Generalitat de Catalunya Departament d'Ensenyament Institut Bellvitge Departament de Matemàtiques

Estiu 2011, 3r d’ESO

Com podeu observar, com a treball d’estiu teniu exercicis i problemes relacionats amb el que hem fet aquest

any a classe. Hi ha dues parts: Exercicis de repàs i les proves d’avaluació diagnòstica de 3r

INFORMACIÓ PRÈVIA

• Els problemes d’aquest estiu 2011 són una col·lecció d’exercicis i problemes molt semblants als que heu fet al llarg del curs. Fer-los és obligatori per a tothom.

• Heu de lliurar el dossier corresponent al setembre, el primer dia de classe.

• La nota d’aquest dossier d’estiu COMPTARÀ FINS UN 50% EN LA NOTA DE LA PREAVALUACIÓ del 1r trimestre. A més, qui passi a 4t amb les matemàtiques de 3r

suspeses haurà de lliurar aquest treball amb els exercicis resolts correctament i

aprovar la primera avaluació per superar les matemàtiques del curs anterior.

INSTRUCCIONS GENERALS PER FER EL DOSSIER

• Cal que copieu els enunciats en els exercicis de la primera part, a la resta al menys heu

d’indicar el número i apartat de cada problema, i també el concepte matemàtic

(percentatges, proporcionalitat, divisibilitat, equacions ...) amb el que es relaciona el

problema.

• Recordeu que s’ha de veure d’on surt el que feu o dieu. No es consideraran correctes les

respostes que no compleixen aquesta condició. Com a explicació es pot fer una frase,

un dibuix, un esquema, i de vegades és suficient un títol explicatiu adequat.

• Separeu els càlculs de la resposta i doneu aquesta en forma de frase.

• Quan us sigui possible, comproveu que els resultats que heu obtingut compleixen les

condicions de l’enunciat del problema.

• Quan hi hagi més d’una solució, indiqueu-lo explícitament.

SUPORT “ONLINE”

En el llibre de text que heu fet servir aquest any, podeu trobar ajut per fer tots els problemes. Però si

l’heu lliurat o tornat a l’Institut, podeu consultar el material següent que trobareu a la web de la xtec:

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas_cat/index.htm

Un altre lloc interessant és el web: http://www.aulamatematica.com/

Pàgina 1

2

Primera Part. Exercicis de repàs. (Cal fer tots els exercicis)

1. Calcula:

a)

−⋅+−5

31

4

1

2

1 b)

+−÷

−−3

42

3

1

2

1

c) 3,05

2

4

15,0

3

2 ⌢

+

−⋅−+ d) ( )6,075,0)2,02·(2⌢⌢

−÷−

e)

13

2

3

4)2(

2

3−

−+−−

f) ( ) 25,05,03,0 22

+−− −⌢

2. Calcula de dues maneres diferents:

a)

2

4

3

5

2−

⋅ b)

3

5

6

7

3

−÷−

3. Les pàgines d’un llibre fan 2 dm d’amplada i 26 cm de llargada. Si el llibre té 145 pàgines,

podríem decorar una paret de 3 m de llargada per 25 dm d’alçada amb les pàgines del

llibre? Quants metres quadrats de paper sobrarien o faltarien?

4. D’una finca de 70 ha, se’n ven ¼ per fer-hi un camp de golf, 1/3 com a parcel·les per a una

urbanització i 2/9 per a la construcció d’una zona comercial. La resta de la finca s’ha de

destinar a carrers i places? Quants metres quadrats representa cada fracció?

5. Si un euro costa 1,436 dòlars, quants euros són 6,23 $? I quants dòlars són 12,65 €?

6. Digueu, amb un petit raonament, si són certes o no les següents afirmacions:

a) Un nombre racional i el seu invers tenen diferent signe.

b) 44

2

3

3

2

−=

−−

c) L’invers del nombre racional 7

6 és

1

7

6−

d) L’oposat de 25

9− és

2

3

5−

−

e) 4,17,06,0⌢⌢⌢

=+

f) 5

11

5

11

4

11

3

11

2

1 =

−⋅

−⋅

−⋅

−

7. Resol les equacions següents:

a) ( ) ( ) ( )1– 3 – 2 – 2 -1 5 1– 2x x x= b) ( ) ( )5 3 3 2 4x x x+ + = +

c) 3

1

5

42 −=+ xx d) 05

6

5

32

1 =−−+ xx

x

Pàgina 2

3

8. Indica quins dels parells de valors següents són solució de l’equació 7 – 3 4x y = :

a) 4x = , 8y = ; b) 1x = , 1y = ; c) 2 / 7x = , 2 / 3y = −

9. En representar gràficament les solucions d’una equació de primer grau amb dues

incògnites, hem obtingut aquesta recta. Indica quatres solucions d’aquesta equació:

y

x

O

10. Resol pel mètode més adequat els sistemes següents:

a)

=+=−

3

5

yx

yx b)

=−=+

352

25

yx

yx c)

−=+−=+−

37

963

yx

yx d)

=+=−

443

103

yx

yx

11. En temporada de rebaixes, en Jordi compra un microones i li van fer un descompte del 12%.

Si va pagar 237,60 €, quin era el preu de venda del microones abans de les rebaixes?

12. L’ordinador d’un cotxe d’un cotxe ens pot dir quants quilòmetres podem recórrer amb el

combustible que hi ha al dipòsit. També ens diu que amb el dipòsit ple (60 litres) poden fer

820 km. Doncs bé, quants litres hi haurà al dipòsit en el moment que l’ordinador indica que

hi ha combustible per fer 545 km?

13. Divideix el nombre 15400 en tres parts inversament proporcionals als nombres 5, 10 i 25.

14. Un pare té actualment 5 vegades l’edat del seu fill. D’aquí a tres anys, la seva edat només

serà quatre vegades superior, Quina edat té ara cadascú?

15. Digueu, amb un petit raonament, si són certes o no les següents afirmacions (Totes les

preguntes són sobre funcions. Feu un mínim 10 apartats):

a) En la funció matemàtica que relaciona el nombre d’articles comprats d’un mateix

producte i l’import que cal pagar per la compra, el nombre d’articles és la variable

dependent.

b) Els valors de la variable dependent d’una funció es representen en l’eix de les abscisses

en un sistema de coordenades cartesianes.

c) La representació gràfica d’una funció lineal és una recta que passa per l’origen de

coordenades.

d) La imatge de 4 per la funció ( ) 2f x x= és 6.

Pàgina 3

4

e) La imatge de 4/5 per la funció ( ) 5f x x= és 4.

f) L’antiimatge de 9 per la funció ( ) 3f x x= és 27.

g) La representació gràfica de la unció ( ) 4 7f x x= − és una recta que passa pel punt

(0,4).

h) Una funció d’equacióx

xf2

)( −= és afí.

i) La imatge de 20 per la funció ( ) 5f x = és 5.

j) La funció ( ) 6f x x= − + és creixent.

k) L’antiimatge de 6 per la funció ( ) 2 4f x x= − és 1.

l) La recta d’equació 2y x= + té pendent 2.

m) La representació gràfica de la funció ( ) 6f x = és una recta que passa pel punt

( ) 6,0P

n) El pendent d’una recta que és paral·lela a una altra d’equació 7 2y x= − + és –7, i

L’ordenada a l’origen és -2

19. Teorema de Pitàgores. Esbrina si rectangles els següents triangles:

a. Triangle 1: a=15 cm, b= 110 cm, c= 112 cm

b. Triangle 2: a= 36 mm, b= 48 mm, c= 6 cm

c. Triangle 3: a = 0,5 m, b = 0,4 m, c = 0,3 m

20. Teorema de Tales. Trobeu les longituds dels segments x, y i z, a cada una

de les figures següents:

21. Teorema de l’altura. Calcula l’altura en

cada un dels triangles rectangles

següents:

Pàgina 4

5

22. En Lluís vol construir l’estel següent (en realitat, es tracta dos

triangles rectangles enganxats per la hipotenusa). Per construir-la ha

de tallar una peça de roba amb aquesta forma i han de muntar

l’estructura dels dos llistons de fusta, que es tallen perpendicularment.

Troba la longitud que ha de tenir cada llistó i a quina distància de

cada extrem es troba el punt on ha d’unir-los.

23. En una persona adulta, aproximadament el 57 % del seu cos és aigua. Un jugador de futbol,

abans d’iniciar un partit, pesa 75 kg. En acabar, pesa 72 kg. Suposem que tot el pes perdut

és aigua. Quin percentatge del seu cos serà aigua en acabar el partit?

24. En Dídac triga a fer la neteja de casa 4 h, mentre que la seva germana Maria triga 5 h. Si

tots dos es posen a netejar junt i suposant que mantenen les mateixes proporcions, quina

fracció de la neteja farien en 1 h? Quant tardarien a fer tota la casa?

Pàgina 5

activitat 1

1 La marató és una cursa de 42.195 metres.

a. Quants quilòmetres té una marató?

b. Quants centímetres?

2 Ordena les fraccions següents de més petita a més gran:

2/3 1/3 2/5 1/2

< < <

3 Calcula:

a. (-27) + (-6) =

b. 3 · (-4 - 2)2 =

c.

d.

4 Resol:

4x + 6y = 6 2x + 4y = 2 }

5 Una persona que fa 1,80 metres d’alçada projecta una ombra de 2,30 metres. Quina ombra projectarà, a la mateixa hora i al mateix lloc, una casa de 15 metres d’alçària?

1 2 — +2 · — = 2 3

= + 2 1 - — 3( ) 11 - —

2( )

0-1

0-1

0-4

0-2

0-2

Segona Part

Pàgina 6

activitat 2

La carretera entre A i B està plena de revolts; passa per un coll de la serralada que hi ha entre les dues poblacions: són 20 km de pujada i 20 km més de baixada.

La Neus i el Pep han anat per aquesta carretera de muntanya. Quan arriben a B, observen les possibilitats que té el navegador GPS del cotxe, i una d’elles és la de fer el gràfic d’espai i temps del recorregut que hagi fet el vehicle.

1 Indica en el gràfic quina magnitud (espai i temps) correspon a cadascun dels eixos.

2 Marca amb una X la frase que interpreta millor la forma del gràfic:

a. El cotxe ha recorregut els 40 quilòmetres en 50 minuts; la gràfica és molt recta, fet que vol dir que ha anat a una velocitat gairebé constant.

b. Al principi la carretera no fa tanta pujada, però després fa més pendent i, al cotxe, li costa més, per això va més a poc a poc.

c. Fins a la meitat de camí el cotxe va més lent; a partir del coll va més ràpid i recorrem la mateixa distància en menys temps.

A

B

00 10 20 30 40 50 60

25

40

20

35

15

30

10

5

0-2

0-2

Pàgina 7

3 En Pep diu que el gràfic del navegador no és correcte, hauria de ser així:

00 10 20 30 40 50 60

25

40

20

35

15

30

10

5

Però la Neus no està gens d’acord amb el gràfic que ha presentat el Pep. I tu, què hi dius? És correcte aquest gràfic? Argumenta matemàticament la teva resposta.

activitat 2

0-2

Pàgina 8

Un grup de sis amics han quedat per sopar a casa d’un d’ells. Demanen quatre pizzes grans i sis ampolles de beguda a Pizza Presto.

1 Quan arriben les pizzes les volen repartir ràpid i a parts iguals, perquè tenen molta gana. El Carles pren el ganivet i vol tallar cada pizza en sis trossos, però el Toni li diu que, com que les pizzes són iguals, talli per la meitat tres pizzes i que només talli en sis trossos la quarta pizza. Qui té raó? Per quin motiu?

2 La Rosa proposa als altres aquesta situació: si el Joan vol mitja pizza i jo en vull dos terços, quantes pizzes hauríem de tallar?

Quin tros de pizza sobraria?

activitat 3

0-2

0-2

Pàgina 9

3 Mentre sopen, la Laila explica que coneix una pizzeria on fan pizzes quadrades i també pizzes hexa-gonals. Els altres no s’ho creuen i la Laila, per demostrar que no s’ho ha inventat, busca el web i mostra l’anunci als altres.

Si no t’agraden gaire les vores, quina pizza has de demanar? Utilitza els conceptes de perímetre i àrea per justificar-ho.

activitat 3

22 cm de diàmetre

11,50 E20 cm de costat

12 E12 cm de costat

12,10 E

La teva pizza amb la forma que TU decideixis!

0-3

Pàgina 10

1 El Joan comenta que els seus pares han fet un viatge de cap de setmana expressament per anar a comprar un dècim de loteria a l’Escombra Màgica: “Per què han hagut d’anar tan lluny a comprar el dècim? Que no el podien comprar aquí? Tant és on compris el número!”, exclama l’Imma. I el Joan li contesta: “Que no t’has fixat que quan donen les notícies dels números guanyadors, gairebé sempre parlen que se n’ha venut algun a l’Escombra Màgica? Allà és més fàcil que toqui!”.

a. Per què creus que toca més a l’Escombra Màgica?

b. Qui té raó, l’Imma o el Joan? On tens més possibilitats que et toqui la loteria?

2 La Rosa proposa aquesta situació als amics: si llancem un dau 5 vegades i en totes ha sortit un 1, què passarà al sisè llançament? La Laila opina que seguirà sortint un 1; el Joan creu que ja no pot tornar a sortir un 1, i el Carles diu que no se sap quina xifra sortirà.

Qui creus que té raó? Argumenta matemàticament la teva resposta.

activitat 4

0-2

0-2

Pàgina 11

El Lluís explica que ahir el professor de matemàtiques no els va voler dir les notes de l’últim control, però els va donar la pista que la nota mitjana del grup era de 5 i que la mediana era de 7. Els va demanar que rumiessin sobre aquests resultats i que el dilluns els demanaria quina interpretació n’havien fet.

En aquest grup són pocs, només 9 alumnes. La Carla opina que totes les notes del grup han d’estar al voltant del 5. En Lluís, en canvi, li diu que no, que hi ha d’haver notes més altes, que el control ha anat força bé a la majoria del grup.

1 Posa dos exemples de la distribució de notes dels nou alumnes del grup que compleixin les dues condicions que diu el Lluís (mitjana de 5 i mediana de 7).

2 Qui té raó, el Lluís o la Carla? Per què?

activitat 5

0-2

0-1

Pàgina 12

1 L’Ivan s’ha encarregat d’anar a comprar gelats per a la seva colla. Ha comprat quatre superbombons i sis tropic-fruits, que li han costat en total 11,60 euros. Quan ha de passar comptes amb els seus amics s’adona que no ha pensat en agafar el tiquet, però recorda que fa poc va comprar, al mateix lloc, dos superbombons i quatre tropic-fruits i li van costar 7 euros justos.

Com pot deduir el preu de cada gelat?

activitat 6

0-3

Pàgina 13

Llibres recomanats:

A continuació us recomanem uns quants llibres. Si no els heu llegit ja, aprofiteu

l’estiu per fer-lo, us ajudaran a gaudir les vacances i ... les matemàtiques.

L’assassinat del professor de Matemàtiques (El asesinato del profesor de matemáticas)

Autor: JORDI SIERRA I FABRA

La història de la novel·la es centra en la necessitat de dos nois i una noia, no excessivament brillants en matemàtiques, de resoldre un sèrie de problemes per esbrinar qui ha estat l'assassí del seu professor.

L’home que calculava (El hombre que calculaba) Autor: MALBA TAHAN

L’home que calculava ens explica les aventures de Beremiz Samir, "l'home que calculava", que contínuament es va enfrontant a situacions que requereixen de les seves habilitats matemàtiques. L’enginy (i el mètode!) de Beremiz el fa sortir airós, evidentment, de totes les situacions.

Ernesto, el aprendiz de matemago

Autor: José Muñoz Santonja

Ernesto va un dia al circ i descobreix la màgia, però una màgia molt especial basada en les matemàtiques i en les propietats dels números. El mag Minler (anagrama de Merlín) l’ensenya a "endevinar" nombres, deslligar llaçades impossibles, trucs visuals i jocs de cartes. D’aquesta forma Ernesto veurà les matemàtiques des d’un altre punt de vista.

El dimoni dels nombres (El diablo de los números)

Autor: HANS MAGNUS ENZENSBERGER

És la història d’un noi, el Robert, a qui no agraden gens les matermàtiques. Cada nit té un somni, en què se li apareix el dimoni dels nombres. Li explica curiositats dels nombres, propietats dels nombres, sistemes de numeració, elements geomètrics, combinatòria, ... i tot d’una forma atractiva, que fan que Robert a mesura que avança la novel·la tingui més i més ganes d’aprendre matemàtiques.

Arquímedes el despistado

Autor: Luis Blanco Laserna

Aunque tuviera pinta de pasarse el día en las nubes, en la gigantesca barba de Arquímedes no había un solo pelo de tonto. Podía levantar barcos con la fuerza de una mano, fue uno de los más grandes detectives de la historia y se las ingenió para defender su ciudad de todo un ejército con la única ayuda de unos espejos. Así que cuando dijo: “Dadme una palanca y moveré el mundo”, muchos se echaron a temblar y nadie quiso dejarle una.

Fermat y su teorema.

Autor: Carlos Dorce Polo

Al señor Pierre de Fermat le chiflaban los secretos y los números. Pero, sobre todo, le gustaba cocinar con ellos fascinantes enigmas que servía por carta a sus amigos. Sonreía imaginando las muecas que pondrían mientras se rompían la cabeza tratando de pescar la solución. Al morir se despidió con un problema tan misterioso... ¡que los hombres más listos del planeta se estuvieron tirando de los pelos durante 300 años!

Pàgina 14