __________

Profesor : ______________________________________________________________

1. Mara, Gladys y Nelly tienen diferentes ocupaciones.Nelly y el mdico no se conocen, Gladys es hermanadel mdico y amiga de la reportera, si una de ellas esprofesora entonces es cierto que:

A) Gladys es reportera. B) Nelly es reportera.C) Gladys es mdico. D) Mara es profesora.E) Nelly es mdico.

2. Jorge, Pepe y Jaime no tienen dinero y deciden enponerse a trabajar. Jorge gana menos que Pepe yeste menor que Jaime. Jorge gasta ms que Pepe yeste ms que Jaime.I. Si Jaime gasta todo su dinero, Jorge queda

endeudado.II. Si Jorge y Pepe ahorran, Jorge tendra ms dinero

que Pepe.III. Si Jaime ahorra, Jorge ahorra.Son necesariamente verdaderas:

A) Solo I B) Solo II C) Solo IIID) I y III E) II y III

3. Manuel, Percy y Franklin, tienen dos ocupacionescada uno: chofer, contrabandista, pintor, jardinero,barbero y msico, el chofer ofendi al msicorindose de su cabello largo, el msico y el jardinerosolan ir a pasear con Manuel, el pintor compr alcontrabandista un reloj importado, el chofer cortejabaa la hermana del pintor; Percy deba S./150 aljardinero; Franklin venci a Percy y al pintor jugandocachito.

Qu ocupaciones tiene Manuel?A) Contrabandista - msico.B) Chofer - jardinero.C) Pintor - barbero.D) Msico - barbero.E) N.A.

4. A, B, C y D responden a los nombres: Roberto,Gerardo, Manuel y Jess (no necesariamente en eseorden).- Roberto C y D fueron al teatro juntos.- Gerardo, A y B trabajan en la misma fbrica.- A, C y Manuel concurren a los juegos mecnicos

con regularidad.- D y B y Jess juegan en el mismo equipo.- C es moreno, en cambio, Gerardo es de tez blanca.Determinar quin es moreno y quin es A.

A) Jess - Roberto.B) Jess - Gerardo.C) Manuel - Roberto.D) Manuel - Gerardo.E) Roberto - Gerardo.

5. Alberto, Bruno y Csar son hermanos y tiene cadauno diferente profesin: ingeniero, mdico y abogado,Alberto es el mayor de todos y no es mdico; a Brunonunca la gust la matemtica; el menor de todos es elingeniero. Cul es la profesin de Bruno?

A) Abogado.B) Ingeniero.C) Mdico.D) Doctor.E) Faltan datos.


466


467

4

Desarrollar la lgica deductiva de las relaciones familiares.

El de aplicar el pensamiento lateral a las relaciones familiares.

El de aplicar las relaciones de parentesco a las situaciones cotidianas.

Razonamiento lgico

La lgica es el estudio de las reglas por medio de las cualesdeterminadas proposiciones relacionadas entre s, puedenagruparse de modo adecuado para arribar a otras nuevas.Estas ltimas, al derivarse lgicamente es decir, siguiendolas reglas de la Lgica de otras, se llaman deducciones. Lasdeducciones pueden usarse a su vez para obtener otras ms yas, mediante una escuela de pensamientos lgicos, llegar a una nueva y ms importante informacin.

En las definiciones de lo que es lgica y deduccin no mencionamos los hechos como si stos fuesenpuntos de partida para crear otros ms. En lugar de ello mencionamos proposiciones. Las reglasde la Lgica han sido elaboradas sin consideracin a la verdad o falsedad de las proposiciones que s irven como punto departida y que se llaman premisas. En muchas situaciones prcticas diferirn los criterios sobre si las premisas son o no ciertas.De ah que el problema de llegar a conclusiones correctas en las situaciones reales, se separe en dos partes. El lgico tan slotiene que ver con el proceso de arribar a una deduccin o deducciones partiendo de las premisas, que dar por ciertas,dejando a otros la tarea de decidir si dicha premisas y las deducciones derivadas de las mismas, encajan o no en la realidad.Como hemos visto lo que para un hombre es cierto, para otro puede serlo slo a medias y para otro no serlo por completo.

A fin de evitar cualquier mala interpretacin de los trminos cierto y falso, es preferible no usarlos al describir los procesoslgicos. La palabra vlido es mucho mejor para indicar si una decisin es o no correcta. En otras pa labras, una deduccinproveniente de dos proposiciones puede ser vlida o sea correctamente obtenida: empero; si las proposiciones originales las premisas no son ciertas, es probable, aunque no de una manera absoluta, que la conclusin sea la afirmacin conque termina el proceso del razonamiento no sea cierta. Por otra parte, se puede partir de afirmaciones lgicas como premisasy, siguiendo un procedimiento ilgico llegar a conclusiones descartadas.

A fin de razonar correctamente en las situaciones que se nos presenta a diario, es de la mayor importancia empezar conpremisas correctas y hacer uno el procedimiento lgicos y sanos. Se necesita contar con hechos o sea, afirmaciones sobrecosas ciertas y manejarlos lgicamente para obtener deducciones verdaderas.

Pasemos a considerar la naturaleza de una deduccin de un modo ms detallado, considerando un ejempl o sencillo. Aqutenemos dos premisas:

Un mundo nuevo no es ms queun nuevo modo de pensar.


468

1. La monarqua es el mejor sistema de gobierno.

2. El gobierno de Angola es una monarqua.

Ntese que la afirmacin 1 es una opinin con la cual podemos no estar de acuerdo. Asumamos que la a firmacin 2 es unhecho. Pero independientemente de la naturaleza de las afirmaciones, para el propsito de sacar una conclusin podemosaceptarlas como premisas cuya certeza o falsedad pueden ser ignoradas por el momento. De estas dos premisas deducimosla siguiente afirmacin:

3. Luego, Angola tiene la mejor forma de gobierno.

La conclusin afirmacin 3 es una deduccin correcta de las premisas 1 y 2. En otras palabras, es una deduccin vlida.Pero podemos negar con energa que la conclusin sea cierta. En tal caso, los intentos que se hagan para probar que es falsadeberan concernir no al procedimiento lgico por el cual se lleg a tal deduccin, sino a la verdad o falsedad de las premisas.

El conjunto de afirmaciones que hemos citado arriba, es un ejemplo de estructura lgica conocida como silogismo. En elsilogismo se da una premisa mayor (proposicin 1), otra menor (proposicin 2), y en seguida una conc lusin deducida deaqullas (proposicin 3).

Muchos problemas de lgica recreativa nos presentan situaciones de relaciones familiares (parentescos) en los cuales, por logeneral, se aprecian enunciados de difcil comprensin por lo enredado de su texto; por este motiv o se requiere de unaatencin adecuada para llevar a cabo el proceso lgico deductivo que nos conduzca a la solucin.

Debemos tener presente, al momento de realizar la resolucin, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempearen un mismo problema papeles diferentes; as por ejemplo, una persona puede ser al mismo tiempo, y s egn se indique:padre, hijo, hermano, cuado, esposo, abuelo, etc. En el problema de esta clase deberemos asumir que bsicamente la familiala componen padres e hijos, pero hay problemas en los cuales es necesario extender dicha composicin incluyendo a loshermanos de nuestros padres (tos) y los hijos de stos (nuestros primos); abuelos; bisabuelos, etc.

Naci el 12 de marzo 1685 en Dysert Castle, Irlanda.

Berkeley, filsofo y obispo quien realiz escritos en 1734: TheAnalyst, cuyo subttulo largo y explicativo, deca:

El anlisis: o un discurso dirigido a un matemtico infiel. Dondese examina si el objeto, principios e inferencias del anlisismoderno son concebidos ms claramente o son deducidos conmayor evidencia que los misterios de la religin y los asuntos dela fe.

El matemtico infiel era Edmund Halley, que fue sin duda unlibre pensador y , en cierto sentido, activo. De ah la infidelidadde que lo acusaba Berkeley, pues por el hecho de ser reputadoun gran matemtico, y consecuentemente uno de los grandesmaestros de la razn, utilizaba indebidamente su autoridadopinando y decidiendo sobre cuestiones ajenas a suincumbencia. Y, hbil polemista, Berkeley se dirige hacia losobjetos mismos de la ciencia que Halley profesa, mostrandoque aqullos que se quejan sin razn de la incomprensibilidadcientfica de la religin, aceptan una ciencia que, en su razmisma, es incomprensible y cuyas conclusiones se apoyan enraciocinios que la Lgica no acepta.

La crtica de Berkeley, tanto a los principios del nuevo algoritmocomo a las demostraciones que los matemticos empleaban enl, no dejo de causar impresin y su influencia se hizo sentir en

forma ms o menos visible en los matemticos ingleses deentonces. Si esa cr tica era inobjetable la teor a decompensacin de errores en que se embarc Berkeley,impresionado sin duda por la aparente paradoja de que,fundndose en principios y demostraciones tan deleznables,los nuevos mtodos condujeran a resultados exactos, como locomprobaba la mecnica newtoniana.

Pero en el siglo XIX son los matemticos mismos los que selanzan al ataque iniciando una revisin de los principios delanlisis infinitesimal, mediante un proceso del cual fueprecursor Bolzano y constructores Cauchy, Abel, Jacobi,Weierstrass, Riemann.

Berkeley consideraba que elmundo externo es expresin delacto de percibir. El ser slo existeen el acto de ser percibido. Enltima instancia, toda realidadtiene su existencia en la idea queDios tiene de las cosas. Medianteeste sistema, Berkeley intentabarefutar el materialismo. Susobras ms conocidas: Tratadosobre el principio delconocimiento humano, Dilogos entre Hilas y Filn.


469

ClasesUsualmente las interrogantes ms frecuentes versan sobre un tipo especfico de relacin familiar entre algunos componentesde la familia; sobre el nmero de integrantes que la componen o el rol que desempean.

Problemas sobre un tipo especfico de relacin familiarEjemplo 1

Qu parentesco tiene conmigo Yamilet, si se sabe que su madre fue la nica hija de mi madre?

Resolucin:

En el texto encontramos a los siguientes integrantes.

Madre de Yamilet

(hija)Yamilet

hermanosde to a

sobrinade abuela

a nieta

Mi madre

(Hija nica)

Yo

Yamilet

Madre de Yamilet

Mi madre

Yo

La madre de Yamilet es

hija nica de mi madre.

Observacin

Las lneas punteadas nos sealan las relaciones que estamos deduciendo segn el enunciado.

Luego, el parentesco que tenemos Yamilet y yo es de to sobrina.

Que te parece esta figura, es posible o no?


470

1. Determine el menor nmero de personas que estnen una reunin si se sabe que hay 2 padres y 2 hijos.

A) 4 B) 3 C) 2D) 5 E) 6

2. En un almuerzo familiar estn presentes tres padres,4 hijos y dos nietos. Cuntas personas como mnimoestn compartiendo el almuerzo?

A) 5 B) 4 C) 7D) 8 E) 6

3. El abuelo del hermano de mi hijo, es mi padre osuegro.

A) Mi hermano. B) Mi to.C) Mi padre. D) Mi primo.E) Mi abuelo.

4. El to del hijo de la nica hermana de mi padre. Quparentesco tiene conmigo?

A) Mi abuelo. B) Mi to.C) Mi padre. D) Mi primo.E) Yo.

5. Manuel, es el nico hijo del abuelo de Carlos y Anaes la hija de Manuel. Qu es Carlos de Ana?

A) Su primo. B) Su hijo.C) Su nieto. D) Su sobrina.E) Su hermano.

6. La madre del padre de la hermana de mi madre esmi:

A) madre. B) ta.C) abuela. D) Ta abuela.E) bisabuela.

7. Si la mam de ngela es la hermana de mi padre.Qu es respecto a m el abuelo ngela?

A) To. B) Sobrino.C) Abuelo. D) Bisabuelo.E) Padre.

8. Cuntos bisabuelos tiene Ud. sin considerar si viveno no?

A) 8 B) 16 C) 12D) 4 E) 2

9. La familia Castro consta de un padre, madre, ochohijas y cada una de las hijas tiene un hermano.Cuntas personas forman esta familia?

A) 11 B) 12 C) 16D) 18 E) 10

10. En una reunin se encuentran: 1 abuelo, 1 abuela, 2padres, 2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 1 hermano, 2hermanas, 2 hijos varones, 2 hijas, 1 suegro, 1 suegray 1 nuera. Cul es la menor cantidad de personasque satisface esta relacin?

A) 8 B) 6 C) 7D) 5 E) 4


471

1. Qu parestesco tiene conmigo la suegra de la mujerdel hermano mellizo de mi hermano?

Resolucin:

La suegra de la mujer del

hermano mellizo de mi hermano

4 3

2 1

Graficando:

Yo 1. mi hermano

2. hermano mellizo

3.

suegra

Como es suegra de mi cuado. Es mi madre.

2. Qu parentesco tiene Sal con la hija del nicovstago de su madre?

Resolucin:

Madre deSal

nico hijo

Sal

Esposa deSal

Hija de la esposa

Padre Hija

3. Siendo yo varn. Qu parentesco tiene conmigo Anasi su madre fue la nica hija de mi madre?

Resolucin:

Mam

Hija

Madre

Su mam

Hija

Yo varn

nica HIJA

?

Qu parentescotiene conmigo?


472

1. Quin es el padre del hijo del sobrino de Benito?

A) Benito. B) El hijo de Benito.C) El sobrino de Benito. D) El nieto de Benito.E) F.D.

2. Si la mam de Juana es la hermana de mi hermanogemelo. Qu es respecto a mi el abuelo del mellizode Juana?

A) Hijo. B) Padre. C) To.D) Abuelo. E) Yerno.

3. Una familia consta de 2 esposas, 2 hermanas, 2sobrinas y 2 hermanas. El mnimo nmero depersonas que conforman esta familia es:

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

4. El nieto de mi tatarabuelo por parte de mi padre; es elabuelo de:

A) mi padre. B) mi abuelo.C) mi madre. D) mi nica hermana.E) mi bisabuelo.

5. Una familia consiste en 2 abuelos, 2 abuelas, 3padres, 3 madres, 3 hijos, 3 hijas, 2 suegras, 2 suegros,1 yerno, 1 nuera, 2 hermanos y 2 hermanas. Cuntaspersonas son?

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

6. Un mozo quera servir el almuerzo y pregunt:Cuntas personas son? Le contestaron, somos:padre, madre, to, ta, hermana, sobrino y sobrina y 2primos. Cul es el menor nmero de personas?

A) 6 B) 4 C) 8D) 12 E) 10

7. En una familia hay una mam, 1 pap, 3 hermanos y1 mayordomo, cada uno de estos hermanos tiene1 hermana. Cul es la menor cantidad de personasque componen esta familia?

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

8. Qu parentesco tiene conmigo la hija de la esposadel nico vstago de mi madre?

A) Hermana. B) Hija.C) Prima. D) Sobrina.E) Nieta.

9. Si todos mis tatarabuelos vivieran, cuntos seran?

A) 8 B) 16 C) 32D) 12 E) 14

10. Qu parentesco tiene conmigo el to de la hija de lahermana de mi madre, si se sabe que mi abuela porparte de mi madre tuvo solo 2 hijas?

A) Mi to. B) Mi padre.C) Mi hermano. D) Mi primo.E) Mi abuelo.

Habilidad - Razonamiento matemtico. Sarzo Corilloclla Doroliel. Ed. Infinitus, Lima - Per.

Juegos de ingenio. Paul Vives. Ed. Martnez Roca, Barcelona - Espaa.

Circo matemtico. Martn Cardner. Ed. Martnez Roca, Barcelona - Espaa.

Matemtica recreativa 1, 2, 3. Michael Holt. Ed. Martnez Roca, Barcelona - Espaa.

Matemtica recreativa. Virgilio Gutirrez. Ed. Moshera, Lima - Per.


473

Alumno(a) : ______________________________________________________________

Curso : ____________________________________________ Aula : __________

Profesor : ______________________________________________________________

1. En una cena se encuentran 3 hermanos, 3 padres, 3hijos, 3 tos, 3 sobrinos y 3 primos. Cul es el menornmero de personas reunidos?

A) 7 B) 10 C) 6D) 5 E) 4

2. Si todas sus tatarabuelas vivieran. Cuntas tendras?

A) 16 B) 8 C) 14D) 10 E) 32

3. Siendo yo varn; si el hijo de Manuel es el padre demi hijo. Qu viene a ser Manuel respecto a m?

A) Mi hijoB) Mi padreC) Mi abueloD) Mi nietoE) Yo soy Manuel

4. En una reunin asistieron: 1 esposo, su esposa, 3hermanos y 1 invitado. Cul es la mnima cantidadde personas que integraron esta reunin?

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

5. Qu es de m si el padre del sobrino de mi to, es suhijo?

A) To. B) Sobrino.C) Primo. D) Cuado.E) abuelo.


474


475

5

El alumno analizar la lgica del tiempo.

Usar medidas del transcurso del tiempo.

La aplicacin del uso del tiempo en situaciones.

El reloj de Einstein

La ciencia es slo un ideal, la

de hoy corrige la de ayer; y la

de maana la de hoy.

Cuentan que estando el famoso sabio postrado en el lecho, recibi la visita de A. Moshkovski que para procurarle algunadistraccin le propuso el siguiente problema:

Tomemos un reloj que tenga las manecillas a las 12. Cambiando la funcin de las manecillas es decir, que el minuteroavanzara la velocidad del horario y viceversa, a las 12 no se notara, porque ambas estaran juntas. Pero a otras horas, porejemplo a las seis, nos resultara un absurdo, porque el minutero no puede hallarse en las 6 cuando el horario haya recorridoexactamente seis horas. Entonces se puede proponer:

Cundo y cada cunto tiempo ocupan las manecillas de un reloj normal una posicin que al cambiar la funcin de lasmanecillas nos den posiciones similares a las normales?

Como no podra faltar la ancdota, dicen que Einstein contest a su interlocutor: Seste problema es muy apropiado para un hombre obligado por su enfermedad apermanecer postrado en su lecho, porque es interesante y no demasiado fcil. Pero metemo que mi distraccin me durar poco, porque he dado ya con la forma de resolverlo.E incorporndose en el lecho, en pocos trazos dibuj un esquema reflejaba lascondiciones del problema. Cmo se resuelve? En todo problema relacionado con lasmanecillas del reloj haya que tener en cuenta las velocidades relativas de stas. Ambasestn en la relacin 5/60, o lo que es lo mismo, 1/12. Dividiendo la esfera en 60divisiones, llamemos x al numeral de divisiones recorridas por el horario y asimismo alas recorridas por el minutero. Advirtamos que siendo nuestros relojes regidos por elsistema sexagesimal el minutero recorre y divisiones en y minutos, o sea en y/60 horas.


476

El minutero habr pasado la cifra 12 hace y/60, en tanto que el horario habr recorrido x/5 horas, luego y x5 60

, igualdad

que debe ser equivalente a un nmero entero. Planteando el siguiente sistema de ecuaciones:

5 60x y

a

5 60y x

b

Podemos despejar x e y sabiendo que tanto a como b tienen que ser nmeros enteros comprendidos entre 0 y 12.

a bx

60(12 )143

b ay

60(12 )143

Dando ahora valores entre 0 y 12 a a y b, determinaremos todas las posiciones que se requieren en el problema para ambas

manecillas. Parece que siendo 12 los valores posibles, podramos obtener 12 12 144 posiciones, pero hay que tener en

cuenta que cuando a = 0 y b = 0, la posicin es la misma que si los valores son a = 11 y b = 11, porque resulta x = y = 60,es decir, se repite la posicin de las manecillas sealando las 12 en ambos casos.

Para el valor a = 1 y b =1, resulta 5 5

5 5 .11 11

x y

O sea, una hora, 5 minutos y 5/11 de minuto.

En este momento, las dos saetas estn en el mismo sitio, por lo que pueden intercambiarse.

Para a = 8 y b = 5, resulta x = 42, 38 e y = 28,53, o sea, a las 8 horas y 28,53 minutos y a las 5 horas y 42,38 minutos.

Ya queda indicado que el nmero de soluciones es 143. Dividiendo la esfera en 143 partes iguales, obtendremos los puntosbuscados.

Esta solucin permite resolver el conocido problema de relojes para hallar el instante en que a part ir de las 12 horas, las dosmanecillas vuelven a estar de nuevo por primera vez una sobre otra.

Aprovechando las dos ltimas ecuaciones planteadas, podemos hallar en cuntas posiciones pueden coincidir el horario y elminutero de un reloj que marche normalmente.

Si ambas saetas coinciden podrn cambiar sus funciones sin que en esos momentos se produzca alteracin ninguna. Ambasmanecillas habrn recorrido el mismo nmero de divisiones a partir del nmero 12. Es decir, que en nuestras ecuacionessucede que x = y, y en tal caso se simplifican todos los razonamientos precedentes.

Sabamos que:

5 60x x

a

Puesto que x = y, y como a es un entero comprendido entre 0 y 12.

60 m11

x

Y de los 12 valores de a obtenemos 11 posiciones diversas, porque cuando a = 11, resulta x = 16 y vuelve a repetirse laprimera posicin, es decir, las dos manecillas estn de nuevo en las 12. Lo mismo ocurre cuando a = 0.


477

Nociones previasPara poder resolver estos tipos de problemas se recomienda tener en cuenta lo siguiente:

0 +1 +2 2 1

Anteayer Ayer Hoy Maana Pasadomaana

Ejemplo: Si el maana del ayer del pasado maana del da anterior de ayer era lunes. Qu da ser el maana de anteayer?

Resolucin:

Reemplazando por los valores numricos:

+ 1 1 + 2 1 1 < > lunes

0 < > lunes

Hoy es lunes

A la pregunta.

x = + 1 2

x = 1

x = Ayer Ayer fue domingo..


478

1. A qu ser equivalente el ayer del anteayer del

pasado maana del pasado maana de maana?

A) Ayer. B) Maana.

C) Anteayer. D) Pasado maana.

E) F.D.

2. Si el maana del martes es el anteayer del pasado

maana. Qu da es hoy?

A) lunes B) martes

C) jueves D) viernes

E) mircoles

3. Si hoy es domingo. Qu da ser el maana del ayer

del pasado maana?

A) domingo B) lunes

C) martes D) mircoles

E) viernes

4. Si el anteayer del maana del pasado maana es

martes. Qu da fue el ayer del anteayer del ayer?

A) lunes B) martes

C) jueves D) sbado

E) domingo

5. Si el maana de ayer es viernes. Qu da ser el ayer

de pasado maana?

A) sbado B) lunes

C) martes D) viernes

E) domingo

6. El anteayer de dentro de 5 das es domingo. Qu daser el pasado maana del ayer de hace 3 das delpasado maana de maana?

A) Lunes. B) Martes. C) Jueves.D) Sbado. E) Viernes.

7. Pasado maana ser el ayer de maana de anteayerde anteayer del domingo. Qu da fue pasado maanade hace 4 das?

A) Lunes. B) Martes.C) Jueves. D) Sbado.E) Viernes.

8. Cul es el da que est antes del domingo en la mismaforma que est despus del lunes?

A) Martes. B) Sbado.C) Viernes. D) Jueves.E) Mircoles.

9. Si el da de ayer fuese igual al de maana, faltarandos das para ser domingo, qu da es hoy?

A) Lunes. B) Martes.C) Mircoles. D) Jueves.E) Viernes.

10. Cul es el da que est inmediatamente posterior alsiguiente da que subsigue el que est antes del daque precede inmediatamente despus del pasadomaana de lunes?

A) Lunes. B) Martes.C) Jueves. D) Sbado.E) Domingo.


479

1. Si el lunes es el martes al mircoles y el jueves es elviernes del sbado; entonces, qu da ser domingodel lunes?

Resolucin:

Lunes es martes del mircoles

Jueves es jueves del sbado

? ser domingo del lunes

Se deduce que la respuesta ser

1 da antes del domingo y eso es

SBADO.

+1 1

+1

+1

2. Siendo lunes el maana del da anterior al pasadomaana de ayer. Qu da ser el ayer del pasadomaana?

Resolucin:

El maana

del da anterior

del pasado maana

de ayer

+1

1

+2

1

+1

Maana

Total

Se deduce que maana ser lunes.Nos piden:

El ayer del pasado maana Maana

1 +2 +1

Maana ser lunes.

3. Si el anteayer del maana de pasado maana esviernes. Qu da fue ayer?

Resolucin:

Si el anteayer del maana del pasado maana es viernes.

2 +1 + 2 < > Viernes

+1 < > Viernes

Mircoles J Viernes1 0 +1

Ayer Hoy Maana

Ayer fue mircoles.


480

1. Si el ayer de maana del pasado maana es sbado.Qu da ser el ayer del anteayer de maana?

A) Jueves. B) Martes.C) Niernes. D) Sbado.E) Mrcoles.

2. Si el ayer de hace tres das de maana ser martes.Qu da era anteayer de maana?

A) Viernes. B) Sbado.C) Jueves. D) Mircoles.E) Martes.

3. Siendo mircoles el pasado maana de ayer, qu daser el maana del anteayer de pasado maana?

A) Lunes. B) Martes.C) Mircoles. D) Viernes.E) Sbado.

4. Si hoy es domingo. Qu da ser el ayer del pasadomaana de hace dos das?

A) Jueves. B) Viernes.C) Sbado. D) Domingo.E) Martes.

5. Si el ayer del pasado maana es sbado. Qu daser el ayer del pasado maana?

A) Sbado. B) Domingo..C) Martes. D) Mircoles.E) Jueves.

6. Si el anteayer del maana del pasado maana esviernes. Qu da fue ayer?

A) Mircoles. B) Martes.C) Lunes. D) Jueves.E) Viernes..

7. Si el maana de hace 2 semanas fue domingo. Quda ser el anteayer de hoy?

A) Martes B) MircolesC) Jueves D) ViernesE) Sbado

8. Si hoy es lunes, qu da de la semana ser dentro de20 das?

A) Lunes. B) Martes.C) Mircoles. D) Sbado.E) Domingo.

9. Si el anteayer del maana del pasado maana delayer de hoy, fue jueves. Qu da ser el maana dehace 7 das del pasado maana de ayer?

A) Viernes. B) Sbado .C) Domingo. D) Lunes.E) Jueves.

10. Si el anteayer del maana de pasado maana de hace3 das fue lunes. Qu da ser maana?

A) Mircoles. B) Jueves.C) Viernes. D) Domingo.E) Sbado.







481

Alumno(a) : ______________________________________________________________

Curso : ____________________________________________ Aula : __________

Profesor : ______________________________________________________________

1. Si el ayer del maana del subsiguiente da de hoy esel ayer del viernes. Qu da ser maana?

A) Mircoles. B) Sbado.

C) Viernes. D) domingo.

E) Jueves.

2. Siendo el lunes el maana del da anterior del pasadomaana de ayer. Qu da ser el ayer del pasadomaana?

A) Lunes B) Martes

C) Mircoles D) Jueves

E) Sbado

3. Cul es el da que est antes del domingo en la mismaforma que est despus del lunes?

A) Martes. B) Sbado.

C) Viernes. D) Jueves.

E) Mircoles.

4. Si hoy es domingo, qu da de la semana ser dentrode 30 das?

A) Mircoles. B) Lunes.

C) Domingo. D) Martes.

E) Sbado.

5. Si el pasado maana de hace 4 das del anteayer demaana equivale al maana del anteayer del lunes.Qu da es hoy?

A) Mircoles. B) Jueves.

C) Viernes. D) Martes.

E) Sbado.


482


483

6

El de desarrollar el pensamiento lateral a las situaciones de sucesos seguros.

De aplicar las situaciones de nuevos seguros a la vida cotidiana.

Estrategias de pensamiento

En este proceso debes tratar de hacerte con un montn de posiblesmodos de ataque del problema. Se trata de que fluyan de tu mentemuchas ideas, aunque en principios puedan parecerte totalmentedescabelladas. Las ideas ms estrafalarias pueden resultardespus ser las mejores.

Para facilitar este flujo de ideas posibles aqu tienes unas cuantaspautas que puedes ensayar.

Estoy seguro de que tu experiencia ir aumentando esta lista con sugerencias. Veamos:

1. Busca semejanzas con otros juegos y problemas.

Nada hay nuevo bajo el sol. A qu te recuerda la situacin? No presientes que tal vez sea comoaquella otra?

2. Empezar por lo fcil hace fcil lo difcil.

El problema es complicado tal vez porque hay muchos elementos. Por qu no te lo haces ms fcil tmismo? Fabrcate uno semejante, con menos piezas. Tal vez en l te saltar la chispa que te sirva para resolver el mscomplicado.

3. Experimenta y busca regularidades, pautas.

La experiencia es la madre de la ciencia, tambin de la Matemtica. Los grandes teoremas de la historia de la Matemticason fruto de muchos experimentos, ms o menos locos. Tambin la Matemtica procede por ensayo y error, otro ensayoy otro error . . .

4. Hazme un esquema y si se tercia . . . pntalo en colores.

Somos muchos los que pensamos mejor con imgenes que con palabras. Una imagen vale ms que mil palabras. Si tumodo de pensar es as, ests en buena compaa. Einstein afirmaba que su pensamiento, cuando investi gaba, no eranunca verbal, sino con imgenes sensoriales.

5. Modifica el problema, cambia en algo el enunciado, para ver si te ocurre as un posible camino.

No ser ya el problema propuesto, pero te puede proporcionar una escalera a la que puedes aadir otra y as llegar a tuobjetivo.

6. Escoge una buena notacin.

Muchos problemas resultan endiablados con una notacin inadecuada y se vuelven transparentes como el agua encuanto tomas los ejes adecuados, los nombres apropiados de los elementos, . . . etc.

El xito ms deseado y la meta

ms anhelada, son los que se

logran con esfuerzo.


484

7. Explota la simetra . . . si puedes.

Son muchos los juegos, los problemas que se resuelven mediante el apoyo de la simetra que presentan de formaexpresa o velada. Piensa en esta posibilidad en tu caso particular.

8. Supongamos que no . . . a dnde nos lleva?

Este es el argumento que se llama indirecto o por reduccin al absurdo. Cmo marcha la cosa? Son muchos losproblemas que se pueden manejar as. Quieres demostrar que una situacin se comporta de la forma A. Empiezassuponiendo que no se comporta as. Vas deduciendo y razonando correctamente y tu cadena de rozamiento te conducea que lo blanco es negro. Entonces es claro que tu punto de partida, no A, tiene que ser falso. As, la situacin inicial tieneque ser A.

En estos tipos de problemas calcular el nmero mnimo de intentos (pruebas) que se deben efectuar para tener conseguridad (certeza) lo pedido.

Muchas veces para obtener la cantidad de objetos pedidos debemos efectuar varios intentos.

Para obtener la CERTEZA debemos ponernos en el peor de los casos.

Ejemplos

1. Si buscamos BLANCO, en el peor de los casos, NO sale BLANCO, hasta el LTIMO.

2. Si buscamos ASES, en el peor de los casos, NO salen PARES hasta el LTIMO.

3. Al buscar nmeros pares, en el peor de los casos, NO salen PARES hasta el LTIMO.

4. Si de un grupo de barajas buscamos ESPADAS, en el peor de los casos, NO salen ESPADAS hasta el LTIMO.

Regla general

N. TOTALDE

EXTRACCIONES

N. DEEXTRACCIONES

CASOS NOESPERADOS

(Ponemos en el peor de los

casos)

N. DEEXTRACCIONES

DE CASOSESPERADOS(Lo que pide el problema)

= +

A continuacin veamos unas diversas aplicaciones de estos problemas:

I. Bolas que se extraen de una caja o urnaEjemplo

1. En una cajita hay 14 bolas negras, 16 bolas blancas y 7 bolas verdes. Cul es el nmero de bolas que debemossacar para obtener con certeza una bola de cada color?

Resolucin:

Ponindonos en el peor de los casos que primero tomamos las 16 bolas blancas y luego 14 bolas negras, de las7 bolas verdes cogemos una de ellas y ya tendramos las 3 bolas de diferente color. Por ello:

# de extracciones = 16 (blancas) + 14 (negras) + 1(azul) = 31 bolas . . . Rpta.


485

Ejemplo

2. En una urna hay 12 bolas azules, 15 bolas blancas, 18 bolas verdes y 20 rojas. Cul es el mnimo nmero debolas que deben sacarse con certeza para haber extrado 13 de uno de los colores?

Resolucin:

Para tener la certeza nos ponemos en el peor de los casos.

Esto se dar cuando:

EXTRAEMOS QUEDAN EN LA URNA

12 R 8 R

12 V 6 V

12 B 3 B

12 A O A

Ahora extraemos 1 bola cualquiera y podemos cumplir lo pedido, por ello se haban extrado:

12 + 12 + 12 + 12 + 1 = 49 bolas . . . Rpta.

1. En una cajita hay 14 bolas negras, 16 bolas blancasy 7 bolas verdes. Cul es el nmero de bolas quedebemos sacar para obtener con certeza una bola decada color?

Rpta.:........................................................................

2. En una urna hay 12 bolas azules, 15 bolas blancas,18 bolas verdes y 20 rojas. Cul es el mnimonmero de bolas que deben sacarse con certeza parahaber extrado 13 de uno de los colores?

Rpta.:........................................................................

3. Con los mismos datos del problema 2.

Cul es el mnimo nmero de bolas que se han desacar para tener la certeza de haber extrado por lomenos 1 de cada color?

Rpta.:........................................................................

4. Una urna contiene 13 bolas negras y 12 rojas y 7blancas. Con certeza, cul es la mnima cantidad debolas que debemos sacar para obtener la menorcantidad de bolas?

Rpta.:........................................................................

5. En una nfora hay 4 guantes negros y 5 guantes rojos.Cuntos guantes se debe extraer como mnimo paraobtener en forma certeza un par de un slo color?

Rpta.:........................................................................

6. En una caja hay 10 pares de guantes de color marrny 10 pares de guantes negros. Cuntos guantes comomnimo se deben sacar, para tener la certeza de extraerun par de guantes tiles?

Rpta.:........................................................................


486

7. En una urna se depositan 20 bolas numeradas desdeel 1 hasta el 20 inclusive. Cuntas bolas debemosextraer al azar para obtener con certeza un bolo cuyonmero no sea primo?

Rpta.:........................................................................

8. Se tiene en una urna fichas numeradas del 1 al 7.Cuntas fichas debemos extraer un total y sin ver,para estar seguro de haber extrado fichas cuyanumeracin sea mayor o igual que 4?

Rpta.:........................................................................

9. En un cartapecio hay 10 borradores, 10 tajadores y10 lapiceros. Cuntos tiles se debe extraer comomnimo, para tener la seguridad de haber extrado 2borradores y 3 tajadores?

Rpta.:........................................................................

10. Se tienen fichas numeradas del 1 al 10. Cul es elmenor nmero de fichas que se deben extraer paraestar seguro de haber extrado por lo menos dos fichascuya suma sea 11?

Rpta.:........................................................................

1. En un cajn hay 6 bolas rojas y 6 bolas blancas.Cul es el mnimo nmero de bolas que se han deextraer con certeza para tener 3 del mismo color?

Resolucin:

6 rojas

6 blancas

Se desea 3 del mismo color.

(3 rojas 3 blancas)

Se extraen:

1. 2 rojas

2. 2 blancas

3. 1 roja o blanca

Se deben extraer 9 bolas.

2. En una caja hay 10 bolas blancas, 8 bolas azules y 5rojas. Cul es el mnimo nmero de bolas ha extraercon certeza para tener por lo menos una bola de cadacolor?

Resolucin:

10 B. blancas

8 B. azules

5 B. rojas

Se desea 1 bola de cada color.

(1 blanca y 1 azul y 1 roja)

En el peor de los casos se extrae:

1. 2. 3.10 blancas 8 azules 1 roja

Se extrae 19 bolas en total para tener la certeza deobtener lo que se desea.

3. Una caja contiene 21 fichas rojas, 20 blancas, 28verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amarillas. Con certezapregunta, cul es el mnimo nmero de fichas haextraer para tener necesariamente 15 fichas del mismocolor?

Resolucin:

21 fichas rojas

20 fichas blancas

28 fichas verdes

11 fichas negras

11 azules

9 amarillas

Se desea 15 fichas del mismo color.

En el peor de los casos. (15 fichas rojas o blancaso verdes)

Primero se extrae lo que no se desea

1. 2. 3. 4. 5. 6.9 amarillos 11 azules 11 negras 14 verdes 14 blancas 14 rojas

# fichas 74.


487

1. Una bolsa contiene 10 caramelos de menta, 7 de fresay 1 de limn. Cuntos habr que extraer comomnimo con certeza para tener un caramelo de cadasabor?

A) 3 B) 14 C) 16D) 17 E) 18

2. En un depsito tenemos 4 pares de guantes rojos y 4pares de guantes blancos. Cuntos guantes debeextraerse con certeza para obtener un par de guantestiles de color blanco?

A) 7 B) 9 C) 11D) 13 E) 16

3. En una caja tenemos 2 pares de zapatos negros y 5pares de zapatos marrones. Cuntos zapatos hay queextraer con certeza para obtener un par til del mismocolor?

A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

4. En un mazo de 52 cartas. Cuntas barajas comomnimo debern extraerse al azar para tener la certezade extraer 8 barajas de color negro?

A) 18 B) 26 C) 30D) 34 E) 40

5. Rocky es un boxeador cuyo ayudante es Peter. Rockyle dice al ayudante: De los 3 pares azules y 3 paresrojos de guantes que tengo, alcnzamelos paraboxear. Cuntos guantes con certeza llevar Peter?

A) 2 B) 3 C) 5D) 6 E) 7

6. En una caja de bombones hay hasta 3 sabores deellos. Cuntos debemos tomar como mnimo paratener la certeza que tengo 3 bombones del mismosabor?

A) 3 B) 4 C) 6D) 7 E) 8

7. Si tenemos 3 pares de guantes blancos y 3 pares deguantes amarillos, sacamos sin mirar un guante a lavez. Cuntos como mnimo debo sacar, para tenerun par til con certeza?

A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

8. En una bolsa se han colocado 3 fichas rojas, 4 fichasazules y 7 fichas amarillas.

Cuntas fichas como mnimo se debe sacar para tenerla seguridad de haber extrado 2 fichas rojas o 2 fichasamarillas?

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 5

9. Una caja contiene 9 bolas blancas, 8 bolas verdes, 2bolas celestes y 11 bolas rojas. Cul es el mnimonmero de bolas ha extraer para tener necesariamente5 bolas del mismo color?

A) 12 B) 15 C) 17D) 19 E) 10

10. Del problema anterior, cuntas bolas como mnimose deber extraer para tener la seguridad de haberextrado 2 bolas rojas?

A) 31 B) 30 C) 29D) 28 E) 27


488






Coprnico, Nicols (1473-1543). Astrnomo polaco,conocido por su teora que sostena que el Sol seencontraba en el centro del universo y la Tierra, quegiraba una vez al da sobre su eje, completaba cada aouna vuelta alrededor de l: Teora heliocntrica.

Estudi humanidades, despus derecho y medicina. EnBolonia entr en contacto con el matemtico DomenicoMaria de Novara, que critic la exactitud de la Geografade Tolomeo (s.II). Este profesor foment el inters deCoprnico por la geografa y la astronoma.

En 1500, se doctor en astronoma en Roma. Al aosiguiente estudi medicina en Padua y sin habe

RazonamientoMatemático Primero Saco

Documents

Transcript of RazonamientoMatemático Primero Saco