Radicales y sus operaciones

TOMADO DE:Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico - Arecibo

Objetivos:

Simplificar radicales. Efectuar operaciones de suma, resta,

multiplicación y división con Números Reales.

Notación

a

La raíz cuadrada de un número a, se representa por La raíz cuadrada de un número a, se representa por

En general, la raíz enésima de a se representa por:

n a

El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el casode n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.

La parte dentro del radical se conoce como radicando.

El símbolo se conoce como radical.

El número pequeño fuera del radical, se conoce como índice.

Definición

ba

La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a.

si y solo si b2 = a

Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, esinversa a la operación obtener la raíz cuadrada.

Ejemplos:

648864

93392

2

porque

porque

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

3273

4643

2325

4 16

porque 33 = 27

porque (-4)3 = -64

porque (-2)5 = -32

no es real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia puede ser negativo.

Ejercicios:

e)

f)

g)

h)

i)

4 81

3 1000

01.

3

8

1

9

4

Propiedad #1:

Si

Demostración:

Ran y Rbn entonces,nnn baba

uan Si entonces, un = a

Si entonces, vn = b vbn

Esto implica que: ab = un vn = (uv)n :aplicando las leyes de exponentes

Por lo tanto, n ba = uv = n a n b

Propiedad #2:

Si Ran Rbn y nn

n

b

a

b

aentonces,

Demostración:

uan Si entonces, un = a

Si entonces, vn = b vbn

Esto implica que: n

n

n

v

u

v

u

b

a

:aplicando las leyes de exponentes

Por lo tanto, n

n

n

b

a

v

u

b

a

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

25

16

25

16

5

4

3

1000

8 3

3

1000

8

10

2

3

3

16

2 3

16

2 3

8

1

2

1

4

16

81 4

4

16

81

2

3

5

1

Ejercicios:

e)

f)

g)

h)

36

9

3 001.0

18

2

4

81

1

Sumas o restas en el radicandoCuando tenemos una suma o una resta en un radicando, hay primero que efectuar la operación de suma o resta, para luego llevar a cabo la radicación.

baba

Esto es así porque:

Bastaría un contraejemplo para demostrarlo:

42244448

Sabemos que 48

por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,

baba

Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.

Radicales semejantesDecimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

Los siguientes pares de radicales son semejantes.

44

33

225

3432

5853

y

y

y

Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es, se pueden sumar o restar. Veamos como:

nnnn aqpqpaaqap )()(

Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando el término común de ambos términos. Finalmente, p y q se suman, (o se restan si fuese el caso).

Ejemplos:a) 2225

b)

c)

d)

2)25( 23

3333 3133)58(3538

575)34(5354

23352)25(3)32(33222532

*En este último ejemplo, note que combinamos sólo los radicales semejantes.

Suponga que tenemos el siguiente caso:

483752

Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos. Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos:

3532532575

3431631648

Por lo tanto, volviendo al ejercicio original,

483752 )34(3)35(2 312310 322= = =

Ejercicios:e)

f)

g)

h)

3337

535852

253223

3333 310474235

Simplificación de radicales

En ocasiones podemos descomponer un radicando como el producto de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el siguiente ejemplo:

31031003100300

Como sabemos que 100 es un cuadrado perfecto, y 100 es un factor de 300, rescribimos 300 como 3 × 100 para poder extraer el 100 de la raíz cuadrada.

Se puede notar, sin embargo que 300 es también 4 × 75, de modo que:

752754754300

Explicación:

Aunque esto también es correcto, no está completamente simplificado porque 75 todavía tiene un factor que es un cuadrado perfecto: 25.

752754754300

Ciertamente, este resultó más largo, pues no hallamos desde el principio el factor de 300 mayor que fuese un cuadrado perfecto.

3103)5(232523252

Para simplificar un radical, debemos factorizar el radicando de manera que alguno de los factores sea una raíz perfecta.

Ejemplos:

a)

b)

3 16 = 3 28 33 28 = 3 22=

720 )10(72 )10)(2(36 )20(36

)5)(4(36 5436 5)2(6 512

En este último caso, note cómo hicimos la descomposición por pasos hasta encontrar todos los cuadrados perfectos que son factores de 720.

Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro orden pero siempre vamos a encontrar los mismos cuadrados perfectos.

Probablemente conviene repasar los cuadrados y cubos perfectos.

12 = 1 13 = 1

22 = 4 23 = 8

32 = 9 33 = 27

42 = 16 43 = 64

52 = 25 53 = 125

62 = 36 63 = 216

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 = 100

Cuadrados perfectos Cubos perfectos

Ejercicios

Simplifique:

c) 3 24

d) 48

e) 640

f) 3 54

Suma y resta de radicales

Como vimos anteriormente, la suma o la resta de radicales consiste en sumar (o restar) los radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay que simplificar los mismos completamente.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplosa) 18782505

2972422255

2972422255

237222255

22124225

221221 0

b) 33 543453165

33 2273593285

3333 2273593285

33 233533225

33 2959210

592193

c) 33 543453165

33 2273593285

3333 2273593285

33 233533225

33 2959210

592193

Ejercicios

2005503327f)

g)

h) 3003126

5042000725 33

Multiplicación de radicales

Anteriormente vimos, con la propiedad #1 que:

nnn baba

Por lo tanto, podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y el producto de los radicandos.

Ejemplosa)

b)

c)

6532 6352 1810

2910 2910 2310 230

33 25352 33 25532 3 1256 56 30

6155 6155 23355

2925 2925 235 215

Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de esta manera, radicales con el mismo índice. Más adelante, en otra sección se verá el procedimiento para multiplicar radicales con distinto índice.

Ejercicios

d)

e)

f)

8562

33 4345

8456

División de radicales

De la misma forma, la propiedad #2

nos indica que:

nn

n

b

a

b

a

Esto en palabras diría que, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.

Ejemplos

De la misma forma, tenemos que hacer énfasis en que esto aplica sólo a radicales con el mismo índice.

a)

b)

c)

3

48

3

4816 4

5

152

5

152 32

12

21

43

73

43

73

4

72

7

Ejercicios

10

50

3

245

18

15

d)

e)

f)

Operaciones combinadas

Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales.

Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:

)2233)(3523(

En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.

Tenemos entonces,

)2233(35)2233(23

)22)(35()33)(35()22)(23()33)(23(

6109154669

610)3(15)2(669

45126

336

:propiedad distributiva

:multiplicando

:raíces exactas

:términos semejantes

:combinando términos

Ejercicios

a)

b)

c)

d)

e)

732327

3232

7375

55632

52231

Racionalización

La fracción 2

3

representa un número irracional

pues no se puede escribir de forma equivalente como una división de dos números enteros. Aunque el numerador es racional, el denominador es irracional. En ocasiones se necesita que el denominador de una fracción sea racional. Podemos cambiar la fracción a una equivalente con el denominador racional.

Esto podemos hacerlo usando el principio visto anteriormente, en donde

kb

ka

b

a

En otras palabras, podemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número (distinto de cero) y la fracción que se obtiene es equivalente.

En este caso, tenemos que buscar por cual número multiplicar el denominador, 2

para que se vuelva entero.

Si multiplicamos

2

3 2

2

2

3

4

23

2

23

queda racionalizado el denominador.

Hay que tener claro, que la fracción seguiría siendo irracional. Antes, había radical en el denominador, y ahora está en el numerador.

A este proceso se le llama racionalizar el denominador.

La razón por la que escogimos multiplicar al numerador y denominador por 2

es porque así sabemos que el denominador sería 24 que es un número racional

porque es entero.

Ejemplos

Racionalice el denominador de las siguientes fracciones:

a) 8

5

28

25

16

25

4

25

En este caso pudimos haber multiplicado por

y también lo lográbamos pero luego tendríamos que simplificar.

Verifíquelo usted mismo.

8

b)

c)

5

3

55

53

25

53

5

53

En el siguiente ejemplo veremos una fracción con raíz cúbica.

3 3

2

33

3

93

92

3

3

27

92

3

92 3

En este caso, no podemos juntar los dos radicales del numerador en una sola fracción porque tienen diferente índice.

Ejercicios

d)

e)

f)

6

4

50

7

3 4

25