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SECCIONES CÓNICAS

Raúl Ibáñez Torres (*)

A los matemáticos se nos ha acusado contínuamente de estudiar cosas sólo para divertirnos,aunque en principio parezcan carentes de toda utilidad. Sin embargo, a pesar de que en oca-siones esta acusación pueda estar bien fundamentada, el tiempo ha ido probando que esosestudios finalmente han tenido un enorme valor científico. Un interesante ejemplo de estehecho lo encontramos en las secciones cónicas, entendiendo por este término la elipse, laparábola y la hipérbola.

Parece ser que fue Menecmo (375-325 a.c.) quien descubrió las secciones cónicas (elipse,parábola e hipérbola) tratando de resolver los tres famosos problemas de la matemática griega,la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo. Las seccionescónicas fueron originalmente definidas como la intersección de un cono circular recto (uncono circular es una superficie generada por las rectas que pasan por una circunferencia daday un punto fijo, llamado vértice, que no está en el plano de la circunferencia; si además, lalínea que une el vértice del cono con el centro de la circunferencia es perpendicular al planode la circunferencia, se dice que el cono circular es recto) de ángulo variable (el ángulo delcono es el ángulo formado entre dos rectas generadoras que están en un mismo plano quepasa por el vértice y el centro de la circunferencia) y un plano perpendicular a una de las rec-tas generadoras del cono, que no pase por su vértice. Dependiendo de que el ángulo seamenor, igual o mayor que un ángulo recto, obtenemos la elipse, la parábola, la hipérbola, res-pectivamente (figura 1). De hecho, los nombres que adquirieron entonces no eran mas quedescripciones triviales de su definición: secciones de un cono agudo (oxitoma), secciones deun cono rectángulo (ortotoma) y secciones de un cono obtuso (amblitoma).

Figura 1: Elipse (agudo), Parábola (recto), HIpérbola (obtuso).

Apolonio de Perga (262-190 a.c.), conocido con el sobrenombre de el gran geómetra, fuequien consolidó y extendió los resultados conocidos sobre cónicas en un tratado tituladoSecciones cónicas, formado por 8 libros y con 487 proposiciones. Apolonio fue el primero enobservar y demostrar que los tres tipos de secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola)podían obtenerse como secciones de un mismo cono circular recto (e incluso de un cono cir-cular no recto) sin más que cambiar la posición del plano que genera la sección.

(*) Profesor de la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea. [traducción al euskera realizada por D. Jesús Artaraz].

SIGMA Nº 20 • SIGMA zk. 2012

Secciones Cónicas - Raúl Ibáñez Torres

Febrero 2002 • Otsaila 2002 13

Raúl Ibáñez Torres - Kono-Formako Sekzioak

KONO-FORMAKO SEKZIOAK

Raul Ibañez Torres (*)

Matematikarioi beti leporatu digute dibertitzeko gauzak bakarrik ikertzen ditugula, nahiz etaerabilerarako baliagarriak ez direla ematen duten. Baina, nahiz eta sarritan akusazio hau ondooinarriturik dagoen, denborak frogatu du ikerketok azkenean balio izugarria izan dutela.Adibide interesgarria kono-formako sekzioetan aurkitzen dugu; hau da, elipsean, parabolan etahiperbolan.

Badirudi kono-formako sekzioak deskubritu zituena Menecmo ( k.a. 375-325 ) izan zela, gre-ziar matematikaren hiru problema ospetsu ebazten saiatuz: angelu baten trisekzioa, kuboarenbikoizketa eta zirkuluaren koadratura. Kono-formako sekzioak hasieran honela definitu ziren:angelu aldakorreko zirkulu-formako kono zuzenaren eta konoaren zuzen sortzaile baten planoelkarzutaren arteko ebaketa. Zirkulu-formako konoa,zirkuferentzia eta emandako puntu finkobatetik pasatzen diren zuzenek sortutako azalera da: honi erpina deitzen zaio eta ez dago zir-kunferentziaren planoan kokatua; honez gain, konoaren erpina zirkunferentziaren erdiko pun-tuarekin lotzen duen lerroa zirkunferentziaren planoarekiko elkarzuta baldin bada, zirkulu-for-mako konoa zuzena dela esaten da. Angelua, angelu zuzenaz alderatuz txikiagoa, berdinaedo handiagoa den ala ez kontuan izanik, elipsea, parabola edo hiperbola lortzen da (1. iru-dia). Egia esan, orduan jaso zituzten izenak bere definizioaren deskripzio hutsalak besterik ezziren: kono zorrotzaren sekzioak (oxitoma), kono angeluzuzenaren sekzioak (ortotoma) etakono kamutsaren sekzioak (amblitoma)

1.irudia: Elipsea (zorrotza), Parabola (zuzena), Hiperbola (kamutsa)

Pergako Apolonio ( k.a. 262-190 ) geometrilari nagusia goitizenez ezagutzen dena izan zenkono-formakoen gainean emaitzak hedatu eta sendotu zituena, kono-formako sekzioak izen-burua zuen tratatuan: 8 liburuz eta 487 proposizioz osatua. Apolonio izan zen lehenengoakono-formako hiru sekzio mota ( elipsea, parabola eta hiperbola ), zirkulu-formako kono zuzenbaten sekzio bezala atera zitezkeela behatu eta frogatu zuena, sekzioa sortzen duen planoarenposizioa aldatuz bakarrik (eta baita zirkulu-formako kono ez zuzen batetik atera zitezkeela.

(*) Profesor de la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea. [traducción al euskera realizada por D. Jesús Artaraz].

Figura 2

Los geómetras griegos llamaban a estas curvas lugares sólidos, por estar definidas a partir deobjetos sólidos (mientras que las rectas y las circunferencias recibían el nombre de lugares pla-nos). Apolonio en su tratado dedujo una propiedad plana fundamental de las secciónes cóni-cas (que probablemente ya conocía Menecmo) y desde ese momento pudo estudiarlas comocurvas planas (en [2,3] pueden verse qué resultados obtuvo Apolonio en su tratado). A conti-nuación, vamos a mostrar la prueba dada en Secciones cónicas para el caso de la elipse (LibroI, Proposición 13): sea un cono circular (oblicuo), como el de la figura 3, con vértice A y con-sideremos P un punto sobre una sección plana que corta a todas las generatrices del cono yno es paralela a la base (nuestra elipse). Tracemos por P un plano paralelo a la base, que cor-tará al cono en una circunferencia y que su intersección con el plano que define a la elipsees un segmento que pasa por P y otro punto de la elipse y de la circunferencia. Sea M el puntomedio entre esos dos puntos y consideremos DE el diámetro de la circunferencia que pasa porM. Ahora tomamos la sección triangular del cono que pasa por el vértice A y el diámetro DE,dando lugar así a los puntos H, K sobre la elipse y al diámetro BC sobre la circunferencia dela base. Prolonguemos los segmentos HK y BC hasta que se corten en un punto G.

Figura 3 Figura 4

Entonces, por semejanza de los triángulos HDM y HBG, tenemos

= ,

y de la semejanza de los triángulos MEK y KCG,

= ,



A

B

D

B

C

P

DM BGHM HG

ME CGMK KG



2. irudia

Geometrilari greziarrek kurba hauei toki solidoak deitu zieten, objetu solidoetatik sortuak bait-ziren. Zuzenek eta zirkunferentziek, ordea, toki lauak izena hartu zuten. Apoloniok bere tra-tatuan kono-formako sekzioen funtsezko propietate laua ondorioztatu zuen (agianMenecmorentzat ezaguna zena) eta une horretatik aurrera kurba lau bezala iker zitzakeen([2,3]an ikus daiteke zeintzu emaitza lortu zituen Apoloniok bere tratatuan). Ondoren, kono-formako sekzioak tratatuan elipserako emandako froga erakutsiko dugu (I Liburua, 13.Proposizioa): Izan bedi 3. irudiko zirkulu-formako konoa (zeiharra), A erpina delarik eta P sek-zio lau baten gaineko puntua, konoaren sortzaile guztiak mozten dituena eta oinarriarekikoparaleloa ez dena (gure elipsea). P-tik oinarriarekiko paraleloa den planoa marraz dezagun,konoa zirkunferentzian moztuko duena eta elipsea definitzen duen planoarekiko ebaketaP-tik, elipseko beste puntu batetik eta zirkuferentziatik pasatzen den segmentua delarik. Izanbedi M bi puntuotako erdiko puntua eta DE, M-tik pasatzen den zirkunferentziaren diametroa.Orain A erpinetik eta DE diametrotik pasatzen den konoaren triangelu-formako sekzioa hart-zen dugu. Honela zera lortzen dugu: H eta K puntuak elipsearen gainean daudenak eta oina-rriko zirkunferentziaren gainean dagoen BC diametroa. Luza ditzagun HK eta BC segmentuakG puntuan mozten diren arte.

3. irudia 4. irudia

Orduan, HDM eta HBG triangeluen antzekotasunagatik, ondoko hau daukagu:

= ,

eta MEK eta KCG triangeluen antzekotasunagatik, ondorengoa:

= ,

A

B

D

B

C

P

DM BGHM HG

ME CGMK KG

Por otra parte, haciendo uso de una propiedad de la circunferencia ya obtenida por los geóme-tras griegos, que dice si dos rectas se intersecan en un punto y a la vez se intersecan con unacircunferencia dada, entonces el producto de los segmentos determinado por el punto en unade las rectas es igual al producto de los segmentos de la otra (en la figura 4, PA · PB = PC · PD),tenemos que

PM 2 = DM · ME,

luego,

PM 2 = · = HM · (HK - HM) · .

Si llamamos PM = y, HM = x, a los valores que varían con P, y HK = 2a, k = BG · CG/HG · KG,a los que permanecen constantes, entonces la igualdad anterior se traduce en la ecuación

y 2 = kx (2a - x) ,

que es la ecuación de una elipse con HK como su eje mayor. De manera análoga obtieneApolonio que para la hipérbola, y 2 = kx (2a + x), mientras que un argumento similar lleva ala parábola a una expresión del tipo y 2 = lx.

Los nombres de las secciones cónicas que hoy conocemos y utilizamos fueron tomados porApolonio de la terminología pitagórica para la solución de ecuaciones cuadráticas por elmétodo de la aplicación de áreas. Ellipsis, que significa una deficiencia, se usaba cuando unrectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado.Hyperbola que significa "avanzar más allá", se tomó para el caso que el área excedía del seg-mento dado y por último Parábola significa "colocar al lado" o "comparar", y se utilizabacuando no había deficiencia ni exceso. Su consideración para dar nombre a las seccionescónicas se debe a las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola,

y 2 = lx - , y 2 = lx , y 2 = lx + .

Observemos que los términos elipsis, parábola e hipérbole son palabras de nuestro dicciona-rio, cuyo significado se deriva del anteriormente descrito.

Aunque posiblemente Apolonio y Euclides ya conocían las propiedades focales de las cóni-cas, es el libro Colección Matemática de Pappus de Alejandría (290-350 d.c.) el que recogeel primer tratamiento de las propiedades foco-directriz de las tres secciones cónicas.Recordemos que: i) la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de dis-tancias a dos puntos fijos (focos) es constante; ii) la parábola es el lugar geométrico de los pun-tos del plano que equidistan de un punto fijo (foco), y de una recta fija (directriz); iii) la hipér-bola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos pun-tos fijos (focos) es constante.

Después de un exhaustivo estudio geométrico de las secciones cónicas por parte de la mate-mática griega, éstas permanecieron olvidadas hasta el renacimiento, al igual que otras muchasactividades intelectuales. Entonces, los científicos del renacimiento se preocuparon no sólo deestudiar las secciones cónicas, sino de útilizarlas para resolver problemas prácticos. Galileo(1564-1642) observó que la trayectoria de un proyectil es una parábola, mientras que Kepler(1571-1630) y Newton (1643-1727) mostraron que las órbitas de los planetas eran elipses conel sol en uno de sus focos. Estos importantes descubrimientos, junto al inicio de la geometríaen coordenadas y de la geometría descriptiva, volvieron a poner a las secciones cónicas en unlugar destacado de la ciencia, y de la vida real, por sus importantes aplicaciones.



b2x2

a2

b2x2

a2

HM · BGHG

MK · CGKG

BG · CGHG · KG



Bestalde, geometrilari greziarrek aurkitutako zirkunferentziaren propietate bat erabiltzen bal-din badugu, honako hau dakigu: bi zuzen elkar mozten badira puntu batean eta era bereanemandako zirkunferentzia batekin elkar mozten badira, orduan puntuak zuzenean sortutakosegmentuen biderkadura beste zuzenaren segmentuen biderkaduraren berdina da (4. irudian,PA · PB = PC · PD)

PM 2 = DM · ME,

Beraz,

PM 2 = · = HM · (HK - HM) · .

P-rekin aldatzen diren balioei PM = y eta HM = x deitzen badiegu etaHK = 2a, k = BG · CG / HG · KG, konstante mantentzen direnei, orduan aurreko berdinketahurrengo ekuazioa bilakatzen da:

y 2 = kx (2a - x) ,

elipse baten ekuazioa delarik, HK ardatz nagusia duena. Antzekotasunaz Apoloniok hiperbo-larentzat y 2 = kx (2a + x) ateratzen du, eta era bereko argudioak parabolarako hurrengo adie-razpena ematen dio y 2 = lx.

Gaur ezagutu eta erabiltzen ditugun kono-formako sekzioen izenak Apoloniok Pitagorasenazaleren aplikazio- metodoz ekuazio kuadratikoak ebazteko terminologiatik jaso zituen.Ellipsis hitza, hutsune esanahia duena, laukizuzen bat emandako segmentu bati aplikatu beharzitzaionean eta karratu baten eskasa zenean erabiltzen zen. Hiperbola hitzak “ harantzagoaurrera egin “ esan nahi duena, emandako segmentua gainditzen zuen azalerarako hartu zeneta azkenik Parabola hitzak “ aldamenean jarri “ edo “ alderatu “ esan nahi duena, gabezia-rik ezta gainditzerik ez zegoenean erabiltzen zen. Kono-formako sekzioei izena emateko kon-tsiderazioa elipse, parabola eta hiperbolaren ekuazioei dagokie.

y 2 = lx - , y 2 = lx , y 2 = lx + .

Ikus dezagun elipsis, parabola eta hiperbole hitzak gure hiztegikoak direla baina bere esanahialehentxeago adierazitakoarekin ez datorrela bat.

Apoloniok eta Euclidesek agian konikoen foku-propietateak ezagutzen zituzten arren,Alejandriako Pappus-en Matematika Bilduma (k.o. 290-350) liburua da hiru sekzio konikoenfoku-zuzentzaile propietateen lehendabiziko tratamendua biltzen duena. Gogora dezagun:i) elipsea planoko puntuen toki geometrikoa da, non bi puntu finkora (fokuak) dagoen dis-tantzien batura konstantea den; ii) parabola planoko puntuen toki geometrikoa da, non puntufinko batetik (fokua) eta zuzen finko batetik (zuzentzailea) puntu horietara dagoen distantziaberdina den. Iii) hiperbola planoko puntuen toki geometrikoa da, non bi puntu finkora (fokuak)dagoen distantzien kendura konstantea den.

Greziar matematikak kono-formako sekzioen gaineko ikerketa geometriko sakonaren ondo-ren, ikerketok Berpizkundera arte ahaztuta egon ziren, beste ekintza intelektual asko beza-laxe. Orduan Berpizkundeko zientzilariek kono-formako sekzioak ikertuz gain problema prak-tikoak ebazteko erabili zituzten. Galileok (1564-1642) jaurtigai baten ibilbidea parabolikoazela behatu zuen, eta Keplerrek (1571-1630) eta Newtonek (1643-1727) erakutsi zuten pla-neten orbitak elipseak zirela eguzkia bere fokuetako baten zegoelarik. Aurkikuntza garran-tzitsu hauek, koordenatuen bitartez geometriaren hasiera eta geometria deskribatzailearekinbatera, kono-formako sekzioak zientziaren eta bizitza errealaren toki nabarmenean berriz jarrizituzten, bere aplikazio garrantzitsuei esker.

b2x2

a2

b2x2

a2

HM · BGHG

MK · CGKG

BG · CGHG · KG

Finalmente, destacar que en 1825 G.P. Dandelin (1794-1847) dio una prueba de singularbelleza del hecho de que las secciones de un cono circular recto son la elipse, la parábola yla hipérbola, entendidas éstas como curvas planas. Demostró que los puntos de contacto delas esferas inscritas en dicho cono, cuando sean a la vez tangentes al plano que contiene adicha sección cónica, son los focos de la sección cónica. Veamos la prueba, de nuevo para elcaso de la elipse (figura 5): sea V el vértice del cono, F1 y F2 los puntos de contacto de las esfe-ras con el plano que define la sección cónica, C1, C2 las dos circunferencias de contacto delas esferas con el cono, P un punto de la sección cónica considerada y Q1, Q2 los puntos decorte de la recta que une a P y V con las circunferencias C1, C2, respectivamente.

Figura 5

En primer lugar, tenemos que la recta PV es tangente a las esferas en los puntos Q1 y Q2, mien-tras que los segmentos PF1 y PF2 son tangentes a las esferas en los puntos de contacto F1 y F2.Ahora, teniendo en cuenta que la distancia de un punto exterior a una esfera a cualquiera delos puntos de contacto de las rectas tangentes a la esfera que pasan por el punto es constante,obtenemos que

PF1 = PQ1, PF2 = PQ2 ,

y simplemente sumando,

PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2 = Q1 Q2 ,

pero al variar P, la cantidad Q1 Q2 permanece constante.

EXPERIMENTO: obtener las secciones cónicas como las sombras de una pelota al ser ilumi-nada por una linterna contra la pared.

APLICACIÓN: una de las primeras situaciones donde encontramos las secciones cónicas es ladescrita por Kepler y Newton, como las órbitas de los planetas u otros cuerpos en el espacio.En general, las secciones cónicas son las órbitas de una partícula moviéndose en un campode fuerzas gravitatorio.

A continuación, describiremos algunos métodos para obtener cada una de estas curvas, desdeconstrucciones en papel hasta mecanismos articulados. También mostraremos importantesaplicaciones de sus propiedades geométricas a diferentes situaciones de la vida cotidiana.



C1

V

Q1

C2Q2

F1



Azkenik, 1825. urtean G.P. Dandelinek ( 1794-1847 ) froga polita erakutsi zuen, zirkulu-for-mako kono zuzenaren sekzioak elipsea, parabola eta hiperbola, kurba lau bezala ulertuz.Ondoko hau frogatu zuen: konoaren barnean dauden esferetako ukipen-puntuak eta esferahoriek kono-formako sekzio hori dagoen planoarekiko tangenteak direnean, kono-formakosekzioaren fokuak dira. Ikus dezagun proba, elipsearen kasuan ( 5. irudia ): Izan bitez V kono-aren erpina, F1 eta F2 kono-formako sekzioa definitzen duen planoaren eta esferen artekoukitze-puntuak, C1 eta C2 ukitze-zirkunferentziak esferen eta konoaren artean, P kono-formakosekzioan kokaturiko puntua eta Q1 , Q2 , P eta V, C1 eta C2 zirkunferentziekin lotzen dituenzuzenaren ebakitze-puntuak, hurrenez hurren.

5. irudia

Lehendabizi zera daukagu: PV zuzena esferekiko tangentea da Q1 eta Q2 puntuetan eta PF1,PF2 segmentuak esferei tangenteak dira F1, F2 ukitze-puntuetan. Orain, esferarekiko kanpokopuntu batetik, puntu horretatik pasatzen diren esferarekiko ukitzaile-zuzenen ukitze-puntue-tara dagoen distantzia, konstantea dela jakinik, hurrengoa ateratzen dugu:

PF1 = PQ1, PF2 = PQ2 ,

eta batuketa eginez:

PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2 = Q1 Q2 ,

baina P aldatuz, Q1 Q2 kopurua konstante mantentzen da.

ESPERIMENTUA: pilota bat linternaz hormaren kontra argiztatuz lortzen diren itzalak beza-lako kono-formako sekzioak eskuratu.

APLIKAZIOA: kono-formako sekzioak aurkitzen ditugun lehendabiziko egoeretako batKeplerrek eta Newtonek deskribaturikoan ikusten dugu, planeten orbitak edo beste gorputzakespazioan ikertzen dituztenean. Oro har, kono-formako sekzioak indar-eremu grabitatorioanmugitzen den partikulak sortutako orbitak dira.

Ondoren, kurba hauetako bakoitza lortzeko metodo batzuk deskribatuko ditugu, hala nolapaperean eraikuntzak edo artikulatutako mekanismoak. Eta eguneroko bizitzako egoera des-berdinetara egokitutako geometri-propietateen aplikazioak erakutsiko ditugu.

C1

V

Q1

C2Q2

F1

ELIPSE

• CONSTRUCCIÓN CON CLAVOS, CUERDA Y LÁPIZ

La definición de la elipse como lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de dis-tancias a los focos es constante, nos permite dar un método sencillo y práctico, con clavos,cuerda y lápiz (o materiales similares), para su trazado (véase la figura 6).

Figura 6 Figura 7

En las aulas los maestros utilizan este método para dibujar elipses en la pizarra. Otro ejemplolo podríamos encontrar en un jardinero que para ensalzar aún más la belleza de las flores deun jardín, desea separar las de diferentes tipos o colores con ayuda de figuras geométricas, porejemplo la elipse, entonces este método le permitirá fácilmente dibujar en el suelo del jardínla elipse deseada.

• ELIPSÓGRAFO DE ARTOBOLEVSKII

La misma propiedad plana nos explica el funcionamiento del elipsógrafo de palancas y colisade Artobolevskii (figura 7) [1,5]. Éste está formado por un paralelogramo cruzado ABCD talque A y B son puntos fijos, los focos de la elipse a trazar, mientras que C y D son móviles ytodos ellos son articulaciones. Consta de cuatro elementos, el segmento AB que es fijo e igualal segmento CD, mientras que los segmentos AC y BD son también iguales. Estos dos últimoselementos se cruzan en el trazador T que consta de una doble corredera articulada. ComoAB = DC y AC = DB, los triángulos ACD y DBA tendrán las mismas longitudes de sus lados ycomparten el lado DA, por lo tanto, los ángulos ACD y DBA son iguales. En consecuencia, lostriángulos CDT y BAT tienen sus lados y ángulos iguales, y en particular, BT = TC. Luego,

AT + TB = AT + TC = AC = constante.

Las ranuras del mecanismo nos sirven para dibujar diferentes elipses, variando B variamos ladistancia focal AB y variando C y D variamos la constante AT + TB, haciendo que la elipseesté más o menos aplastada.

• CONSTRUCCIÓN EN PAPEL

Podemos también construir elipses haciendo pliegues sobre una hoja de papel [4]. Dibujamosuna circunferencia con centro C sobre una hoja de papel y marcamos un punto S distinto del



Articulación 3Articulación 3

Elemento 4

DC

F’=BF=A

T

Ranura 3

Articulación 4

Ranura 4Corredera Articulada

Elemento 2

Articulación 2=F

Ranura 1

P

S S’

Ranura 2

Elemento 3

Articulación 1=F

Elemento 1

Trazador

‘



ELIPSEA

• ERAIKUNTZAK ILTZE, KORDA ETA ARKATZEKIN

Elipsearen definizioa hauxe da: planoko puntuen toki geometrikoa, puntuotatik fokuetarako distant-zien batura kostantea dena. Definizioan oinarriturik, metodo erraz eta praktikoa eman dezakegu iltzez, kordaz eta arkatzez baliatuz (edo antzeko materialekin) bere trazadurarako (ikus 6. irudia)

6. irudia 7. irudia

Irakasleek ikasgeletan metodo hau arbelean elipseak marrazteko erabiltzen dute. Beste adi-bide bat lorazainaren lanean aurki dezakegu, lorategiko loreen edertasuna gehiago goratzekozera egiten duenean: mota edo kolore desberdinetako loreak irudi geometrikoen bidez bereizinahi ditu, adibidez elipsea. Metodo honekin elipsea lurrean marraztea errazago egingo zaio.

• ARTOBOLEVSKII-ren ELIPSOGRAFOA

Propietate lau berberak Artobolevskii-ren kolisa eta palankazko elipsografoaren funtziona-mendua azaltzen digu (7. irudia) [1,5]. Hau honela eratuta dago: gurutzatutako paralelogra-moa (ABCD), A eta B puntu finkoak marraztuko den elipsearen fokuak izango dira. C eta Dmugikorrak dira eta hauek guztiak artikulaguneak dira. Lau elementuz osatua dago: AB seg-mentua finkoa eta CD segmentuaren berdina dena; AC eta BD segmentuak ere elkar berdinakdira. Azken bi elementuok T trazatzailean gurutzatzen dira (trazatzaile honek artikulaturikoirristatzaile bikoitza du). AB = DC eta AC = DB izanik, ACD eta DBA triangeluek bere aldeeidagokienez luzera berekoak izango dira eta DA aldea partekatzen dute, beraz, ACD eta DBAangeluak berdinak dira. Ondorioz, CDT eta BAT triangeluek alde eta angelu berdinak dituzte,eta bereziki, BT = TC. Orduan,

AT + TB = AT + TC = AC = konstantea

Mekanismoaren zirrikituak elipse desberdinak marrazteko baliagarriak zaizkigu, B aldatuz ABfoku-distantzia aldatzen dugu eta C eta D aldatuz gero AT + TB kostantea aldatzea lortzendugu, elipsearen forma zapalduagoa edo biribilagoa eginaraziz.

• ERAIKUNTZA PAPEREAN

Paperezko orrian tolesdurak eginez ere elipseak eraiki ditzakegu (4). Orrian zirkunferentziamarraztuko dugu, C erdiko puntua delarik eta S puntua markatuko dugu ( hau erdiko puntuaren

Artikulazioa 3

Elementua 4

DC

F’=BF=A

T

Zirrikitua 3

Artikulazioa 4

Zirrikitua 4Artikulatutako irristatzailea

Elementua 2

Artikulazioa 2=F

Zirrikitua 1

P

S S’

Zirrikitua 2

Elementua 3

Artikulazioa=F

Elementua 1

Trazatzailea

‘

centro. Elegimos un punto Q sobre la circunferencia y doblamos el papel de manera que una-mos el punto Q con el punto S, como indica la figura 8. Si vamos desplazando, poco a poco,el punto Q a lo largo de la circunferencia y haciendo pliegues como el descrito, obtendremosuna elipse. La justificación de este método está en la descripción de la elipse como la envol-vente de una familia de rectas, es decir, la curva tiene como tangentes la familia de rectasdada. Trazamos una circunferencia con centro C y elegimos un punto S en uno de los diáme-tros de la circunferencia, distinto del centro. Para cualquier punto Q sobre la circunferencia,consideramos la recta que pasa por Q y es perpendicular a SQ (véase la figura 9). La elipse esentonces la envolvente de esta familia de rectas. S es uno de los focos de la elipse y si la per-pendicular a QS que pasa por Q vuelve a cortar a la circunferencia en otro punto R y traza-mos la perpendicular a QR por R, ésta corta al diámetro en un punto fijo S', que es el otro focode la elipse. Volviendo a nuestra construcción en papel, la elipse resultante es la obtenidacomo envolvente a partir de la circunferencia con radio la mitad de la circunferencia inicial yde centro C', el punto medio de S y C (véase la figura 8).

Figura 8 Figura 9

• COMPÁS DE ARQUÍMEDES

La elipse puede obtenerse como la trayectoria de un punto fijo sobre un segmento de longi-tud constante, de tal forma que los extremos se deslizan libremente sobre dos líneas mutua-mente ortogonales (uno sube y baja, el otro se mueve a derecha e izquierda, como muestra lafigura 10). Debajo de esta construcción tenemos que la elipse se puede parametrizar como (acosu, b senu), donde a es la distancia del punto a un extremo del segmento y b al otro. El com-pás de Arquímedes es un sencillo y útil trazador de elipses. Cuando hablamos de mecanismospara dibujar secciones cónicas estamos englobando situaciones más generales, como porejemplo, el diseño de cutters. Una aplicación directa es la fabricación de portarretratos elíp-ticos.

Figura 10



QQ

U

Q ’

W

RT

A S C S ’ A ’

S C ’

doblez

C



desberdina da). Zirkunferentzian Q puntua hautatu eta papera tolestuko dugu Q eta S puntuakelkarrekin lotuz, 8. irudian ikus daitekeen bezala. Q puntua zirkunferentzian zehar piskanakadesplazatuz baldin bagoaz eta aipaturiko tolesdurak egiten baditugu elipsea lortuko dugu.Metodo honen justifikazioa elipsearen ondoko deskripzioan daukagu: zuzen-talde baten ingu-ratzailea da, hau da, kurbak tangente bezala, emandako zuzen-taldea du. Zirkunferentziamarraztuko dugu C erdiko puntua delarik eta zirkunferentziaren diametroetako baten S pun-tua (erdikoaren desberdina) aukeratuko dugu. Zirkunferentziako edozein Q punturako, Q-tikpasatzen den zuzena kontsideratuko dugu, SQ-rekiko elkarzuta dena (ikus 9. irudia). Elipseazuzen-talde honen inguratzailea da. S elipsearen fokuetako bat da eta QS-rekiko elkarzutak,Q-tik pasatzen denak, berriz zirkunferentzia beste puntuan (R) mozten baldin badu eta R-tikQR-rekiko elkarzuta marrazten baldin badugu, honek diametroa S’ puntu finkoan moztuko du.Puntu hau elipsearen beste fokua litzateke. Berriro gure paperezko eraikuntzara bueltatuz,elipse erresultantea ondorengoa litzateke: zirkunferentziaren inguratzailearen ondorioz lortua,erradioa hasierako zirkunferentziaren erdia delarik eta C’ erdiko puntua, S eta C-ren erdikopuntua izanik (ikus 8. irudia).

8. irudia 9. irudia

• ARQUIMEDES - en KONPASA

Elipsea era honetan atera daiteke: puntu finkoak luzera konstantea duen segmentuaren gainegiten duen ibilbidea, muturrak elkar ortogonalak diren bi lerroen gainetik libreki irristatzendirelarik (bata igo eta jaisten da, bestea ezkerrera eta eskuinera mugitzen da, 10. irudian ikusibezala). Eraikuntza honen azpian, elipsea era honetara parametriza daiteke (a cos u, b cos u),non a puntutik segmentuaren muturrerainoko distantzia den eta b beste muturrera dagoen dis-tantzia. Arquimedesen konpasa elipseen trazatzaile erraz eta baliagarria da. Kono-formakosekzioak marrazteko mekanismoez mintzatzen garenean egoera orokorragoak biltzen ari gara,hala nola, cutters-en diseinua. Honen aplikazio zuzena argazki-marko eliptikoetan aurkitzendugu.

10. irudia

QQ

U

Q ’

W

RT

A S C

C

S ’ A ’

S C ’

tolestura

• APLICACIONES

i) Galería del Eco. Volviendo a la figura 9, consideremos Q' un punto sobre la circunfe-rencia cerca de Q y la perpendicular a SQ' a través de Q'. Esta es otra tangente a laelipse. Sea ahora T el punto de intersección de las tangentes que parten de Q y Q',entonces los puntos S, Q, Q' y T están sobre la misma circunferencia y, en conse-cuencia, el ángulo UQS es igual al ángulo STQ'. Al acercarse el punto Q' a Q, el seg-mento QQ' converge a la tangente a la circunferencia en Q y el punto T al punto Psobre la elipse, de modo que los ángulos UQS y QPS son iguales (véase la figura 11).Repitiendo el argumento con S' obtenemos la siguiente propiedad fundamental de laelipse: si S y S' son los dos focos de la elipse y P es un punto de la misma, entonceslos ángulos entre la tangente en P a la elipse y las rectas que unen P a S y S', respecti-vamente, son iguales.

Figura 11

Ahora teniendo en cuenta las leyes de la reflexión, en concreto, que un "rayo" (de luz,sonido, etc) se refleja sobre una curva o una superficie regulares al igual que lo haríasobre la recta o el plano tangentes, es decir, el ángulo de incidencia es igual al de refle-xión, observamos que un rayo que parta de un foco se reflejará en el otro foco. Este fenó-meno ha sido utilizado por arquitectos de todo el mundo en la construcción de lo quese conoce con el nombre de galerías del eco, es decir, habitaciones cuyo techo o pare-des son elípticos o semi-elipsoides de revolución y si una persona se coloca en un foco,su voz será escuchada claramente por quien esté en el otro foco, sin embargo, las demáspersonas no le oirán o no claramente. Galerías del eco famosas son la catedral deS. Pablo en Londres, el National Statutary Hall del Capitol de los EE.U.U., y tambiénalgunas estaciones de metro y museos de la ciencia.

ii) Lámpara del dentista. El mismo principio anterior nos explica por qué las lámparas delos dentistas están formadas por un espejo semi-elipsoidal con la fuente de luz en unode los focos de la elipse generatriz, de forma que los dentistas puedan enfocar luz enun punto determinado, sobre la boca del paciente, que se corresponderá con el otrofoco.

iii) Piedras del Riñón. Esta propiedad fundamental es utilizada en litroticia, el tratamientomédico para pulverizar o reducir a pedazos muy menudos las piedras del riñón, den-tro del paciente y sin tener que realizarle ninguna operación quirúrgica. El pacientees colocado en un tanque o bañera de agua elípticos, con la piedra en uno de losfocos. Desde el otro foco se generan ondas de sonido, que tras rebotar en las paredesdel tanque se concentran en la piedra y la pulverizan.



• APLIKAZIOAK

i) Oihartzunaren Galeria. 9. irudira bueltatuz kontsidera dezagun Q´ zirkunferentziakopuntua, Q-ren ondoan dagoena eta Q´-tik SQ´-rekiko elkarzuta dena. Hau elipsearenbeste tangente bat da. Izan bedi T,Q eta Q´-tik ateratzen diren tangenteen ebakidura-puntua, orduan S,Q,Q´eta T puntuak zirkunferentziaren gainean daude eta ondorioz,UQS angelua STQ´ angeluaren berdina da. Q´puntua Q-ri hurbiltzen zaionean,QQ´segmentua Q puntuan zirkunferentziarekiko tangenteari elkartzen zaio eta T pun-tua elipsearen P puntuari ere. Honela UQS eta QPS angeluak berdinak dira (ikus 11.irudia). S´-rekin argudioa errepikatuz, elipsearen hurrengo funtsezko propietatea lor-tuko dugu: S eta S´elipsearen bi fokuak baldin badira eta P bertako puntua, orduanelipsearekiko P puntuan tangentearen eta P puntua S eta S´-ri lotzen zaizkion zuzenenarteko angeluak, hurrenez hurren, berdinak dira.

11. irudia

Orain isladapenaren legeak kontuan izanik, izpi bat (argiarena, soinuarena...) kurbabaten edo azalera erregular baten gainean zuzenaren edo plano tangentearen gaineanegingo lukeen bezala isladatzen da, hau da, eraso-angelua isladapen-angeluaren berdinada. Era honetan, foku batetik ateratzen den izpia beste fokuan isladatuko da. Fenomenohau mundu osoko arkitektuek erabili izan dute, oihartzunaren galeria izenaz ezagutua,bere eraikuntzak egiterakoan, hots, sabai edo horma eliptiko edo biraketa elipsoide-erdiak dituzten geletan. Eraikuntzotan pertsona bat fokuetako batean kokatzen baldinbada bere ahotsa oso argi entzungo du beste fokuan dagoenak, baina beste pertsonek,aldiz, ez dute entzungo edo ez behar bezain argi. Oihartzunaren Galeria ospetsuenartean honako hauek aipa ditzakegu: Londresko Pablo Deunaren Katedrala, E.B.etakoCapitolean dagoen National Statutary Hall eta baita metroko geltoki batzuk eta zientzia-museoak.

ii) Haginlariaren lanpara. Aurreko printzipio berak azaltzen digu zergatik haginlarienlanparak eipsoide-erdiko ispiluaz eratuta dauden, elipse sortzailearen fokuetako batenargi-iturria dutelarik. Honela, pazientearen ahoan,haginlariek argia puntu zehatzbaten foka dezakete, beste fokuarekin bat datorrelarik.

iii) Giltzurruneko harriak. Funtsezko propietate hau litrotizian erabilia da: pazientearenbarnean eta inolako ebakuntzarik egin gabe, giltzurruneko harriak birrindu edo zatioso txikiak bihurtzen dituen tratamendua da. Pazientea urez beteriko bainera edodepositu eliptiko batean jartzen da, harria fokuetariko batean dagoelarik. Beste foku-tik soinu-uhinak sortzen dira eta deposituaren hormetan punpa eginez, harrian kont-zentratzen dira eta ondorioz birrindu egiten dute.



iv) Arquitectura. Además de en el diseño de galerías del eco, a lo largo de la historia losarquitectos han considerado las elipses en la construcción de edificios y lugares públi-cos, en ciertas ocasiones por la importancia de las propiedades de las elipses, mien-tras que en otras simplemente por la belleza de sus forrnas. Algunos ejemplos: elColiseum en Roma, la Plaza de San Pedro en el Vaticano o si nos vamos a tiempos ylugares más cercanos, la Plaza Moyúa en Bilbao. Todos ellos son lugares de plantaelíptica. Otro edificio donde se hace uso de la elipse pero como la sección inclinadade un cilindro es el Planetarium Tycho Brahe de Copenhagen.

PARÁBOLA


Un sencilla construcción de la parábola haciendo uso de clavos, cuerda y lápiz, junto con unaregla y un cartabón, se obtiene de la propiedad de la parábola de que sus puntos equidistandel foco y de la recta directriz (véase figura 12).

Figura 12 Figura 13

• PARABOLÓGRAFO DE ARTOBOLEVSKII

El parabológrafo de palancas y colisa de Artobolevskii (figura 13) [1,5] consta de una colisaD, guía fija que representa la directriz de la curva, a la cual se ha fijado una corredera articu-lada E que funciona como un par de traslación con las correderas articuladas y cruciformes Ay B. Éstas, a su vez, mueven al elemento 3 de forma perpendicular a D y al elemento 2, des-lizándolo a lo largo de la colisa fija T, paralela a D, y que representa la tangente en el vérticeV, y a lo largo del punto fijo C, que representa el foco. Además, el elemento 1 es perpendi-cular al elemento 2, con lo cual, como el punto B biseca el segmento EC, los triángulos EABy CBA son congruentes. En consecuencia, EA y AC son iguales.


Describamos la parábola como la envolvente de una familia de rectas [4]. Trazamos una líneaL (directriz), elegimos un punto S (foco) no situado sobre la línea L y, desde cualquier punto Psobre la línea, trazamos una recta t perpendicular a SP (figura 14). La parábola es la envol-vente de esa familia de rectas que acabamos de generar. Se llama eje de la parábola a la rectaperpendicular a L que pasa por S.



Elemento 1Tv = eje y

p/2

D

O

E

p/2

Corredera Articulada

Elemento 3



Elemento 2

T

A

B

VC=F



iv) Arkitektura.Oihartzunaren galerien diseinuaz aparte, historian zehar arkitektuek elip-seak kontsideratu dituzte edifizio eta toki publikoen eraikuntzatan, maiz elipseakdituzten propietate garrantzitsuak aprobetxatuz eta beste batzuetan bere formen eder-tasunagatik. Hona hemen adibide batzuk: Erromako Coliseuma, Vaticanoko KepaDeunaren Enparantza edo denbora eta toki hurbilagoetara baldin bagoaz, BilbokoMoyua Enparantza. Hauek guztiek oinarri eliptikoa dute. Elipsea erabili izan dutenbeste eraikin bat, baina zilindroaren sekzio makur bezala, Copenhagen-eko TychoBrahe Planetariuma da.

PARABOLA


Parabolaren eraikuntza erraza iltze, korda eta arkatzaren bitartez egin daiteke, erregela etakartaboiaz lagundurik; parabolaren propietatetik ateratzen da, non bere puntuak fokutik etazuzentzailetik distantzikide diren.

12. irudia 13. irudia

• ARTOBOLEVSKII. - ren PARABOLOGRAFOA

Artobolevskii-ren kolisa eta palankazko parabolografoak (13. Irudia) [1,5] D kolisa dauka, gidafinkoa kurbaren zuzentzailea irudikatzen duena. Honi E artikulaturiko irristagailua jarri zaio;A eta B irristagailu artikulatu eta gurutze-formakoekin batera funtzionatzen du. Hauek biak,era berean, 3 elementua mugitzen dute D eta 2 elementuarekiko elkarzut eran, T kolisa fin-koan zehar irristatuz. T kolisa D-rekiko paraleloa da eta V erpinean tangentea irudikatzen dueta C puntu finkoan zehar, fokua irudikatzen du. Gainera, 1 elementua 2 elementuarekikoelkarzuta da. Beraz, B puntuak EC segmentua erdibitzen duenez, EAB eta CBA triangeluakkongruenteak dira. Ondorioz, EA eta AC berdin-berdinak dira.


Deskriba dezagun parabola zuzen-taldearen inguratzaile bezala [4]. L lerroa marraztuko dugu(zuzentzailea), L lerroan kokaturik ez dagoen S puntua (fokua) hautatuko dugu eta lerroko edo-zein P puntutik SP-rekiko elkarzuta den t zuzena marraztuko dugu (ikus 14. irudia). Parabola,sortu berri dugun zuzen-taldearen inguratzailea da. S-tik pasatzen den eta L-rekiko elkarzutaden zuzenari parabolaren ardatza deituko diogu.

1 ElementuaTv = y ardatza

p/2

D T

A

B

VC=FO

E

p/2

Artikulatutako irristatzailea

3 Elementua



2 Elementua

Figura 14 Figura 16

Ahora, para construir una parábola haciendo pliegues, trazamos una línea m sobre la hoja depapel, señalamos un punto S sobre el papel que no esté sobre la línea, y doblamos el papel demanera que m pase por S (donde se ha doblado el papel será nuestra recta directriz L de la pará-bola), manteniendo esta posición. Después, dóblese cuidadosamente el papel de la siguientemanera, por el lado del papel donde hicimos el pliegue inicial hacemos un nuevo pliegue quepase por S, a la vez que hacemos el pliegue complementario para juntar las dos partes delextremo L del pliegue inicial y marcamos bien este segundo pliegue. Tras varias operacionescomo esta abrimos completamente el papel y obtendremos, al igual que en la figura 14, que elsegundo tipo de pliegues nos determinan una parábola. Nótese que cuando hacemos un plie-gue, el unir las dos partes de L nos determina el ángulo recto deseado de la figura 14.

• APLICACIONES

i) Tiro parabólico. Si se lanza una pelota o un proyectil según un cierto ángulo (no envertical hacia arriba), el camino seguido por la pelota/proyectil es una parábola (obser-vando que la resistencia del aire es mínima), con eje vertical y de tal forma que la dis-tancia de alcance y la altura dependen de la velocidad inicial de lanzamiento. Es porello, que en el estudio de algunos deportes (por ejemplo, en centros de alto rendi-miento), como salto de longitud, lanzamiento de jabalina, peso o martillo, baseball, etcse tiene muy en cuenta esta circunstancia. Este fenómeno también es muy importanteen balística.

ii) Proyectores, Focos de coches, Linternas,... Haciendo uso de cuestiones implícitas enla construcción de la parábola como envolvente de una familia de rectas y de formasimilar al caso visto de la elipse podemos obtener una propiedad fundamental de laparábola (véase [4] para más información). Sea R la recta que pasa por un punto T dela parábola y el foco S, y M la recta que pasa por T y es paralela al eje de la parábola,entonces el ángulo entre M y la recta V tangente en T a la parábola es igual al ánguloentre R y V (véase la figura 15).



V U

t

S

P

A

L

N

V

SL A’ A

R

T M

P

Q

Figura 15




Orain, parabola tolesduren bitartez eraikitzeko, orrian m lerroa marraztuko dugu, lerroarengainean ez dagoen S puntua seinalatuko dugu paperean eta orria tolestuko dugu m S-tik pasa-tzen delarik ( papera tolestu den tokia gure parabolaren L zuzentzailea izango da ), posiziohau mantenduz. Gero, papera kontuz toles bedi era honetara: hasierako tolesdura egin dugunpaperaren aldetik Stik pasatzen den tolesdura berria egingo dugu. Honekin batera tolesduraosagarria gauzatuko dugu, hasierako tolesduraren L muturraren atal biak elkar lotzeko etabigarren tolesdura hau ondo markatuko dugu. Hau bezalako operazio desberdinen ondorenpapera guztiz zabalduko dugu eta 14. irudian ikusi bezala, bigarren tolesdura motak parabolaeratzen duela frogatuko dugu. Tolesdura egiten dugunean, nabarmen bedi Lren bi atalak elkarlotzen ditugunean 14. irudian nahi genuen angelu zuzena zehazten digula.

• APLIKAZIOAK

i) Jaurtiketa parabolikoa: pilota edo jaurtigaia angelu zehatz baten (gorantz bertikalki ez)jaurtikitzen baldin bada, pilota/jaurtigaiak jarraituriko ibilbidea parabola da (aireare-kiko erresistentzia minimoa dela kontuan izanik), ardatz bertikalez eta helmen-distan-tzia eta altuera jaurtiketaren hasierako abiaduraren araberakoak dira.. Hau dela eta,kirol batzuen ikerketan (hala nola errendimendu goreneko zentruetan), luzera-jauzia,txabalina-jaurtiketa, pisu-jaurtiketa, mailu-jaurtiketa, baseball e.a. bezalako kiroletankontu handiz ikertzen da fenomeno hau. Balistikan ere ikerketa hau funtsezkoa da.

ii) Proiektoreak, kotxeen fokoak, linternak... Parabola, zuzen-taldearen inguratzailetik sor-tzen dela kontuan izanik eta elipsearen kasuan ikusi bezala, parabolaren funtsezko pro-pietatea lor dezakegu (informazio gehiagorako ikus [4]).Izan bedi R parabolako puntubatetik T, eta S fokutik pasatzen den zuzena eta M, Ttik pasatzen den zuzena eta para-bolaren ardatzarekiko paraleloa dena, orduan M eta V zuzenaren arteko angelua, R etaV ren arteko angeluaren berdina da (V zuzena T puntuan parabolarekiko tangentea da;ikus 15. irudia).

V U

t

S

P

A

L

N

V

SL A’ A

R

T M

P

Q

Figura 15

Esta propiedad fundamental de las parábolas tiene muy útiles aplicaciones en la vidareal, ya que cualquier rayo que parta del foco queda reflejado en un rayo paralelo aleje, propiedad que se utiliza en la fabricación de proyectores, focos de coches, lin-ternas, etc (figura 16). Éstos, con forma de paraboloide de revolución, envían la luzen un chorro, paralela al eje de la parábola generatriz, y así la zona de iluminaciónes amplia y nítida. Por el contrario, en el caso de la lampara del dentista el interésestá en focalizar la luz en una zona concreta y más reducida, para trabajar mejorsobre ella.

iii) Radares, Antenas Parabólicas, Hornos solares,... Por el mismo motivo, los rayos quelleguen a una superficie parabólica paralelos al eje se reflejarán en el foco, dondepodrán ser recogidos. Por este motivo, los grandes radares y antenas parabólicas usa-dos para recibir ondas de luz y sonido del espacio exterior y, en general, todo tipo deantenas parabólicas, como las que tenemos para ver la televisión via satélite, tienenforma de paraboloide de revolución. La misma idea se tiene en cuenta en el diseñode hornos solares, que captan las ondas de calor emitidas por el sol.

iv) Galerias del Eco. Este principio de reflexión, en ambos sentidos, permite la construc-ción de una especie de galería del eco. En algunos parques infantiles, como el par-que del Museo de Bellas Artes de Bilbao, encontramos dos superficies parabólicasuna enfrente de la otra y a una cierta distancia, donde los niños juegan. Desde el focode una de las superficies parabólicas el niño habla, entonces el sonido se refleja enla superficie y sale de forma paralela al eje, hasta llegar a la otra superficie parabó-lica situada enfrente, donde el sonido se recoge en el correspondiente foco y su amigole escucha con claridad, mientras que nadie alrededor les oye.

v) Creador de imágenes 3D. Haciendo uso de las propiedades de reflexión de las pará-bolas, podemos considerar dos espejos parabólicos y crear un visor de imágenes 3Dvirtuales. Como muestra la figura 17, se juntan dos espejos parabólicos, el espejosuperior con un agujero circular de forma que el foco del espejo de abajo esté porencima de éste, mientras que el foco del espejo de arriba esté justo encima del espejode abajo. Es ese punto colocaremos el objeto y su imagen 3D virtual aparecerá en elagujero superior, tras reflejarse en ambos espejos. Un económico visor 3D podría rea-lizarse con adornos navideños de plástico con forma parabólica en sus extremos.

Figura 17

vi) Cable de suspensión de un puente. A la hora de construir un puente como el GoldenGate de San Francisco los ingenieros que lo realizan tienen que tener en cuenta queel cable de suspensión de un puente tiene forma de parábola. Aunque no hay queconfundir con la curva catenaria que es la forma que adquiere un cable suspendidodesde dos puntos, como es el caso de los cables de electricidad de los trenes.

vii) Arquitectura. Como pequeña muestra de la aparición de la parábola en la arquitec-tura moderna, mencionaremos que el genial arquitecto Antoni Gaudí diseñó arcoscon forma parabólica en puertas y ventanas del Palacio Gaudí de Barcelona (cons-truido por Eusebio Güell), así como en posteriores proyectos, jugando con la simili-tud de estas formas con las puertas y ventanas Góticas.





Parabolen funtsezko propietate honek bizitza arruntean aplikazio erabilgarri anitzdu, fokutik ateratzen den edozein izpi ardatzarekiko paraleloa den izpian isladaturikgeratzen baita. Propietate hau proiektoreetan, kotxeen fokoetan, linternetan e. a. era-biltzen da (16. irudia ). Hauek, biraketa-paraboloide forma dutenez, argia txorrobatez igortzen dute, parabola sortzailearen ardatzarekiko paraleloa eta honela argi-tzegune zabala eta argia lortzen da. Haginlariaren lanpararen kasuan, aldiz, argiagune zehatz eta urriago baten fokalizatzea du helburu, ahoan lan egiteko era erraz-tuz.

iii) Radarrak, Antena Parabolikoak, Eguzki-Labeak...Arrazoi berberagatik, azalera para-bolikora (ardatzarekiko paraleloa) iristen diren izpiak fokuan isladatuko dira, nonbildu daitezkeen. Arrazoi hau dela medio, radar handiek eta kanpoko espaziotik argieta soinu-uhinak jasotzeko erabiltzen diren antena parabolikoek eta oro har, antenaparaboliko mota guztiek (satelite bidez telebista ikusteko ditugunak), biraketa-para-boloide formakoak dira. Ideia berbera erabiltzen dute eguzki-labeak diseinatzera-koan, eguzkiak igortzen dituen bero-uhinak biltzen dituztenak baitira.

iv) Oihartzunaren Galeriak. Isladapen printzipio honek, bi zentzuetan, oihartzunarengaleria antzerakoa eraikitzea posibilitatzen du. Jolas-parke batzuetan, Bilboko ArteEderretako Museoan dagoen parkean esaterako, parabola formako bi azalera aurki-tzen ditugu bata bestearen aurrean kokaturik eta distantzia zehatz batera, haurrakjolasteko dagoena. Azalera paraboliko baten fokutik haurrak hitz egiten du, orduanhotsa azaleran isladatzen da eta ardatzarekiko paraleloki ateratzen da, aurrez aurredagoen beste azalera parabolikora iritsi bitartean. Hemen hotsa dagokion fokuan bil-tzen da eta beste haurrak oso argi entzuten du eta inguruko inork, aldiz, ez daukahots hori entzuteko aukerarik.

v) 3D irudien sortzailea.Parabolen isladapen-propietateak erabiliz, bi ispilu parabolikokontsidera ditzakegu eta 3D alegiazko irudien bisorea sor dezakegu. 17. irudian ikusibezala, bi ispilu paraboliko elkartzen dira: goiko ispilua zulo biribila duena, behekoispiluaren fokua honen gainetik dagoelarik eta goiko ispiluaren fokua, aldiz, behekoispiluaren gainean justu-justu dagoelarik. Puntu horretantxe objetua kokatuko dugueta bere 3D alegiazko irudia goiko zuloan agertuko da, bi ispiluetan isladatu ondo-ren. 3D motako bisore merkea honela egin daiteke: Eguberrietako plastikozko apain-garriekin, bere muturrak parabola formakoak direla.

17. irudia

vi) Zubiaren zintzilikatze-kablea. San Franciscoko Golden Gate gisako zubia eraikitze-rako orduan ingeniariek zera kontuan izan behar dute: zubiaren zintzilikatze-kableaparabola formakoa dela. Katenaria-kurbarekin ez da nahasi behar, hau bi puntutikzintzilik dagoen kableak hartzen duen forma baita, trenbideetako elektrizitate-kablean gertatzen den bezala.

vii) Arkitektura. Gaur egungo arkitekturan parabola erabiltzearen lagin txiki bezalahonako hau aipa genezake: Antoni Gaudi arkitekto ospetsuak Barzelonako GaudiJauregiko ate eta leihoetan parabola formako arkuak diseinatu zituen (Jauregi hauEusebio Guell-ek eraiki zuen). Geroxeago, beste proiektu batzuetan ate eta leihoGotikoen antzekotasuneko formak erabili zituen.

HIPÉRBOLA


Una vez más, la obtención de un método simple para el trazado, esta vez de la hipérbola, sebasa en su descripción como curva plana, exactamente como el lugar geométrico de los pun-tos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es constante (figura 18).

Figura 18 Figura 19

• HIPERBOLÓGRAFO DE INWARDS

Este hiperbológrafo (figura 19) [5] consta de cuatro segmentos iguales (1,2,3 y 4) que confor-man el rombo CGBD. Los segmentos 1 y 2 giran alrededor de la articulación D, mientras que3 y 4 lo hacen alrededor de G. El elemento 5 conforma el par de rotación con las correderasA y B. Así el mecanismo se mueve alrededor de los puntos fijos E y D, mientras que A trazauna hipérbola, ya que

EA - AD = EA - AG = EG = constante.


La obtención de la hipérbola haciendo pliegues en un papel es la misma que para la elipsepero cambiando el punto interior a la circunferencia, para el caso de la elipse, por un puntoexterior.

Figura 20 Figura 21



ArticulaciónCorredera Articulada

Elemento 3

CCCC

aº

A

B

DOE

G

CorrederaArticulada

Elemento 2

asín

tota

asíntota

MP

S A C A‘ S’S

N

C’

Q

Articulación

Elemento 1Elemento 1Elemento 6

Elemento 4


Elemento 5

F1 F2

2a

2c

HIPERBOLA


Berriro trazaturako metodo erraza aurkeztuko dugu, kasu honetan hiperbolarena: bere des-kripzioan oinarriturik kurba lau bezala, hots, planoko puntuen toki geometrikoa non fokuekikodistantzien arteko diferentzia konstantea den (ikus 18. irudia )


• INWARDS - en HIPERBOLOGRAFOA

Hiperbolografo hau (19. irudia) 5 lau segmentu berdinez osaturik dago (1,2,3,4) CGBD erron-boa sortaraziz. 1 eta 2 segmentuek D artikulazioaren inguruan biratzen dute, 3 eta 4 segmen-tuek, aldiz, G-ren inguruan egiten dutelarik. 5 elementuak, A eta B irristagailuekin errotazio-bikotea osatzen du. Horrela, mekanismoa E eta D puntu finkoen inguruan mugitzen da, A-khiperbola trazatzen duelarik, hots

EA – AD = EA – AG = EG = konstantea


Paperean tolesdurak eginez hiperbola ateratzeko metodoa elipsearen kasuan erabilitako ber-bera da baina zirkunferentziaren barneko puntua aldatuz, elipsearen kasurako, kanpoko pun-tutik egiten delarik


1 Elementua



asín

tota

asíntota

MP

S A C A‘ S’S

N

C’

Q

ArtikulazioaArtikulatutako irristatzailea

Elementua 3

CCCC

aº

A

B

DOE

G

Artikulatutakoirristatzailea

2 Elementua

Artikulazioa

Elementua 6

Elementua 4


Elementua 5

F1 F2

2a

2c

De nuevo, la justificación está en la hipérbola como la envolvente de una familia de rectas.Dibujamos una circunferencia con centro en C y tomamos un punto S fuera de la circunfe-rencia, entonces consideramos las rectas que pasan por puntos Q de la circunferencia y sonperpendiculares al segmento SQ (figura 20). Entonces la envolvente de esta familia de rectases la hipérbola, con sus dos ramas. Desde S podemos trazar dos tangentes SM y SN a la cir-cunferencia, entonces los puntos sobre el arco de circunferencia entre M y N que están frentea S dan una de las ramas de la hipérbola, y los otros puntos de la circunferencia la otra. Elpunto fijo S es uno de los focos de la hipérbola, el otro foco S' es el simétrico de S respectodel centro C de la circunferencia; además, la misma construcción pero realizada desde S' nosda la misma hipérbola.

• APLICACIONES

i) Forma de un lápiz. Si tenemos en cuenta que la hipérbola es la intersección de uncono circular recto con un plano paralelo al eje del cono, entonces aparecerán hipér-bolas en diferentes situaciones que se deriven de este hecho, como por ejemplo, laforma del dibujo de un lápiz, con sección poligonal y recién afilado, o la sombra deuna lámpara.

ii) LORAN. Una de las aplicaciones de la propiedad fundamental plana es el LORAN(Long Range Navigation), que es un sistema de navegación que permite a un avión oa un barco determinar su posición mediante señales de radio. Supongamos que haydos estaciones de radio, en dos puntos conocidos F1 y F2 , que envían señales simultá-neamente a un barco, donde se medirá el intervalo Dt = t2 - t1 entre el tiempo en quese reciben las dos señales (en el barco no se necesita saber ni cuando se enviaron lasseñales ni cuanto han tardado en llegar); entonces la diferencia entre la distancia delbarco a ambas estaciones es |d(P, F1) - d(P, F2)| = c Dt, donde c es la velocidad de lasseñales de radio, es decir, el barco estará situado en una posición P sobre la hipérbolade ecuación |d(P, F1) - d(P, F2)| = c Dt . Si además, tenemos una tercera estación deradio F3 , podemos obtener con toda exactitud la posición del barco.

iii) Zona de "audición" de un avión. Si un avión que vuela a una cierta altura h sobre lasuperficie terrestre (que la supondremos plana) a una velocidad supersónica v ¿cuál es,en el momento dado, la región de la superficie terrestre en cuyos puntos se ha oido yao se oye en ese momento el sonido del motor del avión?

Figura 22

Supongamos que t segundos antes del momento dado el avión estaba en un punto B(a una distancia vt) y denotamos por A el punto proyección de B sobre el plano terres-tre. Desde B el sonido se habrá propagado a todos los puntos que distan ut de B, es



B

OA L

LOAut h

=u2t2 - h2



Berriro, justifikazioa honetan datza: hiperbola zuzen-taldearen inguratzaile bezala hartu beharda. C erdiko puntua duen zirkunferentzia marraztuko dugu eta zirkunferentziatik kanpoko Spuntua hartuko dugu. Orduan, zirkunferentziako Q puntuetatik pasatzen diren zuzenak etaSQ segmentuarekiko elkarzutak direnak kontsideratuko ditugu (20. irudia). Zuzen-talde horreninguratzailea hiperbola izango da, bere bi adarrekin. S-tik zirkunferentziari tangente diren SMeta SN traza ditzakegu. Kasu honetan, zirkunferentzia-arkuaren gaineko puntuek, M eta Nbitartean eta S-ren aurrez-aurre daudenak, hiperbolaren adarretariko bat ematen dute eta zir-kunferentziaren beste puntuek, ordea, beste adarra emango lukete. S puntu finkoa hiperbola-ren fokuetariko bat da, beste fokua (S´) zirkunferentziaren C erdiko puntuarekiko S-ren sime-trikoa da; gainera eraikuntza berberak S´-tik eginda hiperbola bera emango luke.

• APLIKAZIOAK

i) Arkatzaren forma. Hiperbolaren definizioan oinarritzen baldin bagara: zirkulu for-mako kono zuzena konoaren ardatzarekiko paraleloa den planoarekin egiten duenebaketa, orduan hiperbola desberdinak agertuko dira, hala nola, arkatz baten irudia-ren forma, poligono-sekzioa duena eta zorroztu berri dagoenean edota lanparak sor-tarazten duen gerizpea.

ii) LORAN. Funtsezko propietate lauaren aplikazioetako bat LORAN (Long RangeNavigation) da. Hau nabigazio sistema bat da eta hegazkin eta itsasuntziek, irrati sei-nale bidez, bere posizioa finkatzeko erabiltzen dute. Suposa dezagun bi irratigunedaudela, F1 eta F2 puntu ezagunetan kokaturik eta aldi berean itsasuntziari seinaleakigortzen dizkiotela non bi seinaleak jasotzen direneko Dt = t2 - t1 denbora tartea neur-tuko den ( itsasuntzian ez da beharrezkoa jakitea noiz igorri diren seinaleak ezta zen-bat denbora iraun duten iritsi bitartean ); orduan itsasuntzitik bi irratiguneetaradagoen distantziaren diferentzia ondokoa litzateke |d(P, F1) - d(P, F2)| = c Dt, non cirrati-seinaleen abiadura den, hau da, itsasuntzia |d(P, F1) - d(P, F2)| = c Dt ekuazio-hiperbolaren gaineko P kokagunean egongo litzateken: Honetaz gain, hirugarren irra-tigunea baldin bagenu (F3), orduan itsasuntziaren posizioa zehaztasun osoz ateragenezakeen.

iii) Hegazkinaren “audizio” gunea. Hegazkina lurzorutik (laua dela suposatuz) h altue-rara hegaz baldin badoa v abiadura supersonikoz, zein litzateke lurreko azalerakogunea non hegazkinaren motorreko hotsa jada entzun den edo une horretantxe ent-zuten den?

22. irudia

Suposa dezagun emandako unea baino t segundu lehenago hegazkina B puntuanzegoela (vt distantziara) eta izan bedi A B-ren proiekzio puntua lurraren planoan. B-tikhotsa hedatuko da ut distantziara dauden puntu guztietara, hau da, B erdiko puntua

B

OA L

LOAut h

=u2t2 - h2

decir, a los puntos de la esfera de centro B y radio ut (u - velocidad del sonido). Siut > h, el sonido llega a la tierra y la región donde se oye el avión será una circunfe-rencia de centro A y radio =u2t2 - h2. La envolvente de la familia de circunferenciasque se obtienen al variar B, es una hipérbola que nos delimita la zona donde se haoido ya o se oye en ese momento el sonido del avión (figura 22).

iv) Lentes telescópicas. Existe de nuevo una propiedad fundamental, ahora para la hipér-bola, que nos dice que si P es un punto sobre la hipérbola, la tangente en P a la hipér-bola biseca el ángulo entre los segmentos SP y S'P (como muestra la figura 21).

Esta propiedad es utilizada, por ejemplo, para fabricar lentes telescópicas cuyo espejotenga forma hiperbólica. Además, algunas lentes telescópicas tienen como parte prin-cipal un espejo parabólico que refleja la luz hacia su foco y entonces un espejo hiper-bólico, que comparte ese foco, la lleva hacia el otro foco de la hipérbola, situado deforma más conveniente.

v) Arquitectura. A. Gaudí hizo uso constantemente de la geometría en sus diseños, entreellos el de la Sagrada Familia. Por ejemplo, nos encontramos superficies con forma dehiperboloide (superficie reglada con hipérbolas como secciones planas) o de parabo-loide hiperbólico (superficie con parábolas e hipérbolas como secciones planas).

Bibliografía

[1] I. I. Artobolevskii: Mechanims for the generation of plane curves, Pergamon Press,1964.[2] C. B. Boyer: Historia de la matemática, AUT 94, Alianza Ed., 1986 (ed. inglesa J. Wiley& sons, 1968).[3] T. L. Heath: Apollonius of Perga. A Treatise on Conic Sections, Cambridge Univ. Press,1896 (reed. Barnes and Noble, 1961).[4] D. Pedoe: La geometria en el arte, Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.[5] A. Rendón Gómez: GEOMETRÍA, paso a paso, vol. I, Ed. Tebar, 2000.[6] C. Zwikker: The advanced geometry of plane curves and their application, DoverPublications Inc., New York, 1963.[7] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html[8] http://www. camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm[9] http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/[10] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history





eta ut erradioa duen esferaren puntuetara (u- soinuaren abiadura). ut > h baldin bada,hotsa lurrera iritsiko da eta hegazkina entzungo den gunea A-n erdiko puntua dueneta =u2t2 - h2 erradioa duen zirkunferentzia izango da. B aldatzerakoan lortzen denzirkunferentzia-familien inguratzailea hiperbola da: honek hegazkinaren hotsa en-tzun den edo une horretantxe entzuten den esparrua mugatuko du (22. Irudia).

iv) Lente teleskopikoak. Berriro funtsezko propietatea dugu hiperbolarentzat: P hiperbo-lako puntua baldin bada hiperbolarekiko P puntuan tangenteak SP eta S´P segmen-tuen arteko angelua erdibitzen du.(ikus 21. irudia).

Aipaturiko propietatea lente teleskopikoak egiteko erabilia da (ispilua hiperbola for-makoa izan behar da). Gainera, lente teleskopiko batzuk oinarrizko atal bezala ispiluparabolikoa dute. Honek argia bere fokurantz isladatzen du eta orduan ispilu hiper-bolikoak, foku hori partekatzen duenak, era egokian kokaturiko hiperbolaren bestefokurantz bideratzen du argia.

v) Arkitektura. A. Gaudik bere diseinuetan behin eta berriro erabiltzen zuen geometria,Sagrada Familian esaterako. Adibide bezala, hiperboloide edo paraboloide hiperbo-liko formako azalerak aurki ditzakegu. Hiperboloide forma: sekzio lau bezala hiper-bolez erregulaturiko azalera . Paraboloide hiperboliko forma: sekzio lau bezala para-bola eta hiperbolez erregulaturiko azalera.

Bibliografía

[1] I. I. Artobolevskii: Mechanims for the generation of plane curves, Pergamon Press,1964.[2] C. B. Boyer: Historia de la matemática, AUT 94, Alianza Ed., 1986 (ed. inglesa J. Wiley& sons, 1968).[3] T. L. Heath: Apollonius of Perga. A Treatise on Conic Sections, Cambridge Univ. Press,1896 (reed. Barnes and Noble, 1961).[4] D. Pedoe: La geometria en el arte, Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.[5] A. Rendón Gómez: GEOMETRÍA, paso a paso, vol. I, Ed. Tebar, 2000.[6] C. Zwikker: The advanced geometry of plane curves and their application, DoverPublications Inc., New York, 1963.[7] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html[8] http://www. camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm[9] http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/[10] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history

Arquímedes

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