1

- ¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero.- Bien... Dando probabilidad y estadística... Respondo.- ¡Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotería...Dice mientras me pasa la cuchilla.

5. Distribuciones discretas

- Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de

probabilidad de ganar y un 50% de perder.-¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

2

Distribución de BernoulliExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que:

éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

1,0)1()( 1 xppxP xx

Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.

Jacob Bernoulli

3

1,0)1()( 1 xppxP xx

Función de distribución:

1 para,1

0 para,1)(

xxp

xF

Veremos, más adelante, que la distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial con n = 1.

4

Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

pXPXP

xXPxXEx

)1(1)0(0

)(][1

0

)1(

)1(1)0(0

)(])[(][)(

2

222

1

0

2222

pppp

pXPXP

pxXPxXEXEXVarx

5

Distribución geométricaConsideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito. Entonces:

...,,,x

ppxXPpG x

210 ,1)()(

6

...,,,x

ppxXPpG x

210 ,1)()(

p(x)

xFunción de distribución:

1

0

)1(1)1()(

nn

x

x pppnF

2

1)(

1)(

ppXVar

pXE

The geometric distribution Y is a special case of the negative binomial distribution, with r = 1.

La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara. 125 1(125;0.01) (1 0.01) 0.01 0.0029fx

The probability distribution of the number X of Bernoulli trials needed to get one success, supported on the set { 1, 2, 3, ...}

The probability distribution of the number Y = X − 1 of failures before the first success, supported on the set { 0, 1, 2, 3, ... }

10

Distribución binomialLa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento.

P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

11

Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p.Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

2)1(3 pp

)1(3 2 pp

12

Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria:

X = Número de veces que ocurre A.

En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.

Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.

Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

xn

13

La función de probabilidad P(X = x) serála distribución binomial:

xnxxnx ppxnx

nppxn

xppnB

)1(

)!(!!)1()(),(

Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

14

The binomial distribution is frequently used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. If the sampling is carried out without replacement, the draws are not independent and so the resulting distribution is a hypergeometric distribution, not a binomial one. However, for N much larger than n, the binomial distribution is a good approximation, and widely used.

16

Características de la distribución binomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media = E(X) = n p = 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25

Desviación estándar

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp

18

Tablero de Galton o quincunx

Sir Francis Galton(1822-1911) La vida y la obra de Galton, así como el contexto histórico en que se desarrollaron, está muy bien explicado en el libro de Stigler: "The History of Statistics" (cap. 8).

Quincunx

Comprar un quincux: http://www.qualitytng.com/.Applets: http://www.jcu.edu/math/isep/Quincunx/Quincunx.html

20

¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

242 )501(5024

)2(

2450

)1()(

-

xnx

.-. p

x; n; .p

ppxn

xp

Si una décima parte de personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar, exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo? ¿Y si la pregunta es 8 como máximo?

928 )101(108

100)8(

810010

)1()(

.-. p

x; n; .p

ppxn

xp xnx

8

0

100

8

0

9.01.0100

)1()8(

x

xx

x

xnx

x

ppxn

xp

21

Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces.

p = 1/6, q = 5/6, n = 4

4322

61

44

65

61

34

65

61

24

132.01296171)154256(

61

4

Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

),....1,0( )( nkqpkn

kP knk

22

Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

28

Chuck-a-luck: Elige un número entre 1 y 6. Lanzas 3 dados. Si el número que has elegido sale en los 3 dados cobras 3 euros. Si sale en 2 cobras 2 euros. Si sale en un dado cobras 1 euro. Y si no sale en ninguno, pagas 1 euro. ¿Es un juego justo?

08.0)1(65

03

165

61

13

265

61

23

365

61

33

321

203

29

Hay dos jugadores jugando a un juego, donde el primer jugador gana con probabilidad p cada partida. El total de lo apostado es ganado por el jugador que gana por primera vez N partidas.

Supongamos que el primer jugador ha ganado k partidas y el segundo j y se interrumpe el juego: ¿Cómo debe dividirse el total entre ambos jugadores?

Blaise Pascal1623 - 1662

NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES

1

0

)1(jN

n

nkN ppkN

nkNP

Debemos calcular la probabilidad de que el primer jugador gane N - k juegos, antes de que el segundo gane N - j.

De modo que el primer jugador debería llevarse un porcentaje P del premio y el segundo (1-P).

30

Distribución multinomial

Podemos generalizar la distribución binomial cuando hay más de dos acontecimientos posibles (A1, A2, A3 ...) con probabilidades p1 , p2 , p3 ... constantes y tales que:

......!..!!

!...),,( 321321

321321

xxx pppxxx

nxxxp

1i

ip

31

0112.02.07.01.0!1!.3!.1

!5)1,3,1( 311 p

Un método de diagnóstico tiene 3 resultados posibles: positivo (P), negativo (N) y dudoso (D). Se sabe que, en la población, el 10% de los sujetos son positivos, el 70% negativos y el resto dudosos. ¿Qué probabilidad hay de, en una muestra de 5 individuos, obtener exactamente 1 positivo, 1 negativo y 3 dudosos ?

32

33

¿Cómo simular de manera sencilla en el ordenador una variable aleatoria binomial X?

Sumando n variables aleatorias independientes cuyos valores pueden ser 1 o 0, con probabilidad p y 1-p respectivamente.

¿Y cómo simular una distribución geométrica de parámetro p?

Una manera es generar una secuencia de números aleatorios en [0, 1) con la función rnd, y paramos cuando obtengamos un número que no exceda a p, que es el equivalente al primer éxito. El problema es que si p es pequeño, en promedio se necesitan 1/p pasos de tiempo y se consume mucho tiempo de cómputo.

34

Una forma alternativa con tiempo de cómputo independiente del valor de p sería:

Sea q = 1- p y definamos la variable Y como el menor entero que satisface:

rndqY 1

.)1(

)11()(111

1

pqqqqq

qrndqPiYPiiii

ii

Entonces tenemos:

De modo que Y está distribuida geométricamente con parámetro p.

35

Para generar Y, basta con que despejemos de:

rndqY 1

qLnrndLnY )1(int

36

1195.0

1

1

qqp

nn

x

xpq

19.095.0)19.0(95.019.019.01.095.0

nnn

294.289.0ln05.0ln9.0ln05.0ln9.005.0 nnn

Un acontecimiento ocurre, en la población, en el 10% de los casos. ¿Qué tamaño de muestra debo tomar para tener una probabilidad del 95% de obtener al menos un éxito ?

37

Distribución binomial negativaConsideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el r-ésimo éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos x hasta que se obtiene el r-ésimo éxito. Entonces:

...,,,x

ppxrx

xXPprBN xr

210

,11

)(),(

Se denomina binomial negativa porque los coeficiente provienen de la serie binomial negativa: -x-x -qp )1(

El último tiene que ser un éxito.

38

Distribución binomial negativa(de Pascal o de Pólya)

...r,rr,x

pprx

xXPprBN rxr

,21

,111

)(),(

La distribución binomial negativa también se puede definir como el número de pruebas x hasta la aparición de r éxitos. Como el número de pruebas x, en este caso, contabiliza tanto los éxitos como los fracasos se tendría según ésta definición que:

2

( ) /(1 )( )

E X r pr pVar X

p

39

Disponemos de una moneda trucada con probabilidad de cara igual a p=0.25. La lanzamos hasta que obtenemos 2 caras. La distribución del número de lanzamientos x será:

...,,x

xxXPprBN x

,432

,25.0125.0121

)()25.0,2( 22

x

P(x)

Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para controlar la nave, las otras 2 son de reserva, redundantes, por si falla la primera. Durante una hora de operación la probabilidad de fallo es 0.0005.

– ¿Cuál es el tiempo promedio de fallo de las tres computadoras?

– ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 5 horas?

( ) 3/ 0.0005 6000E x h

3 3 3 9

( 5) ( 3) ( 4) ( 5)3 4

0.0005 0.0005 (0.9995) 0.0005 (0.9995) 1.249 102 2

P x P X P X P X

x

a)

b)

44

Elegir al azar con reemplazoElegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos lleva a una distribución binomial.

Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N.

Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es:

),....1,0( 1)( nxNA

NA

xn

xPxnx

(Una distribución binomial)

45

Elegir al azar sin reemplazoElegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores.

Si repetimos el experimento anterior sacando n bolas sin reemplazo, ¿cuál será ahora la probabilidad de que x sean rojas?

posibles Casos

nN

Para calcular los casos favorables observa que:N = A + (N – A). De las A bolas rojas tomaremos x y de las N – A bolas no rojas tomaremos n – x.

46

Distribución hipergeométrica

)...,,1,0( )(),,( nx

nN

xnAN

xA

xPANnH

xnAN

xA

ANxnxnAN

AxxA

favorables Casos

de rojas no bolas tomar de formas diferentes

de rojas bolas tomar de formas diferentes

47

Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de probabilidad de la variable aleatoria : X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo).

Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2

Escogemos con reemplazo:

09.0)2( ,42.0)1( ,49.0)0( ,107

1032

)(2

pppx

xpxx

07.0453)2( 470

4521)1()0(

2102

73

)(

p,.ppxx

xp

Escogemos sin reemplazo:

Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar:

3 22 0 3(2) 0.3

5 102

f

Tenemos N = 5, n = 2, A = 3 y x = 2:

49

HipergeométricaN = 24X = 8n = 5

Binomialn = 5

p = 8/24 =1/3

x Error0 0.1028 0.1317 -0.02891 0.3426 0.3292 0.01332 0.3689 0.3292 0.03973 0.1581 0.1646 -0.00654 0.0264 0.0412 -0.01485 0.0013 0.0041 -0.0028

P(x)P(x)

N = 240X = 80n = 5

n = 5p = 80/240 =1/3

x P(x) Error0 0.1289 0.1317 -0.00281 0.3306 0.3292 0.00142 0.3327 0.3292 0.00353 0.1642 0.1646 -0.00044 0.0398 0.0412 -0.00145 0.0038 0.0041 -0.0003

P(x)

Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qué distribución empleemos. La distribución binomial es una aproximación aceptable a la hipergeométrica si n < 5% de N.

51

Distribución de PoissonCuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 210 ,!

)(

...,,,xx

expx

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.La distribución de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones más utilizadas.

La distribución de Poisson expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media , la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

donde np =

Considera los siguientes experimentos:

• El número de clientes que llegan a la ventanilla de un banco a la hora. • El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un

hospital. • El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado. • El número de coches que circulan por una rotonda a la hora.

Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características:

• Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado.

• La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.)

• El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.

Consideramos una v.a. X que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica:

1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo.

2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad.

3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente.

Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de Poisson.

Distribución de Poisson

Ejemplo: Sea X el número de clientes que han entrado en una tienda de alimentación a lo largo de un mes. Para poder suponer que X sigue una distribución de Poisson tendríamos que verificar que:

1) La probabilidad de entrar en la tienda es la misma a lo largo del periodo (suponemos entonces, que no han abierto/cerrado otras tiendas de la competencia, etc). Esto es equivalente a comprobar que el número medio de clientes en un mes es más o menos constante.

2) Además tiene que ocurrir que el número de clientes en un determinado mes, por ejemplo, octubre, sea independiente del número de clientes que hubo en otro mes, por ejemplo, septiembre. (En este caso sería suponer que no hay clientela fija).

3) Supongamos que el número medio de clientes es 400 al mes. Entonces si X es Poisson se ha de cumplir que el número medio de clientes a los dos meses es 800 y el número medio de clientes a la semana es 100.

55

Características de la distribución de Poisson

= 0.5

= 6

1 2 3 4 5X

2 4 6 8 10X

Media

Desviación estándar

E X

( )

0.2.4.6

0

P(X)

0.2.4.6

0

P(X)

Nota: el máximo de la distribuciónse encuentra en x

0 210 ,!

)(

...,,,xx

expx

56Distribución de Poisson para varios valores de .

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).

np = La distribución de Poisson es asimétrica, siendo en general más probables los valores pequeños de la variable que los mayores (normalmente se asocia a procesos que ocurren muy pocas veces). Sin embargo, si crece, la distribución tiende a la simetría.

El número medio de aviones que usan una pista de aterrizaje en un aeropuerto es 2 cada media hora. Suponiendo que siguen una ley de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que el número de llegadas sea 5 o mayor? ¿Cuál es la probabilidad de que en un cuarto de hora aterrizen más de 4 aviones?

P(X 5) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)] =

1 - [e-2+2 ·e-2 +22 ·e-2/2 + 23 ·e-2/6 + 24 ·e-2/24] = .052.

Sea Y el número de aviones que aterrizan en esa pista cada cuarto de hora. Entonces Y es una Poisson de parámetro 1:

Por tanto, P( Y > 4) = P(Y 5) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4)] =1 - [e-1+1 ·e-1 +12 ·e-1/2 + 13 ·e-1/6 + 14 ·e-1/24] =...

58

Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?

El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

9197.0)11()( 211 eAP c ,....)1,0(

!μ)( μ

x

xex

xp

La distribución binomial nos daría el resultado exacto:

9206.0

1001

10099

2100

1001

10099

1100

10099

0100

)(29899100

cAP

),....1,0( )( nxqpxn

xp xnx

59

60

Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller)

10 x 10

400 bombas

Supón que vivías en uno de los 100 bloques que aparecen en la gráfica inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100. Como cayeron 400 bombas, podemos entender el número de impactos en tu bloque como el número de éxitos en un experimento de Bernoulli con n = 400 y p = 1/100. Podemos usar una Poisson con λ = 400 1/100 = 4:

!4)(

4

xexp

x

Observado

Predicho

61

Muertos por coz de caballo

La explicación de cómo se interpreta la frecuencia acumulada queda mucho más clara si se tienen los datos desglosados por año y regimiento, tal como aparecen en la publicación original de Bortkiewicz. La tabla de la parte superior contiene los muertos por regimiento y año. En el regimiento G (primera fila) no murió nadie en el año 75, murieron 2 en el 76, otros 2 en el 77… En total hay 144 casillas que tienen un cero (una rayita), 91 casillas que tienen un 1, 32 casillas que tienen un 2…Para tener el valor medio de muertos por casilla hay que ver que el total de muertos es: 1×91+2×32+3×11+4×2=196. Como hay 280 casillas, el número medio de muertos por casilla es 196/280=0,7. Con este valor medio y aplicando la fórmula de la distribución de Poisson se tiene que:-Probabilidad de 0 muertos = 0,4966 -Probabilidad de 1 muerto = 0,3476 ; etc.Una vez se tienen las probabilidades, multiplicando por 280 se tienen los valores esperados.Cuando escribí el libro busqué los datos originales pero no los encontré. Reproduje la tabla tal como la vi en el texto de Bulmer, ahora veo que es muy parecida a la que aparece en el original (parte central de la página). Hay algo que no entiendo (mi alemán = 0): lo que parece la columna de valores esperados no coincide con los resultados que se obtienen. No sé si se está calculando otra cosa o hay algún error de cálculo o de redondeo. El texto completo se puede descargar aquí.

Goles en la liga española

Cuando escribí esto la última temporada de la que se tenían los datos completos era la 2008-09. El mejor resumen de resultados lo encontré en La Vanguardia del 1 de junio del 2009. También se tiene una buena aproximación si en vez de goles por equipo se toma como variable los goles por partido. Los datos y gráficos obtenidos, en formato Minitab, están aquí. 

Pere Grima, «La certeza absoluta y otras ficciones» RBA

62

El perímetro torácico de los soldados

Las aportaciones de Quetelet y su estudio sobre el torax de los soldados están en el libro de Ian Hacking: "La domesticación del azar", cap. 13. La cita que se reproduce está en la página 164.   [Arriba]

Ley de Stigler de los Epónimos

Stigler lo explica en el capítulo 14 de su libro: "Statisitcs on the Table".  Hay una lista de ejemplos en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_examples_of_Stigler%27s_law

Pere Grima, «La certeza absoluta y otras ficciones» RBA

La distribución de Poisson es una aproximación de la distribución Binomial cuando n es muy grande y p es pequeño

En estos casos, podremos usar tanto la distribución de Poisson como la binomial para calcular estas probabilidades. ¿Cómo?

Veamos un ejemplo: La probabilidad de que en una página de un libro haya una errata

es 0.02. ¿Cuál es la probabilidad que en libro de 200 páginas haya 3 erratas?

1973.0 0.980.023200

)3( 1973

XP

Relación entre las distribuciones Poisson y Binomial

Sea X = número de erratas en el libro.Lo podemos interpretar como una binomial, entonces X es B(200,0.02).Por tanto la prob. que nos piden:

También podríamos calcularlo usando la distribución de Poisson.Fíjate que E(X) = np = 200*0.02 = 4. En la distribución de Poisson, el parámetro representa la esperanza de la variable, por tanto, para calcular la aproximación, consideramos X sigue una distribución P(4), entonces:

1954.0!3/4)3( 43 eXP

Por tanto, una distribución binomial se puede aproximar por una distribución de Poisson (es decir, las prob. calculadas a partir de una u otra fórmula son muy parecidas) si n es grande (consideramos n grande si n es mayor que 100) y p pequeño, de manera que

np < 10

66

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.

Usemos la distribución binomial para modelar el proceso. Podemos dividir el intervalo de tiempo en el que ocurre el proceso en n subintervalos suficientemente pequeños, como para asegurarnos que a lo sumo se produce un evento en cada subintervalo. De modo que en cada subintervalo, o se producen 0 o 1 ocurrencias. A lo sumo llega un fotón en cada subintervalo o ninguno.

De modo que podemos entender el proceso como un experimento de Bernoulli. Para determinar p, podemos razonar de la siguiente manera:

67

En promedio se producirán λt ocurrencias en un intervalo de tiempo t. Si este intervalo se divide en n subintervalos, entonces esperaríamos en promedio (usando Bernoulli): np ocurrencias. Así: λt = np, p = λt/n.

Sin pérdida de generalidad supongamos que t = 1 (p = λ/n) y que X es la variable aleatoria X = número total de ocurrencias.Sabemos que:

nn

nppnBXP

1)1()0,,()0(

Observa que para n grande P(X = 0) es aproximadamente e-λ. Además para n grande (y por tanto p muy pequeño):

kpkpk

kpnBkpnB

)1(

)1()1,,(

),,(

68

)1,,(),,(

)0,,(

kpnBk

kpnB

epnB

Tenemos entoncesla siguiente ecuación iterada:

ek

kXP

epnBXP

epnBXP

k

!)(

...2

)2,,()2(

)1,,()1(2

Que nos proporciona:

69

La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.

P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9%

Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10:

μ = 10 P(10) = 1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%

Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad.

,....)1,0( !

μ)( μx

xex

xpUna distribución de Poisson con μ = 10.

70

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches?

Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

857.0)()3()2()1()0()( !32

!22

!12

!022 3210 eppppAP c

,....)1,0( !

μ)( μx

xex

xp

El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de = 43,2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio. Se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital?

Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43,2). La probabilidad solicitada es

Pr {X > 50} = 1 – Pr {X <= 50} = 1 - F(50) = 0.13.

El responsable del servicio deberá valorar si esta probabilidad es lo suficientemente alta como para reforzar urgencias.

Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p = 1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.

Consideremos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad. Claramente sigue un modelo binomial, pero que puede ser aproximado por un modelo de Poisson, de modo que:

Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es

Existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es:

Benford's Law

The leading digit of a number represents its non-zero leftmost digit.

299.959 0,0174

mxdmmxx n

)(101,10,

2,99959 ·105

[2,99959] = 21,74 ·10-2 [1,74] = 1

Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4 (1881) 39-40.

Simon Newcomb (1835-1909).

Red bars: Leading digit histogram of a list of 201 physical constants in SI.

d

ddP 1log)(

Red bars: Leading digit histogram of a list of 201 physical constants in SI.Grey bars: Benford’s law

The law of anomalous numbers.Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938) 551-538.

Frank Benford

Probable Error

10114.74.95.16.48.09.412.418.530.6Average4184.14.87.26.56.79.415.718.627.0Death Rate

9005.57.16.88.88.510.012.016.025.3     ,             

3425.05.05.66.48.58.812.619.228.9Addresses11655.44.75.27.06.68.714.117.331.0Blackbody14583.05.64.96.47.49.812.617.632.7Am. League7074.85.85.17.48.19.014.417.527.9X-Ray Volts7413.15.54.75.59.810.110.118.832.4Cost Data3084.24.95.56.57.17.512.418.533.4Reader's Digest5605.67.37.08.48.37.514.314.826.8Design

50008.98.07.26.86.66.89.720.325.7       ,       

915.54.43.34.46.64.45.518.747.2Atomic Wgt.1591.92.55.05.08.212.613.823.927.1Drainage

18003.22.84.15.16.710.815.425.226.7Mol. Wgt.6903.65.15.17.08.110.811.918.430.0H.P. Lost7034.74.45.76.48.39.812.818.329.6Pressure

13894.14.83.24.110.614.616.218.424.0Specific Heat1005.05.06.06.08.010.012.018.030.0Newspapers10410.62.91.05.810.68.64.814.441.3Constants

32592.23.74.16.27.28.114.220.433.9Population3355.14.25.58.67.211.310.716.431.0Rivers, Area

Sampls987654321Title

Red bars: Leading digit histogram of the prime number sequence in the interval [1,N].

5.761.455 primes

455.052.511 primes

50.847.534 primes

4.118.054.813 primes

Benford GeneralizadoL. Pietronero, E. Tossati, V. Tossati and A. Vespignani.

Explaining the uneven distribution of numbers in nature: the laws of Benford and Zipf.

Physica A 293 (2001) 297-304.

d

ddP 1log)(

Red bars: Leading digit histogram of a list of 201 physical constants in SI.Grey bars: Benford’s law

Scale invariance

dd

dddxx k

kd

d

k

k

1log10

)1(10log)1(10

10

1

1~)( xxP

11

1 )1(110

1)( dddP

9/1)(lim9,...,2,1;1

0

dPd

Generalized Benford's Law (GBL)

111)1(10

10)1(

1)10( dddNx

kd

d

k

k

xxP ~)(

Red bars: Leading digit histogram of the prime number sequence in the interval [1,N]. Red bars: Generalized Benford's law.

5.761.455 primes

455.052.511 primes

50.847.534 primes

4.118.054.813 primes

1.01.1

1)(

aaNLn

N

Why do prime number sequence exhibit this unexpected pattern in the leading digit distribution?

New Pattern Found in Prime NumbersMay 8th, 2009 By Lisa Zyga

Physorg.com

"Me esperaré a la película, a ver si entiendo algo :)"

The Counting Prime Function.2 interval in the primes of#)( ,x][x

(25) = 9.

"For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics."

Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

"within the accuracy of our picture, the two coincide exactly." Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

The logarithmic integral function Li(x)

x

uLnduxLi

2)(

Prime Number TheoremValee Poussin and Hadamard (1896)

xxx

ln~)(

1ln/

)(lim xx

xx

God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers.

Paul Erdös

Modelo de Cràmer

Conditions for conformance to GBL

Conditions for conformance to GBL

Conditions for conformance to GBL

dxxNeNLN

cte

N )()()(

The primes counting function L(N)

aNLnN

NN

NeNL N

1)(with

)(1)()( )(1

Minimum for a = 1

105