Mtodos Economtricos

Magen Infante 39

XI. ANALISIS DE ESTABILIDAD ESTRUCTURAL

En todo proceso de estimacin, se acepta el supuesto que los parmetros permanecen fijos

en el modelo para toda la muestra. Dada una muestra de n observaciones, se supone que los

estimadores de los parmetros son vlidos para toda la muestra. Esta suposicin no siempre

es cierta.

Terminologa: Estabilidad estructural, quiebre estructural, constancia de los parmetros, data

fuera de la muestra, data dentro de la muestra.

Varias formas de probar la estabilidad estructural

1. Test de Chow o test de exactitud predictiva

2. Test de Pagan y Nicholls

3. Test de Hansen

4. Coeficientes recursivos o estimacin recursiva

5. Residuos recursivos

6. Suma de residuos recursivos

7. Tests generales de cambio estructural

1.- Test de CHOW

Este contraste prueba si el modelo de regresin planteado para toda la muestra n , es vlido

tanto para el modelo de una de sus submuestras 1n como para el modelo de la otra

submuestra 2n , donde 21 nnn . No hay una reglas para determinar los tamaos de 1n y

2n .

El objetivo es probar si la variacin sospechada en el transcurso de la muestra es lo

suficientemente importante como para generar cambios en los coeficientes del modelo.

Modelo para el periodo n : )( 21 nnn

Mtodos Economtricos

Magen Infante 40

iikkiii XXXY 22110

Modelo para cada submuestra jn : )2,1( j

iikkiii XXXY 1

2

1

21

1

1

1

0 ),,2,1( 1ni

Matricialmente: XY 1

iikkiii XXXY 2

2

2

21

2

1

2

0 ),,1( 1 nni

Matricialmente: XY 2

De los tres modelos anteriores, se calcula

SCE Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo n .

1SCE Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo 1n .

2SCE Suma de Cuadrados del Residual del modelo en todo el periodo 2n .

Contraste de hiptesis:

:0H 21

2

2

2

1

2

0

1

1

1

1

0

1

kk

No existe Cambio Estructural en el modelo

(Estabilidad)

:1H 21 21 ii Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

en al menos un i .

Estadstico de Prueba:

Bajo la suposicin que :0H 2

2

2

1

2

0

1

1

1

1

0

1

kk

es verdadero,

22,121

21

)22(

1

)(

knkF

kn

SCESCEk

SCESCESCE

F

Regla de Decisin:

Mtodos Economtricos

Magen Infante 41

Rechazar :0H 2

2

2

1

2

0

1

1

1

1

0

1

kk

si 22,1 knkFF

Consecuencias:

1. No se puede capturar la realidad estudiada mediante el modelo estimado.

2. Los parmetros estimados, en comparacin con los que se obtendran en

estimaciones parciales, resultaran sesgados e inconsistentes.

3. Los errores cometidos en una nica estimacin resultan comparativamente mayores, a

los que se obtendran en estimaciones parciales.

4. La varianza de los parmetros de la nica estimacin resultan relativamente mayor, lo

que supondr un valores t ms reducidos y en consecuencia mayor probabilidad de

cometer el error tipo II.

5. El valor de prediccin sera menos creble

Correcciones:

1. Debe detectarse el origen de la ruptura o del cambio

1. Si se atribuye a un error de especificacin: se tendr que revisar si la forma

funcional es la correcta, as como si se han introducido las variables ms

relevantes en el modelo.

Si se debe en cambio a un cambio en el sistema analizado se podr corregir con el empleo

de variables ficticias. Estas variables son de naturaleza dicotmica (0,1) y pretender capturar

esos cambios que no se pueden representar con variables reales.

Limitaciones:

1. El test no detecta la observacin donde ocurre el cambio. Slo confirma o desmiente

su existencia.

2. Detecta solamente cambios bruscos.

3. Se debe conocer previamente el punto de corte. Cortar donde se presume de la

existencia, producto de la observacin de los errores o partiendo de razones tericas.

4. El contraste pierde potencia en la medida que se acerca a los extremos

Ejemplo 9: Suponga que el presente es Enero de 1992.

Hacer una prueba de estabilidad desde 1980 hasta 1991, del modelo

ii Xr 10 )144,,2,1( i

donde

r Porcentaje de ganancia anual por el capital de participacin en una Cia.

Mtodos Economtricos

Magen Infante 42

X Ganancia excedente en un modelo de bolsa.

1 Coeficiente beta CAPM del capital.

La estimacin de beta se hace con observaciones mensuales desde 1980 hasta 1991.

Debido a que un investigador expresa preocupacin debido a que el mercado de bolsa colaps

en octubre de 1987 por una relacin de ganancia-riesgo. Probar si la conjetura es cierta.

Periodo: En 1981 Oct 1987 (n=82) Nov 1987 En 1992 (n=50) En 1981 En 1992

(n=132)

Xr 2.168.01 Xr 53.168.02 Xr 37.139.0

03555.01 SCE 00336.02 SCE 0434.0SCE

Suma de Cuadrados Suma de Cuadrados Suma de Cuadrados

del Residual del modelo del Residual del modelo del Residual

del modelo

en todo el periodo 1n . en todo el periodo 2n . en todo el periodo n .

Contraste de hiptesis:

:0H 21

2

1

2

0

1

1

1

0

No existe Cambio Estructural (Estabilidad)

:1H 21 Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

Estadstico de Prueba:

Bajo la suposicin que :0H 2

2

1

2

0

1

1

1

01

es verdadero,

698.7

21*2132

00336.003555.011

)00336.003555.0(0434.0

)22(

1

)(

21

21

kn

SCESCEk

SCESCESCE

F

Regla de Decisin:

Rechazar :0H 21 porque 22,1 knkFF : 698.7F y 06.3132,2 F entonces

22,1 knkFF .

Por tanto, rechazamos la hiptesis de estabilidad. E investigador tiene razn para preocuparse

a un 95% de confianza. El modelo no es el mismo para ambos periodos de la muestra y tal

modelo no puede ser utilizado como representativo y menos para prediccin. Probablemente

se debera utilizar la estimacin de la segunda muestra debido a la necesidad de tener que

tomar una decisin de inversin para 1992.

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Magen Infante 43

Para ilustracin, sea el modelo de dos variables, suponiendo que 0 y 1 son fijos:

XY 10

Si 0 y 1 no fueran fijos, las conclusiones del modelo estimado no sern del todo vlidas.

Por eso es necesario detectar si existe presencia de cambio estructural a lo largo de la muestra

para saber que medidas tomar.

2.2.- Contraste en base a la RECURSIVIDAD

La Estimacin Recursiva es otra forma de analizar la estabilidad del modelo. Es adecuada para

series de tiempo donde no se conoce el momento del quiebre. Es un mtodo general.

Este mtodo consiste en la estimacin secuencial del modelo especificado para distintos

tamaos muestrales.

rX matriz )1( kr corresponde a r observaciones de la variable endgena.

r estimador de obtenido con las r primeras observaciones,

1 r estimador de obtenido con las 1r primeras observaciones, etc.

Nota: r debe ser tal que 1 kr

Etapa I

Para r observaciones, se estima el vector de parmetros r y ste a su vez es utilizado para

la prediccin de 1rY desconocida, dadas las observaciones de las variables explicativas 1rX

.

Se tiene r observaciones

r Estimador con r observaciones.

Se tiene la 1r -sima observacin, la variable endgena 1rY no se conoce.

rrr XY 11 Predictor 1r utilizando el

estimador de r observaciones

anteriores.

rkr

k

k

r XX

XX

XX

Y

Y

Y

1

221

111

2

1

1

1

1

krr XX ,11,11?

Mtodos Economtricos

Magen Infante 44

Etapa II

Seguidamente, con las ahora 1r observaciones, se estima un nuevo vector de parmetros

1

r y ste a su vez es utilizado para la prediccin de 2rY desconocida, dadas las

observaciones de las variables explicativas 2rX .

Se tiene 1r observaciones

1 r Estimador con 1r observaciones.

Se tiene la 1r -sima observacin, la variable endgena 1rY no se conoce.

122

rrr XY Predictor 2r utilizando el

estimador de 1r

observaciones anteriores.

Al ir aumentando la muestra de las variables explicativas, proceder del mismo modo que en

las Etapas I y II. Al finalizar se dispondr de los siguientes predictores :

rrr XY 11 , 122 rrr XY , 233 rrr XY , , , 14 nrn XY

2.2.1.- Coeficientes Recursivos

Este mtodo analiza los grficos de cada uno de los coeficientes estimados al ir aadiendo

observaciones a la muestra con la que se realiza la estimacin.

Contraste de Hiptesis:

:0H No existe Cambio Estructural (Estabilidad)

:1H Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

Mtodo de prueba:

Graficar cada coeficiente estimado sucesivamente dentro de su banda de confianza

stnddes.2 .

Regla de decisin:

krr

k

k

rXX

XX

XX

Y

Y

Y

,11,1

221

111

1

2

1

1

1

1

krr XX ,21,21?

Mtodos Economtricos

Magen Infante 45

Observar la presencia de inestabilidad en el modelo, si los coeficientes sufren grandes

cambios al ir aumentando la muestra. Lo ideal es que se mantengan aproximadamente

constantes.

2.2.2.- Residuos Recursivos

Si disponemos de las observaciones 1rY , 2rY , 3rY , , nY , se puede calcular los

Residuos Recursivos. El error de prediccin de un periodo hacia delante es definido como

11

1

rrYYe

r

Varianza del error de prediccin

)()( 111 rr YYVareVar r )( 11 rrr XYVar )')'((

1

11 rrrrrr YXXXXYVar

)')'(()( 111 rrrrrr YXXXXVarYVar

)()')'(()(1

11 rrrrrr YVarXXXXYVar

21

1

2 )')'(( rrrr XXXX

)')'(1(1

1

2

rrrr XXXX

Contraste de Hiptesis:

:0H No existe Cambio Estructural (Estabilidad)

:1H Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

Estadstico de prueba:

Se define el Residuo recursivo como 2/111

111

)')'(1(

rrrr

rrr

XXXX

YYw

.

Calcular todos los residuos recursivos 1rw : 2kw , 3kw , , nw . Bajo el supuesto de estabilidad y normalidad, stos residuos se distribuyen como una );0(

2N .

Graficar cada residuo recursivo obtenido sucesivamente dentro de la banda de confianza

stnddes.2 .

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Magen Infante 46

Regla de decisin:

Observar la presencia de inestabilidad de los parmetros si uno o varios residuos recursivos

sobrepasan sus bandas de confianza.

Contraste de CUSUM

Este contraste consiste en la acumulacin progresiva de los residuos recursivos

normalizados.

Contraste de Hiptesis:

:0H No existe Cambio Estructural (Estabilidad)

:1H Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

Estadstico de prueba:

Suma de cuadrados de la regresin

de todas las n observaciones.

Se obtendrn los valores mW : 2kW , 3kW , , nW .

Graficar los valores de mW y trazar las bandas de significacin:

)1(;1 knak , )1(;1 knak y las bandas )1(3; knan , )1(3; knan

1

2

kn

SSR

w

W

m

kj

j

m

nkkm ,,3,2

SSR

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Magen Infante 47

Bajo el supuesto de estabilidad, el estadstico de CUSUM tiene media cero, por eso, las

sumas acumuladas que se alejen de cero indica existencia de inestabilidad.

Dependiendo del nivel de significacin con el que se desee realizar el contraste, existen

diferentes valores de a tabulados:

Regla de decisin:

Los valores de deben oscilar dentro de las lneas de significacin.

Cuando los valores sobrepasan dichas rectas, se puede considerar falta de estabilidad en el

modelo.

1rW

k+1 n r

13 kna

13 kna

1 kna

1 kna

mW

% 1% 5% 10%a = 1.143 0.948 0.85

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Magen Infante 48

Contraste de CUSUMQ

Este contraste depende de la suma acumulada del cuadrado de los residuos recursivos en el

numerados, y en el denominador la suma de cuadrados de la totalidad de los Residuos

recursivos.

Contraste de Hiptesis:

:0H No existe Cambio Estructural (Estabilidad)

:1H Existe Cambio Estructural en el modelo (Inestabilidad)

Estadstico de prueba:

Este estadstico tambin se basa en lneas de significacin que dependen del valor esperado

del estadstico, sumndole y restndole una cantidad fija que depende del nivel de

significacin elegido.

Bajo la hiptesis nula, la esperanza o valor esperado de mS es igual a:

1

1)(

kn

kmSE m cuyo valor vara entre cero y uno.

Cero aproximadamente cuando 2 km y uno cuando nm .

Trazar los lmites de significacin. Graficar los residuos recursivos mS .

Regla de decisin:

Se rechaza la hiptesis de estabilidad del modelo si la representacin grfica de los valores

del estadstico mS muestra observaciones fuera de la banda de confianza.

n

kj

j

m

kj

j

m

w

w

S

2

2

2

2

nkkm ,,3,2

k+1 n

mS

0)( CSE m

0)( CSE m

)( mSE

Mtodos Economtricos

Magen Infante 49

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Magen Infante 50

1.- Tipos de Cambio Estructural

Un cambio o modificacin en los parmetros es un Cambio Estructural. Existen dos tipos de

cambio en los parmetros:

Cambio en el intercepto (Cambio cualitativo)

Cambio en la pendiente (Cambio cuantitativo)

Antes, supongamos que el tamao de la muestra es n y sta se divide en 1n y 2n tal

que 21 nnn . En base a estas dos submuestras se tienen los modelos

XY 111

0 para 1n

XY 2210

para 2n

Posibles casos de cambio o quiebre estructural:

(1) 2

0

1

0 y 2

1

1

1 No hay cambio estructural

(2) 2

0

1

0 y 2

1

1

1 Cambio estructural

(3) 2

0

1

0 y 2

1

1

1 Cambio estructural

(4) 2

0

1

0 y 2

1

1

1 Cambio estructural

1.1- Cambio estructural en el Intercepto ( XY 10 )

Es un cambio en el coeficiente intercepto tal que

XY 10 para 1n

XY 20

para 2n

El grfico indica que la ecuacin no es estable en el intercepto, y por tanto existe cambio

estructural en el trmino independiente. Se le conoce como Cambio Estructural Cualitativo,

debido a la inestabilidad en el parmetro de posicin.

1.2- Cambio estructural de Pendiente ( XY 10 )

Es un cambio o alteracin en el coeficiente al regresor o a los regresores.

XY 110 para 1n

XY 210 para 2n

En el grfico se puede observar que un cambio en

la pendiente lleva acompaado un cambio en el

intercepto tambin. Debido a esto, a un cambio

Y

X

1

1

{

11

{ 20

1

0

Y

X

1

1

1

{

2

1

1

{2010

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Magen Infante 51

estructural de pendiente se le conoce como un

Cambio Estructural Mixto, Cambio Estructural

Cualitativo. El trmino cuantitativo surge del

hecho que un cambio en la pendiente determina

otra intensidad o medida en la variable endgena.

1.3- Cambio estructural de slo Pendiente ( XY 10 )

En la muestra pueden darse condiciones tal que suceda un cambio estrutural en la pendiente

y no en el intercepto.

XY 110 para 1n

XY 210 para 2n

1.4- Generalizacin del Cambio estructural ( kkXXY 110 )

El estudio de Cambio Estructural de intercepto, de pendiente y de ambos, se puede generalizar

a un modelo con k variables explicativas o independientes.

kkXXY 110

Al subdividir la muestra de tamao n en 1n y 2n tal que 21 nnn ,

kkXXY1

1

1

1

1

0 para 1n

kk XXY2

1

2

1

2

0 para 2n

donde 2

0

1

0 2

1

1

1

21

kk

Cuando existe cambio estructural, ya no existe estabilidad en los parmetros y deben utilizarse

tcnicas para detectar dicho cambio y tomar medidas para obtener resultados ms confiables.

Y

X

1

1 1{

2

1

0

2

0

1

00

Mtodos Economtricos

Magen Infante 52

2.- Contrastes para Cambio Estructural o Inestabilidad

En la prctica es muy frecuenta preguntarse si dos submuestras han sido generadas por la

misma estructura de modelo.

El cambio estructural suele presentarse cuando se tiene informacin acerca de una variacin

o situacin de consideracin durante el periodo muestral.