Quatre Triangles - Pàgina de Ricard Peiró · La base d’un tetraedre és un triangle rectangle...

QUATRE TRIANGLES 50 problemes amb tetraedres

Ricard Peiró i Estruch

Quatre Triangles Ricard Peiró i Estruch

2

Problema 1 Siga el tetraedre regular ABCD.

Siga P el punt mig de l’aresta CD .

Determineu la proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD.

Problema 2 El perímetre de la secció paral·lela a dues arestes que es creuen d’un tetraedre regular és constant. Calculeu el perímetre. Problema 3 En una piràmide triangular regular l’aresta lateral és igual a tres vegades l’aresta de la base. Calculeu l’angle diedre d’una aresta lateral. Problema 4 Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre regular són vèrtexs d’un octaedre regular. Calculeu la proporció entre els volums de l’octaedre i el del tetraedre. Problema 5 La base d’un tetraedre és un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa 8cm i l’aresta lateral sobre l’angle recte de la base és perpendicular a la base i mesura 5cm. Calculeu l’àrea i el volum del tetraedre.


3

Problema 6 Un tetraedre està format per dos triangles equilàters de costat a i dos triangles rectangles isòsceles. Calculeu l’àrea i el volum. Problema 7

En la piràmide triangular regular ABCD l’àrea de la

secció que passa per l’aresta lateral SC i l’altura SO és

la meitat de l’àrea de la base

ABC de la piràmide.

L’aresta lateral és igual 21 . Determineu el volum de la

piràmide i la seua àrea.

Problema 8 Siga ABCS un tetraedre regular d’aresta 4.

Siga D un punt de l’aresta SC tal que 3:1DC:SD .

Determineu el volum del tetraedre ABDS. Problema 9 Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 6.

Siga P el punt mig de l’aresta SA .

Siga Q el punt mig de l’aresta AB .

Siga R el punt mig de l’aresta SC .

Determineu l’àrea del triangle

PQR .

Problema 10 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals, perpendicular al plànol de la base, també és un triangle equilàter. Determineu l’àrea i el volum de la piràmide.


4

Problema 11 Una piràmide ABCS (S el vèrtex) triangular regular l’aresta de la base és 3 i l’altura 4.

Siga P el punt mig de l’aresta AS .

Calculeu la mesura de l’angle BPC .


Siga P el punt mig de l’aresta AD.

Siga Q el centre de la cara

BCD .

Calculeu la proporció AB

PQ.

Problema 13 Determineu la proporció entre els volums d’un tetraedre regular i el seu dual (dual és aquest que té per vèrtex els centres de les cares del primer). Problema 14 Siga el tetraedre regular ABCD.


Siga Q el punt mig de l’aresta BC .


PQ.

Problema 15 En una piràmide triangular regular l’angle diedre de la base és igual a .

Determineu l’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide. Problema 16 L’altura d’una piràmide triangular regular és 4 vegades el radi de la circumferència inscrita a la base. El volum és 36. Determineu la mesura de l’aresta de la base: Problema 17

Una piràmide regular de base triangular té altura 6 i volum 372 .

Determineu el radi de l’esfera inscrita a la piràmide.


5

Problema 18 Un plànol secant paral·lel a la base d’una piràmide regular triangular divideix per la meitat l’àrea lateral de la piràmide. Determineu la proporció entre els segments en què queda dividida l’altura de la piràmide pel plànol secant. Problema 19 En una piràmide triangular regular, per l’aresta de la base de longitud a, es traça una secció perpendicular a l’aresta lateral oposada. Determineu la superfície de la piràmide si el plànol secant divideix l’aresta lateral en la raó n:m comptant des del vèrtex de la piràmide. Problema 20 Considerem el sistema de referència afí

)1,0,0(e),0,1,0(e),0,0,1(e;O 321

Siguen els punts )0,0,a(A , )0,b,0(B , )c,0,0(C .

Siguen les àrees: OABSP , OACSQ , OBCSR ,

ABCSS .

Proveu que 2222 SRQP .

Problema 21 Siga un tetraedre qualsevol. a) Els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt b) La suma dels quadrats de les arestes és quatre vegades la suma dels quadrats dels segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades. Problema 22

Les arestes d’una piràmide triangular que ixen del vèrtex A són perpendiculars a parelles i les seues mesures són a, b, c. Determineu el volum del cub inscrit en la piràmide tal que un dels seus vèrtexs és A.


6

Problema 23 Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta a.

Siga A’ la projecció de A sobre la base

BCD .

Siga 1A el punt mig del segment 'AA .

Proveu que el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles

rectangles. Problema 24 La suma dels quadrats de totes les arestes d’una piràmide triangular regular és P. Determineu l’àrea màxima d’una cara lateral. Problema 25 a) Calculeu el volum màxim d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. b) Calculeu el valor màxim de la suma de les arestes d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. Problema 26 Siga el tetraedre ABCD.

Siguen I, J, K, L els punts migs de les arestes AB , CD , BC ,

AD, respectivament.

a) Demostreu que JK2DCAB .

b) Demostreu que per a cada punt O del segment KL

existeixen els punts M i M’ de les arestes AB , CD tal que P

és el punt mig del segment 'MM .

Problema 27

Siga la piràmide ABCS de base el triangle equilàter

ABC

La secció produïda en la piràmide ABCS per un plànol que passa pel vèrtexs S i A, i pel punt mig M de l’aresta de la base

BC és un triangle equilàter de costat 6cm. Calculeu l’àrea i el

volum de la piràmide. Problema 28 La suma de distàncies d’un punt interior d’un tetraedre regular a les cares és igual a l’altura del tetraedre. Problema 29

En el tetraedre regular ABCS, AD és la mitjana del triangle

ABC , E és el punt mig de l’aresta BS .

Determineu l’angle que formen les rectes AD, CE.


7

Problema 30

En el tetraedre regular ABCS, AM és la mitjana del triangle

ABS .

Determineu l’angle que formen les rectes AM, CS. Problema 31 Siga ABCS un tetraedre regular.

Calculeu l’angle que formen l’aresta AB i la cara

ACS .

Problema 32

En el tetraedre regular ABCS, per la mitjana AD de la base

ABC i K el punt mig de

l’aresta SB , s’ha dibuixat un plànol. Determineu l’angle d’aquest plànol i la base

ABC .

Problema 33

Siga D el punt mig de l’aresta AS del tetraedre regular ABCS.

Siga E el punt mig de l’altura OS .

Determineu l’angle de les rectes CE i DO. Problema 34 Siga ABCD un tetraedre regular.

Siga M el punt mig de l’aresta BS .

Calculeu l’angle de la mitjana AM i l’aresta CS .

Problema 35

En la piràmide triangular ABCS la base

ABC és un triangle equilàter i les

cares

SAB i

SBC són perpendiculars a la base.

Siga l’aresta SB igual a l’aresta AB .

Siga O el baricentre de la base

ABC . Siga D el punt mig de l’aresta SC .

Calculeu l’angle que formen les rectes BD i SO.


8

Problema 36 La base d’una piràmide triangular és un triangle equilàter de costat 1. Les altres arestes mesuren a. Determineu la secció de la piràmide, perpendicular a la base, d’àrea màxima. Problema 37 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle diedre de l’aresta de la base és .

Problema 38

Les arestes del tetraedre ABCD són: 4AC ,

24ADAB , 6CDBC , 8BD .

Calculeu el seu volum. Problema 39 Una piràmide triangular regular està tallada per un plànol que passa per un vèrtex de la base i pels punts migs de les arestes laterals oposades. Determineu la raó entre l’àrea lateral i l’àrea de la base si sabem que el plànol secant és perpendicular a la cara oposada al vèrtex de la base del plànol. Problema 40 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals de la piràmide és perpendicular a la base i és un triangle isòsceles de costat b. Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que és un quadrat. Problema 41 En una piràmide triangular regular l’aresta de la base és a. L’angle entre l’aresta de la base i una aresta lateral és .

Construïm la secció de la piràmide formada pel plànol que passa per una aresta de la base i és perpendicular a l’aresta lateral oposada. Calculeu la seua àrea.


9

Problema 42 Un tetraedre regular d’aresta 20cm conté aigua fins una altura de 5cm. Calculeu el volum d’aigua.

Problema 43 Siga la piràmide triangular regular ABCP de base el triangle

equilàter

ABC tal que l’aresta de la base és 5.

Siga E un punt de l’aresta AP tal que l’aresta AP és

perpendicular al plànol BEC i a més a més, 2

7

AE

PE .

Calculeu la superfície de la piràmide.

Problema 44 Siga ABCS la piràmide triangular regular d’aresta de la base 6 i altura 8.

Siguen D, E punst de les arestes AB , AC ,

respectivament, tal que 5AEAD .

Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que conté

DE i és perpendicular a la base. Problema 45 Siga el tetraedre ABCS.

Siguen els punts D, E, F sobre les arestes AB , AC i

AS , respectivament, tals que AD2BD ,

AE2CE , SF2AF .

Determineu la proporció entre els volums dels dos sòlids en què divideix el tetraedre ABCS el plànol que formen els punts D, E, F.


10

Problema 46 En una piràmide triangular regular l’altura és igual a l’aresta de la base. Determineu l’angle que forma una aresta lateral i la base. Problema 47 En una piràmide regular triangular l’angle diedre de l’aresta de la base és .

Determineu l’angle que forma l’aresta lateral i la base. Problema 48 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle l’aresta lateral i la base és .

Problema 49

Siga un con inscrit en un tetraedre regular. Calculeu la proporció entre el volum del con i del tetraedre. Problema 50

La base del tetraedre VABC és el triangle rectangle

ABC , º90A .

L’aresta VB és perpendicular al plànol de la base.

Tenim que dm5VB , dm4BA , dm3AC .

Sobre l’aresta BA agafem el punt P tal que xPB .

Pel punt P tracem un plànol perpendicular a l’aresta BA . Es demana determinar:

a) L’àrea de la secció que determina el plànol en el

tetraedre.

b) El valor de x a fi que aquesta àrea siga màxima.

c) El valor de l’àrea màxima.


11


Siga P el punt mig de l’aresta CD .

Determineu la proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD. Solució:

Siga aAB aresta del tetraedre regular ABCD:.

L’àrea del tetraedre regular ABCD és:

3aa4

34S4S 22

ABCABCD

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle

APC :

a2

3BPAP .

Siga M el punt mig de l’aresta AB .


AMP :

a2

2a

2

1a

2

3MP

22

.

L’àrea del tetraedre ABCP és igual a la suma de les àrees dels triangles

ABC ,

APC ,

BPC i

APB :

22APBAPCABCABCP a

4

232

2

a2

2a

2

a2

3a

2

1

2a4

3SS2SS

.

La proporció entre les àrees del tetraedre ABCP i el tetraedre regular ABCD és:

7041.012

66

3a

a4

232

S

S2

2

ABCD

ABCP

.


12

Problema 2 El perímetre de la secció paral·lela a dues arestes que es creuen d’un tetraedre regular és constant. Calculeu el perímetre. Solució:

Siga ABCD el tetraedre regular d’aresta aAB .

Siga PQRS la secció del tetraedre QS,PS paral·lels a AC ,

RS,PQ paral·lels a BD .

AC, BD són arestes que es creuen.

Siga APx , xaPD .

APQ , és un triangle equilàter, aleshores:

xAPPQ .

PSD , és un triangle equilàter, aleshores:

xaPDPS .

El perímetre de la secció és:

a2xax2PSPQ2p .

El perímetre de la secció és constant i igual al doble de l’aresta del tetraedre.


13

Problema 3 En una piràmide triangular regular l’aresta lateral és igual a tres vegades l’aresta de la base. Calculeu l’angle diedre d’una aresta lateral. Solució:

Siga la piràmide recta ABCS, on

ABC és un triangle equilàter.

Siga aAB , a3AS .

Siga P de l’aresta AS tal que ASBP .

L’angle diedre que cerquem és BPC .


Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle

AMS :

a2

35a

2

1)a3(MS

2

2

.

Els triangles rectangles

AMS ,

APB són semblants i la raó és 3:1.

Aleshores, a6

35MS

3

1PB .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle

BPC :

cos

6

35

6

352

6

35a

6

35a

22

2 .

Simplificant:

35

17cos , "27'56º60

35

17arccos .


14

Problema 4 Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre regular són vèrtexs d’un octaedre regular. Calculeu la proporció entre els volums de l’octaedre i el del tetraedre. Solució: Els punts migs de les arestes que formen les cares formen 4 triangles equilàters de costat la meitat de l’aresta. Els punts migs de les arestes que s’intersecten en un vèrtex formen 4 triangles equilàters de costat la meitat de l’aresta. El poliedre resultant està format per 8 cares triangles equilàters iguals 6 vèrtexs i cada vèrtex d’índex 4. El poliedre és un octaedre regular. El truncament del tetraedre per la meitat de les arestes separa del tetraedre 4 tetraedres regular d’aresta la meitat de l’aresta del tetraedre inicial. Cadascun dels 4 tetraedres té per volum la vuitena part del tetraedre inicial ja que estan en proporció 1:2. Aleshores el volum de l’octaedre és la meitat del volum tetraedre. Problema Proveu que els punts migs de les arestes d’un tetraedre són vèrtexs d’un octaedre tal que les arestes oposades són iguals i paral·leles i el volum del qual és igual a la meitat del volum del tetraedre.


15

Problema 5 La base d’un tetraedre és un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa 8cm i l’aresta lateral sobre l’angle recte de la base és perpendicular a la base i mesura 5cm. Calculeu l’àrea i el volum del tetraedre. Solució:

Siga el tetraedre de base

ABC , º90A , 8BC .

Siga 5AD , º90DACDAB .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles

ABC :

24ACAB .


ABD :

57CDBD .

El triangle

BCD és isòsceles.

Siga M el punt mig de l’aresta BC .


CMD :

41DM .

L’àrea del tetraedre ABCD és:

BCDABCABDABCD SSS2S .

2

DMBC

2

AB

2

ADAB2S

2

ABCD

.

2ABCD cm90.6941416220S .

El volum del tetraedre és:

ADS3

1V ABCABCD .

3ABCD cm66.26

3

80516

3

1V .


16

Problema 6 Un tetraedre està format per dos triangles equilàters de costat a i dos triangles rectangles isòsceles. Calculeu l’àrea i el volum. Solució:

Siga el tetraedre ABCD tal que les cares

ABC ,

ACD

són triangles equilàters de costat a. Siguen

ABD ,

BCD

les cares que són triangles rectangles isòsceles.

aCDADACBCAB .

º90BCDBAD .


isòsceles

ABD :

2aAD .

L’àrea del tetraedre és:

22

2ABDaBCABCD a

2

13

2

a2a

4

32S2S2S

.

Siga P la projecció de C sobre la base

ABC .

Siga M el punt mig de l’aresta AC .

M pertany al segment PB .

Siga hDP altura del tetraedre. Siga xPM .


AMB :

a2

3DMBM .


PMD :

22

2

hxa2

3

(1)


PBD :

2

22

ha2

3x2a

(2)

Considerem el sistema format per les expressions (1) (2):

2222

222

hax3a4

3xa2

hxa4

3

. La solució és

a3

6h

a6

3x

.


32ABCABCD a

12

2a

3

6a

4

3

3

1hS

3

1V .


17

Problema 7 En la piràmide triangular regular ABCD l’àrea de la

secció que passa per l’aresta lateral SC i l’altura SO és

la meitat de l’àrea de la base

ABC de la piràmide.

L’aresta lateral és igual 21 . Determineu el volum de la

piràmide i la seua àrea. Solució:

Siga ABa aresta de la base

ABC (triangle equilàter).

Per ser la piràmide regular el peu de l’altura SO , és el baricentre del triangle equilàter

ABC . Siga M el punt mig de l’aresta AB .


BMC :

a2

3CM . Aplicant la propietat del baricentre O:

a3

3CM

3

2CO .


COS :

2

22

a3

121a

3

321SO

.

L’àrea del triangle

CMS (secció del plànol que formen SC i l’altura SO és:

22CMS a63a

4

1a

3

121a

2

3

2

1SOCM

2

1S .

L’àrea de la base

ABC és: 4

3aS

2

ABC .

Com que l’àrea del triangle

CMS és la meitat de l’àrea del triangle

ABC :

4

3a

2

1a63a

4

1 22 . Resolent l’equació:

6a . 3SO .

El volum de la piràmide ABCS és: 3934

36

3

1SOS

3

1V

2

ABC .


AMS :

323212

a21SM 2

22

.

L’àrea de la piràmide ABCS és: 3272

3263

4

36S3SS

2

ABSABCABCS

.


18

Problema 8 Siga ABCS un tetraedre regular d’aresta 4.

Siga D un punt de l’aresta SC tal que 3:1DC:SD .

Determineu el volum del tetraedre ABDS. Solució:

3:1DC:SD , 4SC , Aleshores:

3DC .

El volum del tetraedre ABDS és igual al volum del tetraedre regular ABCS menys el volum del tetraedre ABCD.

Siga SG l’altura del tetraedre regular ABCS. G és el baricentre de la cara base.



AMC :

32CM .

Aplicant la propietat del baricentre G.

33

4CM

3

2CG .


CGS :

63

4

3

344SG

2

2

.

El volum del tetraedre regular ABCS és:

23

16

3

64

4

34

3

1SGS

3

1V

2

ABCABCS .


CGS ,

CHD són semblants i la

raó de semblança és 3:4 , aleshores:

6SG4

3DH .

El volum del tetraedre ABCD és:

2464

34

3

1DHS

3

1V

2

ABCABCD .

El volum del tetraedre ABDS és:

23

4242

3

16VVV ABCDABCSABCD .


19

Problema 9 Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 6.

Siga P el punt mig de l’aresta SA .

Siga Q el punt mig de l’aresta AB .

Siga R el punt mig de l’aresta SC .

Determineu l’àrea del triangle

PQR .

Solució:

PQ és paral·lela mitjana del triangle

ABS , 3SB2

1PQ .

PR és paral·lela mitjana del triangle

ACS . 3AC2

1PR .

L’angle RPQ és igual a l’angle que formen AC i SB que és recte.

Aleshores, el triangle

PQR és rectangle i isòsceles.

2

9PQ

2

1S

2

PQR .


20

Problema 10 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals, perpendicular al plànol de la base, també és un triangle equilàter. Determineu l’àrea i el volum de la piràmide. Solució:

Siga la piràmide ABCD de base

ABC triangle equilàter, aAB .

Siga

ABD la cara lateral perpendicular a la base i triangle equilàter.

L’àrea dels triangles equilàters

ABC ,

ABD és:

4

3aSS

2

ABDABC .

Siga M el punt mig de l’aresta AB . Aplicant el teorema de

Pitàgores al triangle rectangle

AMD :

a2

3CMDM .

a2

3DM és altura de la piràmide.

El volum és:

32

ABCABCD a8

1a

2

3

4

3a

3

1DMS

3

1V .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles

DMC :

a2

62CMCD .

Els triangle

BCD ,

ACD són iguals i isòsceles.

Siga N el punt mig de l’aresta CD .

a4

6CN . º90BNC . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle

BNC :

a4

10a

4

6aBN

2

2

.

L’àrea dels triangles

BCD ,

ACD és:

2ACDBCD a

8

15

2

a4

10a

2

6

2

BNCDSS

.

L’àrea de la piràmide és:

15324

aa

8

152a

4

32S2S2S

222

BCDABCABCD .


21

Problema 11 Una piràmide ABCS (S el vèrtex) triangular regular l’aresta de la base és 3 i l’altura 4.

Siga P el punt mig de l’aresta AS .

Calculeu la mesura de l’angle BPC .

Solució:

La base

ABC és un triangle equilàter de costat 3AB .

Siga G el baricentre del triangle

ABC .

L’altura de la piràmide és 4SG .



AMB :

2

33AM .

Aplicant la propietat del baricentre G:

3AM3

2AG .


AGS :

1934AS2

2 .

BSAS

La mitjana BP del triangle

ABS mesura: 2

ASAB2BS2BP

222

:

2

37

2

1992192BS

.

Siga BPC , aplicant el teorema del cosinus al triangle

BPC :

cos

2

37

2

372

2

37

2

373

22

2 . Simplificant:

37

19cos .

"7'6º5937

19arccos .


22



Siga Q el centre de la cara

BCD .


PQ.

Solució:

Siga ABa aresta del tetraedre regular.


a2

3DMAM .

Siga ADM .


AMD :

cosaa

2

32aa

2

3a

2

3 2

22

. Simplificant:

3

3cos .

Aplicant la propietat del baricentre Q del triangle

BCD :

a3

3DM

3

2DQ .


PQD :

cosa

3

3

2

a2a

3

3

2

aPQ

222

3

3a

3

3

2

a2a

3

3

2

aPQ

222

.

Simplificant:

a2

1PQ .

2

1

AB

PQ .

Notem que el triangle

DPQ és isòsceles, aleshores, els triangles

DPQ ,

AMD són

semblants i la raó de semblança és 3

3

AM

PQ .


23

Problema 13 Determineu la proporció entre els volums d’un tetraedre regular i el seu dual (dual és aquest que té per vèrtex els centres de les cares del primer). Solució:

Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta ABa .

Siga PQRS el tratraedre dual, P centre de la cara

ABD i Q

centre de la cara

BCD .

Els dos tetraedres regulars són semblants, la proporció entre els volums és el cub de la proporció de les seues arestes.


Siga N el punt mig de l’aresta BC .

MN és paral·lela mitjana del triangle

ABC ,

aleshores:

2

aMN .

Els triangles

MDN ,

PDQ són semblants.

Per la propietat del baricentre P del triangle

ABD .

3

2

DM

DP , aleshores:

3

2

MN

PQ .

Per tant, a3

1

2

a

3

2PQ .

27

1

3

1

AB

PQ

S

V33

ABCD

PQRS

.


24



Siga Q el punt mig de l’aresta BC .


PQ.

Solució:

Siga ABa aresta del tetraedre regular.

El peu de l’altura del tetraedre regular sobre la base

ABC és el baricentre G del

triangle equilàter.

Siga DAQ .

a2

3AQ .

Aplicant la propietat del baricentre G:

a3

3AQ

3

2AG .

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle

AGD ;

3

3

AD

AGcos .


APQ :

cosa

3

3

2

a2a

3

3

2

aPQ

222

3

3a

2

3

2

a2a

2

3

2

aPQ

222

.

Simplificant:

a2

2PQ .

2

2

AB

PQ .


APQ és rectangle ja que 222

PQAPAQ .


25

Problema 15 En una piràmide triangular regular l’angle diedre de la base és igual a .

Determineu l’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide. Solució: La piràmide és triangular regular, és a dir, la base és un triangle equilàter i és recta.

Siga ABCD la piràmide triangular regular, de base

ABC triangle equilàter.

Siga G el peu de l’altura. G és el baricentre del triangle

ABC .

Siga ABa aresta de la base

Siga M el punt mig de l’aresta AB de la base .

2

aAM .


AMC :

a2

3CM .

Aplicant la propietat de la bisectriu:

a6

3CM

3

1GM .


DGM :

cos

a6

3

DM .

Siga ADM .


ADM

cos3

cos6

3

2

a

DM

AMtg .

cos3arctg .

L’angle format per dues arestes laterals en el vèrtex de la piràmide és:

cos3arctg22 .


26

Problema 16 L’altura d’una piràmide triangular regular és 4 vegades el radi de la circumferència inscrita a la base. El volum és 36. Determineu la mesura de l’aresta de la base: Solució:

Siga ABCS la piràmide de base el triangle equilàter

ABC .


Siga O l’incentre del triangle

ABC .

Siga OMr radi de la circumferència inscrita al triangle

ABC .

L’altura de la piràmide és r4OS .


AMO :

3rAM .

3r2AB .

El volum de la piràmide és:

OS4

3AB

3

1V

2

.

36r4

4

33r2

3

12

.

33r3 . Resolent l’equació:

3r .

L’aresta de la base mesura:

63r2AB .


27

G

3 1

Resultado: 1,73

M

D

O

T

G

C

BA

M

G

3 1

Resultado: 1,73

M

D

O

T

G

C

BA

M

Problema 17

Una piràmide regular de base triangular té altura 6 i volum 372 .

Determineu el radi de l’esfera inscrita a la piràmide. Solució: La piràmide regular aleshores, és recta i la base un triangle equilàter.

Siga la piràmide ABCD de base el triangle equilàter

ABC .


L’altura de la piràmide s’intersecta en el baricentre G del

triangle equilàter

ABC .

El centre de O l’esfera pertany a l’altura DG

El punt de tangència T de l’esfera i la cara

BCD pertany a

l’apotema DM .

OT és perpendicular a l’apotema DM .

Siga rOGOT radis de l’esfera.

Siga la secció

GMD de la piràmide que conté l’altura i l’apotema de la cara

BCD .

Siga ABa , aresta de la base.

hS3

1V bp .

37264

3a

3

1V

2

p . Resolent l’equació:

12a .


ABM:

36AM .

Per la propietat del baricentre:

32AM3

1GM .


DGM :

22 326DM .

34DM .

Els triangles

DGM ,

DTO són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

r6

r

34

32

. Resolent l’equació:

2r .


28

Problema 18 Un plànol secant paral·lel a la base d’una piràmide regular triangular divideix per la meitat l’àrea lateral de la piràmide. Determineu la proporció entre els segments en què queda dividida l’altura de la piràmide pel plànol secant. Solució:


ABC .

El peu de l’altura és el baricentre G del triangle

ABC .

El plànol secant talla les arestes laterals de la piràmide en

els punts A’, B’, C’, i la l’altura DG en el punt G’.

Volem calcular G'G

'DG.

Els triangles

ABD ,

D'B'A són semblants i la raó de les àrees és 2:1.

Aleshores, la raó dels costats és 1:2 .


'B'A talla DM en el punt P.

1:2DP:DM .

Els triangles

DGM ,

P'DG són semblants i la raó de semblança és:

2DP

DM .

Aleshores, 2'DG

DG .

2

2

DG

'DG .

21

2

21

2

2

DG

'DG1

DG

'DG

'DGDG

'DG

G'G

'DG

.


29

Problema 19 En una piràmide triangular regular, per l’aresta de la base de longitud a, es traça una secció perpendicular a l’aresta lateral oposada. Determineu la superfície de la piràmide si el plànol secant divideix l’aresta lateral en la raó n:m comptant des del vèrtex de la piràmide. Solució:

Siga la piràmide regular triangular ABCS, d’aresta de la base aAB

Siga el triangle

ABP secció per l’aresta AB perpendicular a l’aresta lateralSC .

Siga mxSP , nxPC . x)nm(SCSB .



BMC :

a2

3MC


MPC :

2222xna

4

3MP (1)


BMS :

2222a

4

1x)nm(MS (2)


MPS :

2222xmMSMP (3)

Substituint l’expressió (2) en l’expressió (3):

222222xma

4

1x)nm(MP (4)

Igualant les expressions (1) (4):

2222222 xma4

1x)nm(na

4

3 .

Resolent l’equació:

)nm(n2

ax

22

(5)

Substituint l’expressió (5) en l’expressió (2):

222

22a

n4

nm2a

4

1

)nm(n2

a)nm(MS

(6)

La superfície total de la piràmide ABCS és:

2

MSAB3SS3SS ABCABSABCABCS

.

n

nm233

4

a

2

n

nm2

2

aa

3a4

3S

22

ABCS .


30

Problema 20 Considerem el sistema de referència afí

)1,0,0(e),0,1,0(e),0,0,1(e;O 321

Siguen els punts )0,0,a(A , )0,b,0(B ,

)c,0,0(C .

Siguen les àrees: OABSP , OACSQ ,

OBCSR , ABCSS .

Proveu que 2222 SRQP .

Solució:

OAB ,

OAC ,

OBC són triangles rectangles.

ab2

1SP OAB .

ac2

1SQ OAC .

bc2

1SR OBC .

222222 )bc()ac()ab(4

1RQP .

)0,b,a(AB , )c,0,a(AC .

)ab,ac,bc(

c0a

0ba

eee

ACAB

321

.

222 )ab()ac()bc()ab,ac,bc(ACAB .

222ABC )bc()ac()ab(

2

1ACAB

2

1SS .

2222 )bc()ac()ab(4

1S .


31

Problema 21 Siga un tetraedre qualsevol. a) Els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt b) La suma dels quadrats de les arestes és quatre vegades la suma dels quadrats dels segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades. Solució: a)

Siguen K i L els punts mig de les arestes oposades AD i BC ,

respectivament.

Siguen M i N els punts mig de les arestes oposades AB i CD , respectivament.

KN és paral·lela mitjana del triangle

ACD .

ML és paral·lela mitjana del triangle

ACB .

Aleshores, MLNK és un paral·lelogram.

Les diagonals KL , MN del paral·lelogram s’intersecten en el punt mig dels dos segments. Anàlogament, MINJ és un paral·lelogram.

Per tant, Les diagonals IJ , MN del paral·lelogram

s’intersecten en el punt mig dels dos segments. Aleshores, els segments que uneixen els punts migs de les arestes oposades s’intersecten en un punt, a més a més, aquest punt és el punt mig dels tres segments. b) Solució per a tetraedre regular

Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta aAB

Siga DH altura del tetraedre.


Siga N el punt mig de l’artesta CD oposada a l’aresta AB .

H és el baricentre del triangle equilàter

ABC .

2

3aCM .

Aplicant la propietat del baricentre: 3

3aCM

3

2CH .


CHD :

3

2aDH

Siga P la projecció de N sobre el triangle

ABC .

Els triangles

CHD ,

CPN són semblants i de raó 2:1.

Aplicant el teorema de Tales: 3

2

2

aDN

2

1PN .

3

3aMC

3

2HPMHMP .


32


MPN : 22

a2

1MN .

La suma dels quadrats de les arestes del tetraedre regular ABCD és: 22a6AB6 .

La suma dels quadrats dels tres segments que uneixen els punts migs les arestes del

tetraedre equilàter ABCD és: 222

a2

3a

2

13MN3 .

Notem que MN34AB62

.

Solució general Sense pèrdua de generalitat, siga el tetraedre ABCD amb les següents coordenades cartesianes.

)0,0,0(A , )0,0,b(B , )0,c,a(C , )f,e,d(D .

)0,0,b(AB , )0,c,a(AC , )0,c,ba(BC ,

)f,e,bd(BD , )f,e,d(AD , )f,ce,ad(CD .

22bAB .

222caAC .

ab2cbaBC 2222 .

bd2fedbBD 22222 .

2222fedAD .

ce2ad2fedaCD 22222 .

)ceadbdab(2fedcba3CDADBDBCACAB 222222222222

Siguen I i J els punts mig de les arestes oposades AC i BD , respectivament.

Les seues coordenades són:

0,

2

c,

2

aI ,

2

f,

2

e,

2

dbJ ,

2

f,

2

ce,

2

adbIJ .

adabcebd(2fedcb4

1IJ 222222

.

Siguen K i L els punts mig de les arestes oposades AD i BC , respectivament.


2

f,

2

e,

2

dK ,

0,

2

c,

2

baL ,

2

f,

2

ec,

2

dbaKL .

cebdadab(2fedcba4

1KL 2222222

.

Siguen M i N els punts mig de les arestes oposades AB i CD , respectivament.


0,0,

2

bM ,

2

f,

2

ec,

2

daN ,

2

f,

2

ec,

2

bdaMN .

cebdabad(2fedcba4

1MN 2222222

.

)ceadbdab(2fedcba34

1MNKLIJ 222222222

.

)ceadbdab(2fedcba3MNKLIJ4 222222222

.


33

Problema 22 Les arestes d’una piràmide triangular que ixen del vèrtex A són perpendiculars a parelles i les seues mesures són a, b, c. Determineu el volum del cub inscrit en la piràmide tal que un dels seus vèrtexs és A. Solució:

Siga la piràmide triangular APQR, aAP , bAQ , cAR .


APQ : 22 baPQ .

Siga K en l’aresta AR vèrtex del cub inscrit en la piràmide.

Siga xAK , aresta del cub.

Siga 2xKL diagonal de la cara superior del cub.

La recta RL talla l’aresta PQ en el punt M.

º45PAM . AM és bisectriu de PAQ .

Aplicant la propietat de la bisectriu al triangle

APQ :

b

PMba

a

PM 22 .

22 baba

aPM

.

Aplicant el teorema dels sinus al triangle

APM :

APMsin

AM

º45sin

PM

.

22

22

ba

b

AM

2

2

baba

a

.

ba

2abAM

.


MAR ,

LKR són semblants, aplicant el teorema de Tales:

c

ba

2ab

xc

2x

. Resolent l’equació:

cabcab

abcx

.

El volum del cub és:

3

3cub

cabcab

abcxV

.


34

Problema 23 Siga el tetraedre regular ABCD d’aresta a.

Siga A’ la projecció de A sobre la base

BCD .

Siga 1A el punt mig del segment 'AA .

Proveu que el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles

rectangles. Solució:

Els triangles

B'AA ,

C'AA ,

D'AA són rectangles i

d’hipotenusa a, aleshores:

'AAa'DA'CA'BA 2 .

Aleshores, A’ és el circumcentre (també el baricentre) del triangle equilàter

BCD .

Siga M el punt mig de l’aresta CD .

a2

3BM .

Per la propietat del baricentre:

a3

3BM

3

2'BA .


A'BA :

a3

2'AA .

a3

2

2

1'AA

2

1A'A 1 .


rectangle

1A'BA :

a2

2

3

2

2

1

3

3BA

22

1

.

a2

2DACABA 111 .

Notem que 22

1

2

1 BCCABA . Aleshores, el

triangle

CBA1 és rectangle.

Aleshores, el tetraedre BCDA1 té tres cares triangles rectangles.


35

Problema 24 La suma dels quadrats de totes les arestes d’una piràmide triangular regular és P. Determineu l’àrea màxima d’una cara lateral. Solució:

Siga ABCD la piràmide triangular de base

ABC triangle equilàter.

Siga aAB aresta de la base. Siga bAD aresta lateral.

Per hipòtesi Pba3 22 .


ABC . Siga M el punt mig de l’aresta AB


AMC :

a2

3CM . Aplicant la propietat del baricentre:

a3

3CM

3

2CO , a

6

3CM

3

1OM .


COD : 2

22a

3

3bOD

.


DOM : 2

22a

6

3ODDM

.

2222a

12

1a

3

1bSM .

222a

4

1bDM .

L’àrea de la cara lateral

ABD és:

22 a4

1ba

2

1)b,a(S .

22 a3

Pb .

22 a4

1a

3

Pa

2

1)a(S .

42 a4

5a

3

P

2

1)a(S , 0a .

L’àrea màxima s’assoleix en el màxim de la funció 42 a

4

5a

3

P)a(f .

Derivem la funció f(a):

3a5a3

P2)a('f .

0)a('f , 0a5a3

P2 3 . Resolent l’equació: 15

P2a .

2a153

P2)a("f . 0

3

P14

5

P215

3

P2

15

P2"f

.

Aleshores, el màxim s’assoleix quan 15

P2a .

L’àrea màxima és: 30

5P

15

P2

4

5

15

P2

3

P

2

1

15

P2S

42

.


36

Problema 25 a) Calculeu el volum màxim d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. b) Calculeu el valor màxim de la suma de les arestes d’una piràmide regular triangular inscrita en una esfera de radi R. Solució: Siga l’esfera de centre O i radi R


ABC

Siga aAB , bCSBSAS .

Siga G el baricentre.

ROAOS . Siga AOS .


AOS

cosR2RRb 2222 .

cos22Rb .

a3

3AG .


AOG .

sin3Ra .


AGS : 2

222sin3R

3

3cosR2R2SG

.

2sincos22RSG

a) El volum de la piràmide ABCS és:

SGa4

3

3

1V 2 .

222 sincos22RsinR34

3

3

1)(V , ,0 .

6443 sincossin2sin2R4

3)(V .

624

552333

sincossin2sin22

cossin6sin2cossin8cossin8R

4

3)('V .

0)('V .

0cossin6sin2cossin8cossin8 55233 . Simplificant:

0cossin3sincos4cos4 222 .

0cossin3sincos4cos4 222 .

01coscos5cos3 23 .

3

1cos

.

Estudiant el signe de la primera derivada:

3

1cos

és un màxim relatiu estricte.


37

3

62ba , és a dir, és un tetraedre regular.

El volum màxim és:

3R27

38

3

1arccosV

.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

y

Gràfica per a 1R , 22 sincos22sin4

3y .

b) La suma de les arestes és:

b3a3)b,a(f .

cos22RsinR33)(f , ,0 .

cos12

sin2cos3R3)('f

0)('f .

0cos12

sin2cos3

.

cos1

sin

2

1cos3

22 .

01cos7cos3 23 . Resolent l’equació:

3

1cos

,

2

1cos .

La solució 2

1cos no és solució de 0

cos12

sin2cos3

.

Estudiant el signe de la primera derivada:

3

1cos

és un màxim relatiu estricte.

3

62ba , és a dir, és un tetraedre regular.


38

La suma màxima és:

R643

1arccosf

.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

2

4

6

8

10

x

y

Gràfica per a 1R , xcos22xsin33y .


39

Problema 26 Siga el tetraedre ABCD.

Siguen I, J, K, L els punts migs de les arestes AB , CD , BC ,

AD, respectivament.

a) Demostreu que JK2DCAB .

b) Demostreu que per a cada punt O del segment KL

existeixen els punts M i M’ de les arestes AB , CD tal que P

és el punt mig del segment 'MM . Solució: a)

KBLKALAB (1)

KCLKDLDC (2)

Sumant ambdues expressions:

JK2KCKBDLALDCAB (3)

Per ser L punt mig del segment AD, ODLAL .

Per ser K punt mig del segment BC , OKCKB .

Aleshores, JK2DCAB .

b)

Si P pertany al segment KL , existeix 1,0 tal que KLKP .

Siga M un punt de l’aresta AB , existeix 1,0 tal que BABM .

Siga M’ un punt de l’aresta CDB , existeix 1,0 tal que CD'CM .

Vegem que existeixen 1,0. tal que P és el punt mig del segment 'MM , és a dir,

O'PMPM .

BMKBPKPM (4)

'CMKCPK'PM (5)

Sumant ambdues expressions:

'CMBMKCKBPK2'PMPM (6)

'CMBM0PK2'PMPM (7)

'CMBMPK2'PMPM (8)

CDBALK2'PMPM (9)

Aplicant l’apartat a)

CDBACDAB'PMPM (10)

CD)(BA)('PMPM (11)

O'PMPM si 0CD)(BA)( .

Els vectors CD,BA són linealment independents, aleshores:

.

Per tant si

, P és el punt mig del segment 'MM .


40

Problema 27


ABC

La secció produïda en la piràmide ABCS per un plànol que passa pel vèrtexs S i A, i pel punt mig M de l’aresta de la base

BC és un triangle equilàter de costat 6cm. Calculeu l’àrea i el

volum de la piràmide. Solució:

6MSASAM .


AMB :

34CSBCBSACAB .

Siga O el punt mig del segment AM.

OS és l’altura de la piràmide ABCS.


AOS :

33OS .


32

ABCS cm3633344

3

3

1V .


BCS és equilàter de costat 34BC

.

Els triangles

ABS ,

ACS són iguals.

Siga N el punt mig de l’aresta AS .

3AN , 34AC


ANC :

39CN .

L’àrea del triangle isòsceles

ACS és:

3962

1SACS

L’àrea de la piràmide ABCDS és:

22

ACSABCABCDS cm04.79396344

32S2S2S

.


41

Problema 28 La suma de distàncies d’un punt interior d’un tetraedre regular a les cares és igual a l’altura del tetraedre. Solució: Siga el tetraedre regular ABCD. Siga P un punt interior al tetraedre.

Siga A’ la projecció de P sobre la cara

BCD .

Siga B’ la projecció de P sobre la cara

ACD .

Siga C’ la projecció de P sobre la cara

ABD .

Siga D’ la projecció de P sobre la cara

ABC .

Siga O la projecció de D sobre la cara

ABC .

L’altura del tetraedre ABCD és OD .


ODS3

1V ABCABCD .

El volum del tetraedre ABCD és igual a la suma dels volums dels tetraedres ABCP, ABDP, ACDP i BCDP.

BCDPACDPABDPABCPABCD VVVVV .

'PAS3

1'PBS

3

1'PCS

3

1'PBS

3

1V BCDACDABDABCABCD .

'PA'PB'PC'PBS3

1V ABCABCD .

Aleshores:

ODS3

1'PA'PB'PC'PBS

3

1ABCABC .

Per tant, OD'PD'PC'PB'PA .


42

Problema 29

En el tetraedre regular ABCS, AD és la mitjana del triangle

ABC , E és el punt mig de l’aresta BS .

Determineu l’angle que formen les rectes AD, CE. Gúsiev, problema 657.

Solució:

Siga aAB aresta del tetraedre regular.


ADB :

a2

3AD .

a2

3ADCE .

Pel punt D tracem una recta paral·lela a la recta CE que

talla l’aresta BS en el punt F.

Els triangles

BCE ,

BDF són semblants i de raó 2:1.

Aleshores, a4

3CE

2

1DF .

L’angle que formen les rectes AD i CE és igual a l’angle ADF .


ABF :

º60cos4

aa2

4

aaAF

2

22

.

22a

16

13AF .


ADF

cosBFAD2BFADAF222

cosa

2

3a

2

32a

4

3a

2

3

16

1322

.

6

1cos . "21'24º80

6

1arccos .


43

Problema 30

En el tetraedre regular ABCS, AM és la mitjana del triangle

ABS

. Determineu l’angle que formen les rectes AM, CS. Gúsiev, problema 662. Solució:

Siga aAB aresta del tetraedre regular.


ABM:

a2

3AM .

Pel punt M tracem una recta paral·lela a la recta CS que talla l’aresta

BC en el punt N.

Els triangles

BCS ,

BNM són semblants i de raó 2:1.

Aleshores, a2

1CS

2

1BN .

L’angle que formen les rectes AM i CS és igual a l’angle AMN .

a2

3AMAN .


AMN :

cosMNAM2MNAMAN222

.

cosa

2

1a

2

32a

2

1a

2

3a

2

3222

.

6

3cos . "17'13º73

6

3arccos .


44

Problema 31 Siga ABCS un tetraedre regular.

Calculeu l’angle que formen l’aresta AB i la cara

ACS .

Gúsiev, problema 637. Solució:

Siga M el punt mig de l’aresta CS .

La projecció de aresta AB sobre

ACS pertany a la recta AM.

L’angle que cerquem és MAB .


AMC :

2

3BMAM .


AMB :

cosaa

2

32aa

2

3a

2

3 2

22

.

Simplificant:

3

3cos .

"8'44º543

3arccos .


45

Problema 32

En el tetraedre regular ABCS, per la mitjana AD de la base

ABC i K el punt mig de

l’aresta SB , s’ha dibuixat un plànol. Determineu l’angle d’aquest plànol i la base

ABC .

Gúsiev problema 700. Solució:

Siga el tetraedre ABCS d’aresta aAB .

a2

1CS

2

1KD .

Siga O la projecció de S sobre la base

ABC (circumcentre del triangle).

a3

3AD

3

2OS .


AOS :

a3

6OS .

Siga P la projecció de K sobre la base

ABC .

a6

6OS

2

1PK .

Siga M la projecció de K sobre AD.

L’angle que forma el plànol ADK i la base

ABC és KMP .

Siga AMx .

Aplicant el teorema de Pitàgores als triangles rectangles

AMK ,

DMK :

2

2

2xa

2

3KM

,

222

xa2

3a

2

1KM

.

Resolent el sistema:

a12

33KM

a12

35x

.


KMP :

11

222

12

33

6

6

sin . "4'31º5811

222arcsin

.


46

Problema 33

Siga D el punt mig de l’aresta AS del tetraedre regular ABCS.

Siga E el punt mig de l’altura OS .

Determineu l’angle de les rectes CE i DO. Gúsiev, problema 654. Solució:

Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta aAB .



BMA :

a2

3AM .

O és el baricentre de la base. Aplicant la propietat del baricentre:

a3

3AM

3

2AO . a

6

3AM

3

1OM .


AOS :

a3

6OS .

a6

6OS

2

1OE

Siga P la projecció de D sobre la base.

a6

3OMOPAP .

Els triangles

OPD ,

MOE . A més a més PD , OE són paral·lels.

Aleshores, OD i ME són paral·lels.

L’angle que formen les rectes CE i DO és MEC .

º90EMC .


MOE :

a2

1a

6

3a

6

6EM

22

.


MEC :

1

a2

1

a2

1

EM

MCtg .

º45 .


47

Problema 34 Siga ABCD un tetraedre regular.

Siga M el punt mig de l’aresta BS .

Calculeu l’angle de la mitjana AM i l’aresta CS .

Gúsiev, problema 662. Solució:

Sig el tetraedre regular ABCS d’aresta aAB .

Pel vèrtex S tracem una paral·lela a la mitjana AM que talla la recta AB en el punt P.

º30SPB , º90PSB .

a2BS2PB , 3aPS

Siga N el punt mig de l’aresta AB . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle

rectangle

AMB :

a2

3CNAM .

a2

3PN .


rectangle

PNC :

3aPC .

L’angle que formen les rectes AM, CS és PSC .


PSC :

cosa3a2a3a3a 222

.

6

3cos , "17'13º73

6

3arccos .


48

Problema 35

En la piràmide triangular ABCS la base

ABC és un triangle equilàter i les

cares

SAB i

SBC són perpendiculars a la base.

Siga l’aresta SB igual a l’aresta AB .


ABC . Siga D el punt mig de l’aresta SC .

Calculeu l’angle que formen les rectes BD i SO. Gúsiev, problema 671. Solució 1:

Siga l’aresta aAB . L’aresta SB és perpendicular a la base.

Siga l’angle que formen els vectors BD,OS .

a3

3BO .


BOS : a3

32OS .


BCS : 2aSC . a2

2BD .

Aplicant el producte escalar als vectors BD,OS :

cosBDOSBDOS .

cosa2

2a

3

32BDOS (1)

BSBC2

1BD .

Per la propietat del baricentre: BCBA3

1BO .

BOBSOS .

2a2

1º60cosBCBABCBA .

Per ser ortogonals, 0BSBA , 0BSBC .

Aplicant el producte escalar als vectors BD,OS :

BSBC2

1BCBA

3

1BSBDOS

.

BSBC

3

1BC

3

1BSBA

3

1BCBA

3

1BSBCBS

2

1BDOS

22

.

2222 a4

1a

3

1a

6

1a

2

1BDOS

(2)

Igualant les dues expressions del producte escalar:

22 a4

1cosa

3

6 .

8

6cos . "14'10º72

8

6arccos

.


49

Solució 2:

Siga l’aresta aAB . L’aresta SB és perpendicular a la base.

Siga la recta m paral·lela a la recta BD que passa pel vèrtex S.

Siga la recta n paral·lela a l’aresta BS que passa per D.

Les rectes m, n s’intersecten en el punt K que pertany al plànol BCS.

La recta n talla l’aresta BC en el punt mig N de la mateixa.

L’angle que formen les rectes OS i BD és l’angle KSO .

a3

3BO .


BOS :

a3

32OS .


BCS :

2aSC . a2

2SKBD .

a2

3a

2

1aDNKDKN

a6

3ON


ONK :

a3

21OK .


KSO :

cosa

2

2a

3

322a

2

2a

3

32a

3

21222

.

8

6cos

, "46'49º107

8

6arccos

.


50

Problema 36 La base d’una piràmide triangular és un triangle equilàter de costat 1. Les altres arestes mesuren a. Determineu la secció de la piràmide, perpendicular a la base, d’àrea màxima. Solució:


ABC de costat 1AB .

Siga CDBDAD .

La piràmide és recta. Siga bOD , altura de la piràmide. O és el baricentre de la base.

L’àrea màxima és igual a la secció IJKL, trapezi isòsceles.

L’aresta AB és paral·lela al costat KL .

Siga xLKCLCK .


Siga T el punt mig del segment KL .

Siga P el punt mig del segment IJ .


CMA :

2

3CM .


CTL :

x2

3CT . )x1(

2

3MT .

Aplicant la propietat del baricentre al triangle

ABC : 3

3CO ,

6

3OM .


COD : 3a93

1ODb 2 .

Siga DMc .


DOM ,

PTM . Aplicant el teorema de Tales:

)x1(b3PT , )x1(c3PM .


ABD ,

IJD . Aplicant el teorema de Tales:

2x3IJ .

L’àrea del trapezi IJKL és:

)x1(b32

x2x3PT

2

IJKLSIJKL

.

1x3x2b3)x1)(1x2(b3)x(S 2 ,

1,

3

2x .

La funció és una paràbola convexa.

El màxim s’assoleix en el vèrtex, 4

3x .

L’àrea màxima és: 3a98

1

8

1b3

4

3S 2

.


51

Problema 37 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle diedre de l’aresta de la base és .

Solució:

Siga ABCS la piràmide triangular regular de base el triangle equilàter

ABC de costat

aAB .

Siga G el baricentre de la base.

Siga hGS . Siga M el punt mig de l’aresta AC . SMG .


AMB :

a2

3BM .

Aplicant la propietat del baricentre:

a3

3BM

3

2BGAG , a

6

3BM

3

1MG .


GMS :

tg6

3

a

h. Elevant al quadrat:

2

2

2

tg12

1

a

h (1)


AGS : 2

2

da3

3AP

.


GPS ,

AGS són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

22 da3

1

a3

3

d

h

.

Elevant al quadrat i simplificant:

22

222

d3a

dah

(2)

Resolent el sistema format per les expressions (1) (2):

22

2

2 dtg312tg

1a

, dtg312

6

3h 2 .


32

2

22 dtg312

tg8

tg4ha

4

3

3

1V

.


52

Problema 38

Les arestes del tetraedre ABCD són: 4AC ,

24ADAB , 6CDBC , 8BD .

Calculeu el seu volum. Solució:

Notem que la cara

ABD és un triangle rectangle

isòsceles º90A .

La cara

BDC és un triangle isòsceles.

Siga M el punt mig de l’aresta BD .

Siga C’ la projecció de C sobre la cara

ABD .

C’ pertany al plànol mitja del segment BD .

C’ pertany a l’altura AM del triangle rectangle isòsceles

ABD .

Siga h'CC , altura del tetraedre sobre la base

ABD .

Siga xM'C .

El triangle

AMB és rectangle i isòsceles, aleshores:

4BMAM .

x4'AC .


CMB :

52CM .


M'CC :

222 52hx .


'ACC : 222 4h)x4( .

Resolent el sistema format per les dues equacions:

0hx8x

20hx

22

22

,

2

55h

2

5x

.


7765.193

558

2

552424

2

1

3

1hS

3

1V ABDABCD .


53

Problema 39 Una piràmide triangular regular està tallada per un plànol que passa per un vèrtex de la base i pels punts migs de les arestes laterals oposades. Determineu la raó entre l’àrea lateral i l’àrea de la base si sabem que el plànol secant és perpendicular a la cara oposada al vèrtex de la base del plànol. Solució:

Siga ABCS la piràmide regular de base el triangle equilàter

ABC .

Siga aAB .

Siga G el baricentre del triangle

ABC .

Siga hSG altura de la piràmide.

Siguen P i Q els punts migs de les arestes SB , SC .

Considerem la secció formada pels punts A, P, Q.

Siga K el punt mig del segment PQ . Siga M el punt mig de

l’aresta BC .

La secció i la cara

BCS són perpendiculars, aleshores: º90AKM .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangles

AMB : a2

3AM .

Aplicant la propietat del baricentre: a3

3AG , a

6

3GM .

Siga K’ la projecció de K sobre la base. K’ pertany al segment AM.

h2

1SG

2

1'KK . a

12

3GM

2

1M'K'K'G . a

12

35'AK .

Aplicant el teorema de l’altura al triangle rectangle

AKM:

M'K'AK'KK . 222

a12

3a

12

35

2

h

. Simplificant: 22 a

12

5h .


SGM :

a2

2a

6

6hSM

2

2

.

L’àrea lateral de la piràmide és: 2BCSL a

4

23a

2

2a

2

13S3S

.

L’àrea de la base de la piràmide és: 2B a

4

3S .

La proporció entre l’àrea lateral i l’àrea de la base:

6

a4

3

a4

23

a2

2a

2

13S3

S

S

2

2

BCS

B

L

.


54

Problema 40 La base d’una piràmide és un triangle equilàter de costat a. Una de les cares laterals de la piràmide és perpendicular a la base i és un triangle isòsceles de costat b. Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que és un quadrat. Solució:


ABC de costat aAB .

Siga la cara

ACD perpendicular a la base i bCDAD .

Siga PQRS la secció quadrada de la piràmide.

Siga xPSPQ .

El triangle

PQB és equilàter, aleshores, xBP .



AMB :

a2

3MB .


AMD :

4

abMD

22 .


BMD :

2

abBD

22 .

Els triangles

ABD ,

APS són semblants.

Aplicant el teorema de Tales:

AP

PS

AB

BD .

xa

x

a

BD

.

22

22

22

22

b4a2a2

b4a2a

2

aba

2

aba

BDa

BDax

.

L’àrea del quadrat PQRS és:

222

2222

PQRS

b4a2a2

ba4a2xS

.


55

Problema 41 En una piràmide triangular regular l’aresta de la base és a. L’angle entre l’aresta de la base i una aresta lateral és .

Construïm la secció de la piràmide formada pel plànol que passa per una aresta de la base i és perpendicular a l’aresta lateral oposada. Calculeu la seua àrea. Solució: Siga la piràmide triangular regular ABCD de base el triangle

equilàter de costat aAB .

Siga BCSSAC .

Siga P el punt de l’aresta CS , tal que la secció que conté l’aresta

AB i és perpendicular a l’aresta CS .


BPC :

sinaBPAP .



BMP :

2sin412

aPM .

L’àrea de la secció és:

22

2 sin414

asin41

2

aa

2

1PMAB

2

1S .


56

Problema 42 Un tetraedre regular d’aresta 20cm conté aigua fins una altura de 5cm. Calculeu el volum d’aigua. Solució:

Siga el tetraedre regular ABCS d’aresta 20AB .

Siga

'C'B'A la secció del tetraedre que forma l’aigua.

Siga G i G’ els baricentres dels triangles equilàters

ABC ,

'C'B'A ,

respectivament.

5'GG .



AMG :

3

320AG .


AGS :

3

620SG .

El volum del tetraedre ABCS és:

3

22000

3

62020

4

3

3

1V 2

ABCS .

53

620'SG .

Els tetraedres ABCS, A’B’C’S són semblant, els volums són proporcionals als cubs de la proporció de les arestes. El volum del tetraedre A’B’C’S és:

8

34125

6

25125

3

22000

3

620

53

620

V

3

S''C'B'A

.

El volum que ocupa l’aigua és igual a la diferència dels volums dels tetraedres ABCS A’B’C’S:

3S'C'B'ABCA cm9237.627

2

2375

8

34125V .


57

Problema 43 Siga la piràmide triangular regular ABCP de base el triangle

equilàter

ABC tal que l’aresta de la base és 5.

Siga E un punt de l’aresta AP tal que l’aresta AP és

perpendicular al plànol BEC i a més a més, 2

7

AE

PE .

Calculeu la superfície de la piràmide. Solució:

Siga x2AE , x7PE .

x9BPAP

El segment BE és perpendicular a l’aresta AP .


AEB : 222 BE)x2(5 (1)


PEB : 222 BE)x7()x9( (2)

Considerem el sistema format per les expressions (1) (2):

0BEx32

5BEx4

22

222

. Resolent el sistema:

3

210BE

6

5x

.

2

15x9AP .

L’àrea lateral de la piràmide és:

2

275

3

210

2

15

2

13BEAP

2

13SL

.

La superfície de la base és:

2

325AB

4

3S

2

B .

L’àrea de la piràmide és:

8583.632

275

4

325SABCP .


58

Problema 44 Siga ABCS la piràmide triangular regular d’aresta de la base 6 i altura 8.

Siguen D, E punst de les arestes AB , AC ,

respectivament, tal que 5AEAD .

Determineu l’àrea de la secció de la piràmide que conté

DE i és perpendicular a la base. Solució:

Siga O el baricentre del triangle equilàter

ABC .

La secció és el trapezi DEFG.


Siguen K, L els punts migs dels segments FG,DE ,

respectivament.

ADE és un triangle equilàter, aleshores, 5DE .


BMO :

3OM . Per la propietat del baricentre, 32OM2AO .


AKD :

32

5AK .

32

1AOAKOK .

Aleshores, K és el punt mig del segment OM .


SOM ,

LKM són semblants i de raó 2:1.


4SO2

1KL .

Els triangles isòsceles

SBC ,

SGF són semblants i de raó 2:1.


3BC2

1FG .

L’àrea del trapezi DEFG és:

1642

35KL

2

FGDESDEFG

.


59

Problema 45 Siga el tetraedre ABCS.

Siguen els punts D, E, F sobre les arestes AB , AC i

AS , respectivament, tals que AD2BD ,

AE2CE , SF2AF .

Determineu la proporció entre els volums dels dos sòlids en què divideix el tetraedre ABCS el plànol que formen els punts D, E, F. Solució: Siga S’ la projecció de S sobre el plànol base ABC.

Siga h'SS altura del tetraedre ABCS.

Siga F’ la projecció de F sobre el plànol base ABC. Els volum del tetraedre ABCS és:

hS3

1V ABCABCS .

Els triangles

ADE ,

ABC són semblants i de raó 1:3.

ABCABC

2

ADE S9

1S

3

1S

.

Els triangles

F'AF ,

S'AS són semblants i de raó 2:3.


h3

2'SS

3

2'FF .

Els plànol DEF divideix el tetradre inicial ABCS en un tetraedre ADEF i el poliedre de vèrtexs DEFBCS. El volum del tetraedre ADEF és:

ABCSABCABC

2

ADEAFDE V27

2hS

3

1

27

2h2S

3

1

3

1h2S

3

1V

.

El volum del políedre DEFBCS és igual a la diferència dels volum dels tetraedres ABCS i ADEF:

ABCSABCSABCSAFDEABCSDEFBCS V27

25V

27

2VVVV .

La raó entre els volums dels dos sòlids és:

25

2

V27

25

V27

2

V

V

ABCS

ABCS

DEFBCS

AFDE .


60

Problema 46 En una piràmide triangular regular l’altura és igual a l’aresta de la base. Determineu l’angle que forma una aresta lateral i la base. Solució:

Siga ABCS la piràmide regular d’aresta de la base aAB .


ABC .

aSO , altura de la piràmide.


L’angle que forma l’aresta lateral AS i la base és SAO .


AMO ;

a3

3AO .


AOS :

3

a3

3

atg .

º603arctg .


61

Problema 47 En una piràmide regular triangular l’angle diedre de l’aresta de la base és .

Determineu l’angle que forma l’aresta lateral i la base. Solució:

Siga ABCS la piràmide regular de base el triangle equilàter

ABC de costat aAB .

Siga O el baricentre del triangle de la base.

SO és l’altura de la piràmide ABCS.


L’angle diedre de l’aresta de la base AC és SMB .

L’angle que forma l’aresta lateral SB i la base és SBO .


AMB :

a2

3BM .


a6

3BM

3

1OM , a

3

3BM

3

2OB .


MOS :

tga6

3SO .


SOB :

tg2

1

a3

3

tga6

3

OB

SOtg .

tg

2

1arctg .


62

Problema 48 La perpendicular baixada des del baricentre de la base d’una piràmide triangular regular a l’aresta és d. Determineu el volum de la piràmide si l’angle l’aresta lateral i la base és .

Solució:

Siga ABCS la piràmide triangular regular de base el triangle equilàter

ABC de costat

aAB .

Siga G el baricentre de la base. SAG .

Siga hGS . Siga M el punt mig de l’aresta BC .


AMB :

a2

3AM .


a3

3BM

3

2AG .

SGP .


GPS :

dcos

1h

.


GPA :

sin3

3

da .

3

2

2 dcossin

1

4

3ha

4

3

3

1V

.


63

Problema 49

Siga un con inscrit en un tetraedre regular. Calculeu la proporció entre el volum del con i del tetraedre. Solució:

Siga el teraedre regular ABCS d’aresta aAB . Siga O el baricentre de la base. O és el centre de la base del con inscrit.

Siga M el punt mig del costat BC .


ABM:

a2

3AM .

Aplicant La propietat del baricentre:

a6

3AM

3

1OM , radi de la base del con.

L’àrea del triangle equilàter

ABC és:

2ABC a

4

3S


OSS3

1V ABCT .

El volum del con és:

OSOM3

1V

2

C .

La proporció entre els volums és:

6046.033

a4

3

a6

3

OSS3

1

OSOM3

1

V

V

2

2

ABC

2

T

C

.


64

Problema 50

La base del tetraedre VABC és el triangle rectangle

ABC , º90A .

L’aresta VB és perpendicular al plànol de la base.

Tenim que dm5VB , dm4BA , dm3AC .

Sobre l’aresta BA agafem el punt P tal que xPB .

Pel punt P tracem un plànol perpendicular a l’aresta BA . Es demana determinar:

a) L’àrea de la secció que determina el plànol en el

tetraedre.

b) El valor de x a fi que aquesta àrea siga màxima.

c) El valor de l’àrea màxima.

Solució:

5BC , 41AV , 25CV .

Vegem que la secció és el rectangle PQRS:

Notem que PS és perpendicular a BA i QR és perpendicular a BC i PQ és paral·lel

a CA .

Aplicant el teorema de Tales als triangles semblants

ABV ,

APS :

4

5

x4

PS

, Aleshores, )x4(

4

5PS .


ABC ,

PBQ :

4

5

x4

CQ

, Aleshores, )x4(

4

5CQ .

El triangle

CQR és rectangle i isòsceles com el triangle

CBV :

Aleshores, )x4(4

5CQQR .

Aleshores, QRPS i PQ és perpendicular a PS i a QR .

Per tant, PQRS és un rectangle.


ABC ,

PBQ :

4

3

x

PQ , Aleshores, x

4

3PQ .

L’àrea del rectangle PQRS és:

)x4(4

5x

4

3PSPQSPQRS .

x4x16

15)x(S 2 , 4,0x .

La funció és una paràbola convexa. El màxim s’assoleix en el vèrtex, és a dir, quan 2x i l’àrea màxima és:

2dm75.34

15)2(S .

0 1 2 3 4

0

1

2

3

x

S(x)


65

Bibliografia: GÚSIEV, V. i altres, Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría. Editorial Mir. Moscou, 1989. KLETENIK, D. Problemas de geometría analítica. Moscou. 1979. POGORÉLOV A.V. Geometría elemental. Ed. Mir. Moscou. 1974. GUILLÉN SOLER, G. Poliedros. Ed. Ed. Síntesis. Col. Educación matemática en secundaria, 15. Madrid. 1997. MEDVIÉDEV G.N. Problemas de matemática. Olimpiadas y exámenes de admisión. Ed. URSS. Moscou 2010. SORTAIS , Y., SORTAIS R. Géométrie de l’espace et du plane. Ed. Hermann. Paris. 1988. Pàgines Web:

http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml Revista KöMaL. Societat Hongaresa de Física i Matemàtiques. Problemes olímpics de tots els nivells. Publiquen 8 números a l’any. Idioma: Anglés i magiar.

http://www.obm.org.br/opencms/ Pàgina de l’Olimpíada brasileira de matemàtica. Informació sobre les proves. Revista de problemes EUREKA. Dos nivells de problemes. Idioma: Portugués.

http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml

http://www.obm.org.br/opencms/

Quatre Triangles - Pàgina de Ricard Peiró · La base d’un tetraedre és un triangle rectangle...

Documents

Transcript of Quatre Triangles - Pàgina de Ricard Peiró · La base d’un tetraedre és un triangle rectangle...