Operaciones con Fracciones y RadicalesVargas Snchez Nestor IvanEspejel Guzmn Vctor GustavoJimnez Ramrez Azael AlbertoGrupo: SC54APrimavera 15

Radicales

Signo radicalndiceElementos de la raz

Cantidad sub-radical o radicando Se puede definir como radical a toda raz indicada de una cantidad.Si, una raz es exacta, tenemos una cantidad racional y si no pues es irracional.As, 2 es una cantidad racional y es una cantidad irracional.Las races indicadas inexactas o cantidades irracionales son los radicales propiamente dichos. El grado de una radical es el ndice de la raz. Por lo tanto es una radical de segundo grado, es un radical de tercer grado.Radicales semejantes son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad sub-radical.As , y son radicales semejantes; , , no son semejantes.Propiedades de los Radicales

Reduccin de un radical: es cambiar su forma sin cambiar su valor.Simplificacin de radicales Es reducirlo a su ms simple expresin. Un radical est reducido a su ms simple expresin cuando la cantidad sub-radical es entera y del menor grado posible.Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer la raz a un producto se extrae dicha raz a cada uno de sus factores, o sea:

En la simplificacin de radicales consideramos los dos casos siguientes:Caso ICuando la cantidad sub-radical contiene factores cuyo exponente es divisible por el ndice.Ejemplo:33= =2 2 = 3 En la prctica no se indican las races, sino que una vez arreglados los factores de la cantidad sub-radical, aquellos cuyo exponente sea divisible por el ndice, se sacan del radical dividiendo su exponente por el ndice.Ejemplo: Cuando la cantidad sub-radical es una fraccin y el denominador es irracional hay que multiplicar ambos trminos de la fraccin por la cantidad necesaria para que el denominador tenga raz exacta.Simplificar: == = Caso IICuando los factores de la cantidad sub-radical y el ndice tienen un divisor comn. Lo que se hace es prcticamente dividir el ndice y los exponentes de los factores por su divisor comn.Simplificar: = =2 a = 2 a= Introduccin de cantidades bajo el signo radicalEsta operacin es inversa a la simplificacin de radicales. Para introducir el coeficiente de un radical bajo el signo radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el ndice del radical.Ejemplo: Introducir el coeficiente de 2 bajo el signo radical.2 = = Cuando el coeficiente de un radical es 1 el radical es entero. As: es un radical entero.Reduccin de radicales al mnimo comn ndiceEsta operacin tiene por objeto convertir radicales de distinto ndice en radicales equivalentes que tengan el mismo ndice. Para ello se aplica el siguiente concepto:Regla: Se halla el m.c.m de los ndices, que ser el ndice comn, y se eleva cada cantidad sub-radical a la potencia que resulta de dividir el ndice comn entre el ndice de su radical.Ejemplo: Reducir al mnimo comn ndice , , El m.c.m de los ndices 2, 3 y 4 es 12. Este es el indic comn as que:= = = = = = Reduccin de radicales semejantesLos radicales semejantes o sea los radicales del mismo grado que tienen igual cantidad sub-radical, se reducen como trminos semejantes que son, hallando la suma algebraica de los coeficientes y poniendo esta suma como coeficiente de la parte radical comn.Ejemplo:-3 = (3+5)= (8 )Operaciones con radicalesSuma y resta de radicalesRegla: Se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a continuacin se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.Ejemplo:Simplificar Entonces:2 Multiplicacin de radicales con el mismo ndiceSe multiplican los coeficientes entre si y las cantidades sub-radicales entre s, colocando sub-radicales entre s, colocando este ltimo producto bajo el signo radical comn y se simplifica el resultado.Multiplicacin de radicales compuestos.El producto de un radical compuesto por uno simple se halla como el producto de un polinomio por un monomio, y el producto de dos radicales compuestos se halla el producto de dos polinomiosMultiplicacin de radicales con distinto ndiceSe reducen los radicales al mnimo comn ndice y se multiplican como radicales del mismo ndice.Divisin de radicalesDivisin de radicales del mismo ndiceSe dividen los coeficientes entre si y las cantidades sub-radicales entre s, colocando este ltimo cociente bajo el signo radical comn y se simplifica el resultado.Divisin de radicales de distinto ndiceSe reducen los radicales al mnimo comn ndice y se dividen como radicales del mismo ndice.Potenciacin de radicalesPara elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad sub-radical, y se simplifica el resultado.Radicacin de radicalesPara extraer una raz a un radical se multiplica el ndice del radical por el ndice de la raz y se simplifica el resultado.RacionalizacinRacionalizar el denominador de una fraccin es convertir una fraccin cuyo denominador sea irracionalFracciones AlgebraicasUna fraccin algebraica es una expresin fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numricas. El valor de una fraccin no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad, esta cantidad debe ser distinta de cero, por ejemplo:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentracin ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de parntesis.Operaciones con fracciones algebraicasSimplificar fracciones algebraicasLa simplificacin de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave est en el factor comn. Para simplificar al mximo habr que factorizar los polinomios numerador y denominador, por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fraccin:

Primero factorizamos los polinomios del numerador y del denominador:

Suma y resta de fracciones algebraicasPara sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de nmeros enteros, reduciendo primero a comn denominador. Igual como ocurre con las fracciones de nmeros enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominadorVeamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es comn (x + 1), este se ha unificado en una sola fraccin, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Ntese que dichas cantidades se anotan entre parntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.Ahora sacamos los parntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del parntesis hay un signo menos (), y nos queda:

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominadorEjemplo:

Tal como lo hacamos al sumar o restar fracciones de nmeros enteros, utilizando el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador comn, entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mnimo comn denominador (m.c.d.).Calcular el m.c.m. factorizamos:Multiplicamos los factores y queda a a b b 5 3 = a b 15 que es lo mismo que 15ab y es el mnimo comn denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador comn:Previamente, dividimos el denominador comn (15ab) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero tambin hay otra, como la siguiente:Encontrado el m.c.d. (15ab) se multiplica cada fraccin (tanto numerador como denominador) por los trminos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Ntese que los trminos que faltan se obtienen haciendo la misma divisin del caso anterior, ejemplo:

Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador.

Producto (multiplicacin) de fracciones algebraicasPara multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, analizando previamente si es posible, ejemplo:

Cociente o divisin de fracciones algebraicasPara dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, analizando previamente si es posible, ejemplo:

Frmula de inters compuesto Para un principal original de P, la formula

Proporciona el monto total S al final de n periodos de inters a una tasa r por periodo.Por ejemplo. Calcular el monto total cuando $1000 son invertidos por 5 aos a la tasa nominal del 12%compuesto trimestralmente. La tasa por periodo es de 0.12/4 y el numero de periodos de inters es 5(4).

Ejemplo 1: Inters compuestoSupongamos que $500 llegan a $588.38en una cuenta de ahorros despus de 3 aos. Si el inters fue capitalizado semestralmente, encuentra la tasa de inters nominal, compuesta semestralmente, que fue devengada por el dinero.

Por lo tanto, la tasa semestral fue del 2.75%, de modo que la tasa nominal fue de 5.5% capitalizada semestralmente.Ejemplo 2: Duplicacin del dinero A qu tasa de inters nominal compuesto anual el dinero se duplica en 8 aos?

Por lo tanto, la tasa deseada es del 9.05%Ejemplo 3: Inters compuestoCunto tiempo tomar para que $600 ascienda a $900 a una tasa anual de 8% compuesto trimestralmente?La tasa peridica es . Sea n el numero de periodos de inters que le toma a una principal de P= 600 a S= 900.

El nmero de aos que corresponde a 20.475 periodos de inters semestral es 20.475/4 = 5.1188, un poco ms de 5 aos 1 mes. BibliografaAlaid, C. lgebra Bsica, Soluciones con el Paquete Mathematica. Mxico: Universidad Autonoma MEtropolitana, 2001. 190-202.Baldor, A. Algebra. 1941. 418-430.Haeussler, Ernest y Richard Paul. matemticas para Administracin, Economa, Ciencias Sociales y de la Vida. Mxico: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, 1997. 367-369.

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