¿Qué y cómo aprenden nuestros niños y...
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¿Qué y cómo aprenden nuestros niños y niñas? Área Curricular 3.° y 4.° grados de Educación Primaria Matemática IV Ciclo Versión 2015
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¿Qué y cómo aprenden nuestros niños y niñas?
Área Curricular
3.° y 4.° grados de Educación Primaria
Matemática
IVCiclo
Versión 2015
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ÍndicePresentación ............................................................................................................................................. Pág. 5
Introducción ............................................................................................................................................... 7
1. Fundamentos y definiciones .................................................................................................................... 8
1.1 ¿Por qué aprender matemática? .................................................................................................... 8
1.2 ¿Para qué aprender matemática? ................................................................................................. 10
1.3 ¿Cómo aprender matemática? ...................................................................................................... 12
2. Competencias y capacidades ................................................................................................................ 16
2.1 Competencias matemáticas ........................................................................................................... 18
1. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ........................................... 18
2. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio .............................................................................................................. 20
3. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento
y localización ............................................................................................................................. 22
4 . Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre ......................................................................................................................... 24
2.2 Capacidades matemáticas ............................................................................................................ 25
Capacidad 1: Matematiza situaciones ......................................................................................... 25
Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemáticas ....................................................... 26
Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ...................................................................................... 28
Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemáticas ........................................ 29
2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el IV ciclo? ............................................................... 30
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ....................................... 30
2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio ......................................................................................................... 49
2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma,
movimiento y localización ................................................................................................... 62
2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
e incertidumbre .................................................................................................................... 73
En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.
Ministerio de educación Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 228,100 ejemplares
elaboración:Nelly Gabriela Rodríguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Díaz, Marisol Zelarayan Adauto. María Isabel Díaz Maguiña. SINEACE - Programa de Estándares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.
colaboradores:Félix Rosales Huerta, Elwin Contreras, Edith Bustamante, Sonia Laquita, Lorena Puente de la Vega, Alicia Veiga, Ramiro Febres, José Raúl Salazar La Madrid, Guillermo Liu, Fernando Escudero, Rodrigo Valera, Andrea Soto.
cuidado de edición:Fernando Carbajal Orihuela.
Correción de estilo:Gustavo Pérez Lavado.
ilustraciones:Gloria Arredondo Castillo.
diseño y diagramación:Hungria Alipio Saccatoma.
Fotografías: Paula Yzaguirre, Félix Rosales, Elba Mayna.
impreso por:Quad/Graphics Perú S.A.Av. Los Frutales 344 Ate – LimaRUC: 20371828851 © Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el depósito Legal en la Biblioteca nacional del Perú: nº 2015 - 03215Impreso en el Perú / Printed in Peru
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Presentación
3. Orientaciones didácticas ....................................................................................................................... 81 3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de cantidad ............................................................................................................ 81
3.1.1 Estrategias para la construcción del número .................................................................... 81
3.1.2 Estrategias para la resolución de problemas .................................................................... 86
3.1.3 Estrategias para sumar o restar fracciones ...................................................................... 105
3.1.4 Estrategias de cálculo multiplicativos ................................................................................. 105
3.1.5 Estrategias de cálculo mental .............................................................................................. 107
3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ............................................................... 108
3.2.1 Patrones de repetición geométricos con simetría ............................................................. 108
3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de forma, movimiento y localización ................................................................... 123
3.3.1 Estrategias didácticas ........................................................................................................... 123
3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de gestión de datos e incertidumbre .................................................................. 133 3.4.1 Situaciones de gestión de datos .......................................................................................... 133
3.4.2 Juegos para usar la probabilidad ....................................................................................... 137
3.4.3 Uso de materiales manipulativos ....................................................................................... 141
Referencias bibliográfícas ............................................................................................................................ 142
Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias ........................................................................................ 144
Anexo 2: Mapas de progreso ..................................................................................................................... 152
Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una enseñanza efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación Básica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:
• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se están entendiendo.
• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así como la combinación que se requiere para su desarrollo.
• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
• Los indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de las competencias.
Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:
1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos de desempeño.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si
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Introducción
bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.
3. Estándar nacional
Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso y se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En este caso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.
Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho de todos.
4. Indicador de desempeño
Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeño se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. Así, una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, que en los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones, de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.
El presente fascículo es la segunda versión de Rutas del Aprendizaje, mejorada y más completa, fruto del trabajo de investigación y validación en las aulas, del que tú formaste parte con tu opinión y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versión te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: ¿qué enseñar? y ¿cómo enseñar? El qué enseñar se relaciona con los contenidos y las capacidades, y el cómo enseñar, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes significativos en los niños.
Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y con la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.
Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces de asumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello, formando estudiantes con autonomía, conscientes de qué aprenden, cómo aprenden y para qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo te brindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Con tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando el desarrollo de la competencia.
En el presente fascículo encontrarás:
Capítulo I: los fundamentos teóricos de por qué y para qué se aprende matemática, asumiendo la resolución de problemas como la centralidad del quehacer matemático.
Capítulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, así como los estándares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje a donde deben llegar los estudiantes al culminar el IV ciclo.
Capítulo III: las orientaciones didácticas en cada una de las competencias que te guiarán para lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.
Finalmente, es necesario señalar que la intención del presente fascículo no es entregar recetas “aplicables” de manera directa y mecánica, sino proporcionar herramientas pedagógicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar aprendizajes en los niños y así complementen y refuercen tu labor cotidiana.
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Fundamentos y definiciones1.1.1 ¿Por qué aprender matemática?
La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. También se encuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los días al trabajo en determinado tiempo, al medir y controlar la temperatura de algún familiar o allegado, al elaborar el presupuesto familiar o de la comunidad, etc.
Permite entender el mundo y desenvolvernos en él.
Las formas de la naturaleza y las regularidades que se presentan en ella pueden ser comprendidas desde las nociones matemáticas de la geometría y de los patrones. La matemática nos permite entenderlas, representarlas y recrearlas.
Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rápidamente; por ello, es necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemática para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades básicas que nos permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con el mundo del trabajo, de la producción y del estudio.
De lo dicho se desprende que la matemática está incorporada en las diversas actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien el uso, reconocimiento y valoración de los conocimientos matemáticos propios.
En los pueblos originarios también se reconocen prácticas propias y formas de estructurar la realidad como, por ejemplo, agrupar objetos o animales en grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeración binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas asumiendo un rol participativo en diversos ámbitos del mundo moderno, pues se requiere el ejercicio de la ciudadanía con sentido crítico y creativo. La matemática aporta en esta perspectiva cuando es capaz de ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones sociales, interpretándolas y explicándolas.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología, por lo tanto, para el desarrollo de las sociedades.
En la actualidad, las aplicaciones matemáticas ya no representan un patrimonio únicamente apreciable en la física, ingeniería o astronomía, sino que han desencadenado progresos espectaculares en otros campos científicos. Por ejemplo, especialistas médicos leen obras sobre la teoría de la información, los psicólogos estudian tratados de teoría de la probabilidad, etc. Así, existen muchas evidencias para que los más ilustres pensadores y científicos hayan aceptado sin reparos que en los últimos tiempos se ha vivido un intenso periodo de desarrollo matemático.
Diseñar y elaborar una cometa
es una actividad divertida y
mediante la cual se pueden
construir conocimientos
geométricos y de medida.
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El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los niños formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemáticamente tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la práctica exclusiva de los matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral, científico, etc.
En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemática desde los siguientes propósitos:
La matemática es funcional. Se busca proporcionar las herramientas mate-máticas básicas para su desempeño en contexto social, es decir, en la toma de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aquí la contri-bución de la matemática a cuestiones tan relevantes como los fenómenos po-líticos, económicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimien-tos poblacionales.
La matemática es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura, en la física, en la estadística o en la ingeniería, la matemática es imprescindible.
En la práctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemática. Los concep-tos con que se formulan las teorías científicas son esencialmente conceptos matemáticos. Por ejemplo, en el campo biológico, muchas de las caracterís-ticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad permite describir estas características.
La matemática es formativa. El desenvolvimiento de las competencias mate-máticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimien-tos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promue-van un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo y divergente.
Así, la matemática posee valores formativos innegables, tales como:
Desarrollar en los niños capacidades y actitudes para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su autonomía, su razonamiento, la capacidad de acción simbólica, el espíritu crítico, la curiosidad, la persistencia, la imaginación, la creatividad, la sistematicidad, etc.
La utilidad para promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación de formas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos y esquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.
En este contexto, las ciencias se sirven de la matemática como medio de comunicación, pues hay un lenguaje común que es el lenguaje matemático para todas las civilizaciones por muy diferentes que sean, y este saber está constituido por las ciencias y la matemática. La razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias; gracias a él ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.
Al día de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas se ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad científica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su tremendo impacto.
Promueve una participación ciudadana que demanda toma de decisiones responsables y conscientes.
La formación de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capaz de cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; así como sus interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber más allá de las cuatro operaciones y exige, en la actualidad, la comprensión de los números en distintos contextos, la interpretación de datos estadísticos, etc. El dominio de la matemática para el ejercicio de la ciudadanía requiere no solo conocer el lenguaje matemático y hechos, conceptos y algoritmos, que le permitirá interpretar algunas situaciones de la realidad relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino también procesos más complejos como la matematización de situaciones y la resolución de problemas (Callejo de la Vega, 2000).
En virtud de lo señalado, los niños deben aprender matemática porque:
Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en él.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología; por ende, para el desarrollo de las sociedades.
Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una práctica ciudadana responsable y consciente.
1.2 ¿Para qué aprender matemática?
La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los niños interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.
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Actuar y pensarmatemáticamente Resolución de
problemas
Enseñanza
Aprendizaje
Enfoque centrado en la resolución de
problemas
"A través de"
"Sobre la"
"Para la"
Explícame cómo lo has resuelto tú.
¿Y si en vez de un cuarto hubiera sido
un quinto?
Voy a intentar resolverlo de otra manera para ver si
sale igual.
Usando tapas lo resolví más rápido.
Mi estrategia es más fácil.
¿Cómo han resuelto el problema?
1.3 ¿Cómo aprender matemática?En diversos trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.
Por otro lado, como lo expresó Freudenthal1, esta visión de la práctica matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemática como proceso es más importante que la matemática como un producto terminado.
En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como señaló Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes “a través de”, “sobre” y “para” la resolución de problemas.
1 La educación matemática realista (EMR) fue fundada por el profesor alemán Hans Freudenthal (1905-1990).
El cambio fundamental
es pasar de un aprendizaje,
en la mayoría de los casos
memorístico de conocimientos
matemáticos (como supuestos
prerrequisitos para aprender
a resolver problemas), a un
aprendizaje enfocado en la
construcción de conocimientos
matemáticos a partir de la
resolución de problemas.
“A través de” la resolución de problemas inmediatos y del entorno de los niños, como vehículo para promover el desarrollo de aprendizajes matemáticos, orientados en sentido constructivo y creador de la actividad humana.
“Sobre” la resolución de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensión del saber matemático, la planeación, el desarrollo resolutivo estratégico y metacognitivo, es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades matemáticas.
“Para” la resolución de problemas, que involucran enfrentar a los niños de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolución de problemas es el proceso central de hacer matemática; asimismo, es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemática con la realidad cotidiana.
Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones.
Desarrollar capacidades para el trabajo científico, la búsqueda, identificación y resolución de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los niños al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias matemáticas.
El enfoque centrado en la resolución de problemas orienta la actividad matemática en el aula, situando a los niños en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear y resolver problemas, probar diversos caminos de resolución, analizar estrategias y formas de representación, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.
La resolución de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educación matemática, en el propósito que se persigue de desarrollar ciudadanos que “actúen y piensen matemáticamente” al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la metodología en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
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Pintaremos la cuarta parte que nos corresponde.
El cambio fundamental, entonces, para enseñar y aprender matemática radica en proponer a los niños, en cada sesión de clase, situaciones o problemas que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar matemáticamente.
Rasgos esenciales del enfoque
La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemático, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad matemática con situaciones de diversos contextos.
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades matemáticas.
La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas.
Los problemas planteados deben responder a los intereses y necesidades de los niños. Es decir, deben presentarse retos y desafíos interesantes que los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.
La resolución de problemas permite a los niños hacer conexiones entre ideas, estrategias y procedimientos matemáticos que le den sentido e interpretación a su actuar en diversas situaciones.
Un problema es un desafío,
reto o dificultad a resolver y
para el cual no se conoce de
antemano una solución.
Una situación se describe
como un acontecimiento
significativo, que le da
marco al planteamiento
de problemas con cantidades,
regularidades, formas,
etc. Por ello, permite dar
sentido y funcionalidad
a las experiencias
y conocimientos
matemáticos que
desarrollan los estudiantes.
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A nuestro salón le ha tocado cultivar un cuarto del terreno
del huerto. Ayer lo visité y observé que estaba dividido así:
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Competencias y capacidades2.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
cantidad.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre.
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de forma,
movimiento y localización.
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y
cambio.
MATEMÁTICA
Los niños de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad, con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad como en el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de una matemática para la vida y el trabajo.
Los niños en la educación básica regular tienen un largo camino por recorrer para desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tengan disponibles y considere pertinentes a la situación (MINEDU, 2014).
Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas situaciones, donde los niños construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la resolución de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentación, realizan representaciones gráficas y se comunican con soporte matemático.
Según Freudenthal (citado por Bressan y otros 2004), la matemática es pensada como una actividad; así, el actuar matemáticamente consistiría en mostrar predilección por:
Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es
decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos específicos de la matemática,
hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en este aspecto
es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.
Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema dado.
Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de
usar la matemática cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad matemática como materia prima para la reflexión, con miras a
De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades
mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de
significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,
tomar una decisión o llegar a una conclusión en los que están involucrados procesos
como la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros (Cantoral, 2005;
Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).
Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la
base de cuatro situaciones. La definición de estas se sostiene en la idea de que la
matemática se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar
los fenómenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados
procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD, 2012). En
este sentido, la mayoría de países ha adoptado una organización curricular basada
en estos fenómenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con
procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo,
fenómenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones
habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas matemáticas
relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenómenos o situaciones de equivalencias
o cambios necesitan ser abordados desde el álgebra; las situaciones de cantidades
se analizan y modelan desde la aritmética o los números; las de formas, desde la
geometría.
Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar
matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y
cambio; forma, movimiento y localización y gestión de datos e incertidumbre.
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2.1 Competencias matemáticas
En la actualidad, la presencia de la información cuantitativa se ha incrementado de forma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones en las que se manifiesta el sentido numérico y de magnitud, lo cual va de la mano con la comprensión del significado de las operaciones y la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación.
Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido numérico y de magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación. Toda esta comprensión se logra a través del despliegue y la interrelación de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.
Conocer los múltiples usos que les damos a los números naturales y a las fracciones.
Representar los números y las fracciones en sus variadas formas.
Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de cantidades.
Comprender las relaciones y las operaciones.
Comprender el sistema de numeración decimal.
Reconocer patrones numéricos con números de hasta cuatro cifras.
Utilizar números para representar atributos medibles de objetos del mundo real.
Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.
competencia
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad1
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Expresar problemas diversos en modelos
matemáticos relacionados con los números y las
operaciones.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis
relacionadas con los números y las
operaciones.
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, comparación y estimación usando diversos recursos para resolver problemas.
Expresar el significado de los números y operaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de representaciones y lenguaje matemático.
S/. 1,00Kg
S/. 1,00Kg
S/. 5,00la cabeza
S/. 3,00Kg
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
cantidad.
La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos
permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad
de manejar números y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real.
Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics Canada,
2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de capacidades, habilidades,
conocimientos, creencias, disposiciones, hábitos de la mente, para resolver problemas
que las personas necesitan para participar eficazmente en situaciones cuantitativas
que surgen en la vida y el trabajo”.
Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
vinculados con la aritmética asociada a la idea de cantidad, lo cual implica lo siguiente
en el IV ciclo:
20 21
Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen patrones, y su reconstrucción con base en estas mismas leyes, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático. Ambas actividades están vinculadas estrechamente con el proceso de generalización, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasar de casos particulares a una propiedad común (conjetura o hipótesis), como transferir propiedades de una situación a otra. Asimismo, el estudio de patrones y la generalización de estos abren las “puertas” para comprender la noción de variable y de fórmula, así como para distinguir las formas de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolización matemática.
La competencia de Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el álgebra:
Identificar, interpretar y representar regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los matemáticos.
Comprender que un mismo patrón se puede hallar en situaciones diferentes, ya sean físicas, geométricas, aleatorias, numéricas, etc.
Generalizar patrones y relaciones usando símbolos, lo que conduce a crear procesos de generalización.
Interpretar y representar las condiciones de problemas, mediante igualdades o desigualdades.
Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones algebraicas.
Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo real mediante funciones, con la finalidad de formular y argumentar predicciones.
competencia
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio2
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y
cambio.
En el entorno se producen múltiples relaciones temporales y permanentes que se presentan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográficos, científicos, entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigiéndole que desarrolle capacidades matemáticas para interpretarlas, describirlas y modelarlas (OCDE, 2012). La interpretación de los fenómenos supone comprender los diferentes tipos de cambios y reconocer cuándo se presentan, con el propósito de utilizar modelos matemáticos para describirlos.
Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretación y generalización de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones. Por lo tanto, se requiere presentar el álgebra no solo como una traducción del lenguaje natural al simbólico, sino también usarla como una herramienta de modelación de distintas situaciones de la vida real.
Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:
Asociar problemas diversos con modelos
que involucran patrones, igualdades,
desigualdades y relaciones.
Justificar y validar conclusiones, supuestos,
conjeturas e hipótesis respaldadas en leyes que rigen patrones,
propiedades sobre la igualdad y desigualdad y
las relaciones de cambio.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, estimación, usando diversos recursos, para resolver problemas.
Expresar el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones, de manera oral y escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
22 23
Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometría involucra lo siguiente:
competencia
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización3 Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Usar relaciones espaciales al interpretar y
describir de forma oral y gráfica trayectos
y posiciones de objetos y personas, para
distintas relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos de formas
bidimensionales y tridimensionales, con
diferentes formas y materiales.
Expresar propiedades de figuras y cuerpos
según sus características, para que los
reconozcan o los dibujen.
Explorar afirmaciones acerca de características
de las figuras y argumentar su validez.
Estimar, medir y calcular longitudes y superficies
usando unidades arbitrarias.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
forma, movimiento y localización.
En el mundo en que vivimos la geometría está presente en diversas manifestaciones de la cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gama de fenómenos visuales y físicos, las propiedades de los objetos, posiciones y direcciones, representaciones de los objetos, su codificación y decodificación (PISA, 2012). Esto nos muestra la necesidad de tener una percepción espacial, de comunicarnos en el entorno cotidiano haciendo uso de un lenguaje geométrico, así como de realizar medidas y vincularlas con otros aprendizajes matemáticos. En este sentido, aprender geometría proporciona a la persona herramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, la geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006).
Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localización implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y cómo se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar generando ideas matemáticas.
Estas cuatro capacidades matemáticas se interrelacionan entre sí, para lograr que el estudiante sea capaz de desarrollar una comprensión profunda de las propiedades y relaciones entre las formas geométricas, así como la visualización, la localización y el movimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.
Asociar problemas diversos con
modelos referidos a propiedades de las
formas, localización y movimiento en el
espacio.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis respecto
a las propiedades de las formas, sus transformaciones
y localización en el espacio.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos de localización, construcción, medición y estimación, usando diversos recursos para resolver problemas.
Expresar las propiedades de las formas, localización y movimiento en el espacio, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
24 25
2.2 Capacidades matemáticas
La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática, resaltando la relevancia del modelo matemático, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema está formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cómo interactúan dichos elementos, haciendo más fácil la manipulación o el tratamiento de la situación (Lesh y Doerr, 2003).
Identificar características, datos, condiciones y variables del problema que permitan construir un sistema de características matemáticas (modelo matemático), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo
competencia
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre4
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.
Matematiza situacionesCapacidad 1
Por ejemplo, un estudiante expresar un problema con diferentes modelos:
En una tienda de juguetes hay carritos de dos clases: bombero y camión, trompos rojos, azules y verdes. ¿Cuántas parejas de carrito y trompo se puede tomar?
Carros : 2
Trompos : 3
2 3
Problema referido a cantidades
Modelo matemáticoSe expresa
en un...
Con diagramas de árbol
Usando una tabla
Mediante una operación
En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible, donde la información, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante. En este contexto, la información es presentada de diversas formas; por ejemplo, los resultados de las encuestas se presentan en diagramas y gráficos, motivo por el cual la estadística se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar sobre él. De otro lado, también se presentan situaciones de azar, impredecibles y de incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cuál es la mejor forma de tomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta matemática para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollarán de forma intuitiva e informal en el nivel primario.
Actuar y pensar en situaciones de gestión de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente la comprensión sobre la recopilación y el procesamiento de datos, su interpretación y valoración, y el análisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas matemáticas.
Asociar problemas diversos con
modelos estadísticos y
probabilísticos.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis
respaldados en conceptos estadísticos y
probabilísticos.
Expresar el significado de conceptos estadísticos y probabilísticos de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos para la recolección y el procesamiento de datos y el análisis de problemas de incertidumbre.
Es la capacidad de expresar en un modelo matemático, un problema reconocido en una situación. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:
¿Cuántos me faltan?
26 27
1 Entendemos por representación escrita también lo gráfico y lo visual.
Dibujos e íconos.
Tablas, cuadros, gráficos de barras.
Estructurado: material Base Diez, ábaco, regletas de colores, balanza, etc.No estructurado: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.
Acciones motrices:juegos de roles y dramatización.
Símbolos, expresiones matemáticas.
Representación pictórica
Representación con material concreto
Representación gráfica
Representación simbólica
Representación vivencial
dIfEREntES foRMAS dE REPRESEntAR
Comunica y representa ideas matemáticasCapacidad 2 Por ejemplo, un estudiante puede representar distintas fracciones con diferentes representaciones:
En forma vivencial Con regletas Con gráficos Con símbolos
8
21
1
En los primeros grados de la educación primaria, el proceso de construcción del conocimiento matemático se vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del pensamiento del niño. Este proceso comienza con un reconocimiento a través de su cuerpo interactuando con el entorno, y con la manipulación del material concreto; se va consolidando cuando el niño pasa a un nivel mayor de abstracción, al representar de manera pictórica y gráfica aquellas nociones y relaciones que fue explorando en un primer momento a través del cuerpo y los objetos. La consolidación del conocimiento matemático, es decir, de conceptos, se completa con la representación simbólica (signos y símbolos) de estos y su uso a través del lenguaje matemático, simbólico y formal.
Es importante resaltar que en cada nivel de representación se evidencia ya un nivel de abstracción. Es decir, cuando el niño es capaz de transitar de un material concreto a otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que está comprendiendo las nociones y conceptos y los va independizando del tipo de material que está usando. Por ejemplo, representar una cantidad con billetes y monedas, con material Base Diez o con símbolos de decenas y unidades, ello implica para el niño ir construyendo el significado del sistema de numeración decimal. De igual manera, sucede con las representaciones pictóricas, gráficas y simbólicas.
Se debe fomentar que antes de pasar de un tipo de representación a otra, se trabaje de diversas formas dentro del mismo tipo de representación. Por ejemplo, dentro de la representación concreta, se puede transitar por el material no estructurado (bolitas, chapas u otros objetos agrupados o embolsados, etc.) y luego con material estruturado
Para la construcción
del significado de los
conocimientos matemáticos
es recomendable que
los estudiantes realicen
diversas representaciones,
partiendo de aquellas que
son vivenciales hasta llegar
a las gráficas o simbólicas.
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas de forma oral y escrita1 usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material concreto, gráfico, tablas y símbolos, y transitando de una representación a otra.
La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss,2002). Las ideas matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.
12
18
Se lee: un medio
Se lee: un octavo
28 29
Abril 2015
2
9
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23
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27
El manejo y uso de las expresiones y símbolos que constituyen el lenguaje matemático, se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción de conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y las relaciones, va expresándolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que permitan expresar con precisión las ideas matemáticas y que además responden a una convención.
Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guían el proceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución tanto de procedimientos matemáticos como de estrategias heurísticas, de manera pertinente y adecuada al problema planteado.
La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los niños:
Elaboren y diseñen un plan de solución.
Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos
(heurísticos, de cálculo mental o escrito).
Realicen una valoración de las estrategias, procedimientos y los recursos
que fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le
fueron útiles.
TRáNSITO PARA LA ADqUISICIóN DEL LENGUAJE MATEMáTICO
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
Lenguaje técnico y formal
Elabora y usa estrategiasCapacidad 3
Maestra, una regleta rosada puede representar la mitad del terreno. Entonces, la
fracción es 1/2.
Maestra, también dos regletas rojas representa 2/4.
Maestra, yo encontré
cuatro blancas: 4/8.
Es cada 6 días. Contaré a partir del 21: 22, 23,
24, 25, 26, 27.
Si trazo una línea oblícua toca el 27.
Los estudiantes han marcado en el calendario las fechas para
ordenar la biblioteca usando diversas estrategias. ¿qué día les
tocará ordenar en la última semana?
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación, empleándolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolución de problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y óptima.
30 31
2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias en el IV ciclo?
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Los niños en este ciclo se enfrentan a situaciones y problemas de contextos cada vez más
amplios. Ya no solo resuelven problemas de contexto personal, familiar y escolar, sino
que también comienzan a enfrentarse a contextos sociales y comerciales, por ejemplo,
a situaciones de compra-venta, situaciones del pago de pasajes, situaciones de reparto
de cantidades, entre otras. Asimismo, en el ámbito personal comienzan a tener un mejor
manejo del tiempo, con la lectura de relojes, la estimación y de la duración de eventos
cotidianos, lo que les permite organizarse mejor en todos los aspectos de su vida.
Ejemplo: Se presenta a los estudiantes el siguiente problema:
La muñeca de María tiene dos blusas y tres faldas. ¿De cuántas maneras podrá
vestir María a su muñeca?
Lo haré mentalmente.
Voy a vestir a la muñeca.
Utilizaré una tabla.
3 x 2 = ¿?
Es por ello que actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad implica
que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones al plantear
relaciones y expresarlas en modelos de solución aditivos y multiplicativos; comunicar y
representar ideas matemáticas sobre el significado de las operaciones de multiplicación
y división y sobre las diferentes formas de representar números de hasta cuatro cifras
y fracciones usuales; elaborar y usar estrategias y procedimientos de cálculo escrito y
mental para resolver problemas; y razonar y argumentar al establecer conjeturas
sobre las propiedades de los números y operaciones. En este afán es importante la
consolidación de ideas y conceptos fundamentales de la matemática, como el sistema
de numeración decimal al trabajar con números hasta cuatro cifras, del significado de las
operaciones aditivas y multiplicativas, a través de los problemas PAEV, y del significado de
las fracciones, mediante problemas de reparto equitativo y partición.
Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los números racionales
con la introducción de fracciones usuales con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10, lo cual
demanda un cambio en las concepciones e ideas de los niños sobre los números que hasta
ahora conocen. La noción de fracciones es construida a partir de los problemas de reparto
y de dividir el todo en partes iguales, ya no está relacionada con el sistema de numeración
decimal, por lo que su enseñanza y aprendizaje tienen también una lógica diferente.
La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas implica que el estudiante:
Capacidad 4 Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis.
Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas.
Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.
Defienda sus argumentos y refute otros sobre la base de sus conclusiones.
12
16
16
16
Todas las fracciones se pueden dividir en fracciones más
pequeñas
Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática mediante diversas formas de razonamiento, así como de verificarlos y validarlos usando argumentos. Para esto, se debe partir de la exploración de situaciones vinculadas a las matemáticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemáticas.
32 33
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para
r e
igua
lar,
con
núm
eros
de
dos
cifra
s,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
va c
on s
opor
te c
oncr
eto,
pic
tóric
o o
gráf
ico.
U
sa u
n m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
par
a cr
ear
un re
lato
mat
emát
ico
sobr
e su
con
text
o.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on n
úmer
os n
atur
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ea re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos,
en
prob
lem
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e un
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exp
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os e
n m
odel
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ón a
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ntid
ades
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itiva
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un
prob
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rela
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mat
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ico
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Prob
lem
as a
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os c
on n
úmer
os n
atur
ales
: P
lant
ea re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en
prob
lem
as d
e un
a et
apa8 ,
exp
resá
ndol
os
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
de
hast
a cu
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cifr
as.
Em
plea
un
mod
elo
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ión
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va a
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ante
ar o
reso
lver
un
prob
lem
a en
su
cont
exto
.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on n
úmer
os n
atur
ales
: I
nter
pret
a da
tos
y re
laci
ones
no
expl
ícita
s en
pro
blem
as a
ditiv
os d
e un
a et
apa13
, ex
pres
ándo
los
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n co
n nú
mer
os n
atur
ales
. U
sa u
n m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
al
plan
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o re
solv
er u
n pr
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Prob
lem
as a
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s o
más
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pas
con
núm
eros
nat
ural
es:
Id
entif
ica
dato
s en
pro
blem
as d
e do
s o
más
et
apas
2 que
com
bine
n ac
cion
es d
e ju
ntar
-ju
ntar
, agr
egar
-agr
egar
, ava
nzar
-ava
nzar
, ag
rega
r-qu
itar,
avan
zar-
retro
cede
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n nú
mer
os d
e ha
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dos
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s, e
xpre
sánd
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en
un
mod
elo
de s
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ión
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va c
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conc
reto
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Prob
lem
as a
ditiv
os d
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s o
más
eta
pas
con
núm
eros
nat
ural
es:
Pla
ntea
rela
cion
es e
ntre
los
dato
s en
pr
oble
mas
4 que
com
bine
n ac
cion
es d
e ag
rega
r-qu
itar,
com
para
r, co
mbi
nar e
igua
lar;
expr
esán
dola
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
va c
on c
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has
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e tre
s ci
fras.
Prob
lem
as a
ditiv
os d
e do
s o
más
eta
pas
con
núm
eros
nat
ural
es:
Pla
ntea
rela
cion
es e
ntre
los
dato
s en
pr
oble
mas
adi
tivos
de
dos
o m
ás e
tapa
s9 qu
e co
mbi
nen
acci
ones
de
junt
ar-ju
ntar
, ju
ntar
-agr
egar
-qui
tar,
junt
ar-c
ompa
rar,
junt
ar-ig
uala
r exp
resá
ndol
as e
n un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
va c
on n
úmer
os n
atur
ales
Prob
lem
as d
e va
rias
etap
as c
on n
úmer
os
natu
rale
s: P
lant
ea re
laci
ones
adi
tivas
y m
ultip
licat
ivas
en
pro
blem
as d
e va
rias
etap
as14
que
co
mbi
nen
acci
ones
de
agre
gar,
quita
r, ju
ntar
, co
mpa
rar,
igua
lar,
repe
tir, r
epar
tir o
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upar
un
a ca
ntid
ad; e
xpre
sánd
olas
en
un m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
y m
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licat
iva
con
núm
eros
nat
ural
es.
Prob
lem
as d
e do
ble
y m
itad:
Ide
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atos
de
hast
a 20
obj
etos
en
prob
lem
as d
e re
petir
dos
vec
es u
na m
ism
a ca
ntid
ad o
repa
rtirla
en
dos
parte
s ig
uale
s,
expr
esán
dola
s en
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elos
de
solu
ción
de
dobl
e y
mita
d, c
on m
ater
ial c
oncr
eto.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
: O
rgan
iza
dato
s en
pro
blem
as5 q
ue im
pliq
uen
acci
ones
de
repe
tir u
na c
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ad e
n gr
upos
ig
uale
s, e
n fil
as y
col
umna
s, o
com
bina
r do
s ca
ntid
ades
de
hast
a 10
0 ob
jeto
s,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
de
mul
tiplic
ació
n.
Rela
cion
a da
tos
en p
robl
emas
6 , qu
e im
pliq
uen
acci
ones
de
repa
rtir y
agr
upar
en
cant
idad
es
exac
tas
y no
exa
ctas
, qui
tar r
eite
rada
men
te
una
cant
idad
, co
mbi
nar d
os c
antid
ades
de
hast
a 10
0 ob
jeto
s, e
xpre
sánd
olos
en
un m
odel
o de
sol
ució
n de
div
isió
n, c
on s
opor
te c
oncr
eto.
Re
laci
ona
dato
s en
pro
blem
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que
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ique
n ac
cion
es d
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plia
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duci
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, ex
pres
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los
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n de
do
ble,
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le, m
itad,
terc
ia, c
on s
opor
te c
oncr
eto
y gr
áfic
o.
Rela
cion
a un
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elo
de s
oluc
ión
mul
tiplic
ativ
a co
n pr
oble
mas
de
dive
rsos
con
text
os.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
núm
eros
na
tura
les:
Org
aniz
a da
tos
en p
robl
emas
10,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
m
ultip
licat
ivo
con
núm
eros
nat
ural
es h
asta
cu
atro
cifr
as.
Rec
onoc
e da
tos
rele
vant
es e
n pr
oble
mas
11
y lo
s ex
pres
a en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
de
divi
sion
es e
xact
as e
inex
acta
s co
n nú
mer
os
natu
rale
s ha
sta
con
cuat
ro c
ifras
. R
elac
iona
dat
os e
n si
tuac
ione
s12, q
ue
impl
ique
n ac
cion
es d
e re
duci
r una
can
tidad
, ex
pres
ándo
los
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n de
m
itad,
terc
ia, e
tc. c
on c
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de
hast
a cu
atro
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as.
Rel
acio
na u
n m
odel
o de
sol
ució
n m
ultip
licat
ivo
a si
tuac
ione
s de
div
erso
s co
ntex
tos.
Prob
lem
as m
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licat
ivos
con
núm
eros
na
tura
les:
Int
erpr
eta
rela
cion
es e
ntre
los
dato
s en
pr
oble
mas
de
divi
sión
15, y
los
expr
esa
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n co
n nú
mer
os n
atur
ales
. U
sa u
n m
odel
o de
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ució
n ad
itiva
o
mul
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ativ
a a
l pla
ntea
r o re
solv
er u
n pr
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ma.
A c
ontin
uaci
ón le
s pr
esen
tam
os u
na m
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que
mue
stra
de
man
era
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grad
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ánda
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o), a
sí c
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los
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cado
res
de d
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peño
de
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cida
des
para
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esar
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de
la c
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tenc
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n el
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lo. L
os n
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es d
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s m
apas
de
prog
reso
mue
stra
n u
na d
efin
ició
n cl
ara
y co
nsen
suad
a de
las
met
as
de a
pren
diza
je q
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eben
ser
logr
adas
por
tod
os lo
s es
tudi
ante
s al
con
clui
r un
cic
lo o
per
iodo
det
erm
inad
o. E
n es
te s
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o, s
on u
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fere
nte
para
la p
lani
ficac
ión
anua
l, el
mon
itore
o y
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valu
ació
n, p
ues
nos
mue
stra
n el
des
empe
ño g
loba
l que
deb
en a
lcan
zar n
uest
ros
estu
dian
tes
en c
ada
una
de la
s co
mpe
tenc
ias.
Las
mat
rices
co
n lo
s in
dica
dore
s de
des
empe
ño d
e la
s ca
paci
dade
s so
n un
apo
yo p
ara
dise
ñar
nues
tras
sesi
ones
de
apre
ndiz
aje;
son
útil
es ta
mbi
én p
ara
dise
ñar
inst
rum
ento
s de
ev
alua
ción
, per
o no
nos
olv
idem
os q
ue e
n un
enf
oque
de
com
pete
ncia
s, a
l fin
al, d
ebem
os g
ener
ar in
stru
men
tos
que
perm
itan
evid
enci
ar e
l des
empe
ño in
tegr
al d
e es
tas.
En
resu
men
, am
bos
inst
rum
ento
s no
s ay
udan
tant
o a
la p
lani
ficac
ión
com
o a
la e
valu
ació
n, p
ero
uno
nos
mue
stra
des
empe
ños
más
aco
tado
s (in
dica
dore
s de
de
sem
peño
s), m
ient
ras
que
el o
tro n
os m
uest
ra u
n de
sem
peño
com
plej
o (m
apas
de
prog
reso
).H
emos
col
ocad
o el
niv
el a
nter
ior
y po
ster
ior
al c
iclo
cor
resp
ondi
ente
par
a qu
e pu
edan
iden
tific
ar e
n qu
é ni
vel d
e de
sem
peño
se
encu
entra
cad
a un
o de
nue
stro
s es
tudi
ante
s, y
así
dis
eñar
act
ivid
ades
ade
cuad
as p
ara
cada
uno
de
ello
s.
1 Pr
oble
mas
Arim
étic
os E
lem
enta
les
Verb
ales
(PA
EV):
Cam
bio
3 y
4, C
ombi
naci
ón 2
y C
ompa
raci
ón e
igua
laci
ón 1
y 2
.
2 Pr
oble
mas
Arim
étic
os E
lem
enta
les
Verb
ales
(PA
EV):
Cam
bio
5 y
6, C
ompa
raci
ón e
igua
laci
ón 3
y 4
. 3
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
(pro
porc
iona
lidad
sim
ple)
.4
Prob
lem
as A
rimét
icos
Ele
men
tale
s Ve
rbal
es (P
AEV
): C
ompa
raci
ón e
igua
laci
ón 5
y 6
. 5
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
ocid
os c
omo
de p
rodu
cto
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sian
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, 20%
, 25%
, 50%
, 75%
.
1 (P
AEV
) Pro
blem
as a
ditiv
os d
e co
mbi
naci
ón 2
; ca
mbi
o 3
y 4;
com
para
ción
1,2
; igu
alac
ión
1 y
2 co
n ca
ntid
ades
de
hast
a do
s ci
fras.
2
Prob
lem
as a
ditiv
os d
e do
s o
más
eta
pas
que
com
bine
n ca
mbi
o 1
y ca
mbi
o 1
(agr
egar
y
agre
gar),
com
bina
ción
1-c
ombi
naci
ón 1
(jun
tar y
junt
ar),
cam
bio
3 y
4 (a
greg
ar y
qui
tar)
o ca
mbi
o-ca
mbi
o-ca
mbi
o o
agre
gar-
agre
gar-
agre
gar.
3
(PA
EV) P
robl
emas
adi
tivos
de
com
para
ción
3,4
; cam
bio
3 y
4; ig
uala
ción
1 y
2,c
ombi
naci
ón 1
y
2 co
n ca
ntid
ades
de
hast
a tre
s ci
fras.
4 Pr
oble
mas
adi
tivos
de
dos
o m
ás e
tapa
s qu
e co
mbi
nen
prob
lem
as d
e ca
mbi
o-ca
mbi
o,
cam
bio-
com
para
ción
, cam
bio-
igua
laci
ón, c
ambi
o-co
mbi
naci
ón.
5 (P
AEV
) Pro
blem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple
de re
petic
ión
de u
na m
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a.
Prob
lem
a de
pro
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o de
dos
med
idas
(fila
s y
colu
mna
s) q
ue im
pliq
uen
una
orga
niza
ción
re
ctan
gula
r.6
PAEV
mul
tiplic
ativ
os d
e pr
opor
cion
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impl
e qu
e im
pliq
uen
repa
rtir,
parti
r, ag
rupa
r una
ca
ntid
ad. P
robl
emas
de
itera
ción
, por
eje
mpl
o: e
stoy
en
la p
osic
ión
27 y
doy
sal
tos
para
atrá
s de
do
s en
dos
.
7 (P
AEV
) Pro
blem
as m
ultip
licat
ivos
de
com
para
ción
que
requ
iera
n am
plia
r una
mag
nitu
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com
para
ción
en
más
y p
robl
emas
que
requ
iera
n re
duci
r una
mag
nitu
d o
com
para
ción
en
men
os.
8
(PA
EV) P
robl
emas
adi
tivos
de
cam
bio,
com
para
ción
e ig
uala
ción
5 y
6.
9 Pr
oble
mas
adi
tivos
de
dos
o m
ás e
tapa
s qu
e co
mbi
nen
prob
lem
as d
e co
mbi
naci
ón-
com
bina
ción
, com
bina
ción
-cam
bio,
com
bina
ción
-co
mpa
raci
ón, c
ombi
naci
ón–i
gual
ació
n, e
tc.
10
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple,
pro
blem
as d
e co
mpa
raci
ón-a
mpl
ifica
ción
o c
ompa
raci
ón d
e la
form
a “v
eces
más
que
”. Pr
oble
mas
de
orga
niza
cion
es re
ctan
gula
res.
11
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple:
de
repa
rto n
o ex
acto
, an
ális
is d
el re
sidu
o, p
robl
emas
de
itera
ción
(“Es
toy
en e
l núm
ero
238.
Doy
sal
tos
para
atrá
s de
12 e
n 12
. ¿A
qué
núm
ero
llego
más
cer
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al 0
?). P
robl
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de
utili
zaci
ón d
e la
rela
ción
: D =
d.q
+ r;
r <
d.
12
(PA
EV )
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
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com
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ción
que
requ
iera
n re
duci
r una
mag
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d o
com
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“vec
es m
enos
que
”.13
(P
AEV
) Pro
blem
as a
ditiv
os d
e ig
uala
ción
3 y
4.
14
Prob
lem
as d
e va
rias
etap
as q
ue c
ombi
nen
prob
lem
as a
ditiv
os c
on p
robl
emas
mul
tiplic
ativ
os.
15
Prob
lem
as d
e an
ális
is d
el re
sidu
o, p
robl
emas
de
utili
zaci
ón d
e la
rela
ción
: D =
d.q
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r <
d. P
robl
emas
par
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truir
el r
esto
de
la d
ivis
ión.
Mat
riz: A
ctúa
y p
iens
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atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
34 35
Matematiza situacionesSe
gund
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terc
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rado
Cua
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rado
Qui
nto
grad
o
Prob
lem
as c
on fr
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:
Iden
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en p
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20 q
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pliq
uen
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ad e
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tativ
a,
expr
esán
dolo
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un
mod
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oluc
ión
con
fracc
ione
s us
uale
s co
n de
nom
inad
ores
2, 4
, 8,
3, 6
, 5 y
10.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on fr
acci
ones
:
Iden
tific
a da
tos
en p
robl
emas
21 q
ue im
pliq
uen
parti
r el t
odo
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uni
dad
en p
arte
s ig
uale
s,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
vo c
on fr
acci
ones
usu
ales
.
Plan
tea
rela
cion
es e
ntre
los
dato
s e
n pr
oble
mas
de
una
etap
a22,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
va c
on fr
acci
ones
.
Empl
ea u
n m
odel
o d
e so
luci
ón re
ferid
o a
las
fracc
ione
s co
mo
parte
todo
o re
parto
al
plan
tear
o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
Prob
lem
as c
on fr
acci
ones
com
o re
parto
y
med
ida:
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en
prob
lem
as24
que
impl
ique
n re
parti
r, m
edir
long
itude
s, p
artir
sup
erfic
ies;
exp
resá
ndol
os
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n co
n fra
ccio
nes.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on fr
acci
ones
:
Plan
tea
rela
cion
es e
ntre
los
dato
s e
n pr
oble
mas
de
una
etap
a25,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
va c
on fr
acci
ones
.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
frac
cion
es:
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en
prob
lem
as26
, exp
resá
ndol
os e
n un
mod
elo
de
solu
ción
mul
tiplic
ativ
o de
una
frac
ción
por
un
natu
ral.
Em
plea
un
mod
elo
de
solu
ción
adi
tivo
o m
ultip
licat
ivo
con
frac
cion
es a
l pla
ntea
r o
reso
lver
un
prob
lem
a.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
:
Inte
rpre
ta d
atos
y re
laci
ones
en
prob
lem
as
aditi
vos27
, y lo
s ex
pres
a en
un
mod
elo
de
solu
ción
adi
tivo
con
deci
mal
es h
asta
el
cent
ésim
o.
Comunica y representa ideas matemáticas
Agr
upac
ión
de o
bjet
os:
Ex
pres
a la
s pr
opie
dade
s de
los
obje
tos
segú
n do
s at
ribut
os; p
or e
jem
plo:
es
cuad
rado
y ro
jo,
usan
do la
s ex
pres
ione
s "to
dos"
, "al
guno
s" y
"n
ingu
no".
Re
pres
enta
las
cara
cter
ístic
as o
agr
upac
ión
de o
bjet
os s
egún
el c
olor
, la
form
a, e
l tam
año,
el
gro
sor y
atri
buto
s ne
gativ
os16
, con
dib
ujos
, íc
onos
, y g
ráfic
os17.
Agr
upac
ión
de o
bjet
os:
D
escr
ibe
uno
o m
ás c
riter
ios
para
form
ar y
re
agru
par g
rupo
s y
subg
rupo
s.
Expr
esa
las
prop
ieda
des
de lo
s ob
jeto
s se
gún
tres
atrib
utos
; por
eje
mpl
o: e
s cu
adra
do, r
ojo
y gr
ande
.
Repr
esen
ta la
s ca
ract
erís
ticas
de
los
obje
tos
segú
n tre
s at
ribut
os e
n un
dia
gram
a de
árb
ol,
en ta
blas
de
dobl
e en
trada
con
tres
atri
buto
s.
núm
eros
nat
ural
es:
Ex
pres
a de
form
a or
al o
esc
rita
el u
so d
e lo
s nú
mer
os e
n co
ntex
tos
de la
vid
a di
aria
(con
teo,
es
timac
ión
de p
reci
os, c
álcu
lo d
e di
nero
, ord
en
hast
a el
déc
imo
quin
to lu
gar,
etc.
).
Des
crib
e la
com
para
ción
y e
l ord
en d
e lo
s nú
mer
os h
asta
100
usan
do la
s ex
pres
ione
s “m
ayor
que
”, “m
enor
que
” e “i
gual
a”,
con
apoy
o de
mat
eria
l con
cret
o.
Elab
ora
repr
esen
taci
ones
de
núm
eros
de
hast
a do
s ci
fras,
de
form
a vi
venc
ial,
conc
reta
, pi
ctór
ica,
grá
fica
y si
mbó
lica18
.
núm
eros
nat
ural
es:
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el u
so d
e lo
s nú
mer
os e
n co
ntex
tos
de la
vid
a di
aria
(m
edic
ión
con
dist
inta
s un
idad
es, c
álcu
lo d
e tie
mpo
o d
e di
nero
, etc
.).
Des
crib
e la
com
para
ción
y e
l ord
en d
e nú
mer
os d
e ha
sta
tres
cifra
s en
la re
cta
num
éric
a y
en ta
bler
o po
sici
onal
, con
sop
orte
co
ncre
to.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es d
e nú
mer
os h
asta
tre
s ci
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en fo
rma
vive
ncia
l, co
ncre
ta,
pict
óric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a19.
núm
eros
nat
ural
es:
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el u
so d
e lo
s nú
mer
os n
atur
ales
en
cont
exto
s de
la v
ida
diar
ia (p
eso,
tiem
po, s
ueld
os, e
tique
tas,
etc
.).
Des
crib
e la
com
para
ción
de
núm
eros
de
hast
a cu
atro
cifr
as, e
n la
rect
a nu
mér
ica
y en
tabl
ero
posi
cion
al.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es d
e nú
mer
os h
asta
cu
atro
cifr
as e
n fo
rma
conc
reta
, pic
tóric
a,
gráf
ica
y si
mbó
lica23
.
núm
eros
nat
ural
es:
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el u
so d
e lo
s nú
mer
os h
asta
sei
s ci
fras
en d
iver
sos
cont
exto
s de
la v
ida
diar
ia (s
ueld
os, d
ista
ncia
s,
pres
upue
stos
com
unal
es, r
egio
nale
s, a
foro
de
un lo
cal,
etc.
).
Elab
ora
repr
esen
taci
ones
de
núm
eros
has
ta
seis
cifr
as e
n fo
rma
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a28.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
el o
rden
de
núm
eros
de
hast
a se
is c
ifras
.
23
Mat
eria
l con
cret
o (á
baco
, yup
ana,
mon
edas
y b
illete
s), d
ibuj
os, g
ráfic
os (r
ecta
num
éric
a) o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, c
ompo
sici
ón y
des
com
posi
ción
adi
tiva
y m
ultip
licat
iva,
val
or p
osic
iona
l en
milla
res,
cen
tena
s,
dece
nas
y un
idad
es).
24
Prob
lem
as d
e fra
ccio
nes
que
impl
ican
repa
rto, p
robl
emas
de
med
ida
que
impl
ique
n co
mpa
raci
ón d
e lo
ngitu
des
y ár
eas.
25
(PA
EV) P
robl
emas
adi
tivos
de
cam
bio,
com
para
ción
e ig
uala
ción
. 26
Pr
oble
mas
mul
tiplic
ativ
os d
e pr
opor
cion
alid
ad s
impl
e de
repe
tició
n de
una
med
ida.
Pro
blem
as d
e ár
ea.
27
Prob
lem
as a
ditiv
os d
e un
a o
más
eta
pas
que
impl
ique
n co
mbi
nar p
robl
emas
de
cam
bio-
cam
bio,
cam
bio-
com
bina
ción
, ca
mbi
o-co
mpa
raci
ón, e
tc.;
con
núm
eros
dec
imal
es h
asta
el c
enté
sim
o.28
M
ater
ial c
oncr
eto
(ába
co, m
oned
as y
bille
tes)
, dib
ujos
, grá
ficos
(rec
ta n
umér
ica)
o re
pres
enta
ción
sim
bólic
a (n
úmer
os,
pala
bras
, com
posi
ción
y d
esco
mpo
sici
ón a
ditiv
a y
mul
tiplic
ativ
a, v
alor
pos
icio
nal e
n ce
nten
a, d
ecen
a y
unid
ad d
e m
illar,
cent
enas
, dec
enas
y u
nida
des)
.
16
No
es g
rand
e, n
o es
rojo
, no
es g
rues
o, n
o es
del
gado
, etc
.17
Re
pres
enta
ción
grá
fica:
dia
gram
as d
e Ve
nn y
tabl
as s
impl
es d
e do
ble
entra
da.
18
Mat
eria
l con
cret
o (c
hapi
tas,
pie
drita
s, B
ase
Die
z, á
baco
, yup
ana,
regl
etas
de
colo
res,
mon
edas
y b
illete
s), d
ibuj
os, g
ráfic
os
(cin
ta n
umér
ica,
rect
a nu
mér
ica)
o re
pres
enta
ción
sim
bólic
a (n
úmer
os, p
alab
ras,
com
posi
ción
y d
esco
mpo
sici
ón a
ditiv
a, v
alor
po
sici
onal
en
dece
nas
y un
idad
es).
19
Mat
eria
l con
cret
o (c
hapi
tas,
pie
drita
s, B
ase
Die
z, á
baco
, yup
ana,
mon
edas
y b
illete
s), d
ibuj
os, g
ráfic
os (
rect
a nu
mér
ica)
o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, c
ompo
sici
ón y
des
com
posi
ción
adi
tiva,
val
or p
osic
iona
l en
cent
enas
, dec
enas
y
unid
ades
).20
Pr
oble
mas
de
repa
rto e
n lo
s cu
ales
el r
esto
se
dist
ribuy
e eq
uita
tivam
ente
.21
Pr
oble
mas
que
impl
ique
n pa
rtir u
na u
nida
d en
par
tes
igua
les
(noc
ión
de fr
acci
ón c
omo
parte
-todo
).22
(PA
EV) P
robl
emas
adi
tivos
de
cam
bio
o co
mpa
raci
ón.
Comunica y representa ideas matemáticas
Segu
ndo
grad
ote
rcer
gra
doC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
tiem
po y
pes
o:
Expr
esa
la e
stim
ació
n o
la
com
para
ción
del
tiem
po a
l ubi
car
fech
as e
n el
cal
enda
rio e
n: “d
ías”
, “s
eman
as”,
hora
s ex
acta
s y
otro
s re
fere
ntes
regi
onal
es o
loca
les.
Le
e e
inte
rpre
ta e
l cal
enda
rio y
los
relo
jes
en h
oras
exa
ctas
.
Expr
esa
la e
stim
ació
n y
la
com
para
ción
del
pes
o de
los
obje
tos
con
unid
ades
de
med
ida
arbi
traria
s de
su
com
unid
ad; p
or e
jem
plo:
pu
ñado
, mon
tón,
etc
.
tiem
po y
pes
o:
Des
crib
e la
est
imac
ión
o co
mpa
raci
ón
del t
iem
po d
e ev
ento
s us
ando
un
idad
es c
onve
ncio
nale
s co
mo
años
, m
eses
, hor
a y
med
ia h
ora.
Le
e e
inte
rpre
ta e
l cal
enda
rio, l
a ag
enda
y lo
s re
loje
s en
hor
as e
xact
as
y m
edia
hor
a.
Des
crib
e la
med
ida
del p
eso
de
obje
tos
expr
esán
dolo
en
kilo
gram
os
y un
idad
es a
rbitr
aria
s de
su
com
unid
ad; p
or e
jem
plo:
man
ojo,
at
ado,
etc
.
tiem
po y
pes
o:
Des
crib
e la
dur
ació
n, e
stim
ació
n y
com
para
ción
de
even
tos
usan
do a
ños,
mes
es, h
ora,
1/2
hor
a o
1/4
de
hora
. E
xpre
sa la
med
ida,
est
imac
ión
y la
com
para
ción
de
l pes
o de
obj
etos
en
unid
ades
ofic
iale
s (g
ram
o y
kilo
gram
o) y
frac
ción
de
una
med
ida,
com
o 1/
2 kg
, 1/4
kg
.
Expr
esa
en fo
rma
oral
o e
scrit
a, e
l uso
de
frac
cion
es u
sual
es
en c
onte
xtos
de
med
ida
(pes
o, ti
empo
, lon
gitu
d, c
apac
idad
, su
perfi
cie,
etc
.).
tiem
po y
pes
o:
Des
crib
e la
dur
ació
n, e
stim
ació
n y
com
para
ción
de
even
tos
empl
eand
o m
inut
os y
seg
undo
s.
Expr
esa
la m
edid
a, e
stim
ació
n y
la c
ompa
raci
ón d
el p
eso
de o
bjet
os e
n un
idad
es o
ficia
les
(gra
mo
y ki
logr
amo)
us
ando
sus
equ
ival
enci
as y
not
acio
nes.
Ex
pres
a la
med
ida
de la
tem
pera
tura
en
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a vi
venc
ial,
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a.
Adi
ción
y s
ustra
cció
n: E
labo
ra re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, p
ictó
ricas
, grá
ficas
y
sim
bólic
as d
e lo
s si
gnifi
cado
s de
la
adic
ión
y su
stra
cció
n de
un
núm
ero
de h
asta
dos
cifr
as.
Ela
bora
repr
esen
taci
ones
co
ncre
tas,
pic
tóric
as, g
ráfic
as y
si
mbó
licas
del
dob
le o
la m
itad
de
un n
úmer
o de
has
ta d
os c
ifras
.
Mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
: E
labo
ra re
pres
enta
cion
es c
oncr
eta,
pi
ctór
ica,
grá
fica
y si
mbó
lica
de lo
s si
gnifi
cado
s de
la m
ultip
licac
ión
y la
di
visi
ón c
on n
úmer
os h
asta
100
. E
labo
ra re
pres
enta
cion
es c
oncr
etas
, pi
ctór
icas
, grá
ficas
y s
imbó
licas
del
do
ble,
trip
le, m
itad
o te
rcia
de
un
núm
ero
de h
asta
tres
cifr
as.
Mul
tiplic
ació
n y
divis
ión:
Ex
pres
a m
edia
nte
ejem
plos
su
com
pren
sión
sob
re la
s pr
opie
dade
s de
la m
ultip
licac
ión.
divi
sión
:
Expr
esa
med
iant
e ej
empl
os s
u co
mpr
ensi
ón s
obre
las
prop
ieda
des
de la
div
isió
n.
Expr
esa
con
sus
prop
ias
pala
bras
lo q
ue c
ompr
ende
del
pr
oble
ma.
frac
cione
s y
sus
oper
acio
nes:
Ex
pres
a en
form
a or
al o
esc
rita,
el u
so d
e la
s fra
ccio
nes
usua
les
en d
ivers
os c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia (r
ecet
as,
med
idas
de
long
itud,
tiem
po, e
tc.).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es c
oncr
eta,
pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a29de
las
fracc
ione
s co
mo
parte
de
un to
do,
com
o re
parto
, núm
eros
mix
tos,
frac
cion
es h
omog
énea
s y
hete
rogé
neas
, fra
ccio
nes
usua
les
equi
vale
ntes
.30
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
ord
en d
e la
s fra
ccio
nes
usua
les
con
igua
l y d
istin
to d
enom
inad
or; c
on m
ater
ial c
oncr
eto
y gr
áfic
o.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es c
oncr
eta,
pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a de
los
sign
ificad
os d
e la
adi
ción
y s
ustra
cció
n co
n fra
ccio
nes
de ig
ual d
enom
inad
or.
frac
cion
es y
sus
ope
raci
ones
:
Expr
esa
en fo
rma
oral
o e
scrit
a, e
l uso
de
las
fracc
ione
s en
di
vers
os c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia (r
ecet
as, m
edid
as d
e lo
ngitu
d, c
apac
idad
, tie
mpo
, pre
cios
, etc
.).
Elab
ora
repr
esen
taci
ones
con
cret
a, p
ictó
rica,
grá
fica
y si
mbó
lica31
de
las
fracc
ione
s pr
opia
s, im
prop
ias,
núm
eros
m
ixto
s y
fracc
ión
de u
na c
antid
ad c
ontin
ua.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
ord
en d
e la
s fra
ccio
nes
prop
ias
y nú
mer
os m
ixto
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36 37
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38 39
Modelos concretos
descripción y ejemplos de algunos indicadores
Indicador para el tercer grado:
Plantea relaciones entre los datos, en problemas de una etapa*, expresándolos en modelos de solución aditiva con cantidades de hasta tres cifras.
descripción del indicador:
Este indicador implica que los niños reconozcan las cantidades que aparecen en el problema y lo que ocurre con ellas; si cambian, si se juntan dos partes, si una es mayor que la otra, si una debe igualar a la otra, etc., de esta manera podrán establecer cómo se relacionan dichas cantidades.
Capacidad Matematiza situaciones
Estas son las relaciones que se pueden establecer entre los datos:
Combinación 1 y 2: Se juntan o separan dos colecciones de objetos de diferente clase.Cambio 3 y 4: Se agregan o quitan algunos objetos. Las cantidades se transforman: aumentan o disminuyen.Comparación 3 y 4: Se comparan dos cantidades conociendo que una cantidad tiene más que o menos que la otra.Igualación 1 y 2: Se igualan cantidades considerando cuánto deben perder o se debe quitar para tener tantos como la primera o segunda cantidad.
La definición de modelo
como “esquematización
construida con una multiplicidad de datos
de la experiencia o la
realidad y proporciona una
abstracción satisfactoria
de cómo funcionan las
cosas”(Castro y otros,
1995)
Estas relaciones halladas pueden ser expresadas mediante un modelo aditivo con material concreto, con esquemas o mediante una operación aditiva.
Julio tiene S/. 140. Martha tiene S/. 30 menos que Julio. ¿Cuánto dinero tiene Martha?
Plantear relaciones entre los datos implica que se reconozca, quién tiene la cantidad mayor y quién la menor, y por cuánto menos. ¿qué acciones se están realizando?
Martha tiene S/. 30 menos
que Julio.
S/. 30 menos?
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
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Julio
Martha
40 41
EsquemaUn esquema que expresa un modelo
longitudinal.
operaciónUna operación que expresa un modelo funcional
donde el minuendo representa la cantidad referente y el sustraendo es la cantidad a la que hay que agregar
para alcanzar al referente.
César tiene 120 taps y José tiene 55 menos que César. ¿Cuántos taps tiene José?
Karla ahorró S/.300 y Fermín ahorró S/. 269. ¿Cuánto más debe ahorrar Fermín para tener tanto como Karla?
Modelo: Modelo:
Karla S/. 300
Fermín S/. 269
300 – 269 = ?
Fermín tiene que ganar: 300 – 269, para igualar a Karla.
Las siguientes preguntas y consignas permiten evidenciar el indicador:
¿Cuántos sacos llegaron al mercado? ¿Todos los sacos contienen la misma fruta?
¿Cuántos tipos de fruta hay? ¿Puedes separar las frutas en dos partes o dos tipos?
¿Claudia sabe cuántos sacos hay de cada tipo?
¿qué relación hay entre la cantidad total de sacos de fruta y los sacos de naranja?
Dibuja una barra que represente el total de sacos de frutas. ¿Cómo expresarías la
Ejemplo de indicador precisado:
Plantea relaciones entre los datos, en problemas de una etapa (combinación 2), expresándolos en modelos de solución aditiva con cantidades de hasta tres cifras.
Al mercado llegó un cargamento con 250 sacos de fruta. Claudia sabe que 136 sacos son de naranjas y los demás son de maracuyá. ¿Cuántos sacos de maracuyá llegaron?
Modelo que expresa la relación entre las partes y el todo
Frutas (250)
Naranja Maracuyá
Los sacos de fruta son el total y los
sacos de naranja y de maracuyá son
las partes.
Indicador para el cuarto grado:
Identifica datos en problemas* que impliquen repartir una cantidad en forma equitativa, expresándolos en un modelo de solución con fracciones usuales con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10.
descripción del indicador:
Para evidenciar el desempeño que describe este indicador los niños deben reconocer qué se va a repartir, cuál es la cantidad de objetos a repartir en forma equitativa, en cuántas partes se va a dividir o a cuántas personas se les va a repartir. Es importante también identificar si la cantidad de objetos es mayor o menor que la cantidad de partes a obtener, lo cual da origen a la formulación de una fracción o de un número mixto.
Los problemas que se resuelven para el logro de este desempeño son aquellas situaciones de reparto en las que se debe analizar si es posible repartir el resto. Por ejemplo:
Se reparten equitativamente 5 barras de plastilina entre 3 niños. ¿Cuánto recibe cada niño?
Modelo concreto donde se evidencian las cantidades.
A cada niño le toca 1 barrita y
23
. Es decir: 1 23
, el cual es un
número mixto.
A cada uno nos corresponde una
barrita. Las barritas que sobran las
dividimos en 3 partes cada una para poder
repartirlas.
?
120
tiene 55 menos
César
José
Modelo simbólico con una operación31
52
sobran 2 barras entre 3 = 23
42 43
En este caso la herramienta de resolución es la división entre números naturales y una
vez resuelto el problema se propone analizar lo que sobra. Este tipo de problema tiene la
intención de promover relaciones entre la división de números naturales y es importante
someter a discusión si lo que sobra puede seguir repartiéndose. Así también, la noción
de la fracción como parte de la unidad es la que se usa aquí al repartir el resto en
fracciones de la unidad. En el ejemplo la unidad es la barrita de plastilina.
Otro ejemplo es el siguiente:
En este caso el número de unidades repartidas es menor que la cantidad de mesas,
por lo que ya no hay resto que repartir; así los moldes de queso se fraccionan para
repartirlos equitativamente. La fracción que resulta del reparto es una fracción propia.
Para el desayuno, se reparten equitativamente 3 moldes de queso entre 4 mesas. ¿Cuánto queso recibe cada mesa?
Modelo:
Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 Mesa 4
Repartimos cada molde
de queso en 4 partes iguales.
A cada mesa en un primer reparto le toca 14
de cada molde. Al terminar el reparto le toca
34
del molde de queso a cada mesa.
14
14
14
14
Modelos concretos:
Con chapitas que expresan la cantidad: Con regletas que expresan un modelo longitudinal, del número como longitud:
Modelos simbólicos que expresan una operación referida a las cantidades que se repiten:
3 veces 6
6 + 6 + 6
3 veces 6
3 × 6
descripción del indicador:
Este indicador implica que los estudiantes sean capaces de expresar modelos multiplicativos a partir de tres tipos de problemas multiplicativos:
Problemas de repetición de una medida, en los cuales deben identificar la cantidad que se repetirá o el grupo que se repetirá y la cantidad de veces que se va a repetir una cantidad. Por ejemplo:
Indicador para el cuarto grado:
Organiza datos en problemas*, expresándolos en un modelo de solución multiplicativo con números naturales de hasta cuatro cifras.
* Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple, problemas de comparación-amplificación o comparación de la forma “veces más que”. Problemas de organizaciones rectangulares.
En una caja hay 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrá en 3 cajas?
Las seis galletas se repetirán tres veces porque hay
3 cajas.
44 45
Problemas de organizaciones rectangulares, en los cuales el estudiante identifica que las cantidades están expresadas en una organización de filas y columnas. Por ejemplo:
Problemas de amplificación, en los cuales deben identificar una cantidad que representa el doble, el triple o varias veces la otra cantidad. Por ejemplo:
Las siguientes preguntas permiten evidenciar el desempeño descrito en el indicador:
¿De qué se trata? ¿Hay alguna cantidad o grupo de objetos que se repite? ¿Cuántas veces?
¿Los objetos están organizados en filas y columnas?, ¿cuántas de cada una?
¿Hay dos cantidades que se comparan? ¿Cómo es una con respecto de la otra? ¿Cómo puedes organizar los datos o las cantidades?
¿Cómo podríamos presentar las cantidades en un gráfico o en un esquema?
Bruno tiene S/. 2 y Norma, 3 veces más.
¿Cuántos huevos hay en la jaba?
Modelo concreto Modelo gráfico Modelo simbólico
Filas: 4Columnas: 5
Total : 4 × 5
Modelo concreto Modelo gráfico Modelo simbólico
Bruno S/. 2
Norma: 3 veces más
S/. 2 + S/. 2 + S/. 2
3 veces S/. 2
3 × 2
2
2
22Bruno NormaNorma
3 veces más que Bruno
Bruno
Indicador para el tercer grado:
Describe la comparación y el orden de números de hasta tres cifras en la recta numérica y en el tablero posicional, con soporte concreto.
descripción del indicador:
Observar el desempeño de este indicador implica que los niños a través del lenguaje, se refieran a las semejanzas y diferencias entre las cantidades, con el fin de comparar y ordenar números de hasta tres cifras.
Para comparar y ordenar pueden usar el tablero posicional, en el cual identificarán cuántas centenas o decenas tienen los números, lo que les permitirá describir cómo se comparan, con apoyo de material concreto (por ejemplo, el material Base Diez). También pueden usar la recta numérica, en la cual los números mayores se encuentran a la derecha y donde pueden ubicar las centenas y las decenas.
El siguiente ejemplo es un problema que se puede presentar en el aula para que los niños comuniquen y representen ideas matemáticas en el proceso de resolución de problemas:
Capacidad Comunica y representa ideas matemáticas
Ejemplo de indicador precisado:
Describe la comparación y el orden de números hasta 200 en el tablero posicional, con soporte concreto.
Susy Hugo Lola
Recolecté 148 botellas. Recolecté
141 botellas. Recolecté 112 botellas.
Observa cuántas botellas de plástico recolectaron Susy, Hugo y Lola.
Explica, ¿quién ha recolectado más botellas y quién menos botellas?
46 47
Indicador para el cuarto grado:
Elabora representaciones concretas, pictóricas, gráficas y simbólicas de las fracciones como parte de un todo, como reparto, números mixtos, fracciones homogéneas y heterogéneas, y fracciones usuales equivalentes*.
*Fracciones equivalentes con las fracciones usuales (denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10; por
ejemplo: 1 2
= 2 4
= 4 8
; 1 3
= 2 6
; 1 5
= 2 10
).
descripción del indicador:
Este indicador permite evidenciar el desempeño de los niños al transitar por diversas representaciones de las fracciones. En este grado se trabajará la fracción como parte de un todo y como reparto para construir la noción de números mixtos, fracciones homogéneas, heterogéneas y fracciones equivalentes.
Las siguientes preguntas y consignas permiten evidenciar la capacidad comunica y representa ideas matemáticas:
¿Cuántas botellas ha recolectado cada uno de los amigos?
Escribe las cantidades de botellas que ha recolectado cada uno, usando el tablero de valor posicional y el material Base Diez para representar los números.
¿Desde qué cifra puedes comparar primero, desde las unidades o centenas? ¿qué puedes decir de las centenas? ¿Si son iguales se pueden seguir comparando? ¿Y qué observas con las decenas? ¿Ya puedes tomar una decisión entre quien comparar?
¿qué número es el mayor?, ¿por qué?
Ordena las cantidades de forma ascendente de izquierda a derecha: ¿qué número colocarás primero?, ¿por qué?, ¿qué número colocarás al final?, ¿por qué?
C d u
1 4 8
C d u
1 4 1
C d u
1 1 2
C d u
1 4 8
C d u
1 1 2
C d u
1 4 1
Los tres números tienen una centena, pero 112 tiene menos decenas
que los otros números. 112 es el menor.
Fracción como parte de un todo (la unidad): la fracción indica la “división en partes iguales” o “la partición” de la unidad. El denominador indica el número de partes en que está dividida la unidad y el numerador las partes consideradas.
En este grado se iniciará el trabajo con fracciones con denominadores usuales, 2, 4 y 8; 3 y 6; y 5 y 10, que nos permiten lograr una mejor construcción de las nociones de fracción, su comparación y fracciones equivalentes.
La fracción como parte de la unidad da pie a la existencia de números mixtos que surgen de problemas en situaciones de reparto (ver página 41).
Representación concreta Representación gráfica
Con regletas: Con gráficos: Con tiras de fracciones:
Representación simbólica
12
24
= = 48
Indicador para el tercer grado:
Emplea procedimientos para contar, estimar, comparar y ordenar con números naturales de hasta tres cifras.
descripción del indicador:
Este indicador implica el uso de distintos procedimientos, los cuales son un conjunto de acciones ordenadas y secuenciadas que se aplican de igual forma aunque los datos o números cambien. Un ejemplo de procedimientos son los algoritmos de las operaciones. También lo son las reglas para comparar números (comenzar con las unidades de orden superior y continuar con las demás, en orden) y las agrupaciones para contar.
Capacidad Elabora y usa estrategias
1
12
13
14
15
16
16
16
16
16
16
18
18
18
18
18
18
18
18
110
110
110
110
110
110
110
110
110
15
15
15
15
14
14
14
13
13
12
110
la unidad
un medio
dos cuartos
cuatro cuartos
48 49
Este indicador engloba el uso de procedimientos para contar, estimar, comparar y ordenar. Sin embargo, para cada uno hay procedimientos distintos, es por eso que para observar el desempeño de los niños es necesario precisar el indicador según lo requiera el problema que se resuelve.
Por otro lado, el conteo es un procedimiento que permite resolver distintos tipos de problemas: cuantificar, producir y comparar cantidades.
La estimación consiste en valorar una cantidad o el resultado de una operación. Por lo general se hace de forma mental, con rapidez y empleando números sencillos, donde
Las siguientes preguntas permiten evidenciar la capacidad de elaborar y usar estrategias:
¿qué podemos hacer para contar? ¿Se pueden agrupar las cajas? ¿qué cajas puedes agrupar?, ¿por qué?
Representa con material Base Diez las cajas de libros. ¿Cómo puedes agruparlas para facilitar el conteo?, ¿por qué?
Ejemplo de indicador precisado:
Emplea procedimientos para contar, con números naturales de hasta tres cifras.
¿Cuántos libros ha donado el municipio?
10 libros
10 libros
10 libros
10 libros
100 libros 100 libros
10 libros 10 libros 10 libros 10 libros
10 libros
10 libros
El municipio donó estos libros.
En cada caja chica hay 10 libros y en las cajas grandes
100 libros.
¿Cuántos libros ha donado?
2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
El desarrollo de esta competencia en el IV ciclo de Primaria implica que los niños observen
regularidades en las formas o en una secuencia numérica y que resuelvan problemas
referidos a patrones de repetición con objetos y formas geométricas cuya regla de
formación está relacionada con una figura u objeto que se repite por simetría o traslación,
como se muestra en la figura 1. También se espera que los niños encuentren el término que
continúa en una secuencia numérica cuya regla de formación implica una multiplicación
o una división. Asimismo, en este ciclo se inicia el camino de la generalización propia
del álgebra, al buscar que los niños planteen conjeturas para predecir qué elementos
se encuentran más adelante en el patrón, a partir de la observación de la regla de
formación y de la posición del elemento. Por ejemplo: todos los elementos pares son de
una determinada forma y los impares de otra forma.
Figura 1. Patrón de repetición por simetría.
Mapas de Progreso. Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
Por otro lado, el desarrollo del pensamiento variacional se inicia en este ciclo a través
de problemas donde los estudiantes identifican relaciones entre cantidades y entre
magnitudes. Por ejemplo, analizan el crecimiento de la planta (longitud) a través del
Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3 Pieza 4 Pieza 5
50 51
tiempo o de la temperatura durante el día. En estas situaciones identifican cómo cambian
la magnitudes una con respecto de la otra, los datos se organizan en tablas simples y
describen esta relación utilizando lenguaje matemático, pudiendo elaborar conjeturas
sobre los cambios que se podrían producir. Así también se presentan situaciones en
las que las relaciones entre cantidades son de equivalencia, en estas, se expresan
igualdades y términos desconocidos utilizando íconos. Por ejemplo, los problemas de
equilibrio con balanzas u otros objetos, están referidos a buscar un valor desconocido
para equilibrar la balanza, mientras que en los problemas de trencitos con regletas
permiten encontrar varias equivalencias para una misma cantidad.
Ejemplo de un problema de equivalencia
Figura 2: El juego de las sogas. Mapas del Progreso (Ibidem)
Cinco niñas empatan con cuatro niños.
Las cinco niñas y su profesor empatan con siete niños.
¿A cuántos niños equivale la fuerza del profesor?
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ones
de
una
mis
ma
idea
mat
emát
ica,
con
ta
blas
, gr
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os
y sí
mbo
los;
re
laci
onán
dola
s en
tre
sí.
Elab
ora
y ej
ecut
a un
pla
n or
ient
ado
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perim
enta
r o
reso
lver
pro
blem
as,
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trate
gias
heu
rístic
as y
pr
oced
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ntos
par
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mpl
etar
térm
inos
de
una
suce
sión
gr
áfic
a o
num
éric
a de
acu
erdo
a s
u po
sici
ón,
sim
plifi
car
expr
esio
nes
o ec
uaci
ones
em
plea
ndo
prop
ieda
des
aditi
vas
y m
ultip
licat
ivas
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stab
lece
r eq
uiva
lenc
ias
entre
uni
dade
s de
una
mis
ma
mag
nitu
d; c
on a
poyo
de
recu
rsos
; y c
ompa
ra
los
proc
edim
ient
os y
est
rate
gias
em
plea
das
en d
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tas
reso
luci
ones
. Es
tabl
ece
conj
etur
as
sobr
e re
gula
ridad
es,
equi
vale
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s y
rela
cion
es e
ntre
dos
mag
nitu
des,
y l
as
just
ifica
usa
ndo
ejem
plos
o c
ontra
ejem
plos
.
A c
ontin
uaci
ón le
s pr
esen
tam
os u
na m
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que
mue
stra
de
man
era
inte
grad
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est
ánda
r de
apre
ndiz
aje
(map
a de
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gres
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omo
los
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de d
esem
peño
de
las
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cida
des
para
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rollo
de
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tenc
ia e
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cic
lo. L
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es d
e lo
s m
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de
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reso
mue
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n u
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ició
n cl
ara
y co
nsen
suad
a de
las
met
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de a
pren
diza
je q
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eben
ser
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adas
por
tod
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s es
tudi
ante
s al
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iodo
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erm
inad
o. E
n es
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o, s
on u
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fere
nte
para
la p
lani
ficac
ión
anua
l, el
mon
itore
o y
la e
valu
ació
n, p
ues
nos
mue
stra
n el
des
empe
ño g
loba
l que
deb
en a
lcan
zar n
uest
ros
estu
dian
tes
en c
ada
una
de la
s co
mpe
tenc
ias.
Las
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co
n lo
s in
dica
dore
s de
des
empe
ño d
e la
s ca
paci
dade
s so
n un
apo
yo p
ara
dise
ñar
nues
tras
sesi
ones
de
apre
ndiz
aje;
son
útil
es ta
mbi
én p
ara
dise
ñar
inst
rum
ento
s de
ev
alua
ción
, per
o no
nos
olv
idem
os q
ue e
n un
enf
oque
de
com
pete
ncia
s, a
l fin
al, d
ebem
os g
ener
ar in
stru
men
tos
que
perm
itan
evid
enci
ar e
l des
empe
ño in
tegr
al d
e es
tas.
En
resu
men
, am
bos
inst
rum
ento
s no
s ay
udan
tant
o a
la p
lani
ficac
ión
com
o a
la e
valu
ació
n, p
ero
uno
nos
mue
stra
des
empe
ños
más
aco
tado
s (in
dica
dore
s de
de
sem
peño
s), m
ient
ras
que
el o
tro n
os m
uest
ra u
n de
sem
peño
com
plej
o (m
apas
de
prog
reso
).H
emos
col
ocad
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niv
el a
nter
ior
y po
ster
ior
al c
iclo
cor
resp
ondi
ente
par
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iden
tific
ar e
n qu
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e de
sem
peño
se
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entra
cad
a un
o de
nue
stro
s es
tudi
ante
s, y
así
dis
eñar
act
ivid
ades
ade
cuad
as p
ara
cada
uno
de
ello
s.
1 Pa
trone
s de
repe
tició
n co
n do
s cr
iterio
s pe
rcep
tual
es.
2 Eq
uiva
lenc
ias
con
igua
ldad
es q
ue in
volu
cran
adi
cion
es y
sus
tracc
ione
s co
n ca
ntid
ades
has
ta 2
0.3
Patro
nes
de re
petic
ión
que
com
bina
n cr
iterio
s pe
rcep
tual
es y
de
posi
ción
.
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átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
regu
larid
ad, e
quiv
alen
cia
y ca
mbi
o
52 53
Matematiza situaciones
Segu
ndo
grad
ote
rcer
gra
doC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
Patro
nes
de re
petic
ión:
Id
entif
ica
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ento
s qu
e se
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ten
en
prob
lem
as d
e re
gula
ridad
1 y lo
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en
un
patró
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repe
tició
n co
n do
s cr
iterio
s2 .
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opon
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trone
s de
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ión
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Pr
opon
e pa
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s de
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tició
n gr
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os.
Patro
nes
de re
petic
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Pl
ante
a re
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ent
re lo
s el
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emas
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larid
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ión
que
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si
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tual
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e co
lor y
ta
mañ
o.
Pr
opon
e un
pat
rón
de re
petic
ión
que
com
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un
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si
met
ría y
crit
erio
s pe
rcep
tual
es d
e co
lor y
ta
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o.
Patro
nes
de re
petic
ión:
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terp
reta
rela
cion
es e
n lo
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emen
tos
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prob
lem
as d
e re
gula
ridad
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un
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io g
eom
étric
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laci
ón y
un
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opon
e pr
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mas
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larid
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pa
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e pa
trone
s de
repe
tició
n qu
e co
mbi
nen
un c
riter
io g
eom
étric
o de
tra
slac
ión
y un
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erio
per
cept
ual (
colo
r).
Patro
nes
aditi
vos:
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entif
ica
dato
s en
pro
blem
as d
e re
gula
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num
éric
a, e
xpre
sánd
olos
en
un
patró
n ad
itivo
con
núm
eros
de
hast
a do
s ci
fras
en fo
rma
crec
ient
e o
decr
ecie
nte.
Pr
opon
e pa
trone
s ad
itivo
s co
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mer
os
hast
a do
s ci
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con
apo
yo d
e m
ater
ial
conc
reto
o g
ráfic
o.
Patro
nes
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vos:
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regl
a de
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ació
n de
los
dato
s en
pro
blem
as d
e re
gula
ridad
, ex
pres
ándo
los
en u
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vo c
on
núm
eros
de
hast
a tre
s ci
fras.
Pr
opon
e pa
trone
s ad
itivo
s co
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mer
os
de h
asta
tres
cifr
as e
n co
ntex
tos
dive
rsos
.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
Iden
tific
a la
regl
a de
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ació
n de
los
dato
s en
pro
blem
as d
e re
gula
ridad
, ex
pres
ándo
las
en u
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trón
mul
tiplic
ativ
o co
n nú
mer
os d
e ha
sta
cuat
ro c
ifras
.
Pr
opon
e pa
trone
s ad
itivo
s o
mul
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ativ
os c
on n
úmer
os d
e ha
sta
cuat
ro c
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.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
Inte
rpre
ta lo
s da
tos
en p
robl
emas
de
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larid
ad g
ráfic
a5 y n
umér
ica,
ex
pres
ándo
las
en u
n pa
trón
aditi
vo c
on
núm
eros
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ural
es o
frac
cion
es.
C
rea
una
regu
larid
ad a
par
tir d
e un
pa
trón
aditi
vo c
on n
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os n
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.
Igua
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es:
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dato
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rela
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mas
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ncia
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rio,
expr
esán
dolo
s en
una
igua
ldad
(con
ad
ició
n y
sust
racc
ión
con
núm
eros
has
ta
20) c
on m
ater
ial c
oncr
eto.
Igua
ldad
es:
Id
entif
ica
dato
s y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
ncia
o e
quilib
rio,
expr
esán
dolo
s en
una
igua
ldad
con
ad
ició
n y
sust
racc
ión
Igua
ldad
es:
Id
entif
ica
dato
s y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
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, ex
pres
ándo
los
en u
na ig
uald
ad
con
ícon
os (c
on a
dici
ón, s
ustra
cció
n,
mul
tiplic
ació
n o
divi
sión
).
Ecua
cion
es y
des
igua
ldad
es:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
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o e
quilib
rio,
expr
esán
dolo
s en
ecu
acio
nes
sim
ples
de
la fo
rma
a ±
=
b.
Rela
ción
de
cam
bio:
Id
entif
ica
los
dato
s y
rela
cion
es a
par
tir
de u
na s
ituac
ión
expe
rimen
tal d
e va
riaci
ón d
e un
a m
agni
tud
con
resp
ecto
al
tiem
po4 ,
y lo
s re
laci
ona
en ta
blas
si
mpl
es.
Rela
ción
de
cam
bio:
Re
coge
dat
os e
xper
imen
tale
s de
dos
m
agni
tude
s en
pro
blem
as d
e va
riaci
ón y
lo
s re
laci
ona
en ta
blas
sim
ples
.
Rela
cion
es p
ropo
rcio
nale
s:
Inte
rpre
ta lo
s da
tos
en p
robl
emas
de
var
iaci
ón e
ntre
dos
mag
nitu
des,
ex
pres
ándo
los
en u
na re
laci
ón d
e pr
opor
cion
alid
ad d
irect
a us
ando
tabl
as.
1 Si
tuac
ione
s co
n gr
áfic
os, d
ibuj
os o
mat
eria
l con
cret
o.
2 Pa
trone
s cu
ya re
gla
de fo
rmac
ión
teng
a el
emen
tos
que
se d
ifere
ncie
n en
dos
crit
erio
s, p
or e
jem
plo:
bot
ón g
rand
e ro
jo, b
otón
peq
ueño
azu
l, b
otón
gra
nde
rojo
, bot
ón p
eque
ño a
zul (
la d
ifere
ncia
est
á en
el t
amañ
o y
colo
r).3
Situ
acio
nes
crea
das
con
guar
dilla
s, lo
seta
s, fr
isos
, grá
ficos
, dib
ujos
y m
ater
ial c
oncr
eto.
4 Po
r eje
mpl
o: e
l cre
cim
ient
o de
una
pla
nta
(long
itud)
en
un m
es (t
iem
po).
5 C
onfig
urac
ione
s pu
ntua
les,
arr
eglo
s, fi
gura
s, e
tc.
Comunica y representa ideas matemáticas
Patro
nes:
D
escr
ibe
con
leng
uaje
cot
idia
no o
m
atem
átic
o lo
s cr
iterio
s qu
e ca
mbi
an e
n lo
s el
emen
tos
de p
atró
n de
repe
tició
n.
Ex
pres
a un
mis
mo
patró
n de
repe
tició
n y
un m
ism
o pa
trón
aditi
vo a
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és d
e do
s o
más
repr
esen
taci
ones
con
mat
eria
l co
ncre
to, p
ictó
rico
o gr
áfic
o o
sim
bólic
o (c
ódig
os, l
etra
s).
Patro
nes:
Util
iza
leng
uaje
mat
emát
ico
para
ex
pres
ar e
l crit
erio
geo
mét
rico
(sim
etría
) qu
e in
terv
iene
en
la fo
rmac
ión
del p
atró
n de
repe
tició
n.
Patro
nes:
Util
iza
leng
uaje
mat
emát
ico
para
de
scrib
ir la
regu
larid
ad e
n lo
s pa
trone
s ge
omét
ricos
y n
umér
icos
.
Patro
nes:
U
tiliz
a le
ngua
je m
atem
átic
o pa
ra
expr
esar
el c
riter
io g
eom
étric
o (tr
asla
ción
) qu
e in
terv
iene
en
el p
atró
n y
la re
gla
de
form
ació
n cr
ecie
nte
del p
atró
n nu
mér
ico.
Igua
ldad
es:
Ex
pres
a en
form
a or
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ue
com
pren
de s
obre
el s
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o de
l eq
uilib
rio y
la e
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alen
cia.
Re
pres
enta
una
igua
ldad
, en
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a co
ncre
ta
(regl
etas
, bal
anza
s, m
oned
as,
etc.
), gr
áfic
a y
sim
bólic
a (c
on e
xpre
sion
es
de a
dici
ón y
sus
tracc
ión
y el
sig
no “=
”).
Igua
ldad
es:
Re
pres
enta
una
igua
ldad
con
val
ores
co
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dos
o de
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os c
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bjet
os,
de fo
rma
conc
reta
(reg
leta
s, b
alan
zas,
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oned
as, e
tc.),
grá
fica
y si
mbó
lica
(con
ex
pres
ione
s ad
itiva
s y
el s
igno
“=”)
Igua
ldad
es:
Re
pres
enta
una
igua
ldad
con
val
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co
noci
dos
o de
scon
ocid
os c
on íc
onos
, de
form
a co
ncre
ta, g
ráfic
a y
sim
bólic
a (c
on
expr
esio
nes
de m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón) y
el
sig
no “=
”).
Ecua
cion
es y
des
igua
ldad
es:
Re
pres
enta
el v
alor
des
cono
cido
de
una
igua
ldad
con
ícon
os.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o:
Des
crib
e re
laci
ones
núm
eric
as6 e
ntre
el
emen
tos
de d
os c
olec
cion
es, c
on
sopo
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oncr
eto
y gr
áfic
o.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o:
Des
crib
e la
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ción
de
cam
bio
entre
dos
m
agni
tude
s.
Rela
cion
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opor
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s re
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de
prop
orci
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de
dos
mag
nitu
des.
Rela
cion
es d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Ex
pres
a la
s re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
de
dos
mag
nitu
des.
6 Re
laci
ones
de
dobl
e y
mita
d, u
no m
ás y
uno
men
os, r
elac
ione
s de
com
para
ción
.
54 55
Elaboray usa estrategias
Segu
ndo
grad
ote
rcer
gra
doC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
Pr
opon
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cion
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oble
mas
.
Prop
one
una
secu
enci
a de
acc
ione
s or
ient
adas
a e
xper
imen
tar o
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lver
un
prob
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a.
Elab
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y ej
ecut
a un
pla
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ient
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a ex
perim
enta
r o re
solv
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robl
emas
.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
alg
una
estra
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a he
urís
tica
para
am
plia
r, co
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etar
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pat
rone
s de
re
petic
ión
y ad
itivo
s, d
e fo
rma
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ncia
l y
usan
do m
ater
ial c
oncr
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Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
est
rate
gias
o re
curs
os c
omo
el e
spej
o o
geop
lano
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a re
solv
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prob
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s si
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ricos
.
Patro
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de re
petic
ión:
Em
plea
alg
unas
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rate
gias
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rístic
as
para
am
plia
r o c
rear
pat
rone
s de
re
petic
ión
geom
étric
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sand
o m
ater
ial
conc
reto
.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
est
rate
gias
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56 57
descripción y ejemplos de indicadores
Indicador para cuarto grado:
Identifica datos y relaciones en problemas de equivalencia,
expresándolos en una igualdad con íconos (con adición,
sustracción, multiplicación o división).
descripción del indicador:
Identificar datos y relaciones implica reconocer cuáles son las cantidades que intervienen
en el problema, cómo se logra el equilibrio o la equivalencia y descubrir que hay una
equivalencia entre las cantidades del problema o que hay varias formas de obtener el
mismo resultado.
Equivalencia: igual valor.
Igualdad: dos expresiones equivalentes relacionadas con el signo “=”.
Expresar la igualdad implica escribir las expresiones aditivas o multiplicativas cuyo
resultado es el mismo e igualarlas mediante el signo “=”.
Veamos el siguiente ejemplo:
José está jugando a equilibrar la balanza y desea saber cuánto pesa la botella.
1 2
Indicador de tercer grado:
Describe la relación de cambio entre una magnitud y el tiempo.
descripción del indicador:
Describir implica que se exprese de forma oral o escrita todo lo que ocurre con el
comportamiento de ambas magnitudes, siempre una con respecto de la otra, es decir,
que se exprese si la magnitud aumenta o disminuye en función del tiempo, por ejemplo:
“a mayor tiempo, mayor será el crecimiento de una persona”. Los datos pueden ser
recogidos de una situación experimental o de otras fuentes, como: periódicos, tablas
de crecimiento, etc.; dichos datos se organizan en tablas o gráficos.
Las siguientes preguntas permitirán identificar los datos y las relaciones de
equivalencia entre ellos, para expresar el problema en una igualdad:
¿La balanza qué idea nos proporciona?, ¿de equilibrio o desequilibrio?
¿qué datos presenta el problema?, ¿solo son datos numéricos?
= 600 g + 1 pelota
En la primera balanza, ¿qué datos tenemos? ¿qué objetos se equilibran? ¿qué
equivalencia tenemos? Escribe la equivalencia como una igualdad.
600 g = 3
¿Con qué se equilibra el peso de la botella? ¿Conocemos el peso de la pelota?
Escribe el peso de la botella con los datos que nos da la segunda balanza.
Exprésalo como una igualdad.
Capacidad Matematiza situaciones
Capacidad Comunica y representa ideas matemáticas
600g
600g
600 gramos equivale a 3 pelotas.
58 59
Describe qué pasa con la talla de Daniela cuando aumenta su edad:
Figura 3. Tarea que evidencia la relación entre dos magnitudes: edad y estatura.
Mapas de Progreso. Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
Veamos un ejemplo11 de este desempeño:
EdAd tALLA
0 años 52 cm
3 años 105 cm
6 años 112 cm
9 años 122 cm
12 años 155 cm
15 años 165 cm
18 años 165 cm
21 años 165 cm
24 años 165 cm
Los datos de la siguiente tabla muestran la talla
de Daniela en diferentes momentos de su vida:EL CRECIMIEnto dE dAnIELA
Indicador de tercer grado:
Emplea estrategias y procedimientos aditivos (agregar y quitar),
la relación inversa de la adición con la sustracción y la propiedad
conmutativa, para encontrar equivalencias o los valores
desconocidos de una igualdad.
descripción del indicador:
En este grado los estudiantes resolverán problemas en los que deberán expresar una
igualdad con expresiones equivalentes, en las que puede haber valores desconocidos que
encontrar. Para encontrar estos valores o equivalencias, el estudiante puede hacer uso de:
Estrategias como la de ensayo y error, en la que se pueden ir sustituyendo los valores
desconocidos por números tentativos, hasta encontrar el valor que cumple con la
igualdad.
Si pesa 5, no llega a 22; si pesa 6, tampoco,
si pesa 7, ¡sí! 7 + 15 es 22
Procedimientos aditivos de agregar o quitar la misma cantidad de objetos en ambos
lados de los platillos. Es decir, si en el platillo de tu izquierda se quita una pesa de 5 kg,
en el otro platillo también quitarás una pesa de 5 kg.
+ 15 = 22?
Capacidad Elabora y usa estrategias
60 61
Indicador de cuarto grado:
Elabora supuestos sobre los términos que ocupan una posición más
adelante en el patrón de repetición geométrico de simetría y criterio
perceptual.
descripción del indicador:
Elaborar supuestos en este tipo de problemas implica que los estudiantes puedan
predecir el término en una posición que se desconoce y no sea observable o deducible
a simple vista, y explicar el porqué de sus afirmaciones. Para ello, los niños deberán
Aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción en un problema de igualdad, donde hay que hallar el valor del ícono (bolsa):
Aplicando la propiedad conmutativa de la adición:
+ 15 = 22? 22 - 15 = 7
+ 15 = 15 + 7? + 15 = 7 + 15?
Quitando a ambos lados del platillo Restando a ambos lados de la igualdad
5kg
5kg 2
?Quitamos en ambos
ladosResolvemos
+ 15 – 15 = 22 – 15? = 7?
+ 15 = 22?
Veamos un ejemplo:
En este problema, además de encontrar cuál es la mayólica que continúa, los estudiantes
pueden hacer supuestos sobre cómo serán las piezas que se colocarán más adelante.
Por ejemplo, se darán cuenta de que cada 6 piezas todo se repite: la pieza 1 se repite
en la posición 7 y luego en la 13; de igual forma, la pieza 6 se repite en la posición 12 y
luego en la 18. Esto permite que los niños formulen supuestos como este: “La mayólica
de la posición 24 es la misma que la mayólica de la posición 6”.
Estas son algunas preguntas que pueden ayudar a que los estudiantes realicen supuestos:
Un albañil coloca mayólicas en un local y así forma una secuencia decorativa. ¿qué pieza continúa?
Mapa de progreso de Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
¿Cuántas piezas diferentes hay en el patrón? ¿Dónde vuelves a encontrar
una pieza igual a la pieza 1?, ¿ y a la pieza 2?, ¿y a la pieza 3?...
¿Puedes saber cómo serán las piezas que no ves sin necesidad de dibujarlas
todas?, ¿cómo lo harías?, ¿cómo podrías organizar la información?
¿qué pasaría si las piezas 3 y 4 se quitan?, ¿cómo seria la nueva secuencia?
¿En qué posición estaría la pieza 13?
identificar la regla de formación del patrón de repetición geométrico, a paritr de ensayos o
exploración con el material concreto, lo cual permitirá que expresen cómo se relacionan
los elementos, cómo cambian y qué cambia. Además, los estudiantes deben explorar
relaciones entre los elementos y el número de posición que estos ocupan, reconocer
cómo son los elementos que ocupan posición par o impar, o cada cuánto se repite una
forma o un color, de tal manera que estén en la posibilidad de hacer supuestos sobre
cuál elemento correspondería a una posición cualquiera. Podrán llegar a supuestos
como el siguiente: “El elemento de posición 10 y el 12 son iguales porque…”.
Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3 Pieza 4 Pieza 5
Capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas
5kg 5kg 5kg 5kg
62 63
2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Desarrollar esta competencia en el IV ciclo implica que los niños actúen y piensen matemáticamente al resolver problemas geométricos de diversos contextos vinculados con las formas tridimensionales y bidimensionales; problemas referidos al movimiento o las transformaciones geométricas como la simetría y la traslación de figuras; y problemas de localización que conllevan a ubicar objetos o figuras en una cuadrícula.
Uno de los principales problemas en la enseñanza de la geometría es que se basa en una transmisión ostensiva1, de conceptos completamente desvinculados de los problemas para los cuales son útiles, y en la memorización de nombre y definiciones.
En este sentido, el cambio fundamental consiste en proponer a los estudiantes problemas que los conduzcan a explorar su entorno, ubicarse en él, situar objetos, identificar y caracterizar formas, representarlas, aplicarles movimientos, anticipar transformaciones; todo ello acompañado de la reflexión sobre los procedimientos y resultados obtenidos.
Así, los niños en este ciclo podrán matematizar situaciones a partir de una experiencia vivencial con su entorno para expresar la realidad o los objetos que hay en ella en formas tridimensionales o bidimensionales; ubicarse en el entorno y expresarlos en una maqueta o en un plano; aplicar movimientos a las figuras y expresarlo en una figura simétrica o una figura que se traslada; comunicar y representar las ideas geométricas relacionadas con las formas y sus elementos básicos empleando lenguaje matemático, así el uso del lenguaje geométrico será necesario cuando quieran comunicar posiciones, describir e identificar a los objetos e indicar oralmente los movimientos. La adquisición del vocabulario geométrico se produce a partir de su utilidad para resolver problemas y es en el marco de estos que surge la necesidad de usar expresiones cada vez menos ambiguas.
Los estudiantes en este ciclo también elaborarán y usarán estrategias al construir formas mediante el plegado, recortado, modelado y el dibujo; medir la longitud, capacidad y superficie de los objetos; y construir figuras simétricas y trasladarlas con material concreto, usando instrumentos de dibujos y diversos materiales. En este proceso también es necesario que razonen y argumenten con el objetivo de construir o generar nuevas ideas geométricas al elaborar conjeturas sobre las propiedades de las formas y verificarlas. Al explicar sus procedimientos y resultados consolidarán lo que aprendieron.
1 La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones matemáticas. Por ejemplo: pegar en la pizarra figuras recortadas y mostrarlas con un solo “golpe de imágen“
(Chamorro, 2006)
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lon
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s de
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s ca
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dade
s so
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de
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s de
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En
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men
, am
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ento
s no
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com
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s (in
dica
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s de
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s, y
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cada
uno
de
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s.
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squi
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amen
te e
n si
tuac
ione
s de
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a, m
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ient
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loca
lizac
ión
64 65
Matematiza situaciones
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ndo
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rcer
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uarto
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onal
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tos
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ntor
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s pa
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rpen
dicu
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s, la
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car
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y, lo
s re
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pris
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Re
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s di
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vi
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na la
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ruct
ura
del s
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o co
n cu
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n pr
oble
ma
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rucc
ión
de
pris
mas
.
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as b
idim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
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ento
s es
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los
obje
tos
de s
u en
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o y
los
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de fo
rma
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gura
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imen
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al.
form
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idim
ensi
onal
es:
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entif
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cter
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s ob
jeto
s de
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rno
segú
n su
s la
dos,
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értic
es,
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laci
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idim
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r.
Rela
cion
a la
s ca
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un
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co
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cció
n de
figu
ras
com
pues
tas.
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a bi
dim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as d
e lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
segú
n su
s la
dos,
áng
ulos
, par
alel
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y lo
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en
un m
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o ba
sado
en
para
lelo
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os.
U
sa u
n m
odel
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sado
en
para
lelo
gram
os a
l pl
ante
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reso
lver
un
prob
lem
a.
form
a bi
dim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as y
pro
pied
ades
ge
omét
ricas
exp
licita
s s
egún
su
perím
etro
y
área
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no,
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esán
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s en
un
mod
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Sim
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s en
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sim
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torn
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un e
je d
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ría.
Sim
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ract
erís
ticas
y c
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cion
es d
e lo
s ob
jeto
s, e
xpre
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olos
en
una
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a si
mét
rica
usan
do m
ater
ial c
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eto
y u
na c
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ícul
a.
Reco
noce
figu
ras
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jeto
s y
figur
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sim
etría
.
Sim
etría
y tr
asla
ción
:
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n pr
oble
mas
de
desp
laza
mie
nto,
ex
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los
en u
n m
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e fo
rmas
bid
imen
sion
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en
una
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rícul
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co
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nada
s.
Re
cono
ce la
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e un
a fig
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en o
tros
prob
lem
as.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
Id
entif
ica
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de
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obje
tos
de s
u en
torn
o, e
xpre
sánd
olos
en
un
mod
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de a
mpl
iaci
ón y
redu
cció
n de
figu
ras
en u
n pl
ano
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ricul
ado.
A
plic
a la
am
plia
ción
y re
ducc
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de fi
gura
s a
otro
s pr
oble
mas
sim
ilare
s.
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Id
entif
ica
dato
s de
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto
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bjet
os e
n en
torn
os c
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ún u
n re
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nte,
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plea
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ujos
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pr
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mas
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loca
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ión.
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el d
ibuj
o em
plea
do
perm
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solv
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robl
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loca
lizac
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e ob
jeto
s y
pers
onas
.
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Id
entif
ica
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s o
cara
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ntes
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n y
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laza
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un
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caliz
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inal
es e
n un
sis
tem
a de
co
orde
nada
s.
Empl
ea u
n si
stem
a de
coo
rden
adas
con
pu
ntos
car
dina
les
al re
solv
er p
robl
emas
de
loca
lizac
ión.
1 El
emen
tos
esen
cial
es d
e lo
s cu
erpo
s ge
omét
ricos
: esq
uina
s, c
aras
, lín
eas
rect
as, l
ínea
s cu
rvas
. Cue
rpos
redo
ndos
(con
o, c
ilind
ro, e
sfer
a). C
uerp
os n
o re
dond
os (c
ubo,
pris
ma)
. 2
Pris
ma
rect
angu
lar,
cubo
, esf
era,
cili
ndro
y c
ono.
3 El
emen
tos
esen
cial
es d
e la
s fig
uras
geo
mét
ricas
: lad
os y
esq
uina
s, lí
neas
rect
as y
líne
as c
urva
s.4
Triá
ngul
o, c
uadr
ado,
rect
ángu
lo y
círc
ulo.
5 H
ojas
con
form
as s
imét
ricas
, etc
., d
obla
do d
e pa
pel,
figur
as g
eom
étric
as, m
osai
cos,
blo
ques
de
cons
trucc
ión,
geo
plan
o.
Comunica y representa ideas matemáticas
Segu
ndo
grad
ote
rcer
gra
doC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Ex
pres
a lo
s el
emen
tos
esen
cial
es d
e la
s fo
rmas
trid
imen
sion
ales
(car
as, b
orde
s,
esqu
inas
, lín
eas
rect
as, l
ínea
s cu
rvas
, etc
.).
Repr
esen
ta lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
de fo
rma
tridi
men
sion
al, c
on m
ater
ial g
ráfic
o-pl
ástic
o,
conc
reto
y g
ráfic
o.
Expr
esa
la m
edid
a de
la c
apac
idad
de
los
obje
tos
usan
do u
nida
des
arbi
traria
s: c
ucha
ras,
cu
char
itas,
got
eros
, taz
as, c
on p
uñad
o, m
anos
, et
c.
Expr
esa
la m
edid
a de
long
itud
de lo
s ob
jeto
s (la
rgo,
anc
ho, a
lto, e
tc.)
usan
do s
u cu
erpo
: de
dos,
man
os, p
ies,
pas
os y
obj
etos
com
o cl
ip,
lápi
ces,
pal
illos,
etc
.
Expr
esa
la m
edid
a de
sup
erfic
ie d
e lo
s ob
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s us
ando
uni
dade
s de
med
ida
arbi
traria
con
ob
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s: s
ervi
lleta
s, ta
rjeta
s, c
uadr
ados
, etc
.
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
form
as tr
idim
ensi
onal
es8 s
egún
su
s el
emen
tos
(car
as, a
rista
s, v
értic
es).
C
onst
ruye
figu
ras
tridi
men
sion
ales
con
el
mod
elo
pres
ente
o a
usen
te, a
trav
és d
el
mol
dead
o, m
ater
ial c
oncr
eto9
o co
n un
a pl
antil
la.
C
onst
ruye
figu
ras
tridi
men
sion
ales
en
form
a co
ncre
ta, a
par
tir d
e in
stru
ccio
nes
escr
itas
y or
ales
.
Expr
esa
la m
edid
a y
la e
stim
ació
n de
la
capa
cida
d de
los
reci
pien
tes
en li
tros.
Ex
pres
a la
med
ida
de lo
ngitu
d o
el p
erím
etro
de
los
obje
tos
(larg
o, a
ncho
, alto
, etc
.) us
ando
el
met
ro y
el c
entím
etro
.
Expr
esa
la m
edid
a de
sup
erfic
ie d
e lo
s ob
jeto
s us
ando
com
o un
idad
un
cuad
rado
y m
ater
ial
conc
reto
(los
eta
cuad
rada
, car
tone
s cu
adra
dos)
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
form
as tr
idim
ensi
onal
es s
egún
su
s el
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tos
(car
as la
tera
les,
aris
tas,
vér
tices
, ba
ses)
.
Con
stru
ye fi
gura
s tri
dim
ensi
onal
es c
on
dife
rent
es m
ater
iale
s co
ncre
tos
y a
parti
r de
una
plan
tilla
.
Con
stru
ye fi
gura
s tri
dim
ensi
onal
es e
n fo
rma
conc
reta
, a p
artir
de
inst
rucc
ione
s es
crita
s y
oral
es.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la c
ompa
raci
ón d
e la
m
edid
a de
cap
acid
ad e
n fra
ccio
nes
de li
tro,
galo
nes.
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
Ex
pres
a la
s pr
opie
dade
s y
elem
ento
s de
cu
bos,
pris
mas
o c
ilindr
os n
ombr
ándo
las
apro
piad
amen
te.
Re
pres
enta
grá
ficam
ente
las
dife
rent
es
vist
as b
idim
ensi
onal
es q
ue ti
ene
una
form
a tri
dim
ensi
onal
.
Con
stru
ye fi
gura
s tri
dim
ensi
onal
es e
n fo
rma
conc
reta
(orig
ami m
odul
ar),
a pa
rtir d
e su
m
edid
a e
inst
rucc
ione
s es
crita
s y
oral
es.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
Ex
pres
a lo
s el
emen
tos
esen
cial
es d
e la
s fo
rmas
bid
imen
sion
ales
(pun
tas,
lado
s, lí
neas
re
ctas
, lín
eas
curv
as, e
tc.).
Re
pres
enta
los
obje
tos
de s
u en
torn
o de
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a bi
dim
ensi
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o p
lana
con
mat
eria
l grá
fico-
plás
tico
y co
ncre
to6 c
on e
l mod
elo
pres
ente
o
ause
nte
y a
parti
r de
sus
elem
ento
s es
enci
ales
.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
figur
as b
idim
ensi
onal
es s
egún
su
s el
emen
tos
(lado
s, v
értic
es, á
ngul
os re
ctos
y
ángu
los
men
ores
que
un
ángu
lo re
cto)
.
Con
stru
ye y
dib
uja
figur
as b
idim
ensi
onal
es10
co
n di
fere
ntes
mat
eria
les
conc
reto
s, d
e fo
rma
gráf
ica
(cua
dríc
ula,
mal
la d
e pu
ntos
) y c
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regl
a, e
scua
dra
y tra
nspo
rtado
r.
Con
stru
ye fi
gura
s bi
dim
ensi
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es s
impl
es y
co
mpu
esta
s en
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a co
ncre
ta11, a
par
tir d
e in
stru
ccio
nes
escr
itas
y or
ales
.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as d
e lo
s po
lígon
os y
pa
rale
logr
amos
, seg
ún s
u nú
mer
o de
lado
s y
vérti
ces,
nom
brán
dolo
s ad
ecua
dam
ente
(tr
iáng
ulos
, cua
drilá
tero
s, p
entá
gono
s, e
tc.).
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta (s
ogas
, ge
opla
no, e
tc.)
y gr
áfic
a (e
n cu
adríc
ulas
), di
fere
ntes
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as b
idim
ensi
onal
es q
ue ti
enen
el
mis
mo
perím
etro
.
Repr
esen
ta e
n fo
rma
conc
reta
(sog
as,
geop
lano
, orig
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etc
.) y
gráf
ica
(en
cuad
rícul
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ifere
ntes
rect
ángu
los,
cua
drad
os,
rom
bos
y ro
mbo
ides
con
el m
odel
o pr
esen
te y
au
sent
e.
Con
stru
ye p
aral
elog
ram
os s
egún
indi
caci
ones
or
ales
y e
scrit
as.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la c
ompa
raci
ón d
e la
m
edid
a de
la lo
ngitu
d, p
erím
etro
, sup
erfic
ie d
e la
s fig
uras
a p
artir
de
unid
ades
arb
itrar
ias
o co
nven
cion
ales
.
form
as b
idim
ensi
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es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as y
pro
pied
ades
bá
sica
s de
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cuad
rilát
eros
y tr
iáng
ulos
con
re
spec
to a
sus
lado
s y
ángu
los
y di
agon
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, pa
rale
lism
o y
perp
endi
cula
ridad
.
Des
crib
e la
con
stru
cció
n de
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as
bidi
men
sion
ales
a p
artir
de
sus
elem
ento
s o
prop
ieda
des.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta (t
angr
am,
geop
lano
, orig
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y gr
áfic
a (e
n cu
adríc
ulas
, m
alla
de
punt
os),
cuad
rilát
eros
y tr
iáng
ulos
, da
dos
la m
edid
a de
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s, á
ngul
os, e
l pe
rímet
ro o
el á
rea.
Sim
etría
:
Repr
esen
ta lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
que
sean
si
mét
ricos
seg
ún s
i se
parte
por
la m
itad
o si
tie
nen
un e
je d
e si
met
ría, c
on m
ater
ial g
ráfic
o-pl
ástic
o y
conc
reto
7 con
el m
odel
o pr
esen
te o
au
sent
e
Con
stru
ye fi
gura
s si
mét
ricas
usa
ndo
mat
eria
l gr
áfic
o-pl
ástic
o, d
obla
ndo
o re
corta
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el
pape
l y m
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ial c
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eto,
a p
artir
de
un e
je d
e si
met
ría.
Sim
etría
:
Des
crib
e la
s re
laci
ones
de
sim
etría
de
las
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as g
eom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
de
una
figur
a a
parti
r del
eje
de
sim
etría
.
Repr
esen
ta c
on m
ater
ial c
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eto
(geo
plan
os,
bloq
ues
lógi
cos,
etc
.) pi
ctór
ico
y gr
áfic
o (e
n la
cu
adríc
ula)
el r
efle
jo d
e un
a fig
ura
a pa
rtir d
el
eje
de s
imet
ría.
tras
laci
ón y
sim
etría
:
Des
crib
e la
s re
laci
ones
de
trasl
ació
n de
figu
ras
geom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
de
una
figur
a a
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r del
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de
sim
etría
ver
tical
y h
oriz
onta
l.
Repr
esen
ta e
n fo
rma
conc
reta
(geo
plan
o),
gráf
ica
(en
cuad
rícul
a) y
, la
trasl
ació
n de
figu
ras
geom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
de
una
figur
a a
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r del
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de
sim
etría
ver
tical
u h
oriz
onta
l.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
D
escr
ibe
la tr
ansf
orm
ació
n de
am
plia
ción
y
redu
cció
n de
una
figu
ra e
n el
pla
no
cuad
ricul
ado.
C
onst
ruye
de
una
mis
ma
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a do
s o
más
am
plia
cion
es o
redu
ccio
nes
en u
n pl
ano
cuad
ricul
ado
o en
el p
lano
car
tesi
ano.
6 G
eopl
ano,
mos
aico
s, e
tc.
7 G
eopl
ano,
mos
aico
s, e
tc.
8 C
ubos
, pris
mas
rect
angu
lare
s, e
sfer
as y
con
os.
9 Po
liedr
os, p
last
ilina
y m
onda
dien
te.
10
Triá
ngul
os, c
uadr
ados
, rec
táng
ulos
y c
írcul
os.
11
Tang
ram
, geo
plan
o, d
obla
do d
e pa
pel.
66 67
Comunica y representa ideas matemáticasSe
gund
o gr
ado
terc
er g
rado
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
o
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
los
desp
laza
mie
ntos
que
re
aliz
a pa
ra ir
de
un lu
gar a
otro
o p
ara
ubic
ar o
bjet
os y
per
sona
s c
on re
laci
ón
a sí
mis
mo,
a o
tros
obje
tos
y pe
rson
as,
usan
do la
s ex
pres
ione
s “s
ube”
, “ba
ja”,
“ent
ra”,
“sal
e”, “
haci
a ad
elan
te”,
“hac
ia
atrá
s”, “
haci
a ar
riba”
, “ha
cia
abaj
o”, “
a la
de
rech
a”, “
a la
izqu
ierd
a” y
“por
el b
orde
”.
Re
pres
enta
el r
ecor
rido
o de
spla
zam
ient
o y
la u
bica
ción
de
obje
tos,
de
form
a vi
venc
ial,
pict
óric
a, g
ráfic
a en
cua
dríc
ulas
y
sim
bólic
a co
n fle
chas
.
Ex
pres
a la
med
ida
de lo
ngitu
d de
su
reco
rrid
o en
uni
dade
s ar
bitra
rias
a tra
vés
de s
u cu
erpo
: pas
os, p
ies,
bra
zos
o co
nven
cion
ales
(met
ro).
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s y
ubic
acio
nes
usan
do
com
o re
fere
ntes
obj
etos
y lu
gare
s ce
rcan
os p
or lo
s qu
e de
be p
asar
.
Re
pres
enta
el r
ecor
rido
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spla
zam
ient
o y
la u
bica
ción
de
obje
tos,
de
form
a vi
venc
ial,
pict
óric
a,
gráf
ica
en c
uadr
ícul
as y
coo
rden
adas
de
filas
y c
olum
nas.
Ex
pres
a la
med
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ngitu
d de
su
reco
rrid
o en
uni
dade
s co
nven
cion
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(m
etro
y c
entím
etro
).
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s o
ubic
acio
nes,
usa
ndo
com
o re
fere
ntes
obj
etos
y lu
gare
s ce
rcan
os o
por
los
que
debe
pas
ar.
El
abor
a cr
oqui
s, m
apas
usa
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refe
rent
es p
aral
elos
, per
pend
icul
ares
y
oblic
uos,
par
a ub
icar
obj
etos
y e
xpre
sar
ruta
s
ubi
caió
n y
desp
laza
mie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s de
des
plaz
amie
nto
en
guía
s, p
lano
s de
ciu
dade
s ut
ilizan
do
refe
rent
es e
spac
iale
s y
otra
s re
fere
ncia
s.
G
rafic
a en
un
plan
o cu
adric
ulad
o la
po
sici
ón d
e un
obj
eto.
Elaboray usa estrategias
form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Em
plea
mat
eria
les
conc
reto
s o
inst
rum
ento
s, p
ara
reso
lver
pro
blem
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sobr
e fo
rmas
bid
imen
sion
ales
y
tridi
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sion
ales
con
el m
odel
o pr
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y au
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e.
U
sa o
bjet
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su
prop
io c
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de
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tos.
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rjeta
s, c
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ados
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cció
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Em
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ta m
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s co
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cion
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idim
ensi
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es:
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cons
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cuer
pos
geom
étric
os, f
igur
as c
on e
l m
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e se
gún
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ángu
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y la
sim
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div
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s m
ater
iale
s.
U
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sos
reci
pien
tes
com
o ja
rras
, en
vase
s de
bot
ella
s, re
cipi
ente
s gr
adua
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68 69
Descripción y algunos ejemplos de indicadores
Indicador de cuarto grado:
Identifica propiedades en los objetos del entorno según sus lados paralelos y perpendiculares, la forma de sus caras o sus bases, y los relaciona con prismas rectos.
descripción del indicador:
Este indicador propone que los niños exploren, visualicen y descubran en los objetos de su entorno propiedades geométricas relacionadas con la forma y el número de caras, bases y aristas, así como la relación entre estos, es decir, si las aristas son paralelas o perpendiculares, qué aristas son paralelas y cuáles perpendiculares, si las bases son paralelas, si tienen igual forma, si todas las caras son iguales, etc.
Los estudiantes a partir de un objeto de su entorno plantearán un modelo tridimensional utilizando materiales concretos (palitos y plastilina). Cabe señalar que se considera modelo tridimensional a las formas geométricas que tienen alto, ancho y largo (tres dimensiones).Se
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Tiene dos bases iguales cuadradas y son paralelas.
Sus caras opuestas son iguales y paralelas.
Las caras vecinas son perpendiculares.
Tiene caras laterales y son rectangulares.
Tiene forma de prisma rectangular.
Alfajores
cara
vértice
base
arista
70 71
Sofía ha elaborado un almanaque de escritorio y desea dibujarlo. ¿qué forma tiene el almanaque?
Ejemplo de indicador precisado:
Identifica propiedades en los objetos del entorno según sus lados paralelos y perpendiculares, la forma de sus caras o sus bases, y los relaciona con prismas de base triangular.
Veamos un ejemplo:
Las siguientes preguntas ayudan a evidenciar el indicador:
¿Cómo es el almanaque?
¿Tiene caras? ¿Todas las caras son de cartón? ¿Cuántas caras tiene?
¿Tiene pares de caras iguales? ¿Estas caras iguales son además paralelas? ¿qué forma tienen? ¿Son las bases?
¿qué forma tienen las demás caras? ¿Tienen la misma forma?
¿qué tipo de forma geométrica tiene dos bases iguales y paralelas?
Tiene dos bases de forma triangular y son paralelas.
Las caras triangulares son las bases.
Tiene tres caras de forma rectangular que no son paralelas.
Las otras 3 caras son rectangulares.
Es un prisma triangular, por la forma de sus bases.
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Domingo
Indicador de cuarto grado:
Emplea estrategias de recorte, armado de rompecabezas, instrumentos, así como la cuadrícula, para resolver problemas que impliquen simetría.
En el desarrollo de este indicador, los niños pueden hacer uso de diferentes estrategias, por ejemplo:
La técnica del recorte: para construir figuras simétricas se dobla un pedazo de papel y se procede a delinear una silueta y luego a cortarla. Al desdoblar el papel se obtiene una figura simétrica.
Armado de rompecabezas: a través del tangram se puede generar figuras simétricas.
Uso del geoplano: para formar figuras simétricas. Uso de la cuadrícula: una forma de completar o
reflejar una figura sobre un eje de simetría dado, es trazar una cuadrícula y sobre ella identificar la ubicación de puntos, vértices o líneas claves en la estructura de la figura.
Capacidad Elabora y usa estrategias
72 73
Indicador de cuarto grado:
Representa en forma concreta (sogas, geoplano, etc.) y gráfica (en cuadrículas) diferentes formas bidimensionales que tienen el mismo perímetro.
descripción del indicador:
Este indicador implica que los estudiantes realicen representaciones concretas y gráficas que les permitan apropiarse de la noción de perímetro y a la vez darse cuenta de que el perímetro es independiente del tamaño, superficie o forma de una figura.
El geoplano es un material estructurado muy útil para este trabajo, pero también el uso de cuerdas, sogas o lanas que permiten a los niño formar diversas figuras cerradas de diferentes formas y que encierran superficies distintas y tienen el mismo perímetro.
Representación concreta
Representación gráfica
En cuadrículas
Con cuerdas, lanas, sogas, hilos, etc. Con el geoplano
Con el mismo pedazo de lana formé también el
triángulo. Ambos tienen el mismo perímetro.
2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
El desarrollo de esta competencia posibilita a las personas ocuparse del diseño de estudios referidos al análisis de datos recogidos y la predicción o toma de decisiones a partir de los resultados obtenidos.
“La cultura estadística es la capacidad de interpretar, evaluar críticamente y comunicar la información estadística de los mensajes”.
Iddo Gal (2002)citado de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/75/Articulos_05.pdf
Para desarrollar esta competencia en el IV ciclo, los estudiantes se enfrentarán a problemas en los que será necesario plantearse preguntas apropiadas y coherentes con un tema de estudio, con el fin de recoger los datos pertinentes que los lleven a la resolución del problema. Es muy conveniente que los temas de estudio involucrados en los problemas planteados sean sencillos y de contextos cercanos, como son el personal y el escolar. Los niños deben estar en la posibilidad de recoger sus propios datos directamente, para ello elaborarán preguntas sencillas o encuestas cortas y aplicarán diversas estrategias para el recojo de esos datos.
La elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, pictogramas con escala y gráficos de barra simples implica saber cuáles son las variables cuyos datos han sido recogidos y reconocer si son cualitativas o cuantitativas. Esta forma de organizar los datos y sus relaciones moviliza la capacidad de matematizar en los estudiantes.
La lectura de la información que se obtenga en los gráficos realizados requerirá de la movilización de la capacidad de los niños de comunicar y representar, al describir la información y hacer comparaciones para responder las preguntas del problema planteado. Asimismo a partir de la lectura de la información; podrán hacer supuestos y sacar conclusiones.
Las situaciones que se presenten deberán estar basadas en la frecuencia de eventos, de manera que los estudiantes puedan utilizar las nociones “posible”, “seguro” e “imposible”. Así, se iniciarán en las nociones de probabilidad e incertidumbre, al reconocer qué es un suceso, así como la frecuencia y posibilidad de ocurrencia.
Capacidad Comunica y representa ideas matemáticas
En todas las formas de representar las figuras tienen el mismo perímetro.
Material reciclado por las instituciones educativas finalistas Campaña de reciclaje 2015
Tipos de material
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Pilas
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Papel
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76 77
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Indicador de cuarto grado:
Plantean relaciones entre los datos (cuantitativos discretos y cualitativos) en situaciones de contexto escolar, expresándolos en
descripción del indicador:La identificación de datos, en primer lugar tiene que ver con el problema a investigar, cuál es la población de la que se quiere recoger los datos. También se considera la categoría de los datos: mascotas, animales, frutas, colores, etc., reconocer las características de los datos; por ejemplo, si son mascotas, qué mascotas hay, de qué razas, etc. También implica reconocer que no todas los datos aparecen igual cantidad de veces y la información que se puede recoger es muy variada.
frecuencia: es la cantidad de veces que se repite un dato. Por ejemplo: 5 niños dijeron que les gustan los gatos, la frecuencia es 5.
datos cualitativos: expresan distintas cualidades, características o modalidad, y se expresan mediante palabras. Por ejemplo: deporte favorito, color, fruta o mascota preferida, número de orden en una premiación (primero, segundo, tercero…), etc.
datos cuantitativos discretos: expresan cantidades que se puedan contar. Por ejemplo: el número de hermanos, el número de años, la cantidad de ventas diarias, etc.
Expresar en tablas de doble entrada, pictogramas o diagramas de barras con escala implica dibujar o completar una tabla con cada tipo de dato y su frecuencia. Dibujar un ícono o pintar un cuadrito de la barra por la cantidad de veces que aparece un dato.
Veamos un ejemplo en el que se evidencia este indicador:
Se aplicó una encuesta a los niños y a las niñas del cuarto grado para saber cuál es su fruta preferida, pues tanto ellos como ellas desean elegir las que más les gustan a fin de preparar deliciosas mermeladas. Estos fueron los resultados:
Manzana: 6 niños y 6 niñas Mandarina: 12 niños y 18 niñas Naranja: 12 niños y 10 niñas Plátano: 18 niños y 16 niñas
Mostraremos los resultados a los padres de familia y se decidirá que frutas usar para la mermelada.
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Razona y argumenta generando ideas
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Capacidad Matematiza situaciones
78 79
Las siguientes preguntas y consignas ayudan a obtener el desempeño descrito en el indicador:
¿qué datos se han recogido?
¿A quiénes se les ha preguntado? ¿Se necesita saber la preferencia sobre la fruta de los niños y las niñas por separado?
¿Cuáles son los dos tipos de datos que se deben considerar para organizar la información?
Elabora una tabla en la que se muestren los datos obtenidos.
Para visualizar cómo se comportan los datos recogidos y poder interpretarlos, ¿qué gráfico puedes elaborar? ¿Vas a elaborar un gráfico para las niñas y otro para los niños?, ¿necesitas la información por separado?
Para elaborar los gráficos de barras, ¿cuántos niños representa un
FRUTA PREFERIDA
Manzana Mandarina Naranja Plátano
Niños 6 12 12 18
Niñas 6 18 10 16
Núm
eros
de
niña
s
Manzana
2
4
6
8
10
12
14
16
18
NaranjaMandarina Plátano
tipos de frutas
En la tabla debo considerar a los
niños, las niñas y las frutas.
frutas preferidas por las niñas
¿Crees que los gráficos muestran el problema y sus datos?
En ambos gráficos puedo ver cómo se comportan los datos
para tomar decisiones adecuadas y solucionar el problema.
Núm
eros
de
niño
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Manzana
2
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12
14
16
18
NaranjaMandarina Plátano
Indicador de cuarto grado:
Describe información contenida en tablas de doble entrada, pictogramas o gráficos de barras.
descripción del indicador:
En este grado los estudiantes conocerán cada una de estas representaciones de los datos como las tablas de doble entrada, pictogramas o gráficos de barras y saber organizar la información obtenida que ellos presentan.
Capacidad Comunica y representa ideas matemáticas
frutas preferidas por los niños
tipos de frutas
80
Las siguientes preguntas propician el desarrollo del desempeño descrito en el indicador: ¿Cuál es el título del gráfico? ¿qué información muestra el gráfico de barras? ¿qué significan los ejes o las líneas verticales y horizontales? ¿qué datos hay en cada uno de los ejes? ¿Cómo está graduado el eje vertical? ¿qué significan las barras pintadas? Describe lo que pasa en el mes de enero y febrero y en los meses de
julio y agosto. ¿qué preguntas podrías hacer a partir del gráfico?
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ENE FEB MAR JUNABR MAY JUL AGO SET OCT NOV DIC
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Meses del año
LAS LLuVIAS En HuÁnuCo
Los estudiantes de un colegio de Huánuco desean elegir el mes en que realizarán el principal paseo del año. Como en esa región llueve algunos meses, analizarán la frecuencia de las lluvias del año anterior, así evitarán elegir un mes en que se produzcan lluvias que puedan afectar el paseo.
Analiza con ellos el gráfico de barras y sugiéreles dos meses en los que puedan viajar sin problemas de lluvia.
Asímismo, se espera que interpreten la información organizada en cuadros de doble entrado o gráficos de barras con el fin de utilizarla para resolver problemas.
Para describir, leer o interpretar un gráfico de barras, se debe orientar a los estudiantes a fin de que identifiquen, el sentido (significado) de los ejes, el valor de la graduación de los ejes y la cantidad que representan cada una de las barras.
Veamos un ejemplo en el que se evidencia este indicador:
81
3. Orientaciones didácticas
3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
1. Visita al mercado o a la tienda de artefactos para resolver y formular problemas
Descripción
A partir de esta situación se generará un conjunto de actividades para hacer matemática en contextos reales, relacionados con los números naturales y las fracciones. Esta actividad permitirá generar problemas para recoger datos e información sobre los productos, cantidades que se venden, precios de los productos, organización del mercado, etc. En el desarrollo de las actividades surgirán muchas situaciones auténticas en las que la matemática se presentará como algo real e integrado al quehacer cotidiano del estudiante dando mucho sentido a su aprendizaje.
Para desarrollar esta actividad es necesario contar con el apoyo de los padres de familia para organizarse y velar por la seguridad de los niños. También se requiere del permiso de los administradores de la tienda o vendedores del mercado para que los estudiantes puedan ser atendidos con amabilidad.
Relación con las capacidades e indicadores
El propósito de esta actividad es que los niños matematicen al plantear un problema y expresarlo en un modelo de solución aditivo o multiplicativo; comunican y representan al registrar y expresar de diversas formas los precios de los productos; elaboran y usan diversas estrategias de cálculo escrito o mental al resolver los problemas y razonan y argumentan cuando explican en forma coherente y clara sus procedimientos y evalúan si los resultados son factibles de ser reales.Esta actividad también puede estar relacionada con desarrollar la competencia relacionada con las formas, pues los chicos pueden elaborar una maqueta del mercado o un croquis de ubicación.
3.1.1 Estrategias para la construcción del número
82 83
Aplicación de la estrategia
Aplicación 1. Visitan al mercado para recoger datos
El propósito es que los estudiantes escriban y recolecten la mayor información posible con respecto a: Productos que se venden. Precios de los productos. Tipo de venta de los productos, si se venden por paquete, atados, kilogramo,
litro, etc.
En grupos los estudiantes se organizan para recoger información de una sección del mercado o de un puesto, por ejemplo, la sección de abarrotes o el puesto de venta de papas verduras, haciendo las siguientes preguntas: ¿Cuántos puestos hay en la sección de abarrotes? ¿Cuántos tipos de granos o menestras hay? ¿Cuántos kilogramos venden por día? ¿Cuántos sacos de papa vende por día? ¿Y cuál es el costo? ¿qué instrumentos utilizan? En el puesto de abarrotes los productos los venden por ejemplo: por
unidad, por docena, por paquete, por kilogramo. Elabora una tabla donde se muestre cómo se venden los productos.
Aplicación 2. Elaboran el catálogo de los precios de los productos
Plantea a los estudiantes que elaboren el catálogo de precios de productos por categorías, por ejemplo: de ropa, artefactos, verduras, juguetes, etc. Y puedan escribir los precios de los productos usando tres o cuatro cifras.
Aplicación 3. Representan de diferentes formas
Solicita a los niños que representen el precio de los productos de distintas formas, usando billetes y monedas, Base Diez, el ábaco, usando descomposiciones aditivas o multiplicativas. Así por ejemplo:
El precio de una casaca de S/. 285 puede ser expresado de diferentes maneras:
Aplicación 4. Plantean y resuelven problemas
Solicita a los estudiantes que expongan en tablas, cuadros o esquemas y puedan formular y resolver problemas aditivos o multiplicativos.
Aplicación 5. Resuelven problemas usando diferentes estrategias
Propicia que los estudiantes resuelvan los problemas usando diferentes procedimientos o estrategias.
Aplicación 6. El cajero
Organiza a los alumnos en grupos de 5 o 6. Uno de ellos será el cajero y el otro su ayudante. Los demás son los clientes.
Cada cliente verá el catálogo y solicitará 2 o 3 artículos y dará al cajero la cantidad exacta que debe pagar por ellos. Los clientes no deben dar al cajero más de 9 monedas o billetes de una misma denominación.
El cajero y su ayudante verifican que le den la cantidad correcta y anotarán en un recibo el nombre del cliente, los precios de los artículos que compró y el total de cada venta.
La actividad termina cuando todos los clientes hayan entregado la cantidad exacta. La actividad puede repetirse con otros catálogos.
Aplicación 7. Los precios de los productos en tablas
A los niños, organizados en parejas o en tríos, se les pide que recojan los artículos de la mesa con sus respectivos precios.
Entregar una tabla como la que se muestra.
Completarán la tabla según el artículo escogido.
Formularán y resolverán problemas a partir de la tabla. Por ejemplo: Marisol quiere comprar 3 blusas. ¿Cuánto tendrá que ahorrar para comprarlas?
Expondrán sus problemas y sus procedimientos de resolución.
Con esta actividad se propiciará resolver problemas de proporcionalidad simple aplicando diversas estrategias para multiplicar.
Solicita a los estudiantes que organicen los datos recolectados en tablas o esquemas y pueda ser visibilizado por todos los estudiantes
Producto ¿cómo se vende?Costo por unidad, por kilogramo, por
paquete, etc.
Arroz Por kilogramo Costo por kilogramo S/. 3.00
Aceite Por litro
Cliente Artículos Precio
Marisol 1 chompa1 par de zapatos
S/.56S/.79
Total S/.135
En sumandos Descomposición multiplicativa Según su valor posicional
200 + 80 + 5 2 × 100 + 8 × 10 + 5 2C 8 D 5 U
Otras formas no usuales
100 + 100 + 80 + 5
100 + 100 + 50 + 30 + 5
Otras formas no usuales
2 × 10 × 10 + 8 × 2 × 5 + 5
Otras formas no usuales
2C 7D 15U
1C 17 D 15 U
Cantidad de polos
Precio (S/.)
1 15
2
3
4
5
6
S/. 15
S/. 2S/. 8
Recibo
84 85
Paso 5. Simbolización. Se pide a los estudiantes que describan el proceso y sus representaciones usando primero lenguaje materno o coloquial, para luego reemplazar algunas palabras por lenguaje matemático.
Paso 6. Generalización. El maestro orienta la construcción formal de la matemática a partir de los hallazgos y el trabajo de los niños. Además, el niño expone lo aprendido de manera segura usando lenguaje matemático y lo aplica a otros problemas, estudian las propiedades de la representación y las relaciones matemáticas.
Paso 1. Juego libre. El estudiante se familiariza con los materiales (las fichas y el esquema para que vaya descubriendo por sí mismo las propiedades matemáticas. Por ejemplo: que vaya descubriendo cuáles son los números pares e impares, ¿por qué se llaman así? ¿Por qué hay cuadrados y círculos? En el esquema, ¿cuántos números pares e impares hay? ¿qué pasa cuando sumas dos pares y dos impares?
Paso 2. Juego orientado. Se darán las reglas de juego según lo que se pretenda lograr. Realice preguntas para comprender el problema, por ejemplo: di el problema con tus propias palabras, ¿qué datos o información tienes? ¿qué es lo que se pide?
Paso 3. Abstracción. Los niños observan la regularidad en el juego, las relaciones matemáticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior. Pide a los estudiantes que creen un problema parecido al resuelto.
Las regularidades encontradas en este juego están relacionadas con que si sumas un par con un par, ¿qué obtengo?, ¿otro par? Comienza con ejemplos sencillos para que puedan generalizar, por ejemplo: 2 + 2 = 4; 2 + 6= 8; 8 + 2 = 10; de estos ejemplos podemos concluir que si sumamos un número par con otro par, me da un número par. ¿Y qué sucede con un impar más otro impar? ¿Y un número par con un impar? Proporciona ejemplos para que los niños conjeturen con respecto a estas relaciones y que luego sean verificadas con ejemplos. Pregunte también sobre todas las combinaciones posibles con los números pares e impares y cuáles según el esquema quedan descartadas.
Paso 4. Representación. Los estudiantes representan las regularidades matemáticas encontradas en un esquema. Por ejemplo:
Paso 1. Juego libre. El estudiante se familiariza con los materiales, y que vaya descubriendo por sí mismo las propiedades matemáticas en los materiales.
Paso 2. Juego orientado. Esta actividad estará orientada por el docente y se darán las reglas de juego según lo que se pretenda lograr.
Paso 3. Abstracción. Los niños observan la regularidad en el juego, las relaciones matemáticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior.
Paso 4. Representación. Se representa la regularidad o relaciones matemáticas en un gráfico o un esquema.
En este juego se aplican estrategias
de cálculo mental y la estrategia
heurística de ensayo y error, si es
que no se conoce el juego. También
se puede emplear la estrategia
de empezar por atrás. Luego de
jugar, se sugiere encontrar formas
diferentes de resolver el juego.
2. Juegos para aplicar o construir conocimientos numéricos
“En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia”.
Miguel de Guzmán (1984)“Juegos matemáticos en la enseñanza”. Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza
de las Matemáticas. Santa Cruz de Tenerife, 10-14 de setiembre de 1984. Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton.
Descripción
Los juegos numéricos constituyen una herramienta de ayuda para la construcción o aplicación de diversos conocimientos matemáticos. También permite desarrollar el pensamiento estratégico por lo que potencia el desarrollo de diversas estrategias heurísticas y usar estrategias de cálculo mental o escrito con los números naturales y las fracciones. Se recomienda usar los juegos numéricos para reemplazar a las planas de ejercicios.
La estrategia que aplicaremos es la de Zoltan Dienes.
Relación con las capacidades e indicadores
El propósito de esta actividad es que los niños matematicen al plantear un problema y expresarlo en un modelo de solución aditivo; comunican y representan al usar los términos técnicos de la adición; elaboran y usan diversas estrategias de cálculo escrito o mental al resolver problemas, y razonan y argumentan cuando elaboran conjeturas respecto a los resultados posibles. Además explican en forma coherente y clara sus procedimientos y resultados.
Aplicación de la estrategia
Aplicación 1. Pares e impares en la adición ¿Qué necesitamos?
Elabora fichas de cartulina o papel del 1 al 9, cuadrados para los pares y círculos para los impares, y así puedan mover las piezas sin necesidad de usar lápiz y papel.
Pasos de la estrategia de Zoltan Dienes
Reto: Coloca los números del 1 al 9 y realiza la adición que aparece en el tablero, colocando los números pares en los cuadrados y los impares en los círculos. ¿Cuántas formas diferentes has encontrado de solución?
impar + impar
par
par + par
par
par + impar
impar
86 87
Paso 5. Simbolización. Solicita a los niños que describan el proceso de solución e incorporen en su lenguaje los términos técnicos de la adición: sumandos y suma. De otro lado, también es preciso identificar el valor posicional de sus cifras y si es una adición con canjes o “llevadas”.
Paso 6. Generalización. Este juego numérico puede ser el punto de partida para hacer precisiones con respecto a las propiedades de los números pares e impares, a los términos técnicos de la adición y el valor posicional de sus cifras.
Cada jugador elige una fracción y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos dados y construye la fracción resultante. Si la fracción es equivalente a la que el jugador eligió, se anota un punto, si no es así, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.
Gana quien tenga más puntos después de 15 turnos.
a. Después de jugar algunas partidas, investiga qué fracción (o fracciones) merece la pena elegir para tener más posibilidades de ganar el juego.
b. Vuelve a jugar después de haber hecho la investigación. ¿Te ha ido mejor ahora?
Autores como Polya, Burton, Mason, Stacey y Shoenfield sugieren pautas para la resolución de problemas. Los siguientes pasos (García, 1992) se basa en los modelos de los autores.
Pasos de la estrategia
1. Comprender el problema Lee el problema despacio. ¿De qué trata el problema?
¿Cómo lo dirías con tus propias palabras?
¿Cuáles son los datos? ¡Lo que conoces! ¿Cuál es la incógnita? ¡Lo que buscas!
¿Cuáles son las palabras que no conoces en el problema?
¿Encuentras relación entre los datos y la incógnita?
Si puedes haz un esquema o dibujo de la situación.
2. Concebir un plan o diseñar una estrategia
¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?
¿Podrías plantear el problema de otra forma?
Imagínate un problema parecido pero más sencillo.
Supón que el problema ya está resuelto ¿Cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
¿Utilizas todos los datos cuando haces el plan?
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos.
¿Puedes ver claramente que cada paso es el correcto?
Antes de hacer algo, piensa: ¿qué consigo con esto?
Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que haces y para qué lo haces.
Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido
Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has averiguado.
Fíjate en la solución, ¿te parece que lógicamente es posible?
¿Puedes comprobar la solución?
¿Puedes hallar alguna otra solución?
Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que has hallado.
Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y plantear nuevos problemas.
Aplicación 2. El producto con nueve números Ordena las cifras del 1 al 9 sobre el esquema,
de forma que el producto resultante sea el correcto.
El objetivo de este juego es que se refuerce el algoritmo de la multiplicación, las tablas de multiplicar y los términos técnicos de la multiplicación.
Puedes buscar otros
juegos numéricos que
te permitan construir o
aplicar conocimientos
numéricos en el siguiente artículo: “Juegos numéricos”.
En: Suma, número 39,
2002.O en la página web
de Divulgamat. Centro
virtual de Divulgación
de las matemáticas.http://revistasuma.es/IMG/
pdf/39/107-109.pdf
Aplicación 3. dados y fracciones equivalentes
Es un juego para dos o más jugadores y se necesita un dado (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fracción, y otro dado cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizará para el denominador.
3.1.2 Estrategias para la resolución de problemas
88 89
¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?
Veamos el siguiente cuadro:
Problemas aritméticos elementales verbales (PAEV) sugeridos para el IV ciclo
Los problemas aritméticos nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en las cuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción) o al campo multiplicativo (multiplicación o división).
En el IV ciclo se recomienda el planteamiento de problemas aritméticos para la construcción y aplicación de las nociones de adición-sustracción-multiplicación y división.
Los problemas aritméticos pueden ser de una etapa en cuya solución se requiere solo de una operación, problemas aritméticos de dos etapas que requieren de dos operaciones y problemas de varias etapas en cuya solución se usan dos o más operaciones aritméticas.
Los problemas pueden ser de contexto real (ocurren efectivamente en la realidad) o factibles de producirse. También pueden ser fruto de la imaginación, sin base real.
Ejercicio Problema
Según las acciones
La actividad es simple y reproductiva.Apliquen un algoritmo, una fórmula, conocimientos ya adquiridos.
Requiere un tiempo de la comprensión de la situación.Diseñar estrategias y desarrollarlas.Evaluar sus resultados y consecuencias.
Cantidad y calidad
Resolver una gran cantidad de ejercicios no garantiza ser un buen resolutor de problemas.
Los buenos resolutores invierten tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados.
desarrollo de capacidades
Replican conocimientos aprendidos. Los desafía y los motiva a investigar, experimentar, hallar regularidades y desarrollar estrategias de resolución.
desarrollo de cualidades personales
Reproducir conocimientos, procedimientos, técnicas y métodos genera con el tiempo pasividad en los estudiantes.
Despierta una alta motivación y participación por querer resolver el problema.
Movilizan experiencias previas y conocimientos adquiridos.
Hacen supuestos, experimentan, trazan planes y, por último, sienten la satisfacción de haber solucionado el problema.
Orientaciones para el planteamiento de problemas
El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situación nueva,ante la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolución. Por ende, un problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en cuanto a sus propiedades intrínsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en una actividad orientada a la abstracción, la modelación, la formulación, la discusión, etc. (Isoda y Olfos, 2009).
un buen problema para la clase es aquel accesible a la mayor parte de los estudiantes y cuya resolución admite varios métodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si bien el proceso de exploración es lento, lleva a una comprensión más profunda (Isoda y Olfos, 2009).
Problemas aditivos de una etapa de adición o sustracción
Cambio (CA) Cambio 3 (CA3)Cambio 4 (CA4)
3.º grado
Cambio 5 (CA5)Cambio 6 (CA6)
4.º grado
Combinacion (CO) Combinación 1 (CO1)Combinación 2 (CO2)
3.º grado
Con cantidades hasta de tres cifras
Comparacion (CM)
Comparación 3 (CM3)Comparación 4 (CM4)
3.º grado
Comparación 5 (CM5)Comparación 6 (CM6)
4.º grado
Igualación (IG) Igualación 1 (IG1)
Igualación 2 (IG2)
3.º grado
Igualación 5 (IG5)Igualación 6 (IG6)
4.º grado
Rosa tenía algunos lápices y le dio a Carlos 6 y ahora tiene 9. ¿Cuántos lápices tenía Rosa?
90 91
Problemas aditivos de dos etapas en cuya solución interviene la adición o sustracción en forma consecutiva
Problemas aditivos-sustractivos. Los problemas admiten 16 posibilidades. Por ejemplo, se pueden combinar problemas deCambio-cambio (CA, CA),Cambio-combinación,Cambio-comparación.Cambio-igualaciónY en cada problema se dan 4 variantes referidos a las operaciones involucradas.Así en el problema de cambio-cambio hay 4 posibilidades de combinar las operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
Problemas con la misma estructura repetida y las operaciones de (+,+) (-,-); (+,-) (-,+).
Tenemos 8 problemas de:
(CA, CA) ; (CO, CO) ; (CM, CM); (IG, IG).
3.º grado
Problemas donde se combina la estructura y también se combina las operaciones (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).Así tenemos 16 problemas para cambio :
(CA, CA) y la combinación de las dos operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CA, CO): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CA, CM): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CA, IG): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
16 problemas para combinación:
(CO, CO) y la combinación de las dos operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CO, CA): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CO, CM): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).(CO, IG): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
4.º grado
Problemas aditivos de dos o más etapas o de varias etapas
Problemas donde se repite o se combina la estructura aditiva
Se combinan la estructura aditiva de tal manera que se repita, por ejemplo:
CA, CA, CA
4.º grado
Problemas de estructura multiplicativa de una etapa: multiplicación o división
Para este ciclo se desarrollarán dos tipos de problemas:
1. Multiplicación-división-razón Son problemas de proporcionalidad directa.
Multiplicación-razón 1
Multiplicación-razón 2
Multiplicación-razón 3
División partición-razón
División cuotición o agrupamiento.
3.º grado
2. Problemas de comparación
Multiplicación- Comparación en más
División-partitiva-comparación en más.
División agrupación-comparación en más.
3.º grado
4.º grado
Problemas aritméticos de varias etapas
Problemas en los cuales se resuelven por operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división.
Problemas de operaciones combinadas.
4.º grado
En Rutas 2013, se dio una
versión acotada y simplificada
de los tipos de problemas.
En esta versión 2015 se está
proporcionando una versión
más completa de estos tipos
de problemas y para efectos
didácticos, optamos por una
denominación más sencilla.
Sin embargo, autores
como Vernaud y Puig a los
problemas multiplicativos
los denominan de forma
diferente, por lo que se
sugiere ahondar en su
investigación.
Ejemplos de los problemas aditivos de una etapa
Describiremos los problemas aditivos-sustractivos sugeridos para el IV ciclo, en los cuales se darán sugerencias sobre los tipos de modelos de solución planteados con material concreto, pictórico y gráfico.
1. Problemas de cambio (CA)
Estos problemas presentan las siguientes características:
Se evidencian las acciones de agregar-quitar, avanzar-retroceder, ganar-perder.
La cantidad inicial y la que se agrega o quita son de la misma naturaleza.
Se parte de una cantidad inicial, la cual se modifica o se transforma en el tiempo para dar lugar a otra cantidad final.
Las cantidades están relacionadas a la cantidad inicial, al cambio o la transformación y a la cantidad final.
La cantidad inicial crece o la cantidad inicial decrece.
Surgen 6 tipos de problemas, según donde esté la incógnita o sean problemas para aumentar o disminuir.
A continuacion, describimos los problemas para el IV ciclo.
92 93
Cambio 3 (CA3)Se conoce la cantidad inicial y por una transformación se llega a la cantidad final, que es mayor que la cantidad inicial. Se pregunta por el aumento que es el cambio o la transformación a la cantidad inicial.Es un problema de sustracción.Sugerido para 3.er grado.
Esther tiene ahorrado 545 soles. Recibe una cierta cantidad por un trabajo extra; ahora tiene 638 soles ¿Cuánto le pagaron a Esther por el trabajo extra?
Modelo donde se expresa la operación a realizar, donde el primer sumando es el estado inicial, el segundo sumando es el operador o la transformación de aumento y el resultado es el estado final.
En este modelo la operación es una máquina que transforma números en otros números, mediante una ley determinada.
La operación 545 + ¿? = 638, se esquematiza por:
Cambio 4 (CA4)Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final, que es menor que la cantidad inicial. Se pregunta por la disminución que es el cambio o la transformación a la cantidad inicial.
Es un problema de sustracción.Sugerido para 3.er grado.
Andrea se compró una falda que medía 38 cm y le hizo un dobladillo para convertirla en minifalda y midiera 31 cm. ¿de cuántos centímetros es el dobladillo o la basta?
Cambio 5 (CA5)Se conoce la cantidad final y su aumento. Se pregunta por la cantidad inicial. Sugerido para 3.er y 4.° grado.
Pedro tenía algunos caramelos. nati le regaló 12 y ahora tiene 20. ¿Cuántos caramelos tenía Pedro al inicio?
Cambio 6 (CA6)Se conoce la cantidad final y su disminución. Se pregunta por la cantidad inicial. Sugerido para 4.° grado.
Rosa tenía algunos lápices. y le dio a Carlos 6 y ahora tiene 9. ¿Cuántos lápices tenía Rosa?
2. Problemas de comparación (CM)
Estos problemas presentan las siguientes características:
En este problema se comparan dos cantidades a través de “más que”, “menos que” y se establece una relación de comparación entre las dos cantidades.
Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas.
La diferencia es la distancia que se establece entre las dos cantidades o la cantidad en que un conjunto excede al otro.
Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que se compara con respecto al referente.
A continuación, se describen los problemas para el IV ciclo.545 638 ? 545 638
cantidad inicial
cantidad final
cambio?
38 31? 38 31
medida inicial
medida final
cambio?
Cantidad inicial de Pedro
Cantidad final de Pedro
12 más
? 20
Te regalé12.Tenía algunos caramelos.
Ahora tengo 9 lápices.
Me diste 6.Cantidad inicial
de RosaCantidad
final de Rosa
algunos menos
? 9
Comparación 3 (CM3)Se conoce la cantidad referente y la diferencia en más. Se pregunta por la cantidad comparada. Se conoce la primera cantidad, menor que la segunda y su diferencia en más respecto a ella. Se pregunta por la segunda cantidad.
Sugerido para 3.er grado.
Marisol tiene ahorrado 120 nuevos soles. Giovanna tiene 25 nuevos soles más que Marisol. ¿Cuánto dinero tiene Giovanna?
Modelo de solución longitudinal
Comparación 4 (CM4)Se conoce la cantidad referente y la diferencia en menos. Se pregunta por la cantidad comparada.Se conoce la primera cantidad, mayor que la segunda y la diferencia en menos de la segunda respecto a la primera. Se pregunta por la segunda cantidad.
Sugerido para 3.er grado.
Roger tiene ahorrado 80 nuevos soles. óscar tiene 15 nuevos soles menos que Roger. ¿Cuánto dinero ahorrado tiene óscar?
Modelo de solución
Comparación 5 (CM5)Situación en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en más de esta. Se conoce la primera cantidad, mayor que la segunda y la diferencia en más con la del primero. Se pregunta por la segunda cantidad.
Sugerido para 4.° grado.
Jesús mide 130 cm, 12 cm más que Juana. ¿Cuánto mide Juana?
120
25
Marisol Giovanna
?
+
80?
Roger Oscar
–15
130?
Jesús Juana
+12
?
120Marisol
Giovanna+25
le dio 6 a Carlos
94 95
Comparación 6Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en menos con la del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo.La primera cantidad es menor que la segunda cantidad.
Sugerido para 4.° grado.
Miguel pesa 48 kg, y pesa 9 kg menos que José. ¿Cuánto pesa José?
Multiplicación-razón 1.Repetición de una medida.Se da como dato una cantidad de determinada naturaleza y esta se repite un “número de veces”, se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.
Sugerido para 3.er y 4.° grado.
oscar lleva 8 envases de plástico y siempre lleva el mismo número de envases 4 veces a la semana. ¿Cuántos envases ha llevado en total durante la semana?
Modelo cardinal donde se expresa la cantidad:
Modelo longitudinal con regletas, el número como longitud.
También se puede expresar en un modelo de organización rectangular con cantidades y también en el geoplano (se cuentan 32 cuadraditos que sería el producto)
Modelo numérico
4 veces 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 4 × 8
3. Problemas de igualación (IG)
Estos problemas presentan las siguientes características: En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que” En este problema se trata de igualar dos cantidades. Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta
conseguir hacerla igual a la otra. Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación, pues
una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra cantidad.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación, describiremos los problemas sugeridos para el IV ciclo.
4. Problemas multiplicativos
Iniciar a los estudiantes en la multiplicación no es una tarea sencilla. Es conveniente reforzar lo realizado en el ciclo anterior, donde se generó la noción de doble como la suma reiterada de una misma cantidad y la noción de mitad como reparto en partes iguales. Encontramos tres tipos de problemas multiplicativos: los de proporcionalidad simple, de combinación y comparación. Para el IV ciclo se sugiere el trabajo con los problemas de proporcionalidad directa, es decir, que al aumentar o disminuir una o ambas medidas, el resultado aumenta o disminuye en la misma proporción.
A continuación, describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo:
Igualación 1 (IG1)Se conocen las dos cantidades a igualar. Se pregunta por el aumento de la cantidad menor para ser igual a la mayor.
Es un problema de restar.
Sugerido para 3.er grado.
Marisol tiene ahorrado 26 nuevos soles. Giovanna tiene 17 nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles más tiene que ahorrar Giovanna para tener lo mismo que Marisol?
Igualación 2 (IG2)Se conocen las dos cantidades a igualar. Se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para ser igual a la menor.
Es un problema de restar. Sugerido para 3.er grado.
En un platillo de la balanza hay 27 kg, en el otro 18 kg. ¿Cuántos kg hay que retirar de la cantidad mayor para que la balanza se equilibre?
Modelo de solución con medidas
Igualación 5 (IG 5) Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (añadiendo o en más), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente.
flavio gana 645 nuevos soles. Si le dieran 120 soles más, ganaría lo mismo que Ernesto. ¿Cuánto gana Ernesto?
Igualación 6 (IG 6)Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (quitando o en menos), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente.
En el salón A hay 34 estudiantes. Si se retiran 6, habría la misma cantidad de estudiantes que en el salón b. ¿Cuántos estudiantes hay en el segundo salón?
S/. 26S/. 17
Marisol Giovanna
+?
2718
Cantidad mayor
Cantidad menor
120
645 Flavio Ernesto
¿?
–6
36 Salón A Salón B
¿?
18 kg
27 kg
1 vez 8 2 veces 8 3 veces 8 4 veces 8
8 columnas
4 fil
as
1 2 3 4 5 6 7 8
También se puede usar un
modelo lineal, usando la
línea o cinta numérica.
Plantea un problema
donde sea más adecuado
usar la línea o cinta
numérica.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
8
48
kg
?
–9
JoséMiguel
96 97
Multiplicación-razón 2Varios grupos de una misma cantidad.
Hay 2 cantidades de la misma naturaleza. Hay un grupo de objetos y en cada grupo hay otra cantidad de objetos de la misma naturaleza. El producto es de la misma naturaleza.
Hay 3 montones de manzanas. Cada montón tiene 7 manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en los 3 montones?
Modelo cardinal donde se expresa la cantidad.
Multiplicación-razón 3Producto de dos medidas.
En este tipo de problemas la relación de proporcionalidad está definida entre dos conjuntos de medidas (las pelotas y su precio). La presencia de la unidad (cada pelota cuesta 8 nuevos soles). Lo que se repite es la cantidad de soles según el número de pelotas.
El producto resultante es de la misma naturaleza que el multiplicador.
Roger compra 5 pelotas. Cada pelota cuesta 8 nuevos soles. ¿Cuánto dinero pagó?
Este problema también se puede expresar en un cuadro simple.
Así:
división-particiónPartición o reparto de los elementos del conjunto en partes iguales.
Dada una cantidad de naturaleza “A” (dividendo) y otra de naturaleza “B” (divisor). Se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.
Se resuelve con una división partitiva porque el dividendo se divide o parte en subconjuntos iguales.
Sugerido para 3.er grado.
María tiene 18 figuritas y desea regalar figuritas a sus tres amigos, de tal manera que a cada uno le toque la misma cantidad. ¿Cuántas figuras le corresponde a cada amigo?
La cantidad a repartir (dividiendo) son las figuras.Se reparte entre sus tres amigos, (divisor). Figuras y amigos son cantidades de diferente naturaleza.El cociente debe ser de la misma naturaleza del dividendo, es decir, la respuesta debe ser en figuras.
Modelo cardinal de solución, como reparto Al terminar de repartir una figurita para cada niño, se obtienen 6 figuras para cada niño.
Modelo longitudinal con regletas.
El dividendo es 18 (10 y 8) y el divisor es 3 (cuántas regletas de 3, entran exactamente en 18). El cociente es la cantidad de regletas de 3, es decir, 6 regletas de 3, corresponden exactamente con 18.
Modelo numérico, de restas reiteradas. Se puede restar 6 veces 3 de 18, hasta llegar a cero,
De esta manera, se ha restado 6 veces 3 de 18, luego 18 3 = 6
división cuotición o agrupamiento
El dividendo y el divisor son de de la misma naturaleza. Se pregunta por la cuota o parte. El resultado que es el cociente es de distinta naturaleza.
Sugerido para 3.er grado
Para pagar a sus empleados José tiene 960 nuevos soles, si a cada uno le paga 320 nuevos soles. ¿Cuántos empleados tiene José?
El dividendo es 960 nuevos soles. El divisor 320 nuevos soles. Ambas cantidades son de la misma naturaleza. Se pide el cociente que es la cantidad de empleados de José, por lo que es de distinta naturaleza que el dividendo y el divisor.
El modelo numérico de restas reiteradas, pagar a cada empleado 320 nuevos soles hasta llegar a nada, por lo que se resta 3 veces 320 de 960, luego 960 320 = 3.
Problemas multiplicativos de comparación.
En los problemas de comparación se utilizan los términos “veces más”, “veces menos”, “doble”, “triple”
Multiplicación o amplificación de la magnitud o comparación en más.
División partitiva o comparación en más. División por agrupamiento o comparación
en más.
pelotas precio (S/.)
1
2
3
4
5
8
16
?
3 grupos de manzanas
1239
–153
12
–183
15
– 936
– 633
– 330
–
18
98 99
de multiplicación (ampliación de la magnitud)
Comparación en más.
Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene de más. Se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.
La primera cantidad está contenida “n veces” en la segunda cantidad.
Sugerido para 3.er grado.
Juan ahorró 32 nuevos soles y su hermano Pedro logró ahorrar tres veces más dinero que Juan. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?
Este problema expresa la regla de proporción entre el dinero de ambos hermanos. 32 soles está contenido 3 veces en la cantidad de Pedro.
El problema se puede expresar a partir de estos modelos donde se expresa la cantidad a través de esquemas.
También se puede expresar como un modelo funcional, ya que se puede considerar cada operación como una máquina-operador que transforma estados.
división partitiva(comparación en más)
Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene de más (divisor). Se pregunta por la cantidad resultante (cociente) que es de la misma naturaleza que el dividendo.
La primera cantidad contiene “n veces” a la segunda cantidad.
Sugerido para 4.° grado.
Andrés tiene 45 años y es tres veces mayor que la edad de su hijo. ¿Cuántos años tiene su hijo?
A continuación, describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo.
32 ?x 3
S/. 32
S/. 32
S/. 32
S/. 32
Juan Pedro
3 veces más dinero que Juan
x 332
?
Juan
Pedro
división cuotitiva por agrupación (comparación en más)
Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor) se pregunta por el número de veces (cociente) que una es mayor que la otra.
Sugerido para 4.° grado
Anita tiene 14 años y su mamá 56. ¿Cuántas veces mayor es la mamá de Anita?
Es un problema de pura comparación, puesto que no hay nada que se parezca a un reparto. Y una de las cantidades está contenida exactamente en la otra “una cantidad de veces”. Se resuelve por una división pues la cantidad mayor se divide en partes o cuotas. No se da como dato la relación multiplicativa.
14Anita
56mamá de Anita¿Cuántas
veces está contenido 14 en 56?
mamá de Anita
56
Andrés
45
hijo3 veces mayor
3
?
Hijo ?
Andrés 45
Problemas aditivos de dos etapas Los problemas aditivos de dos etapas son los problemas cuyas soluciones implican solo sumas y restas, y en todos los casos, son necesarias dos de estas operaciones.
Caracterización:
Por las operaciones implicadas, los problemas aritméticos de dos etapas admiten cuatro posibilidades, que notamos mediante los pares ordenados: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).
Las categorías semánticas empleadas son las denominadas:Cambio (Ca), combinación (Co), comparación (Cm) e igualación (Ig). Si atendemos a las posibilidades que ofrecen estas cuatro estructuras en los problemas de dos etapas, encontraremos 16 opciones:
Ca, CaCa, CoCa, CmCa, Ig
Co, CoCo, CaCo, CmCo, Ig
Cm, CmCm,CaCm, CoCm, Ig
Ig, IgIg, CaIg, CoIg, Cm
100 101
Problemas de combinación-combinación (Co,Co)
( + , + )
Juntar-juntar las partes.
Implica realizar dos sumas consecutivas.
Mónica tiene figuras de animales, de las cuales, 14 son de mamíferos, 8 de aves y 7 de reptiles. ¿Cuántas figuras tiene en total?
Se puede expresar en un modelo de solución donde se evidencie las partes y otro modelo numérico donde se evidencie las operaciones a realizar entre las can tidades.
Los niños también podrían modelizar el problema usando las regletas de colores o la recta numérica.
( -, - )
Hallar las partes.
Implica realizar dos restas.
José tiene 40 figuras, de las cuales 12 son de mamíferos y el resto son de aves. de las figuras de aves, 5 son aves de la costa y las demás de la selva. ¿Cuántas figuras de aves de la selva tiene José?
Problemas de cambio-cambio ( CA, CA)
( + , + )
Agregar-agregar si son magnitudes.
Avanzar-avanzar si son posiciones de objetos de la misma naturaleza.
Implica realizar dos sumas consecutivas.
Mónica avanza en la primera jugada hasta el casillero 14, luego en la segunda avanza 7 casillas más y, finalmente, en la tercera jugada avanzó 8 casillas más. ¿Hasta qué casillero avanzó?
Problemas de comparación-comparación (CM, CM)
( + , + )Pedro tiene 23 carritos. José tiene 16 carritos más que Pedro y Juan 8 más que José. ¿Cuántos carritos tiene Juan?
( - , - )Lila tiene 25 cuyes. Rosalía tiene 12 cuyes menos que Lila y flora 4 cuyes menos que Rosalía. ¿Cuántos cuyes tiene flora?
Problemas de Igualación-Igualación (IG, IG)
( + , + )Pedro tiene 23 carritos. Para tener igual cantidad de carritos que fernando necesita que le den 8 más y para que fernando tenga igual que Santiago, le deben regalar 12 más. ¿Cuántos carritos tiene Santiago?
( - , - )Killa ahorró 35 nuevos soles. Para que Killa tenga igual cantidad que Illari debe gastar 13 nuevos soles y para Illari tenga igual cantidad que Joaquín tiene que gastar 7 nuevos soles. ¿Cuánto dinero tiene Joaquín?
Para ampliar la información, puedes consultar los siguientes artículos de investigación en la web:
Problemas aritméticos de dos etapas de Encarnación Castro, Luis Rico y Enrique Castro.
Problemas aritméticos de varias operaciones combinadas de Luis Puig y Fernando Cerdán.
Problemas con fraccionesEl sentido de enseñar los números racionales se crearon para resolver problemas que no puedan ser resueltos con los números naturales. Los números naturales y los racionales tienen características diferentes, por lo que en los primeros ciclos de la educación básica implica ciertas rupturas con lo que se aprendió respecto a los números naturales, y esto ya lo torna complejo. Por ejemplo, en los primeros grados se tiene la certeza que 2 es menor que 3; pero esta misma característica no se puede emplear con las fracciones al indicar, por ejemplo, que 1
2 es menor que 13 . ¿Cómo hacer comprender a los niños que
esta afirmación es errónea y que ya no funciona como en los números naturales? En tal sentido, se sugiere enseñar las fracciones en problemas de contexto real, que impliquen expresar repartos, medidas o relaciones entre las partes y el todo. En el enfoque de resolución de problemas se cambia la organización de enseñar por contenidos en forma aislada y desconectada por la enseñanza de las fracciones a partir de problemas; así los conceptos de fracción y su denominación, fracciones mixtas y equivalentes aparecerán de forma natural y relacionada, por lo que su aprendizaje queda garantizado y será duradero. Enseñar las fracciones de forma separada o aislada, puede resultar más fácil, pero es superficial y menos duradero, porque se olvida fácilmente aquello que no aparece relacionado dentro de una organización y donde las distintas nociones aparecen desconectadas.
animales
14 mamiferos
8 aves
7 reptiles
29
722
814
+
+
?
5?
1240
-
-12 mamif
40 figuras
5 costa
? selva
+ 8
14
+ 7
102 103
En estos problemas se utilizarán las fracciones para medir longitudes. Se proponen situaciones de medición donde la unidad no puede ser dividida una cantidad entera de veces. Con esto se provoca la necesidad de fraccionar la unidad. En el siguiente ejemplo, al utilizar la longitud de la tira roja (dos o tres veces), esta no corresponde exactamente en la tira azul.
Por ejemplo: ¿Cuál es la longitud de la tira azul? Solo usa la tira roja para medir.*
* Con el fin de poder manipular estos materiales, la tira azul debe medir 12 cm y la roja, 5 cm.
En estos problemas se pretende analizar si es posible seguir repartiendo lo que queda y además seguir repartiendo en forma equitativa.
Estos problemas se conectan con los conocimientos previos de los niños con respecto a la división, por lo que la “estrategia” de resolución es la división entre números naturales. analizar lo que sobra lleva necesariamente a que los niños sigan repartiendo, por lo que aparecerá de manera natural el concepto de fracción, donde ya los números naturales, no son pertinentes para dar la respuesta.
Por ejemplo: Se reparten 17 flores entre 4 mamás. Todas reciben la misma cantidad. ¿Cuántas flores le toca a cada una?
Problema 2: Se tienen 11 panes para repartir entre 4 niños. Todos reciben la misma cantidad. ¿Cuántos panes les toca a cada una?
Problemas de reparto
Problemas de medida
Si observamos, hay cantidades las cuales se pueden seguir repartiendo como en el caso de los panes, pero en el caso de las flores no. ¿Qué otras cantidades se puede repartir? Esas cantidades que se puedan repartir son objeto de este tipo de problemas, como los chocolates, alfajores, monedas y billetes, etc.
Dos modelos de solución, donde se observa el reparto de las cantidades y la partición de la unidad y también el modelo numérico.
Estos problemas donde a cada estudiante le toca una cantidad entera y una parte del chocolate que le sobra, permitirá establecer una primera definición de fracción. El partir el pan en dos mitades, servirá para verificar también que dos mitades forman la unidad o que 2 veces
12 equivale a 1. De otro lado, también servirá para expresar el resultado
según una cantidad entera y una fracción (número mixto). De la partición de uno de los panes que sobra, se observa que
12
= 24 (fracciones equivalentes).
Estos problemas favorecen la aparición simultánea de fracciones mayores y menores que el entero, y con iguales y distintos denominadores, lo que permite salir de la lógica según la cual es necesario enseñar primero un tipo de fracciones (por ejemplo, los menores que la unidad) para recién después utilizar otras.
Según esta lógica, permite ir configurando un entramado que vincule unas fracciones con otras, que pueda ir complejizándose y creciendo. Por ejemplo, al poder establecer conexiones entre medios y cuartos, octavos y medios, quintos y décimos, tercios y sextos, se amplia progresivamente el repertorio de fracciones usuales a otras fracciones con otros denominadores.
Por lo que corroboramos que a partir de un problema se puede desarrollar varios conceptos matemáticos relacionados a la fracción que están interrelacionados por lo que permite un aprendizaje significativo y duradero.
Si se utilizan solo números naturales, no es posible expresar cuántas tiras rojas se necesitan para medir la longitud de la tira azul, por lo que es necesario expresar el resultado en fracciones, y fraccionar la unidad, es decir, la tira roja. al relacionar la tira roja con la azul, podrás darte cuenta que la azul se corresponde con 2 unidades rojas y algo más. Para expresar ese algo más, hay necesidad de fraccionar la tira roja en partes iguales, de tal manera que se pueda determinar qué fracción sería.
otros ejemplos de problemas de medida.1. Dibuja una tira que mida la cuarta parte de la tira azul.2. Usando la tira roja como unidad, indica la medida de estas otras tiras.3. Si la tira roja representa de la unidad, ¿cuál fue la unidad utilizada? Y si la tira roja
representara 13 , determina la unidad utilizada.
2 + + 14
12
12
42-
2 enteros y 34
Para cada niño le corresponde:
Para cada niño 2 panes
34 de pan
104 105
En estos problemas se pone en juego reconstruir el entero a partir de una parte. Este tipo de problemas supera a los problemas de “mirar” un rectángulo partido en partes iguales, con algunas de esas partes pintadas.
Para esto se propone usar el tangram para realizar estas composiciones y descomposiciones del todo y las partes y viceversa.
Ejemplo:
Se sabe que este triángulo
representa 14
,del tangram. Dibuja la figura entera con esta misma pieza.
Componer una cantidad a partir de otras
Las posibles respuestas para este problema pueden ser las siguientes:
El tangram de 7 piezas es un recurso muy valioso para introducir a los estudiantes en las operaciones de adición y sustracción de fracciones. Para ello, recortamos las piezas del tangram y anotamos sus representaciones en fracciones.
Construye 4 rectángulos de estas dimensiones usando como unidad los cuadraditos: 5 × 4, 5 × 3, 6 × 4 y 6 × 3 usando papel cuadriculado. Recórtalos y construye con estas piezas otro rectángulo más grande.
Por ejemplo, si se quiere sumar 14 +
18 se cogen las piezas que representan dichas
fracciones:
Luego : 14 +
18 =
38 .
= 38
así:
Con las otras piezas del tangram, dibuja las posibles figuras enteras.
3.1.3 Estrategias para sumar o restar fracciones
3.1.4 Estrategias de cálculo multiplicativos
1. Sumar y restar con el tangram
1. La técnica de los recortados
14
18
116
+ =14
14
18
18
18
+ 18
18
18
18
14
14
116
116
18
106 107
Con todas ellas se puede obtener una cuadrícula de 11 × 7.
Luego 7 × 11 = 5 × 4 + 6 × 4 + 5 × 3 + 6 × 3. (Cada una de las partes)
Tambien: 7 × 11 = ( 5 + 6 ) ( 4 + 3) (observando todo)
Te toca a ti: multiplica 12 8 utilizando esta estrategia. ¿Hay una sola forma de hacerlo?
Tener un repertorio de estrategias de cálculo le permitirá al niño comprobar sus procedimientos de cálculo usando otros algoritmos.
El objetivo del cálculo mental
es que recurran a dibujos, uso
de material concreto u otros
procedimientos diferentes
al algoritmo (procedimiento
tradicional) para hallar la
respuesta.
3.1.5 Estrategias de cálculo mental
1. Con números naturales
2. Con fracciones
a. ¿Cuál es el número multiplicado por 5, que nos da 45?
b. multiplicaciones por 10 y 100 o 1000. Por ejemplo: 4 × 1000 ; 40 × 10; 12 × 100.
c. Divisiones entre 1000, 100 y 10, por ejemplo: 4000 : 1000; 4000 : 100; 4000 : 10
d. Por decenas enteras: 4 × 70; 15 × 30; 180 : 3; 180: 10
e. 3 × 19 = 3 × ( 20 – 1) = 3 × 20 – 3 × 1 = 60 – 3 = 57
a. ¿Cuál de las siguientes fracciones son mayores que un entero? Explica por qué.
¿Cómo puedes multiplicar 9 × 8 sin usar la tecla 8?Por ejemplo: 9 × 4 × 2. Usando la técnica de los recortados de la página anterior: 9 × 5 + 9 × 3 = 45 + 27 = 72.
, , , ,34
54
44
76
b. ¿Cuánto le falta a para ser igual a la unidad?
+ =12
+ =34
+ =23
+ =48
d. ¿Cuánto le falta a para ser igual a 2?
+ = 212
2+ =34
2+ =23
2+ =48
c. Calcula la fracción equivalente a:
=12
=13
=14 8
=24 8
2. La técnica de la reja o de la celosía
6 × 4
11
4
( 4 + 3 )
5 6
3
5 × 4
5 × 3 6 × 3
5 + 6
4
8
6
8
6 8 = 48
técnica de celosía
Multiplicamos: 356 84
Luego: 356 84 = 29904
sumamos
2
3
992
5
0
6
4
1
4
2
4(1)
2
4
2
0
0
8
44
8
El objetivo de realizar cálculos mentales, es que los niños a partir de la observación, puedan deducir la regla para calcular.Por ejemplo:5 × 10 = 50 escribimos el 5 y le agregamos un cero.5 × 100 = 500 escribimos el 5 y le agregamos dos ceros.5 × 1000 = 5000 escribimos el 5 y le agregamos tres ceros.En general, para cualquier caso:Escribimos el número y le agregamos la cantidad de ceros que tenga el 10, 100 o 1000, es decir uno, dos o tres ceros.
3. Usando la calculadora
108 109
Un patrón geométrico está relacionado con las formas y transformaciones geométricas. Estas transformaciones están referidas a que las figuras se reflejen (simetría), se trasladen, se muevan (traslación) o roten (giren o den vueltas).
Entendemos por patrón de repetición cuando los elementos se repiten en forma periódica o en forma reiterada, en dicho patrón o secuencia a los elementos que se repiten se les denomina núcleo de repetición
Actualmente, en todas las comunidades nativas de la selva se puede observar que hay una riqueza en la utilización de patrones geométricos en mantos, bolsos, cusmas, etc., lo mismo sucede en comunidades costeñas y andinas de nuestro país.
Los niños pueden iniciarse identificando patrones con simetría, al observar estos diseños en mantos, cenefas, colchas de tejido a crochet, etc.
Descripción
Un modo de descubrir patrones por simetría o “reflexión” es usando un espejo. Al colocar un objeto frente a este, los niños descubren la simetría de una figura geométrica en el reflejo de su imagen. Así los estudiantes pueden formar patrones de repetición con reflexiones.
Relación con las capacidades e indicadores
Con la estrategia del espejo, los niños serán capaces de identificar la simetría que presentan los elementos de una secuencia y determinar su conformación. De esa manera podrán matematizar al plantear relaciones entre los elementos de un patrón de repetición con simetría. Asimismo, podrán proponer nuevos patrones, al crear el núcleo de repetición con elementos concretos, utilizando el espejo para formar simetría por “reflexión”.
Aplicación de la estrategia
En esta actividad, utilizando figuras de triángulos rectángulos de colores en forma concreta, prueban varias posibilidades para construir patrones con reflexión “horizontal”. Esto significa que el espejo lo ubicará al lado de la última figura geométrica formada y podrán encontrar la posición de la figura y el color que tiene y así sucesivamente podrán armar cenefas, guardillas, frisos, etc.
¿Qué necesitamos? Figuras de triángulos equiláteros de colores en papel lustre en un sobre. Dos papelotes. Goma. Un espejo.
¿Cómo nos organizamos? Se forman grupos de trabajo y se les entrega un sobre con triángulos
equiláteros cortados previamente por los niños en varios colores.
Aplicación 1: Se pide a todos los grupos que en forma concreta (con los triángulos del sobre)
armen diversos diseños donde se evidencie la repetición de elementos (pegarán en un papelote). Pregunte: ¿qué criterio utilizaron para su diseño?, ¿necesitaron colocar los triángulos en una misma posición?, ¿cómo se combinaron los colores?, ¿qué tuvieron que hacer para seleccionar las piezas elegidas?
Orienta a que formen una figura con los triángulos y construyan la figura simétrica con ayuda del espejo, al colocarlo al lado de la figura, inclinada adecuadamente. Con la ayuda del espejo pueden seguir construyendo la secuencia.
1. Jugando con el espejo3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
3.2.1 Patrones de repetición geométricos con simetría
Los patrones considerados como una sucesión de signos orales, gestuales, gráficos, etc., que se construyen siguiendo una regla ya sea de repetición o de recurrencia.
Patrones o secuencias se pueden usar indistintamente. Otros autores usan el término patrón para designar estrictamente el núcleo de la secuencia.(Bressan y Bogisic, 1996)
Figura reflejada en el espejoEspejo
En este ejemplo el núcleo de repetición del patrón es de la forma AB.
¿qué pieza continúa?
A Ab b
110 111
Aplicación 2: Reproducción de una secuencia con el espejo Se les presenta el siguiente patrón en la pizarra con las piezas que previamente el
docente ha preparado. Los estudiantes observarán esta secuencia de banderitas y cada grupo la armará con el material que recibieron en el sobre. Colocarán el espejo en la última figura geométrica y reproducirán lo que observan en el espejo en el papelote, con el color y la posición del triángulo que aparecen en la imagen. Esta acción la repetirán en forma sucesiva hasta formar una franja significativa (8 repeticiones, aproximadamente).
Núcleo que se repite
Pregunte a los estudiantes: ¿qué pieza sigue? ¿qué figura formará? ¿Cómo te das cuenta que esa es la que sigue? ¿qué grupo de figuras da origen a la secuencia formada? ¿qué características
tiene? ¿Tiene un solo color? ¿Sí, no, por qué? ¿Está en la misma posición? ¿Podrían continuar con la secuencia sin utilizar el espejo? ¿qué tienen que tomar
en cuenta? ¿Pueden explicarlo?
DescripciónUn problema común en el tema de patrones es el de poder predecir qué elemento del patrón o qué pieza de la guardilla, loseta, etc., está en una determinada posición. Para resolver esta cuestión es muy útil codificar los elementos que se repiten en el patrón y tener en cuenta cuántos elementos tiene el núcleo de repetición. De esa manera sabremos que si el núcleo del patrón tiene 4 elementos, entonces cada 4 posiciones se repite el mismo elemento.
Relación con las capacidades e indicadoresEsta estrategia permite al estudiante elaborar y usar estrategias para ampliar patrones, codificando o usando una tabla y, además, desarrollar la capacidad de razonar y argumentar mediante la cual el estudiante hace supuestos para predecir qué pieza corresponde colocar en una posición muy posterior.
Aplicación de la estrategiaCon esta actividad se espera que los estudiantes consigan determinar cuál será la posición y el color del primer triángulo de la banderita n.° 34. Para encontrar un término desconocido en la secuencia, se puede optar por asignarle un símbolo (letra) a cada pieza o banderita.
DescripciónEl desarrollo del pensamiento variacional se inicia desde los primeros grados con el tratamiento de los patrones de repetición o numéricos, los cuales propician el abordaje de la generalización propia del álgebra. Para este proceso de generalización se tomarán en cuenta las indicaciones propuestas por Mason (1985).
Relación con capacidades e indicadoresLos estudiantes matematizan al identificar en una secuencia las regularidades que hay entre sus elementos y lleguen a expresar dicha secuencia como un patrón. Comunican y representan al usar el lenguaje matemático y sus diferentes representaciones.
Pasos de la estrategiaPaso 1. Percibir un patrónEn esta etapa se pueden presentar actividades con secuencias de figuras o de números, donde se solicite a los alumnos la figura o el número siguiente. Se espera que el alumno observe lo que está pasando de una figura a la otra, o de un número al siguiente y en esta observación el alumno perciba la regularidad.
2. Prediciendo elementos del patrón 3. Generalización de patrones
Con esta estrategia se puede codificar los elementos del núcleo del patrón de la siguiente manera:
Esta codificación nos permitirá saber si la banderita que seguirá en la secuencia será la que representa a los números impares (A) o la que representa los números pares (B).
Si es A (impar): la banderita empezará con el triángulo de color rojo.Si es b (par): la banderita empezará con el triángulo de color verde.
Es muy importante la mediación del docente que permita a los estudiantes encontrar la relación entre esta codificación y la posición de los elementos. El docente puede preguntar: ¿Cómo te ayudan estos símbolos a identificar elementos desconocidos? ¿Cómo identificarías la posición de un término desconocido en esta secuencia? ¿Es necesario elaborar una tabla u otro organizador de información? ¿Basta saber si son pares o impares? ¿Crees que te ayuda? ¿Cómo?
Si respondemos la interrogante planteada anteriormente, la banderita n.° 34 será de color verde en el lado izquierdo y rojo en el lado derecho porque corresponde al elemento b y es número par; si queremos averiguar cómo será la banderita n.° 67, basta identificar si es A o b; en este caso el 67 es impar, por lo tanto, la banderita será verde en el lado izquierdo y rojo en el lado derecho.
A1 2 3 4 5
A AB B
A 1
B 2
A 3
B 4
......
...
112 113
Paso 2. decir cuál es el patrónEl niño necesita expresar lo que observó y para ello es necesario incluir en las actividades preguntas que indaguen sobre cómo encontró la figura o el número siguiente y que comente este proceso con los demás compañeros. En esta reflexión puede percatarse si lo que dice corresponde a lo que se espera.
Paso 3. Registrar el patrónSe requiere que el niño exprese de forma sucinta con palabras dibujos o símbolos el núcleo de repetición. Este registro puede ser expresado en una tabla horizontal o vertical y es el punto de partida para elaborar supuestos. El registro del patrón puede iniciarse con oraciones donde se mezclen palabras, dibujos y símbolos. Paso 4. Prueba de la validez de las fórmulasEl alumno puede comprobar la regla de formación en la actividad de la que surgió parte del registro de los datos. La prueba se puede realizar con cálculos aritméticos, con dibujos o contando.
Paso 2. Expresando el patrónCuando el niño ejerce acción sobre los objetos (en este caso los corazones entregados son de distinto tamaño y con dos colores a la vez) ha tenido la posibilidad de identificar las características que le ha llamado la atención, lo cual también le ha permitido aislarlos y/o separarlos para encontrar las semejanzas y las diferencias. Ahora tiene la posibilidad de expresar sus acciones (pues ha comprendido), de identificar qué piezas conforman el núcleo del patrón, y describir qué relaciones encontró.
Paso 3. Registrando el patrón El niño registra o representa el patrón de varias formas. Puede hacer cuadros, asignar valores numéricos a cada pieza, letras u otras representaciones pictóricas.
Paso 4. Probando la validez de la fórmulaEn este nivel el niño tendrá que probar en otras situaciones que el núcleo que eligieron forma todo el patrón al repetirse. Es decir, que la regularidad hallada funciona y es válida. Para ello es necesario hacer un análisis cuidadoso del patrón observado, la identificación de las regularidades le ayudará a visualizar algunas relaciones, por lo tanto, estará en capacidad de hacer generalizaciones.
En este caso se observa que el núcleo tiene 6 elementos, es decir, que cada 6 posiciones se repite un elemento. Si queremos averiguar qué tamaño y qué combinación de colores tendrá el término 45 de la secuencia, tendremos que avanzar a partir del elemento 6, de 6 en 6 hasta llegar lo más próximo antes del 45. Entonces, tendremos: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42. Significa que a partir del término 43 comienza nuevamente el núcleo de repetición.
Esta fase de reproducción del patrón permite manipular las piezas, jugar y/o probar la posición y el orden de estas, las acciones realizadas ayudarán a que perciban de mejor manera el patrón.
Aplicación 1: Elaborando guardillas para decorar cuadrosUna situación cotidiana en la que son muy útiles los patrones es la decoración de un marco de fotos con guardillas en las que se utilizan patrones geométricos de repetición. Esta actividad consiste en elaborar un marco para un collage de fotos familiares o personales, el cual estará hecho de cartulina dúplex de color blanco.
¿Qué necesitamos? Fotografías pegadas en una cartulina dúplex de 20 cm por 30 cm. Tijeras, goma. Regla. Papel lustre de colores (verde y anaranjado). Moldes de corazones (grande y pequeño).
El docente puede iniciar proponiendo una secuencia gráfica o concreta que describa un patrón geométrico de simetría.
Paso 1. Percibiendo el patrónReproducen el patrón construido en la pizarra con ayuda de todos y del docente, con los materiales recibidos.
A B C D E F
1 2 3 4 5 6
Observan y reconocen las características de las figuras: ¿qué forma tienen? ¿Todas las piezas tiene el mismo color? ¿Cómo son los tamaños? ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? ¿Identifican el núcleo que se repite en el patrón? ¿De cuántas piezas está constituido ese núcleo? ¿Por qué creen que hay dos piezas en una misma figura? ¿qué relaciones encuentran? ¿El patrón está formado con un criterio de simetría? ¿Sí, no, por qué? ¿Cómo se dan cuenta de ello?
Se espera que los estudiantes respondan que el núcleo del patrón está constituido por 6 piezas y si tienen que simbolizarlo pueden asignarle, como en casos anteriores, letras: A-B-C-D-E-F. El patrón está formado con un criterio de simetría, a su vez se evidencian los criterios de tamaño y color. Hay corazones partidos por la mitad los cuales tienen dos colores (anaranjado y verde); también se observa que unos son grandes y otros pequeños; en algunos corazones está insertado un corazón pequeño, pero formado con colores que no se corresponden respecto al color de sus mitades.
43 44 45
114 115
Otra estrategia es la de usar una tabla
Se espera que los estudiantes comprendan que los patrones tienen un origen, que es el núcleo de repetición; una vez identificado este núcleo, es posible continuar con la secuencia, determinar términos desconocidos. Al asumir como base las regularidades encontradas, podrán llegar a generalizaciones.
A B C D E f
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
18
24
30
36
42
43 44 45
DescripciónEsta actividad se refiere a construir un mosaico, utilizando el proceso de teselado o teselación que es un patrón repetitivo de figuras geométricas. La “tesela” es cada pieza con la que se forma el mosaico; estas encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos. Estas teselas conforman una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana, de tal manera que no queden huecos ni se superpongan las figuras unas sobre otras. En este sentido, teselar es sinónimo de embaldosar o colocar cerámicos en una determinada superficie.Los estudiantes vivenciarán la actividad de “teselar” una superficie rectangular de 120 cm2. La dimensión de cada pieza o “tesela” es de 5 cm2.
Relación con capacidades e indicadoresEl estudiante tendrá oportunidad de matematizar al plantear relaciones entre los elementos que forman el patrón geométrico con criterio de simetría o traslación, también matematizará cuando propone diseñar un mosaico con diversos núcleos de repetición. Asimismo también razonan y argumentan al justificar o explicar sus supuestos sobre las relaciones encontradas o sobre el núcleo de repetición. De otro lado, con esta actividad los estudiantes realizan conexiones con las formas y la geometría, desarrollando su creatividad al diseñar patrones geométricos, combinando color, forma y tamaño de forma simétrica.
4. Construyendo mosaicos
Mosaico armado con teselas en forma simétrica (sala de espera de un consultorio médico).
Materiales Tijeras. Goma. Papel lustre para confeccionar cada “tesela” con cuadrados de 5cm en cada lado. Una cartulina. Regla. Modelos de “teselas” para cubrir la superficie con diseños geométricos. Por
ejemplo:
Desarrollo de la estrategia:
Paso 1. Formar grupos en el aula y designar responsabilidades. Confeccionar las piezas “teselas” de 5 x 5 cm en cada lado, con las que se cubrirá
la superficie solicitada. Deberán ser pintadas de colores (las piezas presentadas son referenciales).
Preparar la cartulina con las dimensiones solicitadas.
Paso 2.
Probarán varios diseños de núcleos para formar patrones. Este proceso requiere del acompañamiento y mediación del docente. ¿qué criterios de formación van a considerar? ¿Cómo ubicarán las teselas? ¿Cómo las tienen que colocar para que sean simétricas? ¿Una tesela se parece a una pieza de cerámica? ¿qué significa teselar?
Seleccionarán un diseño diferente (por cada grupo) del núcleo o estructura de base para construir el patrón con el cual empezarán a “teselar”.
Extenderán este diseño por toda la superficie solicitada (30 x 40 cm) sin que quede ningún espacio vacío.
Se puede orientar el trabajo con las siguientes interrogantes: ¿Lograron cubrir toda la superficie solicitada? ¿Cómo se ubicaron las piezas del mosaico? ¿Cuántas piezas de “tesela” han utilizado? Explica cuál es el núcleo o estructura base del patrón.
Paso 3.
Finalmente, se puede hacer un museo con las construcciones de mosaicos de todos los grupos.
Pueden elaborar distintos diseños por grupos y socializarlos.
116 117
Se espera que en esta teselación, los estudiantes formen un mosaico con 6 filas y 8 columnas de teselas (superficie de 30 40 cm2), utilizando cualquier diseño, explicando y justificando el proceso de formación del núcleo.
4. Juegos de estrategiasDescripción: El desafío de este juego consiste en que los estudiantes encuentren una regla que les permita determinar la cantidad mínima de movimientos que deben realizar para intercambiar de posición de fichas de dos colores en un tablero rectangular de 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, etc. Es así que buscarán la solución haciendo uso de diferentes estrategias heurísticas y habilidades con el propósito de identificar y determinar las reglas de formación de patrones aditivos y multiplicativos.
Relación con capacidades e indicadoresEl estudiante, en el proceso de resolución de este problema desarrollará con mayor énfasis la capacidad de matematizar. Significa que transformará el problema planteado a una forma matemática expresada en un modelo con expresiones aditivas y multiplicativas, para ello identificará la regla de formación de un patrón aditivo y multiplicativo.
Aplicación de la estrategia¿Qué necesitamos?
Fichas o chapas de dos colores, hojas cuadriculadas, regla y lápiz.
Resolvemos situaciones como la siguiente:
Entrega 8 fichas o chapas, 4 de cada color y una hoja cuadriculada. Sugiere que elaboren sus tableros en las hojas cuadriculadas teniendo en cuenta el tamaño de las fichas. Una de las estrategias a utilizar será la simulación usando material concreto (chapas y tableros). Permitirá vivenciar y experimentar el juego propuesto.
Dales un tiempo prudente para que intenten intercambiar de posición las 4 fichas de cada color. Promueve el análisis: ¿Cómo podemos hacer que el problema se haga más sencillo?, ¿cuántas fichas son más fáciles de intercambiar? Si tuviésemos una, dos o tres fichas de cada color, ¿cuántos movimientos se necesitarían?, ¿cómo sería el tablero, ¿cuántos casilleros se utilizarían? Los estudiantes deben justificar sus respuestas.
Propicia para que los estudiantes reflexionen y lleguen a la conclusión de que es más fácil resolver el problema cuando se tiene una ficha de cada color. que experimenten con una ficha, luego con dos fichas y finalmente con tres fichas de cada color. Los estudiantes deben comprender que con mayor cantidad de fichas y realizarlo con material concreto demanda mayor tiempo y que necesitan una estrategia que les permita determinar la cantidad de movimientos en el menor tiempo.
Sugiere que utilicen una tabla para que registren los resultados de cada situación experimentada. Por ejemplo: con 1 ficha de cada color se necesitan 3 movimientos como mínimo y con 2 fichas de cada color se necesita 5 movimientos como mínimo. Esta información se registra en la tabla.
Indica que observen la tabla y pregunta: ¿qué representan los números de la primera y segunda fila?, ¿observan alguna relación en los números?, ¿incrementan o disminuyen los números?, ¿en cuánto?, ¿cómo completaríamos los números de las columnas? Los estudiantes deben identificar que existe una regla de formación en las secuencias de ambas columnas. Además, deben establecer la relación (regla de formación) que existe entre el “número de fichas por color” y el “número de movimientos”, y deben expresarla en forma simbólica utilizando expresiones aditivas y multiplicativas.
que completen la información en la tabla para dar respuesta a las preguntas planteadas en el problema.
Edwin está jugando “saltos y brincos“ intercambiando todas las fichas amarillas en el lugar de las fichas verdes y las fichas verdes en el lugar de las fichas amarillas.
Para realizar el intercambio de fichas tiene en cuenta las siguientes reglas: Mueve solo una ficha a la vez, hacia una casilla vacía en dirección
horizontal, vertical o diagonal. No pueden coincidir dos fichas en la misma casilla.
Termina el juego cuando las fichas verdes y amarillas han intercambiado sus posiciones; es decir, las amarillas están ubicadas en la fila inferior y las verdes en la fila superior, esto se debe hacer en la menor cantidad de movimientos.
Después de varios intentos, Edwin aún no puede responder las siguientes preguntas:¿Cuántos movimientos se necesitan como mínimo para intercambiar de posición las 4 fichas verdes y las 4 amarillas?Si tuviera 10 fichas de cada color ¿cuántos movimientos haría?Ayudemos a Edwin a resolver este desafío!
número de fichas por
color
número mínimo de
movimientos
1 3
2 5
3 7
... ...
En la secuencia, los números se van incrementando de 2 en 2.
El algoritmo para determinar la cantidad mínima de movimientos: Duplicar el número de fichas por color y sumarle una unidad.
1 2 + 1 = 3
2 2 + 1 = 5
3 2 + 1 = 7
Juega con: Con una ficha
Con dos fichas
118 119
5. Descubriendo patrones aditivos y multiplicativos en el tablero del cien
DescripciónEn esta estrategia se hará uso del tablero del cien para desarrollar actividades que
permitan a los estudiantes aprender sobre los patrones aditivos y multiplicativos.
Descubrirán patrones en los números que se encuentran distribuidos en la figura de
una cruz, la cual se formará en el tablero del cien. Luego, los estudiantes identificarán
las reglas de formación de patrones aditivos multiplicativos y a partir de ella propondrán
algoritmos de cálculo para determinar de manera rápida algunos elementos de la cruz
numérica.
Relación con las capacidades e indicadoresLos estudiantes durante el proceso de ejecución de las actividades propuestas,
desarrollarán la capacidad de matematizar, al identificar la regla de formación
en problemas de regularidad númerica, expresándolas en un patrón aditivo o
multiplicativo. Comunica y representa ideas matemáticas al utilizar lenguaje matemático
para describir la regularidad. Elabora y usa estrategias al emplear procedimientos de
cálculo para ampliar o crear patrones y razona y argumenta al explicar sus conjeturas,
procedimientos o resultados.
¿Qué necesitamos?
Tablero del cien numerado, chapas o fichas numeradas del uno al cien, hoja
cuadriculada y lápiz.
Aplicación de la estrategia
Indica a los estudiantes que formen en su tablero una cruz con cuatro chapas o
fichas como se muestra en la figura. Menciónales que llamarán a esta figura cruz
numérica 25, porque el 25 es el número que se encuentra en el centro de la cruz.
Motiva para que observen la cruz e identifiquen algunas regularidades entre los
números que se encuentran en dicha figura. Por ejemplo:
Los números 24, 25 y 26 son consecutivos y se incrementan de 1 en 1.
Los números 15, 25 y 35 avanzan de 10 en 10.
Si ordenamos los números de las puntas de la cruz en sentido horario 15,
26, 35, 24 se observa que del 15 al 26 se incrementa en 11, del 26 al 35 se
incrementa en 9 , del 35 al 24 disminuye en 11 y si regresamos del 24 al 15
disminuye en 9.
Otra regularidad: al sumar 15 y 35 se obtiene 50 que es el doble del número
central de la figura, lo mismo sucede con 24 y 26 ambos suman 50 y es el
doble del número central.
Cada regularidad identificada por los estudiantes debe ser explicada y justificada.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Reta a los estudiantes a encontrar los números de las siguientes cruces: cruz
12, cruz 56, cruz 79 y que verifiquen si se cumple en ellas las regularidades
encontradas en la cruz 25. que comenten sus hallazgos.
Problematiza a través de preguntas: ¿cuáles son los números que conforman la cruz 48? ¿Cuánto suman los cuatro números ubicados en las puntas? ¿En qué cruz, al sumar sus cuatro números se tiene como resultado 336? ¿Cómo podemos responder de manera rápida estas preguntas sin observar el tablero? Dé el tiempo necesario para que propongan alternativas de solución a las interrogantes planteadas.
Sugiere a los estudiantes que hallen las sumas de los extremos de la cruz y que las organicen en una tabla. En la cruz 25, se tiene 100 = 15 + 35 + 24 + 26. Esto les permitirá establecer relaciones entre los números. Anímalos a formular sus propias reglas.
Finalmente, realiza preguntas para validar sus propuestas:¿Cuáles son los números que conforman la cruz 82?¿Cuánto suman los cuatro números de la cruz 29?, ¿cuáles son esos números?¿Cuál es el número de la cruz cuyo resultado de sumar sus cuatro números es 276?Cada respuesta debe ser explicada y justificada.
Rétalos a que investiguen otras regularidades en las cruces formadas, al sumar los cinco números, incluido el número del centro y que propongan algoritmos de cálculo.
número de la cruz numérica
Suma de los 4 números
25 100
12 48
56 224
…
25 4 = 100 o 100 ÷ 4 = 25
12 4 = 48 o 48 ÷ 4 = 12
56 4 = 224 o 224 ÷ 4 = 56
¿Cuál es la relación?
100 es el cuádruplo de 25 o 25 es la cuarta parte de 100
224 es el cuádruplo de 56 o56 es la cuarta parte de 224
48 es el cuádruplo de 12 o12 es la cuarta parte de 48
15
24 25 26
35
-9 +11
+9-11
15
24 25 26
35
120 121
Motiva que observen la distribución de los números en cada sector y que identifiquen alguna regularidad entre los números que lo conforman. Por ejemplo:
En el sector 3 3 de la imagen, el valor de la suma de los números que se encuentran en cada diagonal son iguales: 14 + 22 + 30 = 66 = 16 + 22 + 28.
Si sumamos los dos números ubicados en los extremos de una diagonal y la comparamos con la suma de la otra diagonal el resultado es el mismo número:
en el sector 3 3 sumamos 14 + 30 = 44 y la otra diagonal 16 + 28 = 44, se verifica que ambos resultados son iguales.
Al sumar todos los números que se encuentran dentro del sector seleccionado, el resultado es múltiplo de la cantidad de casilleros que tiene el sector, es decir,
si sumamos los números del sector 2 2 de la imagen 4 + 5 + 11 + 12 = 32,
este resultado es múltiplo de 4. Y si seleccionamos el sector 3 3, al sumar los números 14 + 15 + 16 + 21 + 22 + 23 + 28 + 29 + 30 = 198, el resultado es múltiplo
de 9. Esta regularidad se cumple para cualquier sector de la forma N N formada en el calendario.
Cada propuesta de regularidad que formulen los estudiantes debe ser explicada y justificada por ellos.
Motive a que todas las regularidades descubiertas las verifiquen en los diferentes meses del año. Cada hipótesis propuesta por los estudiantes debe ser verificada, explicada y justificada por ellos.
7. Jugando a los investigadores aprendemos sobre las equivalencias e igualdades
DescripciónA partir de un problema, los estudiantes manipularán siluetas de cajas, pesas, bolsitas,
latas o cilindros, para resolver el problema y establecerán equivalencias entre estos
objetos, al mantener en equilibrio una balanza.
Relación con capacidades e indicadoresLos niños matematizarán situaciones al identificar datos y relaciones de equivalencia;
razonan y argumentan al elaborar supuestos durante la búsqueda de equilibrio en
el peso de diversos objetos en una balanza, las cuales serán expresados mediante
igualdades en forma concreta, gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones
aditivas multiplicativas y del signo “=”.
Aplicación de la estrategia¿qué necesitamos?
Siluetas de cajas, pesas, bolsita, latas o cilindros.
6. Descubriendo patrones aditivos en el calendarioDescripciónHaciendo uso del calendario, los estudiantes
participarán en actividades como el análisis de
columnas y diagonales, demarcación de sectores
rectangulares (2 2, 3 3 y 4 4) o desplazamientos
(izquierda-derecha, arriba abajo), mediante
los cuales se promoverá que los estudiantes
identifiquen regularidades numéricas y determinen
las reglas de formación para expresarlos como
algoritmos.
Relación con capacidades e indicadoresLos estudiantes desarrollarán la capacidad de matematizar a partir de identificar
patrones aditivos en los números establecidos en el calendario que ellos seleccionen,
luego, identificarán las reglas de formación de los patrones descubiertos expresándolos
en algoritmos que permitan identificar algún elemento del patrón numérico.
Materiales: Calendario 2015, hoja cuadriculada, colores y lápiz.
Pasos de la estrategia:
Solicita a los estudiantes que seleccionen en
el calendario el mes de su preferencia. Diles
que observen la distribución de los números en
columnas y en diagonales, luego pídeles que
descubran qué sucede con esos números. Se
espera que identifiquen regularidades:
En las columnas, los números se incrementan de 7 en 7; esto se debe a que los
días de la semana son siete.
En las diagonales que van desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior
derecha, los números se incrementan de 8 en 8.
En las diagonales que van desde la parte superior derecha hacia la parte inferior
izquierda, los números se incrementan de 6 en 6.
Coméntales que continuarán identificando
regularidades en el calendario elegido. Pídeles
que marquen con colores los sectores que
tengan igual número de casillas por lado,
pueden ser de 2 2, 3 3 o 4 4, así como se
muestra en la imagen.
Lun. Mar. Miér. Jue. Vier. Sáb. dom.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
J u l i o
Lun. Mar. Miér. Jue. Vier. Sáb. dom.
1 2 3 4 5
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20 21 22 23 24 25 26
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J u l i o
Lun. Mar. Miér. Jue. Vier. Sáb. dom.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
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J u l i o
122 123
Asegura la comprensión del problema de equilibrio mediante las preguntas: ¿de qué trata el problema?, ¿explica con tus propias palabras?, ¿cuáles son las condiciones del problema?, ¿qué tenemos que averiguar?
Propicia que los estudiantes diseñen o adapten una estrategia a través de preguntas: ¿cómo podemos resolver este problema?, ¿alguna vez han resuelto un problema igual o similar?, ¿podemos utilizar algún material para resolver este problema?
Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes debe ser la simulación con material representativo.
Entrega las siluetas de cajas, latas y bolsita como las que menciona el problema, para que simulen el pesaje de los objetos que se indican y puedan establecer relaciones entre ellas.
Luego, rétalos a representar su solución mediante simbolos o formas geométricas.
Presenta el problema garantizando que todos los estudiantes lean:
RELACIONAR PARA DESCUBRIRUn buen detective, además de ser un gran observador, debe saber
relacionar sus pistas y elaborar conclusiones. ¿Te pones a prueba?
1. qué objetos del primer platillo se equilibran con el segundo platillo?
2. ¿Cuánto pesa la bolsita?
2.a fase. orientación dirigida
Orienta el diálogo sobre el juego, ¿en qué consistió el juego? ¿qué cambió en los niños que visitaron a las parejas? ¿Cómo puedes representar el juego usando el geoplano?
Representan en el geoplano la ubicación de las parejas que no se mueven, con ligas de un color. También representan cada parada de los niños que preguntan, con ligas de otro color, de manera que se marque su
recorrido.
Se tomarán en cuenta las fases de aprendizaje de Van Hiele para orientar el proceso de aprendizaje de la geometría.
1.a fase. discernimiento o informaciónLos estudiantes se familiarizan con el juego y dialogan sobre lo que están aprendiendo, sobre sus habilidades y conocimientos puestos en juego.Ya en el aula, reciben los materiales (bloques lógicos, poliedros desarmables, geoplano, cuadrículas, regla), los observan y dialogan sobre la utilidad que podrían darle.
Se espera que los estudiantes digan con sus propias palabras que el único cambio que se
produjo fue que los
niños se trasladaron
sucesivamente de un
lugar a otro.
3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
3.3.1 Estrategias didácticas1. Juego “¿tiene mantequilla?… en la otra esquinilla”, para
realizar traslacionesDescripciónEl juego consiste en que dieciocho niños en parejas se distribuyen formando un cuadrado, en una parte del patio. Otra pareja de niños que la denominaremos “A” que no forma parte del cuadrado, pregunta a una pareja de niños que forma el cuadrado : “¿tiene mantequilla?” y esta pareja responde: “en la otra esquinilla”; en ese momento la pareja “A” se separa y uno de ellos avanza en sentido de las agujas del reloj y el otro niño avanza en sentido contrario. La ronda termina cuando se juntan los dos niños nuevamente. Gana el juego el que logró preguntar a más parejas que forman el cuadrado. Se intercambian los roles con otra pareja y el juego se repite algunas veces más.
Relación con capacidades e indicadoresEl propósito de esta actividad es que los estudiantes matematicen situaciones al identificar características y condiciones de los objetos, expresándolos en una figura que se traslada usando material concreto y una cuadrícula.
¿qué necesitamos? Bloques lógicos, poliedros desarmables, geoplano, cuadrículas, regla.
Pasos de la estrategia
Seis cajas se equilibran con tres latas.
Gráfico de disposición de los niños en el patio
pareja A
124 125
4.a fase. orientación libre
Realizan otras experiencias de traslación con objetos en la cuadrícula.
Ejemplo:
Hacen volar su cometa, observan y expresan lo que pasa con ella.
Representan lo observado en el geoplano con un punto.
Grafican la cometa en la cuadrícula e identifican con una letra mayúscula todos los puntos a trasladar.
Determinan el desplazamiento. Por ejemplo: 5
Es decir cada punto de la cometa se traslada 5 hacia abajo.
Grafica la cometa en su nueva ubicación y completa los puntos a los que ha sido trasladada. Ejemplo: A A , B …, C …, D ….
Orienta la observación y explicación de las traslaciones representadas en el geoplano y cuadrícula con apoyo de preguntas como: ¿hacia qué lado se ha trasladado la cometa? ¿Cuántos cuadraditos se han trasladado?, etc.
En la traslación o desplazamiento se conservan las características de tamaño
y forma de los objetos
porque solo cambian de
lugar.
Ahora representamos en la cuadrícula, la ubicación inicial y el movimiento de los niños Susy y Mario.
Representamos a Susy con una línea verde y a Mario con una línea roja, el
desplazamiento que realizaron.
3.a fase. Explicitación
Observamos y explicamos cómo se ha movido cada uno.
Ejemplo:
Susy avanzó hacia adelante 8 pasos y hacia su derecha 4 pasos y Mario avanzó 5 pasos hacia adelante y 8 pasos hacia su izquierda.
Simboliza la traslación:
1.a fase: Exploración, los estudiantes en esta fase salen a observar sin mayores indicaciones del docente, se familiarizan con los materiales, esto permite concentrarse exclusivamente en lo que hacen y también descubrir propiedades matemáticas.
5.a fase. Integración
Considerando que en esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las operaciones que hasta el momento han sido trabajados pero no dichos explícitamente, conceptualizaremos la noción de traslación con la participación de los estudiantes.
La traslación es el movimiento que se hace al desplazar o deslizar una figura en línea recta sin cambio de
orientación, manteniendo su forma y tamaño.
Pasos de la estrategia para aprender según Van Hiele
B
C
D
A’
B’
A
¡Hay poco viento, mi cometa se está cayendo!
Susy: 8 4 Mario: 5 8
5
2. Construyendo la noción de superficie y área de un rectángulo con los pasos de Van Hiele
Descripción En esta actividad los estudiantes a partir de la vivenciación, mediante el cubrimiento de
superficies de diversos objetos con diferentes unidades de medida convencionales y no
convencionales, usando diferentes materiales, comprenderán la noción de superficie y
área y calcularán superficies rectangulares. El conjunto de las actividades propuestas
usando los pasos propuestos por Van Hiele permitirá construir la noción de superficie y
área con unidades arbitrarias y convencionales.
Relación con las capacidades e indicadores Con esta actividad el estudiante tendrá oportunidad de matematizar situaciones al
identificar características de los objetos de su entorno y lo expresa en un modelo basado
en rectángulos; comunicará y representará ideas matemáticas referidas al rectángulo
al representar en forma concreta y gráfica diferentes superficies, utilizando material
concreto como unidades de medida. Además elaboran y usan estrategias al usar
unidades patrón como los cubitos para cubrir su superficie y determinar el área y en
este proceso también se propiciará que razonen y argumenten al elaborar conjeturas
sobre sus procedimientos de cálculo para medir la superficie de las figuras y finalmente
expresarán el proceso vivido, justificando y argumentando sus respuestas.
¿Qué necesitamos?
Papel periódico, hojas bond, cuadrados de cartulina, poliedros desarmables, geoplano,
regletas de colores, Base diez
Papel cuadriculado, escuadra, regla.
126 127
Proporciona a cada grupo de estudiantes, hojas de papeles periódicos,
cuadrados de cartulina del tamaño de una loseta. Los estudiantes organizados
en grupo salen fuera del aula con la misión de observar los espacios u objetos de
la escuela y cómo estos son cubiertas por losetas, papeles decorativos, papeles
lustres, adobes, etc.
Es importante que verbalicen y describan lo que han observado, aunque estas
observaciones sean imprecisas que es característico de este nivel de pensamiento
geométrico, los estudiantes captarán varios indicios como por ej, “se parece a…
“, “tiene la forma de…”, “es como…”, porque tienen limitaciones para describirlas
con propiedades matemáticas. Es una etapa de reconocimiento.
Se espera que los estudiantes puedan usar los materiales para cubrir las
superficies de los objetos y puedan estimar la cantidad de papeles o losetas que
necesitarían, por ejemplo, para cubrir el mural o el aula, es decir, calcular el área
de la superficie en unidades arbitrarias.
2.a fase: orientación dirigida, en esta fase, se propone una secuencia graduada de
actividades a realizar y explorar, y se establecen las normas y reglas orientadas para la
construcción de las ideas matemáticas. Las actividades deben ser variadas, ya que el
concepto y los procesos no se construyen de la misma manera y a igual velocidad en
todos los estudiantes.
En este caso se proponen las siguientes actividades:
Solicita a los niños que seleccionen uno de los objetos encontrados como por
ejemplo: la pizarra, el mural de la escuela, la puerta, una pared, el piso, etc. y este
sea cubierto con distintas unidades patrón y calculen el área. Así por ejemplo,
podrían medir la superficie de la pizarra usando hojas periódicos, hojas bond y
papeles o cartulinas cuadradas o los cuadrados de los poliedros desarmables.
Indicar además que la medida no será exacta, así que podrían expresar la
medida de esta manera: 8 hojas y un poco más o 8 hojas y la mitad de una hoja o
casi la mitad de una hoja, etc. También se podría reflexionar sobre cual figura nos
puede proporcionar un cálculo más exacto si los rectángulos o los cuadrados.
3.a fase: Explicitación, una vez realizadas las experiencias, los estudiantes expresan sus resultados y comentarios. Durante esta fase se estructuran en esquemas o gráficos el sistema de relaciones halladas, y se espera que utilicen lenguaje matemático apropiado.
Pregunta a los estudiantes las características del rectángulo. Se espera que reconozcan que el rectángulo tiene dos pares de lados paralelos y que un par es más largo que el otro par y que además estos lados paralelos son iguales.
A partir del cubrimiento de las superficies con diferentes objetos como las hojas, cuadrados de los poliedros o con las cartulinas cuadradas, se han realizado acciones para cubrir la superficie y dicha acción es medir la superficie y a este resultado le denominamos área. También hay que ayudarles a precisar que los resultados de dicha medida se expresan con un número acompañado de la unidad patrón que sirvió para medir, por ejemplo si midió con papeles, la medida será: el área de la pizarra es un poco más de 8 hojas, el área del rectángulo mide 8 cuadraditos o 20 cubitos, etc.
Esas medidas podrían ser expresadas en una tabla.
Las piezas de los poliedros desarmables, podrían actuar como unidades patrón y cubrir superficies.
Un cuadrado representa la unidad de medida, entonces la cantidad de cuadrados al interior del rectángulo
representan la medida del área.
Un cubito de 1 cm de lado representa un centímetro cuadrado, entonces
la cantidad de cubitos es el área del rectángulo.
Propicia que los niños representen uno de los objetos encontrados, en el geoplano y luego en un papel. A partir de esta representación realizada por los estudiantes, solicite que cuenten los cuadrados al interior del geoplano y esta será la medida del área. También solicita que dibujen en un papel en blanco la figura y luego esta que sea cubierta con cubitos del material Base Diez o con las regletas de Cuisenaire y puedan así primero estimar la cantidad de cubitos que cubren la superficie (al ojo) y luego calculen el área verificando su estimación con los cubitos o las regletas.
objeto a medir su superficie
unidad patrón usada
Medida (área de la superficie)
Respuesta
Carpeta Cuadrados (de los poliedros)
25 cuadrados 25
El área de la carpeta es 25
16 cm de lado
128 129
4.a fase: orientación libre, los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos de forma significativa en situaciones distintas a la presentadas, pero con estructura comparable. Esta fase proporciona la práctica adecuada para aplicar los conceptos adquiridos que han sido construidos.
Plantea a los estudiantes cubrir superficies, por ejemplo: deseas cubrir el mural del salón con banderitas, ¿cuántas banderitas necesitarás?
Y si deseas cubrir la portada de tu cuaderno con cuadrados de colores, ¿cuántos cuadrados necesitarías?
Presenta actividades en el geoplano y en cuadrículas para hallar el área de rectángulos y otras figuras que impliquen calcular el área en unidades cuadradas y en centímetros cuadrados.
Solicita que construyan superficies cuya medida sean 20, 22, 23, 24 y 25 cuadraditos. Pregunta en qué casos son rectángulos y en qué otros casos son otro tipo de figura.
En estas figuras, en qué caso puedes hallar el área contando o descomponiendo la figura para convertirla en rectángulo.
5.a fase: Integración, considerando que en esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las operaciones que hasta el momento han sido trabajados pero no dichos explícitamente, conceptualizaremos la noción de superficie y área.
En este caso planteamos preguntas para que los niños planteen conjeturas sobre los procedimientos empleados para calcular la superficie de un objeto y de una figura, ¿será lo mismo medir la superficie o calcular el área de la superficie de un objeto real? ¿será lo mismo calcular el área en el geoplano o en una cuadrícula con medidas específicas?
¿Cómo podrían generalizar para calcular el área de superficies rectangulares?¿qué estrategias utilizarán? En este caso se espera que los estudiantes usen diferentes estrategias para calcular el área: contando cuadraditos o unidades patrón, completando una figura para convertirla en rectángulo o expresando la solución en una multiplicación.
Por ejemplo, en este caso, el paralelogramo está compuesto por un rectángulo y dos triángulos, uno de los cuales pasa a completar una parte para formar el rectángulo.
Aplicación de la estrategia:
Dibujen en un papel cuadriculado estas dos figuras, de tal manera que tengan la misma altura y el mismo largo. ¿quién
tiene mayor área?
Largo
Altura
130 131
3. Estrategias con dobleces de papel
Descripción Haciendo dobleces al papel podemos construir variados objetos, animales o personas y
desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos. También con esta entretenida
actividad podemos desarrollar la psicomotricidad fina así como la percepción espacial y
otras habilidades como saber escuchar indicaciones.
Relación con las capacidades e indicadoresEl propósito es que los estudiantes desarrollen las capacidades de: comunicar y representar
ideas matemáticas al describir las características de los cuadrados según su número de
lados, vértices, lados paralelos y perpendiculares; elaborar y usar estrategias al construir
cuadrados usando regla y escuadras; y razonar y argumentar generando ideas matemáticas
sobre las características del cuadrado y justificando sus conjeturas y procedimientos.
Procedimiento 2: cortar el romboide para formar un rectángulo.
Procedimiento 3: medir los lados de la figura y expresar el área con un producto de factores.
16 c
m d
e la
do
20 cm de lado
Aplicación de la estrategia
• Construyan un cuadrado solo doblando el papel,
sin usar regla ni tijera. Teniendo en cuenta las
siguientes preguntas: ¿Cuántos lados son?,
¿cómo son los lados?, ¿tienen lados paralelos?,
¿cuáles son?, ¿porqué son lados paralelos?, ¿y
lados perpendiculares?, ¿cuántos?, ¿por qué son
lados perpendiculares?
• En otra hoja construyan un cuadrado usando regla
y tijera. Compara con la forma de construcción
anterior.
• Argumentar usando como apoyo sus construcciones. ¿Cómo estás seguro que es
un cuadrado? ¿Y estas figuras pueden ser cuadrados? (muestra un rectángulo,
un trapecio)?, ¿por qué? ¿Y estas figuras son cuadrados? (muestra figuras de
cuadrados de diferente tamaño y en diferente posición).
1 2
3 4
Los estudiantes para desarrollar la actividad podrían desarrollar los siguientes procedimientos:
Procedimiento 1: cubrir las figuras con regletas de colores.
16 cm 20 cm = 320 cm2
132 133
• Analiza las características y formas de las piezas del tangram: ¿cuántas piezas tiene el tangram?, ¿qué formas tienen dichas piezas?. Pide que expliquen la relación entre los elementos: ¿cuántos lados tiene cada pieza?, ¿podemos construir otras formas utlizando estas piezas?
Con las piezas del tangram construye lo siguiente:a. Un cuadrado con dos piezas.b. Un cuadrado con todas las piezas.
d. Un rectángulo con 5 piezas.
c. Rectángulos con solo 3 piezas.
e. Un rectángulo con todas las piezas.
f. Dos trapecios con todas las piezas.
Estas estrategias de manipulación y experimentación son también de carácter lúdico
y podrían constituirse en proyectos o en una
secuencia de actividades
para construir diversos
conceptos matemáticos
como fracción, área, perímetro, composición de
figuras.
4. Estrategias usando el tangram Descripción Haciendo uso del tangram podemos construir variados objetos, animales o personas y desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos como superficies, perímetros, etc.
Relación con las capacidades e indicadores El propósito es que los estudiantes desarrollen las capacidades de comunicar y representar ideas matemáticas al representar en forma concreta diferentes rectángulos, cuadrados, romboides con el modelo ausente y describir sus características; elaborar y usar estrategias al emplear el tangram, regla y escuadras para construir y dibujar figuras geométricas; razonar y argumentar generando ideas matemáticas al elaborar conjeturas sobre las características comunes de los cuadrados, rectángulos y trapecios.
1: Construyendo polígonos
• Construye el tangram a partir de una hoja cuadrada en papel cuadriculado, según
el modelo y luego describan las características y relaciones entre las piezas.
Una vez construidas las figuras, realiza preguntas sobre las características de los cuadrados, rectángulos y trapecios para que comuniquen y representen ideas matemáticas.
Descripción:La resolución de problemas estadísticos no se limita al uso de tablas o gráficos o al
mero recojo de información sin ningún propósito, sino que puede ser considerado
como un proceso completo que va desde la definición de un tema de estudio y las
preguntas apropiadas para el tema, hasta la interpretación de los resultados y la toma
de decisiones. Un ejemplo de este proceso se plantea en GISE (2007), que considera
cuatro pasos que podemos adoptar como estrategias didáctica para plantear y resolver
problemas de gestión de datos:
Paso 1: formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestión y formular una
o más preguntas que pueden ser respondidas con datos.
Paso 2: Recopilar datos, que implica diseñar un plan para recopilar datos apropiados
al problema en cuestión y emplear el plan para recoger los datos.
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos
apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y
relacionarlos con el problema planteado, tomar decisiones si fuera el caso y comunicar
la información obtenida.
3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
3.4.1 Situaciones de gestión de datos
1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k–12 curriculum framework / Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria,
Relación con las capacidades e indicadoresEl propósito de esta estrategia es que los estudiantes matematicen situaciones al
plantear relaciones entre los datos cualitativos, expresándolos en tablas y gráficos de
barras. Comunican y representan al proponer preguntas adecuadas para obtener los
datos necesarios que se necesitan para la resolución del problema y para el tema en
estudio. Asimismo, se espera que elaboren y usen estrategias de recolección de datos
como la aplicación directa de encuestas. La resolución del problema estadístico continúa
con la elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, para modelar el
problema presentado. Finalmente, se espera que desarrollen su capacidad de razonar y
argumentar, al hacer algunos supuestos o conclusiones sobre la información obtenida.
134 135
Se recomienda realizar esta actividad a través del trabajo en grupos con un plan que comprende un conjunto de tareas, organizadas y secuenciadas con el objetivo de resolver el problema o una tarea específica.
Es necesario ayudar a los estudiantes a identificar las etapas que se requieren para llegar a la solución, generar un ambiente de confianza y participación.
Es conveniente propiciar este tipo de actividad en el aula cuando se va a desarrollar algún tema relacionado con el área curricular de Ciencia y Ambiente o que pudiera ser sobre datos curiosos de los animales o sobre el cuidado del ambiente para realizar el estudio completo y con el conocimiento necesario.
¿qué necesitamos?
Hojas con las tablas de conteo para registrar las respuestas o con las fichas de encuesta.
Paso 1. formular preguntasEl docente y los niños conversan sobre el problema de interés y plantean preguntas que pueden hacer a las personas que visitan el zoológico:
Antes de plantear las preguntas, el docente propicia la conversación sobre los datos que se necesitan para resolver el problema. ¿qué queremos saber? ¿qué preguntaremos? ¿Preguntaremos sobre los animales que hay en el zoológico o sobre cualquier animal? ¿Cuál es la pregunta más clara?, ¿la más corta? ¿Cuál se entiende mejor?
¿Cómo nos organizamos?
Los estudiantes de cuarto grado irán al Parque de las Leyendas y quieren saber qué saben las personas que visitan el zoológico sobre la especie de animal que tienen más tiempo de vida. Y si saben cuántos años viven estos animales.
¿Qué animal es el que más
años vive?
¡Yo creo que es el elefante!
Aplicación de la estrategia Veamos cómo utilizamos la estrategia en un problema de contexto social. Los niños y niñas hacen preguntas relevantes para recoger datos relacionados
con el tema de estudio y aportan con sugerencias a las preguntas formuladas por sus compañeros.
El docente propicia que se hagan ensayos de realizar las preguntas y responderlas.De esa manera, se verifica si la pregunta está bien hecha y si las respuestas son las que se esperan.
Paso 2. Recopilar datosLos niños diseñan un plan para recopilar datos según las preguntas que han elaborado relacionadas al animal más longevo y su edad:
El docente propicia que los estudiantes preparen fichas para que cada entrevistado escriba sus respuestas, es decir, que el recojo de datos se hará por medio de recursos escritos. Otra forma de recoger datos es con preguntas orales. Para ello, se preparan tablas de conteo en las que el estudiante registre las respuesta de sus entrevistados.
Para la elaboración de los instrumentos de recolección de datos, los estudiantes construyen nociones de variable y tipos de datos, a través de las siguiente preguntas:
¿Las preguntas que van a realizar tienen respuestas de un mismo tipo? ¿cuántos tipos de respuesta hay? ¿Cómo las clasificarías? ¿Las respuestas son numéricas o no? ¿qué tipos de datos estamos recogiendo?
Para la elaboración de las fichas o de las tablas de registro se necesita que los estudiantes identifiquen los dos tipos de datos y los rotulen. Por ejemplo: “Nombres de animales”. “Sabe cuántos años vive”, etc.
El siguiente modelo de ficha y el de tabla puede servir como pauta:
Paso 3. Análisis de datos
Proponen ideas para organizar los datos y deciden cuál es la mejor forma de organizarlos para realizar el análisis deseado.
El docente orienta a cada grupo para que elaboren dos tablas de frecuencia: la primera para la especie de animal y su frecuencia; y la segunda para las respuestas “sí” y “no”, y su frecuencia. Luego realizan el conteo y completan las tablas.
1. ¿qué animal del zoológico es el que vive más años?
Nombre:
2. ¿Sabe cuántos años vive? Marca.
Sí: No:
Nombre del animal
¿Sabes cuántos años vive?
136 137
Deben considerar todos los elementos de la tabla: tipos de datos, título, cómo registrar el conteo, la frecuencia y los totales. Presentamos algunos modelos que los estudiantes pueden adecuar:
Es importante que comprueben que el total de fichas corresponde al total de animales registrados en la tabla de frecuencias.
Discuten si puede poner ambos tipos de datos en un mismo gráfico. Si no es así, cómo lo harían. El docente guía la elaboración de dos gráficos de barras que nos permitan obtener la información que necesitamos.
Para la elaboración del gráfico de barras el docente debe tener en cuenta lo siguiente: Anotar los elementos del gráfico: títulos, leyenda, ejes con datos y escalas. Elegir el gráfico adecuado a la información que se quiere presentar. Poner los datos en los ejes vertical y horizontal, muy claros.
Comunican y representan, en un gráfico de barras la información registrada en la tabla. La ventaja del gráfico de barras frente a la tabla es que los resultados se visualizan fácilmente.
Determinan el dato que tiene mayor frecuencia y describen qué especie de animal es el que más personas consideran que tienen mayor tiempo de vida. Construyen la noción de moda: La moda es el dato que tiene mayor frecuencia. La moda representa un conjunto de datos.
Paso 4. Interpretar resultados El docente propicia que los estudiantes den respuesta a la interrogante que se
plantearon desde el principio. En este caso querían conocer lo que sabían las personas sobre el animal que tiene más tiempo de vida, es decir, que puede vivir más años.
Tipo de animal Frecuencias
TÍTULO:
Respuestas Frecuencias
SÍ
NO
TÍTULO:
Título
Barras
Eje horizontal
Valores de la variable cualitativa
Eje vertical
Núm
ero
de p
erso
nas
El animal más longevo
Animales
Tortuga Elefante Mono Jirafa León
30
25
20
10
5
El docente guía a los estudiantes para que relacionen la moda con la pregunta planteada. Es importante comparar los resultados de cada grupo y discutir por qué hay una diferencia. Esto implica darse cuenta que la moda representa un conjunto de datos. Si el conjunto de datos cambia, la moda también puede cambiar.
Los estudiantes reflexionan y comentan a través de algunas preguntas. Por ejemplo: Antes de realizar la investigación, ¿sabían si las personas que visitan el
zoológico conocían cuál es la especie de animal que tiene mayor tiempo de vida? ¿para qué nos interesaba saber si conocían cuántos años podrían vivir estas especies?
La información que hemos recogido nos dice cuál es la especie que tiene mayor tiempo de vida?, ¿o nos muestra lo que creen las personas? ¿Cuál es la diferencia?
Comparan los datos reales que pueden obtener de algún texto o de internet, con los resultados de las encuestas y sacan conclusiones acerca de lo bien o mal informadas que están las personas, si leen con atención las descripciones que están en las jaulas de los animales que visitan, etc.
Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para desarrollar su investigación: ¿Cómo hicieron para saber qué datos necesitaban y cómo los iban a conseguir? ¿Cómo recolectaron los datos? ¿Cómo los organizaron? ¿Cómo los
representaron? ¿Les fue útil esta representación? ¿Por qué? ¿Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? ¿Comprobaste los
resultados? ¿A tus compañeros y compañeras de grupo les salió igual? ¿Por qué?
Evalúan la importancia de la estadística en el estudio de una situación concreta de su realidad.
La investigación que han realizado sobre lo que saben las personas de los animales, ¿les ha servido? ¿Para qué? ¿qué acciones podemos tomar?
Descripción de la estrategiaEsta estrategia permitirá que los estudiantes se enfrenten a problemas y situaciones de azar con material concreto como bolas de colores, dados, monedas, etc. en las que estudien la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos. Se aplicará una adaptación de los pasos de Zoltan Dienes a fin de motivar el aprendizaje de la matemática mediante el juego.
Relación con capacidades e indicadores El propósito es que los estudiantes analicen en una situación aleatoria propuesta la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos, sustentando sus respuestas en la ocurrencia del suceso. También señalarán algunos posibles sucesos de esta, siendo
3.4.2 Juegos para usar la probabilidad
138 139
capaz de seleccionar entre ellos el que tiene más probabilidad de suceder y lo explica demostrando que comprende el significado de la probabilidad; y razonen y argumenten al explicar sus procedimientos y resultados.
Pasos de la estrategiaPaso 1. Juego libre
Los estudiantes se familiarizarán con los materiales e irán descubriendo en estos las propiedades matemáticas.
Paso 2. Juego orientado
Esta actividad será dirigida. Se establecerán las reglas de juego según lo que se pretenda lograr.
Paso 3. Abstracción
Los estudiantes observarán la regularidad en el juego y las relaciones matemáticas involucradas, o crearán otros juegos con estructura parecida al anterior.
Paso 4. Representación
Se representará la regularidad o las relaciones matemáticas en un gráfico o un esquema.
Se pedirá a los estudiantes que describan el proceso y sus representaciones; primero, usando lenguaje coloquial y, luego, reemplazando algunos términos por lenguaje matemático.
Paso 5. Generalización
El docente orientará la introducción de las relaciones y propiedades matemáticas y construye los significados a partir de las elaboraciones de los estudiantes. Ellos expondrán lo aprendido de manera segura usando lenguaje matemático y lo aplicarán en otras situaciones. Así también, estudiarán las propiedades de la representación y las relaciones matemáticas.
Con esta estrategia, los estudiantes desarrollarán habilidades para identificar sucesos que dependen del azar y a reconocer cuándo un suceso es seguro, posible e imposible que suceda, a través de la práctica concreta. Se organizarán en grupos de cuatro. Simulan una carrera de mulitas, cada una tendrá un número del 1 al 12.
MaterialesDos dados cúbicos, fichas o botones de distinto color para cada jugador, cartilla como la que mostramos para registrar los resultados.
Meta
Aplicación de la estrategiaJuego 1: ¡Carrera de mulitas!
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Paso 1. Juego libre
Previamente, los estudiantes manipulan libremente los dados y reconocen sus características. Por ejemplo, mencionarán que el dado tiene seis caras iguales de forma cuadrada y los números del 1 al 6.
Luego, hacerles algunas preguntas para introducirles la noción de “aleatorio”:a. ¿Han jugado alguna vez con un dado? ¿cuándo? ¿qué estaban jugando? Explica
cómo era el juego.b. Al lanzar un dado, ¿saben que número saldrá?c. ¿En cuáles de las siguientes experiencias no se puede saber el resultado con
anticipación?
Paso 2. Juego orientado
Se presentarán las reglas para jugar:
1. Eligen sus mulitas, cada jugador elige el número de 3 mulitas que corresponden a la suma que consideran que saldrá más veces al lanzar los dos dados.
2. Deciden los turnos al azar, lanzan un dado y el que obtiene el número mayor, inicia el juego. Se continúa el juego por la derecha.
3. Cada jugador apuesta por tres valores del 1 al 12 y colocan sus fichas en el tablero, en el lugar de las mulitas que le corresponde.
4. Un valor no puede ser elegido por dos jugadores. Si no se ponen de acuerdo se decide a la suerte. Se vuelve a lanzar un dado para decidir quién tiene la primera opción de elegir sus 3 mulitas.
5. En cada ronda, un jugador lanza el dado y avanza el casillero correspondiente a la suma obtenida, sea o no, la que él ha apostado.
6. Gana el que primero llega a la meta.
Pueden realizar el mismo juego ingresando a la siguiente dirección.
h t t p : / / w w w 3 . g o b i e r n o d e c a n a r i a s . o r g / m e d u s a / a g r e g a / v i s u a l i z a d o r - 1 / e s / p o d e / p r e s e n t a c i o n /visualizadorSinSecuencia/visualizar-datos.jsp
Aleatorio o no aleatorio Lanzar una moneda y adivinar si sale cara o sello. Si hoy es martes, decir qué día es mañana. Sacar una bola roja de una bolsa que contiene 3 bolas rojas, 2
amarillas y 1 azul. Lanzar dos dados y saber cuánto suman los puntos obtenidos.
Identifica los siguientes sucesos como seguro, posible e imposible que suceda, al lanzar un dado:
a. Obtener 5. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLEb. Obtener un número menor que 7. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLEc. Obtener un número par. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLEd. Obtener un número mayor que 6. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE
Cuando un resultado depende de la “suerte“, el azar, se dice que es “aleatorio”.
140 141
Paso 3. AbstracciónSe establecerán las relaciones matemáticas y se formularán preguntas:
a. ¿qué suma ha ganado?, ¿por qué creen que ha ganado?b. ¿qué sumas son las que más han salido?, ¿por qué?c. ¿qué sumas no han salido? d. ¿Apostarías por la misma mulita en el próximo juego? ¿por qué?
Paso 4. RepresentaciónLos estudiantes jugarán varias veces, volviendo a hacer sus apuestas, eligen nuevamente sus mulitas. A partir del segundo juego, pueden elegir 2 mulitas, quedando algunas sin ser elegidas. Luego representarán las combinaciones que hallaron.
Por ejemplo, en una tabla se hallan las sumas que se obtienen al lanzar los dos dados. Es posible que durante el juego ya se hayan percatado que hay más ventaja al apostar por algunos números, y que el 7 se tiene mayor probabilidad de ganar. Mientras que al apostar por el 2 o el 12 hay muy pocas probabilidades y con el 1 no se tiene ninguna probabilidad, ya que es una situación imposible que suceda.
Los estudiantes explicarán sus representaciones en lenguaje coloquial, para luego introducir términos en lenguaje matemático, en este caso, el 7 tiene la mayor probabilidad (6 opciones) de ganar porque:
Paso 5. Generalización
El docente deberá orientar a los estudiantes para que reconozcan que la probabilidad se rige por el azar, pero que nos indica la mayor o menor posibilidad que un suceso ocurra. Ahora el estudiante está en capacidad de hacer un estudio matemático cada vez que tenga que dar su pronóstico a situaciones que dependen del azar. En este caso, puede hacer un análisis más preciso, por ejemplo:
Señala los casos favorables, los casos posibles e indica la probabilidad como: poco probable, probable, muy probable que suceda al lanzar dos dados.
Reforzar los conocimientos con las siguientes preguntas: Si vuelves a jugar, ¿cuáles son los dos 2 valores que escogerías? ¿Por qué? ¿Cuáles son los dos valores que no escogerías? ¿Por qué? Si juegas con el 7, ¿estás seguro que ganarás? Explica por qué.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7,
6 + 1 = 7, 5 + 2 = 7, 4 + 3 = 7
Usar dados de colores diferentes para que el estudiante entienda porque 1 + 6 = 7 y 6 + 1 = 7 son opciones diferentes.
Suma Casos favorables Probabilidad2 1 Poco probable3 2456
789
3.4.3 Uso de materiales manipulativosLos materiales concretos no estructurados cobran especial relevancia en el estudio de la
probabilidad. Para los experimentos aleatorios existen materiales comúnmente conocidos
que profesores y estudiantes pueden elaborar. Por ejemplo:
dados: Cualquier objeto que presente un número finito de posiciones distintas,
como “trompos”, monedas, fichas bicolores, etc.
bolas en urnas: cualquier colección de objetos (fichas, cartas, regletas, bloques,
etc.) que se puedan mezclar antes de extraer de una urna, caja, etc., de modo
que todas tengan la misma posibilidad de salir.
La diferencia con el caso anterior es que permite, por un lado introducir el número
de elementos diferentes que se desee, en lugar de estar restringido a un número
dado de elementos. Por otro lado, la mayor o menor proporción de elementos
de cada tipo en la urna permite cambiar a voluntad las probabilidades de los
distintos sucesos elementales.
Ruletas u otro dispositivo que permita plantear problemas de probabilidades
geométricas: pueden servir las ruletas construidas con cartulina por los propios
estudiantes, con áreas rayadas de formas diversas. Como eje de giro de estas
ruletas puede utilizarse un lápiz y como aguja un clip sujetapapeles desplegado
por uno de sus laterales.
142 143
Referencias bibliográficas BATANERO, C. (2001). Los retos de la cultura estadística. Granada: Universidad de Granada. Recuperado
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144 145
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de
patro
nes
sim
étric
os.
Patro
nes
de re
petic
ión
El
abor
a su
pues
tos
sobr
e lo
s té
rmin
os q
ue a
ún n
o se
con
ocen
del
pat
rón
de re
petic
ión
geom
étric
o de
si
met
ría.
Patro
nes
aditiv
os
Id
entif
ica
la re
gla
de fo
rmac
ión
de lo
s da
tos
en
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lem
as d
e re
gula
ridad
, exp
resá
ndol
os e
n un
pa
trón
aditi
vo c
on n
úmer
os d
e ha
sta
tres
cifra
s.
Prop
one
patro
nes
aditi
vos
con
núm
eros
de
hast
a tre
s ci
fras
en c
onte
xtos
div
erso
s.
Patro
nes
aditiv
os
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cont
eo o
de
cálc
ulo
para
am
plia
r, en
cont
rar e
l tér
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o in
term
edio
o
crea
r pat
rone
s ad
itivo
s, u
sand
o m
ater
ial c
oncr
eto,
re
curs
os, i
nclu
yend
o el
uso
de
la c
alcu
lado
ra.
Patro
nes
aditiv
os
Expl
ica
sus
resu
ltado
s y
proc
edim
ient
os a
l con
tinua
r o
crea
r un
patró
n ad
itivo
de
hast
a tre
s ci
fras.
Igua
ldad
es
Iden
tific
a da
tos
y re
laci
ones
en
prob
lem
as d
e eq
uiva
lenc
ia o
equ
ilibrio
8, e
xpre
sánd
olos
en
una
igua
ldad
con
adi
ción
y s
ustra
cció
n.
Igua
ldad
es
Repr
esen
ta u
na ig
uald
ad c
on v
alor
es c
onoc
idos
o
desc
onoc
idos
con
obj
etos
, de
form
a co
ncre
ta
(regl
etas
, bal
anza
s, m
oned
as, e
tc.),
grá
fica
y si
mbó
lica
(con
exp
resi
ones
adi
tivas
y e
l sig
no “=
”).
Igua
ldad
es
Empl
ea e
stra
tegi
as y
pro
cedi
mie
ntos
adi
tivos
(a
greg
ar y
qui
tar),
la re
laci
ón in
vers
a de
la a
dici
ón
con
la s
ustra
cció
n y
la p
ropi
edad
con
mut
ativ
a, p
ara
enco
ntra
r equ
ival
enci
as o
los
valo
res
desc
onoc
idos
de
una
igua
ldad
.
Igua
ldad
es
Elab
ora
supu
esto
s so
bre
lo q
ue o
curr
e al
agr
egar
o
quita
r una
mis
ma
cant
idad
de
obje
tos
o nú
mer
os
a am
bos
lado
s de
una
igua
ldad
, bas
ándo
se e
n lo
ob
serv
ado
en a
ctiv
idad
es c
oncr
etas
.
Elab
ora
conj
etur
as q
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erm
itan
esta
blec
er la
pr
opie
dad
conm
utat
iva
de la
adi
ción
.
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cion
es d
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mbi
o
Iden
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los
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elac
ione
s a
parti
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una
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ción
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tal d
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una
mag
nitu
d co
n re
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po9 ,
y los
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ciona
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es.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o
Des
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e la
rela
ción
de
cam
bio
entre
una
mag
nitu
d y
el ti
empo
.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o
Empl
ea e
sque
mas
y p
roce
dim
ient
os d
e co
mpa
raci
ón p
ara
enco
ntra
r la
rela
ción
de
cam
bio
entre
una
mag
nitu
d y
el ti
empo
.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
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Elabo
ra s
upue
stos
sob
re la
rela
ción
de c
ambi
o en
tre
una
mag
nitu
d y e
l tiem
po, b
asán
dose
en
lo o
bser
vado
en
act
ivida
des
viven
ciale
s, c
oncr
etas
y gr
áfica
s.
Pr
opon
e un
a se
cuen
cia
de a
ccio
nes
orie
ntad
as a
ex
perim
enta
r o re
solv
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n pr
oble
ma.
Co
mpr
ueba
su
proc
edim
ient
o o
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tegi
a y
el d
e su
s co
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s y,
de
ser n
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ario
, lo
repl
ante
a.5
(PA
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emas
mul
tiplic
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os d
e pr
opor
cion
alid
ad s
impl
e de
repe
tició
n de
una
med
ida.
Pro
blem
as d
e co
mbi
naci
ón-m
ultip
licac
ión
o de
pro
duct
o ca
rtesi
ano.
Pro
blem
a de
pro
duct
o de
dos
med
idas
(fila
s y
colu
mna
s) q
ue im
pliq
uen
una
orga
niza
ción
rect
angu
lar.
6 PA
EV m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple:
que
impl
ique
n re
parti
r, pa
rtir,
agru
par u
na c
antid
ad..
Prob
lem
as d
e ite
raci
ón, p
or e
jem
plo:
est
oy e
n la
pos
ició
n 27
y d
oy s
alto
s pa
ra a
trás
de d
os e
n do
s. ¿
A q
ué n
úmer
o lle
go m
ás c
erca
no a
l 0?
7 PA
EV P
robl
emas
mul
tiplic
ativ
os d
e co
mpa
raci
ón q
ue re
quie
ran
am
plia
r una
mag
nitu
d co
mpa
raci
ón e
n m
ás y
pro
blem
as q
ue re
quie
ran
redu
cir u
na m
agni
tud
o co
mpa
raci
ón e
n m
enos
.8
Situ
acio
nes
crea
das
con
guar
dilla
s, lo
seta
s, fr
isos
, grá
ficos
, dib
ujos
y m
ater
ial c
oncr
eto.
9 Po
r eje
mpl
o: e
l cre
cim
ient
o de
una
pla
nta
(long
itud)
en
un m
es (t
iem
po)
MA
TRIZ
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: MA
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GRA
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LAS
CU
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O C
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PETE
NC
IAS
146 147
Com
pete
ncia
3: a
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
form
as, m
ovim
ient
o y
loca
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ión
Mat
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acio
nes
Com
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mat
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icas
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ora
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umen
ta g
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ensi
onal
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ica
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s ob
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s de
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s pa
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s, la
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de s
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o s
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y, l
os re
laci
ona
con
pris
mas
rect
os re
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gula
res
o cu
bos.
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laci
ona
una
form
a tri
dim
ensi
onal
con
cret
a y
gráf
ica
con
obje
tos
de s
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torn
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con
sus
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as.
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
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escr
ibe
las
form
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idim
ensi
onal
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seg
ún s
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, aris
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con
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l con
cret
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con
una
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.
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en
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.
form
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idim
ensi
onal
es:
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les
conc
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s o
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rum
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s,
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lver
pro
blem
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con
stru
cció
n de
fo
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trid
imen
sion
ales
con
el m
odel
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te y
au
sent
e.
Empl
ean
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tegi
as e
inst
rum
ento
s co
mo
la c
inta
m
étric
a o
cons
truye
n el
dec
ámet
ro p
ara
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ir lo
ngitu
des
en u
nida
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conv
enci
onal
es.
form
as tr
idim
ensi
onal
es:
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ece
rela
cion
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ntre
la fo
rma
tridi
men
sion
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y la
s fo
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bid
imen
sion
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seg
ún s
us
cara
cter
ístic
as o
ele
men
tos.
Ex
pres
a la
med
ida
y la
est
imac
ión
de la
cap
acid
ad
de lo
s re
cipi
ente
s en
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s.
Expr
esa
la m
edid
a de
long
itud
o el
per
ímet
ro d
e lo
s ob
jeto
s (la
rgo,
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ho, a
lto, e
tc.)
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do e
l met
ro
y el
cen
tímet
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Ex
pres
a la
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de s
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de
los
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tos
usan
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unid
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mat
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a cu
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arto
nes
cuad
rado
s).
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as b
idim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as d
e lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
segú
n su
s la
dos,
áng
ulos
y v
értic
es,
perím
etro
y s
uper
ficie
y lo
s re
laci
ona
con
una
figur
a b
idim
ensi
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regu
lar o
irre
gula
r.
Rela
cion
a la
s ca
ract
erís
ticas
de
las
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as a
l pl
ante
ar o
reso
lver
un
prob
lem
a de
con
stru
cció
n de
figu
ras
com
pues
tas.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
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as b
idim
ensi
onal
es s
egún
su
s el
emen
tos
(lado
s, v
értic
es, á
ngul
os re
ctos
y
ángu
los
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ores
que
un
ángu
lo re
cto)
.
Cons
truye
y d
ibuj
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uras
bid
imen
sion
ales
12 c
on
dife
rent
es m
ater
iale
s co
ncre
tos,
de
form
a gr
áfic
a (c
uadr
ícul
a, m
alla
de
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os) y
con
regl
a, e
scua
dra
y tra
nspo
rtado
r.
Cons
truye
figu
ras
bidi
men
sion
ales
sim
ples
y
com
pues
tas
en fo
rma
conc
reta
13, a
par
tir d
e in
stru
ccio
nes
escr
itas
y or
ales
.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa u
nida
des
patró
n (c
uadr
ados
de
1 cm
por
la
do, l
ados
de
una
piez
a de
un
bloq
ue ló
gico
o
de m
osai
cos
o la
cua
dríc
ula)
a fi
n de
det
erm
inar
cu
ánta
s un
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uadr
adas
se
nece
sita
par
a cu
brir
supe
rfici
es d
e fig
uras
bid
imen
sion
ales
si
mpl
es y
com
pues
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plea
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rate
gias
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ensa
yo y
err
or o
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perp
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ión
para
com
pone
r o d
esco
mpo
ner
una
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a, c
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poyo
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cret
o.
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uni
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s pa
trón
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rímet
ro d
e fig
uras
sim
ples
o c
ompu
esta
s en
form
a co
ncre
ta y
gr
áfic
a (la
do d
e 1 c
m, f
icha
s co
n la
dos
igua
les)
.
Com
prue
ba m
edia
nte
la v
iven
ciac
ión
los
proc
edim
ient
os y
est
rate
gias
usa
dos
para
co
mpa
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est
imar
long
itude
s y
supe
rfici
es.
for
mas
bid
imen
sion
ales
:
Elab
ora
supu
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s y
los
verif
ica
sobr
e la
est
imac
ión
de u
na m
edid
a de
long
itud
o su
perfi
cie
de u
n ob
jeto
, bas
ándo
se e
n ex
perie
ncia
s vi
venc
iale
s.
Esta
blec
e se
mej
anza
s o
dife
renc
ias
entre
las
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as g
eom
étric
as s
egún
sus
car
acte
rístic
as.
El
abor
a co
njet
uras
y la
s ve
rific
a so
bre
el p
erím
etro
y
la m
edid
a de
la s
uper
ficie
de
una
figur
a si
mpl
e o
com
pues
ta e
n un
idad
es p
atró
n.
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Id
entif
ica
dato
s o
cara
cter
ístic
as re
leva
ntes
en
situ
acio
nes
de lo
caliz
ació
n y
desp
laza
mie
nto
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obje
tos,
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rnos
cot
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n un
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Sim
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ial c
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ula.
Re
cono
ce fi
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obje
tos
y fig
uras
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su e
ntor
no c
on u
no o
más
eje
s de
sim
etría
.
Sim
etría
:
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crib
e la
s re
laci
ones
de
sim
etría
de
las
figur
as
geom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
de
una
figur
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parti
r del
eje
de
sim
etría
.
Repr
esen
ta c
on m
ater
ial c
oncr
eto
(geo
plan
os,
bloq
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lado
sim
étric
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una
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ra, c
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iale
s co
ncre
tos
y gr
áfic
os.
10
Cub
os, p
rism
as re
ctan
gula
res,
esf
eras
y c
onos
.11
Po
liedr
os, p
last
ilina
y m
onda
dien
te.
12
Triá
ngul
os, c
uadr
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, rec
táng
ulos
y c
írcul
os.
13
Tang
ram
, geo
plan
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Com
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ncia
4: A
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y p
iens
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esen
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mat
emát
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Elab
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y us
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gias
Razo
na y
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umen
ta g
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ando
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atem
átic
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lem
as c
on d
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y
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ivos
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scal
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con
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ros.
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.
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Prob
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cu
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itativ
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chos
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.
Prob
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bles
o im
posi
bles
.
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gist
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n un
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bla
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renc
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os.
ocu
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cias
de
suce
sos:
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expe
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conc
reta
s si
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suce
so e
s se
guro
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ible
o
impo
sibl
e.
148 149
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
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atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
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ales
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, sue
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, etiq
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tc.).
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ompa
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mer
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cuat
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ifras
, en
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ora
repr
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eros
has
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cuat
ro c
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en
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grá
fica
y si
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eros
nat
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es:
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nat
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com
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de
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es, h
ora,
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o 1/
4 de
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a.
Ex
pres
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ida,
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imac
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para
ción
de
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ida,
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s us
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tc.).
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de
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ulo
men
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os n
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cuat
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cado
s so
bre
las
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acio
nes
de a
dici
ón y
sus
tracc
ión
de
fracc
ione
s.
Expl
ica
a tra
vés
de e
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plos
con
apo
yo
conc
reto
o g
ráfic
o la
pro
pied
ad d
istri
butiv
a de
la
mul
tiplic
ació
n co
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mer
os n
atur
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mas
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de
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tapa
s co
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mer
os n
atur
ales
:
Plan
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nen
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ones
de
junt
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ntar
, jun
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agre
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quita
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ntar
-com
para
r, ju
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lar e
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en
un m
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eros
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iza
dato
s en
pro
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expr
esán
dolo
s en
un
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elo
de
solu
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mul
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ativ
o co
n nú
mer
os n
atur
ales
has
ta c
uatro
cifr
as.
Re
cono
ce d
atos
rele
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es e
n pr
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mas
4 y lo
s ex
pres
a en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
de d
ivis
ione
s ex
acta
s e
inex
acta
s co
n nú
mer
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atur
ales
has
ta c
on c
uatro
cifr
as.
Re
laci
ona
dato
s en
pro
blem
as5 ,
que
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ique
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cion
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e re
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ad, e
xpre
sánd
olos
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un m
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n de
mita
d,
terc
ia, c
on c
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ades
de
hast
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cifr
as.
Re
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ució
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ultip
licat
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mas
de
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con
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os.
Mul
tiplic
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divis
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ejem
plos
su
com
pren
sión
sob
re
las
prop
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des
de la
mul
tiplic
ació
n.
1 (P
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) Pro
blem
as a
ditiv
os d
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mbi
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ompa
raci
ón e
igua
laci
ón 5
y 6
. 2
Prob
lem
as a
ditiv
os d
e do
s o
más
eta
pas
que
com
bine
n pr
oble
mas
de
com
bina
ción
- co
mbi
naci
ón, c
ombi
naci
ón-c
ambi
o, c
ombi
naci
ón -
com
para
ción
, com
bina
ción
–ig
uala
ción
, etc
.3
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple,
pro
blem
as d
e co
mpa
raci
ón-
ampl
ifica
ción
o c
ompa
raci
ón d
e la
form
a “v
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más
que
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oble
mas
de
orga
niza
cion
es re
ctan
gula
res.
4 Pr
oble
mas
mul
tiplic
ativ
os d
e pr
opor
cion
alid
ad s
impl
e: d
e re
parto
no
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to,
anál
isis
del
resi
duo,
pro
blem
as d
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raci
ón (“
Esto
y en
el n
úmer
o 23
8. D
oy s
altit
os p
ara
atrá
s de
12
en 1
2. ¿
A q
ué n
úmer
o lle
go m
ás c
erca
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l 0?)
. Pro
blem
as d
e ut
iliza
ción
de
la
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ción
: D=
d.q
+ r,
r <
d5
PAEV
Pr
oble
mas
mul
tiplic
ativ
os d
e co
mpa
raci
ón q
ue re
quie
ran
redu
cir u
na m
agni
tud,
o c
ompa
rar d
e la
form
a “v
eces
men
os q
ue”.
6 M
ater
ial c
oncr
eto
(ába
co, y
upan
a, m
oned
as y
bill
etes
), di
bujo
s, g
ráfic
os (r
ecta
num
éric
a) o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, c
ompo
sici
ón y
des
com
posi
ción
adi
tiva
y m
ultip
licat
iva,
val
or p
osic
iona
l en
mill
ares
, cen
tena
s, d
ecen
as y
uni
dade
s).
Com
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ncia
2: A
ctúa
y p
iens
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atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
regu
larid
ad, e
quiv
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acio
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Com
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a y
repr
esen
ta
idea
s m
atem
átic
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abor
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zona
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mat
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icas
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petic
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emas
de
regu
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pres
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un
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repe
tició
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n cr
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erio
s pe
rcep
tual
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e co
lor y
tam
año.
Pr
opon
e un
pat
rón
de re
petic
ión
que
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un
crite
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eom
étric
o de
sim
etría
y c
riter
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perc
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ales
de
colo
r y ta
mañ
o.
Patro
nes:
Util
iza
leng
uaje
mat
emát
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des
crib
ir la
regu
larid
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s pa
trone
s ge
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ricos
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num
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os.
Patro
nes
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petic
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plea
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unas
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petic
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os, u
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reto
.
Patro
nes
de re
petic
ión:
El
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pues
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s té
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os q
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el p
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ría y
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erio
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tual
.
Patro
nes
aditiv
os y
mul
tiplic
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s:
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a de
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tiplic
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Prop
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patro
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vos
o m
ultip
licat
ivos
con
núm
eros
de
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a cu
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cifr
as.
Patro
nes
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os y
mul
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s:
Empl
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roce
dim
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lcul
o pa
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enco
ntra
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térm
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inte
rmed
io o
cre
ar p
atro
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vos
y m
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licat
ivos
, us
ando
mat
eria
l con
cret
o, re
curs
os, i
nclu
yend
o el
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la
calc
ulad
ora.
Patro
nes
aditiv
os:
Ex
plic
a su
s re
sulta
dos
y pr
oced
imie
ntos
al c
ontin
uar
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aditi
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mul
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cuat
ro c
ifras
.
Prob
lem
as c
on fr
acci
ones
:
Iden
tific
a da
tos
en p
robl
emas
7 que
impl
ique
n re
parti
r una
can
tidad
en
form
a eq
uita
tiva,
exp
resá
ndol
os e
n un
mod
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de s
oluc
ión
con
fracc
ione
s us
uale
s co
n de
nom
inad
ores
2, 4
, 8, 3
, 6, 5
, y 10
.
frac
cion
es y
sus
ope
raci
ones
:
Expr
esa
en fo
rma
oral
o e
scrit
a, e
l uso
de
las
fracc
ione
s us
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s en
div
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s co
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tos
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long
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tc.).
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cion
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tóric
a,
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las
fracc
ione
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úmer
os m
ixto
s,
fracc
ione
s ho
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, fra
ccio
nes
usua
les
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vale
ntes
.11
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
ord
en d
e la
s fra
ccio
nes
usua
les
con
igua
l y d
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or; c
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l con
cret
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gráf
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El
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a re
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enta
cion
es c
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eta,
pic
tóric
a,
gráf
ica
y si
mbó
lica
de lo
s si
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ados
de
la a
dici
ón
y su
stra
cció
n co
n fra
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de ig
ual d
enom
inad
or.
frac
cion
es y
sus
ope
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plea
est
rate
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heu
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o pr
oced
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12 p
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sum
ar
y re
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es c
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uale
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tas.
frac
cion
es y
sus
ope
raci
ones
:
Real
iza
conj
etur
as a
par
tir d
e m
ás d
e un
ca
so e
xper
imen
tado
u o
bser
vado
sob
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las
rela
cion
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den,
com
para
ción
y
equi
vale
ncia
ent
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acci
ones
usu
ales
y lo
s di
fere
ntes
tipo
s de
frac
cion
es (f
racc
ión
prop
ia,
impr
opia
, hom
ogén
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het
erog
énea
).
Expl
ica
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vés
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jem
plos
las
dife
rent
es
form
as d
e re
pres
enta
r fra
ccio
nes
usua
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y fra
ccio
nes
equi
vale
ntes
.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on fr
acci
ones
:
Iden
tific
a da
tos
en p
robl
emas
8 que
impl
ique
n pa
rtir e
l tod
o o
la u
nida
d en
par
tes
igua
les,
exp
resá
ndol
os e
n un
mod
elo
de
solu
ción
adi
tivo
con
fracc
ione
s us
uale
s.
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rela
cion
es e
ntre
los
dato
s en
pro
blem
as d
e un
a et
apa9 ,
expr
esán
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s en
un
mod
elo
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ión
aditi
va c
on fr
acci
ones
.
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sol
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n re
ferid
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las
fracc
ione
s co
mo
parte
todo
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un
prob
lem
a.
Pr
opon
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as a
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un p
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Co
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ueba
su
proc
edim
ient
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s co
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ñero
s y,
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ser
nec
esar
io lo
repl
ante
a.
Ex
plic
a su
s pr
oced
imie
ntos
y re
sulta
dos
en la
so
luci
ón d
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oble
mas
.
MA
TRIZ
PA
RA E
L C
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RTO
GRA
DO
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ARI
A
7 Pr
oble
mas
de
repa
rto e
n lo
s cu
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esto
se
dist
ribuy
e eq
uita
tivam
ente
.8
Prob
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r una
uni
dad
en p
arte
s ig
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s (n
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n de
frac
ción
com
o pa
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do).
9 (P
AEV
) Pro
blem
as a
ditiv
os d
e ca
mbi
o o
com
para
ción
.10
M
ater
ial c
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res,
tira
s de
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cion
es e
quiv
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tes,
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cion
es e
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alen
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ular
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apel
), di
bujo
s, g
ráfic
os (f
igur
as, r
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num
éric
a) o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, fr
acci
ones
men
ores
y
may
ores
que
la u
nida
d).
11
Frac
cion
es e
quiv
alen
tes
con
las
fracc
ione
s us
uale
s (d
enom
inad
ores
2, 4
, 8, 3
, 6, 5
y 1
0. P
or e
jem
plo:
½ =
2/4
= 4
/8; 1
/3 =
2/6
; 1/5
= 2
/10)
12
Estra
tegi
as h
eurís
ticas
com
o ha
cer u
na s
imul
ació
n co
n m
ater
ial c
oncr
eto,
dob
lado
del
pap
el, h
acer
un
esqu
ema,
un
dibu
jo. E
n es
te c
iclo
se
sugi
ere
traba
jar l
a ad
ició
n y
sust
racc
ión
de fr
acci
ones
con
frac
cion
es e
quiv
alen
tes
con
apoy
o co
ncre
to (r
egle
tas
de c
olor
es, t
iras
de fr
acci
ones
equ
ival
ente
s, fr
acci
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circ
ular
es) y
grá
fico
para
pro
pici
ar la
com
pren
sión
con
sen
tido
sobr
e el
cál
culo
y e
vita
r la
mec
aniz
ació
n si
n re
flexi
ón.
150 151
Igua
ldad
es:
Id
entif
ica
dato
s y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
ncia
, exp
resá
ndol
os e
n un
a ig
uald
ad c
on
ícon
os (c
on a
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ón, s
ustra
cció
n, m
ultip
licac
ión
o di
visi
ón).
Igua
ldad
es:
Re
pres
enta
una
igua
ldad
con
val
ores
con
ocid
os o
des
cono
cido
s co
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onos
, de
form
a co
ncre
ta, g
ráfic
a y
sim
bólic
a (c
on e
xpre
sion
es d
e m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón) y
el s
igno
“=”).
Igua
ldad
es:
Em
plea
mat
eria
l con
cret
o y
gráf
ico
para
en
cont
rar e
quiv
alen
cias
o lo
s va
lore
s de
scon
ocid
os d
e un
a ig
uald
ad c
on
mul
tiplic
ació
n.
Empl
ea e
stra
tegi
as y
pro
cedi
mie
ntos
m
ultip
licat
ivos
, la
rela
ción
inve
rsa
entre
la
mul
tiplic
ació
n y
la d
ivis
ión,
la p
ropi
edad
co
nmut
ativ
a de
la m
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licac
ión,
par
a re
solv
er s
ituac
ione
s de
equ
ival
enci
a o
igua
ldad
o h
alla
r un
valo
r des
cono
cido
con
ex
pres
ione
s ad
itiva
s y
mul
tiplic
ativ
as.
Igua
ldad
es:
El
abor
a su
pues
tos
sobr
e lo
que
oc
urre
en
una
igua
ldad
al m
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licar
o
divi
dir u
na m
ism
a ca
ntid
ad d
e ob
jeto
s o
núm
eros
a a
mbo
s la
dos
de u
na ig
uald
ad, b
asán
dose
en
lo
obse
rvad
o en
act
ivid
ades
con
cret
as.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o:
Reco
ge d
atos
exp
erim
enta
les
de d
os m
agni
tude
s en
pro
blem
as d
e va
riaci
ón y
los
rela
cion
a en
tabl
as
sim
ples
.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o:
Des
crib
e la
rela
ción
de
cam
bio
entre
dos
mag
nitu
des.
Prob
lem
as d
e ca
mbi
o:
Empl
ea e
sque
mas
, pro
cedi
mie
ntos
de
com
para
ción
y o
pera
cion
es p
ara
enco
ntra
r re
laci
ones
num
éric
as e
ntre
dos
mag
nitu
des.
Rela
cion
es d
e ca
mbi
o:
Elab
ora
supu
esto
s so
bre
la re
laci
ón
de c
ambi
o en
tre d
os m
agni
tude
s,
basá
ndos
e en
lo o
bser
vado
en
activ
idad
es v
iven
cial
es, c
oncr
etas
y
gráf
icas
.
Pr
opon
e un
a se
cuen
cia
de a
ccio
nes
orie
ntad
as a
exp
erim
enta
r o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
Co
mpr
ueba
su
proc
edim
ient
o o
estra
tegi
a y
el d
e su
s co
mpa
ñero
s y,
de
ser n
eces
ario
, lo
repl
ante
a.
Com
pete
ncia
3: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
form
as, m
ovim
ient
o y
loca
lizac
ión
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
prop
ieda
des
en lo
s ob
jeto
s de
l ent
orno
se
gún
sus
lado
s pa
rale
los
y pe
rpen
dicu
lare
s, la
fo
rma
de s
us c
aras
o s
us b
ases
y, l
os re
laci
ona
con
pris
mas
rect
os.
Re
laci
ona
los
pris
mas
rect
os c
on s
u pr
oyec
ción
vi
sta
desd
e ab
ajo,
des
de a
rrib
a o
desd
e un
co
stad
o.
form
a tri
dim
ensi
onal
es:
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escr
ibe
las
form
as tr
idim
ensi
onal
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sus
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men
tos
(car
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les,
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tas,
vér
tices
, bas
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ales
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rent
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una
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gura
s tri
dim
ensi
onal
es e
n fo
rma
conc
reta
, a p
artir
de
inst
rucc
ione
s es
crita
s y
oral
es.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la c
ompa
raci
ón d
e la
med
ida
de
capa
cida
d en
frac
cion
es d
e lit
ro, g
alon
es.
form
as tr
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
cuer
pos
geom
étric
os, f
igur
as c
on e
l mod
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nte
segú
n su
s m
edid
as, u
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o di
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os m
ater
iale
s.
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div
erso
s re
cipi
ente
s co
mo
jarr
as,
enva
ses
de b
otel
las,
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pien
tes
grad
uado
s, p
ara
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ir, c
ompa
rar y
es
timar
la c
apac
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de
los
reci
pien
tes.
U
sa in
stru
men
tos
de m
edic
ión
(cin
ta
mét
rica
y re
glas
gra
duad
as) y
uni
dade
s co
nven
cion
ales
par
a m
edir
y co
mpa
rar
long
itude
s y
dist
anci
as c
orta
s.
form
as tr
idim
ensi
onal
es:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re c
uále
s so
n la
s ca
ract
erís
ticas
geo
mét
ricas
co
mun
es d
e la
s fo
rmas
tri
dim
ensi
onal
es
Just
ifica
sus
con
jetu
ras
usan
do
ejem
plos
sob
re lo
s pr
oced
imie
ntos
ap
licad
os e
n pr
oble
mas
de
cálc
ulo
de c
apac
idad
con
uni
dade
s pa
trón.
form
a bi
dim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as d
e lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
segú
n su
s la
dos,
áng
ulos
, par
alel
ism
o o
perp
endi
cula
ridad
y lo
exp
resa
en
un m
odel
o ba
sado
en
para
lelo
gram
os.
U
sa u
n m
odel
o ba
sado
en
para
lelo
gram
os a
l pl
ante
ar o
reso
lver
un
prob
lem
a.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as d
e lo
s po
lígon
os y
par
alel
ogra
mos
, se
gún
su n
úmer
o de
lado
s y
vérti
ces,
nom
brán
dolo
s ad
ecua
dam
ente
(triá
ngul
os, c
uadr
iláte
ros,
pen
tágo
nos,
etc
.).
Repr
esen
ta e
n fo
rma
conc
reta
(sog
as, g
eopl
ano,
etc
.) y
gráf
ica
(en
cuad
rícul
as),
dife
rent
es fo
rmas
bid
imen
sion
ales
que
tien
en
el m
ism
o pe
rímet
ro.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta (s
ogas
, geo
plan
o, o
rigam
i, et
c.)
y gr
áfic
a (e
n cu
adríc
ulas
) dife
rent
es re
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s, c
uadr
ados
, ro
mbo
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rom
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l mod
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C
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ruye
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alel
ogra
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seg
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dica
cion
es o
rale
s y
escr
itas.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la c
ompa
raci
ón d
e la
med
ida
de la
lo
ngitu
d, p
erím
etro
, sup
erfic
ie d
e la
s fig
uras
a p
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de
unid
ades
ar
bitra
rias
o co
nven
cion
ales
.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa u
nida
des
patró
n (c
artó
n, c
artu
lina,
et
c.) q
ue m
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un
met
ro c
uadr
ado
para
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term
inar
cuá
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uni
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s cu
adra
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nece
sita
par
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brir
supe
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e fig
uras
bi
dim
ensi
onal
es.
U
sa e
stra
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as q
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plic
an tr
azar
el
reco
rrid
o de
los
vérti
ces
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s fo
rmas
bi
dim
ensi
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es, u
tiliz
ar re
corte
s de
fig
uras
de
pape
l par
a tra
slad
arla
sob
re u
n cu
adric
ulad
o.
form
as b
idim
ensi
onal
es:
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s us
ando
ej
empl
os s
obre
los
proc
edim
ient
os
aplic
ados
en
prob
lem
as d
e cá
lcul
o de
per
ímet
ro, s
uper
ficie
y
capa
cida
d co
n un
idad
es p
atró
n.
Elab
ora
conj
etur
as s
obre
cuá
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son
las
cara
cter
ístic
as g
eom
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as
com
unes
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las
form
as
bidi
men
sion
ales
.
Elab
ora
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erím
etro
, sup
erfic
ie y
ca
paci
dad
con
unid
ades
pat
rón.
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Id
entif
ica
las
refe
renc
ias
nece
saria
s en
situ
acio
nes
de lo
caliz
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n y
desp
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co
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nada
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n.
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plea
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real
idad
y p
erm
ite lo
caliz
ar o
des
plaz
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con
pr
ecis
ión.
ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s o
ubic
acio
nes,
usa
ndo
com
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fere
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s, m
apas
usa
ndo
refe
rent
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para
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s, p
erpe
ndic
ular
es y
obl
ícuo
s, p
ara
ubic
ar
obje
tos
y ex
pres
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tas.
ubi
caci
ón y
des
plaz
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nto:
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rate
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as.
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s re
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de
la tr
asla
ción
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figur
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geom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
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eje
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sim
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.
Repr
esen
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gráf
ica
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cuad
rícul
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Sim
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y tr
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ción
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ales
en
cuad
ricul
as.
Com
pete
ncia
4: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
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152 153
VI C
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/ 1.o y
2.o d
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cund
aria
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos a operaciones, múltiplo o divisores, aumentos y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas10, su comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales; medir la masa de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias heurísticas, procedimientos para calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VII C
ICLO
/ 3.o ,
4.o y
5.o
de s
ecun
daria Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes y
pequeños, y los expresa en modelos referidos a: operaciones con números racionales e irracionales, notación científica, tasas de interés simple y compuesto. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemáticas, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación científica, determinar la diferencia entre una medición exacta o aproximada; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números racionales, las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.
DEST
ACAD
O
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas a determinar cantidades expresadas mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas numéricos y una combinación de modelos financieros. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas numéricos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes sistemas numéricos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros..
10 Convenciones matemáticas: por ejemplo, convenir que el cero es múltiplo de todos los números.
ANEXO 2: MAPAS DE PROGRESO
ACtúA y PIEnSA MAtEMÁtICAMEntE En SItuACIonES dE CAntIdAd
Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas1 . Expresa con su propio lenguaje sobre agrupar objetos por características perceptuales, ordenar2 hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos cotidianos usando “antes” o “después”, comparar de manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores: “más que”, “menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material concreto; emplea estrategias y procedimientos como agrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos, y comparar el peso3 de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
Identifica datos en situaciones referidos a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades y los expresa en modelos de solución aditivas4, doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como estimar, contar y ordenar cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y estrategias usados. Elabora supuestos y explica el porqué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.
Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar, comparar, repetir o repartir una cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre: reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares, medir la masa de objetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado de la noción de división y fracción, problemas aditivos5 y multiplicativos6; los representa mediante tablas de doble entrada y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden con cantidades de hasta cuatro cifras; estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas trabajadas y las justifica usando ejemplos.
1 Problemas PAEV: Cambio 1 y 2. 2 Seriación 3 Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo formal es decir masa. 4 Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2. 5 Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4. 6 Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple) 7 Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6. 8 Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano. 9 10%, 20%, 25%, 50%, 75%.
Interpreta datos y relaciones no explicitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar dos cantidades con números naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos aditivos7 y multiplicativos8. Determina en que otras situaciones es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático, su comprensión sobre el significado de: la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes y la noción de potencia; compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9 y números naturales, fracciones y decimales; estimar, medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos, propiedades de los números y las operaciones trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
II CI
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ños
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ACtúA y PIEnSA MAtEMÁtICAMEntE En SItuACIonES dE REGuLARIdAd, EQuIVALEnCIA y CAMbIo
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ños Reconoce patrones de repetición1 en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje
patrones y relaciones entre objetos de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar o resolver una situación de manera vivencial y con material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
CLO
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Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2 y patrones aditivos, igualdades que contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias agregando o quitando cantidades3 o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos o resultados. Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas y los explica usando ejemplos similares.
IV C
ICLO
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ia Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones de repetición4 o patrones multiplicativos, igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer equivalencias entre unidades de medida de una misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.
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Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y los expresa con modelos referidos a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades, y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para completar términos de una sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer equivalencias entre unidades de una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Patrones de repetición con un criterio perceptual (color,forma,tamaño,grosor).2 Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.3 Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.4 Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.
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Discrimina información e identifica variables relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos5, progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías, reglas y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
VII C
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Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades, equivalencias, y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones6 con números racionales e irracionales, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas o trigonométricas7. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación del plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.
DEST
ACAD
O
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas y ecuaciones exponenciales. Formula modelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a un modelo, reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en tramos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; las justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.
5 que se generan al aplicar reflexiones o giros.6 Considerar progresión aritmética y geométrica.7 Función seno y coseno.
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Discrimina información e identifica relaciones no explicitas de situaciones referidas a atributos, localización y transformación de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas bidimensionales compuestas, relaciones de paralelismo y perpendicularidad, posiciones y vistas de cuerpos geométricos3. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de: formas bidimensionales y tridimensionales4, ángulos, superficies y volúmenes, transformaciones geométricas; elaborando diversas representaciones de una misma idea matemática usando gráficos y símbolos; y las relaciona entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; rotar, ampliar, reducir formas o teselar un plano, con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas sobre relaciones entre propiedades de formas geométricas trabajadas; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
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Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre formas, localización y desplazamiento de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas poligonales, cuerpos geométricos compuestos o de revolución, relaciones métricas, de semejanza y congruencia, y razones trigonométricas. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación.. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: relaciones entre las propiedades de: figuras semejantes y congruentes, superficies compuestas que incluyen formas circulares y no poligonales, volúmenes de cuerpos de revolución, razones trigonométricas. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando mapas, planos, gráficos, recursos y TIC. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; establecer relaciones de inclusión entre clases para clasificar formas geométricas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas sobre posibles generalizaciones estableciendo relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos y propiedades matemáticas.
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones, restricciones de situaciones referidas a formas, localización y desplazamiento de objetos, y los expresa con modelos referidos a composición y transformación de forma bidimensionales, definición geométrica de la elipse e hipérbola. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, su comprensión sobre: relaciones entre propiedades de formas geométricas compuestas, transformaciones geométricas en el plano; Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la más óptima usando aplicaciones y entornos virtuales5. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, estrategias heurísticas o procedimientos de: usar o combinar propiedades y teoremas de formas geométricas, calcular volumen y superficie de solidos de revolución compuestos, determinar equivalencias entre composiciones de transformaciones geométricas. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que disponía. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos geométricos; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
DEST
ACAD
O
3 Prisma, pirámide, círculo, cilindro. 4 Polígonos, prisma, pirámide, círculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
ACtúA y PIEnSA MAtEMÁtICAMEntE En SItuACIonES dE foRMA, MoVIMIEnto y LoCALIzACIón
Relaciona objetos del entorno con formas bidimensionales y tridimensionales. Expresa con su propio lenguaje lo que observa al comparar dos objetos de diferente longitud, desplazarse e identificar la posición de un objeto en el espacio en relación a sí mismo u otro objeto; y realiza representaciones con su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone acciones para resolver una situación, empleando estrategias propias y procedimientos al realizar desplazamientos y localización o caracterizar objetos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
Identifica las características de objetos del entorno y los relaciona con elementos1 de formas bidimensionales y tridimensionales, determina su ubicación, longitud, superficie o capacidad. Describe las formas bidimensionales y tridimensionales, ubicación y movimiento de objetos y las formas simétricas, los atributos medibles de los objetos (longitud, superficie, y capacidad); empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones con su cuerpo, materiales concretos, dibujos, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, emplea estrategias heurísticas y procedimientos como medir, comparar y estimar longitudes, superficies y capacidades de objetos con unidades arbitrarias, con apoyo de material concreto y recursos; comprueba sus procedimientos y estrategias usando material concreto. Elabora supuestos sobre las características y atributos medibles de las formas geométricas y de los objetos, a partir de la observación en experiencias concretas, y los explica usando ejemplos similares.
Interpreta datos y relaciones no explícitas de localización y movimiento de los objetos, con las formas geométricas bi y tridimensionales, su rotación, ampliación o reducción y determina en qué otras situaciones es aplicable. Expresa su comprensión utilizando lenguaje matemático sobre las propiedades de las formas bidimensionales o tridimensionales2; ángulos, superficies, volumen y capacidad; ampliaciones, reducciones, giros y la posición de un objeto en el plano cartesiano; Elabora diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos, relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas empleando estrategias heurísticas y procedimientos como: estimar y medir ángulos, calcular perímetro, superficie, capacidad y volumen seleccionando el instrumento y la unidad convencional pertinente; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Elabora conjeturas sobre relaciones entre propiedades de las formas geométricas trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Lados, caras, esquinas. 2 Triángulos, cuadriláteros, ángulos, círculos, circunferencias, prismas y pirámides.
Relaciona características, atributos, localización y movimientos de los objetos del entorno, con las formas geométricas, ubicación en el plano y el espacio, simetría y traslación. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matematico su comprensión sobre características de las formas bidimensionales y tridimensionales; longitud, perímetro, superficie y capacidad de objetos; simetría y traslaciones. Elabora y emplea representaciones mediante tablas de doble entrada, gráficos, croquis y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o solucionar un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ubicar objetos y rutas, medir y estimar la longitud, perímetro, superficie y capaodad de objetos seleccionando el instrumento y la unidad arbitraria o convencional apropiada, reflejar o trasladar formas en cuadrículas, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas sobre semejanzas y diferencias entre formas geométricas y las justifica usando ejemplos.
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ACtúA y PIEnSA MAtEMÁtICAMEntE En SItuACIonES dE GEStIón dE dAtoS E InCERtIduMbRE
II CI
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Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
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Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos, el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.
IV C
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/ 3.o y
4.o d
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mar
ia
Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica o justifica usando ejemplos.
V CI
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Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Pictogramas sin escala. 2 El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro. 3 Pictogramas con escala.
VI C
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Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VII C
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Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
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4 Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.
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