Instituto de MatemticaClculo Diferencial

Profesora Elisabeth Ramos

Razn de Cambio1

A continuacin veremos una de las mltiples aplicaciones de la derivada, la que refiere a variacin o razn de cambio. Por ejemplo, la velocidad que ha sido definida anteriormente es la variacin de la posicin con respecto al tiempo (su rapidez de

variacin). La aceleracin de al tiempo es la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Consideremos la siguiente situacin general;

Sea donde es una funcin derivable respecto al tiempo

- La tasa (o razn) media de variacin de en el intervalo es

- La tasa (o razn) de variacin de con respecto a es

Notar que esta definicin es anloga al concepto de velocidad. Las unidades que deben usarse en las definiciones anteriores dependen de la

naturaleza de la cantidad representada por f. Observacin En el desarrollo de problemas de aplicacin es conveniente contar con los siguientes pasos: Paso 1: Hacer un bosquejo del dibujo que represente la situacin. Paso 2: Explicitar los datos entregados en el enunciado. Paso 3: Explicitar la ecuacin o frmula que te lleva a la solucin del problema. Paso 4: Desarrollar. Paso 5: Explicitar la respuesta con palabras.

1 Material extrado del Texto Clculo Diferencial, cuyo autor es Jaime Mena Lorca,

Ejercicio 1 El volumen (en ) de una pequea represa durante la poca de lluvia, est dado por

donde se mide en meses y . La tasa de cambio del volumen con respecto al

tiempo es el flujo instantneo hacia la represa. Calcule el flujo en los tiempos y

?` Cul es el valor del flujo cuando el volumen es de ?

Respuesta: Ejercicio 2 La Temperatura (en grados Celsius) de una solucin al tiempo (en minutos) est dada por

para 1. Calcule aproximadamente la tasa media de cambio o variacin de la temperatura durante el intervalo de tiempo .

2. Calcule la tasa de variacin o razn de cambio de con respecto al tiempo en y .

Solucin:

1. respuesta:

2. respuesta: Ejercicio 3 Los extremos de un abrevadero de 3 mt de largo tienen la forma de tringulo equiltero con lados de 60cm (perfil). Se suministra agua al abrevadero a razn de 20 L/min. Cul es la rapidez de cambio o variacin del nivel del agua cuando la profundidad es de

20cm? (1L(litro)= 1000 )

Respuesta: La rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es es

.

Ejercicio 4 Un tanque cnico de 12 pie de altura y 8 de dimetro en la tapa, se llena con agua a una razn constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razn de cambio de esta altura es de 1pie/min. Cunto tardara en llenarse el tanque? Respuesta: As el estanque tardara en llenarse 16 minutos. No tan slo interesa las razones de cambio con respecto al tiempo, sino tambin con respecto a otras variables.

Sea donde es cualquier variable

- La tasa media de variacin de con respecto a en el intervalo es el cuociente

- La tasa instantnea de variacin de con respecto a es el lmite de la

razn promedio cuando tiende a , es decir,

Esto significa que si la variable cambia, entonces cambia a razn de unidades por unidad de cambio de . Ejercicio 5 La relacin entre la temperatura en la escala Fahrenheit y la temperatura en la escala Celsius est dada por

Cul es la razn de cambio de con respecto a ?

Respuesta: la razn de cambio de con respecto a es

Ejercicio 6 Demuestre que la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto al radio es igual al rea de la superficie Solucin: El volumen y el rea de una esfera estn dados por las frmulas

donde es el radio. Es claro que si derivamos con respecto a tenemos

es decir, la tasa de cambio del volumen es igual al rea de la superficie.

Ejercicio 7 Problema de la sombra

Paulina, de de alto, corre en la noche alejndose de un poste a la

velocidad de el foco del poste que ilumina a Paulina esta a de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de ella crece (es verdad? o realmente decrece?).

Contestemos las siguientes preguntas a.- A qu velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ? b.- El extremo de la sombra se aleja tambin del poste, la velocidad de este

alejamiento es la misma velocidad de la nia? o es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?

Respuestas:

a. La velocidad de la sombra es

b. la velocidad del extremo de la sombra es Ejercicio 8 Problema de la Sombra 2 En el cruce de dos calles, que tienen ancho cada una, hay un poste de 3

metros de alto en una de las esquinas. En la noche Pedrito, de , camina a

alejndose de la esquina por la vereda contraria al poste y a un metro de la orilla de la calle.

A qu velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este se encuentra a de la orilla de la calle que recin cruz?

Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un tringulo

rectngulo como sigue

respuesta:

Ejercicio 9 El globo de Pedrito

En una carretera un auto va a en el interior va Pedrito con un globo con helio.

Pedrito suelta el globo y este sube en forma perpendicular a Veamos a qu

velocidad se separa Pedrito del globo despus de segundos. Esquema del problema

Respuesta.