Razonamiento lógico

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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRAMARACAY-EDO ARAGUA

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Prof. Yerikson Suárez H.

Abril, 2013 P.A 2013-114/04/2023

214/04/2023

8. Razonamientos lógicos. Simbolización. Validez. Reglas de

Inferencias.

Un razonamiento deductivo o inferencia consiste en aseverar o concluir algo a partir de algunas proposiciones iniciales

El razonamiento deductivo se basa en el hecho de poder llegar a una conclusión, la cual se deriva como consecuencia de ciertas proposiciones llamadas premisas

En matemática interesan los razonamientos donde a partir de premisas verdaderas se obtienen conclusiones verdaderas

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2) EL ACERTIJO DE EINSTEIN. Tenemos 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas vive una persona |de una nacionalidad diferente.Cada uno de los dueños bebe una bebida diferente, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente. Tenemos las siguientes claves:•El británico vive en la casa roja.•El sueco tiene un perro.•El danés toma té.•La casa verde esta a la izquierda de la blanca.•El dueño de la casa verde toma café.•La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro.•El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.•El que vive en la casa del centro toma leche.•El noruego vive en la primera casa.•La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato.•La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.•El que fuma Bluemasters bebe cerveza.•El alemán fuma prince.•El noruego vive junto a la casa azul.•El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua. Y por último la pregunta:¿Quién es el dueño del pececito?

Como un ejemplo interesante para comprender el razonamiento deductivo, te propongo resolver los siguientes acertijos.

1) ACERTIJO DE LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?

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RESPUESTA ACERTIJO 1. LAS DEPORTISTAS

Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5

Noruego Amarillo

Agua Dunhill Gatos

Danés Azul Té

Blend Caballos

Inglés Rojo Leche

PalMall Pájaros

Alemán Verde Café

Prince PECES

Sueco Blanco

Cerveza BlueMaster

Perro

RESPUESTA ACERTIJO 2. ACERTIJO DE EINSTEIN

•En el proceso deductivo progresamos a partir de información conocida, hasta alcanzar cierta información desconocida que nos interesa obtener

•La información conocida actúa como las premisas de un argumento, y la desconocida como la conclusión

•Lo que caracteriza que una deducción esté bien hecha es que cada paso que demos sea seguro: cada nueva información debe seguirse de las anteriores.

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REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE INFERENCIAS

P1

P2...

Pn

C

Forma vertical

Conclusión

CUANDO LA CONJUNCIÓN DE LAS PREMISAS IMPLICA A LA

CONCLUSIÓN

(P1 ^ P2 ^ … ^ Pn) c

Premisas

¿Cuándo es correcto un razonamiento?

Entonces una vía para establecer la validez de un razonamiento o inferencia, es demostrando que la proposición

(p1 p2 ……. pn ) q es una tautología

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Veamos el siguiente ejemplo.Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto.

Si apruebo el curso propedéutico, entonces ingreso a la universidad.Aprobé el curso propedéutico___________________________________ Ingreso a la Universidad

Sean p: apruebo el curso propedéutico q: Ingreso a la universidad

p qp______ q

SIMBOLIZACIÓNPara saber si tal inferencia (razonamiento) es correcto veamos si la conjunción de las premisas implica lógicamente a la conclusión

Esto es, verificar si [(p q) p ] q es una TAUTOLOGÍA, lo cual se puede corroborar a través de las tablas de verdad

Premisas

Conclusión

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p q p q ((p q ) p) [(p q ) p] q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

¿Cuándo un razonamiento es

incorrecto o inválido?

Cuando a partir de premisas verdaderas se obtienen

conclusiones que no lo son.

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Po rejemplo.Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto.

Si José Gregorio Hernández nación en Caracas, entonces es Venezolano.José Gregorio Hernández es Venezolano____________________________ José Gregorio Hernández nació en Caracas

Sean r: JGH nació en Caracas t: JGH es venezolano

r tt______ r

SIMBOLIZACIÓNAl construir la tabla de verdad correspondiente al condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y la conclusión es el consecuente, se comprueba que no se trata de una tautología. Y en por lo tanto el razonamiento es incorrecto.

HACER LA TABLA DE VERDAD

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Cuando una o más premisas son falsas también se pueden hacer inferencias o razonamientos correctos a pesar de obtener una conclusión que es falsa

Por ejemplo

Si un animal vuela, entonces tiene alasSi un animal tiene alas, entonces es un pájaro

Si el animal vuela, entonces es un pájaro.

Este razonamiento es correcto.

(VERIFÍQUELO)

Sin embargo, la conclusión es falsa, ya que una abeja vuela pero no es un pájaro.Esto sucede debido a que la segunda premisa es FALSA.

Otro ejemplo

Todos los humanos son inmortales_______Sócrates es un humano________

Sócrates es inmortal

A pesar de que el razonamiento es correcto, la conclusión es falsa. Esto es debido a que es falsa la primera proposición

(premisa)

EN MATEMÁTICA SOLAMENTE NOS INTERESAN RAZONAMIENTOS CORRECTOS DONDE SE OBTIENEN CONCLUSIONES VERDADERAS A PARTIR

DE PREMISAS VERDADERAS

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Reglas de Inferencias

Las reglas o leyes de inferencia son razonamientos simples y válidos que son empleados para realizar razonamientos más complejos.

Reglas de Inferencia

Modus Ponendo Ponens

Modus Tollendo Tollens

Modus Tollendo Ponens

SimplificaciónAdiciónConjunción

Silogismo Hipotético

Silogismo Disyuntivo

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Veamos a continuación cada una de esas reglas de inferencia


(MPP)

Método de Afirmar afirmando

p qp______

q

Si llueve, entonces me voy al cineLlueve________Voy al cine


(MTT)

Método de Negar negando

p qq_____

p

Si pagan hoy, entonces hago el mercadoNo hice mercado ________No pagaron


(MTP)

Método de Afirmar negando

p q p____

q

Presento el examen o hago la exposiciónNo presento el examen ________Hago la exposición

Simplificación

(S)

p q p

Estudio Álgebra y Estudio GeometríaEstudio Álgebra

Si la premisa es una conjunción, por ser esta

verdadera, son verdaderas cada una de las proposiciones que la

componen

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Adición

(A)

A una premisa cualquiera, por ser verdadera, se le puede adicionar otra premisa a

través de la disyunción, la cual será también verdadera

p___

p q

El hombre llegó a la LunaEl hombre llegó a la Luna o llegó al Sol

Conjunción

(C)

Dadas dos premisas, por ser estas verdaderas, también lo

será su conjunción

p q___

p q

El hombre llegó a MarteEl hombre llegó a la LunaEl hombre llegó a la Marte y llegó a la Luna


(SH)

Entrelaza dos condicionales a través de una proposición en

común

p q q r

p r

Si voy al juego, voy a comer pizzaSi como pizza, tengo pesadillasSi voy al juego, tendré pesadillas


(SD)

Entrelaza dos condicionales y la disyunción de los

antecedentes

p r q s

__p q__r s

Si voy al juego, voy a comer pizzaSi hago ejercicio, adelgazaréVoy al juego o hago ejercicioComeré pizza o adelgazaré

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TABLA RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA


(MPP)

p qp______

q


(MPP)

p qq_____

p


(MTP)

p q p____

q

Simplificación

(S)

p q p

Adición

(A)

p___

p q

Conjunción

(C)

p q___

p q


(SH)

p q q r p r


(SD)

p r q s

__p q__r s

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Se recomienda verificar que los razonamientos o inferencias anteriores son válidos. Para esto, basta con hacer uso de las tablas de verdad y la definición de implicación lógica, para comprobar que el condicional entre conjunción de las premisas y la conclusión es una tautología.

En la demostración de las validez de razonamientos más complejos, el uso de las tablas de verdad es sumamente engorroso y tedioso, por lo que haremos uso de las reglas de inferencia, que nos permitirán:

a) Considerar únicamente los casos en que todas las premisas sean verdaderas (sin construir la tabla de verdad)

b) Justificar cada paso que se da en el razonamiento, para demostrar que la conclusión verdadera se deriva de premisas verdaderas y de esta manera establecer la validez del argumento

NO OLVIDAR que las leyes de equivalencia lógicas pueden ser utilizadas en el proceso de inferencia, puesto que nos permitirán hacer sustituciones

equivalentes de manera conveniente.

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A continuación, se presentarán una serie de razonamientos, cuya validez se deberá comprobar a través de la aplicación de las reglas de inferencia.

Ejemplo 1. Si me gradúo y encuentro un trabajo, entonces ganaré dinero. Si gano dinero, podré ayudar a mi familia. No he podido ayudar a mi familia. Por lo tanto, no me he graduado o no he encontrado trabajo.

Simbolización del razonamiento

(g t) d

d a

a________

g t

Demostración de la validez del razonamiento

1) (g t) d, premisa

2) d a, premisa

3) a, premisa

4) d, MTT 2) y 3)

5) (g t), MTT 1) y 4)

6) g t, De Morgan 5)

Como se observa, llegamos a la conclusión; con lo cual el razonamiento es válido.

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p r, r s, t ~ s, ~ t u, ~ u ~p

Ejemplo 2. Demostrar que los siguientes razonamientos son válido

1) p r Premisa

2) r s Premisa

3) t ~ s Premisa

4) t u Premisa

5) u Premisa

6) p s SH 1) y 2)

7) ~ s t Conmutativa 3)

8) s t Ley Condicional 7)

9) p t SH 6) y 8)

10) t u Ley Condicional 4)

11) p u SH 9) y 10)

12) ~ p MTT 5) y 12)

p (q r), p s, tq, ~ s ~ r ~ t

1) p (q r) Premisa

2) p s Premisa

3) tq Premisa

4) ~ s Premisa

5) p MTP 2) y 4)

6) q r MPP 1) y 5)

7) tr SH 3) y 6)

8) ~ r ~ t Ley Contrarecíproco

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