Qu es derivar e integrar una funcin, y para qu sirve?

Las derivadas y las integrales son solo una herramienta que las personas usan, pero slo unos pocos son conscientes de ello. La ciencia y la investigacin las usan todo el tiempo

Comencemos por un enfoque newtoniano de la derivacin.

Las tangentes del movimiento

El estudio del movimiento de un cuerpo se reduce al estudio de su posicin respecto del tiempo. En notacin moderna, sera conocer la curvax(t). Y, como dira Newton, esta curva es una magnitudfluyentepues es el resultado de un punto quefluye continuamente. Ahora bien, ms all de la posicin, tambin querremos conocer la velocidad del cuerpo para estudiar la naturaleza dinmica de lo que est sucediendo (pues la velocidad nos dar informacin sobre la aceleracin, que es la magnitud clave en la dinmica).Para ello, podramos calcular el cociente entre las diferencias de posicin de dos puntos de la curvaAyBy el tiempo entre ellos. Esto nos dara una velocidad, pero sera una velocidad mediaentre los dos puntos y no aportara informacin sobre la velocidad instantnea en cada punto. Fijmonos en lafigura 1, donde la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. No sabramos, por ejemplo, la velocidad real enA. Para conseguirlo, debemos calcular el cociente de esas mismas cantidades para diferencias muy pequeas de tiempo, tomando dos puntos infinitamente prximos de modo que en el final de esa infinitud sean el mismo punto, en nuestro caso, elA. As sabremos la velocidad instantneav(a).Para Newton, esto se reduca a un cociente de dos cantidades que se desvanecen a la vez.En lafigura 2, vemos cmo el acercamiento deBhaciaAimplica esa disminucin de las dos cantidades. Aqu, la recta final es una tangente a la curva en el puntoA. En lenguaje moderno: obtenemos la pendientePAhaciendo el lmite del cociente de ambas cantidades cuandoB->A lo que es igual, cuando b -> a. (Slo es posible el lmite si esa funcin cociente es continua, lo que no sera problema para Newton, ya que esta curva es el resultado de un punto que se mueve de forma continua, sin sobresaltos)

Y aqu entra en juego la famosa tangente! Fijmonos que ese cociente de dos cantidades que tienden a cero a la vez, al final, no es ms que la pendiente de la recta tangente -en color rojo- a la curva en el puntoA. De este modo, el valor obtenido ser mayor cunto ms inclinada sea la recta tangente, cero si la tangente es horizontal (cuandoAes un mximo o un mnimo en la curva la pendiente es nula) y positivo o negativo dependiendo de si la curva crece o decrece hacia la derecha.Por tanto, el problema de hallar las tasas de cambio de una magnitud continua, como la de la posicin respecto del tiempo (lavelocidad) se reduce al arte de hallar tangentes a una curva. Lo haremos obteniendo la frmula general para todas las tangentes de la curva posicin usando el lmite de lafigura 2.A este proceso lo llamaremosDerivacino Diferenciacin. Y a las cantidadesx(b)-x(a)yb-acuandob->ase las denominar diferencialesdxydtrespectivamente, indicando as que son cantidadesinfinitesimaleso infinitamente pequeas.

Jugando con las pendientes (de las tangentes)Muy bien, ya sabemos calcular las velocidades instantneas en cada posicin de un cuerpo en movimiento. Dicho de otro modo, tenemos las tangentes. Representemos ahora esas rectas tangentes con una peculiaridad: sern segmentos de longitud igual al valor de la pendiente de la tangente. Observemos la parte superior de lafigura 3donde hemos dibujado en color rojo esos segmentos. En en el puntoC, el segmento de la tangente tiene una determinada longitud, enBes de longitud mayor (mayor inclinacin de la tangente, luego mayor pendiente) y enAyDes tan slo un punto (ya que la pendiente de la recta tangente es nula).

Atencin porque ahora viene lo bueno: tomemos esos segmentos y coloqumoslos en posicin vertical en una nueva grfica, en la parte inferior de lafigura 3, construyendo una curva con ellos de modo que cada punto tenga como valor la altura del segmento. Si el segmento tena un valor negativo de longitud como el del puntoE(porque vena de una tangente con inclinacin hacia abajo) lo colocaremos tambin hacia el sentido negativo del eje vertical. Unamos finalmente los puntos obtenidos mediante una curva e imaginemos que hemos procedido escrupulosamente para todos los puntos de la curva anterior, trasladando todas las tangentes. Lo que hemos hecho esDerivarla curva posicin. Tenemos ahora una nueva curva que representa lavelocidad en funcin del tiempo, ya que cada valor de la funcin es justamente la pendiente de las tangentes de la funcin posicin anterior.Observemos que, de haber dibujado la curva superiorx(t)ms arriba o ms abajo en la grfica, habramos obtenido exactamente la misma curvav(t)de abajo, ya que sta la hemos construido con las pendientes de las tangentes dex(t), y no se ve afectada por posibles desplazamientos verticales enx(t). Podemos entenderlo fsicamente si imaginamos que varios corredores que comienzan una carrera desde diferentes posiciones (lo que equivale a sumar una constante a la funcin posicin) tendrn la misma velocidad si corren de igual forma. Pero, mirando lafigura 3,qu misteriosa relacin tiene esta curva inferior con la anterior?

Un caso imaginario de Derivacin

Consideremos el caso imaginario en que la posicin de un cuerpo vara con el tiempo segn la extraa relacin

x(t) =tEs decir, en el instantet=1 segundoestar en la posicinx=metros, parat=2 segundos, enx= 4metrosy as sucesivamente.

Calculemos ahora la frmula general para la pendiente de las rectas tangentes a la curva posicin. Para ello, obtengamos primero la velocidad real en un instantet=a. Segn lo visto en lafigura 2, haremos:

v(a)=lim [(x(b)-x(a)) /(b-a)] = lim [(b2-a2) / (b-a)] = lim [(b2- a2) / (b-a)] = lim(b+a) =(a+a) =2a

donde hemos usado queb2- a2= (b+a)(b-a)y dondelimse refiere al lmite cuandob -> a

Vemos que en el caso general, para cualquier instante de tiempot, tomando intervalos infinitesimales para hallar las tangentes,

v(t)= 2tPerfecto, sta es la curva que describe cmo vara la velocidad del cuerpo cuya posicinviene dada por t.Diremos que la Derivada detes2t.De hecho, en el caso general, si la curva posicin tiene un desplazamiento vertical, lo que equivale a sumarle una constanteC- la curvav(t)ser la misma, como hemos comentado en relacin a lafigura 3. Diremos entonces que las Derivadas det + Cson2t,para todas lasces.(YC=0es el caso particular que considerbamos)Respecto a la notacin, la ms divulgada es la deLeibniz,dondedx/dt = v(t)o bienx'(t) = v(t)y en la notacin ms usada porNewton,xcon un punto encima -cosa que no s hacer con el teclado- significa tambinderivada respecto del tiempo,aunque l la llamarafluxindex. (As mismo, al diferencial dtlo denota comoo)Bien, ya sabamos que la derivada de la posicin era la velocidad, pero por qu es tan importante esta construccin de la funcinvelocidad? Y qu tiene que ver con el clculo de reas y volmenes? Todo esto podra parecer un mero entretenimiento matemtico si no fuera por las sorprendentes propiedades que encierra... pero, hagamos un breve descanso.

Otra forma de explicar las funcionesVoy primero a explicar qu es y para qu sirve una derivada. Al lector de juzgar si mi explicacin les ha ayudado a comprender que es una derivada y para qu sirve y si mi propuesta pedaggica le convence.

1 IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)Dispones de unos tablones que irs poniendo de peldao a peldao (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fjate en ellos, observa la figura 2 Qu constatas con relacin a su inclinacin?Tendrs que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el ltimo tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es ms elevada al inicio que al final.Si establecemos el ngulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ngulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reducindose.Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera). La pendiente es la divisin de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades Cul sera la pendiente en este caso?La pendiente en ese caso sera de 10/5= 2.Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. As de sencillo.La derivada nos muestra la evolucin de la inclinacin de los tablones a lo largo del trayecto.As que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ngulos de los tablones con relacin a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tabln est paralelo al suelo, si a partir de ah se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sera negativo. Si fuese bajando de modo simtrico al que ha ido subiendo encontraramos los mismos ndices angulares pero negativos.La derivada muestra la evolucin de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. Lo habis entendido?As que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podramos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningn tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiramos una funcin continuaf(x)que nos indicara por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sera una funcinf'(x)derivada de la anterior funcin que ya no nos da la altura sino que nos dice de cunto cambia aquella funcin primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.Los matemticos dicen que la derivada es la funcinf'(x)que da la tangente en cada punto de la curvaf(x).De todo estolo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algn ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relacin a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. Se os ocurre alguna? Por ejemplo el incremento de peso que he ido cogiendo en funcin de los aos. Qu me dar la derivada? Eso ya lo podis responder: la evolucin de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolucin del ngulo de los tablones sobre la horizontal.Para qu sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a travs de la pendiente en todo punto de la curva, la evolucin o el cambio de muchos fenmenos fsicos. Permite calcular los puntos clave ah donde la pendiente es 0 (mximos y mnimos) para buscar los ptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos clculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En fsica, electricidad, electrnica, en qumica, permite estudiar muchos fenmenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleracin, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas estn siempre presentes. Se utiliza en economa, se utiliza en gestin, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de clculo de frenado y de automatizacin utilizan derivadas, los sistemas y las mquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que sta sea suave, se controla el jerk que es la derivada de la aceleracin con relacin al tiempo.Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicndola al estudio de puntos mximos y mnimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integr en un sistema matemtico que es una genialidad y que se llama el Clculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemtica de la ciencia clsica. La relacin entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para clculos de fenmenos de acumulacin, reduccin y dispersin. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a travs de una diferencial, llegar a calcular su edad.Un ejemplo que de una aplicacin de la derivada y que es ms fcil de visualizar que los clsicos sobre el movimiento, las velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinacin de 16,7 , es decir una tangente de 0,3 de coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver que punto de la piedra y que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mnimo material (ver figura 4). As que sin entrar en explicaciones de cmo se realiza la derivada de una funcin, aceptamos que la funcin de la pista esf(x)=1/40 *x2y su derivadaf'(x)=1/20*x.Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga 0,3 de pendiente, podemos saber cul es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fcil. De manera que buscamos el punto 0,3 en la derivada:0,3=1/20*x; x=6;es decir 6 metros con relacin al centro (el punto cero de la curva). Por otro lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la funcin principal:f(x)=1/40 *x2=1/40 *(6)2= 0,9; as pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para iniciar los trabajos.Si tuvisemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sera muy fcil conociendo la longitud y utilizando la funcin primitivaf(x)= 1/40 *x2como si fuese la derivada de otra funcin. Lo cual nos permitira encontrar el rea y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen entre una funcin y su derivada son mltiples y han sido la base para la construccin de las ciencias.