R E S O L U C I O N D E L 3er E X A M E N P A R C I A L
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RESOLUCION DEL 3er EXAMEN PARCIAL
Calcule el área de la sección cerrada comprendido entre la parábola con vértice en V(-3,1), eje paralelo al eje Y, pasa por P(3,7), y la circunferencia con centro en (-1,-2) y radio R=9(u). Encuentre los limites de integración por Newton-Raphson y el área por el método de los trapecios. Asumir n=12 y E=0.001
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• Puntos
Sabiendo que la parábola tiene su eje paralelo al eje Y Asumimos por simetría que un punto pasaría por (-9,-7)
x y
-9 7
-3 1
3 7
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• Dados los puntos hallamos la ecuación por el polinomio de Lagrange
72))3((*))9((7
32)3(*))9((
72)3(*))3((*7
xxxxxx
y
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• Simplificando tenemos la ecuación de la parábola
6
1562
xxy p
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• Para la circunferencia tenemos un centro de (-1,-2) y un R=9, entonces la ecuación seria la siguiente
222 9)2()1( yx
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• Despejando la ecuación respecto de Y tenemos
22 )1(81)2( xy
2)1(812 xy
2)1(81 2 xy p
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• Ahora igualando las dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación que convierte el sistema no lineal en un ecuación no lineal con dos incógnitas, la cual seria igual.
0 pc yy
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• Entonces la ecuación resultante seria
)6
156()2)1(81()(
22
xx
xxf
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• Resolviendo por Newton Raphson tenemos:
nx )(xf )(' xf 1nxN Obs.
0 -7.3 0.3456 2.4135 -7.4432 0.1432
1 -7.4432 -0.0066 2.5064 -7.4405 0.0026
2 -7.4405 -0.000002 2.5047 -7.4405 0.0000009
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• Entonces la primera solución y primer limite de integración a = -7.4405
nx )(xf )(' xf1nxN Obs.
0 2.5 0.2498 -2.2554 2.6107 0.1107
1 2.6107 -0.0029 -2.3082 2.6095 0.0012
2 2.6097 -0.0000003 -2.3076 2.6095 0.0000001
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• Entonces la segunda solución y limite de integración b será igual a 2.6095
dxxfb
a )(
6095.2
4405.7
22 )
6
156(2)1(81 dx
xxx
n
abh
12
)4405.7(6095.2 h
8375.0h
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N x F(x)
0 -7.4405 0.0001
1 -6.603 1.8795
2 -5.7655 3.3601
3 -4.928 4.478/
4 -4.0905 5.2545
5 -3.253 5.7027
6 -2.4155 5.8310
7 -1.578 5.6444
8 -0.7405 5.1453
9 0.097 4.3343
10 0.9345 3.295
11 1.772 7.7671
12 2.6095 0.00006
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)22............22(*2 12210 nnn yyyyyyh
A
)(0334.39 2uA