Quimica atomica

Ctedra: Qumica Ingeniera Universidad Nacional del Nordeste

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Unidad 2

Qumica nuclear

La qumica nuclear estudia las reacciones que implican cambios en el ncleo atmico. Esta rama de la qumica comenz con el descubrimiento de la radiactividad natural por Antoine Becquerel y creci con las investigaciones posteriores de Pierre y Marie Curie y otros cientficos.

Antoine Bescquerel Esposos Curie En 1896, Becquerel descubri que algunos minerales tenan propiedades un tanto extraas: eran capaces de ionizar el aire que los rodeaba, podan impresionar placas fotogrficas, producan fenmenos de fluorescencia y fosforescencia y eran capaces de emitir energa calorfica. Estos fenmenos recibieron genricamente el nombre de radiactividad. Mara Sklodowska, conocida como Marie Curie y su esposo Pierre Curie continuaron los estudios de Becquerel: analizando la pechblenda, mineral con propiedades radiactivas, descubrieron que adems del uranio que contenan, existan otros elementos responsables de la gran emisin radiactiva del material; tras denodados esfuerzos, en 1898 consiguieron aislar dos nuevos elementos componentes de este mineral que recibieron los nombres de radio y polonio. Por sus trabajos sobre la radiactividad ambos recibieron el premio Nobel de Fsica junto con Becquerel en 1903 y Marie Curie el de Qumica en 1913 por el descubrimiento de los elementos antes citados.


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Nmero atmico, Nmero de masa e istopos:

Todos los tomos se pueden identificar por el nmero de protones y neutrones que contienen. El nmero atmico (Z) es el nmero de protones en el ncleo de un tomo de un elemento. En un tomo neutro, el nmero de protones es igual al nmero de electrones, de manera que Z tambin indica el nmero de electrones presentes en un tomo. La identidad qumica de un elemento (y que le da su ubicacin en la tabla peridica) queda determinada por su nmero atmico (Z). Por ejemplo, el Z del nitrgeno es 7. Esto significa que cada tomo neutro de nitrgeno tiene 7 protones y 7 electrones. O bien, visto de otra forma, que cada tomo en el universo que contenga 7 protones se llama nitrgeno. El nmero de masa (A) es el nmero total de protones y neutrones presentes en el ncleo de un tomo de un elemento. Con excepcin de la forma ms comn del hidrgeno (que tiene 1 protn y no tiene neutrones), todos los ncleos atmicos contienen tanto protones como neutrones. Por lo tanto:

Nmero de masa (A) = Nmero de protones numero atmico (Z) + Nmero de neutrones (N)

A = Z + N

Se deduce entonces que N = A Z A la suma de protones ms neutrones tambin se la suelen denominar nucleones ya que, como veremos, pueden interconvertirse. No todos los tomos de un elemento determinado tienen la misma masa. La mayora de los elementos tiene dos ms istopos, tomos que tienen el mismo nmero atmico (Z) pero diferente nmero de masa (A), es decir, difieren en la cantidad de neutrones presentes en el ncleo. Para representarlos se coloca a la izquierda del smbolo del elemento el nmero msico (A) como superndice y el nmero atmico (Z) como subndice. Ej AZ X Por ejemplo, existen tres istopos para el hidrgeno (todos ellos, por ser tomos de hidrgeno, tienen Z = 1) Uno de ellos que se conoce como hidrgeno, tiene un protn y no tiene

neutrones. 1H (Tambin se lo conoce como protio) Es el ms abundante en la naturaleza.

El deuterio contiene un protn y un neutrn: 2H El tritio contiene un protn y dos neutrones: 3H

El uranio (Z=92) tambin presenta istopos diferentes. Por ejemplo:

- 235U Se usa en reactores nucleares y bombas atmicas (92 protones, 92 electrones, 143 neutrones).

- 238U Carece de las propiedades necesarias para tales aplicaciones. (92 protones, 92 electrones, 146 neutrones).


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Radiactividad natural

: Decaimiento radiactivo

La radiactividad slo depende de la estructura interna (la estabilidad nuclear) de ciertos tomos de algunos elementos. Las radiaciones emitidas por estos tomos inestables se pueden clasificar en cuatro tipos:

Rayos : + 3.10x10-19 coul; 9.1x10-24 g. Es decir son cationes He2+. Rayos - : - 1.6x10-19 coul; 9.1x10-28 g. Son electrones semejantes a los rayos

catdicos. Rayos +: + 1.6x10-19 coul; 9.1x10-28 g. Son los positrones. Rayos : Son radiaciones electromagnticas semejantes a los Rayos X (sin carga

ni masa).

Las partculas alfa (ncleos de helio) se detienen al interponer una hoja de papel. Las partculas beta (electrones y positrones) no son capaces de atravesar una capa de aluminio. Sin embargo, los rayos gamma (fotones de alta energa) necesitan una barrera mucho ms gruesa, pudiendo los ms energticos atravesar el plomo.

1. Radiacin alfa: Son flujos de partculas cargadas positivamente compuestas por dos neutrones y dos protones (ncleos de helio). Son desviadas por campos elctricos y magnticos. Son poco penetrantes aunque muy ionizantes. Son muy energticos.


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2. Radiacin beta:

- Beta negativa

n p + e- + antineutrino

: Se trata de electrones que provienen del ncleo atmico por la transformacin de un neutrn en un protn y un electrn dotado de gran velocidad.

- Beta positivas positrones

p n + e+ + neutrino

: Provienen de la desintegracin de un protn.

Son flujos de electrones (beta negativas) o positrones (beta positivas) resultantes de la desintegracin de los neutrones o protones del ncleo cuando este se encuentra en un estado excitado. Es desviada por campos magnticos. Es ms penetrante aunque su poder de ionizacin no es tan elevado como el de las partculas alfa.

Radiacin gamma: Son ondas electromagnticas. Es el tipo ms penetrante de radiacin. Al ser ondas electromagnticas de longitud de onda corta, tienen mayor penetracin y se necesitan capas muy gruesas de plomo u hormign para detenerlas.

Las leyes descriptas por Soddy y Fajans

Cuando un tomo radiactivo emite una partcula alfa, la masa del tomo (A) resultante disminuye en 4 unidades y el nmero atmico (Z) en 2.

nos indican las reglas generales que siguen los procesos de emisin radiactiva:

Es decir, si un tomo emite una partcula alfa, se transforma en otro de nmero msico cuatro unidad menor y que est situado dos lugares antes en la Tabla peridica.

Cuando un tomo radiactivo emite una partcula beta negativa, su nmero atmico (Z) aumenta en una unidad y la masa atmica (A) se mantiene constante.

Es decir, si un tomo emite una partcula beta negativa se transforma en otro de igual nmero msico (isbaro) pero que est situado en el lugar siguiente en la tabla peridica.

Cuando un tomo radiactivo emite una partcula beta positiva, su nmero atmico (Z) disminuye en una unidad y la masa atmica (A) se mantiene constante.

Es decir, si un tomo emite una partcula beta positiva se transforma en otro de igual nmero msico (isbaro) pero que est situado en el lugar anterior en la tabla peridica.


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Cuando un ncleo excitado emite radiacin gamma no vara ni su masa ni su nmero atmico, solo pierde una cantidad de energa h (donde "h" es la constante de Planck y "" es la frecuencia de la radiacin emitida). Es decir, no vara ni su A ni su Z, slo lo hace su contenido energtico.

Las tres primeras leyes indican que cuando un tomo emite una radiacin alfa o beta se transforma en otro tomo de un elemento diferente. Este nuevo elemento puede ser radiactivo, transformndose en otro, y as sucesivamente, dando lugar a las llamadas series radiactivas

El ncleo ocupa una porcin muy pequea del volumen total de un tomo, pero contiene la mayor parte de su masa porque all residen los protones y neutrones. Su densidad (masa/volumen) tan elevada, dada por lo empaquetadas que se hallan las partculas, es unos nueve billones de veces mayor que la del elemento ms denso que se conoce. Para exagerar la casi incomprensible alta densidad, se ha sugerido que equivale a empaquetar la masa de todos los automviles del mundo en un dedal. Qu es lo que hace que estos protones, si estn tan prximos, no se repelan teniendo en cuenta la ley de Coulomb? Sucede que adems de la atraccin prevista, tambin existen atracciones de corto alcance entre los protones, entre neutrones y protones y entre neutrones. La estabilidad de los ncleos depende de la relacin de neutrones y protones (n/p) que contenga el tomo. Para los tomos estables de elementos que tienen un Z bajo, la relacin n/p se acerca a 1. Conforma aumenta el Z, la relacin n/p tiende a ser mayor que 1. Esta desviacin se debe a que se necesita un mayor nmero de neutrones para contrarrestar las fuertes repulsiones que hay entre los protones para poder estabilizar el ncleo. A medida que crece el nmero de protones, la repulsin electrosttica es tan grande que los neutrones no son capaces de estabilizar el ncleo, por lo que a partir del elemento Z = 83 se observan fenmenos de desintegracin radiactiva natural (espontnea). Si se grafica el nmero de neutrones frente al nmero de protones de varios istopos, se ver que los ncleos ms estables se localizan en una zona llamada cinturn de estabilidad. La mayora de los ncleos radiactivos se encuentran fuera de este cinturn.

Los ncleos por encima del cinturn (n/p mayor que los que se encuentran en el cinturn con la misma cantidad de protones) tienden a transformar un neutrn en protn con emisin de una partcula -. Con esto se aumenta el nmero de protones en el ncleo y se disminuye el nmero de neutrones.

Los ncleos por debajo del cinturn (n/p menor que los que se encuentran en el cinturn con la misma cantidad de protones) tienden a transformar un protn en un neutrn con emisin de una partcula +. Con esto se aumenta el nmero de neutrones en el ncleo y se disminuye el nmero de protones.


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Transmutacin nuclear

La Qumica nuclear sera un campo muy limitado si slo se dedicara a estudiar los elementos radiactivos naturales. En 1919, Rutherford obtuvo por medio artificial 17O bombardeando 14N con partculas alfa. Se demostr pues, que era posible transformar un elemento en otro mediante transmutacin nuclear. A diferencia de la radiactividad natural, este tipo de radiactividad, conocida como transmutacin nuclear, se origina al bombardear el ncleo con neutrones, protones y otros ncleos. Muchos istopos radiactivos se preparan empleando neutrones como proyectiles, lo cual resulta adecuado ya que al ser partculas sin carga, no son repelidas por los ncleos positivos. Por el contario, si los proyectiles fueran partculas o protones, deben tener una energa cintica considerable para vencer la repulsin que ofrecer el ncleo. Para ello se utilizan los llamados aceleradores de partculas para favorecer la reaccin. Estos aceleradores hicieron posible la sntesis de elementos con Z mayor a 92, llamados elementos transurnicos cuyos istopos son todos radiactivos.


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Aunque los elementos ligeros no suelen ser radiactivos, pueden adquirir esta propiedad al bombardear sus ncleos con partculas apropiadas. Por ej. se puede preparar el istopo radiactivo de 146C al bombardear 147N con neutrones. Esto tambin sucede cuando los rayos csmicos bombardean el nitrgeno atmosfrico. Luego el istopo radiactivo desintegra Esta serie de desintegracin es el fundamento de la tcnica de datacin con carbono radiactivo. El producid por los rayos csmicos, que son inestables, por un lado se desintegran por emisin de partculas (siguiendo una cintica de primer orden) y por otro, forman 14CO2 que se mezcla con el dixido de carbono comn en el aire (12CO2). Este 14CO2 entra en la biosfera y es tomado por las plantas para producir la fotosntesis. Los animales comen las plantas y exhalan 14CO2. El que se pierde por desintegracin radiactiva se renueva constantemente por la produccin de nuevos istopos en la atmsfera. En estos procesos de desintegracin- renovacin, se establece un equilibrio dinmico donde la relacin entre 14C y 12C permanece constante en la materia viva. Pero cuando una planta o animal muere, el istopo 14C no puede renovarse, slo decae, y la relacin disminuye. En 1955 Libby sugiri que este hecho podra utilizarse para calcular el tiempo que el istopo 14C de un espcimen en particular, ha seguido desintegrndose sin renovarse. El xito de esta ingeniosa tcnica depende de con cunta precisin pueda determinarse la velocidad de desintegracin de lo que quede de 14C en la muestra en estudio. En muestras reciente la relacin 14C / 12C es 1/ 1012. La precisin es ms difcil en muestras ms antiguas porque contienen una proporcin an menor de 14C. Sin embargo la tcnica tiene mucho valor para calcular la edad de piezas arqueolgicas, pinturas u objetos que datan de hace mil cincuenta mil aos. En 1988, tres laboratorios trabajaron con muestras de menos de 50 mg del Sudario de Turn. De manera independiente demostraron que la edad de la tela data del 1300 dC. Por lo tanto, niegan que el sudario haya sido la mortaja de Cristo. Desde entonces, numerosos libros han presentado diversos argumentos tanto para demostrar su autenticidad como para explicar cmo fue falsificada la imagen. Hasta el momento, la tcnica con la que se impregn el cuerpo visible en el Santo Sudario no ha podido ser explicada por la ciencia de manera concluyente. De modo que el sudario sigue siendo uno de los objetos ms estudiados de la historia, adems de ser uno de los ms controvertidos.


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Actualmente se elaboraron muchos isotopos radiactivos por transmutaciones que se emplean en medicina (Co60 que remplaza al Ra, I131, etc). En ingeniera para determinar espesores, movimientos de arenas, (Si radiactivo), inspeccin de soldadura, (gammagrafa), consolidacin de terraplenes, laminacin, hornos, etc. En disciplinas agrarias son empleados como trazadores, combatir plagas, etc. La Comisin Nacional de Energa Atmica CNEA, organiza cursos de aplicacin de radioistopos en ingeniera e industria, muy interesantes.

Por este proceso se divide un ncleo pesado (nmero de masa mayor a 200) para formar ncleos de masa intermedia y uno o ms neutrones. Este proceso libera gran cantidad de energa ya que el ncleo pesado es menos estable que sus productos.

Fisin nuclear

La primera reaccin nuclear que se estudi fue la del uranio-235 (que se encuentra en forma natural) bombardeado con neutrones lentos:

La caracterstica sobresaliente de esta fisin no es slo la enorme cantidad de energa liberada, sino el hecho de que la fisin produce ms neutrones de los que se capturaron al inicio del proceso. Por esta propiedad es posible obtener una reaccin en cadena, es decir, una secuencia de reacciones de fisin nuclear autosuficientes. Los neutrones generados en las etapas inciales de la fisin pueden inducir fisin en otros ncleos de 235U, que a su vez producen ms neutrones, y as sucesivamente. En menos de un segundo la reaccin se vuelve incontrolable, liberando una gran cantidad de calor a los alrededores.


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Para que la reaccin en cadena pueda ocurrir debe existir suficiente cantidad de 235U en el medio de reaccin para capturar los neutrones. De lo contrario estos neutrones escaparan de la muestra y la reaccin no progresara. Se denomina masa crtica a la mnima masa del material fisionable necesaria para generar una reaccin nuclear en cadena. La fisin nuclear se aplic por primera vez para fabricar la bomba atmica. Una bomba atmica pequea equivale a 20.000 toneladas de TNT. La masa presente de 235U debe ser de 1 kg aproximadamente. El 235U fue el material fisionable empleado en la bomba lanzada sobre Hiroshima, Japn, el 6 de agosto de 1945. En la bomba que se hizo explotar en Nagasaki tres das despus se utiliz plutonio-239 (un istopo artificial). Las reacciones de fisin que se generaron fueron similares en ambos casos, como lo fue la magnitud de su destruccin.

Una aplicacin de la fisin nuclear con fines pacficos, aunque controvertida, es la generacin de electricidad aprovechando el calor de una reaccin en cadena controlada en un reactor nuclear. Los reactores nucleares producen el 20% del la energa elctrica en Estados Unidos, en Francia el 80% del total generado, en argentina que posee 2 plantas en produccin y 1 en construccin solo el 4%del total, cifras similares a otros pases de Amrica. En los reactores nucleares de uso civil, la reaccin en cadena se evita insertando en el material fisionable barras de control. Estas barras estn compuestas de boro o cadmio, elementos llamados absorbentes de neutrones porque atrapan parte de los producidos en la fisin y evitan que la reaccin se dispare. Dado que la fisin nuclear procede adems mejor con neutrones dotados de una velocidad baja se usan tambin moderadores, como el agua pesada o el grafito, que frenan los neutrones rpidos generados en la fisin y mejoran la eficacia del reactor.


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Ventajas de los reactores nucleares de fisin

efecto invernadero

: Una de las ventajas de los reactores nucleares actuales es que casi no emiten contaminantes al aire (aunque peridicamente purgan pequeas cantidades de gases radiactivos), y los residuos producidos son muchsimo menores en volumen y ms controlados que los residuos generados por las plantas alimentadas por combustibles fsiles. En esas centrales trmicas convencionales que utilizan combustibles fsiles (carbn, petrleo o gas), se emiten gases de

(CO2 principalmente), gases que producen lluvia cida (SO2 principalmente), carbonilla, metales pesados, miles de toneladas anualmente de cenizas, etc. En una central nuclear los residuos slidos generados son del orden de un milln de veces menores en volumen que los contaminantes de las centrales trmicas.

Peligros de la energa nuclear

Los accidentes nucleares tambin representan graves peligros. En 1986 un reactor de la planta nuclear de Chernbil se sali de control causando muertes y liberando gran cantidad de material radiactivo al medio ambiente. El efecto a largo plazo de la lluvia radiactiva derivada del accidente an no se valora por completo, y el nmero de muertes por cncer, atribuible a la contaminacin por radiacin es muy elevado.

: Muchas personas, especialmente los ecologistas, consideran que la fisin nuclear es un mtodo indeseable para producir energa. Muchos productos de fisin, como el estroncio-90, son radioistopos peligrosos con vidas medias largas. El plutonio-239 es una de las sustancias ms txicas que se conocen, ya que emite partculas alfa con una vida media de 24.400 aos.

Por otra parte, el problema de los desechos radiactivos de los reactores, an no se resuelve de manera satisfactoria, ni siquiera durante la operacin normal de las plantas nucleares. Se han propuesto diversas formas para almacenar o desechar los desperdicios radiactivos, pero ninguno demuestra ser absolutamente seguro a largo plazo.

La fusin nuclear es una reaccin en la que se unen dos ncleos ligeros para formar uno ms pesado. Este proceso desprende energa porque el peso del ncleo pesado es menor que la suma de los pesos de los ncleos ms ligeros. Este defecto de masa se transforma en energa, se relaciona mediante la frmula E=mc2, aunque el defecto de masa es muy pequeo y la ganancia por tomo es muy pequea, se ha de tener en cuenta que es una energa muy concentrada, en un gramo de materia hay millones de tomos, con lo que poca cantidad de combustible da mucha energa.

Fusin nuclear

No todas las reacciones de fusin producen la misma energa, depende siempre de los ncleos que se unen y de los productos de la reaccin. La reaccin ms fcil de conseguir el la del deuterio (un protn ms un neutrn) y tritio (un protn y dos neutrones) para formar helio (dos neutrones y dos protones) y un neutrn, liberando una energa de 17,6 MeV.

Es una fuente de energa prcticamente inagotable, ya que el deuterio se encuentra en el agua de mar y el tritio es fcil de producir a partir del neutrn que escapa de la reaccin. Segn la reaccin:


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En el universo se producen reacciones de fusin constantemente. El hidrogeno se transforma en He, segn la expresin anterior, lo que ocurre en el sol y en las estrellas, desprendiendo enorme energa, mientras poseen suficiente cantidad de hidrogeno. Se calcula que en el sol ( el sol es una estrella) se inicio la combustin hace 5 millones de aos y seguir el proceso por otros 5 millones de aos, hasta agotar su hidrogeno. Adems de la combustin del H, en las estrellas ocurren otras reacciones que dieron lugar a loa distintos elementos qumicos. Cuando por gravedad se comprimen y aumenta su temperatura, ocurren reacciones como: Contina la compresin por las fuerzas gravitatorias y pueda suceder la reaccin de fusin: Sucesivas concentraciones gravitaras y aumentos de temperaturas, forman nuevos elementos por fusiones como Fe, Si, ets; hasta que la inestabilidad de las estrellas la hace arrojar al espacio los distintos elementos de all la frase polvo de estrellas, aplicadas a los elementos componentes de la materia. Tecnologa: Esta reaccin que se ha descrito antes es la ms fcil de conseguir, pero no quiere decir que sea sencillo lograr energa de las reacciones de fusin. Para ello se deben unir los ncleos de dos tomos, el problema radica en que los ncleos de los tomos estn cargados positivamente, con lo que al acercarse cada vez se repelen con ms fuerza. Una posible solucin sera acelerarlos en un acelerador de partculas y hacerlos chocar entre s pero se gastara ms energa en acelerarlos que la que se obtendra con las reacciones. Para solucionar este problema se comprimen esferas de combustible mediante haces de lseres o de partculas teniendo as la llamada fusin por confinamiento inercial en la que se obtienen densidades muy elevadas, de manera que los ncleos estn muy cercanos entre ellos, y por efecto tnel se fusionan dando energa. La otra forma de producir reacciones de fusin de manera que se gane energa es calentando el combustible hasta temperaturas de millones de grados de manera que los choques entre ncleos sean por agitacin trmica, aqu tambin se aprovecha el efecto tnel. Como al estar a tan alta temperatura el combustible se disocia en partculas con cargas positivas y negativas, ste se puede controlar mediante campos magnticos, sta es la fusin por confinamiento magntico.


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Ventajas de la fusin: La fusin nuclear es un recurso energtico potencial a gran escala, que puede ser muy til para cubrir el esperado aumento de demanda de energa a nivel mundial, en el prximo siglo. Cuenta con grandes ventajas respecto a otros tipos de recursos:

Los combustibles primarios son baratos, abundantes, no radioactivos y repartidos geogrficamente de manera uniforme (el agua de los lagos y los ocanos contiene hidrgeno pesado suficiente para millones de aos, al ritmo actual de consumo de energa).

Sistema intrnsecamente seguro: el reactor slo contiene el combustible para los diez segundos siguientes de operacin. Adems el medio ambiente no sufre ninguna agresin: no hay contaminacin atmosfrica que provoque la "lluvia cida" o el "efecto invernadero".

La radiactividad de la estructura del reactor, producida por los neutrones emitidos en las reacciones de fusin, puede ser minimizada escogiendo cuidadosamente los materiales, de baja activacin. Por tanto, no es preciso almacenar los elementos del reactor durante centenares y millares de aos.

Estado actual Actualmente se ha producido energa de fusin nuclear en dos mquinas distintas, el JET (Joint European Torus) de la Unin Europea en Oxfordshire, y el TFTR (Toroidal Fusion Thermonuclear Reactor) en Princeton. Los dos son dispositivos de fusin por confinamiento magntico.

Se ha conseguido slo en estas mquinas porque son las nicas que han inyectado tritio a un plasma de deuterio. El resto de mquinas funciona con plasmas de slo deuterio o slo hidrgeno para investigar en el comportamiento del plasma a altas temperaturas, pero sin producir fusiones.

Se ha demostrado la viabilidad cientfica de la produccin de energa mediante fusin nuclear. El siguiente paso es construir un reactor que demuestre la viabilidad tecnolgica para producir energa elctrica a partir de la de fusin. Este reactor ser ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), actualmente en fase de diseo. Para el diseo y construccin de este gran reactor se han asociado las diferentes comunidades de fusin (Rusia, Unin Europea, Japn y USA) ya que el esfuerzo tecnolgico y econmico no puede ser afrontado por un solo pas.


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Partculas elementalesActualmente se acepta que las partculas elementales que constituyen la materia son los llamados Quartz u, d, y s

: Quartz

u (up) Carga 2/3 Masa 310 Mev

d (Down) Carga -1/3 Masa 310 Mev

s (Straing) Carga -1/3 Masa 310 Mev

Estos Quartz asociados de distintas maneras explican todas las partculas que se observan en la lluvia csmica y en los aceleradores de partculas, que son numerosas y antes no tenan explicacin racional.

Hay tambin quartz c, b, y t con los que se completa las 6 infraparticulas que combinadas en mltiples formas explican todas las partculas elementales y sus propiedades como masa, carga, tiempo de vida, desintegracin, e incluso como se formaron los orgenes del universo, poco tiempo despus del big bang.

Existen los anti quartz con carga contraria -d = -(-1/3), por ejemplo.

As el protn estar formado por 2 quartz u y 1d, lo que dar su carga

Masa ser 3.310Mev = 930Mev

El neutrn estar compuesto por u-d-d y su carga ser nula

Mesn y resulta la carga y la masa

observada de 2 y la masa 310Mev + 310Mev= 620Mev (expresadas en unidad de energa)

El Mev (mega electronvoltio) es unidad de energa que suele emplearse para definir masa, segn E (energ)= m (masa) x c2 (Velocidad de la luz al cuadrado)

+ 2es: u.-d, -d es un anticuarz -d=-(-1/3)

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