Pulso de onda v

x,tf(xvt)

Movimiento sentido positivo de x

v

x,tf(xvt)

Movimiento sentido negativo de x

2

2

22

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

Ecuación de ondas

Sin disipación

1

¿Qué sucede frente a un cambio en las condiciones de propagación?Sea una cuerda compuesta por dos sectores de distinta densidad lineal

vi = v1

1 2

2 > 1Pulso incidente

vt = v2

(v2 < v1)

vr = v1

1 2

Pulso transmitidoPulso reflejado

vi = v1

1 2

2 < 1Pulso incidente

vt = v2

(v2 > v1)

vr = v1

1 2

Pulso reflejado Pulso transmitido

Nunca se invierteCambia la amplitud

Se invierteCambia la amplitud

No se invierte Cambia la amplitud

Potinc= Pottrans+Potref

¿Vínculo entre

amplitudes?

2

Pulso de onda viajando hacia la izquierda en un resorte liviano y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte más denso

Pulso de onda que viaja hacia la derecha en un resorte denso y que es parcialmente reflejado y parcialmente

transmitido al encontrarse con un resorte menos denso

Las fotos están tomadas a intervalos regulares, se puede apreciar la diferencia de velocidad del pulso para distinta densidad 3

Onda circular reflejada en una frontera fija

Pulso de onda viajando, a la izquierda inicialmente, en un resorte

y reflejado en una frontera fija

Ejemplos con frontera fija

4

Casos extremos. vi = v1

vr = v1

1 2

1

2

Pulso incidente

Pulso reflejado

1

21

vi = v1

Pulso incidente

Se invierte

No se invierte

Barrera

Extremo fijo=0

El pulso ejerce una fuerza ascendente sobre el soporte

Tercera Ley de Newton

El soporte ejerce una fuerza descendente sobre el pulso

Cambia la fase en

2 0

Extremo librex=0vr = v1

Pulso reflejado

Anillo muy ligerosin fricción

Ejerce una fuerzasobre el elemento

de cuerda,éste se acelera,

como un péndulo,va mas allá del eq.,

“dispara” con demasiadapotencia y ejerce

una fuerza de reacciónen la cuerda.

El pulso regresaNo hay cambio de fase 5

¿Qué pasa si en vez de un pulso de onda es una onda

propagante arbitraria la que llega a la frontera?

¿Qué sucede cuando coincidan en el tiempo y el espacio la

onda incidente y la onda reflejada?

O, en general, ¿qué sucede cuando coinciden dos o más

ondas en el tiempo y el espacio?

Superposición de ondas

6

SistemaE1

S1Sistema

E2S2

Sistema

E1

E2

E=E1+E2

S1

S2

S=S1+S2+ +

E=c1E1+c2E2S=c1S1+c2S2

SISTEMALINEAL

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL7

¿Qué pasa con las ondas?

21

2

221

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

22

2

222

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

),(),(),( 2211 txctxctx

2

2

22

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

)(

22

2

221

2

1

)(

22211

2

2

2 ),(),(),(),(),( III

x

txc

x

txc

x

txctxc

x

tx

)(

22

2

221

2

1222

2

2221

2

21

),(),(1),(1),(1 I

t

txc

t

txc

vt

tx

vc

t

tx

vc

2

2

222211

2

2

),(1),(),(1

t

tx

vt

txctxc

v

),(1 tx ),(2 tx

(I) Linealidad de la derivación; (II) Por satisfacer la ecuación de ondas

Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas

8

Caso de superposición de dos pulsos de onda que viajan en un mismo eje con distintos sentidos y a la misma rapidez. Observación inicial.

x 1(x, t0) 2(x, t0)

(x, t0)

+

x 1(x, t1) 2(x, t1)

(x, t1)

+

x 1(x, t2) 2(x, t2)

(x, t2)

+

x 1(x, t3) 2(x, t3)

(x, t3)

+

x 2(x, t4) 1(x, t4)

(x, t4)

+

x 2(x, t5) 1(x, t5)

(x, t5)

+

)()(),( 21 vtxfvtxftx

),(),(),( 21 txtxtx

9

Caso de superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual amplitud que se propagan en el mismo eje x pero en distintos sentidos

)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx

)(sen)(sen),(),(),( 2121 tkxAtkxAtxtxtx

)(sen)(sen),( 21 tkxtkxAtx

Principio de Superposición Lineal

sencoscossen)(sen

sencoscossen)(sen

cossen2)(sen)(sen

21 sensen)(sen)(sen

2

1

21

21

2

2

)(

2

1cos)(

2

1sen2sensen 212121

1 2

)(2

1)(

2

12121 kx

)(2

1)(

2

11221 t

)2/cos(sen2),( tkxAtx

2,1),(),();,(),(;2

;)(sen),(

iTtxtxtxtxv

kvtxkAtx iiiii

10

)2/cos(sen2),( tkxAtx=

)cos(sen2),( tkxAtx )(sen),(1 tkxAtx

)(sen),(2 tkxAtx +

Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras

No es un onda viajera ¿ x vt ? ¿ x + vt ?

ONDA ESTACIONARIA

Para cada x, el movimiento es armónico simple con frecuencia angular pero diferente amplitud |2Asen(kx)|

Amplitud mínima nula

sen(kx)=0

kx=0, , 2, 3,...

Znnkx

k=2/

Znnx

2

Número entero de medias longitudes de onda

n/2,t)=0 t

NODOS

Amplitud máxima 2A

kx=/2, 3/2, 5/2,...

k=2/

Número semientero de medias longitudes de onda

ANTINODOS

|sen(kx)|=1

Znnkx

2

1

Znnx

22

1

11

t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T

)cos()(sen2)(sen)(sen),(),( 21 tkxAtkxAtkxAtxtx

Nodos12

t = 0

t = (1/3)T/4

t = (2/3)T/4

t = T/4

t = (4/3)T/4

t = (5/3)T/4

t = T/2

)cos()(sen2),( tkxAtx

13

22222

)()(sen-)(sen)2(

2

1),(

2

1),( tkxAdx

t

txdxtxE

dxCINÉTICA

)cos()(sen2),( tkxAtx

222222

)( )cos()cos()2(2

1),(

2

1),( tkxAkdxvdx

x

txFtxE dxPOTENCIAL

2vFF

v

kfv

222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(

2

1),( tkxtkxAdxtxE dx

Energía mecánica para un dx en una onda estacionaria

2222)( )(sen)(sen)2(

2

1),( tkxAdxtxK dx 2222

)( )cos()cos()2(2

1),( tkxAdxtxU dx

K(dx) = U(dx)Para un dx en un x fijo… ?

¿Se conserva la energía mecánica para dx?

En el tiempo en que K(dx) tiene su máximo, U(dx) tiene su mínimo y viceversa

Sólo se conserva si 22 )cos()(sen PP kxkx 222)( )(sen)2(

2

1),( Pdx kxAdxtxE

4824

nxnkx pP A mitad de camino entre un nodo y un antinodo

14

donde vale

222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(

2

1),( tkxtkxAdxtxE dx

ttnAdxtxK dx 0)(sen)(sen)2(2

1),( 2222

)(

2222222)( )cos()2(

2

1)cos()cos()2(

2

1),( tAdxtnAdxtxU dx

Para los nodos: ZnnkxZnnx

2

La energía cinética es siempre nula

La energía potencial varía de 0 a su valor máximo

Para los antinodos: ZnnkxZnnx

2

1

22

1

2222222)( )(sen)2(

2

1)(sen5.0sen)2(

2

1),( tAdxtnAdxtxK dx

0)cos()5.0cos)2(2

1),( 2222

)( tnAdxtxU dx

La energía cinética varía de 0 a su valor máximo

La energía potencial es siempre nula

(el dx sobre un antinodo está siempre estirado)15

Onda Propagante Armónica Onda Estacionaria

Movimiento armónico simple

Frecuencia angular de vibración

Idéntica amplitud A(todos los puntos pasan por las mismas posiciones a distintos tiempos)

x fijo

Movimiento armónico simple (excepto nodos)

Frecuencia angular de vibración

Amplitud dependiente de la posición 2A|sen(kx+)|

x fijo

La energía no se transporta(no puede fluir más allá de los nodos)

Transporta energía

Para cada elemento dxEnergía cinética=energía potencial(Máximo de una es máximo de la otra,mínimo de una es mínimo de la otra)

Para cada elemento dxAlternancia entre energía cinética y potencial(Máx. desplazamiento, mín. energía cinética; mín. desplazamiento, Máx. energía cinética)

)(sen),( tkxAtx )2/cos(sen2),( tkxAtx

16

)2/cos(sen2),( tkxAtx

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS

Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos

x = 0 x = L

ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(

0sen0)2/cos(sen2),( kLttkLAtLx

0sen)cos()cos(sensen kLkLkL

01

ZsskLkL 0sen

k=2/>0, L>0 sN L=n/k ...3,2,12

nnL

,...3,2,12

nn

Ln

Nnn

LLLL n

1

4321 ;;4

2;

3

2;

2

2;2

,...3,2,12

nnL

vvf

nn Nnnfffffff

L

vf

L

vf nn 1113121 ;;4;3;2

22;

2

f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia 17

)cos(sen2)cos(/2sen2),(0

tL

xnAtxAtx

n

nnn

x = 0 x = L

L

vf

Lt

L

xAtx

21;

1

2);cos(sen2),( 111

L

vf

Lt

L

xAtx

22;

2

2);cos(2sen2),( 222

L

vf

Lt

L

xAtx

23;

3

2);cos(3sen2),( 333

L

vf

Lt

L

xAtx

24;

4

2);cos(4sen2),( 444

L

vf

Lt

L

xAtx

25;

5

2);cos(5sen2),( 555

t = 0 t1 t2 t3t4 t5

n-ésimo armónico(modo de vibración)

18

)2/cos(sen2),( tkxAtx

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS

Onda estacionaria en una cuerda fija por un extremo y libre por el otro

x = 0 x = L

ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(

0cos0)2/cos(cos2),(

kLttkLAkx

tLx

0sen)(sen)cos(coscos kLkLkL

01

ZsskLkL

2

)12(0cos

k=2/>0, L>0 sN ,...5,3,14

nnL

,...5,3,14

nn

Ln

,...5,3,1;;7

4;

5

4;

3

4;4 1

7531

nn

LLLL n

,...5,3,14

nnL

vvf

nn ,...5,3,1;...;5;3

43;

4 115131 nnfffffL

vf

L

vf n

f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia

,...5,3,12

nk

nL

19

,...5,3,1)cos(2

sen2)cos(/2sen2),(0

ntL

xnAtxAtx

n

nnn

x = 0 x = L

L

vf

Lt

L

xAtx

41;

1

4);cos(

2sen2),( 111

L

vf

Lt

L

xAtx

43;

3

4);cos(

23sen2),( 333

L

vf

Lt

L

xAtx

45;

5

4);cos(

25sen2),( 555

t = 0 t1 t2 t3t4 t5 20

)2/cos(sen2),( tkxAtx

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS

Onda estacionaria en un tubo de aire

0),(),( ptxptx p(x,t): presión del aire dentro del tubo; p0: presión de referencia

Extremo abierto

Extremo abierto

p0=Patm p0=Patm

x = 0 x = L

0),0( tx 0),( tLx

Nodo Nodo

Extremo cerrado

Extremo abierto

p0=Patm

x = 0 x = L

0),0( tx0

),(

x

tLx

Nodo Antinodo

Nnn

L n

11 ;2

NnnffL

vf n 11 ;

2

,...5,3,1;4 11

n

nL n

,...5,3,1;4 11 nnff

L

vf n

(ondas longitudinales)

21

¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx

)(sen)( 11 tAtf )(sen)( 22 tAtf cercanas pero,21

¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?

Batidos

Interferencia

)2/cos(sen2),( tkxAtx

)(

2

1cos)(

2

1sen2sensen 212121

22