¿Qué es una probabilidad?

Departamento de matemática Liceo técnico bicentenario Juanita Fernández Solar

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Actividad 1; Calcular las siguientes probabilidades

a) Obtener sello al lanzar una moneda = ____ b) Escoger una mujer de las estudiantes de su curso = ___

c) En una urna con bolitas del 1 al 20, sacar una que sea menor que 13 = ___

d) La probabilidad de obtener 2 sellos al lanzar 2 monedas = ______

Guía de Síntesis Matemática 3°medio

Nombre: ______________________________ Curso: 3° ___

Objetivo: Tomar decisiones en situaciones de incerteza que involucren el análisis de datos estadísticos

con probabilidades condicionales

Tomar decisiones en situaciones de incerteza que involucren el análisis de datos estadísticos

con medidas de dispersión

Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y

decrecimiento, que involucran las funciones exponenciales

Indicaciones: A continuación, se presentará una serie de conceptos ya visto en años anteriores

acompañados de ejercicios y problemas donde los emplean de forma de recordatorio para el posterior trabajo

de las otras guías.

1. ¿Qué es una probabilidad?

Una probabilidad es un cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados distintos del experimento. Ejemplo: Lanzar un dado común (6 caras) el espacio muestral es 𝐸 = {1,2,3,4,5,6} Casos favorables: Es el número de eventos favorables. Obtener un numero par, al Lanzar un dado común (6 caras) los casos favorables son 3.

Ahora recordamos la regla de Laplace para calcular la probabilidad de obtener un numero par, al lanzar

un dado común

𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆 =𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=

3

6= 0,5 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 0,5 ∙ 100 = 50%

RESPUESTA: La probabilidad de obtener un numero par, al Lanzar un dado común es del 50%


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Actividad 2; A modo de practica resuelve en tu cuaderno

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por andar sin cinturón dado que cuenta con más de 5

años de experiencia?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por andar con cinturón dado que cuenta con más de 5

años de experiencia?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona con más de 5 años de experiencia dado que no usaba el

cinturón?

2. Probabilidad condicionada

Si tenemos dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de que ocurra el evento 𝐴, dado que ha ocurrido

el evento 𝐵, se representa como 𝑃(𝐴/𝐵), y se calcula de la siguiente manera:

𝑷(𝑨/𝑩) =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑩) Se lee la probabilidad que suceda el evento A dado que ocurrió el evento B es igual a la

probabilidad de que suceda el evento A y el evento B (𝐴 ∩ 𝐵) dividido por la probabilidad del evento B.

Ejemplo: En un control de tráfico fueron multados 150 conductores, a cada conductor se le preguntó cuántos

años de experiencia tienen manejando. Toda la información se presenta en el siguiente recuadro:

Con menos de 5 años de experiencia

Con 5 o más años de experiencia

Total

Con cinturón (cc) 32 70 102

Sin cinturón (sc) 40 8 48

Total 72 78 150

¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por andar sin cinturón dado que cuenta con menos

de 5 años de experiencia?

Paso 1: Denominamos los eventos A y B

A= andar sin cinturón B= Con menos de 5 años de experiencia

Paso 2: Para determinar la probabilidad de 𝑷(𝑨/𝑩) primero debemos identificar las probabilidades de

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) . La probabilidad 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) es la probabilidad de cuando el evento A pasa a la misma vez que el

evento B (multado sin cinturón y con menos de 5 años de experiencia) que en este caso serian 40 (casos

favorables) dividido 150 (casos totales)

Paso 3: La probabilidad 𝑷(𝑩) es la probabilidad de ser multado con menos de 5 años de experiencia

72(casos favorables) dividido 150 (casos totales).

Paso 4: Calcular 𝑷(𝑨/𝑩)

𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

4015072

150

=40

72= 0,5555 …

Respuesta: La probabilidad de que se multe a una persona por andar sin cinturón dado que cuenta con menos

de 5 años de experiencia es 0,5555.


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3. Permutación

Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden realizar con todos los

elementos de un conjunto.

Si, sí importa el orden de colocación de los elementos, se utilizan todos los elementos y no se repiten los elementos, entonces, la fórmula para calcular el número de permutaciones de "𝑛" elementos es:

𝑷𝒏 = 𝒏! Ejemplo: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1,2,3,4,5 = 5

No se repiten los números, se utilizan todos los elementos.

𝑃5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

4. Combinación

Una combinación de un número de elementos es una disposición de una parte de ellos, prescindiendo del orden. Si, no importa el orden de colocación de los elementos y no se repiten los elementos, entonces, la fórmula para calcular el número de combinaciones de “𝒌" elementos sacados de un total de "𝒏" elementos es:

𝑪𝒌𝒏 =

𝒏!

(𝒏 − 𝒌)! ∙ 𝒌!

Ejemplo: Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

Elementos totales = 10 = n

Tomados de = 4 en 4 = k

𝐶𝑘𝑛 = (

𝑛𝑘

) = 𝐶410 = (

104

) =10!

4! (10 − 4)!=

10!

4! 6!=

10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1=

10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 210

Respuesta: El número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4 es de 210.

Actividad 3: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones

a) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra “ORDENA” formando palabras que

tengan o no sentido?

b) La cantidad de formas distintas en que pueden ordenarse 7 niños en una fila.

c) ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados 6 equipos de fútbol que participan en un torneo?


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5. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que indican como se alejan los datos respecto de la

media aritmética. Sirven como indicador de variabilidad de los datos.

Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación estándar y la varianza.

a) Rango

Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable y se calcula como la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la variable.

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

Ejemplo: En la situación que se nos planteó al inicio (estatura de los personajes de la televisión chilena)

podemos decir que el Rango es:

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 2,00𝑚 − 1,60𝑚

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝟎, 𝟒𝟎𝒎

así podemos decir que el rango de longitud es de 0,40m o 40 cm.


a) Se quiere seleccionar 4 personas, de un curso de 15 alumnos, para un concurso de cueca. ¿De cuántas formas se puedo hacer la selección?

b) Un cocinero va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se

puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?

c) La cantidad de formas distintas en que se puede seleccionar 3 personas de un grupo de 8.

d) Si una población se compone de 7 elementos, entonces el número de muestras de tamaño 4, sin reposición, es:


a) Calcular el Rango del siguiente conjunto de datos: I. {𝟏𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟒, 𝟖, 𝟏𝟎} el rango es = II. {𝟏. 𝟐, 𝟏. 𝟓 , 𝟐. 𝟔 , 𝟏. 𝟏𝟒, 𝟐. 𝟔𝟖, 𝟏. 𝟎𝟕 , 𝟏. 𝟏𝟕} el rango es =

b) Calcular el rango de sus ganancias

Semana 1 2 3 4 5

Ganancia $67.500 $87.800 $40.650 $39.100 $56.300


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b) Varianza y desviación estándar

La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o variabilidad, es decir, indican la dispersión o separación de un conjunto de datos. Hay que tener en cuenta que las fórmulas de la varianza y la desviación estándar son diferentes para una muestra que para una población. Recordemos antes la definición de población y de muestra: En estadística, el término “población” se refiere al conjunto de elementos que se quiere investigar, estos elementos pueden ser objetos, acontecimientos, situaciones o grupo de personas. Muestra en estadística se define como una porción extraída de la población, mediante métodos específicos que representan los resultados de todo el conjunto. A continuación, se presentan las fórmulas de la desviación estándar, varianza y media.

Se ve algo complicado, pero no lo es con el siguiente ejemplo todo quedara más claro.

c) Según la OMS las cantidades recomendadas diarias de vitamina C para las mujeres es 75 mg y para

hombres es de 90 mg. Dentro de un grupo de alimentos seleccionados por su aporte en vitamina C

tenemos el kiwi, brócoli, naranja, frutilla y piña.

El kiwi presenta 92 mg de vitamina C por cada 100 gramos de fruta considerado dentro del grupo como el

alimento con mayor aporte en vitamina C y la piña es el de menor aporte. El rango del aporte de vitamina

C en esos alimentos es de 44 mg.

i. ¿Cuál es el aporte de vitamina C por cada 100 gramos de la Piña?


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En un hospital necesitan contratar a una persona para que cocine para los enfermos. Para elegir a la persona, el hospital

pide que los y las postulantes les entreguen un menú para dos semanas en el cual debe estar presente la cantidad de

calorías por comida. Luego de leer los menús el hospital toma a dos personas para la decisión final, la cual debes hacer

tú.

Para ayudarte el hospital te dice que en promedio una persona debe comer 500 calorías por comida y te dicen la siguiente

información de los menús de los candidatos/as.

Candidato/a 1: Promedio de calorías por comida 515. Desviación estándar 32 calorías.

Candidato/a 2: Promedio de calorías por comida 493. Desviación estándar 153 calorías.

a) ¿Qué candidato elegirías? ¿Por qué? Argumenta en base a los conceptos matemáticos estudiados.

a)

Ejemplo: En un liceo (liceo A) se realizó un estudio de la masa corporal de los estudiantes, y se quiere

comparar con otro establecimiento (liceo B) para ver que tal estuvieron los resultados obtenidos.

Se selecciona una muestra de 6 estudiantes del liceo A y la siguiente información se obtiene:

Estudiante 1 2 3 4 5 6

Masa (kg) 69 kg 73 kg 74 kg 75 kg 71 kg 70 kg

Media liceo A = 72 kg

Varianza liceo A = 5,6 𝑘𝑔2

Desviación estándar liceo A =2,3664 kg

Analizando los datos de ambos establecimientos vemos que

media varianza Desviación estándar

Liceo B 72 159,6 6 𝑘𝑔2 12,6332 𝑘𝑔

Liceo A 72 5,6 𝑘𝑔2 2,3664 kg

Comparando los valores podemos decir que la media es igual lo que no implica que las distribuciones de los

datos sean similares y eso lo podemos confirmar ya que la varianza y desviación estándar del liceo A son

más bajas que las del liceo B, indicando que los datos del liceo A se concentran más cerca de la media.

Gráficamente se puede representar y quedar aún más claro.

Para grupos de datos pequeños como éste es fácil reconocer la dispersión de los datos, pero para grandes

volúmenes de datos nos es útil el cálculo de la media, varianza y desviación estándar.

Mientras la varianza y desviación estándar son mas cercanas a 0, el conjunto de datos al que pertenecen

será cercanos a la media, lo que implica que los datos se concentran cerca de la media y todo lo contrario

si la varianza y desviación estándar se aleja de 0.


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I. Calcular la varianza a partir de la desviación estándar Desviación estándar Varianza

2,99 años

34,2 cm

9 ml

II. Calcular la desviación estándar a partir de la varianza Varianza Desviación estándar

169 𝑚𝑙2

0,983 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠2

16 𝑚2

III. La profesora de Julián le entrega las notas le dice que la desviación de sus notas es muy grande con respecto a la de sus compañeros. ¿Qué quiere decir esto?

IV. Al comparar dos muestras A y B que presentan igual media pero la desviación estándar de la muestra A es mayor que la muestra B ¿Qué quiere decir esto?

Tabla de valores 1

Actividad propuesta 7: Completar la tabla

de volares 1, evaluando en la función

𝑓(𝑥) = 2 ∙ 3𝑥 los valores de 3,-3,4,-4.

6. Función exponencial

Una función exponencial tiene la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥, con x en los Reales, 𝑎 un número Real positivo

distinto de 1 y 𝑏 un número real distinto de 0.

𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 𝑥𝜖𝑅, 𝑎𝜖𝑅+ , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 1 𝑦 𝑏𝜖𝑅 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0

Algunos ejemplos de función exponencial son 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑦 𝑔(𝑧) = 3 ∙ 52𝑧

a) Evaluar la función

Para evaluar la función, toma el valor dado de x (variable independiente) y sustituye ese valor por x ( u otra

letra según corresponda) en la expresión, como se muestra a continuación:

Sea la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 3𝑥 con x nuestra variable independiente evaluaremos la función cuando x =2

y cuando x= -2

𝑦 = 𝑓(2) = 2 ∙ 32 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝜖𝑅

𝑦 = 𝑓(2) = 2 ∙ 9

𝑦 = 𝑓(2) = 18

𝑓(2) = 18

𝑦 = 18

x F(x) =y

2 18


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Asíntota: En geometría, línea recta

que, prolongada indefinidamente,

se acerca progresivamente a una

curva sin llegar nunca a encontrarla.

Respuesta: La grafica de

la función crece de

izquierda a derecha y

sobre el eje X como en

el caso 1, entonces el

valor de 𝑎 > 1 y el valor

de 𝑏 > 0.

Respuesta: La grafica de

la función crece de

izquierda a derecha

como en el caso 4,

entonces el valor de

0< 𝑎 < 1 y el valor de

𝑏 < 0.

b) Grafica de la función exponencial

Una función exponencial tiene la forma 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒃 ∙ 𝒂𝒙, con x en los reales, a un número real positivo distinto

de 1 y b un número real distinto de 0. Su gráfico corresponde a una línea curva asintótica al eje X, que es

creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una

función exponencial, con x en los reales:

Ejemplo: Identifica en las siguientes graficas de las funciones exponenciales como son los valores de 𝑎 y 𝑏.


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a) Bosquejar en tu cuaderno las gráficas de las funciones exponenciales, presentes a continuación

tomando como referencia los caso 1,2,3,4.

𝑓(𝑥) = 3 ∙ 4𝑥 ℎ(𝑤) = −2 ∙ 0,2𝑤

b) Identifica en las siguientes graficas de las funciones exponenciales como son los valores de 𝑎 y 𝑏

c) Dominio y recorrido de la función exponencial

Una función exponencial tiene la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥, con x en los reales, a un número real positivo distinto

de 1 y b un número real distinto de 0. Su dominio es IR y su recorrido es 𝐼𝑅+ si b > 0 o 𝐼𝑅− si b < 0.

d) Crecimiento y decrecimiento exponencial

Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial

En casos reales, si a > 1 y b > 0, entonces corresponde a

una situación de crecimiento exponencial. Por ejemplo,

si una colonia de microorganismos se triplica cada una

hora e inicialmente había 100 de ellos, entonces la

función P(x) que representa la cantidad de

microorganismos que habrá al cabo de x horas es

𝑃(𝑥) = 100 ∙ 3𝑥 representada gráficamente

Por otro lado, si 0 < a < 1 y b > 0, entonces corresponde

a una situación de decrecimiento exponencial. Por

ejemplo, si un elemento químico pierde la cuarta parte

de su masa cada un mes e inicialmente había 800

gramos de él, entonces la función Q(x) que representa

la masa, en gramos, del elemento al cabo de x meses

es 𝑄(𝑥) = 800 ∙ (3

4)

𝑥 representada gráficamente:


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Ejemplo; Determinar si las siguientes funciones son Crecientes o Decreciente:

ℎ(𝑥) = 200 ∙ 120𝑥−1 Analizando la función podemos decir que 𝑎 = 120 𝑦 𝑏 = 200 así 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 por lo tanto

podeos decir que la función es CRECIENTE.

𝐺(𝑥) = 30 ∙ (3

4)

𝑥 Analizando la función podemos decir que 𝑎 =

3

4= 0,75 𝑦 𝑏 = 30 así 0 < 𝑎 < 1 𝑦 𝑏 > 0 por lo

tanto podeos decir que la función es DECRECIENTE.

e) Función exponencial en distintos contextos

La función exponencial modela muchas situaciones de diversas áreas. Por ejemplo, en

ciencias sociales, el crecimiento demográfico; en biología, el crecimiento bacteriano, y en

economía, el interés compuesto, entre otras.

Ejemplo: Marcos decide abrir una cuenta de ahorro para financiar en el futuro los estudios

de su hijo recién nacido. Por su parte, el banco le ofreció la tasa de interés anual que se

muestra en la imagen. El monto que depositó Marcos en la cuenta fue de $1.000.000. Si no retira el dinero

ni los intereses, ¿qué capital tendrá dentro de un año?

𝑐0 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 1.000.000 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

Transformaremos el 4,8% a decimal para poder trabajarlo 4,8

100= 0,048

Ahora para obtener el dinero total de la cuenta al transcurso de un año realizaremos el siguiente calculo

𝑐1 = 1.000.000 + 1.000.000 ∙ 0,048 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐1 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜 1

Factorizando por 1.000.000 tenemos que 𝑐1 = 1.000.000 ∙ (1 + 0,048)

𝑐1 = 1.000.000 ∙ (1,048)

𝑐1 = 1.048.000

El Capital que tendrá dentro de un año es $1.048.000

¿qué capital tendrá al año 2,3,4,5 y X?

Actividad 9: Determinar en las siguientes funciones si son crecientes o decreciente y justificar su respuesta.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 12𝑥 _____________________________ 𝑏) 𝑔(𝑥) =1

3∙ 53𝑥 _______________________________

𝑐) 𝑔(𝑥) =2

3∙ (

5

4)

𝑥______________________________ 𝑑) 𝑓(𝑥) = 500 ∙ 1001−𝑥 _________________________

𝑒) 𝑔(𝑥) =7

3∙ 0.52𝑥+1 ___________________________ 𝑓) 𝑔(𝑥) =

1

2∙ (

5

40)

4𝑥______________________________


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Actividad 11: Un bosque tiene 28000 𝑚3 de madera y aumenta 3,5% cada año. Si sigue creciendo en las mismas condiciones.

Determinar la función que permite calcular la cantidad de madera (𝑚3) ayúdate siguiendo el modelo del ejemplo.

¿cuánta madera tendrá al cabo de 15 años?

¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera?

Actividad 12: Se administra 100 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el

torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada hora.

- Determinar la función

- ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Año Forma de obtenerlo Potencia capital

0 𝑐0 = 1.000.000 𝑐0 = 1.000.000 ∙ (1,048)0 1.000.000

1 𝑐1 = 1.000.000 ∙ (1,048) 𝑐1 = 1.000.000 ∙ (1,048)1 1.048.000

2 𝑐2 = 1.048.000 ∙ (1,048) 𝑐2 = 1.000.000 ∙ (1,048)2 1.098.304

3 𝑐3 = 1.098.304 ∙ (1,048) 𝑐3 = 1.000.000 ∙ (1,048)3 1.151.022,592

4 𝑐4 = 1.151.022,592 ∙ (1,048) 𝑐4 = 1.000.000 ∙ (1,048)4 1.206.271,676

5 𝑐5 = 1.206.271,676 ∙ (1,048) 𝑐5 = 1.000.000 ∙ (1,048)5 1.264.172,717

⁞ ⁞ ⁞

x 𝑐𝑥 = 1.000.000 ∙ (1,048)𝑥

Así con la expresión 𝑐𝑥 = 1.000.000 ∙ (1,048)𝑥 podemos calcular el monto del capital en cualquier año donde

x es el n° de años. Esa expresión es una función exponencial.

Actividad 10: ¿Qué capital tendrá cuando su hijo tenga 18 años?


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Instrucciones Guía de Síntesis 3° Medio

INSTRUCCIONES GENERALES

Estimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje,

las que debes desarrollar para alcanzar los aprendizajes esperados para esta etapa. Comienza estudiando la

guía de aprendizaje, ya que, esta es la base para lograr los objetivos.

INSTRUCCIONES:

Esta guía de trabajo la puedes imprimir, pero si no tienes acceso a impresora la puedes desarrollar en tu

cuaderno de matemática.

Esta guía presenta los contenidos a trabajar en la evaluación de síntesis, cualquier consulta se puede realizar

al profesor respectivo de la asignatura.

CORREOS ELECTRÓNICOS PARA CONSULTAS

Nicolás Parra [email protected]

Loreto Hermosilla [email protected]

Patricio Undurraga [email protected]

César Tapia [email protected]

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