¿Qué es una función? Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x. Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” A uno y solo un elemento “y” B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A BEs decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.La imagen de cada elemento x A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.

Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras.Ejemplo:P(t) es la población del mundo en el instante t.

Algebraica: A través de una formula.Ejemplo:X+25=y

Visual: Es decir a través de diagramas y graficas.

Numérica: Una herramienta para llevar a cabo esta es una tabla de valores.

Ejemplo:

Onzas dólares

x 1 2 3 4 5 …

y 11 12 13 14 15…

Rango

Sea f(x) : A B R= {y/y B y R x}Punto de corte con YPara hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0

Dominio

Sea f(x) : A B R= {x/x x A ^ x R y y B }

Punto de corte con X

Para hallar el punto de corte con x, se debe reemplazar en la ecuación a Y por 0. (en un polinomio de grado mayor a uno, se hallan los ceros para hallar los puntos de corte)

A

Este tipo de función cumple la condición de que a cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B (imagen) de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

d

e

g

h

Este tipo de función se da cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

d

e

g

Este tipo de función se da cuando es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.

d

e

f

h

Funciones Polinómicas.

Función Cuadrática. Función

Cubica.Función de Grado par.

Función de Grado impar.

Generalidades.Conclusiones.

Función lineal.

Funciones Polinómicas.

Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.

Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:

Grado Nombre Expresión

0 función constante y = a

1 función linealy = ax + b es un binomio del primer grado

2 función cuadráticay = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado

3 función cúbica

Dominio= Conjunto de Salida= RConjunto de llegada=R

Función Cuadrática.Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como:

f(x)= ax2+bx+cEl rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito.

Para hallar el mínimo y máximo relativos, que son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola (para cada caso específico) se usa la ecuación: x= -b 2a

Mínimo relativo.

Máximo relativo.

El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general:

Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado.

Función Cubica.Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma:

Y=ax3+bx2+cx+dEjemplo: Y= 3x3+4x2+3x-1

Conjunto de salida=Dominio= IRConjunto de llegada=Rango= IRPunto de corte con x= 0.3Punto de corte con y= -1F(x) > 0 en x (0.3, infinito)∈F(x) < 0 en x (0.3,-infinito)∈

Funciones lineales.

Lineal.Afín.

Constante.

Idéntica.

Generalidades. Conclusiones.

x-y son variables, m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la recta.m se halla a través de la expresión: m= (Y1 - Y 2)/ (X1 - X 2)

Generalidades.

CABE ANOTAR QUE: si m > o: la función es creciente si m < 0:la función es decreciente si m = 0 : la función es constante

La Función lineal es una función polinomica.

Y= mx + n

Indica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.

Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepción de la constante).Conjunto de llegada=R

Lineal.

La función lineal esta definida por la ecuación:

Y=mx.

DONDE:En esta función el punto de corte con x y con y son respectivamente (0,0).Dominio=Conjunto de salida= IRRango=Conjunto de llegada= IR

Afín.La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento vertical, esta dada por la ecuación:

Y: mx + nEJEMPLO: y=2x+3

Dominio= Conjunto de Salida= R Rango=Conjunto de llegada=R Punto de corte con y=n

Constante.La función constante es un tipo de función lineal que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales.

•Dominio=Conjunto de Salida= IR•Conjunto de llegada= IR•Rango= {a}•Punto de corte con Y= a.

Ejemplo:Y= 3

Idéntica.La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .

Esta dada por la ecuación:

f(x)=xRango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR

EJEMPLOS:

La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín, teniendo en cuenta la ecuación general planteada en las generalidades es que la función lineal no tiene n, es decir no tiene desplazamiento vertical mientras que la otra si. La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que esta ultima no contiene variables dependientes(x) y por tanto no corta en x, además de que se desplaza verticalmente de acuerdo con el valor de a, lo que influye en el rango pues deja de ser reales. La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica como su mismo nombre lo dice no hay un cambio(desplazamientos) pues es un reflejo, por lo cual deduciríamos que no hay desplazamiento vertical ni horizontal (x y n).

Conclusiones.

La función del valor absoluto,Esta dada por la ecuación:

f(x)=IxI + c

Es una función (don de c = 0) en forma de V Debido a que al obtener elValor absoluto de cualquier numero, este da positivo.

Así por ejemplo: I2I = I-2I

Si f(x) = IxIx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

F(x) > 0 en X Є IR

Dominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 0 , oo )

f(x) = IxI

f(x) = IxI + 10

Si f(x) = IxI + 10x 1 2 3 4 5 …y 11 12 13 14 15…

F(x) > 0 en X Є IR

Dominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 10 , oo )